输运方程的本征值问题

输运方程本征值
无外源时，输运方程可以写成 0'1(,)(,')(;',') (,',',)''
t E v t
E f E E E t dE d φφφφ∞Ω∂=−⋅∇−Σ∂+Σ→→∫∫Ωr r r ΩΩr ΩΩ （1）
(,,,)E t φφ=r Ω其中
简记为
1(,) '''''t E f d dE v t
φφφφ∂=−⋅∇−Σ+Σ∂∫∫Ωr Ω （2） 注意：积分中的f 是广义指示函数（或转移函数），散射源和裂变源
都包括在内。

把与时间无关的线性算符记为L ，则无外源输运方程（２）
可以简记为
1v t φφ∂=∂L （3） 分离变量，令 (,,,)(,,) ()E t E T t φϕ=r Ωr Ω ，
代入（2），并用(,,) ()E T t ϕr Ω除两边，得到：
{}
''''' T
v f d dE T T ϕϕϕϕ∂−⋅∇−Σ+ΣΩ=∫∫Ω
左边是时间的函数，右边是位置，能量，方向的函数，两者怎能相等？只有两者都等于一个常数时才可能．故
{} ''''' T
v f d dE T T ϕϕϕλϕ
∂−⋅∇−Σ+ΣΩ==∫∫Ω 这就把原方程分离成了两个方程
T T
λ∂= （4） ） v λ
ϕϕ=L (5a)
（4）的解是
0 t T T e λ= (6)
其中的λ是方程（5）的本征值。

这样我们就把求解与时间
有关输运方程的问题转化为求解定态方程（5）的本征值与
本征函数问题。

容易看出，方程（5）与定态输运方程的差别是其总截面
Σ增加了v
λ；当0λ=时，两者没有差别。

当0λ>时， 相当于俘获截面增大（因为积分号中的散射与裂变截面未
变，只能是俘获截面增大）。

物理上是相应于一个超临界
系统，为了使其变成稳态，可以人为地加大其俘获截面。

由于这虚拟俘获
v λ符合1v
律，必然会造成能谱的吸收硬 化（算出的能谱比实际能谱硬），这是λ本征值的特点。

也可以采用k 本征值，此时方程为
'
111''''
()''''4
t s f v t f dE d E dE d k ϕϕϕϕχνϕπ
∂+⋅∇+Σ∂=Σ+Σ∫∫∫∫ΩΩΩ （上式中将散射源和裂变源和分开写出，是因为要对裂
变源进行人为调整）
采用k 本征值，超临界时候，k >1,人为压低了裂变，使得
能谱变软 (算出的能谱比实际能谱软)。

除了λ本征值和k 本征值之外，常用的还有γ本征值。

关于各种本征值 与相应的本征函数的讨论，可参考杜书华《输运问题的计算机模拟》一书的
第三章。

注：许多文献中把本文中的λ特征值称为α本征值。