8.2非齐次振动方程和输运方程解析
非齐次振动方程和输运方程
ut a 2u xx f ( x，t ) u x (0，t ) u x (l，t ) 0 u ( x， 0) 0
(2)化为
(3)按原先方法求解, 只需将t换成 t ； t ( 4) u( x，t ) v( x，t； )d
vt a 2 vxx 0 vx (0，t ) vx (l，t ) 0 v( x， ) f ( x， )
§8.2 非齐次振动方程和输运方程
(齐次边界条件) 一、傅里叶级数法
由分离变量法得出的结果提示：可以直接设非齐 次方程的解为傅里叶级数的形式：
u ( x，t ) Tn (t ) X n ( x)
n
傅里叶系数不是常数， 是时间t的函数
基本函数族Xn(x)为该 定解问题相应的齐次 方程在所给齐次边界 条件下的本征函数
t (d 0)
(3)解该定解问题，与之前解的方法一致，只是将 解的结果中t换成 t 即可 (4)叠加：将持续力看成一系列前后相继作用的瞬 时力的迭加，则所有瞬时力引起的振动等效于持 续力引起的振动
u ( x，t ) u ( x，t ) v( x，t； )d
( ) t t
vtt a 2 v xx 0 v(0，t ) v(l，t ) 0 v( x， ) 0 vt ( x， ) f ( x， )
3、按t=0的初始条件求解，只需将t换成 t ； t 4、叠加 u( x，t ) v( x，t； )d
0
对于输运问题 (1)定解问题为
(二)冲量定理法步骤：初始条件均为零 1、定解问题：
utt a 2u xx f ( x，t ) u (0，t ) u (l，t ) 0 u ( x， 0) ut ( x， 0) 0
机械动力学与振动学讲义_8
8-5 杆振动的固有频率和振型 设 代入杆运动方程得
u ( x, t ) = U ( x)φ (t )
U ( x)
2 d 2φ (t ) 2 d U ( x) c = φ (t ) dt 2 dx 2
改写成
1 d 2φ (t ) 1 d 2U ( x ) 2 c = = −ω 2 2 2 U ( x ) dx φ (t ) dt
解得 固有频率 振型
B = 0，和 sin kl = 0 => kl = nπ
ωn = kn2
EI n 2π 2 = 2 l ρA
EI ρA nπ x l
Yn ( x ) = Dn sin kn x = Dn sin
各种边界条件梁的振型：
8-7 连续系统振型函数的正交性 杆的振型函数的正交性： 杆振动的第 i 阶与第 j 阶振型函数 Ui(x)和 Uj(x)分别满足下列微分方程
Y
x =0
=0 = 0 =>
x =0
=>
A+C = 0
d 2Y dx 2
Y
x =l
A−C = 0， ∴A = C = 0
=0 =0
x =l
=> =>
B sinh kl + D sin kl = 0
B sinh kl − D sin kl = 0
d 2Y dx 2
© 2011 by T X WU
52
机械振动与动力学_8
y = Y ( X )e iωt = Ce i (ωt + kx ) − ρAω 2 + EIk 4 = 0 ⎛ρA 2⎞ ⎛ ρA 2⎞ k1−4 = ± ⎜ ω ⎟ 和 ±i ⎜ ω ⎟ ⎝ EI ⎠ ⎝ EI ⎠
振动方程通解表达式 -回复
振动方程通解表达式-回复“振动方程通解表达式”是一个数学概念，是用来描述振动系统的运动规律的。
在这篇文章中，我们将深入探讨振动方程通解表达式的含义、推导过程以及其应用。
首先，让我们了解一下什么是振动方程。
振动方程是描述物体在受到某种力作用下发生振动的数学方程。
它是由牛顿第二定律导出的，并且通常以二阶线性常微分方程的形式表达。
对于简谐振动而言，振动方程可以简化为更为简洁的形式。
振动方程的通解是指可以适用于所有振动系统的解。
为了求解通解，我们需要先求解特解，再根据特解推导出通解。
下面我们将一步一步回答如何得到振动方程的通解表达式。
首先，假设我们有一个线性振动方程，可以写成如下形式：m * x''(t) + b * x'(t) + k * x(t) = F(t)其中，m是物体的质量，b是阻尼系数，k是弹性系数，x(t)是物体位置关于时间的函数，F(t)是外力函数，而x''(t)和x'(t)则分别表示位置函数的二阶和一阶导数。
接下来，我们将使用拉普拉斯变换来求解这个方程。
通过拉普拉斯变换，我们可以将振动方程转化为一个代数方程。
首先，将位置函数x(t)的拉普拉斯变换表示为X(s)，即：X(s) = L{x(t)} = ∫[0,∞] (x(t) * e^(-st)) dt我们可以通过对方程两边进行拉普拉斯变换，将其转化为一个代数方程。
