全国中考数学一元二次方程的综合中考真题分类汇总及详细答案

全国中考数学一元二次方程的综合中考真题分类汇总含详细答案

一、一元二次方程真题与模拟题分类汇编（难题易错题） 1．关于x 的方程x 2﹣2（k ﹣1）x +k 2＝0有两个实数根x 1、x 2．（1）求k 的取值范围；（2）若x 1+x 2＝1﹣x 1x 2，求k 的值．【答案】（1）12k ≤；（2）3k = 【解析】试题分析：（1）方程有两个实数根，可得240b ac ∆=-≥，代入可解出k 的取值范围；（2）由韦达定理可知，()2121221,x x k x x k +=-=，列出等式，可得出k 的值．试题解析：(1)∵Δ＝4(k －1)2－4k 2≥0，∴－8k ＋4≥0，∴k ≤12； (2)∵x 1＋x 2＝2(k －1)，x 1x 2＝k 2，∴2(k －1)＝1－k 2， ∴k 1＝1，k 2＝－3. ∵k ≤12，∴k ＝－3.2．已知关于x 的方程24832x nx n --=和()223220x n x n -+-+=，是否存在这样的n 值，使第一个方程的两个实数根的差的平方等于第二个方程的一整数根？若存在，请求出这样的n 值；若不存在，请说明理由？【答案】存在，n=0. 【解析】【分析】在方程①中，由一元二次方程的根与系数的关系，用含n 的式子表示出两个实数根的差的平方，把方程②分解因式，建立方程求n ，要注意n 的值要使方程②的根是整数. 【详解】若存在n 满足题意.设x1，x2是方程①的两个根，则x 1+x 2=2n ，x 1x 2=324n +-，所以(x 1-x 2)2=4n 2+3n+2，由方程②得，(x+n-1)[x-2(n+1)]=0，①若4n 2+3n+2=-n+1，解得n=-12，但1-n=32不是整数，舍.②若4n 2+3n+2=2(n+2)，解得n=0或n=-14(舍)，综上所述，n=0.3．图1是李晨在一次课外活动中所做的问题研究：他用硬纸片做了两个三角形，分别为△ABC 和△DEF ，其中∠B=90°，∠A=45°，BC=，∠F=90°，∠EDF=30°， EF=2．将△DEF的斜边DE与△ABC的斜边AC重合在一起，并将△DEF沿AC方向移动．在移动过程中，D、E两点始终在AC边上(移动开始时点D与点A重合)．（1）请回答李晨的问题：若CD=10，则AD= ；（2）如图2，李晨同学连接FC，编制了如下问题，请你回答：①∠FCD的最大度数为；②当FC∥AB时，AD= ；③当以线段AD、FC、BC的长度为三边长的三角形是直角三角形，且FC为斜边时，AD= ;④△FCD的面积s的取值范围是 .【答案】（1）2；（2）① 60°；②；③；④.【解析】试题分析：（1）根据等腰直角三角形的性质，求出AC的长，即可得到AD的长.（2）①当点E与点C重合时，∠FCD的角度最大，据此求解即可.②过点F作FH⊥AC于点H，应用等腰直角三角形的判定和性质，含30度角直角三角形的性质求解即可.③过点F作FH⊥AC于点H，AD=x，应用含30度角直角三角形的性质把FC用x来表示，根据勾股定理列式求解.④设AD=x，把△FCD的面积s表示为x的函数，根据x的取值范围来确定s的取值范围.试题解析：（1）∵∠B=90°，∠A=45°，BC=，∴AC=12.∵CD=10，∴AD=2.（2）①∵∠F=90°，∠EDF=30°，∴∠DEF=60°.∵当点E与点C重合时，∠FCD的角度最大，∴∠FCD的最大度数=∠DEF="60°."② 如图，过点F作FH⊥AC于点H，∵∠EDF=30°， EF=2，∴DF=. ∴DH=3，FH=.∵FC∥AB，∠A=45°，∴∠FCH="45°." ∴HC=. ∴DC=DH+HC=.∵AC=12，∴AD=.③如图，过点F 作FH ⊥AC 于点H ，设AD=x ，由②知DH=3，FH=，则HC=.在Rt △CFH 中，根据勾股定理，得.∵以线段AD 、FC 、BC 的长度为三边长的三角形是直角三角形，且FC 为斜边， ∴，即，解得.④设AD=x ，易知，即. 而，当时，；当时，.∴△FCD 的面积s 的取值范围是.考点：1.面动平移问题；2.等腰直角三角形的判定和性质；3.平行的性质；4.含30度角直角三角形的性质；5.勾股定理；6.由实际问题列函数关系式；7.求函数值.4．已知关于x 的一元二次方程()220x m x m -++=（m 为常数）（1）求证：不论m 为何值，方程总有两个不相等的实数根；（2）若方程有一个根是2，求m 的值及方程的另一个根．【答案】(1)见解析；(2) 即m 的值为0，方程的另一个根为0. 【解析】【分析】（1）可用根的判别式，计算判别式得到△=(m+2)2−4×1⋅m=m 2+4＞0，则方程有两个不相等实数解，于是可判断不论m 为何值，方程总有两个不相等的实数根；（2）设方程的另一个根为t ，利用根与系数的关系得到2+t=21m + ,2t=m,最终解出关于t 和m 的方程组即可. 【详解】 (1)证明：△=(m+2)2−4×1⋅m=m 2+4， ∵无论m 为何值时m 2≥0， ∴m 2+4≥4＞0，即△＞0，所以无论m 为何值，方程总有两个不相等的实数根. (2)设方程的另一个根为t ，()220x m x m -++=根据题意得2+t=21m + ,2t=m ，解得t=0，所以m=0，即m 的值为0，方程的另一个根为0. 【点睛】本题考查根的判别式和根于系数关系，对于问题（1）可用根的判别式进行判断，在判断过程中注意对△的分析，在分析时可借助平方的非负性；问题（2）可先设另一个根为t ，用根于系数关系列出方程组，在求解.5．已知关于x 的一元二次方程x 2－（2k ＋1）x ＋k 2＋2k ＝0有两个实数根x 1，x 2．（1）求实数k 的取值范围；（2）是否存在实数k ，使得x 1·x 2－x 12－x 22≥0成立？若存在，请求出k 的值；若不存在，请说明理由．【答案】(1)当k≤14时，原方程有两个实数根(2)不存在实数k ，使得x 1·x 2－x 12－x 22≥0成立【解析】试题分析：（1）根据一元二次方程根的判别式列出不等式，解之即可；（2）本题利用韦达定理解决. 试题解析：（1）∆= ()()2221420k k k +-+≥，解得14k ≤（2）由2212120x x x x --≥得 2121230x x x x （）-+≥，由根与系数的关系可得：2121221,2x x k x x k k +=+=+代入得：22364410k k k k +---≥，化简得：()210k -≤，得1k =.由于k 的取值范围为14k ≤，故不存在k 使2212120x x x x --≥．6．某公司今年1月份的生产成本是400万元，由于改进技术，生产成本逐月下降，3月份的生产成本是361万元．假设该公司2、3、4月每个月生产成本的下降率都相同．（1）求每个月生产成本的下降率；（2）请你预测4月份该公司的生产成本．【答案】（1）每个月生产成本的下降率为5%；（2）预测4月份该公司的生产成本为342.95万元．【解析】【分析】（1）设每个月生产成本的下降率为x，根据2月份、3月份的生产成本，即可得出关于x 的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论；（2）由4月份该公司的生产成本=3月份该公司的生产成本×（1﹣下降率），即可得出结论．