第6章 离散概率分布
第六章概率分析
T 70 65 60 56
正态分布表的应用
①将原始数据整理为次数 分布表； ②计算各组上限以下累加 次数； ③计算各组中点以下累加 次数； ④计算各组中点以下累积 比率； ⑤查正态分布表，将概率 转化为Z分数； ⑥将正态化以后的Z值进行 线性转换：T=10Z+50
140135130125-
120115110105100959085807570-
122
117 112 107 102 97 92 87 82 77 72
28
16 16 8 9 8 7 6 6 5 5
0.14
-0.17 -0.40 -0.59 -0.73 -0.90 -1.06 -1.25 -1.46 -1.70 -2.12
51
48 46 44 43 41 39 38 35 33 29
分析：包括两种情况：先抽一黑球、后抽一白球；
先抽一白球、后抽一黑球。
3 2 2 3 P 0.48 5 5 5 5
例4
一枚硬币掷3次，或三枚硬币各掷一次，问出现两
次或两次以上H的概率是多少？
解：可能出现的情况有：HHH HHT HTH THH TTH
THT HTT TTT共8种。每种情况出现的概率，为
根据随机变量的取值是否连续，可将随机变量分为
离散型随机变量与连续型随机变量。
当随机变量只取孤立的数值，这种随机变量称为离
散型随机变量。如投掷一枚硬币4次，几次正面朝上？因 取值只能为0、1、2、3、4，故为离散型随机变量。
离散分布与连续分布
离散型随机变量的概率分布称作离散分布。连续分
布是指连续型随机变量的概率分布，即测量数据的概率 分布。心理统计学中最常用的连续型分布是正态分布。
概率分布公式大揭秘离散与连续变量的概率分布
概率分布公式大揭秘离散与连续变量的概率分布概率分布公式大揭秘：离散与连续变量的概率分布概率分布是描述随机变量可能取值的概率的函数或模型。
它在统计学和概率论中有广泛的应用，用于分析和预测随机事件的发生概率。
根据随机变量的性质，概率分布可分为离散概率分布和连续概率分布两种类型。
本文将揭示离散和连续变量的概率分布公式及其特点。
一、离散变量的概率分布公式离散变量是指在一定范围内只能取有限个或可列个数值的变量。
常见的离散变量包括二项分布、泊松分布和几何分布等。
下面介绍几种常见离散变量的概率分布公式：1. 二项分布二项分布用于描述在n次独立重复试验中成功次数的概率分布。
其概率质量函数为：P(X=k) = C(n,k) * p^k * (1-p)^(n-k)其中，n为试验次数，p为单次试验成功的概率，k为成功次数，C(n,k)为组合数，表示从n次试验中取k次成功的不同组合方式数目。
2. 泊松分布泊松分布适用于描述单位时间或空间内随机事件发生次数的概率分布。
其概率质量函数为：P(X=k) = (λ^k * e^(-λ)) / k!其中，λ为单位时间或空间内平均发生的次数。
3. 几何分布几何分布用于描述进行独立重复试验直到第一次成功的概率分布。
其概率质量函数为：P(X=k) = (1-p)^(k-1) * p其中，p为单次试验成功的概率，k为进行试验的次数。
二、连续变量的概率分布公式连续变量是指能够取无穷多个数值的变量。
常见的连续变量包括均匀分布、正态分布和指数分布等。
下面介绍几种常见连续变量的概率分布公式：1. 均匀分布均匀分布描述在一段区间内取值均匀分布的随机变量。
其概率密度函数为：f(x) = 1 / (b-a) (a ≤ x ≤ b)= 0 (其他情况)其中，a和b为区间的上下界。
2. 正态分布正态分布是最为常见的连续概率分布之一，也称为高斯分布。
其概率密度函数为：f(x) = (1 / √(2πσ^2)) * e^(-(x-μ)^2 / (2σ^2))其中，μ为均值，σ为标准差。
医学统计学课件：第六章 几种离散型变量的分布及其应用
2020/10/18
医学统计学 第六章 几种离散型变量的分布及其应用
1.52 SPSS: 常用PDF函数(23种)
11
BERNOULLI：贝努里。
BINOM：二项分布。
CHISQ：卡方分布。
第七章。
F：F分布，第四章。
NORMAL：正态分布。
POISSON：泊松分布。
下一节。
T：t分布。
UNIFORM：均匀分布。
从阳性率为 的总体中随机抽取大小为 n 的
样本，则出现阳性数为 X 的概率分布呈二项分布，
记为 X~B(n,)。
2020/10/18
医学统计学 第六章 几种离散型变量的分布及其应用
1.2 二项分布，binomial distribution
6
用某药治疗某种疾病，其疗效分为有效或无效， 每个病案的有效率相同； 在动物的致死性试验中，动物的死亡或生存； 接触某种病毒性疾病的传播媒介后，感染或非 感染等。
X 2 X 1 X 0
n 3，( (1 ))3 3 3 2(1 ) 3 (1 )2 (1 )3
2020/10/18
XБайду номын сангаас3
X 2 X 1
X 0
医学统计学 第六章 几种离散型变量的分布及其应用
1.5 例6-1 二项分布概率的计算
9
某种药物治疗某种非传染性疾病的有效率为 0.70。今用该药治疗该疾病患者10人。计算10 人中有6人、7人、8人有效概率。
P(8) 10! 0.708 (1 0.70)108 0.23347 8!(10 8)!