考虑到拉普拉斯变换的性质，我们可以得到如下结果：m * s^2 * X(s) + b * s * X(s) + k * X(s) = F(s)其中，F(s)是外力函数F(t)的拉普拉斯变换表示，s是拉普拉斯变量。
通过整理上述方程，我们可以得到振动方程在拉普拉斯域的形式：( m * s^2 + b * s + k ) * X(s) = F(s)然后，我们可以将X(s)表示为F(s)和系统的特征函数的乘积。
特征函数通常用H(s)表示，它是一个与系统的质量、阻尼和弹性有关的函数。
齐次方程的自由振动与输运问题
u ( x, t ) X ( x)T (t ) 并代入方程得
a 2 X T 0 XT
X (0)T (t ) 0 X (l )T (t ) 0
X (l ) 0
X (0) 0
2 现用 a XT 遍除各项即得
T X 2 aT X X "X 0 X (0) 0 X (l ) 0
2n 1 l l 3l 5l x , , , , 2n 2n 2n 2n
0
l
0
l /2
l
点数为2，3，4的驻波形状
于是我们也可以说,解u ( x, t ) 是由一系列频率不同 （成倍增长）、位相不同、振幅不同的驻波叠加 而成的． 所以分离变量法又称驻波法．各驻波振幅的大小 和位相
n πa 的差异，由初始条件决定，而圆频率 n l
如果
0则
X ( x) C1 cos x C2 sin x
(C1 sin l C 2 cos l ) 0
现确定积分常数 C2 0
0 C2 0
C1 sin l 0 因此 C1 0 否则方程无解，只有
2
n 2 sin x 0 x n l n
本征值问题。虽然我们是从驻波引出解题的线索,其实
整个求解过程跟驻波并没有特殊的联系，从数学上讲，
完全可以推广应用于线性齐次方程和线性齐次边界条
件的多种定解问题。这个方法，按照它的特点，叫作 分离变数法。
用分离变数法得到的定解问题的解一
般是无穷级数,不过,在具体问题中,级数 里常常只有前若干项较为重要,后面的项
2 u ( x, t ) A cos x cos t T
具有非齐次定解条件的弦振动方程的解
具有非齐次定解条件的弦振动方程的解弦振动方程描述了弦的振动行为，而非齐次定解条件指的是在方程中加入外力或边界条件，使方程不再是齐次的，并且给出了初值或边界条件。
$$\frac{{\partial^2 u}}{{\partial t^2}} = c^2\frac{{\partial^2 u}}{{\partial x^2}} + F(x,t)$$其中，$u(x,t)$是弦在位置$x$、时间$t$的位移，$c$是传播速度，$F(x,t)$是外力函数。
我们以一根不可伸长的、固定在两端的弦为例，假设我们已知弦的初始位移$u(x, 0)$和初始速度$\frac{{\partial u}}{{\partial t}}(x, 0)$，以及边界条件$u(0, t)$和$u(L, t)$。
其中，$L$是弦的长度。
为了解非齐次定解条件下的弦振动方程，可以使用分离变量法或叠加法。
首先，我们假设振动解可以表示为分离变量的形式：$$u(x,t)=X(x)T(t)$$将上述表达式代入弦振动方程中，得到：$$X''(x)T(t) = \frac{1}{{c^2}}T''(t)X(x) +\frac{{F(x,t)}}{{c^2}}$$由于左边只含有$x$的变量，右边只含有$t$的变量，因此必须等于一个常数，我们设其为$-\omega^2$：$$\frac{{X''(x)}}{{X(x)}} = -\omega^2 =\frac{{T''(t)}}{{c^2T(t)}} + \frac{{F(x,t)}}{{c^2}}$$上述方程可以拆分为两个方程：1. $X''(x) + \omega^2 X(x) = 0$（齐次方程）2. $T''(t) + c^2\omega^2 T(t) = F(x,t)$（非齐次方程）解第一个方程，得到一般解：$$X(x) = A\sin(\omega x) + B\cos(\omega x)$$其中，$A$和$B$是待定常数。
非齐次方程的冲量定理法求解
于是
lA π a(t −τ ) nπ v= sin ωτ sin cos x l l πa
于是
u = ∫ v(x, t;τ )dτ
0
t
lA π a(t −τ ) nπ =∫ sin ωτ sin cos x dτ 0π a l l π at π a ω sin − sin ω t lA nπ l l cos x = 2 2 π a πa l 2 ω − 2 l
Tn ' (0) = 0
nπ a 2 Tn"(t) + ( ) Tn (t) = fn (t) l Tn (0) = 0 2 l nπξ fn (t) = ∫ f (ξ , t) sin dξ Tn ' (0) = 0 l 0 l