【详解】（1）设每个月生产成本的下降率为x，根据题意得：400（1﹣x）2=361，解得：x1=0.05=5%，x2=1.95（不合题意，舍去）．答：每个月生产成本的下降率为5%；（2）361×（1﹣5%）=342.95（万元），答：预测4月份该公司的生产成本为342.95万元．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元二次方程；（2）根据数量关系，列式计算．7．淘宝网举办“双十一”购物活动许多商家都会利用这个契机进行打折让利的促销活动．甲网店销售的A商品的成本为30元/件，网上标价为80元/件．（1）“双十一”购物活动当天，甲网店连续两次降价销售A商品吸引顾客，问该店平均每次降价率为多少时，才能使A商品的售价为39.2元/件？（2）据媒体爆料，有一些淘宝商家在“双十一”购物活动当天先提高商品的网上标价后再推出促销活动，存在欺诈行为．“双十一”活动之前，乙网店销售A商品的成本、网上标价与甲网店一致，一周可售出1000件A商品．在“双十一”购物活动当天，乙网店先将A商品的网上标价提高a%，再推出五折促销活动，吸引了大量顾客，乙网店在“双十一”购物活动当天卖出的A商品数量相比原来一周增加了2a%，“双十一”活动当天乙网店的利润达到了3万元，求乙网店在“双十一”购物活动这天的网上标价．【答案】（1）平均每次降价率为30%，才能使这件A商品的售价为39.2元；（2）乙网店在“双十一”购物活动这天的网上标价为100元．【解析】【分析】（1）设平均每次降价率为x，才能使这件A商品的售价为39.2元，根据原标价及经过两次降价后的价格，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论；（2）根据总利润＝每件的利润×销售数量，即可得出关于a的一元二次方程，解之取其正值即可得出a的值，再将其代入80（1+a%）中即可求出结论．【详解】（1）设平均每次降价率为x，才能使这件A商品的售价为39.2元，根据题意得：80（1﹣x）2＝39.2，解得：x1＝0.3＝30%，x2＝1.7（不合题意，舍去）．答：平均每次降价率为30%，才能使这件A商品的售价为39.2元．（2）根据题意得：[0.5×80（1+a%）﹣30]×1000（1+2a%）＝30000，整理得：a2+75a﹣2500＝0，解得：a1＝25，a2＝﹣100（不合题意，舍去），∴80（1+a%）＝80×（1+25%）＝100．答：乙网店在“双十一”购物活动这天的网上标价为100元．【点睛】本题考查一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．8．已知关于x的一元二次方程x2﹣mx﹣2＝0…①（1）若x＝﹣1是方程①的一个根，求m的值和方程①的另一根；（2）对于任意实数m，判断方程①的根的情况，并说明理由．【答案】（1）方程的另一根为x=2；(2)方程总有两个不等的实数根，理由见解析.【解析】试题分析：（1）直接把x=-1代入方程即可求得m的值，然后解方程即可求得方程的另一个根；（2）利用一元二次方程根的情况可以转化为判别式△与0的关系进行判断．(1)把x=-1代入得1+m-2=0，解得m=1∴2--2=0．∴∴另一根是2；(2)∵，∴方程①有两个不相等的实数根．考点：本题考查的是根的判别式，一元二次方程的解的定义，解一元二次方程点评：解答本题的关键是熟练掌握一元二次方程根的情况与判别式△的关系：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根9．“分块计数法”：对有规律的图形进行计数时，有些题可以采用“分块计数”的方法．例如：图1有6个点，图2有12个点，图3有18个点，……，按此规律，求图10、图n 有多少个点？我们将每个图形分成完全相同的6块，每块黑点的个数相同（如图），这样图1中黑点个数是6×1=6个；图2中黑点个数是6×2=12个：图3中黑点个数是6×3=18个；所以容易求出图10、图n中黑点的个数分别是、．请你参考以上“分块计数法”，先将下面的点阵进行分块（画在答题卡上），再完成以下问题：（1）第5个点阵中有个圆圈；第n个点阵中有个圆圈．（2）小圆圈的个数会等于271吗？如果会，请求出是第几个点阵．【答案】60个，6n个；（1）61；3n2﹣3n+1，（2）小圆圈的个数会等于271，它是第10个点阵．【解析】分析：根据规律求得图10中黑点个数是6×10=60个；图n中黑点个数是6n个；（1）第2个图中2为一块，分为3块，余1，第2个图中3为一块，分为6块，余1；按此规律得：第5个点阵中5为一块，分为12块，余1，得第n个点阵中有：n×3（n﹣1）+1=3n2﹣3n+1，（2）代入271，列方程，方程有解则存在这样的点阵．详解：图10中黑点个数是6×10=60个；图n中黑点个数是6n个，故答案为：60个，6n个；（1）如图所示：第1个点阵中有：1个，第2个点阵中有：2×3+1=7个，第3个点阵中有：3×6+1=17个，第4个点阵中有：4×9+1=37个，第5个点阵中有：5×12+1=60个，…第n个点阵中有：n×3（n﹣1）+1=3n2﹣3n+1，故答案为：60，3n2﹣3n+1；（2）3n2﹣3n+1=271，n2﹣n﹣90=0，（n﹣10）（n+9）=0，n1=10，n2=﹣9（舍），∴小圆圈的个数会等于271，它是第10个点阵．点睛：本题是图形类的规律题，采用“分块计数”的方法解决问题，仔细观察图形，根据图形中圆圈的个数恰当地分块是关键．10．为了让学生亲身感受合肥城市的变化，蜀山中学九（1）班组织学生进行“环巢湖一日研学游”活动，某旅行社推出了如下收费标准：（1）如果人数不超过30人，人均旅游费用为100元；（2）如果超过30人，则每超过1人，人均旅游费用降低2元，但人均旅游费用不能低于80元．该班实际共支付给旅行社3150元，问：共有多少名同学参加了研学游活动？【答案】共有35名同学参加了研学游活动．【解析】试题分析：由该班实际共支付给旅行社3150元，可以判断出参加的人数在30人以上，等量关系为：（100﹣在30人基础上降低的人数×2）×参加人数=3150，得到相关解后根据人均活动费用不得低于80元作答即可．试题解析：∵100×30=3000＜3150，∴该班参加研学游活动的学生数超过30人．设九（1）班共有x人去旅游，则人均费用为[100﹣2（x﹣30）]元，由题意得：x[100﹣2（x﹣30）]=3150，整理得x2﹣80x+1575=0，解得x1=35，x2=45，当x=35时，人均旅游费用为100﹣2（35﹣30）=90＞80，符合题意．当x=45时，人均旅游费用为100﹣2（45﹣30）=70＜80，不符合题意，应舍去．答：该班共有35名同学参加了研学旅游活动．考点：一元二次方程的应用．。

2024年中考数学《一元二次方程及其应用》真题含解析

