全国版高考数学必刷题:第十一单元 不等式

全国版高考数学必刷题:第十一单元  不等式
全国版高考数学必刷题:第十一单元  不等式

第十一单元 不等式

考点一 不等式的性质及不等式的解法

1.(2017年山东卷)若a>b>0,且ab=1,则下列不等式成立的是( ).

A.a+1b

a

b )

B.b 2a

C.a+1b

a

D.log 2(a+b )

a

【解析】由题意知a>1,0

a <1,log 2(a+

b )>log 22√ab =1,2a+1

b >a+1b >a+b ?a+1b

>log 2(a+b ).故选B . 【答案】B

2.(2016年北京卷)已知x ,y ∈R ,且x>y>0,则( ).

A.1x -1y

>0 B.sin x-sin y>0

C.(12)x -(12

)y <0 D.ln x+ln y>0

【解析】∵x>y>0,∴1x <1y ,即1x -1y <0,故A 不正确.当x>y>0时,不能说明sin x>sin y ,如x=π,y=π2

,x>y ,但sin π

,故B 不正确.∵函数y=(12

)x 在R 上为减函数,且x>y>0,所以(12

)x <(12

)y ,即(12

)x -(12

)y <0,故C 正确.当

x=1,y=1

2时,ln x+ln y<0,故D 不正确.

【答案】C

3.(2016年全国Ⅰ卷)设集合A={x|x 2

-4x+3<0},B={x|2x-3>0},则A ∩B=( ).

A.(-3,-32)

B.(-3,32

)

C.(1,32

)

D.(32

,3)

【解析】因为A={x|132},所以A ∩B={x |32

,3). 【答案】D

4.(2016年全国Ⅲ卷)设集合S={x|(x-2)(x-3)≥0},T={x|x>0},则S ∩T=( ).

A.[2,3]

B.(-∞,2]∪[3,+∞)

C.[3,+∞)

D.(0,2]∪[3,+∞)

【解析】∵S={x|x ≤2或x ≥3},T={x|x>0},∴S ∩T=(0,2]∪[3,+∞). 【答案】D

考点二 简单的线性规划

5.(2017年全国Ⅱ卷)设x ,y 满足约束条件{2x +3y -3≤0,

2x -3y +3≥0,y +3≥0,

则z=2x+y 的最小值是( ).

A.-15

B.-9

C.1

D.9

【解析】由题意知目标区域如图中阴影部分所示,当直线y=-2x+z 过点(-6,-3)时,故所求z 取到最小值为

-15.

【答案】A

6.(2016年山东卷)若变量x ,y 满足{x +y ≤2,

2x -3y ≤9,x ≥0,

则x 2+y 2

的最大值是( ).

A.4

B.9

C.10

D.12

【解析】由约束条件画出可行域如图(阴影部分)所示,可知x 2

+y 2

为可行域内的点到原点距离的平方,联立

{x +y =2,2x -3y =9,

解得交点为(3,-1),结合图形可知(x 2+y 2)max =(√32+(?1)2)2

=10. 【答案】C

7.(2016年浙江卷)在平面上,过点P 作直线l 的垂线所得的垂足称为点P 在直线l 上的投影.由区域{x -2≤0,

x +y ≥0,x -3y +4≥0

中的点在直线x+y-2=0上的投影构成的线段记为AB ,则|AB|=( ). A.2√2

B.4

C.3√2

D.6

【解析】画出不等式组满足的可行域如图阴影部分所示.

因为直线x+y=0与直线x+y-2=0平行,且直线x-3y+4=0的斜率k=1

3<1,所以可行域中的点在直线x+y-2=0上的投影构成的线段AB 的长度即为图中的线段EF 的长度,所以|EF|=|AB|.联立方程组

{x +y =0,x -3y +4=0,解得点E 的坐标为(-1,1);联立方程组{x +y =0,x =2,

解得点F 的坐标为(2,-2).所以|EF|=√(2+1)2+(?2?1)2=3√2.

【答案】C

8.(2017年全国Ⅰ卷)设x ,y 满足约束条件{x +2y ≤1,

2x +y ≥?1,x -y ≤0,

则z=3x-2y 的最小值为 .

【解析】不等式组{x +2y ≤1,

2x +y ≥?1,x -y ≤0

表示的平面区域如图中阴影部分所示.由z=3x-2y ,得y=32x-z

2

,要求z 的

最小值,即求直

线y=32

x-z 2

的纵截距的最大值.当直线y=32

x-z 2

过图中点A 时,纵截距最大,

由{2x +y =?1,x +2y =1,解得点A 的坐标为(-1,1),此时z=3×(-1)-2×1=-5. 【答案】-5

9.(2016年全国Ⅰ卷)某高科技企业生产产品A 和产品B 需要甲、乙两种新型材料.生产一件产品A 需要甲材料1.5 kg ,乙材料1 kg ,用5个工时;生产一件产品B 需要甲材料0.5 kg ,乙材料0.3 kg ,用3个工时.生产一件产品A 的利润为2100元,生产一件产品B 的利润为900元,该企业现有甲材料 150 kg ,乙材料90 kg ,则在不超过600个工时的条件下,生产产品A 、产品B 的利润之和的最大值为 元.

【解析】设生产产品A 、产品B 分别为x 件、y 件,利润之和为z 元,由题意得,x ,y 满足的关系为 {

1.5x +0.5y ≤150,

x +0.3y ≤90,5x +3y ≤600,x ≥0,y ≥0.

① 目标函数z=2100x+900y.

二元一次不等式组①即{

3x +y ≤300,10x +3y ≤900,5x +3y ≤600,x ≥0,y ≥0.

如图所示,作出二元一次不等式组②表示的平面区域(阴影部分). 将z=2100x+900y 变形,得y=-73

x+

z

900

,平移直线y=-73x ,当直线y=-73x+z

900经过点M 时,z

取得最大值.解方程组{10x+3y=900,

5x+3y=600,得点M的坐标为(60,100).

所以当x=60,y=100时,z max=2100×60+900×100=216000.

【答案】216000

考点三基本不等式

10.(2015年陕西卷)设f(x)=ln x,0

2),r=1

2

(f(a)+f(b)),则下列关系式中正确的是().

A.q=r

B.p=r

C.q=r>p

D.p=r>q

【解析】由题意知,p=f(√ab)=ln√ab,q=f(a+b

2)=ln(a+b

2

),r=1

2

(f(a)+f(b))=1

2

(ln a+ln b)=1

2

ln ab=ln√ab.

∵b>a>0,∴a+b

2

>√ab>0.

又∵函数f(x)=ln x为增函数,∴p=r

【答案】B

11.(2017年江苏卷)某公司一年购买某种货物600吨,每次购买x吨,运费为6万元/次,一年的总存储费用为4x万元.要使一年的总运费与总存储费用之和最小,则x的值是.

【解析】一年的总运费与总存储费用之和为6×600

x +4x=3600

x

+4x≥2√3600×4=240,当且仅当3600

x

=4x,

即x=30时取等号.

【答案】30

高频考点:不等式的性质及应用;解(含参数的)一元二次不等式及一元二次不等式恒成立;解分式、指数、对数不等式;线性规划;基本不等式及其简单应用.

命题特点:1.不等式的性质及应用是不等式的基础内容,主要以客观题形式呈现,难度不大.

2.解一元二次不等式及分式不等式为容易题,主要以选择题、填空题出现.常与集合的交集、并集、补

集结合,难度不大;解(含参数的)一元二次不等式及一元二次不等式恒成立问题是高考的热点,主要出现在综合题中,常与函数、导数联系在一起,难度较大.

3.利用线性规划求目标函数的最值问题是每年高考必考内容,一般以选择题、填空题的形式出现,难度适

中.利用线性规划解决实际问题也是高考的热点,试题一般是解决实际问题的最值问题,难度不大.

4.对基本不等式的考查是高考热点之一,但基本不单独命题,多与其他知识综合命题.

§11.1不等式性质与一元二次不等式

一不等式的性质

(1)对称性:a>b?b

(2)传递性:a>b,b>c?a>c;

(3)可加性:a>b?a+c b+c;a>b,c>d?a+c b+d;

(4)可乘性:a>b,c>0?ac bc;a>b>0,c>d>0?ac bd;

(5)可乘方:a>b>0?a n b n(n∈N,n≥1);

(6)可开方:a>b>0?√a n√b n(n∈N,n≥2).

二解一元二次不等式

判别式Δ=b2-4acΔ>0Δ=0Δ<0

一元二次方程

ax2+bx+c=0 (a>0)有两个相异实根

x1,x2(x1

有两个相等实根没有实数根

的根

x 1=x 2=-b 2a

ax 2+bx+c>0 (a>0)的解集

{x |x ≠?

b 2a

} R

ax 2+bx+c<0 (a>0)的解集

?

