体积形态连续介质有限变形理论—输运方程
流体动力学基本方程
4
τ 21 = c21kl
∂ul ∂u ∂u = c2121 1 = µ 1 ∂xk ∂x2 ∂x2
′ = c21 ′ kl τ 21
′ ∂ul′ ∂u1 ∂u ′ ′ = c2121 =µ 1 ′ ′ ′ ∂xk ∂x2 ∂x2
′ x1 x2
x1
′ x2
cijkl 是四阶张量，考察变换
′ = β im β jnτ mn = β im β jn cmnpq τ ij ∂uq ∂x p = β im β jn cmnpq β kp β lq ∂ul′ ′ ∂xk
——能量方程
二、动能方程
G G G G G dV G G G dV 将动量方程 ρ = ρF + ∇ ⋅ P 两边同时点积 V 得： ρV ⋅ = ρF ⋅ V + V ⋅ (∇ ⋅ P) dt dt G G G G dV 1 d (V ⋅ V ) 1 dV 2 而V ⋅ ，故有动能定理 = = dt 2 dt 2 dt
。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 §4.本构方程 数学预备： 二阶张量的坐标变换 记 ∇V = E ，将坐标系旋转，从原坐标系 o-xyz 到旋转后的坐标系 o-x′y′z ′ ，二阶张量 E 的张量元满足 变换：
Chapter 3
流体动力学基本方程
§1 质量连续性方程（质量守恒方程） 一．体系和控制体。 体系（物质体） ：流体团无论运动到哪，如何变形，总由同一批流体质点组成。 控制体：流场中一个确定的子空间，大小、形状、位置都固定。有流体质点不停出入。 二．通量的概念和 Reynolds 输运方程 质量通量：单位时间内穿过曲面 s 的质量
体积形态连续介质有限变形理论—变形刻画
1. 利用性质1.2中相应结论, 有
t˙
˙◦
◦
◦
t
dX
限 dλ (λ)
=
F
·
dX dλ (λ)
=
F˙
·
dX dλ (λ)
=
L·
F
·
dX dλ (λ)
=
L
·
dX dλ (λ).
2. 利用性质1.2中相应结论, 有
有 t˙
t
◦
◦
∂X × ∂X (λ, µ) = |F |F˙ −∗ · ∂X × ∂X (λ, µ)
体积形态连续介质有限变形理论—变形刻画
谢锡麟 复旦大学 力学与工程科学系
麟
2015 年 4 月 2 日
锡
1
谢 知识要素
基于变形梯度的基本性质, 可按郭仲衡 (1980)关于一般有限变形理论的处理, 将变形的全
部刻画分为 4 类, 归结为如下 4 个性质.
1.1 变形梯度基本性质
稿
性质 1.1 (变形梯度基本性质).
性质 1.2 (初始物理构型－当前物理构型中有向线元、面元以及体元之间的关系式).
t
◦
变 1.
dX dλ (λ)
=
F
·
dX dλ
(λ);
t
t
◦
◦
2. ∂X × ∂X (λ, µ) = (|F |F −∗) · ∂X × ∂X (λ, µ);
限∂λ ∂µ
∂λ ∂µ
有
t
t
t
3.
∂X ,
∂X ,
∂X
∂λ ∂µ
有 式中最后一步利用了 Nanson 公式.
