输运方程
输运方程数值解法分析
去￡ 妇 ｄ ｋ 去￡ 讯 ｄ ｋ ｛ 击￡ 础 ｎ ” ｄ ｋ 去￡ 础妇 ｄ ｋ ＋ 去Ｅ 础瞰 ” ｄ ｋ ｝
一
上式可 以化 简为 ：
Ｕ（ ｘ ， ｔ ｎ ＋ １ ） ＝［ １ ＋ａ ２ ２ （ ｅ Ｍ一２ ＋ Ｐ 舳 ） 】 【 ， （ ， ）
（ ２）
逐渐衰减 ，函数值 随空间坐标按正弦规律变化 ，这 与定解 问题给出的解析解是一致 的，需要说 明的是
在得 到解 析解 的过 程 中 已经考 虑 了初 始条 件 和 边 界
条件 。
收稿 日期 ：２ ０ １ ２ —１ １ —２ ２
图１ 函数值 Ｈ随 Ｘ和 ｆ 变化 的解析解的 函数图像
Ｕ ； ５＝ ０
ｔ ≥０
当然上述定解问题可以用分离变量的方法求得其解析解为 ：
ｕ （ ｘ ， 、 ） ＝ｅ 一 ‘ ‘ ｓ ｉ ｎ ￣ ｘ
于是可以给出解析解的函数 图像 ，这里给 出函 数值 随 和 ｔ 变化的函数关系图 （ 见图 １ ） ：
从 图 １中可 以看 出 ，随着 时 间 的 增 加 ，函数 值
一
些 有趣 的结 果 。
１ 定解 问题
在数学物理方程 中，输运方程有很多，比如扩散方程 、热传导方程等。在此 ，用一个 比较简单的方程 ，
来考察差分格式对数值结果的影响 ，以下面的定解 问题为例 ：
２
ａ
Ｏ
． ＝ —
Ｏ ｘ。
Ｓ ｌ ｎ ｇＸ
０≤ Ｘ≤５ ，ｔ≥０ ０≤ ≤５
（ １ ． 玉溪 师 范学 院 理 学院 ，云 南 玉 溪 ６ ５ ３ １ ０ ０ ；２ ． 文 山学院 数 理 系，云南 文 山 ６ ６ ３ ０ ０ ０ ）
3 章 流体输运方程 - 中南大学能源与工程学院
大 系统的特点是： （1）系统将随系统内质点一起运动，系统内的质点始终包含在系统内，系统边界的形
南 状和所围空间的大小，则可随运动而变化； （2）系统与外界无质量的交换，但可以有力的相互作用以及能量（热和功）交换。
中如果研究对象是系统，由于力学中的一些基本定律是建立在质点、质点系上的，因此，
流体力学这些力学定律可直接用原始数学形式表达出来。
与 场该项为零）；另一项 u ⋅ ∇φ 称为位变导数项（Carrier derivative），它表示在非均匀的φ 场
中（有梯度 ∇φ ），由空间位置变化（由 u ）引起的物理量的变化率。
学 为了说明这一点，我们取时间间隔（ t ，t + Δt ），位于（ x, y, z ）处的流体质点，将沿
u( x, y, z, t) 的方向移动距离近似为 | u | Δt ，由于在 u( x, y, z, t) 方向单位长度上的φ 的改变
2
自同一流体质点，而非取自同一空间点（ x, y, z ））。由于该流体质点是运动的，即 x, y, z 是
随时间变化的。若以 a, b, c 表示该点的拉格朗日坐标，则 x, y, z 将依式（3-2）变化。从而
φ = φ (x, y, z, t) 的变化应按复合函数求导法则处理。因此，物理量φ = φ (x, y, z, t) 的随体导
科 量 为 (u / | u |) ⋅ ∇φ ， 于 是 在 此 方 向 上 ， 在 距 离 | u | Δt 上 的 φ 的 改 变 量 为
| u | Δt((u / | u |) ⋅ ∇φ) = u ⋅ ∇φΔt ，因此在单位时间内φ 的变化率为 u ⋅ ∇φ 。
源 显然，若（1） u = 0 ，即流体静止；（2）φ 是均匀场，这时 ∇φ = 0 （但φ 可随时间变
8.2非齐次振动方程和输运方程解析
对于y '' P 1 ( x) y ' P 2 ( x) y q ( x) 特解为：Y(x) y1
下面求特解Tn* (t ), 令T1n (t ) cos
y2 y1 q( x)dx y2 q( x)dx w( y1 , y2 ) w( y1 , y2 )
