正弦函数、余弦函数、正切函数的图像和性质
正弦,余弦,正切函数的图像 与性质
性
典例一：1.函数y＝sin(π＋x)，x∈的单调增区间是____________． 2. 求下列函数的单调增区间．
(1)y＝1－sin ； (2)y＝log(cos 2x)．
典例二：1.函数y＝的定义域是____________． 2.函数y＝的定义域是________________． 3. 求函数f(x)＝lg sin x＋的定义域． 典例三：1.函数y＝3tan的对称中心的坐标是 ________________________________ 2.函数y＝sin的最小正周期是，则ω＝______. 典例四：1.怎样由函数y＝sin x的图象变换得到y＝sin的图象，试叙述这 一过程．
课后作业 1.某同学给出了以下论断： ①将y＝cos x的图象向右平移个单位，得到y＝sin x的图象； ②将y＝sin x的图象向右平移2个单位，可得到y＝sin(x＋2)的图象； ③将y＝sin(－x)的图象向左平移2个单位，得到y＝sin(－x－2)的图象； ④函数y＝sin的图象是由y＝sin 2x的图象向左平移个单位而得到的． 其中正确的结论是______(将所有正确结论的序号都填上)．
4.下列函数中，不是周期函数的是( ) A．y＝|cos x| B．y＝cos|x| C．y＝|sin x| D．y＝sin|x|
5．定义在R上的函数f(x)既是奇函数又是周期函数，若f(x)的最小正周期 为π，且当x∈时，f(x)＝sin x，则f的值为( ) A．－ B. C．－ D.
6.为了得到函数y＝sin的图象，只需把函数y＝sin的图象( ) A．向左平移个长度单位 B．向右平移个长度单位 C．向左平移个长度单位 D．向右平移个长度单位
2.函数y＝tan(sin x)的值域为( )． A. B． C．[－tan 1，tan 1] D．以上均不对
余弦函数和正切函数的图像及性质课件
-4π
-3π
-2π
-π
o-1Biblioteka 余弦函数的单调性y
1
-3π
5π 2
-2π
3π 2
-π
π
2
o
-1
π
2
π
3π 2
2π
5π 2
3π
7π 2
4π
x
y=cosx (x∈R) ∈ π π ∈ 增区间为 [ π +2kπ, 2kπ],k∈Z π π ∈ 减区间为 [2kπ, 2kπ + π], k∈Z ， 其值从-1增至 其值从 增至1 增至 减至-1 其值从 1减至 减至
π
x= 2kπ时 ymax=1 x= 2kπ+ π时 ymin=-1 周期为T=2π 偶
π
在x∈[2kπ， 2kπ+ π ] 上都是增函数 , 在x∈[2kπ- π ， 2kπ ] 上都是减函数 。 (kπ+ π ,0) 2
对称中心 对称轴
π
2
x = kπ
正切函数的图像和性质
回忆： 回忆：怎样利用单位圆中的正弦线作出 图像的? y = sin x 图像的?
一、y=sinx 与 y=cosx 的性质
函 数 y= sinx 性质
(k∈z) ∈
y= cosx x∈ R [-1,1]
(k∈z) ∈
定义域 值域 最值及相应的 x 的集合 周期性 奇偶性 单调性
x∈ R [-1,1] x= 2kπ+ 2 时 ymax=1 x=2kπ- π 时 ymin=-1 2 周期为T=2π 奇 在x∈[2kπ- π, 2kπ+ ]2上 2 都是增函数 , 在 π 3 x∈[2kπ+ ，2kπ+ ]上π 2 2 都是减函数. (kπ,0) x = kπ+
正弦余弦正切函数图象
1-
643 34 6
y 3 1 3 3 1 3 0
3
3
o
1 -
2
-
3
2
x
2
(2) 描点
2-
(3) 连线
正切函数图像： ytanx,
y
xxR,且 xk2,kZ
思考：
2
正切函数 ytanx
1
图像是否有渐近线？
3 2
2
o
1 2
3 2
x
渐近线方程：
2
xk,(kZ)
2
二、三角函数图象的性质
上平移一个
单位得到的
.●
2
x
y=sinx
(2)按五个关键点列表
x
0
2
3 2
2
cosx 1 0 -1 0 1
-cosx
.y
1
o
-1 ●
-1 0 1 0 -y1= -cosx和
y=cosx 关
. y= cosx x [0,2 ] 于X轴对称 ●
.●
2
.