? 左学右考

(2016皖南八校联考)已知a ,b ∈R ,下列命题正确的是( ).

A.若a>b ,则|a|>|b|

B.若a>b ,则1a <1b

C.若|a|>b ,则a 2>b 2

D.若a>|b|,则a 2>b 2

已知ab>0,则“b<1a

”是“a<1b

”的( ).

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

(2017资阳一诊)关于x 的不等式x 2

+px-2<0的解集是(q ,1),则p+q 的值为( ).

A.-2

B.-1

C.1

D.2

(2017中原名校联考)若不等式x 2

-2x+5≥a 2

-3a 对任意实数x 恒成立,则实数a 的取值范围为( ).

A.[-1,4]

B.(-∞,-2]∪[5,+∞)

C.(-∞,-1]∪[4,+∞)

D.[-2,5]

知识清单

一、(3) > > (4) > > (5) > (6) > 二、{x|xx 2} {x|x 1

基础训练

1.【解析】当a=1,b=-2时,选项A 、B 、C 均不正确;对于选项D ,a>|b|≥0,则a 2

>b 2

. 【答案】D

2.【解析】由b<1a ,ab>0得ab 2

>0,所以a<1b ,同理,由a<1b 可得b<1a

.

【答案】C

3.【解析】依题意得q ,1是方程x 2

+px-2=0的两根,则q+1=-p ,即p+q=-1. 【答案】B

4.【解析】因为x 2

-2x+5=(x-1)2

+4的最小值为4,所以要使x 2

-2x+5≥a 2

-3a 对任意实数x 恒成立,只需a 2

-3a ≤4,解得-1≤a ≤4. 【答案】A

题型一 不等关系、不等式的性质及应用

【例1】 (1)已知a 1,a 2∈(0,1),记M=a 1a 2,N=a 1+a 2-1,则M 与N 的大小关系是( ).

A.M

B.M >N

C.M=N

D.不确定

(2)(2017山东济南模拟)“x 1>3且x 2>3”是“x 1+x 2>6且x 1x 2>9”的( ). A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

(3)(2017西安八校联考)设a>b>1,c<0,给出下列三个结论:①c a >c

b

;②a c

;③log b (a-c )>log a (b-c ).其中正确结论的序号是( ).

A.①

B.①②

C.②③

D.①②③

【解析】(1)M-N=a 1a 2-(a 1+a 2-1)=a 1a 2-a 1-a 2+1=(a 1-1)(a 2-1),∵a 1,a 2∈(0,1),∴a 1-1<0,a 2-1<0,∴(a 1-1)(a 2-1)>0,即M-N>0,∴M >N.

(2)x 1>3,x 2>3?x 1+x 2>6,x 1x 2>9;反之不成立,例如x 1=12,x 2=20,x 1+x 2=412

>6,x 1x 2=10>9,但x 1<3.故“x 1>3且x 2>3”是“x 1+x 2>6且x 1x 2>9”的充分不必要条件.

(3)由不等式及a>b>1知1a <1b

,又c<0,所以c a >c b

,①正确;由指数函数的图象与性质知②正确;由a>b>1,c<0知

a-c>b-c>1-c>1,由对数函数的图象与性质知③正确.

【答案】(1)B (2)A (3)D

【变式训练1】(1)(2017黄冈质检)已知x>y>z ,x+y+z=0,则下列不等式中成立的是( ). A.xy>yz B.xz>yz C.xy>xz D.x|y|>z|y|

(2)(2016贵阳期末)已知a>0,且a ≠1,m=a a

2+1

,n=a a+1

,则( ).

A.m ≥n

B.m>n

C.m

D.m ≤n

(3)(2017广州模拟)已知实数x ,y 满足{1≤x +y ≤3,

-1≤x -y ≤1, 则4x+2y 的取值范围是 .

【解析】(1)∵x>y>z ,x+y+z=0,∴3x>x+y+z=0,3z0,z<0. 由{x >0,y >z,

可得xy>xz. (2)由题易知m>0,n>0,两式作商,得m n

=a (a 2+1)?(a+1)

=a a (a-1),当a>1时,a (a-1)>0,∴a a (a-1)>a 0=1,即m>n ;当0

时,a (a-1)<0,∴a a (a-1

)>a 0

=1,即m>n.

综上,对任意的a>0,且a ≠1,都有m>n. (3)令4x+2y=m (x+y )+n (x-y ),则{

m +n =4,m -n =2, 解得{m =3,

n =1.

则4x+2y=3(x+y )+(x-y ),∵1≤x+y ≤3,∴3≤3(x+y )≤9. 又∵-1≤x-y ≤1,∴2≤3(x+y )+(x-y )≤10.

∴2≤4x+2y ≤10.

【答案】(1)C (2)B (3)[2,10]

题型二 一元二次不等式的解法及应用

【例2】(1)已知不等式x 2-2x-3<0的解集为A ,不等式x 2+x-6<0的解集为B ,不等式x 2

+ax+b<0的解集为A ∩B ,

则a+b 等于( ).

A.-3

B.1

C.-1

D.3

(2)(2017惠州质检)已知不等式ax 2

-5x+b>0的解集为{x|-3

-5x+a>0的解集是( ). A.{x |-1

3

}

B.{x |-12

}

C.{x |x 12

}

D.{x |x 13

}

【解析】(1)由题意得,A={x|-1

(2)由题意得方程ax 2

-5x+b=0的两根分别为-3,2,于是{

-3+2=--5a

,-3×2=

b

a ?{a =?5,

b =30,

于是不等式bx 2-5x+a>0即为30x 2

-5x-5>0,

即(3x+1)(2x-1)>0?x<-13

或x>12

. 【答案】(1)A (2)C

解一元二次不等式的一般步骤是:①化为标准形式(二次项系数大于0);②确定判别式Δ的符号;③若【变式训练2】(1)不等式组{x 2-4x +3<0,

2x 2-7x +6>0

的解集是( ).

A.(2,3)

B.(1,32

)∪(2,3)

C.(-∞,3

2

)∪(3,+∞) D.(-∞,1)∪(2,+∞)

(2)(2017福州质检)已知一元二次不等式f(x)≤0的解集为{x|x≤1

2

或x≥3},则f(e x)>0的解集为().

A.{x|xln 3}

B.{x|ln 2

C.{x|x

D.{x|-ln 2

【解析】(1)∵x2-4x+3<0,∴10,∴(x-2)(2x-3)>0,∴x<3

2

或x>2,

∴原不等式组的解集为(1,3

2

)∪(2,3).

(2)由题意知f(x)>0的解集为{x|1

20得1

2

2

【答案】(1)B(2)D

题型三解含参数的一元二次不等式

【例3】(1)对于任意实数x,不等式(a-2)x2-2(a-2)x-4<0恒成立,则实数a的取值范围是().

A.(-∞,2)

B.(-∞,2]

C.(-2,2)

D.(-2,2]

(2)若0

a

)>0的解集是.

(3)(2017河北张家口质检)若不等式x2+ax-2>0在区间[1,5]上有解,则a的取值范围是().

A.(-23

5,+∞) B.[-23

5

,1]

C.(1,+∞)

D.(-∞,23

5

]

【解析】(1)当a-2=0,即a=2时,-4<0,恒成立;

当a-2≠0时,则{a-2<0,

4(a-2)2+16(a-2)<0,解得-2

(2)由题意可得原不等式为(x-a)(x-1

a )<0,由0

a

,所以a

a

.

(3)由Δ=a 2

+8>0知方程恒有两个不等实根,又知两根之积为负,所以方程必有一个正根、一个负根.于是

不等式在区间[1,5]上有解的充要条件是f (5)>0,解得a>-235,故a 的取值范围为(-

23

5

,+∞). 【答案】(1)D (2){x |a

} (3)A

解含参数的一元二次不等式时分类讨论的依据:(1)二次项中若含有参数应讨论是等于0,小于0,还是大于

【变式训练3】(1)(2017温州模拟)若不等式(x-a )(x-b )<0的解集为{x|1

(2)(2017沈阳模拟)若关于x 的二次不等式x 2

+mx+1≥0的解集为R ,则实数m 的取值范围是 .

【解析】(1)因为不等式(x-a )(x-b )<0的解集为{x|1

b =1.

所以a+b=1+2=3,即a+b 的值为3.

(2)不等式x 2

+mx+1≥0的解集为R ,相当于二次函数y=x 2

+mx+1的最小值非负,即方程x 2

+mx+1=0最多有一

个实根,故Δ=m 2

-4≤0,解得-2≤m ≤2.

