2011-2018高考数学立体几何分类汇编(理)

2011-2018新课标(理科)立体几何分类汇编

一、选填题

【2012新课标】（7）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为（ B ） ()A 6 ()B 9 ()C 12 ()D 18 【分析】选B 。该几何体是三棱锥，底面是俯视图，高为3，此几何体的体积为11633932

V =????=

【2012新课标】（11）已知三棱锥S ABC -的所有顶点都在球O 的求面上，ABC ?是边长为1的正三角形，SC 为球O 的直径，且2SC =；则此棱锥的体积为（ A ）

()

A 26 ()

B 36 ()

C 23 ()

D 22

【分析】ABC ?的外接圆的半径3

3

r =

，点O 到面ABC 的距离2263d R r =-=，SC 为球

O 的直径?点S 到面ABC 的距离为2623

d =此棱锥的体积为

113262

233436ABC V S d ?=?=??=

另：13

236

ABC V S R ?<

?=排除,,B C D 【2013新课标1】6、如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容

器，容器高8cm ，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6cm ，如果不计容器的厚度，则球的体积为 ( A )

A 、500π3cm 3

B 、866π3cm 312

C 、1372π3cm 3

D 、2048π3cm 3

【分析】设球的半径为R ，则由题知球被正方体上面截得圆的半径为4，球心到截面圆的距离为

R -2，则2

2

2

(2)4R R =-+，解得R=5，∴球的体积为3453

π?=500π

3

3cm ，故选A.

【2013新课标1】8、某几何函数的三视图如图所示，则该几何的体积为( A )

A 、16+8π

B 、8+8π

C 、16+16π

D 、8+16π 【分析】由三视图知，该几何体为放到的半个圆柱底面半径为2 高为4，上边放一个长为4宽为2高为2长方体，故其体积为

21

244222

π??+?? =168π+，故选A . 【2013新课标2】4. 已知m ，n 为异面直线，m ⊥平面α，n ⊥平面β.直线l 满足l ⊥m ，l ⊥n ，l α，l β，则( D )．

A ．α∥β且l∥α

B ．α⊥β且l ⊥β

C ．α和β相交，且交线垂直于l

D ．α和β相交，且交线平行于l

【分析】因为m ⊥α，l ⊥m ，l α，所以l ∥α.同理可得l ∥β。又因为m ，n 为异面直线，所以α和β相交，且l 平行于它们的交线．故选D.

【2013新课标2】7. 一个四面体的顶点在空间直角坐标系O －xyz 中的坐标分别是(1,0,1)，(1,1,0)，(0,1,1)，(0,0,0)，画该四面体三视图中的正视图时，以zOx

平面为投影面，则得到的正视图可以为( A )．

【分析】如图所示，该四面体在空间直角坐标系O －xyz 的图像如图：

【2014新课标1】12. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的各条棱中，最长的棱的长度为（ B ）

A 、6

B 、6

C 、4

D 、4 【分析】几何体的直观图如图：AB=4，BD=4，C 到BD 的中点的距离为：4， ，AC=

=6，AD=4

，显然AC 最长。

【2014新课标2】6. 如图，网格纸上正方形小格的

边长为1(表示1 cm)，图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为3 cm ，高为6 cm 的圆柱体毛坯切削得到，则切削掉部分的体积和原来毛坯体积的比值为( C ) A.1727 B.59 C.1027 D.13

【分析】该零件是一个由两个圆柱组成的组合体，其体积为π×32×2＋

π×22×4＝34π(cm 3)，原毛坯的体积为π×32×6＝54π(cm 3)，切削掉部分的体积为54π－34π＝

20π(cm 3)，故所求的比值为20π54π＝10

27。

【2014新课标2】11. 直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，∠BCA ＝90°，M ，N 分别是A 1B 1，A 1C 1的中点，BC ＝CA ＝CC 1，则BM 和AN 所成角的余弦值为( C )

A.110

B.25

C.3010

D.22

【分析】如图，E 为BC 的中点．由于M ，N 分别是A 1B 1，A 1C 1的中点，

故MN ∥B 1C 1且MN ＝1

2B 1C 1，故MN 綊BE ，所以四边形MNEB 为平行四

边形，所以EN 綊BM ，所以直线AN ，NE 所成的角即为直线BM ，AN 所成的角．设BC ＝1，则B 1M ＝12B 1A 1＝2

2，所以MB ＝1＋12＝62＝NE ，AN ＝AE ＝5

2，在△ANE 中，根据余弦定理

得cos ∠ANE ＝30

10。

【2015新课标1】6.《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题:“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺。问:积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙角处堆放米(如图，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧度为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放斛的米约有（ B ）