4
体积形态连续介质有限变形理论 -变形刻画
有限体积法基础
有限体积法基础有限体积法是一种数值分析方法，主要用于求解偏微分方程。
它将空间分成一系列的体积元，并且将计算结果储存起来，以便在下一个时间步骤进行计算。
在有限体积法中，体积元的边界被称为单元的面。
这些面被用来确定物质过渡的速率。
下面我们将进一步讨论有限体积法的基础知识。
有限体积法的主要思想是基于守恒原理，它认为一个系统内的总质量、物质和能量是不变的，在考虑这个理论模型的时候需要注意到这些变量的变化。
对于流体力学问题，有限体积法的两个基本假设是守恒原理以及描述流动的基本方程式不变。
有限体积法的设计结合了一些不同类型的基本方程式。
最常见的基本方程式是连续性和动量守恒方程式。
连续性方程式是描述物质输送的方程式，它表示了在任何一个小体积元内的物质输送是以恒定的速率进行的。
动量守恒方程式表示了每个小体积元的力学效应，包括压力、动量、重力和摩擦力等。
在计算的过程中，有限体积法将模型划分成一个网格，将每个体积元看作一个节点，控制体积元内的平均值。
在这个模型中，每个节点的值取决于它的邻域，因此在每个时间步骤中都需要重新计算。
这种方法的优点是可以非常准确地记录物质和能量的流动，缺点是计算量较大，但通过高性能计算工具可以得到准确且高效的解决方案。
总而言之，有限体积法是一种强大的数值分析方法，可以应用于流体力学、结构力学等方面。
它可以在不同的工程学领域解决多种不同的问题，如过程建模、边界值问题等。
要求有效地运用有限体积法，在合理的网格分布、合理的边界条件、合理的物理模型以及合理的计算策略下，对于计算速度和准确性都要求高度保证。
连续介质力学运动方程
连续介质力学运动方程
连续介质力学是研究流体和固体等连续介质运动的力学理论。
其运动方程包括质量守恒方程、动量守恒方程和能量守恒方程。
首先，我们来看质量守恒方程。
在连续介质力学中，质量守恒
方程描述了流体内部质量的变化。
它可以用偏导数形式表示为
∂ρ/∂t + ∇·(ρv) = 0，其中ρ是介质的密度，t是时间，v
是介质的速度矢量，∇是梯度算子。
这个方程表明了质量在空间和
时间上的变化关系。
其次，动量守恒方程描述了连续介质中动量的变化。
对于流体
力学来说，动量守恒方程可以写作ρ(∂v/∂t + v·∇v) = -∇p
+ ∇·τ + f，其中p是压力，τ是应力张量，f是外力。
这个方
程表达了流体内部动量随时间和空间的变化规律。
最后，能量守恒方程描述了连续介质内能量的变化。
对于不可
压缩流体来说，能量守恒方程可以写作∂(ρe)/∂t + ∇·(ρev + pv) = ∇·(k∇T + q)，其中e是单位质量的内能，k是导热系数，T是温度，q是热源。
这个方程描述了能量在流体中的传递和转化过程。
综上所述，连续介质力学的运动方程包括质量守恒方程、动量守恒方程和能量守恒方程，它们描述了连续介质在运动过程中的质量、动量和能量的变化规律。
这些方程是研究流体力学和固体力学问题的重要基础，对于理解和预测连续介质运动具有重要意义。
第三章 大变形运动学与连续介质力学(1)
从而有
dx ( I H ) dX ，
dxi ( iJ H iJ )dX J
dX ( I h) dx ，
dX I ( jI hIj )dx j
（2）参考构形体元与现时构形体元之间的变换
dx
dx '
dx ''
x dX X
x dX ' X
x dX '' X
第三章 大变形运动学与连续介质力学
小变形： 包括弹性或塑性小变形，应变 ~ 0.1% Cauchy应变与位移是线性关系——几何线性问题 大变形（有限变形） ：
ij (ui , j u j ,i )
1 2
应变大，有时达到 100~ 200%，甚至更大 Cauchy应变不再适用——几何非线性问题，需要建立新的变形描述理论 通常由纯变形（stretch），刚体转动（rigid body rotation）及刚体位移 （ translation）组成
ˆ ˆi E 通常取两个完全重合的直角坐标系： e I
则下标可不区分大小写
参考构形中的质点P，或质点X（XJ） 微小线元PQ记作向量dX