【答案】(1)A (2)[-2,2]

方法 一元二次不等式的恒成立问题

一元二次不等式的恒成立问题,常根据二次函数的图象与x 轴的交点情况确定判别式的符号,进而求出

参数的取值范围.恒大于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x 轴上方;恒小于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x 轴下方.一元二次不等式的恒成立问题常常转化为求二次函数的最值或用分离参数求最值.

【突破训练】(1)若不等式2kx 2

+kx-3

8

<0对一切实数x 都成立,则k 的取值范围为( ).

A.(-3,0)

B.[-3,0)

C.[-3,0]

D.(-3,0]

(2)设函数f (x )=mx 2

-mx-1(m ≠0),若对于任意x ∈[1,3],f (x )<-m+5恒成立,求m 的取值范围是 .

【解析】(1)当k=0时,不等式显然成立; 当k ≠0时,要使一元二次不等式2kx

2

+kx-38<0

对一切实数x 都成立,则{k <0,

k 2-4×2k ×(-38

)<0,

解得-3

综上,满足不等式2kx 2

+kx-38

<0对一切实数x 都成立的k 的取值范围是(-3,0].

(2)要使f (x )<-m+5在[1,3]上恒成立,则mx 2

-mx+m-6<0,

即m (x -12)2+34

m-6<0在x ∈[1,3]上恒成立.

令g (x )=m (x -12)2+34

m-6,x ∈[1,3].

当m>0时,g (x )在[1,3]上是增函数,所以g (x )max =g (3)=7m-6<0, 所以m<67

,则0

;

当m<0时,g (x )在[1,3]上是减函数,所以g (x )max =g (1)=m-6<0, 所以m<6,即m<0.

综上所述,m 的取值范围是(-∞,0)∪(0,6

7

).

【答案】(1)D (2)(-∞,0)∪(0,6

7

)

1.(2016南昌联考)若a>b>0,c

A .a d >b c

B .a d

C .a c >b d

D .a c

【解析】(法一)令a=3,b=2,c=-3,d=-2, 则a c

=-1,b d

=-1,排除选项C ,D ;

又a d =-32,b c =-23,所以a d

,所以选项A 错误,故选B .

(法二)因为c

d <1

c

<0.又a>b>0,所以a

d

c

.

【答案】B

2.(2017福建三明模拟)若集合A={x|x

x-1

≤0},B={x|x2<2x},则A∩B等于().

A.{x|0

B.{x|0≤x<1}

C.{x|0

D.{x|0≤x≤1}

【解析】集合A={x|x

x-1

≤0}={x|0≤x<1},B={x|x2<2x}={x|0

【答案】A

3.(2017晋城模拟)已知a,b,c∈R,给出下列命题:

①若a>b,则ac2>bc2;②若ab≠0,则a b+b a≥2;③若a>b>0,n∈N*,则a n>b n;④若log a b<0(a>0,a≠1),则(a-1)·(b-1)<0.其中真命题的个数为().

A.2

B.3

C.4

D.1

【解析】当c=0时,①错;a,b异号时,②错;当x>0,n∈N*时,y=x n在(0,+∞)上单调递增,③正确;当01,此时(a-1)(b-1)<0,当a>1时,由log a b<0,得0

【答案】A

4.(2017年安徽合肥质检)若不等式5-x>7|x+1|与不等式ax2+bx-2>0有相同的解集,则().

A.a=-8,b=-10

B.a=-1,b=9

C.a=-4,b=-9

D.a=-1,b=2

【解析】由不等式5-x>7|x+1|可知5-x>0,两边平方得(5-x)2>49(x+1)2,整理得4x2+9x+2<0,即-4x2-9x-2>0.因为两不等式的解集相同,所以可得a=-4,b=-9.

【答案】C

5.(2016皖南八校联考)已知x,y∈R,且2x+3y>2-y+3-x,则下列各式中正确的是().

A.x-y>0

B.x+y<0

C.x-y<0

D.x+y>0

【解析】∵2x+3y>2-y+3-x,∴2x-3-x>2-y-3y,令f(x)=2x-3-x,则易知f(x)在(-∞,+∞)上为增函

数.∵f(x)>f(-y),∴x>-y,即x+y>0.

【答案】D

6.(2016淄博模拟)不等式x2-2x+5≥a2-3a对任意实数x恒成立,则实数a的取值范围为().

A.[-1,4]

B.(-∞,-2]∪[5,+∞)

C.(-∞,-1]∪[4,+∞)

D.[-2,5]

【解析】由x∈R,x2-2x+5≥a2-3a恒成立,先求出y=x2-2x+5的最小值,当x=1时,y min=4,所以a2-3a≤4,解得-1≤a≤4.

【答案】A

7.(2017广西模拟)若角α,β满足-π

2<α<β<π

2

,则2α-β的取值范围是.

【解析】∵-π

2<α<β<π

2

,∴-π<2α<π,-π

2

<-β<π

2

,∴-3π

2

<2α-β<3π

2

.又

∵2α-β=α+(α-β)<α<π

2,∴-3π

2

<2α-β<π

2

.

【答案】(-3π

2,π2 )

8.(2016枣强中学一轮检测)若关于x的不等式ax-b>0的解集为(-∞,1),则关于x的不等式(ax+b)(x-2)>0的解集为.

【解析】由题意可得a=b<0,故(ax+b)(x-2)>0等价于(x+1)(x-2)<0,解得-1

【答案】(-1,2)

9.(2016深圳联考)在R上定义运算☉:a☉b=ab+2a+b,则满足x☉(x-2)<0的实数x的取值范围为.

【解析】由定义可知,x☉(x-2)=x(x-2)+2x+(x-2)=x2+x-2<0,解得-2

【答案】(-2,1)

10.(2017北京朝阳统一考试)已知函数f(x)=x2-2ax-1+a,a∈R.

(1)若a=2,试求函数y=f(x)

x

(x>0)的最小值;

(2)对于?x∈[0,2],不等式f(x)≤a恒成立,试求a的取值范围.

【解析】(1)依题意得y=f(x)

x =x

2-4x+1

x

=x+1

x

-4.

因为x>0,所以x+1

x

≥2,

当且仅当x=1

x

,即x=1时,等号成立.所以y≥-2.

所以当x=1时,y=

f(x)

x

的最小值为-2. (2)因为f (x )-a=x 2

-2ax-1,所以要使得“?x ∈[0,2],不等式f (x )≤a 成立”,只要“x 2

-2ax-1≤0在[0,2]上恒

成立”.

不妨设g (x )=x 2

-2ax-1,则只要g (x )≤0在[0,2]上恒成立即可.

所以{g(0)≤0,g(2)≤0,即{0?0?1≤0,4?4a -1≤0,

解得a ≥3

4.

则a 的取值范围为[3

4

,+∞).

11.(2017广东实验中学模拟)已知0

A.1b >1a

B.(12

)a <(12

)b

C.(lg a )2<(lg b )2

D.

1lga >1lgb

【解析】因为0(12

)b ,(lg a )2>(lg b )2

.由lg a

1lga >1

lgb

. 综上可知,选项D 正确. 【答案】D

12.(2016衡水二中预测)不等式

x -2

x 2-1

<0的解集为( ).

A.{x|1

B.{x|x<2且x ≠1}

C.{x|-1

D.{x|x<-1或1

x -2

x 2-1

<0?(x-1)(x+1)(x-2)<0?x<-1或1

【答案】D

13.(2017河南南阳模拟)若不等式x 2

+x-1

-mx 对任意的x ∈R 恒成立,则m 的取值范围为( ).

A.(-1,53

]

B.(-∞,-1]∪(53

,+∞)

C.(-1,53

)

D.(-∞,53

)∪(1,+∞)

【解析】原不等式可化为(1-m 2

)x 2

+(1+m )x-1<0,

若1-m 2

=0,得m=1或m=-1.

①当m=-1时,不等式可化为-1<0,显然不等式恒成立;

②当m=1时,不等式可化为2x-1<0,解得x<1

2,故不等式的解集不是R ,不合题意.

若当1-m 2

≠0,由不等式恒成立可得

{1?m 2<0,Δ=(1+m)2-4(1-m 2)×(-1)<0,

解得m<-1或m>53. 综上,m 的取值范围为(-∞,-1]∪(5

3

,+∞). 【答案】B

14.(2016湖北黄冈调考)设f (x )=ax 2

+bx ,若1≤f (-1)≤2,2≤f (1)≤4,则f (-2)的取值范围是 .

【解析】(法一)设f (-2)=mf (-1)+nf (1)(m ,n 为待定系数), 则4a-2b=m (a-b )+n (a+b )=(m+n )a+(n-m )b , 则{

m +n =4,n -m =?2, 解得{m =3,

n =1,

∴f (-2)=3f (-1)+f (1).