nπ a Tn (t) = ∫0 fn (τ )sin l (t −τ ) dτ nπ a l
t
T0 ' (t) = Asin ω t
n=0
T0 ' (t) = Asin ω t T0 (0) = 0
nπ a 2 Tn ' (t) + ( ) Tn (t) = 0 l
n≠0
Tn (0) = 0
T0 (t) = A
ω
(1− cosω t)
u(x, t) =
Tn (t) = 0
A
ω
(1− cosω t)
τ τ +∆τ t
t
f(x,t)
τ τ +∆τ t
u
(τ ) tt (τ )
t
−a u
x=0 x=l t =τ
2 (τ ) xx
=0
u
=0 =0
u u
(τ )
(τ )
山东大学工科研究生数学物理方法class14第2节非齐次振动方程和输运方程.ppt
na(t
l
)
cos
nx
l
系数 An ( ), Bn ( ) 由初始条件确定，把上式代入初始条件：
A0 (
)
n1
An (
) cos
nx
l
0
17
B0 (
)
n1
Bn (
)
nx
l
cos
nx
l
A cos
nx
l
s in x
右边的 Acos nx sinx 也是傅里叶余弦级数，只有一个单项n＝1
l
两边比较系数可得：
系数，上述两边都是傅立叶余弦级数，由于基本函数族 cos nx
l 的正交性，等式两边对应于同一基本函数的傅立叶系数必相等：
T0 (0) 0
1 l
l
( )d
0
T0(0) 0
1 l
l
( )d
0
Tn (0) n
Tn(0) n
2 l
2 l
l ( ) cos n
0
l
l
(
)
cos
n
0
l
d
同时，量纲分析也可以侧面证明此法是正确的！
（2）冲量定理法的数学验证 即要验证通过积分得到的解u（x，t）是原非齐次振动方程定
解问题的解。
首先来验证边界条件：v |x0 0, v |xl 0 故有：
t
t
u |x0 0 v |x0 d 0, u |xl 0 v |xl d 0
边界条件
初始位移： u |t0
t
0 f (x, ) (t )d
其中 F(x, ) (t )d 为作用在很短的时间区间 ( , d ) 9
数学物理方法习题解答
习题解答
向安平
B xiangap@ xiangap@
成都信息工程学院光电技术系 2006 年 9 月 11 日
前 言
本书供电子科学与技术专业和光信息科学与技术专业《数学物理方法》课程教学使用． 本教学参考书仅供授权读者在计算机上阅读，不能编辑、拷贝和打印．经作者授权，可取消全 部限制． 在第一版中只收录了必要的试题，以后将增补习题的数量和类型，在每章增加内容小结和解题 方法讨论．欢迎读者提供建议． 作为本书的第一版，错误和排版差错在所难免，敬请读者指正．
§ 1.1 复数与复数运算
1. 下列式子在复平面上各具有怎样的意义? (1) | x |≤ 2. (2) | z − a |=| z − b | （a 、b为复常数）. (3) Rez > 1 2. (1) | x |≤ 2 解一：|z| = | x + iy| = 部． x2 + y2 ≤ 2，或 x2 + y2 ≤ 4．这是以原点为圆心而半径为2的圆及其内
z?az?bx?a12y?a22x?b12y?b22于是x?a12y?a22x?b12y?b22即2y?a2?b2b2?a22x?a1?b1a1?b1y?a2b22x?a1b12a1?b1b2?a22a2b2这是一条直线是一条过点a和点b连线的中点a1b12且与该直线垂直的直线
数 学 物 理 方 法
解二：按照模的几何意义，|z|是复数z = x + iy与原点间的距离，若此距离总是≤ 2，即表示 以原点为圆心而半径为2的圆内部． (2) |z − a| = |z − b| ( a、b为复常数)． 解一：设z = x + iy, z = a1 + ia2 , b = b1 + ib2 ； ( x − a1 )2 + (y − a2 )2 , ( x − b1 )2 + (y − b2 )2 ,
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对于y '' P 1 ( x) y ' P 2 ( x) y q ( x) 特解为：Y(x) y1
下面求特解Tn* (t ), 令T1n (t ) cos
y2 y1 q( x)dx y2 q( x)dx w( y1 , y2 ) w( y1 , y2 )