A.14斛

B.22斛

C.36斛

D.66斛

【2015新课标1】(11)圆柱被一个平面截去一部分后和半球(半径为r)组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示。若该几何体的表面积为16 + 20π，则r=（ B ）

（A ）1 （B ）2 （C ）4 （D ）8 【2015新课标2】（6）一个正方体被一个平面截去一

部分后，剩余部分的三视图如右图，则截去部分体积和剩余部分体积的比值为（ ） （A ）

（B ）

（C ）

（D ）

【分析】由三视图得，在正方体中，截去四面体

，如图所示，，设正方体棱长为，则，故剩余几何体体积为

，所以

截去部分体积和剩余部分体积的比值为

．

【2015新课标2】（9）已知A,B 是球O 的球面上两点，

∠AOB=90,C 为该球面上的动点，若三棱锥O -ABC 体积的最大值为36，则球O 的表面积为（ C ）

A ．36π B.64π C.144π D.256π 【分析】如图所示，当点C 位于垂直于面的直径端点时，三棱锥

的体积

最大，设球

的半径为

，此时

，故

，

则球的表面积为，故选C ． 【2016新课标1】（6）如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直

的半径.若该几何体的体积是

283

π

，则它的表面积是（ A ） （A ）17π（B ）18π（C ）20π（D ）28π

【分析】该几何体为球体，从球心挖掉整个球的1

8

（如右图所示），故

34728383r ππ=

解得2r =，2271

431784

S r r πππ∴=?+?=。 【2016新课标1】(11)平面a 过正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的顶点A ，a //平面CB 1D 1，a ?平面ABCD =m ，a ?平面ABA 1B 1=n ，则m 、n 所成角的正弦值为（ A ） (A)

32 (B)22 (C)33 (D)13

【详细解答】令平面a 和平面CB 1D 1重合，则m = B 1 D 1，n = CD 1 故直线m 、n 所成角为60o ，正弦值为

3

【2016新课标2】6. 右图是由圆柱和圆锥组合而成的几何体的三视图，

则该几何体的表面积为( C )

（A ）20π （B ）24π （C ）28π （D ）32π

【分析】几何体是圆锥和圆柱的组合体，设圆柱底面圆半径为，周长为，圆锥母线长为，圆柱高为．由图得，，由勾股定理得：

【2016新课标2】14. α，β是两个平面，m ，n 是两条线，有下列四个命题： ①如果m n ⊥，m α⊥，n β∥，那么αβ⊥。②如果m α⊥，n α∥，那么m n ⊥．

③如果a β∥,m α?,那么m β∥。 ④如果m n ∥,αβ∥,那么m 和α所成的角和n 和β所成的角相等．

其中正确的命题有 ②③④ .(填写所有正确命题的编号)

【2016新课标3】9. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实现画出的的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为（ B ）

(A )18＋36 5 (B )54＋185 (C )90 (D )81 【2016新课标3】10. 在封闭的直三棱柱ABC -A 1B 1C 1内有一个体积为V 的球，若AB ⊥BC ，AB ＝6，BC ＝8，AA 13，则V 的最大值是（ B ）

(A )4π (B )9π2 (C )6π (D )32π

3

【2017新课标1】7．某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为2，俯视图为等腰直角三角形.该多面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为（ B ） A ．10 B ．12 C ．14 D ．16

【2017新课标1】16．如图，圆形纸片的圆心为O ，半径为5 cm ，该纸片上的等边三角形ABC 的中心为O 。D 、E 、F 为圆O 上的点，△DBC ，△ECA ，△FAB 分别是以BC ，CA ，AB 为底边的等腰三角形。沿虚线剪开后，分别以BC ，CA ，AB 为折痕折起△DBC ，△ECA ，△FAB ，使得D 、E 、F 重合，

r c l h 2r =2π4πc r ==()

2

2

2234l =+=2

1π2

S r ch cl =++表4π16π8π=++28π=

得到三棱锥。当△ABC 的边长变化时，所得三棱锥体积（单位：cm 3）的最大值为____415___。

【2017新课标2】4. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出

的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分所得，则该几何体的体积为（ B ）

A ．90π

B ．63π

C ．42π

D ．36π 【分析】该几何体可视为一个完整的圆柱减去一个高为6的圆柱的一半。

2211

π310π3663π22=-=??-???=V V V 总上

【2017新课标2】10.已知直三棱柱111C C AB -A B 中，C 120∠AB =，

2AB =，1C CC 1B ==，则异面直线1AB 和1C B 所成角的余弦值为（ C ）

A ．

32 B ．15 C ．10

D ．33 【分析】M ，N ，P 分别为AB ，1BB ，11B C 中点，则1AB ，1BC 夹角为MN 和NP 夹角或其补角（异面线所成角为π02?