.3●
2
2
●
x
y= - cosx x [0, 2]
y=cosx
左移
2
y=cosx y=sinx
余弦曲线
返回目录
二、正弦函数的“五点画图法”
(0,0)、( , 1)、( ,0)、( 3 ,-1)、 (2 ,0)
2
2
y
1
●
●
0Hale Waihona Puke 2-1●3
2
●
●
2
x
y
●
1
●
0
2
-1
常见三角函数图像及其性质
常见三角函数图像及其性质三角函数介绍正弦函数主词条：正弦函数格式：sin（θ）作用：在直角三角形中，将大小为θ（单位为弧度）的角对边长度比斜边长度的比值求出，函数值为上述比的比值，也是csc（θ）的倒数函数图像：波形曲线值域：[]1,1-余弦函数主词条：余弦函数格式：cos（θ）作用：在直角三角形中，将大小为（单位为弧度）的角邻边长度比斜边长度的比值求出，函数值为上述比的比值，也是sec（θ）的倒数函数图像：波形曲线值域：[]1,1-正切函数主词条：正切函数格式：tan（θ）作用：在直角三角形中，将大小为θ（单位为弧度）的角对边长度比邻边长度的比值求出，函数值为上述比的比值，也是cot（θ）的倒数。
函数图像：上图平面直角坐标系反映值域：()∞-∞，+余切函数主词条：余切函数格式：cot（θ）作用：在直角三角形中，将大小为θ（单位为弧度）的角邻边长度比对边长度的比值求出，函数值为上述比的比值，也是tan（θ）的倒数值域：()∞-∞，+正割函数主词条：正割函数格式：sec（θ）作用：在直角三角形中，将斜边长度比大小为θ（单位为弧度）的角邻边长度的比值求出，函数值为上述比的比值，也是cos（θ）的倒数函数图像：上图平面直角坐标系反映值域：(][)∞-1-，1∞，+余割函数主词条：余割函数格式：csc（θ）作用：在直角三角形中，将斜边长度比大小为θ（单位为弧度）的角对边长度的比值求出，函数值为上述比的比值，也是sin（θ）的倒数值域：(][)∞-1-∞，+，1。
1.3.2余弦、正切函数的图象与性质
π π y = 3tan u在u ?（kπ ，kπ + ），k Z 上单调递增. 2 2 1 π π 1 π π \ y = 3tan( x + )在kπ - 〈 x + 〈kπ + 2 4 2 2 4 2
即x ?（2kπ
3 π π，kπ + ）上单调递增. 2 2 2
课堂小结
π π 1、y = tanx的作图是平移在（ - ， ）上的图象得到的. 2 2
π y 例4:求下列函数的周期， = 3tan(2 x + ). 4
分析：利用周期函数定义及正切函数最小正周 期为π.
4 解：f（x） 3tan（2 x + ） = π
π = 3tan(2 x + + π) 4 轾 π π = 3tan 犏 x + ) + 2( 犏 2 4 臌
π \ 周期T = 2
π 周期T 2
π (1) y 3 tan(2 x ); 4
π f (x ) 2
1 π （2）变题y=3tan（ x + ） 2 4
1 π 解： f ( x) 3tan( x ) 2 4 1 π 3tan( x π) 2 4
1 π 3tan[ ( x 2π) ] 2 4
新课导入
提问： 1、正弦函数 性质？
y sin x, x R
都有哪些
2、正弦函数的两个代数性质：
sin( x 2 ) sin x,sin( x) sin x
反映了正弦函数图象的什么几何特征？
教学目标
知识与能力
利用正切函数已有的知识（如定义、诱 导公式、正切线等）研究性质，根据性质探 究正切函数的图象.