又∵1≤f (-1)≤2,2≤f (1)≤4,

∴5≤3f (-1)+f (1)≤10,即5≤f (-2)≤10.

(法二)由{f(-1)=a -b,f(1)=a +b, 得{a =1

2[f(-1)+f(1)],b =12[f(1)-f(-1)].

∴f (-2)=4a-2b=3f (-1)+f (1).

又∵1≤f (-1)≤2,2≤f (1)≤4,∴5≤3f (-1)+f (1)≤10,故5≤f (-2)≤10. 【答案】[5,10]

15.(2017山东青岛模拟)已知x ∈(0,+∞)时,不等式9x -m ·3x

+m+1>0恒成立,则m 的取值范围是 .

【解析】令t=3x

(t>1),则由已知得函数f (t )=t 2

-mt+m+1>0在t ∈(1,+∞)上恒成立,则

m<

t 2+1t -1

=t+1+2t -1=t-1+2t -1+2,∵t -1+2

t -1≥2√2,当且仅当t-1=2

t -1,即t=√2+1时等号成立,∴m<(

t 2+1

t -1)min

=2√2+2.

【答案】(-∞,2+2√2)

§11.2简单的线性规划问题

一一元二次不等式(组)表示的平面区域

不等式表示区域

Ax+By+C>0直线Ax+By+C=0某一侧的所

有点组成的平面区域不包括

Ax+By+C≥0包括

不等式组各个不等式所表示平面区域的

二线性规划中的基本概念

名称意义

约束条件由变量x,y组成的不等式(组)

线性约束条件由x,y的不等式(或方程)组成的不等式(组) 目标函数关于x,y的函数,如z=2x+3y等

线性目标函数关于x,y的解析式可行解满足线性约束条件的解

可行域所有可行解组成的

最优解使目标函数取得或的可行解

线性规划问题 在线性约束条件下求线性目标函数的 或 问题

? 左学右考

不等式(x-2y+1)(x+y-3)≤0在坐标平面内表示的区域(用阴影部分表示)应是( ).

(2016枣强中学期末)已知变量x ,y 满足{x ≥1,

y ≤2,x -y ≤0,则可行域的面积为 .

设变量x ,y 满足约束条件{x ≥1,

x +y -4≤0,x -3y +4≤0,

则目标函数z=3x-y 的最大值为 .

(2016年郑州第二次质量预测)已知实数x ,y 满足{2x +y ≥0,

x -y ≥0,0≤x ≤a,

设b=x-2y ,若b 的最小值为-2,则b 的最大值

为 .

知识清单

一、边界直线 边界直线 公共部分

二、一次 解析式 一次 (x ,y ) 集合 最大值 最小值 最大值 最小值 基础训练

1.【解析】(x-2y+1)(x+y-3)≤0?{x -2y +1≥0,x +y -3≤0或{x -2y +1≤0,

x +y -3≥0.结合图形可知选C.

【答案】C

2.【解析】作出可行域如图(阴影部分)所示,所以可行域的面积为S=1

2

×1×1=12

.

【答案】12

3.【解析】根据约束条件作出可行域,如图中阴影部分所示,∵z=3x-y ,∴y=3x-z ,当该直线经过点A (2,2)时,z 取得最大值,即z max =3×2-2=

4. 【答案】4

4.【解析】画出可行域,如图中阴影部分所示.由b=x-2y ,得y=1

2

x-b 2

.易知在点(a ,a )处b 取得最小值,故a-2a=-2,可得a=2.在点(2,-4)处b 取得最大值,于是b 的最大值为2+8=10. 【答案】10

高考数学真题分类汇编专题不等式理科及答案

专题七 不等式 1.【2015高考四川,理9】如果函数()()()()21 281002 f x m x n x m n = -+-+≥≥, 在区间122?????? ,上单调递减,则mn 的最大值为( ) (A )16 (B )18 (C )25 (D )812 【答案】B 【解析】 2m ≠时,抛物线的对称轴为82n x m -=--.据题意,当2m >时,8 22 n m --≥-即212m n +≤ .26,182 m n mn +≤ ≤∴≤Q .由2m n =且212m n +=得3,6m n ==.当2m <时,抛物线开口向下,据题意得,81 22 n m -- ≤-即218m n +≤ .281 9,22 n m mn +≤ ≤∴≤Q .由2n m =且218m n +=得92m =>,故应舍去.要使得mn 取得最大值,应有218m n +=(2,8)m n <>.所以 (182)(1828)816mn n n =-<-??=,所以最大值为18.选B.. 【考点定位】函数与不等式的综合应用. 【名师点睛】首先弄清抛物线的开口方向和对称轴,结合所给单调区间找到m 、n 满足的条件,然后利用基本不等式求解.本题将函数的单调性与基本不等式结合考查,检测了学生综合运用知识解题的能力.在知识的交汇点命题,这是高考的一个方向,这类题往往以中高档题的形式出现. 2.【2015高考北京,理2】若x ,y 满足010x y x y x -?? +??? ≤, ≤,≥,则2z x y =+的最大值为( ) A .0 B .1 C . 3 2 D .2 【答案】D 【解析】如图,先画出可行域,由于2z x y = +,则11 22 y x z =- +,令0Z =,作直线1 2 y x =- ,在可行域中作平行线,得最优解(0,1),此时直线的截距最大,Z 取

高考数学全国卷选做题之不等式

2010——2016《不等式》高考真题 2010全国卷设函数f(x)=241 x-+ (Ⅰ)画出函数y=f(x)的图像; (Ⅱ)若不等式f(x)≤ax的解集非空,求a的取值范围. 2011全国卷设函数()||3 =-+,其中0 f x x a x a>. (I)当a=1时,求不等式()32 ≥+的解集. f x x (II)若不等式()0 x≤-,求a的值. f x≤的解集为{x|1}

2012全国卷已知函数f (x ) = |x + a | + |x -2|. (Ⅰ)当a =-3时,求不等式f (x )≥3的解集; (Ⅱ)若f (x )≤|x -4|的解集包含[1,2],求a 的取值范围。 2013全国卷Ⅰ 已知函数()f x =|21||2|x x a -++,()g x =3x +. (Ⅰ)当a =-2时,求不等式()f x <()g x 的解集; (Ⅱ)设a >-1,且当x ∈[2a -,12 )时,()f x ≤()g x ,求a 的取值范围.

2013全国卷Ⅱ 设a ,b ,c 均为正数,且a +b +c =1,证明: (1)ab +bc +ac ≤13; (2)2221a b c b c a ++≥. 2014全国卷Ⅰ 若,0,0>>b a 且ab b a =+11 (I )求33b a +的最小值; (II )是否存在b a ,,使得632=+b a ?并说明理由.

2014全国卷Ⅱ设函数() f x=1(0) ++-> x x a a a (Ⅰ)证明:() f<,求a的取值范围. f x≥2 (Ⅱ)若()35 2015全国卷Ⅰ已知函数=|x+1|-2|x-a|,a>0. (Ⅰ)当a=1时,求不等式f(x)>1的解集; (Ⅱ)若f(x)的图像与x轴围成的三角形面积大于6,求a的取值范围

高考数学真题分类汇编专题不等式理科及答案

高考数学真题分类汇编专题不等式理科及答案 Coca-cola standardization office【ZZ5AB-ZZSYT-ZZ2C-ZZ682T-ZZT18】

专题七 不等式 1.【2015高考四川,理9】如果函数()()()()21 281002 f x m x n x m n = -+-+≥≥, 在区间122?? ???? ,上单调递减,则mn 的最大值为( ) (A )16 (B )18 (C )25 (D )812 【答案】B 【解析】 2m ≠时,抛物线的对称轴为82n x m -=- -.据题意,当2m >时,8 22 n m --≥-即212m n +≤.226,182 m n m n mn +?≤ ≤∴≤.由2m n =且212m n +=得3,6m n ==.当2m <时,抛物线开口向下,据题意得,81 22 n m -- ≤-即218m n +≤.281 29,22 n m n m mn +?≤ ≤∴≤.由2n m =且218m n +=得92m =>,故应舍去.要使得mn 取得最大值,应有218m n +=(2,8)m n <>.所以 (182)(1828)816mn n n =-<-??=,所以最大值为18.选B.. 【考点定位】函数与不等式的综合应用. 【名师点睛】首先弄清抛物线的开口方向和对称轴,结合所给单调区间找到m 、n 满足的条件,然后利用基本不等式求解.本题将函数的单调性与基本不等式结合考查,检测了学生综合运用知识解题的能力.在知识的交汇点命题,这是高考的一个方向,这类题往往以中高档题的形式出现. 2.【2015高考北京,理2】若x ,y 满足010x y x y x -?? +??? ≤, ≤,≥,则2z x y =+的最大值为 ( ) A .0 B .1 C .32 D .2 【答案】D