?

???，）

可知1152MN AB =

=

，11222

NP BC ==，作BC 中点Q ，则可知PQM △为直角三角形． 1=PQ ，1

2

MQ AC =

，

ABC △中，2222cos AC AB BC AB BC ABC =+-??∠

=4+1-2′2′1×-12?è???÷=7，7=AC ，则7MQ =，则MQP △中，22112

MP MQ PQ =+=，

则PMN △中，222cos 2MN NP PM PNM MH NP +-∠=

??2

2

2

52111052

2??????

+- ? ? ? ? ? ???????==-?? 又异面线所成角为π02?

? ???

，，则余弦值为10。

【2017新课标3】8．已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，

则该圆柱的体积为（ B ）

A ．π

B ．3π4

C ．π２

D ．π

4

【分析】由题可知球心在圆柱体中心，圆柱体上下底面圆半径

2

2

1312r ??=-=

???

，则圆柱体体积2

3ππ4V r h ==，故选B. 【2017新课标3】16．a ，b 为空间中两条互相垂直的直线，等腰直角三角形ABC 的直角边AC

所在直线和

a ，

b 都垂直，斜边AB 以直线AC 为旋转轴旋转，有下列结论： ①当直线AB 和a 成60?角时，AB 和b 成30?角； ②当直线AB 和a 成60?角时，AB 和b 成60?角； ③直线AB 和a 所成角的最小值为45?；

④直线AB 和a 所成角的最大值为60?．其中正确的是___②③_____（填写所有正确结论的编号） 【分析】由题意知，a b AC 、、三条直线两两相互垂直，画出图形如图．

不妨设图中所示正方体边长为1，故||1AC =，2AB =，斜边AB 以直线AC 为旋转轴旋转，则A 点保持不变，B 点的运动轨迹是以C 为圆心，1为半径的圆。以C 为坐标原点，以

为x 轴

正方向，

为y 轴正方向，

为z 轴正方向建立空间直角坐标系．

则(1,0,0)D ，(0,0,1)A ，直线a 的方向单位向量，

，B 点起始坐标为(0,1,0)，

直线b 的方向单位向量，

，设B 点在运动过程中的坐标(cos ,sin ,0)B θθ'，

其中θ为B C '和CD 的夹角，[0,2π)θ∈。

那么'AB 在运动过程中的向量，

．

设

和所成夹角为π

[0,]2

α∈，则

．

故ππ

[,]42

α∈，所以③正确，④错误．设

和所成夹角为π

[0,]2

β∈，

.

当

和夹角为60?时，即π3α=，12

sin 2cos 2cos 2322

πθα====．

∵22cos sin 1θθ+=，∴2|cos |θ=

，∴21cos |cos |2

βθ==． ∵π[0,]2β∈，∴π

=3

β，此时AB '和b 夹角为60?，∴②正确，①错误．

【2018新课标1】7．某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如右图所示，圆柱表面上的点M 在正视图上的对应点为A ，圆柱表面上的点N 在左视图上的对应点为B ，则在此圆柱侧面上，从M 到N 的路径中，最短路径的长度为（ ）

A ．217

B ．25

C ．3

D ．2 【答案】B

【2018新课标1】12．已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线和平面α所成的角都相等，则α截此正方体所得截面面积的最大值为（ ） A ．33

B ．23

C ．

32

D ．

3 【答案】A

【2018新课标2】9．在长方体1111ABCD A B C D -中，1AB BC ==，

13AA =，则异面直线1AD 和1DB 所成角的余弦值为（ ）

A ．15

B ．

5 C ．

5 D ．

2 【答案】C

【2018新课标2】16．已知圆锥的顶点为S ，母线SA ，SB

所成角的余弦值为7

8

，SA 和圆锥底

面所成角为45°，若SAB △的面积为515，则该圆锥的侧面积为__________． 【答案】 402p

【2018新课标3】3．中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来，构件的凸出部分叫棒头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是棒头．若如图摆放的木构件和某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是（ ）