n at n at , T2 n (t ) sin l l t T ( ) t T ( ) * 2n Tn (t ) T1n (t ) f n ( )d T2 n (t ) 1n f ( ) d 0 w( ) 0 w( ) n n a n a sin T1n ( ) T2 n ( ) n a l l w( ) T1n '( ) T2 n '( ) n a n a n a n a l sin cos l l l l n a n a sin cos n at t l f ( )d sin n at t l f ( ) d Tn* (t ) cos n n l 0 n a l 0 n a l l l t n a sin[ (t )] f n ( ) d 0 n a l cos
(二)介绍用两种方法求解非齐次振动方程：傅里叶级数法、冲量定理法 A.首先讨论弦在外力作用下的强迫振动问题 utt a 2u xx f ( x, t ) (0 x l , t 0) (1) (2) u ( x, t ) x 0 0, u ( x, t ) x l 0 (t 0) u ( x, t ) ( x), u ( x, t ) ( x) (0 x l ) (3) t t 0 t 0 1.傅里叶级数法 根据边界条件(2)可设u ( x, t )的试探解为：u ( x, t ) Tn (t ) sin
sst模型 fluent 输运方程
SST模型（Shear Stress Transport Model）是一种用于湍流模拟的数学模型，它是基于雷诺平均的Navier-Stokes方程的扩展。
SST模型结合了两种不同的湍流模型：k-ε模型和k-ω模型。
在SST模型中，通过引入一个新的变量来控制湍流边界层和自由层的湍流特性。
该变量称为turbulent viscosity ratio（湍流粘度比），它用于根据流场的湍流强度来选择k-ε模型或k-ω模型的预测方程。
在边界层附近，SST模型使用k-ω模型来模拟近壁区的湍流现象，而在自由层中使用k-ε模型来模拟远离壁面的湍流。
Fluent是ANSYS公司开发的一种流体力学（CFD）软件，它可以用于求解各种流动问题。
在Fluent中，可以使用SST模型作为湍流模型来模拟流体流动。
通过设置边界条件、网格划分和其他参数，可以对流动进行数值模拟，并获得流场的速度、压力和湍流特性等信息。
总而言之，SST模型是一种用于湍流模拟的数学模型，而Fluent是一个流体力学软件，可以使用SST模型来模拟流体流动并求解相应的输运方程。
流体力学ppt课件-流体动力学
g
g
2g
水头
，
z
p
g
v2
2g
总水头， hw 水头损失
第二节 热力学第一定律——能量方程
水头线的绘制
总水头线
hw
对于理想流体，总水
1
v12 2g
2
v22 2g
头线是沿程不变的，
测压管水头线
p2
为一水平直线，对于
g
实际流体，总水头沿 程降低，但测压管水
p1 g
头线沿程有可能降低、
z2
不变或者升高。
z1
v2 A2 e2
u22 2
gz2
p2
v1A1 e1
u12 2
gz1
p1
微元流管即为流线，如果不 可压缩理想流体与外界无热 交换，热力学能为常数，则
u2 gz p 常数
2
这个方程是伯努利于1738年首先提出来的，命名为伯努利 方程。伯努利方程的物理意义是沿流线机械能守恒。
第二节 热力学第一定律——能量方程
皮托在1773年用一根弯成直角的玻璃管，测量了法国塞纳河 的流速。原理如图所示，在液体管道某截面装一个测压管和 一个两端开口弯成直角的玻璃管（皮托管），皮托管一端正 对来流，一端垂直向上，此时皮托管内液柱比测压管内液柱 高h，这是因为流体流到皮托管入口A点受到阻滞，速度降为 零，流体的动能变化为压强势能，形成驻点A，A处的压强称 为总压，与A位于同一流线且在A上游的B点未受测压管的影 响，其压强与A点测压管测得的压强相等，称为静压。
第四章 流体动力学
基本内容
• 雷诺输运公式 • 能量方程 • 动量方程 • 流体力学方程应用
第一节 雷诺输运方程
• 前面解决了流体运动的表示方法,但要在流 体上应用物理定律还有困难.