2020高考理科数学不等式问题的题型与方法

专题三:高考数学不等式问题的题型与方法(理科) 一、考点回顾 1.高考中对不等式的要求是:理解不等式的性质及其证明;掌握两个(不扩展到三个)正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的定理,并会简单的应用;掌握分析法、综合法、比较法证明简单的不等式;掌握简单不等式的解法;理解不等式│a│-│b│≤│a+b│≤│a│+│b│。 2.不等式这部分内容在高考中通过两面考查,一是单方面考查不等式的性质,解法及证明;二是将不等式知识与集合、逻辑、函数、三角函数、数列、解析几何、立体几何、平面向量、导数等知识交汇起来进行考查,深化数学知识间的融汇贯通,从而提高学生数学素质及创新意识. 3.在不等式的求解中,换元法和图解法是常用的技巧之一,通过换元,可将较复杂的不等式化归为较简单的或基本不等式,通过构造函数,将不等式的解化归为直观、形象的图象关系,对含有参数的不等式,运用图解法,可以使分类标准更加明晰. 4.证明不等式的方法灵活多样,但比较法、综合法、分析法仍是证明不等式的最基本方法.要依据题设、题断的结构特点、内在联系,选择适当的证明方法,要熟悉各种证法中的推理思维,并掌握相应的步骤,技巧和语言特点.比较法的一般步骤是:作差(商)→变形→判断符号(值).5.在近几年全国各省市的高考试卷中,不等式在各种题型中都有出现。在解答题中,不等式与函数、数列与导数相结合,难度比较大,使用导数解决逐渐成为一般方法6.知识网络

其中:指数不等式、对数不等式、无理不等式只要求了解基本形式,不做过高要求. 二、 经典例题剖析 1.有关不等式的性质 此类题经常出现在选择题中,一般与函数的值域,最值与比较大小等常结合在一起 例1.(xx 年江西卷)若a >0,b >0,则不等式-b <1 x 1b D.x <1b -或x >1a 解析:-b <1x 1 a 答案:D 点评:注意不等式b a b a 1 1>? <和适用条件是0>ab 例2.(xx 年北京卷)如果正数a b c d ,,,满足4a b cd +==,那么( ) A.ab c d +≤,且等号成立时a b c d ,,,的取值唯一 B.ab c d +≥,且等号成立时a b c d ,,,的取值唯一 C.ab c d +≤,且等号成立时a b c d ,,,的取值不唯一 D.ab c d +≥,且等号成立时a b c d ,,,的取值不唯一 解析:正数a b c d ,,,满足4a b cd +==,∴ 4=a b +≥,即4ab ≤,当且仅当a =b =2时,“=”成立;又4=2 ( )2 c d cd +≤,∴ c+d ≥4,当且仅当c =d =2时,“=”成立;综上得ab c d +≤,且等号成立时a b c d ,,,的取值都为2 答案:A 点评:本题主要考查基本不等式,命题人从定值这一信息给考生提供了思维,重要不等式可以完成和与积的转化,使得基本不等式运用成为现实。 例3.(xx 年安徽)若对任意∈x R ,不等式x ≥ax 恒成立,则实数a 的取值范围是 (A)a <-1 (B)a ≤1 (C) a <1 (D )a ≥1 解析:若对任意∈x R ,不等式x ≥ax 恒成立,当x ≥0时,x ≥ax ,a ≤1,当x <0时,

高考数学不等式专题

基本不等式专题 一、知识点总结 1、基本不等式原始形式 (1)若R b a ∈,,则ab b a 22 2 ≥+ (2)若R b a ∈,,则2 2 2b a ab +≤ 2、基本不等式一般形式(均值不等式) 若*,R b a ∈,则ab b a 2≥+ 3、基本不等式的两个重要变形 (1)若* ,R b a ∈,则ab b a ≥+2(2)若*,R b a ∈,则2 2? ? ? ??+≤b a ab 总结:当两个正数的积为定植时,它们的和有最小值; 5、常用结论 (1)若0x >,则1 2x x +≥ (当且仅当1x =时取“=”) (2)若0x <,则1 2x x +≤- (当且仅当1x =-时取“=”) (3)若0>ab ,则2≥+a b b a (当且仅当 b a =时取“=”) (4)若R b a ∈,,则2 )2(222b a b a ab +≤ +≤ (5)若*,R b a ∈,则22111 22b a b a ab b a +≤+≤≤+ (6),、、)(3 33 333 3 3 +∈++≤?≥++R c b a c b a abc abc c b a 当且仅当a = b = c 时,“=”号成立; (7))(333 3+ ∈?? ? ??++≤?≥++R c b a c b a abc abc c b a 、、 ,当且仅当a = b = c 时, “ =”号成立. (1)若,,,a b c d R ∈,则22222()()()a b c d ac bd ++≥+ (2)若123123,,,,,a a a b b b R ∈,则有: 22222221231123112233()()()a a a b b b a b a b a b ++++≥++

2017-18全国卷高考真题 数学 不等式选修专题

2017-2018全国卷I -Ⅲ高考真题 数学 不等式选修专题 1.(2017全国卷I,文/理.23)(10分) [选修4—5:不等式选讲](10分) 已知函数f (x )=–x 2+ax +4,g (x )=│x +1│+│x –1│. (1)当a =1时,求不等式f (x )≥g (x )的解集; (2)若不等式f (x )≥g (x )的解集包含[–1,1],求a 的取值范围. 【答案解析】 解:(1)当1a =时,()24f x x x =-++,是开口向下,对称轴12 x = 的二次函数. ()211121121x x g x x x x x >??=++-=-??-<-?,,≤x ≤,, 当(1,)x ∈+∞时,令242x x x -++= ,解得x =()g x 在()1+∞, 上单调递增,()f x 在()1+∞,上单调递减 ∴此时()()f x g x ≥ 解集为1? ?? . 当[]11x ∈-, 时,()2g x =,()()12f x f -=≥. 当()1x ∈-∞-, 时,()g x 单调递减,()f x 单调递增,且()()112g f -=-=. 综上所述,()()f x g x ≥ 解集1?-??? . (2)依题意得:242x ax -++≥在[]11-, 恒成立. 即220x ax --≤在[]11-, 恒成立. 则只须()()2211201120 a a ?-?-??----??≤≤,解出:11a -≤≤. 故a 取值范围是[]11-, .

2.(2017全国卷Ⅱ,文/理.23)(10分) [选修4-5:不等式选讲](10分) 已知0a >,222ba b +==2.证明: (1)()22()4a b a b ++≥; (2)2a b +≤. 【答案解析】 3.(2017全国卷Ⅱ,文/理.23)(10分) [选修4—5:不等式选讲](10分) 已知函数f (x )=│x +1│–│x –2│. (1)求不等式f (x )≥1的解集; (2)若不等式f (x )≥x 2–x +m 的解集非空,求m 的取值范围. 【答案解析】 解:(1)()|1||2|f x x x =+--可等价为()3,121,123,2--??=--<

最新数学不等式高考真题【精】

1.(2018?卷Ⅱ)设函数 (1)当时,求不等式的解集; (2)若,求的取值范围 2.(2013?辽宁)已知函数f(x)=|x﹣a|,其中a>1 (1)当a=2时,求不等式f(x)≥4﹣|x﹣4|的解集; (2)已知关于x的不等式|f(2x+a)﹣2f(x)|≤2的解集{x|1≤x≤2},求a的值.3.(2017?新课标Ⅲ)[选修4-5:不等式选讲] 已知函数f(x)=|x+1|﹣|x﹣2|. (Ⅰ)求不等式f(x)≥1的解集; (Ⅱ)若不等式f(x)≥x2﹣x+m的解集非空,求m的取值范围. 4.(2017?新课标Ⅱ)[选修4-5:不等式选讲] 已知a>0,b>0,a3+b3=2,证明: (Ⅰ)(a+b)(a5+b5)≥4; (Ⅱ)a+b≤2. 5.(2017?新课标Ⅰ卷)[选修4-5:不等式选讲] 已知函数f(x)=﹣x2+ax+4,g(x)=|x+1|+|x﹣1|.(10分) (1)当a=1时,求不等式f(x)≥g(x)的解集; (2)若不等式f(x)≥g(x)的解集包含[﹣1,1],求a的取值范围. 6.(2017?新课标Ⅱ)[选修4-5:不等式选讲] 已知a>0,b>0,a3+b3=2,证明: (Ⅰ)(a+b)(a5+b5)≥4; (Ⅱ)a+b≤2. 7.(2018?卷Ⅰ)已知 (1)当时,求不等式的解集 (2)若时,不等式成立,求的取值范围 8.(2018?卷Ⅰ)已知f(x)=|x+1|-|ax-1| (1)当a=1时,求不等式f(x)>1的解集 (2)若x∈(0,1)时不等式f(x)>x成立,求a的取值范围 9.(2017?新课标Ⅲ)[选修4-5:不等式选讲] 已知函数f(x)=|x+1|﹣|x﹣2|. (1)求不等式f(x)≥1的解集; (2)若不等式f(x)≥x2﹣x+m的解集非空,求m的取值范围. 10.(2014?新课标II)设函数f(x)=|x+ |+|x﹣a|(a>0). (1)证明:f(x)≥2; (2)若f(3)<5,求a的取值范围. 11.(2015·福建)选修4-5:不等式选讲 已知,函数的最小值为4.(1)求的值;