【答案】A

【2018新课标3】10．设A B C D ，，，是同一个半径为4的球的球面上四点，ABC ?为等边三角形且其面积为93，则三棱锥D ABC -体积的最大值为（ ） A ．123 B ．183

C ．243

D ．543

【答案】B

二、解答题

【2011新课标】 如图，四棱锥P—ABCD 中，底面ABCD 为平行四边形，∠DAB=60°,AB=2AD,PD ⊥底面ABCD. (Ⅰ)证明：PA ⊥BD ；

(Ⅱ)若PD=AD ，求二面角A -PB -C 的余弦值。 【答案】

（Ⅰ）因为60,2DAB AB AD ∠=?=, 由余弦定理得

3BD AD = ，从而BD 2+AD 2= AB 2，故BD ⊥AD 又PD ⊥底面ABCD ，可得BD ⊥PD 所以BD ⊥

平面PAD. 故PA ⊥BD

（Ⅱ）如图，以D 为坐标原点，AD 的长为单位长，射线DA 为x 轴的正半轴建立空间直角坐标系D -xyz ，则

()1,0,0A ,()03,0B ，,()

1,3,0C -,()0,0,1P 。

PAB 的法向量为n=（x,y,z ），则 即

3030

x y y z -+=-= 因此可取n=(3,1,3)

设平面PBC 的法向量为m ，则 00

m PB m BC ?=?= 可取m=

（0，-1，3-） 427

cos ,727

m n -=

=-

故二面角A -PB -C 的余弦值为 277-

【2012新课标】19. 如图，直三棱柱111ABC A B C -中，

11

2

AC BC AA ==

，D 是棱1AA 的中点，BD DC ⊥1 （1）证明：BC DC ⊥1 （2）求二面角11C BD A --的大小。

【答案】（1）在Rt DAC ?中，AD AC = 得：45ADC ?∠= 同理：1114590A DC CDC ??∠=?∠=

得：111,DC DC DC BD DC ⊥⊥?⊥面1BCD DC BC ?⊥ （2）11,DC BC CC BC BC ⊥⊥?⊥面11ACC A BC AC ?⊥ 取11A B 的中点O ，过点O 作OH BD ⊥于点H ，连接11,C O C H 1111111AC B C C O A B =?⊥，面111A B C ⊥面1A BD 1C O ?⊥面1A BD

1OH BD C H BD ⊥?⊥ 得：点H 和点D 重合 且1C DO ∠是二面角11C BD A --的平面角

设AC a =，则122

a

C O =

，1112230C D a C O C DO ?==?∠= 既二面角11C BD A --的大小为30?

【2013新课标1】18、（本小题满分12分）

如图，三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，CA=CB ，AB=A A 1， ∠BAA 1=60°.

（Ⅰ）证明AB ⊥A 1C;

（Ⅱ）若平面ABC ⊥平面AA 1B 1B ，AB=CB=2，求直线A 1C 和平面BB 1C 1C 所成角的正弦值。

【答案】（Ⅰ）取AB 中点E ，连结CE ，1A B ，1A E ，∵AB=1AA ，1BAA ∠=060，∴1BAA ?是正三角形，∴1A E ⊥AB ， ∵CA=CB ， ∴CE ⊥AB ， ∵1CE A E ?=E ，∴AB ⊥面1CEA ， ∴AB ⊥1A C ；

（Ⅱ）由（Ⅰ）知EC ⊥AB ，1EA ⊥AB ，

又∵面ABC ⊥面11ABB A ，面ABC∩面11ABB A =AB ，∴EC ⊥面11ABB A ，∴EC ⊥1EA ，∴EA ，EC ，1EA 两两相互垂直，以E 为坐标原点，

的方向为x 轴正方向，|

|为单位长度，建立

如图所示空间直角坐标系O xyz -，由题设知A(1,0,0),1A (0,3,0),C(0,0,3),B(－1,0,0),则=

（1,0，3）,=

=(－1,0,3),

=(0,－3,3), 设n =(,,)x y z 是平面11CBB C 的法向

量， 则

，即3030

x z x y ?+=??+=??，

可取n =（3，1，-1）， ∴

=

10

5

，

∴直线A 1C 和平面BB 1C 1C

所成角的正弦值为

105

.