三角函数的图像和性质
(ω>0)的最小正周期为π，则函数 ( π B．关于直线x＝ 对称 8 π D．关于点8 ，0对称 )
π 2π 解析：∵f(x)＝sin ωx＋4 的最小正周期为π，∴ ω ＝π，ω＝2， π π π 3π ∴f(x)＝sin 2x＋4 ．当x＝ 时，2x＋ ＝ ，∴A、C错误；当x 4 4 4
[即时应用] 求函数 y＝cos x＋sin
2
π x|x|≤ 4的最大值与最小值．
π 2 2 解：令 t＝sin x，∵|x|≤ ，∴t∈－ ， ． 4 2 2
∴y＝－t
2
1 2 5 ＋t＋1＝－t－2 ＋ ， 4
1－ 2 1 5 2 ∴当 t＝ 时，ymax＝ ，当 t＝－ 时，ymin＝ ． 2 4 2 2 ∴函数 y＝cos x＋sin
2．求三角函数单调区间的 2 种方法 (1)代换法： 就是将比较复杂的三角函数含自变量的代 数式整体当作一个角 u(或 t)，利用基本三角函数的单调性 列不等式求解． (2)图象法：画出三角函数的正、余弦曲线，结合图象 求它的单调区间．
[演练冲关] π 1．最小正周期为π且图象关于直线x＝ 对称的函数是( 3
π π B，因为sin2×3－6 ＝sin
π ＝1，所以选B． 2
答案：B
2．函数
π y＝cos4－2x的单调减区间为____________． π π y＝cos4－2x＝cos2x－4 得
解析：由
π 2kπ≤2x－ ≤2kπ＋π(k∈Z)， 4 π 5π 解得 kπ＋ ≤x≤kπ＋ (k∈Z)． 8 8
π π π π 3 在 3，2 上单调递减知， ＝ ，∴ω＝ ． 2ω 3 2
三角函数的图象与性质
-
;
-1
y=cosx
2 3
4 5 4 5
6 x 6 x
五.定义域 、值域及取到最值时相应的x的集合:
-6 -5
-4 -3
复习回顾
-2 -
y y=sinx
1 o
-1
2 3
y
si-n6x的对称-5轴：x
k -4
2-,3对 称点-：2(k
,0);
-
y cosx的对称轴：x k , 对称点：(k ,0);
1.4.1正弦、余弦函数的图象
复习
回顾 三角函数
三角函数线
正弦函数 余弦函数 正切函数
sin=MP
正弦线MP cos=OM 余弦线OM tan=AT 正切线AT
y PT
-1
O
M A(1,0) x
正弦、余弦函数的图象
问题：如何作出正弦、余弦函数的图象？
途径：利用单位圆中正弦、余弦线来解决。
描图：用光滑曲线
复习回顾
一.正弦余弦函数的作图： 几何描点法（利用三角函数线） 五点法作简图
二.周期性：
函数y Asin(x )和y Acos(x )，x R的周期T 2 | |
三.奇偶性：
y sin x为奇函数，图像关于原点对称； y cosx为偶函数图像关于y轴对称。
-6 -5
-4 -3
复习回顾 y y=sinx
(0,11)
3
( 2 ,1)
-
(-o12 ,0)
( 2 ,0)
2
( ,-1)
3
线
4
5 6 x
正弦、余弦函数的图象
y
五点画图法
1
(
2
,1)
三角函数的图像与性质
三角函数的图像与性质三角函数是数学中的重要概念，它们在几何、物理、工程等领域中都有广泛的应用。
本文将介绍三角函数的图像与性质，包括正弦函数、余弦函数和正切函数。
正弦函数的图像与性质正弦函数是最基本的三角函数之一，它表示一个周期性变化的曲线。
正弦函数的图像可以通过在单位圆上取点来得到。
在单位圆上，我们可以将角度与坐标点联系起来，从而得到正弦函数的图像。
正弦函数的图像是一个连续的曲线，它在每个周期内都会经过最高点和最低点。
正弦函数的周期是360度或2π弧度，即在一个周期内，正弦函数的值会重复出现。
正弦函数的最高点和最低点分别为1和-1，它们对应于角度为90度或π/2弧度和270度或3π/2弧度。
正弦函数还具有以下性质： - 正弦函数是奇函数，即f(-x)=-f(x)。
- 正弦函数在0度或0弧度时取得最小值0。
- 正弦函数在90度或π/2弧度时取得最大值1。
- 正弦函数在180度或π弧度时取得最小值0。
- 正弦函数在270度或3π/2弧度时取得最大值-1。
余弦函数的图像与性质余弦函数是另一个常见的三角函数，它也表示一个周期性变化的曲线。
余弦函数的图像可以通过在单位圆上取点来得到。
与正弦函数类似，余弦函数的图像也是一个连续的曲线，它在每个周期内都会经过最高点和最低点。