高考数学百大经典例题——不等式解法

典型例题一 例1 解不等式:(1)01522 3>--x x x ;(2)0)2()5)(4(3 2 <-++x x x . 分析:如果多项式)(x f 可分解为n 个一次式的积,则一元高次不等式0)(>x f (或 0)(-+x x x 把方程0)3)(52(=-+x x x 的三个根3 ,2 5 , 0321=-==x x x 顺次标上数轴.然后从右上开始画线顺次经过三个根,其解集如下图的阴影部分. ∴原不等式解集为? ?????><<-3025x x x 或 (2)原不等式等价于 ?? ?>-<-≠????>-+≠+?>-++2450)2)(4(0 50 )2()5)(4(32x x x x x x x x x 或 ∴原不等式解集为{} 2455>-<<--

①0 ) ( ) ( ) ( ) ( < ? ? < x g x f x g x f ②0 ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( < ? = ? ≤ ? ? ? ≠ ≤ ? ? ≤x g x f x f x g x f x g x g x f x g x f 或 或 (1)解:原不等式等价于 ? ? ? ≠ - + ≥ + - + - ? ≥ + - + - ? ≤ + - + + - ? ≤ + - - - + ? ≤ + - - ? + ≤ - )2 )( 2 ( )2 )( 2 )( 1 )( 6 ( )2 )( 2 ( )1 )( 6 ( )2 )( 2 ( 6 5 )2 )( 2 ( )2 ( )2 (3 2 2 3 2 2 3 2 x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x 用“穿根法” ∴原不等式解集为[)[) +∞ ? - ? - -∞,6 2,1 )2 , (。 (2)解法一:原不等式等价于0 2 7 3 1 3 2 2 2 > + - + - x x x x 2 1 2 1 3 1 2 7 3 1 3 2 2 7 3 1 3 2 )2 7 3 )( 1 3 2( 2 2 2 2 2 2 > < < < ? ?? ? ? ? < + - < + - ?? ? ? ? > + - > + - ? > + - + - ? x x x x x x x x x x x x x x x 或 或 或 ∴原不等式解集为) ,2( )1, 2 1 ( ) 3 1 , (+∞ ? ? -∞。 解法二:原不等式等价于0 )2 )(1 3( )1 )(1 2( > - - - - x x x x )2 ( )1 3 )( 1 )( 1 2(> - ? - - - ?x x x x 用“穿根法” ∴原不等式解集为) ,2( )1, 2 1 ( ) 3 1 , (+∞ ? ? -∞ 典型例题三

高考数学真题汇编8 不等式 理( 解析版)

2012高考真题分类汇编:不等式 1.【2012高考真题重庆理2】不等式 01 21 ≤+-x x 的解集为 A.??? ??- 1,21 B.??????-1,21 C.[)+∞???? ??-∞-,121. D.[)+∞???? ? ? -∞-,121, 对 【答案】A 【解析】原不等式等价于0)12)(1(<+-x x 或01=-x ,即12 1 <<-x 或1=x ,所以不等式的解为12 1 ≤<- x ,选A. 2.【2012高考真题浙江理9】设a 大于0,b 大于0. A.若2a +2a=2b +3b ,则a >b B.若2a +2a=2b +3b ,则a >b C.若2a -2a=2b-3b ,则a >b D.若2a -2a=a b -3b ,则a <b 【答案】A 【解析】若2223a b a b +=+,必有2222a b a b +>+.构造函数:()22x f x x =+,则 ()2ln 220x f x '=?+>恒成立,故有函数()22x f x x =+在x >0上单调递增,即a >b 成立.其 余选项用同样方法排除.故选A 3.【2012高考真题四川理9】某公司生产甲、乙两种桶装产品。已知生产甲产品1桶需耗A 原料1千克、B 原料2千克;生产乙产品1桶需耗A 原料2千克,B 原料1千克。每桶甲产品的利润是300元,每桶乙产品的利润是400元。公司在生产这两种产品的计划中,要求每天消耗A 、B 原料都不超过12千克。通过合理安排生产计划,从每天生产的甲、乙两种产品中,公司共可获得的最大利润是( ) A 、1800元 B 、2400元 C 、2800元 D 、3100元 【答案】C. 【解析】设生产x 桶甲产品,y 桶乙产品,总利润为Z , 则约束条件为???????>>≤+≤+0 012 2122y x y x y x ,目标函数为300400Z x y =+,

高考数学专题练习:不等式与线性规划

高考数学专题练习:不等式与线性规划 1。若不等式(-2)n a -3n -1-(-2)n <0对任意正整数n 恒成立,则实数a 的取值范围是( ) A 。? ? ???1,43 B 。? ???? 12,43 C 。? ? ???1,74 D 。? ?? ??12,74 答案 D 解析 当n 为奇数时,要满足2n (1-a )<3n -1恒成立, 即1-a <13× ? ????32n 恒成立,只需1-a <13×? ????321,解得a >1 2; 当n 为偶数时,要满足2n (a -1)<3n -1恒成立, 即a -1<13× ? ????32n 恒成立,只需a -1<13×? ????322,解得a <7 4。 综上,12<a <7 4,故选D 。 2。已知a >0,b >0,且a ≠1,b ≠1,若log a b >1,则( ) A 。(a -1)(b -1)<0 B 。(a -1)(a -b )>0 C 。(b -1)(b -a )<0 D 。(b -1)(b -a )>0 答案 D 解析 取a =2,b =4,则(a -1)(b -1)=3>0,排除A ;则(a -1)(a -b )=-2<0,排除B ;(b -1)(b -a )=6>0,排除C,故选D 。 3。设函数f (x )=??? x 2-4x +6,x ≥0, x +6,x <0,则不等式f (x )>f (1)的解集是( ) A 。(-3,1)∪(3,+∞) B 。(-3,1)∪(2,+∞) C 。(-1,1)∪(3,+∞) D 。(-∞,-3)∪(1,3) 答案 A 解析 f (1)=3。由题意得??? x ≥0,x 2-4x +6>3或??? x <0, x +6>3, 解得-33。 4。 若a ,b ,c 为实数,则下列命题为真命题的是( ) A 。若a >b ,则ac 2>bc 2 B 。若a <b <0,则a 2>ab >b 2

2018年高考数学—不等式专题

不等式 (必修5P80A3改编)若关于x 的一元二次方程x 2-(m +1)x -m =0有两个不相等的实数根,则m 的取值范围是________. 解析 由题意知Δ=[(m +1)]2+4m >0.即m 2+6m +1>0, 解得m >-3+22或m <-3-2 2. 答案 (-∞,-3-22)∪(-3+22,+∞) (2016·全国Ⅱ卷)若x ,y 满足约束条件???x -y +1≥0, x +y -3≥0,x -3≤0, 则 z =x -2y 的最小值为 ________. 解析 画出可行域,数形结合可知目标函数的最小值在直线x =3与直线x -y +1=0的交点(3,4)处取得,代入目标函数z =x -2y 得到-5. 答案 -5 (2016·全国Ⅲ卷)设x ,y 满足约束条件???2x -y +1≥0, x -2y -1≤0,x ≤1, 则z =2x +3y -5的最小值为_____. 解析 画出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示.由题意可知, 当直线y =-23x +53+z 3过点A (-1,-1)时,z 取得最小值,即z min =2×(-1)+3×(-1)-5=-10.