【2013新课标2】18．如图，直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，D ，E 分别是AB ，BB 1的中点，AA 1＝AC ＝CB ＝

2

AB . (1)证明：BC 1∥平面A 1CD ；

(2)求二面角D －A 1C －E 的正弦值． 【答案】

(1)连结AC 1交A 1C 于点F ，则F 为AC 1中点．又D 是AB 中点，连结DF ，则BC 1∥DF . 因为DF ?平面A 1CD ，BC 1平面A 1CD ， 所以BC 1∥平面A 1CD .

(2)由AC ＝CB ＝

2

2

AB 得，AC ⊥BC . 以C 为坐标原点，

的方向为x 轴正方向，建立如图所示的空间直

角坐标系C －xyz .

设CA ＝2，则D (1,1,0)，E (0,2,1)，A 1(2,0,2)，

＝(1,1,0)，

＝(0,2,1)，

＝(2,0,2)．

设n ＝(x 1，y 1，z 1)是平面A 1CD 的法向量， 则

即1111

0,

220.x y x z +=??+=? 可取n ＝(1，－1，－1)．

同理，设m 是平面A 1CE 的法向量，则

可取m ＝(2,1，－2)．

从而cos 〈n ，m 〉＝

3

||||=

·n m n m ，故sin 〈n ，m 〉＝63.即二面角D －A 1C －E 的正弦值为63.

【2014新课标1】19．如图，三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，侧面BB 1C 1C 为菱形，AB ⊥B 1C ． （Ⅰ ）证明：AC=AB 1；

（Ⅱ ）若AC ⊥AB 1，∠CBB 1=60°，AB=BC ，求二面角A ﹣A 1B 1﹣C 1的余弦值． 【答案】 （1）连结BC 1，交B 1C 于点O ，连结AO ，∵侧面BB 1C 1C

为菱形， ∴BC 1⊥B 1C ，且O 为BC 1和B 1C 的中点，又 ∵AB ⊥B 1C ，∴B 1C ⊥平面ABO ， ∵AO ?平面ABO ，∴B 1C ⊥AO ， 又B 1O=CO ， ∴AC=AB 1， （2） ∵AC ⊥AB 1，且O 为B 1C 的中点，∴AO=CO ， 又 ∵AB=BC ，∴△BOA ≌△BOC ，∴OA ⊥OB ， ∴OA ，OB ，OB 1两两垂直， 以O 为坐标原点，