专题09 一元二次方程及其应用（33题）一、单选题1．（2024·吉林·中考真题）下列方程中，有两个相等实数根的是（）A ．()221x −=− B ．()220x −= C ．()221x −= D ．()222x −=【答案】B【分析】本题考查了一元二次方程的根，解一元二次方程，熟练掌握开平方法解方程是解题的关键．分别对每一个选项运用直接开平方法进行解方程即可判断．【详解】解：A 、()2210x −=−<，故该方程无实数解，故本选项不符合题意； B 、()220x −=，解得：122x x ==，故本选项符合题意； C 、()221x −=，21x −=±，解得123,1x x ==，故本选项不符合题意；D 、()222x −=，2x −，解得1222x x 故选：B ．2．（2024·黑龙江绥化·中考真题）小影与小冬一起写作业，在解一道一元二次方程时，小影在化简过程中写错了常数项，因而得到方程的两个根是6和1；小冬在化简过程中写错了一次项的系数，因而得到方程的两个根是2−和5−．则原来的方程是( ) A ．2650x x ++= B ．27100x x −+= C ．2520x x −+= D ．26100x x −−=【答案】B【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，根据题意得出原方程中127x x +=，1210x x =，逐项分析判断，即可求解．【详解】解：∵小影在化简过程中写错了常数项，得到方程的两个根是6和1； ∴12617x x +=+=，又∵小冬写错了一次项的系数，因而得到方程的两个根是2−和5−． ∴1210x x =A. 2650x x ++=中，126x x +=−，125x x =，故该选项不符合题意；B. 27100x x −+=中，127x x +=，1210x x =，故该选项符合题意；C. 2520x x −+=中，125x x +=，122x x =，故该选项不符合题意；D. 26100x x −−=中，126x x +=，1210x x =−，故该选项不符合题意；故选：B ．3．（2024·河北·中考真题）淇淇在计算正数a 的平方时，误算成a 与2的积，求得的答案比正确答案小1，则=a （）A ．1B 1−C 1+D ．11【答案】C【分析】本题考查了一元二次方程的应用，解一元二次方程，熟练掌握知识点是解题的关键．由题意得方程221a a +=，利用公式法求解即可．【详解】解：由题意得：221a a +=，解得：1a =1a = 故选：C ．4．（2024·黑龙江大兴安岭地·中考真题）关于x 的一元二次方程()22420m x x −++=有两个实数根，则m 的取值范围是（） A ．4m ≤ B ．4m ≥ C ．4m ≥−且2m ≠ D ．4m ≤且2m ≠【答案】D【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式．根据一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的根的判别式24b ac ∆=−的意义得到20m −≠且0∆≥，即244(2)20m −×−×≥，然后解不等式组即可得到m 的取值范围．【详解】解：关于x 的一元二次方程()22420m x x −++=有实数根， 20m ∴−≠且0∆≥，即244(2)20m −×−×≥，解得：4m ≤，m ∴的取值范围是4m ≤且2m ≠．故选：D ．5．（2024·黑龙江牡丹江·中考真题）一种药品原价每盒48元，经过两次降价后每盒27元，两次降价的百分率相同，则每次降价的百分率为（） A ．20%B ．22%C ．25%D ．28%【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，设每次降价的百分率为x ，根据原价每盒48元，经过两次降价后每盒27元，列出方程进行求解即可．【详解】解：设每次降价的百分率为x ，由题意，得：()248127x −=，解得：121725%,44x x ===（舍去）；故选C ．6．（2024·四川凉山·中考真题）若关于x 的一元二次方程()22240a x x a +++−=的一个根是0x =，则a 的值为（） A ．2 B ．2− C ．2或2−D ．12【答案】A【分析】本题考查一元二次方程的定义和一元二次方程的解，二次项系数不为0．由一元二次方程的定义，可知20a +≠；一根是0，代入()22240a x x a +++−=可得240a −=，即可求答案．【详解】解：()22240a x x a +++−=是关于x 的一元二次方程， 20a ∴+≠，即2a ≠−①由一个根0x =，代入()22240a x x a +++−=，可得240a −=，解之得2a =±；② 由①②得2a =；故选A7．（2024·四川眉山·中考真题）眉山市东坡区永丰村是“天府粮仓”示范区，该村的“智慧春耕”让生产更高效，提升了水稻亩产量，水稻亩产量从2021年的670千克增长到了2023年的780千克，该村水稻亩产量年平均增长率为x ，则可列方程为（） A ．()67012780x ×+=B ．()26701780x ×+= C ．()26701780x ×+=D ．()6701780x ×+=【答案】B【分析】本题主要考查一元二次方程的应用，正确理解题意、列出方程是解题的关键．设该村水稻亩产量年平均增长率为x ，根据题意列出方程即可．【详解】解：根据题意得：()26701780x ×+=．8．（2024·北京·中考真题）若关于x 的一元二次方程240x x c −+=有两个相等的实数根，则实数c 的值为（） A ．16− B ．4− C ．4 D ．16【答案】C【分析】根据方程的根的判别式()22Δ44410b ac c =−=−−××=即可．本题考查了一元二次方程的根的判别式，熟练掌握根的判别式是解题的关键．【详解】∵方程240x x c −+=有两个相等的实数根，1,4,a b c c ==−=， ∴()22Δ44410b ac c =−=−−××=， ∴416c =，解得4c =．故选C ．9．（2024·上海·中考真题）以下一元二次方程有两个相等实数根的是（） A ．260x x −= B ．290x -= C ．2660x x −+= D ．2690x x −+=【答案】D【分析】本题考查了一元二次方程判别式判断根的情况，解答本题的关键是熟练掌握一元二次方程()200ax bx c a ++=≠，当240b ac ∆=−>时，方程有两个不相等实数根；当240b ac ∆=−=时，方程的两个相等的实数根；当24<0b ac ∆=−时，方程没有实数根．分别计算出各选项中的根的判别式的值，即可判断．【详解】解：A ．()2Δ6410360=−−××=> ，该方程有两个不相等实数根，故A 选项不符合题意；B ．()2Δ0419360=−××−=> ，该方程有两个不相等实数根，故B 选项不符合题意；C ．()2Δ6416120=−−××=> ，该方程有两个不相等实数根，故C 选项不符合题意； D ．()2Δ64190=−−××= ，该方程有两个相等实数根，故D 选项不符合题意；故选：D ．10．（2024·四川广安·中考真题）若关于x 的一元二次方程2(1)210m x x +−+=有两个不相等的实数根，则m 的取值范围是（）A ．0m <且1m ≠−B ．0m ≥C ．0m ≤且1m ≠−D ．