涡量输运方程
粘性流体运动的基本性质包括：运动的有旋性，旋涡的扩散性，能量的耗散性。
1、粘性流体运动的涡量输运方程为了讨论旋涡在粘性流体流动中的性质和规律，推导涡量输运方程是必要的。
推导过程如下：其Lamb型方程是：引入广义牛顿内摩擦定理：Lamb型方程变为：对上式两边取旋度，得到：整理后得到：这是最一般的涡量输运方程。
该式清楚地表明：流体的粘性、非正压性和质量力无势，是破坏旋涡守恒的根源。
在这三者中，最常见的是粘性作用。
由于：（1）如果质量力有势、流体正压、且无粘性，则涡量方程简化为：这个方程即为Helmholtz涡量守恒方程。
（2）如果质量力有势，流体为不可压缩粘性流体，则涡量输运方程变为：张量形式为。
（3）对于二维流动，上式简化为：2、粘性流体运动的有旋性理想流体运动可以是无旋的，也可以是有旋的。
但粘性流体运动一般总是有旋的。
用反证法可说明这一点。
对于不可压缩粘性流体，其运动方程组为：根据场论知识，有：代入上式，得到：如果流动无旋，则：这与不可压缩理想流体的方程组完全相同，粘性力的作用消失，说明粘性流体流动与理想流体流动完全相同，且原方程的数学性质也发生了变化，由原来的二阶偏微分方程组变成一阶偏微分方程组。
但问题出在固壁边界上。
在粘性流体中，固壁面的边界条件是：不穿透条件和不滑移条件，即：。
要求降阶后的方程组同时满足这两个边界条件一般是不可能的。
这说明粘性流体流动一般总是有旋的。
但也有特例。
如果固壁的切向速度正好等于固壁面处理想流体的速度，也就是固壁面与理想流体质点不存在相对滑移，这时不滑移条件自动满足，这样理想流体方程自动满足固壁面边界条件。
说明在这种情况下，粘性流体流动可以是无涡的。
但一般情况下，固壁面与理想流体质点总是存在相对滑移的，受流体粘性的作用，必然要产生旋涡。
由此可得出结论：粘性流体旋涡是由存在相对运动的固壁面与流体的粘性相互作用产生的。
3、粘性流体旋涡的扩散性粘性流体中，旋涡的大小不仅可以随时间产生、发展、衰减、消失，而且还会扩散，涡量从强度大的地方向强度小的地方扩散，直至旋涡强度均衡为止。
大学课件_计算传热学_第五章非稳态问题的求解方法
第5章 非稳态问题的求解方法1.1 通用输运方程()()()()()t t f q Γv tφφρφρφφ,grad div div =++-=∂∂ ( 5-1 )5.1 显式Euler 方法考虑1D, 定速度，常物性，无源项的特例22xx u t ∂∂Γ+∂∂-=∂∂φρφφ ( 5-2 ) 时间向前，空间中心差分，得FD 与FV 相同形式代数方程()t x x u nin i n i n i n i nin i∆⎥⎦⎤⎢⎣⎡∆-+Γ+∆--+=-+-++21111122φφφρφφφφ( 5-3 ) 可写成()ni n i n i n i c d c d d 1112221-++⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-=φφφφ ( 5-4 ) 其中()xtu c and x t d ∆∆=∆Γ∆=2ρ ( 5-5 ) d 表示时间步长与特征扩散时间()Γ∆/2ξρ的比。
后者代表一个扰动由于扩散通过∆x 一段距离所需时间。
c 表示时间步长与特性对流传递时间x u ∆/的比。
后者代表一个扰动由于对流通过∆x 一段距离所需时间。
c 成为Courant number, 为CFD 中一个关键的参数。
此格式为时间为1阶精度，空间为2阶精度。
方程（4）内的系数在某些条件下，可能会是负值。
用矩阵表示：n n A φφ=+1 ( 5-6 )观察函数：()∑---=-=in i ni n n 211φφφφε( 5-7 )如果系数矩阵A 的本征值中有大于1，则ε随着n 的增加而增加。
如果本征值全部小于1，则ε是递减的。
一般本征值很难求得，对于本特例，它的解可用复数形式表示ji n n j e ασφ= ( 5-8 )其中，α为波数，可取任意值。
∙ 无条件发散：φn 无条件随n 增加→|σ|>1 ∙无条件稳定：φn 无条件随n 降低→|σ|<1代入差分方程，得到本征值为：()αασsin 2cos 21c i d +1-+= ( 5-9 )考虑特殊情况，∙ 无扩散：d=0, →σ >0, 无条件发散，充分条件∙无对流：c=0, →当cos α= -1时，σ最大，→d<1/2，无条件收敛，充分条件从另一个稳定条件考虑，要求系数矩阵A 的所有系数为正，可得到类似稳定性条件：（充分条件）d c d 2and 5.0<<( 5-10 )第一个条件要求()Γ∆<∆22x t ρ ( 5-11 )表示，每当∆x 减少一半，时间步长需减少到1/4. 第二个条件要求2Pe or2<<Γ∆cell xu ρ ( 5-12 )这同前述的用1D 稳态对流/扩散问题的CDS 要求是一致的。