经过运动与变形后，在t 时刻： 构形C变为构形c 质点XJ（质点P）运动到p，位移为u p的空间坐标为x（xi） 线元PQ变为pq ， dX变为dx
质点X（XJ）的运动： x x ( X , t ) ， xi xi ( X J , t ) x X u ， xi iJ X J ui
小变形Cauchy应变 ： ij (ui , j u j ,i ) 2 11 22 cos 1 若 90 ，则 11 22 1 刚体转动任意一点的应变都是0。 只有当 0 时应变公式才有足够的精度 Cauchy应变不适用于大变形
连续介质力学
连续介质力学的应用领域包括：工 程力学、流体力学、固体力学、生 物力学等。
连续性假设：假设介质是连续的没 有空隙或裂缝
各向同性假设：假设介质在各个方 向上都是相同的
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均匀性假设：假设介质在各个方向 上都是均匀的
小变形假设：假设介质的变形很小 不会影响其物理性质
流体：不可压缩、连续、无固定形状的 物质如空气、水等
多尺度连续介质力学：研究不同尺度下的连续介质力学问题如分子动力学、介观力学等
跨学科连续介质力学：与其他学科交叉如生物力学、环境力学等
计算连续介质力学：发展高效的计算方法和软件解决复杂问题如流体动力学、固体力学 等
PRT SIX
连续介质力学是研究流体和固体力学 的重要学科
连续介质力学的特点包括：连续性、 守恒性、对称性等
研究方法：数学模型、数值 模拟、实验验证等
研究对象：连续介质如液体、 气体、固体等
基本概念：应力、应变、位 移、速度、加速度等
应用领域：工程力学、流体 力学、固体力学等
PRT THREE
弹性力学的定义：研究弹性体在外力作用下的变形和应力分布的学科 弹性力学的基本假设：连续性假设、小变形假设、均匀性假设、各向同性假设 弹性力学的基本方程：平衡方程、几何方程、物理方程 弹性力学的应用：工程结构设计、地震工程、材料科学等
,
汇报人：
CONTENTS
PRT ONE
PRT TWO
连续介质力学是研究连续介质（如 液体、气体、固体等）在力作用下 的变形、流动和应力分布的学科。
连续介质力学的研究内容包括：应 力、应变、变形、流动、热传导等。
添加标题
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添加标题
连续体方程
连续体方程连续体方程是描述物理系统中连续介质运动的方程组。
这些方程在流体力学、气体力学、固体力学等领域中有着广泛的应用。
本文将依次介绍连续体方程的七个方面。
1.运动方程运动方程是描述质点或粒子运动规律的方程。
在经典力学中，牛顿第二定律就是一种常见的运动方程，表达了物体加速度与作用力之间的关系。
在连续体力学中，运动方程通常表示连续介质中每个质点的运动状态，涉及到速度、加速度和作用力等物理量。
2.连续性方程连续性方程是描述流体、气体等连续介质流动的方程。
它表达了质量守恒的原理，即在一定时间内，流入和流出某个截面的质量之和等于该截面上质量的变化量。
在流体和气体流动中，连续性方程是必不可少的，它可以表示流体微团在运动中的质量变化。
3.动量方程动量方程是描述流体、气体等流动中微小扰动的动量变化率的方程。
它表达了动量定理，即在一定时间内，流入和流出某个截面的动量之和等于该截面上动量的变化量。
在流体力学中，动量方程可以表示流体微团受到的力与加速度之间的关系。
4.动量矩方程动量矩方程是描述流体、气体等流动中微小扰动的动量矩变化率的方程。
它表达了角动量定理，即在一定时间内，流入和流出某个截面的角动量之和等于该截面上的角动量的变化量。
在流体力学中，动量矩方程可以表示流体微团受到的扭矩与角加速度之间的关系。
5.能量方程能量方程是描述流体、气体等流动中微小扰动的能量变化率的方程。
它表达了能量守恒的原理，即在一定时间内，流入和流出某个截面的能量之和等于该截面上能量的变化量。
在流体力学中，能量方程可以表示流体微团受到的热量与内能之间的关系。
6.熵方程熵方程是描述流体、气体等流动中微小扰动的熵变化率的方程。