2020/10/18
医学统计学 第六章 几种离散型变量的分布及其应用
1.51 SPSS: PDF函数
数学中的概率分布离散型分布的应用
数学中的概率分布离散型分布的应用数学是一门应用广泛的学科，在各个领域中都有着重要的作用。
概率分布是数学中一个重要的概念，通过对事件发生的可能性进行量化和描述，可以帮助我们预测和解释各种现象。
离散型分布是概率分布中的一种重要形式，它在生活和工作中有着广泛的应用。
本文将重点讨论数学中的概率分布离散型分布的应用。
一、泊松分布在事件发生率的描述中的应用泊松分布是一种常用的离散型分布，它被广泛应用于描述一段时间内某个事件发生的次数。
比如，在某个时间段内，电话呼叫中心接到的电话数量就可以使用泊松分布进行描述。
泊松分布的应用可以帮助我们分析和预测电话呼叫中心的忙时和闲时，从而合理分配人力资源，提高工作效率。
二、二项分布在二元事件中的应用二项分布是一种常见的离散型分布，它在描述二元事件中成功次数的概率上有广泛的应用。
比如，在赌场中投掷硬币的结果就属于二元事件，我们可以使用二项分布来描述投掷硬币连续n次正面朝上的次数的概率。
二项分布的应用不仅局限于赌博场景，在质量控制的过程中，我们也可以使用二项分布来描述制造过程中合格品的数量，从而帮助我们确定质量控制的标准。
三、几何分布在首次成功的模型中的应用几何分布是一种反映在多次试验中首次成功所需的试验次数的离散型分布。
比如，在一小时内接到第一个电话的等待时间可以使用几何分布进行建模。
几何分布的应用可以帮助我们理解和预测一系列独立重复试验中的第一个成功出现的概率和时间，对于生产和服务过程中的优化具有重要作用。
四、超几何分布在不放回抽样中的应用超几何分布是一种反映从有限的总体进行不放回抽样的离散型分布。
比如，在制药工业中对质量的检验通常使用不放回抽样的方法，我们可以使用超几何分布来描述在不放回抽样中正确样本的数量。
超几何分布的应用可以帮助我们对制药工业中的质量问题进行分析和解决。
五、波松分布在次数分布中的应用波松分布还可以用来描述某个确定时间段内事件发生的次数分布。
比如，在一个小时内进入商场的顾客数量就可以使用波松分布进行建模。
离散型随机变量的概率分布
X
pk
x1
p1
x2
p2
…
…
xn
pn
…
…
第2章
§2.2 离散型随机变量及其概率分布
第3页
分布列具有如下性质： （1）非负性： pi ≥ 0 （2）规范性： （i=1,2，…）
i
p
i 1
1
例2 已知随机变量X的概率分布为：
(3) 汽车司机刹车时，轮胎接触地面的点的位置是在[0, 2r]上取值的随机变量，其中r 是轮胎的半径．
第2章
§2.2 离散型随机变量及其概率分布
第2页
定义4 设离散型随机变量X所有可能的取值为 x1 , x2 , … , xn , … X取各个值的概率，即事件{X=xi}的概率为
P { X = xi } = pi （i = 1, 2, …）
k 3 k C4 C6 可表示为 P{ X k} (k 0,1,2,3) 3 C10
C 4 C6 C4 3 1 P{X 2} , P{X 3} 3 3 10 C10 C10 30
4红
X
pk
0
1 6
1
1 2
2
3 10
3
1 30
第2章
§2.2 离散型随机变量及其概率分布
X P
0 1 2
1 1 1 2 2