0m <【答案】A【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程()200ax bx ca ++=≠，若240b ac ∆=−>，则方程有两个不相等的实数根，若240b ac ∆=−=，则方程有两个相等的实数根，若24<0b ac ∆=−，则方程没有实数根．由关于x 的一元二次方程2(1)210m x x +−+=两个不相等的实数根，可得0∆>且10m +≠，解此不等式组即可求得答案．【详解】解：关于x 的一元二次方程2(1)210m x x +−+=有两个不相等的实数根， ∴()()22410m ∆=−−+>，解得：0m <，10m +≠ ， 1m ∴≠−，m ∴的取值范围是：0m <且1m ≠−．故选：A ．11．（2024·四川内江·中考真题）某市2021年底森林覆盖率为64%，为贯彻落实“绿水青山就是金山银山”的发展理念，该市大力发展植树造林活动，2023年底森林覆盖率已达到69%．如果这两年森林覆盖率的年平均增长率为x ，则符合题意得方程是（）A ．()0.6410.69x +=B ．()20.6410.69x += C ．()0.64120.69x +=D ．()20.64120.69x +=【答案】B【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，关键是根据题意找到等式两边的平衡条件．设年平均增长率为x ，根据2023年底森林覆盖率=2021年底森林覆盖率()21x ×+，据此即可列方程求解．【详解】解：根据题意，得()264%169%x += 即()20.6410.69x +=，故选：B ．12．（2024·贵州·中考真题）一元二次方程220x x −=的解是（）A ．13x =，21x =B ．12x =，20x =C ．13x =，22x =−D ．12x =−，21x =−【答案】B【分析】本题考查了解一元二次方程，利用因式分解法求解即可．【详解】解∶ 220x x −=，∴()20x x −=，∴0x =或20x −=， ∴12x =，20x =，故选∶B ．13．（2024·四川乐山·中考真题）若关于x 的一元二次方程220x x p ++=两根为1x 、2x ，且12113x x +=，则p 的值为（）A ．23−B ．23C ．6−D ．6【答案】A【分析】本题考查了一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠根与系数的关系：若方程的两实数根为12,x x ，则1212,b x x x x a+=−⋅ca =．根据一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠根与系数的关系得到121222,1x x x x p +=−=−⋅=，然后通分，11x +1221212x x x x x p+−==，从而得到关于p 的方程，解方程即可．【详解】解：121222,1x x x x p +=−=−⋅= ， 121212112x x x x x x p+−∴+==，而12113x x +=， 23p−∴=， 23p ∴=−，故选：A ．14．（2024·云南·中考真题）两年前生产1千克甲种药品的成本为80元，随着生产技术的进步，现在生产1千克甲种药品的成本为60元．设甲种药品成本的年平均下降率为x ，根据题意，下列方程正确的是（）A ．()280160x −=B ．()280160x −=C ．()80160x −=D ．()801260x −=【答案】B【分析】本题考查了一元二次方程的应用，根据甲种药品成本的年平均下降率为x ，利用现在生产1千克甲种药品的成本=两年前生产1千克甲种药品的成本年×（1−平均下降率）2，即可得出关于的一元二次方程．【详解】解：甲种药品成本的年平均下降率为x ，根据题意可得()280160x −=，故选：B ．二、填空题15．（2024·山东·中考真题）若关于x 的方程2420x x m −+=有两个相等的实数根，则m 的值为．【答案】14/0.25【分析】本题考查了根的判别式，牢记“当Δ0=时，方程有两个相等的实数根”是解题的关键．根据方程的系数结合根的判别式，即可得出2242440b ac m ∆=−=−××=，解之即可得出结论．【详解】解：∵关于x 的方程2420x x m −+=有两个相等的实数根， ∴2242444160b ac m m ∆=−=−××=−=，解得：14m =．故答案为：14．16．（2024·广东深圳·中考真题）已知一元二次方程230x x m −+=的一个根为1，则m = ．【答案】2【分析】本题考查了一元二次方程解的定义，根据一元二次方程的解的定义，将1x =代入原方程，列出关于m 的方程，然后解方程即可．【详解】解：关于x 的一元二次方程230x x m −+=的一个根为1，1x ∴=满足一元二次方程230x x m −+=， 130m ∴−+=，解得，2m =．故答案为：2．17．（2024·江苏连云港·中考真题）关于x 的一元二次方程20x x c −+=有两个相等的实数根，则c 的值为．【答案】14/0.25【分析】本题考查了一元二次方程根的个数与根的判别式的关系．根据题意得2Δ14c 0=−=，进行计算即可得．【详解】解：若关于x 的一元二次方程20x x c −+=有两个相等的实数根，2140c ∆=−=，14c ∴=，故答案为：14．18．（2024·四川凉山·中考真题）已知2220330y x x y x −=−+−=，，则x 的值为．【答案】3【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．将2y x =代入22330x y x −+−=，转化为解一元二次方程，20y x =≥，要进行舍解．【详解】解：∵20y x −=， ∴2y x =，将2y x =代入22330x y x −+−=得，2330x x x −+−=，即：2230x x −−=，()()310x x −+=， ∴3x =或=1x −， ∵20y x =≥， ∴=1x −舍， ∴3x =，故答案为：3．19．（2024·湖南·中考真题）若关于x 的一元二次方程2420x x k −+=有两个相等的实数根，则k 的值为．【答案】2【分析】本题考查根据一元二次方程根的情况求参数．一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠有两个不相等的实数根，则240b ac ∆=−>；有两个相等的实数根，则240b ac ∆=−=；没有实数根，则24<0b ac ∆=−．据此即可求解．【详解】解：由题意得：()22444120b ac k ∆=−=−−××=，解得：2k = 故答案为：220．（2024·河南·中考真题）若关于x 的方程2102x x c −+=有两个相等的实数根，则c 的值为．【答案】12/0.5【分析】本题考查一元二次方程根与判别式的关系．掌握一元二次方程()200ax bx ca ++=≠的根的判别式为24b ac ∆=−，且当0∆>时，该方程有两个不相等的实数根；当Δ0=时，该方程有两个相等的实数根；当Δ0<时，该方程没有实数根是解题关键．