n at n at , T2 n (t ) sin l l t T ( ) t T ( ) * 2n Tn (t ) T1n (t ) f n ( )d T2 n (t ) 1n f ( ) d 0 w( ) 0 w( ) n n a n a sin T1n ( ) T2 n ( ) n a l l w( ) T1n '( ) T2 n '( ) n a n a n a n a l sin cos l l l l n a n a sin cos n at t l f ( )d sin n at t l f ( ) d Tn* (t ) cos n n l 0 n a l 0 n a l l l t n a sin[ (t )] f n ( ) d 0 n a l cos
(二)介绍用两种方法求解非齐次振动方程：傅里叶级数法、冲量定理法 A.首先讨论弦在外力作用下的强迫振动问题 utt a 2u xx f ( x, t ) (0 x l , t 0) (1) (2) u ( x, t ) x 0 0, u ( x, t ) x l 0 (t 0) u ( x, t ) ( x), u ( x, t ) ( x) (0 x l ) (3) t t 0 t 0 1.傅里叶级数法 根据边界条件(2)可设u ( x, t )的试探解为：u ( x, t ) Tn (t ) sin
其中y1、y2是齐次方程y '' P 1 ( x ) y ' P 2 ( x ) y 0的两个线性无关的特解。 线性无关：指C1 y1 C2 y2 0, 当且仅当C1 C2 0 w( y1 , y2 ) y1 y1 ' y2 y2 ' （朗斯基行列式） 0 ,w 0则y1、y2线性无关。
n 2 2 a 2 比较系数：Tn ''(t ) Tn (t ) f n (t ) ~ 二阶线性常系数非齐次微分方程 2 l 该非齐次方程的通解为对应齐次方程的通解与本身一特解之和构成。 n at n at Tn (t ) Tn 0 (t ) Tn *(t ), Tn 0 (t ) An cos Bn sin l l
0
Байду номын сангаас
Tn (0)和Tn '(0)由初始条件定： n x 2 l n x u ( x, t ) t 0 ( x) Tn (0)sin Tn (0) ( x)sin dx n 0 l l l n 1 n x 2 l n x ut ( x, t ) t 0 ( x) Tn '(0)sin Tn '(0) ( x)sin dx n 0 l l l n 1
8.2 非齐次振动方程和输运方程
教学重点：介绍用傅里叶级数法和冲量定理法求解非齐次振动方程 和输运方程。
(一)关于线性非齐次方程的解的定理（高数3：237） 定理1：线性非齐次方程的通解等于它的任何一个特解与对应齐次 方程的通解之和。y Ay1 +By2 Y ( x) 定理2：线性非齐次方程的特解可由对应齐次方程的基本解组的线性组合 通过求积得到。 对于y '' P 1 ( x ) y ' P 2 ( x) y q ( x) 特解为：Y(x) y1 y2 y1 q ( x)dx y2 q ( x)dx w( y1 , y2 ) w( y1 , y2 )
n at n at l t n a Tn (t ) Tn (t ) Tn *(t ) An cos Bn sin sin[ (t )] f n ( )d 0 l l n a l 确定系数An , Bn . n a l 令t 0, 得Tn (0) An , Tn '(0) Bn Bn Tn '(0) l n a
n 1
n x l
n 2 2 a 2 n x 代入(1)式得： [ T ''( t ) T ( t )]sin f ( x, t ) n n 2 l l n 1
将f ( x, t )展为傅氏级数：f ( x, t )
n 1
n x 2 l n x f n (t ) sin , f n (t ) f ( x, t ) sin dx 0 l l l
Tn (t ) Tn (0) cos
n at l n at l t n a Tn '(0) sin sin[ (t )] f n ( )d 0 l n a l n a l
( B)书P204例1
x 2 解：根据(2)式，可设 u a u A cos sin t (1) xx tt l n x u ( x , t ) T ( t ) cos (2) n u x x 0 0, u x x l 0 l n 0 u ( x), u (3) t t 0 ( x) t 0 代入(1)式得： n2 2 a 2 n x x [ T ''( t ) T ( t )]cos A cos sin t (5) n n 2 l l l n 0 2a2 比较法：T1 ''(t ) 2 T1 (t ) A sin t (6) l n 2 2 a 2 Tn ''(t ) Tn (t ) 0 (n 1)(7) 2 l 对(7)式：n 0, T0 (t ) A0 B0t , 且T0 (0) A0，T0 '(0) B0