2 1 1 1 2 2 2
3 11 1 22 2
第2章
§2.2 离散型随机变量及其概率分布
第13页
2.1.2 常见的离散型随机变量 1. 0-1分布 若随机变量 X 只可能取 0 和 1 两个值，概率分布为
离散随机变量及其概率分布知识点整理
离散随机变量及其概率分布知识点整理
离散随机变量是概率论和统计学中一种常见的数学模型，用于
描述只能取有限或可数个取值的随机变量。
在本文档中，我们将介
绍离散随机变量的相关概念和概率分布的基本知识点。
1.离散随机变量的定义
离散随机变量是一种随机变量，它只能取有限个或可数个取值。
离散随机变量的取值可以是整数或一系列离散的数值。
离散随机变量的取值的概率由概率质量函数（probability mass n）表示。
2.概率质量函数（PMF）
概率质量函数是离散随机变量的概率分布函数。
概率质量函数将每个可能的取值与其对应的概率关联起来，表
示为 P(X = x) = p(x)，其中 X 表示随机变量，x 表示取值。
3.期望值
期望值是离散随机变量的平均值。
期望值可以通过将每个取值与其对应的概率相乘，然后求和得到。
期望值的符号表示为 E(X) 或μ。
4.方差
方差是离散随机变量的离散程度的度量。
方差可以通过计算每个取值与期望值的差的平方乘以对应的概率，然后求和得到。
方差的符号表示为 Var(X)。
5.常见的离散分布
伯努利分布：描述只有两个可能取值的随机变量，如抛硬币的结果。
二项分布：描述重复进行若干次独立实验，并且每次实验只有两个可能结果的情况。
泊松分布：描述在一段时间或空间距离内事件发生次数的概率分布。
几何分布：描述进行重复独立的伯努利试验，直到第一次成功的次数的概率分布。
以上是关于离散随机变量及其概率分布的基本知识点整理。
希望对你的学习有所帮助！。
常见的离散型随机变量的概率分布标准版文档
(II) 贝努里概型 和 二项分布 例6 设生男孩的概率为p,生女孩的概率为 q=1-p，令X表示随机抽查出生的4个婴儿 中“男孩”的个数.
我们来求X的概率分布.
X表示随机抽查的4个婴儿中男孩的个数，
生男孩的概率为 p.
男女
X=0 X =1 X =2 X =3 X =4
X的概率分布是：
X可取值0,1,2,3,4.
X()=
1, = 1 0, = 2
例 5 200件产品中,有196件是正品,4
件是次品,今从中随机地抽取一件,若规
定
1, 取到合格品
X()=
0, 取到不合格品
则 P{X=1}=196/200=0.98, P{X=0}=4/200=0.02
故 X服从参数为0.98的两点分布 . 即 X ∼ B(1,0.98).
注: 贝努里概型对试验结果没有等可能 的要求，但有下述要求： （1）每次试验条件相同；
（2）每次试验只考虑两个互逆结果A或 A ，
且P(A)=p ，P(A)1p； （3）各次试验相互独立.
二项分布描述的是n重贝努里试验中出现 “成功”次数X的概率分布.
例8 某类灯泡使用时数在2000小时以上视为正 品.已知有一大批这类的灯泡,其次品率是0.2. 随机抽出20只灯泡做寿命试验,求这20只灯泡 中恰有3只是次品的概率.
X= X1+X2+ +Xn 其密度函数和分布函数常用 和
表示：
~N(0,1)
(IV)、标准正态分布
0,1的正态分布称为标准正态分布.