(2017·西安检测)已知变量x ,y 满足???2x -y ≤0, x -2y +3≥0,x ≥0, 则z =(2)2x +y 的最大值为________. 解析 作出不等式组所表示的平面区域,如图阴影部分所示.令m =2x +y ,由图象可知当直线y =-2x +m 经过点A 时,直线y =-2x +m 的纵截距最大,此时m 最大,故z 最大.由?????2x -y =0,x -2y +3=0,解得?????x =1,y =2, 即A (1,2).代入目标函数z =(2)2x +y 得,z =(2)2×1+2=4. 答案 4 (2016·北京卷)若x ,y 满足???2x -y ≤0,x +y ≤3,x ≥0, 则2x +y 的最大值为( ) A.0 B.3 C.4 D.5 解析 画出可行域,如图中阴影部分所示, 令z =2x +y ,则y =-2x +z ,当直线y =-2x +z 过点A (1,2)时,z 最大,z max =4. 答案 C (2016·山东卷)若变量x ,y 满足???x +y ≤2, 2x -3y ≤9,x ≥0, 则x 2+y 2的最大值是( )

2015-2019高考数学全国卷真题(不等式选讲)

2015-2019高考数学全国卷真题(不等式选讲) 2019-3-23.设,,,x y z R ∈且1x y z + +=. (1)求()()()222111x y z -++++的最小值; (2)()()()2221213x y z a -+-+-≥成立,证明:3a ≤-或1a ≥-. 2019-2-23.已知()|||2|().f x x a x x x a =-+-- (1)当1a =时,求不等式()0f x <的解集; (2)若(,1)x ∈-∞时,()0f x <,求a 的取值范围. 2019-1-23.已知a ,b ,c 为正数,且满足1=abc .证明: (1)22211 1 a b c a b c ++≤++; (2)333()()()24a b b c c a +++≥++. 2018-3-23.已知函数()211f x x x =++-. (1)画出()y f x =的图像; (2)当[)0,x ∈+∞时,()f x ax b ≤+,求a b +的最小值. 2018-2-23.设函数()5|||2|f x x a x =-+--. (1)当1a =时,求不等式()0f x ≥的解集; (2)若()1f x ≤,求a 的取值范围. 2018-1-23.已知()|1||1|f x x ax =+--. (1)当1a =时,求不等式()1f x >的解集; (2)若(0,1)x ∈时不等式()f x x >成立,求a 的取值范. 2017-3-23.已知函数21)(--+=x x x f . (1)求不等式1)(≥x f 的解集; (2)若不等式m x x x f +-≥2)(的解集非空,求m 的取值范围.

不等式-高考数学解题方法归纳总结专题训练

专题20 不等式训练 【训练目标】 1、掌握不等式的性质,能利用不等式的性质,特殊值法等判断不等式的正误; 2、熟练的解一元二次不等式,分式不等式,绝对值不等式,对数不等式,指数不等式,含根式的不等式; 3、掌握分类讨论的思想解含参数的不等式; 4、掌握恒成立问题,存在性问题; 5、掌握利用基本不等式求最值的方法; 6、掌握线性规划解决最优化问题; 7、掌握利用线性规划,基本不等式解决实际问题。 【温馨小提示】 在高考中,不等式无处不在,不论是不等式解法还是线性规划,基本不等式,一般单独出现的是线性规划或基本不等式,而不等式的解法则与集合、函数、数列相结合。 【名校试题荟萃】 1、若实数且,则下列不等式恒成立的是() A. B. C. D. 【答案】C 【解析】根据函数的图象与不等式的性质可知:当时,为正确选项,故选C. 2、已知,,则() A. B. C. D. 【答案】A 3、,设,则下列判断中正确的是() A. B. C. D. 【答案】B 【解析】令,则,故选B

4、若,且,则下列不等式成立的是() A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 . 5、袋子里有大小、形状相同的红球个,黑球个().从中任取个球是红球的概率记为.若将红球、黑球个数各增加个,此时从中任取个球是红球的概率记为;若将红球、黑球个数各减少个,此时从中任取个球是红球的概率记为,则() A. B. C. D. 【答案】D 6、若,,则下列不等式错误的是() A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 因为,,所以,,故A、B正确;由已知得, ,所以,所以C错误;由,得,,所以 成立,所以D正确.故选C.

高考数学不等式解题方法技巧

不等式应试技巧总结 1、不等式的性质: (1)同向不等式可以相加;异向不等式可以相减:若,a b c d >>,则a c b d +>+(若,a b c d ><,则 a c b d ->-),但异向不等式不可以相加;同向不等式不可以相减; (2)左右同正不等式:同向的不等式可以相乘,但不能相除;异向不等式可以相除,但不能相乘:若 0,0a b c d >>>>,则ac bd >(若0,0a b c d >><<,则 a b c d >); (3)左右同正不等式:两边可以同时乘方或开方:若0a b >>,则n n a b > >(4)若0ab >,a b >,则11a b <;若0ab <,a b >,则11a b >。 【例】(1)对于实数c b a ,,中,给出下列命题:①22,bc ac b a >>则若;②b a bc ac >>则若,22; ③22,0b ab a b a >><<则若;④b a b a 11,0< <<则若;⑤b a a b b a ><<则若,0; ⑥b a b a ><<则若,0;⑦b c b a c a b a c ->->>>则若,0;⑧11 ,a b a b >>若,则0,0a b ><。其中正确的命题是______(答:②③⑥⑦⑧); (2)已知11x y -≤+≤,13x y ≤-≤,则3x y -的取值范围是______(答:137x y ≤-≤); (3)已知c b a >>,且,0=++c b a 则 a c 的取值范围是______(答:12,2? ?-- ?? ?) 2. 不等式大小比较的常用方法: (1)作差:作差后通过分解因式、配方等手段判断差的符号得出结果;(2)作商(常用于分数指数幂的代数式);(3)分析法;(4)平方法;(5)分子(或分母)有理化;(6)利用函数的单调性;(7)寻找中间量或放缩法 ;(8)图象法。其中比较法(作差、作商)是最基本的方法。 【例】(1)设0,10>≠>t a a 且,比较 21log log 21+t t a a 和的大小(答:当1a >时,11log log 22 a a t t +≤(1t =时取等号);当01a <<时,11 log log 22 a a t t +≥(1t =时取等号)); (2)设2a >,1 2 p a a =+-,2422-+-=a a q ,试比较q p ,的大小(答:p q >); (3)比较1+3log x 与)10(2log 2≠>x x x 且的大小(答:当01x <<或4 3 x >时,1+3log x >2log 2x ;当 413x <<时,1+3log x <2log 2x ;当4 3 x =时,1+3log x =2log 2x ) 3. 利用重要不等式求函数最值时,你是否注意到:“一正二定三相等,和定积最大,积定和最小”这17字方 针。 【例】(1)下列命题中正确的是A 、1y x x =+的最小值是 2 B 、2y =的最小值是 2 C 、 423(0)y x x x =--> 的最大值是2- D 、4 23(0)y x x x =--> 的最小值是2-(答:C ); (2)若21x y +=,则24x y +的最小值是______ (答:; (3)正数,x y 满足21x y +=,则y x 1 1+的最小值为______ (答:3+; 4.常用不等式有:(1 2211 a b a b +≥≥+(根据目标不等式左右的运算结构选用) ; (2)a 、b 、c ∈R ,222 a b c ab bc ca ++≥++(当且仅当a b c ==时,取等号); (3)若0,0a b m >>>,则b b m a a m +<+(糖水的浓度问题)。 【例】如果正数a 、b 满足3++=b a ab ,则ab 的取值范围是_________(答:[)9,+∞)

2015届高三数学—不等式1:基本不等式经典例题+高考真题剖析(解析版)

基本不等式 应用一:求最值 例:求下列函数的值域 (1)y =3x 2+12x 2 (2)y =x +1 x 解:(1)y =3x 2+1 2x 2 ≥2 3x 2·1 2x 2 = 6 ∴值域为[ 6 ,+∞) (2)当x >0时,y =x +1 x ≥2 x ·1 x =2; 当x <0时, y =x +1x = -(- x -1 x )≤-2 x ·1 x =-2 ∴值域为(-∞,-2]∪[2,+∞) 解题技巧 技巧一:凑项 例 已知5 4x < ,求函数14245 y x x =-+-的最大值。 解:因450x -<,所以首先要“调整”符号,又1 (42)45 x x -- 不是常数,所以对42x -要进行拆、凑项, 5,5404x x <∴-> ,11425434554y x x x x ??∴=-+=--++ ?--??231≤-+= 当且仅当1 5454x x -=-,即1x =时,上式等号成立,故当1x =时,max 1y =。 技巧二:凑系数 例: 当 时,求(82)y x x =-的最大值。 解析:由知,,利用均值不等式求最值,必须和为定值或积为定值,此题为两个式子积的形式,但其和不是定值。注意到2(82)8x x +-=为定值,故只需将(82)y x x =-凑上一个系数即可。 当,即x =2时取等号 当x =2时,(82)y x x =-的最大值为8。 变式:设2 3 0< -x ∴2922322)23(22)23(42 =?? ? ??-+≤-?=-=x x x x x x y 当且仅当,232x x -=即?? ? ??∈= 23,043x 时等号成立。 技巧三: 分离、换元