根据一元二次方程根与其判别式的关系可得：()21Δ1402c =−−×=，再求解即可．【详解】解∶∵方程2102x x c −+=有两个相等的实数根， ∴()21Δ1402c =−−×=，∴12c =，故答案为：12．21．（2024·重庆·中考真题）随着经济复苏，某公司近两年的总收入逐年递增．该公司2021年缴税40万元，2023年缴税48.4万元，该公司这两年缴税的年平均增长率是．【答案】10%【分析】本题主要考查一元二次方程的应用．设平均增长率为x ，然后根据题意可列方程进行求解．【详解】解：设平均增长率为x ，由题意得：()240148.4x +=，解得：10.110%x ==，2 2.1x =−（不符合题意，舍去）；故答案为：10%．22．（2024·四川南充·中考真题）已知m 是方程2410x x −=+的一个根，则(5)(1)m m +−的值为．【答案】4−【分析】本题主要考查了二元一次方程的解，以及已知式子的值求代数式的值，根据m 是方程2410x x −=+的一个根，可得出241m m +=，再化简代数式，整体代入即可求解．【详解】解：∵m 是方程2410x x −=+的一个根， ∴241m m +=(5)(1)m m +−255m m m −+− 245m m =+−15=−4=−，故答案为：4−．23．（2024·广东广州·中考真题）定义新运算：()()200a b a a b a b a −≤ ⊗= −+> 例如：224(2)40−⊗=−−=，23231⊗=−+=．若314x ⊗=−，则x 的值为．【答案】12−或74【分析】本题考查了一元二次方程的应用，一元一次方程的应用，解题的关键是明确新运算的定义．根据新定义运算法则列出方程求解即可．【详解】解：∵()()200a b a a b a b a −≤ ⊗=−+>，而314x ⊗=−， ∴①当0x ≤时，则有2314x −=−，解得，12x =−；②当0x >时，314x −+=−，解得，74x =综上所述，x 的值是12−或74，故答案为：12−或74．24．（2024·四川成都·中考真题）若m ，n 是一元二次方程2520x x −+=的两个实数根，则()22m n +−的值为．【答案】7【分析】本题考查了根与系数的关系和完全平方公式和已知式子的值，求代数式的值．先利用已知条件求出2520n n −+=，5b m n a+=−=，从而得到252n n =−，再将原式利用完全平方公式展开，利用252n n =−替换2n 项，整理后得到m n 2++，再将5m n +=代入即可．【详解】解：∵m ，n 是一元二次方程2520x x −+=的两个实数根， ∴2520n n −+=，5bm n a+=−=，则252n n =−∴()22m n +− 244m n n =+−+5244m n n =+−−+ 2m n =++ 52=+7=故答案为：725．（2024·山东烟台·中考真题）若一元二次方程22410x x −−=的两根为m ，n ，则2234m m n −+的值为．【答案】6【分析】本题考查了根与系数的关系及利用完全平方公式求解，若12,x x 是一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的两根时，1212,bc x x x x a a+=−=，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题关键．根据根与系数的关系得122m n mn +==−，，2241m m −=，再把2234m m n −+变形为22224m m m n −++，然后利用整体代入的方法计算，再利用完全平方公式求解即可．【详解】解：∵一元二次方程22410x x −−=的两个根为m ，n ，∴122m n mn +==−，，2241m m −=∴2234m m n −+22224m m m n −++= 221m n =++2()21m n mn =+−+2122()12=−×−+6=故答案为：6．26．（2024·四川眉山·中考真题）已知方程220x x +−=的两根分别为1x ，2x ，则1211+x x 的值为．【答案】12/0.5【分析】本题考查一元二次方程的根与系数的关系，若一元二次方程()200ax bx ca ++=≠的两根分别为1x ，2x ，则12bx x a +=−，12c x x a=，掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．先根据根与系数的关系得到121x x +=−，122x x =−，然后把1211+x x 化简为1212x x x x +然后整体代入即可．【详解】解：方程220x x +−=的两根分别为1x ，2x ， 121x x ∴+=−，122x x =−，121212111122x x x x x x +−∴+===−．故答案为：12．27．（2024·四川泸州·中考真题）已知1x ，2x 是一元二次方程2350x x −−=的两个实数根，则()212123x x x x −+的值是．【答案】14【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，完全平方公式的变形求值．对于一元二次方程，若该方程的两个实数根为1x ，2x ，则12b x x a +=−，12cx x a=．先根据根与系数的关系得到123x x +=，125x x =−，再根据完全平方公式的变形()22212112229x x x x x x +=++=，求出()21229x x −=，由此即可得到答案．【详解】解： 1x ，2x 是一元二次方程2350x x −−=的两个实数根，123x x ∴+=，125x x =−，()22212112229x x x x x x ∴+=++=，∴()2221211221229492029x x x x x x x x −=−+=−=+=， ∴()()212123293514x x x x −+=+×−=．故答案为：14．三、解答题28．（2024·上海·中考真题）解方程组：2234026x xy y x y −−= += ①②．【答案】4x =，1y =或者6x =−，6y =．【分析】本题考查了二元二次方程，求解一元二次方程，解题的关键是利用代入法进行求解．【详解】解：2234026x xy y x y −−= += ①②，由②得：62x y =−代入①中得：()()226236240y y y y −−−−=，()2223624418640y y y yy −+−+−=，2642360y y −+=，()26760y y −+=，()()6610y y −−=解得：1y =或6y =，当1y =时，6214x =−×=，当6y =时，6266x =−×=−， ∴方程组的解为4,1x y ==或者6,6x y =−=． 29．（2024·四川凉山·中考真题）阅读下面材料，并解决相关问题：下图是一个三角点阵，从上向下数有无数多行，其中第一行有1个点，第二行有2个点……第n 行有n 个点……容易发现，三角点阵中前4行的点数之和为10．(1)探索：三角点阵中前8行的点数之和为_____，前15行的点数之和为______，那么，前n 行的点数之和为______(2)体验：三角点阵中前n 行的点数之和______（填“能”或“不能”）为500．