它表达了热力学第二定律，即在孤立系统中，过程总是朝着熵增加的方向进行。
在流体力学中，熵方程可以表示流体微团受到的热量与熵之间的关系。
7.本构方程本构方程是描述流体、气体等流动中微小扰动的本构关系的方程。
它涉及到应力与应变、压力与体积等物理量之间的关系，反映了流体的内在属性。
流体力学基本方程组总结
（47）
P ' 是除去 pI 后得到的张量，称为偏应力张量。当运动消失时它趋于零。可见，偏应力
张量和应力张量一样也是对称张量。
（2）偏应力张量的各分量 ij
是局部速度梯度张量
vi x j
各分量的线性齐次函数。当
速度在空间均匀分布时，偏应力张量为零；当速度偏离均匀分布时，在粘性流体中产生 了偏应力，它力图使速度回复到均匀分布情形。
pij x j
0
（27）
或
(v) div(vv) F divP 0 t
(vi t
)
div(
vi
v
)
Fi
pij x j
0
（28）
微分方程中各项的物理意义为， Dv 表示单位体积上惯性力， F 为单位体积上的质 Dt
量力，divP 为单位体积上应力张量的散度，它是与面力等效的体力分布函数（由奥高公 式转化而来）。
中定义的剪切速率的值是这里的一半，这是有问题的，因为剪切速率本身的值应以这里 为准，但变形速度张量内剪切变形的量值为该剪切速率的一半。
由上可知，变形速度张量的对角线分量 1 ， 2 ， 3 的物理意义分别是 x, y, z 轴线上
线段元 dx, dy, dz 的相对拉伸速度或相对压缩速度。而非对角线分量1,2,3 的物理意义
（1）求解上式右边第二项内对体积元的随体导数，则
D( v )d Dt
v
D d Dt
(v) t
v
( v )
d
( v )divvd
(v t
)
v
(
v
)
(
v
)
v
d
(v t
)
div(
vv
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• 本讲稿获得输运定理的思想与方法基于微积分并利用严格形式的变形刻画, 故分析过程及 结论完全严格. 很多文献采用体积元的方法推导体积上输运定理, 实际为物质导数的极限 分析. 这样的方法 “ 貌似” 物理意义清晰, 但却难以推广至物质面, 物质线上的输运问题.
有
限
变
形
理
论
讲 稿
3
谢
t t t ∫ d ∂ X ∂ X ∂ X (λ, µ, γ )dτ Φdτ = Φ , , dt Dλµγ ∂λ ∂µ ∂γ R3 ∫ ∫ ˙ dτ + = tΦ t θ Φdτ V V ] ∫ ∫ [ ∂X ∂Φ (x, t) + · (V ⊗ Φ) dτ − t (x, t) · ( ⊗ Φ)dτ = t ∂t V ∂t ∮ ∫V ∫ ∂Φ ∂X (x, t)dτ + t Φ(V · n)dτ − t (x, t) · ( ⊗ Φ)dτ. = t V ∂t ∂V V ∂t
性质 1.2 (当前物理构型中有向线元、面元以及体元的物质导数同其之间的关系式).
t˙ t dX dX 1. (λ) = L · (λ); dλ dλ t t ˙ t t ∂X ∂X ∂X ∂X 2. × (λ, µ) = B · × (λ, µ); ∂λ ∂µ ∂λ ∂µ
dX (λ) dλ ˙ dl + Φ
t
Φdλ ∫
t
τ
(τ · L∗ )
C
C
限
2. 物质面第二类输运定理 d dt ∫
t
Φ
有
Σ
d dt
∫
t
n
Σ
∂ X × ∂ X (λ, µ)dσ ∂λ ∂µ Dλµ ∫ ˙ ndσ + = t Φ (B · n)dσ, t Φ Σ Σ t t ∫ ∂ X d ∂ X (λ, µ) Φdσ Φdσ = × dt Dλµ ∂λ ∂µ ∫ ∫ ˙ = t n Φdσ + t (n · B ∗ ) Φdσ ; ndσ = Φ
Σ Σ
d dt ∫
∫
t
2
谢
Φdl;
t
锡 麟
体积形态连续介质有限变形理论 -输运方程
谢锡麟
3. 物质体输运定理 d dt ∫
t
V
式中不失一般性地认为体积转换项始终为正, 并且最后等式的获得利用了 Gauss-Ostrogradskii 公式.