热输运方程
热输运方程热输运方程是描述物质内部热传导过程的数学模型。
它是通过研究物质内部的热传导现象和热平衡状态来建立的。
热输运方程在热力学、物理学、工程学等领域有广泛的应用。
热输运方程最早由法国数学家约瑟夫·傅里叶在19世纪初提出。
它的基本形式是一维热传导方程，可以用来描述物质内部温度的分布和变化。
热输运方程的一般形式如下：∂T/∂t = α∇²T其中，T是物质的温度分布，t是时间，α是热扩散系数，∇²是拉普拉斯算子。
热输运方程的含义是，物质内部的温度分布随时间的变化率等于热扩散系数与温度分布的二阶梯度之积。
简单来说，热输运方程描述了热量从高温区域传递到低温区域的过程。
热输运方程的解析解很难求得，通常需要借助数值计算方法进行求解。
常见的数值方法有有限差分法、有限元法和边界元法等。
这些方法可以将热输运方程离散化，转化为一个差分方程或代数方程组，然后利用计算机进行求解。
热输运方程的应用十分广泛。
在工程领域，热输运方程可以用来分析热传导问题，如热传导材料的导热性能、热传感器的设计和热管的热传输等。
在热力学研究中，热输运方程可以用来描述物质的热平衡状态和温度分布。
在物理学领域，热输运方程可以用来研究物质的热传导行为和温度的演化过程。
热输运方程的研究也有一些扩展和改进。
例如，考虑非线性热传导、辐射传热、相变等因素时，可以将热输运方程进行修正。
此外，还可以将热输运方程与其他方程相结合，如流体力学方程、传热方程等，来研究复杂的热力学问题。
热输运方程是描述物质内部热传导过程的重要数学模型。
它在多个领域有广泛的应用，为研究热传导问题和热平衡状态提供了有效的工具。
通过对热输运方程的研究和求解，可以深入理解物质的热传导行为，为相关工程和科学研究提供支持。
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输运方程
数值结果
总结与展望
压低的横动量依赖
(Liu, Qu, Xu, Zhuang, PLB678, 72) (Data from STAR and PHENIX, 0904.0439, PRL98, 232301)
6
RHIC实验
输运方程
数值结果
总结与展望
压低和横动量在不同快度区间的比值
(Liu, Qu, Xu, Zhuang, arxiv:0907.2723) (Data from PHENIX, PRL 2007)
Leakage Effect (J. Hüfner, P. Zhuang, 2003)
4
RHIC实验
输运方程
数值结果
总结与展望
RHIC能量下的
压低和横动量
(Liu, Qu, Xu, Zhuang, PLB678, 72) (Data from PHENIX, PRL98, 232301)
5
RHIC实验
RHIC实验
输运方程
数值结果
总结与展望
重离子碰撞中的
产生
刘云朋 (清华大学 物理系)
合作者: 周凯 (清华大学) 屈真 (清华大学) 许怒 (LBNL) 庄鹏飞 (清华大学)
1
RHIC实验
输运方程
数值结果
总结与展望
概要
RHIC的主要实验结果 输运模型 数值结果
总结与展望
2
RHIC实验
输运方程
的产生与压低.
9
7
RHIC实验
输运方程
数值结果
总结与展望
总结和展望
总结
压低主要来自 与低能胶子的散射.
初始产生的 和重产生的 碰撞中都有重要的贡献.
在RHIC的中心
8பைடு நூலகம்
RHIC实验
输运方程
数值结果
总结与展望
总结和展望
展望
用 探测状态方程的信息.
在LHC能量下charm 和anti-charm的热产生. 重离子碰撞中
数值结果
总结与展望
RHIC的部分实验结果
(STAR, 0904.0439)
3
RHIC实验
输运方程
数值结果
总结与展望
的输运方程
Time evolution
Leakage effect
Dissociation
Longitudinal streaming
Thermal regeneration
c c J / g