(3)运用：某广场要摆放若干种造型的盆景，其中一种造型要用420盆同样规格的花，按照第一排2盆，第二排4盆，第三排6盆……第n 排2n 盆的规律摆放而成，则一共能摆放多少排？【答案】(1)36；120；()112n n +(2)不能(3)一共能摆放20排．【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．（1）根据图形，总结规律，列式计算即可求解；（2）根据前n 行的点数和是500，即可得出关于n 的一元二次方程，解之即可判断；（2）先得到前n 行的点数和是()1n n +，再根据题意得出关于n 的一元二次方程，解之即可得出n 的值．【详解】（1）解：三角点阵中前8行的点数之和为()112345678188362+++++++=+×=，前15行的点数之和为()11231415115151202+++++=+×= ，那么，前n 行的点数之和为()()111231122nn nn n ++++=+×=+ ；故答案为：36；120；()112n n +；（2）解：不能，理由如下：由题意得()115002n n +=，得210000n n +−=，()21410004001∆=−×−=，∴此方程无正整数解，所以三角点阵中前n 行的点数和不能是500；故答案为：不能；（3）解：同理，前n 行的点数之和为()()124622112n n n n n ++++=×+×=+ ，由题意得()1420n n +=，得24200n n +−=，即()()21200n n +−=，解得20n =或21n =−（舍去）， ∴一共能摆放20排．30．（2024·四川内江·中考真题）已知关于x 的一元二次方程210x px −+=（p 为常数）有两个不相等的实数根1x 和2x ．(1)填空：12x x +=________，12x x =________； (2)求1211+x x ，111x x +；(3)已知221221x x p +=+，求p 的值．【答案】(1)p ，1； (2)1211p x x +=，111x p x +=； (3)3p =．【分析】本题考查了一元二次方程根和系数的关系，根的判别式，掌握一元二次方程根和系数的关系是解题的关键．（1）利用根和系数的关系即可求解；（2）1211+x x 变形为()21212122x x x x x x +−，再把根和系数的关系代入计算即可求解，由一元二次方程根的定义可得21110x px −+=，即得1110x p x −+=，进而可得111x p x +=；（3）把方程变形为()21212221x x x x p +−=+，再把根和系数的关系代入得2221p p −=+，可得1p =−或3p =，再根据根的判别式进行判断即可求解．【详解】（1）解：由根与系数的关系得，12x x p +=，121=x x ，故答案为：p ，1；（2）解：∵12x x p +=，121=x x ， ∴12121211x x p x x x x ++==， ∵关于x 的一元二次方程210x px −+=（p 为常数）有两个不相等的实数根1x 和2x ， ∴21110x px −+=， ∴1110x p x −+=， ∴111x p x +=；（3）解：由根与系数的关系得，12x x p +=，121=x x ，∵221221x x p +=+，∴()21212221x x x x p +−=+， ∴2221P p −=+， ∴2230P p −−=，解得1p =−或3p =，∴一元二次方程210x px −+=为210x x ++=或2310x x −+=，当1p =−时，2141130∆=−××=−<，不合题意，舍去；当3p =时，()2Δ341150=−−××=>，符合题意； ∴3p =．31．（2024·广东广州·中考真题）关于x 的方程2240x x m −+−=有两个不等的实数根． (1)求m 的取值范围；(2)化简：2113|3|21m m m m m −−−÷⋅−+．【答案】(1)3m > (2)2−【分析】本题考查的是一元二次方程根的判别式，分式的混合运算，掌握相应的基础知识是解本题的关键；（1）根据一元二次方程根的判别式建立不等式解题即可；（2）根据（1）的结论化简绝对值，再计算分式的乘除混合运算即可．【详解】（1）解：∵关于x 的方程2240x x m −+−=有两个不等的实数根． ∴()()224140m ∆=−−××−>，解得：3m >；（2）解：∵3m >， ∴2113|3|21m m m m m −−−÷⋅−+ ()()1123311m m m m m m −+−−⋅⋅−−+ 2=−；32．（2024·四川南充·中考真题）已知1x ，2x 是关于x 的方程22210x kx k k −+−+=的两个不相等的实数根． (1)求k 的取值范围．(2)若5k <，且k ，1x ，2x 都是整数，求k 的值．【答案】(1)1k > (2)2【分析】本题主要考查了根据一元二次方程根的情况求参数范围、解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程根的情况与判别式的关系是解题的关键．（1）根据“1x ，2x 是关于x 的方程22210x kx k k −+−+=的两个不相等的实数根”，则0∆>，得出关于k 的不等式求解即可；（2）根据5k <，结合（1）所求k 的取值范围，得出整数k 的值有2，3，4，分别计算讨论整数k 的不同取值时，方程22210x kx k k −+−+=的两个实数根1x ，2x 是否符合都是整数，选择符合情况的整数k 的值即可．【详解】（1）解：∵1x ，2x 是关于x 的方程22210x kx k k −+−+=的两个不相等的实数根， ∴0∆>，∴()()2222Δ24114444440k k k k k k k =−−××−+=−+−=−>，解得：1k >；（2）解：∵5k <，由（1）得1k >， ∴15k <<，∴整数k 的值有2，3，4，当2k =时，方程为2430x x −+=，解得：11x =，23x =（都是整数，此情况符合题意）；当3k =时，方程为2670x x −+=，解得：3x =±（不是整数，此情况不符合题意）；当4x =时，方程为28130x x −+=，解得：4x =（不是整数，此情况不符合题意）；综上所述，k 的值为2．33．（2024·四川遂宁·中考真题）已知关于x 的一元二次方程()2210x m x m −++−=． (1)求证：无论m 取何值，方程都有两个不相等的实数根；(2)如果方程的两个实数根为12,x x ，且2212129x x x x +−=，求m 的值．【答案】(1)证明见解析； (2)11m =或22m =−．【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，解一元二次方程，掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键．（1）根据根的判别式证明0∆>恒成立即可；（2）由题意可得，122x x m +=+，121⋅=−x x m ，进行变形后代入即可求解．【详解】（1）证明：()()22Δ24118m m m =−+−××−=+ ， ∵无论m 取何值，280m +>，恒成立，∴无论m 取何值，方程都有两个不相等的实数根．（2）解：∵12,x x 是方程()2210x m x m −++−=的两个实数根， ∴122x x m +=+，121⋅=−x x m ，∴()()()22221212121232319x x x x x x x x m m +−=+−=+−−=，解得：11m =或22m =−．。