的方向为x 轴的正方向，|

|为单位长度，

的方向为y 轴的正方向，

的方向为z 轴的正方向建立空间直角坐标系，

∵∠CBB 1=60°，∴△CBB 1为正三角形，又AB=BC ， ∴A （0，0，），B （1，0，0，），B 1（0，，0），C （0，

，0） ∴

=（0，

，

），

=

=（1，0，

），

==（﹣1，

，0），

设向量=（x ，y ，z ）是平面AA 1B 1的法向量，

则，可取=（1，，），

同理可得平面A 1B 1C 1的一个法向量=（1，﹣，），

∴cos ＜，＞==， ∴二面角A ﹣A 1B 1

﹣C 1的余弦值为

【2014新课标2】18.如图，四棱锥P -ABCD 中，底面

ABCD 为矩形，PA ⊥平面ABCD ，E 为PD 的中点. （Ⅰ）证明：PB ∥平面AEC ；

（Ⅱ）设二面角D -AE -C 为60°，AP=1，3，求

三棱锥E -ACD 的体积. 【答案】

（1）连结BD 交AC 于点O,连结EO

因为ABCD 为矩形，所以O 为BD 的中点 又E 为的PD 的中点，所以EO ∥PB

EO ?平面AEC,PB ?平面AEC ，所以PB ∥平面AEC

（2）因为PA ⊥平面ABCD ，ABCD 为矩形，所以AB,AD,AP 两两垂直 如图，以A 为坐标原点，

的方向为x 轴的正方向，

为单位长，建立空间直角坐标系，

则A—xyz,则3则E(0,

32

,

12),=(0,

32,1

2

) 设B(m,0,0)(m ＞0)，则C （3，0）设n(x,y,z)为平面ACE

的法向量，则{

即{ 0

1

023

2

3mx y z +=+= 可取1n =3

-31n =（1,0,0）为平面DAE 的法向量， 由题设12cos(,)n n =12，2334m +12，解得m=3

2

因为E 为PD 的中点，所以三棱锥E -ACD

的高为

12，三棱锥E -ACD 的体积为V=13?12?3?32?1

23

【2015新课标1】（18）如图，四边形ABCD 为菱形， ∠ABC=120°，E ，F 是平面ABCD 同一侧的两点，

BE ⊥平面ABCD ，DF ⊥平面ABCD ，BE=2DF ，AE ⊥EC 。 （1）证明：平面AEC ⊥平面AFC

（2）求直线AE 和直线CF 所成角的余弦值

【2015新课标2】如图，长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AB = 16，BC = 10，AA 1 = 8，点E ，F 分别在A 1B 1，D 1C 1上，A 1E = D 1F = 4，过点E ，F 的平面α和此长方体的面相交，交线围成

一个正方形。

（1）在图中画出这个正方形（不必说明画法和理由）； （2）求直线AF 和平面α所成的角的正弦值。 【答案】

D D 1 C 1

A 1 E

F

A

B

C B 1

【2016新课标1】18. 如图，在已A ，B ，C ，D ，E ，F 为顶

点的五面体中，面ABEF 为正方形，AF =2FD ，

90AFD ∠=，且二面角D -AF -E 和二面角C -BE -F 都是60．

（I ）证明平面ABEF ⊥EFDC ； （II ）求二面角E -BC -A 的余弦值． 【答案】（I ）,AF FE AF FD ⊥⊥，AF FECD ⊥面，

又

AF ABFE ?面,所以平面ABEF ⊥EFDC ；

（II ）以E 为坐标原点，EF ，EB 分别为x 轴和y 轴建立空间直角坐标系（如图），设2AF =，则1FD =，因为二面角D -AF -E 和二面角C -BE -F 都是60，即60o EFD FEC ∠=∠=，

易得(0,2,0)B ,(2,2,0)A ,13(,0,22

C ，

设平面EBC 和平面ABCD 的法向量分别为

和

，则

令11x =，则1130,y z ==，

由，

令22z =，则2230,2

x y ==

，

，二面角E -BC -A 余弦值219

19

-

. 【2016新课标2】19. 如图，菱形ABCD 的对角线AC 和BD 交于点O ，5AB =，6AC =，点E ，

F 分别在AD ，CD 上，5

4

AE CF ==，EF 交BD 于点H .将

△DEF 沿EF 折到△D EF '的位置10OD '=.

（I ）证明：D H '⊥平面ABCD ； （II ）求二面角B D A C '--的正弦值. 【答案】

⑴证明：∵，∴，∴．

∵四边形为菱形，∴，∴，∴，∴．∵，∴；

又，，∴，∴，∴，∴，

∴．又∵， ∴面． ⑵建立如图坐标系．，

，，，

,

,

设面法向量，

由

得，取 ∴．同理可得面的法向量

,

， ∴

【2016新课标3】(19)如图，四棱锥P －ABCD 中，P A ⊥平面ABCD ，AD ∥BC ，AB ＝AD ＝AC ＝3，P A ＝BC ＝4，

M 为线段AD 上一点，AM ＝2MD ，N 为PC 的中点。

5

4AE CF ==AE CF AD CD

=EF AC ∥ABCD AC BD ⊥EF BD ⊥EF DH ⊥EF DH

'⊥6AC =3AO =5AB =AO OB ⊥4OB =1AE OH OD AO

=?=3DH D H '==222

'OD OH D H '=+'D H OH ⊥OH EF H ='D H ⊥ABCD H xyz -()500B ，，()130C ，，()'003D ，，()130A -，，'ABD 430330x y x y z +=??-++=?3

45

x y z =??=-??=?