余弦函数的周期也是360度或2π弧度，即在一个周期内，余弦函数的值会重复出现。
余弦函数的最高点和最低点分别为1和-1，它们对应于角度为0度或0弧度和180度或π弧度。
余弦函数还具有以下性质： - 余弦函数是偶函数，即f(-x)=f(x)。
- 余弦函数在0度或0弧度时取得最大值1。
- 余弦函数在90度或π/2弧度时取得最小值0。
- 余弦函数在180度或π弧度时取得最大值-1。
- 余弦函数在270度或3π/2弧度时取得最小值0。
正切函数的图像与性质正切函数是三角函数中的另一个重要概念，它表示一个周期性变化的曲线。
正切函数的图像可以通过在单位圆上取点来得到。
三角函数基本性质
三角函数基本性质三角函数是数学中常见的函数类型，它们在解决几何、物理和工程问题中起到了重要的作用。
本文将介绍三角函数的基本性质，包括定义域、值域、周期性等。
1. 正弦函数（sin）的基本性质：正弦函数的定义域为实数集R，值域为闭区间[-1, 1]。
其图像为一条连续的曲线，通过坐标原点，关于y轴对称。
正弦函数是一个周期函数，其周期为2π（或360度）。
在定义域内，正弦函数是奇函数，即满足sin(-x) = -sin(x)。
2. 余弦函数（cos）的基本性质：余弦函数的定义域为实数集R，值域为闭区间[-1, 1]。
其图像为一条连续的曲线，通过坐标原点，关于x轴对称。
余弦函数也是一个周期函数，其周期为2π（或360度）。
在定义域内，余弦函数是偶函数，即满足cos(-x) = cos(x)。
3. 正切函数（tan）的基本性质：正切函数的定义域为实数集R，在其定义域内，正切函数有无穷多个极值点。
其图像没有定义域内的极值点，但在周期性为π的点处有无穷多个间断点。
正切函数的值域为实数集R。
4. 余切函数（cot）的基本性质：余切函数的定义域为实数集R，在其定义域内，余切函数有无穷多个极值点。
其图像没有定义域内的极值点，但在周期性为π的点处有无穷多个间断点。
余切函数的值域为实数集R。
5. 正割函数（sec）的基本性质：正割函数的定义域为实数集R，其在定义域内没有极值点。
其图像在周期性为2π的点处有无穷多个间断点。
注意到正割函数与余弦函数的关系，即sec(x) = 1/cos(x)。
6. 余割函数（csc）的基本性质：余割函数的定义域为实数集R，其在定义域内没有极值点。
其图像在周期性为2π的点处有无穷多个间断点。
注意到余割函数与正弦函数的关系，即csc(x) = 1/sin(x)。
三角函数的基本性质对于解决几何、物理和工程问题至关重要。
在解决角度、周期性、波动等问题时，我们可以利用这些性质计算和推导。
三角函数还与复数、级数等数学概念有着广泛的联系，为更深入的数学研究提供了基础。
三角函数图像与性质
图3－4－2 A．2，－ B．2，－ C．4，－ D．4，
自测后你觉得哪类题做起来困难呢？那我们一起来解决吧！
典例：
题型一三角函数的定义域和值域
(1)函数y＝ 的定义域为________．
A．向右平移 个单位B．向右平移 个单位C．向左平移 个单位D．向左平移 个单位
3．[2014·福建卷]将函数y＝sinx的图像向左平移 个单位，得到函数y＝f(x)的图像，则下列说法正确的是()
A．y＝f(x)是奇函数B．y＝f(x)的周期为π
C．y＝f(x)的图像关于直线x＝ 对称D．y＝f(x)的图像关于点 对称
导疑：由解析式求函数定义域应考虑________.
导学：由tanx-1 0得tanx 1所以x ________．
所以所求定义域为________.
(2)求下列函数的值域①y＝2cos2x＋2cosx②y＝3cosx－ sinx，x∈[0，π]；
导疑：二次函数给定区间如何求值域？形如y＝Asin(ωx＋φ)函数的值域？
A. B.
C. D.
2．函数f(x)＝2cos 是()
A．最小正周期为2π的奇函数B．最小正周期为2π的偶函数
C．最小正周期为2π的非奇非偶函数D．最小正周期为π的偶函数
3．函数f(x)＝sin 的图象的一条对称轴是()
A．x＝ B．x＝ C．x＝－ D．x＝－
4．比较大小：sin ________sin .
A．A＝3，T＝ ，φ＝－ B．A＝1，T＝ ，φ＝
C．A＝1，T＝ ，φ＝－ D．A＝1，T＝ ，φ＝－
图3－4－3图3－4－4