全国各地中考数学分类：一元二次方程组综合题汇编及答案

全国各地中考数学分类：一元二次方程组综合题汇编及答案一、一元二次方程1．随着经济收入的不断提高以及汽车业的快速发展，家用汽车已越来越多地进入普通家庭，汽车消费成为新亮点．抽样调查显示，截止2008年底全市汽车拥有量为14.4万辆．已知2006年底全市汽车拥有量为10万辆．（1）求2006年底至2008年底我市汽车拥有量的年平均增长率；（2）为保护城市环境，要求我市到2010年底汽车拥有量不超过15.464万辆，据估计从2008年底起，此后每年报废的汽车数量是上年底汽车拥有量的10%，那么每年新增汽车数量最多不超过多少辆？（假定每年新增汽车数量相同）【答案】详见解析【解析】试题分析：（1）主要考查增长率问题，一般用增长后的量=增长前的量×（1+增长率）解决问题；（2）参照增长率问题的一般规律，表示出2010年的汽车拥有量，然后根据关键语列出不等式来判断正确的解．试题解析：（1）设年平均增长率为x，根据题意得：10（1+x）2=14.4，解得x=﹣2.2（不合题意舍去）x=0.2，答：年平均增长率为20%；（2）设每年新增汽车数量最多不超过y万辆，根据题意得：2009年底汽车数量为14.4×90%+y，2010年底汽车数量为（14.4×90%+y）×90%+y，∴（14.4×90%+y）×90%+y≤15.464，∴y≤2．答：每年新增汽车数量最多不超过2万辆．考点：一元二次方程—增长率的问题2．已知关于x的方程230x x a++=①的两个实数根的倒数和等于3，且关于x的方程2(1)320k x x a-+-=②有实数根，又k为正整数，求代数式2216kk k-+-的值．【答案】0.【解析】【分析】由于关于x的方程x2+3x+a=0的两个实数根的倒数和等于3，利用根与系数的关系可以得到关于a的方程求出a，又由于关于x的方程（k-1）x2+3x-2a=0有实数根，分两种情况讨论，该方程可能是一次方程、有可能是一元二次方程，又k为正整数，利用判别式可以求出k，最后代入所求代数式计算即可求解．【详解】解：设方程①的两个实数根分别为x 1、x 2则12123940x x x x a a +-⎧⎪⎨⎪-≥⎩＝＝＝，由条件，知12121211x x x x x x ++==3，即33a -=，且94a ≤，故a ＝－1，则方程②为(k -1)x 2+3x +2=0，Ⅰ.当k -1=0时，k =1,x =23-，则22106k k k -=+-.Ⅱ.当k -1≠0时，∆=9-8（k -1）=17-6-8k ≥0，则178k ≤，又k 是正整数，且k≠1，则k =2，但使2216k k k -+-无意义.综上，代数式2216k k k -+-的值为0【点睛】本题综合考查了根的判别式和根与系数的关系，在解方程时一定要注意所求k 的值与方程判别式的关系．要注意该方程可能是一次方程、有可能是一元二次方程，3．解方程：x 2－2x ＝2x ＋1. 【答案】x 1＝2，x 2＝2【解析】试题分析：根据方程，求出系数a 、b 、c ，然后求一元二次方程的根的判别式，最后根据求根公式2b x a-=求解即可.试题解析：方程化为x 2－4x －1＝0. ∵b 2－4ac ＝(－4)2－4×1×(－1)＝20， ∴x＝， ∴x 1＝2，x 2＝24．解方程：2332302121x x x x ⎛⎫⎛⎫--= ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭．【答案】x=15或x=1【解析】【分析】设321xyx=-，则原方程变形为y2-2y-3=0, 解这个一元二次方程求y，再求x．【详解】解：设321xyx=-，则原方程变形为y2-2y-3=0．解这个方程，得y1=-1,y2=3,∴3121xx=--或3321xx=-．解得x=15或x=1．经检验：x=15或x=1都是原方程的解．∴原方程的解是x=15或x=1．【点睛】考查了还原法解分式方程，用换元法解一些复杂的分式方程是比较简单的一种方法，根据方程特点设出相应未知数，解方程能够使问题简单化，注意求出方程解后要验根．5．小王经营的网店专门销售某种品牌的一种保温杯，成本为30元/只，每天销售量y （只）与销售单价x（元）之间的关系式为y＝﹣10x+700（40≤x≤55），求当销售单价为多少元时，每天获得的利润最大？最大利润是多少元？【答案】当销售单价为50元时，每天获得的利润最大，利润的最大值为4000元【解析】【分析】表示出一件的利润为（x﹣30）,根据总利润=单件利润乘以销售数量,整理成顶点式即可解题.【详解】设每天获得的利润为w元，根据题意得：w＝（x﹣30）y＝（x﹣30）（﹣10x+700）＝﹣10x2+1000x﹣21000＝﹣10（x ﹣50）2+4000．∵a＝﹣10＜0，∴当x＝50时，w取最大值，最大值为4000．答：当销售单价为50元时，每天获得的利润最大，利润的最大值为4000元．【点睛】本题考查了一元二次函数的实际应用,中等难度,熟悉函数的性质是解题关键.6．某社区决定把一块长50m ，宽30m 的矩形空地建成居民健身广场，设计方案如图，阴影区域为绿化区(四块绿化区为大小形状都相同的矩形) ，空白区域为活动区，且四周的4个出口宽度相同，当绿化区较长边x 为何值时，活动区的面积达到21344m ?【答案】当13x m =时，活动区的面积达到21344m 【解析】【分析】根据“活动区的面积＝矩形空地面积﹣阴影区域面积”列出方程，可解答. 【详解】解:设绿化区宽为y ，则由题意得502302x y -=-.即10y x =-列方程: 50304(10)1344x x ⨯--= 解得13x =- (舍)，213x =.∴当13x m =时，活动区的面积达到21344m 【点睛】本题是一元二次方程的应用题，确定等量关系是关键，本题计算量大，要细心．7．如图，在Rt ABC 中，90B =∠，10AC cm =，6BC cm =，现有两点P 、Q 的分别从点A 和点B 同时出发，沿边AB ，BC 向终点C 移动．已知点P ，Q 的速度分别为2/cm s ，1/cm s ，且当其中一点到达终点时，另一点也随之停止移动，设P ，Q 两点移动时间为xs ．问是否存在这样的x ，使得四边形APQC 的面积等于216cm ？若存在，请求出此时x 的值；若不存在，请说明理由．【答案】假设不成立，四边形APQC 面积的面积不能等于216cm ，理由见解析【解析】【分析】根据题意，列出BQ 、PB 的表达式，再列出方程，判断根的情况.【详解】解：∵90B ∠=，10AC =，6BC =， ∴8AB =．