'AD C 295

sin 25

θ=

N

M

D

B

C

A

P

z

y

x

N

M

D

C

A

P

（1）证明：MN ∥平面P AB

（2）求直线AN 和平面PMN 所成角的正弦值. 【答案】

【2017新课标1】18. 如图，在四棱锥P -ABCD 中，AB//CD ，且90BAP CDP ∠=∠=. （1）证明：平面PAB ⊥平面PAD ；

（2）若PA =PD =AB =DC ，90APD ∠=，求二面角A -PB -C 的余弦值. 【答案】

（1）由已知90BAP CDP ∠=∠=?，得AB ⊥AP ，CD ⊥PD . 由于AB ∥CD ，故AB ⊥PD ，从而AB ⊥平面PAD . 又AB ?平面PAB ，所以平面PAB ⊥平面PAD . （2）在平面PAD 内做PF AD ⊥，垂足为F ，由（1）可知，AB ⊥平面PAD ，故

AB PF ⊥，可得PF ⊥平面ABCD . 以F 为坐标原点，

的方向为x 轴正方向，

为单位长，

建立如图所示的空间直角坐标系F xyz -。由（1）及已知可得

2(

,0,0)2A ，2(0,0,)2P ，2

(,1,0)2

B ，2(,1,0)2

C -， 所以

，

，

，

设(,,)x y z =n 是平面PCB 的法向量，则

，即22

022

20x y z x ?-+-=???=?

，可取(0,1,2)=--n . 设(,,)x y z =m 是平面PAB 的法向量，则

，即22

00

x z y ?-=?

?=?

，可取(1,0,1)=n ，则3cos ,||||?==-<>n m n m n m ， 所以二面角A PB C --的余弦值为33

-

。 【2017新课标2】19. 如图，四棱锥P -ABCD 中，侧面PAD 为等比三角形且垂直于底面ABCD ，

o 1

,90,2

AB BC AD BAD ABC ==

∠=∠= E 是PD 的中点. （1）证明：直线//CE 平面PAB

（2）点M 在棱PC 上，且直线BM 和底面ABCD 所成锐角为o 45 ，求二面角M -AB -D 的余弦值 【答案】

（1）令PA 中点为F ，连结EF ，BF ，CE ．

∵E ，F 为PD ，PA 中点，∴EF 为PAD △的中位线，∴1

2

EF AD ∥．又∵90BAD ABC ∠=∠=?，

∴BC AD ∥，又∵12AB BC AD ==，∴1

2

BC AD ∥，∴EF BC ∥．∴四边形BCEF 为平行四边形，

∴CE BF ∥，又∵BF PAB ?面，∴CE PAB 面∥

（2）以AD 中点O 为原点，如图建立空间直角坐标系．设1AB BC ==，

则(000)O ，，，(010)A -，，，(110)B -，，，(100)C ，，，(010)D ，，，，(003)P ，，． M 在底面ABCD 上的投影为M '，∴MM BM ''⊥．∵45MBM '∠=?，∴MBM '△为等腰直角三角形． ∵POC △为直角三角形，3

3

OC OP =，∴60PCO ∠=?． 设MM a '=，3CM '=

，3

1OM '=．∴3100M ??'- ? ???

，，． 2

22

231610133BM a a a a ??'=++=+=?= ? ???

∴32

11OM '=-

=．∴2100M ??' ? ???，，2610M ?- ??

， ．设平面ABM 的法向量．

116

0y z =，，．

设平面ABD 的法向量为，

，∴

∴二面角M AB D --10． 【2017新课标3】19. 如图，四面体ABCD 中，△ABC 是正三角形，△ACD 是直角三角

形．，AB BD ． （1）证明：平面平面ABC ； （2）过AC 的平面交BD 于点E ，若平面AEC 把四面体ABCD 分成体积相等的两部分．求二面角D AE C 的余弦值． 【分析】⑴取AC 中点为O ，连接BO ，DO ；

∵D ABC 为等边三角形 ∴BO AC ⊥ ∴AB BC =

AB BC BD BD

ABD DBC =??

=??∠=∠?

ABD CBD ∴???. ∴AD CD =,即ACD ?为等腰直角三角形，ADC ∠为直角又O 为底边AC 中点 ∴DO AC ⊥

令AB a =，则AB AC BC BD a ====，易得：2OD =，3

OB =

z

y

x

M 'M

O

F

P

A

B

C

D

E

D

A

B

C E

O

∴2

2

2

OD OB BD +=，由勾股定理的逆定理可得2

DOB π

∠=，

即OD OB ⊥

OD ^AC OD ^OB AC ∵OB =O AC ìABC OB ìABC ìí?

??

?

??

?OD ABC ∴⊥平面 又∵OD ADC ?平面， 由面面垂直的判定定理可得ADC ABC ⊥平面平面

⑵由题意可知V V D ACE B ACE --=，即B ,D 到平面ACE 的距离相等，即E 为BD 中点，以O 为原点，

为x 轴正方向，

为y 轴正方向，

为z 轴正方向，设AC a =，建立空间直角坐标系，

则()0,0,0O ，,0,02a A ?? ???，0,0,2a D ?