其密度函数和分布函数常用 (x)和(x)表示：
(x)
1
x2
e2,
x
2
(x) 1
离散概率分布模型
离散概率分布模型是概率论中的一个重要概念，用于描述随机变量的概率分布情况。
它是概率论中最常见和基础的模型之一，被广泛应用于各个领域，如金融、统计学、工程、生物学等。
离散概率分布模型通常由两个部分组成：随机变量和概率分布函数。
随机变量是一个可以取得不同离散数值的随机事件，而概率分布函数描述了随机变量取各个值的概率。
最常见的离散概率分布模型之一是伯努利分布模型。
伯努利分布模型常用于描述只有两个可能结果的离散随机变量，比如投硬币的结果（正面或反面）。
该模型的概率分布函数可以用一个参数来描述，即随机事件发生的概率。
当随机事件发生时，伯努利分布模型返回1；否则，返回0。
这种模型的应用广泛，如用于描述二分类问题或者判断用户点击广告的行为。
另一个经典的离散概率分布模型是泊松分布模型。
泊松分布模型用于描述单位时间或空间内随机事件发生的次数。
比如，描述一天内银行门口排队人数的分布，或者描述一定时间内到达交通信号灯的汽车数量的分布。
泊松分布模型的概率分布函数由一个参数λ来描述，即在单位时间（或空间）内随机事件发生的平均次数。
泊松分布模型常应用于描述随机事件的稀有性质。
在金融领域，离散概率分布模型广泛应用于期权定价。
期权是一种金融衍生品，其价格取决于股票价格的变化和时间的变化。
离散概率分布模型可以用来描述股票价格的变化以及在不同时间下期权价格的分布情况。
通过建立合适的离散概率分布模型，可以根据历史数据和市场情况对期权价格进行预测和定价，辅助投资者进行决策。
同时，在统计学中，离散概率分布模型也扮演着重要的角色。
统计学是研究数据分布、收集和分析数据以及进行推断的学科。
离散概率分布模型可以用来描述不同事件的概率分布情况，从而帮助分析员理解数据的变化规律。
比如，二项分布模型常用于描述重复试验中成功次数的分布情况，从而用于研究市场营销中的用户转化率、产品的次品率等问题。
总之，离散概率分布模型在概率论、金融、统计学等领域发挥着重要作用。
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2016/6/3
商学院
5
离散型随机变量
随机变量 X 取有限个值或所有取值都可以逐个 列举出来 x1 , x2，…
以确定的概率取这些不同的值 离散型随机变量的一些例子
试验 随机变量 可能的取值
抽查100个产品 一家餐馆营业一天 电脑公司一个月的销售 销售一辆汽车
2016/6/3
取到次品的个数 顾客数 销售量 顾客性别
D( X ) ( xi ) p i
2 2
方差的平方根称为标准差 (standard deviation) ， 记为 或D(X)
i
2016/6/3
商学院
14
离散型数学期望和方差
(例题分析)
【例】一家电脑配件供应商声称，他所提供的配 件100个中拥有次品的个数及概率如下表
i
0.8397
15
2016/6/3
商学院
The probability distribution for damage claims paid by the Newton Automobile Insurance Company on collision insurance follows.
(2) P(X=2)=0.35
(3) P(X 2)=0.10+0.25+0.35=0.70
(4) P(X1)=0.35+0.30=0.65
2016/6/3
商学院
11
离散型随机变量的数学期望 和方差
2016/6/3
商学院
12
离散型随机变量的数学期望
(expected value)
离散型随机变量X的所有可能取值xi与其取相对应的 概率pi乘积之和 描述离散型随机变量取值的集中程度 记为 或E(X) 计算公式为
统计学
statistics
李欣先 Email:lixinxian2005@ tongjxxx@
2016/6/3 商学院 1
第6章离散概率分布
（Discrete Probability Distributions）
第1节 什么是概率（ what is a probability） 第2节 概率求解方法（ approach to probability ） 第 3 节 几 个 概 率 法 则 （ some rules of
2016/6/3 商学院 26
泊松分布
(概率分布函数)
e P X x x!
( x 0,1,2,, 0)
— 给定的时间间隔、长度、面 积、体积内“成功”的平均数 e = 2.71828 x —给定的时间间隔、长度、面 积、体积内“成功”的次数
2016/6/3Biblioteka 商学院 27payment
0
500
1000 3000 5000 8000 10000 0.03 0.02 0.01 0.01
probabilit 0.85 0.04 0.04 y
2016/6/3 商学院
16
a. Use the expected collision payment to determine the collision insurance premium that would enable the company to break even. b. The insurance company charges an annual rate of $520 for the collision coverage. What is the expected value of the collision policy for a policyholder? (Hint: It is the expected payments from the company minus the cost of coverage.) Why does the policyholder purchase a collision policy with this expected value?