高考数学不等式解题方法技巧

高考数学不等式解题方法 技巧 Newly compiled on November 23, 2020

不等式应试技巧总结 1、不等式的性质: (1)同向不等式可以相加;异向不等式可以相减:若,a b c d >>,则a c b d +>+(若,a b c d ><,则a c b d ->-),但异向不等式不可以相加;同向不等式不可以相减; (2)左右同正不等式:同向的不等式可以相乘,但不能相除;异向不等式可以相除,但不能相乘:若0,0a b c d >>>>,则ac bd >(若0,0a b c d >><<,则a b c d >); (3)左右同正不等式:两边可以同时乘方或开方:若0a b >>,则n n a b >或 >4)若0ab >,a b >,则11a b <;若0ab <,a b >,则11a b >。 【例】(1)对于实数c b a ,,中,给出下列命题:①22,bc ac b a >>则若; ②b a bc ac >>则若,22;③22,0b ab a b a >><<则若;④b a b a 11,0<<<则若;⑤b a a b b a ><<则若,0; ⑥b a b a ><<则若,0;⑦b c b a c a b a c ->->>>则若,0;⑧11,a b a b >>若,则0,0a b ><。其中正确的命题是______(答:②③⑥⑦⑧); (2)已知11x y -≤+≤,13x y ≤-≤,则3x y -的取值范围是______(答: 137x y ≤-≤); (3)已知c b a >>,且,0=++c b a 则a c 的取值范围是______(答:12,2??-- ?? ?) 2. 不等式大小比较的常用方法: (1)作差:作差后通过分解因式、配方等手段判断差的符号得出结果;(2)作商(常用于分数指数幂的代数式);(3)分析法;(4)平方法;(5)分子(或分母)有理化;(6)利用函数的单调性;(7)寻找中间量或放缩法 ;(8)图象法。其中比较法(作差、作商)是最基本的方法。 【例】(1)设0,10>≠>t a a 且,比较2 1log log 21+t t a a 和的大小(答:当1a >时,11log log 22a a t t +≤(1t =时取等号);当01a <<时,11log log 22 a a t t +≥(1t =时取等号)); (2)设2a >,12 p a a =+-,2422-+-=a a q ,试比较q p ,的大小(答:p q >); (3)比较1+3log x 与)10(2log 2≠>x x x 且的大小(答:当01x <<或43 x >时,1+3log x >2log 2x ;当413x <<时,1+3log x <2log 2x ;当43 x =时,1+3log x =2log 2x )

几种常见不等式的解法

题目高中数学复习专题讲座几种常见解不等式的解法 高考要求 不等式在生产实践和相关学科的学习中应用广泛,又是学习高等数学的重要工具,所以不等式是高考数学命题的重点,解不等式的应用非常广泛,如求函数的定义域、值域,求参数的取值范围等,高考试题中对于解不等式要求较高,往往与函数概念,特别是二次函数、指数函数、对数函数等有关概念和性质密切联系,应重视;从历年高考题目看,关于解不等式的内容年年都有,有的是直接考查解不等式,有的则是间接考查解不等式 重难点归纳 解不等式对学生的运算化简等价转化能力有较高的要求,随着高考命题原则向能力立意的进一步转化,对解不等式的考查将会更是热点,解不等式需要注意下面几个问题 (1)熟练掌握一元一次不等式(组)、一元二次不等式(组)的解法 (2)掌握用零点分段法解高次不等式和分式不等式,特别要注意因式的处理方法 (3)掌握无理不等式的三种类型的等价形式,指数和对数不等式的几种基本类型的解法 (4)掌握含绝对值不等式的几种基本类型的解法 (5)在解不等式的过程中,要充分运用自己的分析能力,把原不等式等价地转化为易解的不等式 (6)对于含字母的不等式,要能按照正确的分类标准,进行分类讨论 典型题例示范讲解 例1已知f (x )是定义在[-1,1]上的奇函数,且f (1)=1,若m 、n ∈[- 1,1],m +n ≠0时 n m n f m f ++) ()(>0 (1)用定义证明f (x )在[-1,1]上是增函数; (2)解不等式 f (x + 21)<f (1 1-x ); (3)若f (x )≤t 2-2at +1对所有x ∈[-1,1],a ∈[-1,1]恒成立,求 实数t 的取值范围 命题意图 本题是一道函数与不等式相结合的题目,考查学生的分析能力与化归能力 知识依托 本题主要涉及函数的单调性与奇偶性,而单调性贯穿始终,把所求问题分解转化,是函数中的热点问题;问题的要求的都是变量的取值范围,不等式的思想起到了关键作用 错解分析 (2)问中利用单调性转化为不等式时,x + 21∈[-1,1],1 1-x ∈[-1,1]必不可少,这恰好是容易忽略的地方

2011—2018高考全国卷Ⅰ文科数学不等式选讲汇编含解析已编辑直接打印

新课标全国卷Ⅰ文科数学汇编不 等 式 选 讲 一、 解答题 【2018,23】23. [选修4—5:不等式选讲] 已知. (1)当时,求不等式 的解集; (2)若 时不等式 成立,求的取值范围. 【2017,23】已知函数()2 4f x x ax =-++,()11g x x x =++-. (1)当1a =时,求不等式()()f x g x ≥的解集; (2)若不等式()()f x g x ≥的解集包含[]1,1-,求a 的取值范围.

【2016,23】已知函数321)(--+=x x x f . (Ⅰ)在答题卡第(24)题图中画出)(x f y =的图像; (Ⅱ)求不等式1)(>x f 的解集. 【2015,24】已知函数()12,0f x x x a a =+-->. (I )当1a =时求不等式()1f x >的解集; (II )若()f x 的图像与x 轴围成的三角形面积大于6,求a 的取值范围 .

【2014,24)】若0,0a b >>,且 11 a b +=. (Ⅰ) 求33a b +的最小值;(Ⅱ)是否存在,a b ,使得236a b +=?并说明理由. 【2013,24】已知函数f (x )=|2x -1|+|2x +a |,g (x )=x +3. (1)当a =-2时,求不等式f (x )<g (x )的解集; (2)设a >-1,且当x ∈1,22a ?? -???? 时,f (x )≤g (x ),求a 的取值范围.

【2012,24】已知函数()|||2|f x x a x =++-。 (1)当3-=a 时,求不等式3)(≥x f 的解集;(2)若|4|)(-≤x x f 的解集包含[1,2],求a 的取值范围。 【2011,24】设函数()3f x x a x =-+,其中0a >。 (Ⅰ)当1a =时,求不等式()32f x x ≥+的解集; (Ⅱ)若不等式()0f x ≤的解集为{}|1 x x ≤- ,求a 的值。

2019高考数学不等式真题汇总

(2019?上海7)若x ,y R +∈,且 123y x +=,则y x 的最大值为 . 【解答】 解:132y x = +… ∴298 y x =?; 故答案为:98 (2019?上海5)已知x ,y 满足002x y x y ????+? ……?,则23z x y =-的最小值为 . 【解答】解:作出不等式组002x y x y ????+? ……?表示的平面区域,由23z x y =-即23x z y -=,表示直线在y 轴上的截距的相反数的13 倍,平移直线230x y -=,当经过点(0,2)时,23z x y =-取得最小值6-,故答案为:6-. (2019?浙江3)若实数x ,y 满足约束条件340,340,0,x y x y x y -+??--??+? …?…则32z x y =+的最大值是( ) A .1- B .1 C .10 D .12 【解答】解:由实数x ,y 满足约束条件3403400x y x y x y -+??--??+? …?…作出可行域如图,联立340340x y x y -+=??--=?,解得(2,2)A ,化目标函数32z x y =+为3122y x z =-+,由图可知,当直线3122 y x z =-+过(2,2)A 时,直线在y 轴上的截距最大,z 有最大值:10. 故选:C .

(2019?天津文10)设x R ∈,使不等式2320x x +-<成立的x 的取值范围为 . 【解答】解:2320x x +-<,将232x x +-分解因式即有: (1)(32)0x x +-<;2(1)()03 x x +-<; 由一元二次不等式的解法“小于取中间,大于取两边” 可得:213 x -<<; 即:2{|1}3x x -<<;或2(1,)3 -; 故答案为:2(1,)3 -; (2019?天津文理13)设0x >,0y >,25x y += 的最小值为 . 【解答】解:0x >,0 y >,25x y +=, 则===; 由基本不等式有: = 当且仅当=时,即:3xy =,25x y +=时,即:31x y =??=?或232x y =???=??时;等号成立, 故答案为:

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