? ???，30,,0B a ?? ? ???，30,,4a E a ?? ? ???

易得：

，，

设平面AED 的法向量为，平面AEC 的法向量为

，

则

，解得

，解得

若二面角D AE C --为θ，易知θ为锐角，则

【2018新课标1】18. 如图，四边形ABCD 为正方形，E ，

F 分别为AD ，BC 的中点，以DF 为折痕把DFC △折起，使点C 到达点P 的位置，且PF BF ⊥． （1）证明：平面PEF ⊥平面ABFD ；

（2）求DP 和平面ABFD 所成角的正弦值． 【分析】

（1）由已知可得，BF ⊥PF ，BF ⊥EF ，所以BF ⊥平面PEF ． 又BF ?平面ABFD ，所以平面PEF ⊥平面ABFD ．

（2）作PH ⊥EF ，垂足为H ．由（1）得，PH ⊥平面ABFD ． 以H 为坐标原点，

的方向为y 轴正方向，

为单位

长，建立如图所示的空间直角坐标系H ?xyz ．

由（1）可得，DE ⊥PE ．又DP =2，DE =1，所以PE =3． 又PF =1，EF =2，故PE ⊥PF ．可得33

,22

PH EH ==． 则

为平面ABFD 的法向量．

D

A

B

C E

y

x

O

z

设DP 和平面ABFD 所成角为θ，则

．

所以DP 和平面ABFD 所成角的正弦值为

3．

【2018新课标2】20. 如图，在三棱锥P ABC -中，

22AB BC ==，4PA PB PC AC ====，O 为AC 的中点．

（1）证明：PO ⊥平面ABC ；

（2）若点M 在棱BC 上，且二面角M PA C --为30?，求PC 和平面PAM 所成角的正弦值． 【分析】

（1）因为4AP CP AC ===，O 为AC 的中点，所以

OP AC ⊥，且23OP =.

连结OB ，因为2

AB BC AC ==，所以ABC △为等腰直角三角形， 且OB AC ⊥，1

22

OB AC =

=. 由222OP OB PB += 知PO OB ⊥.由,OP OB OP AC ⊥⊥知PO ⊥平面ABC .

（2）如图，以O 为坐标原点，的方向为x 轴正方向，建立

空间直角坐标系O xyz -.

由已知得：O (0,0,0),B (2,0,0),A (0,-2,0),C (0,2,0),P (0,0,23)

取平面PAC 的法向量

.

设(,2,0)(02)M a a a -<≤，则. 设平面PAM 的法向量为(,,)x y z =n . 由

得2230(4)0

y z ax a y ?+=??+-=??，可取(3(4),3,)a a a =--n ， 所以

.由已知得

.

所以

222

23|4|3=

223(4)3a a a a --++.解得4a =-（舍去），4

3

a =. 所以83434

(,,)3

=-

-n .又，所以

.

所以PC 和平面PAM 所成角的正弦值为

3

4

. 【2018新课标3】19. 如图，边长为2的正方形ABCD 所在平面和半圆弧CD 所在平面垂直，M 是CD 上异于C ，D 的点．

P

A

O

C

M

（1）证明：平面AMD ⊥平面BMC ；

（2）当三棱锥M ABC -体积最大时，求面MAB 和面MCD 所成二面角的正弦值． 【分析】

（1）由题设知，平面CMD ⊥平面ABCD ，交线为CD ．因为BC ⊥CD ，BC 平面ABCD ，所以BC ⊥平面CMD ，故BC ⊥DM ．

因为M 为上异于C ，D 的点，且DC 为直径，所以 DM ⊥CM ． 又 BC

CM =C ，所以DM ⊥平面BMC ．

而DM 平面AMD ，故平面AMD ⊥平面BMC ． （2）以D 为坐标原点，

的方向为x 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系D ?xyz ．

当三棱锥M ?ABC 体积最大时，M 为的中点． 由题设得：

，

设是平面MAB 的法向量，则

即可取．

是平面MCD 的法向量，因此

，

，

所以面MAB 和面MCD 所成二面角的正弦值是

?CD ?CD (0,0,0),(2,0,0),(2,2,0),(0,2,0),(0,1,1)D A B C M (,,)x y z =n 20,

20.x y z y -++=??

=?

(1,0,2)=n 25