也称0-1分布
2016/6/3 商学院 19
两点分布
(例题分析)
【例】已知一批产品的次品率为p＝0.04，合格率 为 q=1-p=1-0.04=0.96 。并指定废品用 1 表示，合 格品用 0 表示。则任取一件为废品或合格品这一 离散型随机变量，其概率分布为
X = xi
0
1
0.95
商学院
P(x) 1 0.5 0
P(X=xi)=pi 0.05
2016/6/3
1
x
20
二项试验
(伯努利试验)
二项分布与伯努利试验有关 贝努里试验满足下列条件
一次试验只有两个可能结果，即“成功”和 “失败”
“成功”是指我们感兴趣的某种特征
2016/6/3
一次试验“成功”的概率为p ，失败的概率为q =1- p，且概率p对每次试验都是相同的 试验是相互独立的，并可以重复进行n次 在n次试验中，“成功”的次数对应一个离散型 随机变量X 商学院
x x n x C p n q xm
当 n = 1 时，二项分布化简为
P X x p q
2016/6/3 商学院
x 1 x
1， x 0,1
23
二项分布
【例】已知一批产品的次品率为4%，从中任意有放回地 抽取5个。求5个产品中： (1) 没有次品的概率是多少？ (2) 恰好有1个次品的概率是多少？ (3) 有3个以下次品的概率是多少？
2016/6/3
商学院
17
常用离散型概率分布
离散型 概率分布
两点分布
二项分布
泊松分布
超几何分布
2016/6/3
商学院
18
两点分布
一个离散型随机变量X只取0和1两个可能的 值 它们的概率分布为
P( X 1) p
或
P( X 0) 1 p q
(0 p 1)
P( X x) p x q1 x
4. P(X =xi)=pi称为离散型随机变量的概率函数 pi0 ； pi 1
i 1 n
2016/6/3
商学院
9
离散型随机变量的概率分布
(例题分析)
【例】一部电梯在一周内发生故障的次 数X及相应的概率如下表
一部电梯一周发生故障的次数及概率分布
故障次数X = xi 概率P(X=xi)pi
0,1,2, …,100 0,1,2, … 0,1, 2,… 男性为0,女性为1
6
商学院
连续型随机变量
可以取一个或多个区间中任何值 所有可能取值不可以逐个列举出来，而是取数 轴上某一区间内的任意点 连续型随机变量的一些例子
试验 随机变量 可能的取值
X0 使用寿命(小时) 抽查一批电子元件 半年后工程完成的百分比 0 X 100 新建一座住宅楼 X0 测量一个产品的长度 测量误差(cm)
2016/6/3 商学院 25
泊松分布
(Poisson distribution) 1837 年法国数学家泊松 (D.Poisson ， 1781—1840) 首次提 出 用于描述在一指定时间范围内或在一定的长度、面 积、体积之内每一事件出现次数的分布 泊松分布的例子
一定时间段内，某航空公司接到的订票电话数 一定时间内，到车站等候公共汽车的人数 一定路段内，路面出现大损坏的次数 一定时间段内，放射性物质放射的粒子数 一匹布上发现的疵点个数 一定页数的书刊上出现的错别字个数
0 0.10
1 0.25
2 0.35
3
(1) 确定的值 (2) 求正好发生两次故障的概率 (3) 求故障次数多于一次的概率 (4) 最多发生一次故障的概率
2016/6/3 商学院 10
离散型随机变量的概率分布
解：(1) 由于0.10+0.25+0.35+ =1
所以， =0.30
(例题分析)
2016/6/3 商学院 3.2.6 常见的连续型概率分布 3
随机变量
2016/6/3
商学院
4
随机变量
(random variables)
一次试验的结果的数值性描述 一般用 X，Y，Z 来表示 例如： 投掷两枚硬币出现正面的数量 根据取值情况的不同分为离散型随机变量 （discrete random variables）和连续型 随机变量（continuous random variables）
n! x! ( n x )!
商学院 22
2016/6/3
二项分布
对于P(X=x) 0， x =1,2,…,n，有
x x n x 2 C p q ( p q ) 1 n x 0 n
同样有
x P0 X m C n p x q n x x 0 n
m
Pm X n
E ( X ) xi p i E ( X ) xi p i
i i 1
n
( X取有限个值） ( X取无穷个值）
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2016/6/3
商学院
离散型随机变量的方差
(variance) 随机变量 X的每一个取值与期望值的离差平方和 的数学期望，记为 2 或D(X) 描述离散型随机变量取值的分散程度 计算公式为
(例题分析)
2016/6/3
商学院
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A university found that 20% of its students withdraw without completing the introductory statistics course. Assume that 20 students registered for the course. a. Compute the probability that two or fewer will withdraw. b. Compute the probability that exactly four will withdraw. c. Compute the probability that more than three will withdraw. d. Compute the expected number of withdrawals.