2 应用事例 3 建立路径
• 为计算物质系统 (物质线, 物质面以及物质体) 上张量场的第一类或第二类积分, 首先按微 积分中曲线积分, 曲面积分以及体积分的计算方法将积分转化至参数域, 由于参数域不随 时间变化, 故对于时间的导数可以直接移至积分内 (对参数域上的被积张量进行求导), 结 此可建立所有形式的输运定理. 合变形刻画可以将所有情形的参数域上的积分再转化至当前构型中物质系统上的积分, 由
锡 麟
(λ, µ).
R3
谢
1 知识要素
锡 麟
体积形态连续介质有限变形理论 -输运方程 1. 物质线第一类输运定理 d dt ∫
t ∫ d b dX Φ (λ)dλ t Φdl = dt a dλ C 3 ∫ ∫ R ˙ dl + = tΦ t Φ (τ · D · τ )dl ; C C
谢锡麟
2. 物质面第一类输运定理 d dt ∫
Σ
1.2.2
第二类输运定理
将第三类变形刻画 (性质1.2) 结合微积分中第二类线积分以及面积分的计算式, 可得第二类 输运定理. 以下 表示任何合法的张量代数运算.
1. 物质线第二类输运定理 d dt ∫
形
理
t
Φ
C
论
C
t ∫ dX d b Φ (λ)dλ τ dl = dt a dλ ∫ ∫ ˙ = t Φ τ dl + t Φ (L · τ )dl, C
体积形态连续介质有限变形理论—输运方程
谢锡麟 复旦大学 力学与工程科学系 2015 年 4 月 2 日
1.1
相关变形刻画
dX 1. dλ
R3
t˙
dX (λ) = (τ · D · τ ) dλ
R3
t
(λ);
R3
论
˙ t t ∂X ∂X 2. × ∂λ ∂µ 此处 D
∂X ∂X × (λ, µ) = (θ − n · D · n) ∂λ ∂µ
1.2.1
输运方程
第一类输运定理
将第四类变形刻画 (性质1.1) 结合微积分中第一类线积分以及面积分的计算式, 可得第一类 输运定理. 1
形
理
L + L∗ 称为曲线坐标系显含时间有限变形理论的变形率张量; τ 和 n 分别表示有向 2 线元的指向以及有向面元的单位法向量.
讲 稿
t t
性质 1.1 (当前物理构型中有向线元、面元模的物质导数同其之间的关系式).t t t t t ∂ X ∂ X ∂ X ∂ X ∂ X ∂ X (λ, µ, γ ) = θ (λ, µ, γ ). 3. , , , , ∂λ ∂µ ∂γ ∂λ ∂µ ∂γ θI − ⊗ V 称为曲线坐标系显含时间有限变形理论的面变形梯度.
此处 B
1.2
变
d dt
∫
t
τ
Φdl = =
C
d dt ∫
t
讲 稿
∫
a b
t t ∫ d ∂X ∂X Φ × (λ, µ)dσ t Φdσ = dt Dλµ ∂λ ∂µ Σ 3 ∫ ∫R ∫ ˙ dσ + = t Φ t Φθ dσ − t Φ(n · D · n)dσ Σ Σ Σ ] [ ∫ ∫ ∂X ∂Φ (x, t) + · (V ⊗ Φ) dσ − t (x, t) · ( ⊗ Φ)dσ = t Σ ∂t Σ ∂t ∫ − t Φ(n · D · n)dσ.