∴BQ x =，82PB x =-；假设存在x 的值，使得四边形APQC 的面积等于216cm ，则()1168821622x x ⨯⨯--=，整理得：2480x x -+=， ∵1632160=-=-<，∴假设不成立，四边形APQC 面积的面积不能等于216cm ．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，熟练掌握方程根的判别方法、理解方程的意义是本题的解题关键.8．已知:如图，在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，8AC =cm ，6BC =cm.直线PE 从B 点出发，以2 cm/s 的速度向点A 方向运动，并始终与BC 平行，与线段AC 交于点E .同时，点F 从C 点出发，以1cm/s 的速度沿CB 向点B 运动，设运动时间为t (s) (05t <<) . (1)当t 为何值时，四边形PFCE 是矩形?(2)当ABC ∆面积是PEF ∆的面积的5倍时，求出t 的值;【答案】（1）3011t =；（2）t = 【解析】【分析】（1）首先根据勾股定理计算AB 的长，再根据相似比例表示PE 的长度，再结合矩形的性质即可求得t 的值.（2）根据面积相等列出方程，求解即可. 【详解】解：（1）在Rt ABC ∆中，90,8,6C AC BC ︒∠===，10AB ∴===102//,,1068PA PE AE t PE AEPE BC AB BC AC -∴==∴== 34(102),(102)55PE t AE t ∴=-=-，当PE CF =时，四边形PECF 是矩形，3(102)5t t ∴-= 解得3011t = （2）由题意22424116825552t t =+=⨯⨯⨯整理得2t 550t -+=，解得t =52t ∴=，ABC ∆面积是PEF ∆的面积的5倍。

2024年全国各省市数学中考真题汇编专题6一元二次方程及其应用(11题)含详解

专题06一元二次方程及其应用（11题）一、单选题1．（2024·四川自贡·中考真题）关于x 的一元二次方程220x kx +-=的根的情况是（）A ．有两个不相等的实数根B ．有两个相等的实数根C ．只有一个实数根D ．没有实数根2．（2024·山东泰安·中考真题）关于x 的一元二次方程2230x x k -+=有实数根，则实数k 的取值范围是（）A ．98k <B ．98k ≤C ．98k ≥D ．98k <-3．（2024·甘肃兰州·中考真题）关于x 的一元二次方程2960x x c -+=有两个相等的实数根，则c =（）A ．9-B ．4C ．1-D ．14．（2024·内蒙古赤峰·中考真题）等腰三角形的两边长分别是方程210210x x -+=的两个根，则这个三角形的周长为（）A ．17或13B ．13或21C ．17D ．13二、填空题5．（2024·广东·中考真题）若关于x 的一元二次方程220x x c ++=有两个相等的实数根，则c =．6．（2024·四川巴中·中考真题）已知方程220x x k -+=的一个根为2-，则方程的另一个根为．7．（2024·甘肃临夏州·中考真题）若关于x 的一元二次方程x 2+2x ﹣m=0有两个相等的实数根，则m 的值为．三、解答题8．（2024·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）解方程：x 2﹣5x +6＝09．（2024·安徽·中考真题）解方程：223x x -=10．（2024·青海·中考真题）（1）解一元二次方程：2430x x -+=；（2）若直角三角形的两边长分别是（1）中方程的根，求第三边的长．11．（2024·辽宁·中考真题）某商场出售一种商品，经市场调查发现，日销售量y （件）与每件售价x （元）满足一次函数关系，部分数据如下表所示：每件售价x /元⋅⋅⋅455565⋅⋅⋅日销售量y /件⋅⋅⋅554535⋅⋅⋅(1)求y 与x 之间的函数关系式（不要求写出自变量x 的取值范围）；(2)该商品日销售额能否达到2600元？如果能，求出每件售价：如果不能，请说明理由．专题06一元二次方程及其应用（11题）一、单选题1．（2024·四川自贡·中考真题）关于x 的一元二次方程220x kx +-=的根的情况是（）A ．有两个不相等的实数根B ．有两个相等的实数根C ．只有一个实数根D ．没有实数根【答案】A【分析】本题考查的是一元二次方程根的判别式，熟知一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠中，当0∆>时，方程有两个不相等的实数根是解题的关键．根据一元二次方程根的判别式解答即可．【详解】解： △()2241280k k =-⨯⨯-=+>，∴方程有两个不相等的实数根．故选：A ．2．（2024·山东泰安·中考真题）关于x 的一元二次方程2230x x k -+=有实数根，则实数k 的取值范围是（）A ．9k <B ．98k ≤C ．98k ≥D ．98k <-【答案】B【分析】本题考查了判别式与一元二次方程根的情况，熟知一元二次方程有实数根的条件是解题的关键．根据一元二次方程有实数根的条件是0∆≥，据此列不等式求解即可．【详解】解：∵关于x 的一元二次方程2230x x k -+=有实数根，∴()2Δ3420k =--⨯≥，解得98k ≤．故选B ．3．（2024·甘肃兰州·中考真题）关于x 的一元二次方程2960x x c -+=有两个相等的实数根，则c =（）A ．9-B ．4C ．1-D ．1【答案】D【分析】此题考查了根的判别式，根据根的情况确定参数k 的取值，解题的关键是熟练掌握一元二次方程()200ax bx c a ++=≠根的判别式24b ac ∆=-，当方程有两个不相等的实数根时，0∆>；当方程有两个相等的实数根时，Δ0=；当方程没有实数根时，Δ0<．【详解】解：∵关于x 的一元二次方程2960x x c -+=有两个相等的实数根，∴()2Δ64936360c c =--⨯⨯=-=，解得：1c =，故选：D ．4．（2024·内蒙古赤峰·中考真题）等腰三角形的两边长分别是方程210210x x -+=的两个根，则这个三角形的周长为（）A ．17或13B ．13或21C ．17D ．13【答案】C【分析】本题考查了解一元二次方程，等腰三角形的定义，三角形的三边关系及周长，由方程可得13x =，27x =，根据三角形的三边关系可得等腰三角形的底边长为3，腰长为7，进而即可求出三角形的周长，掌握等腰三角形的定义及三角形的三边关系是解题的关键．【详解】解：由方程210210x x -+=得，13x =，27x =，∵337+<，∴等腰三角形的底边长为3，腰长为7，∴这个三角形的周长为37717++=，故选：C ．二、填空题5．（2024·广东·中考真题）若关于x 的一元二次方程220x x c ++=有两个相等的实数根，则c =．【答案】1【分析】由220x x c ++=有两个相等的实数根，可得240b ac ∆=-=进而可解答．【详解】解：∵220x x c ++=有两个相等的实数根，∴24440b ac c ∆=-=-=，∴1c =．故答案为：1．【点睛】本题主要考查根据一元二次方程根的情况求参数，掌握相关知识是解题的关键．6．（2024·四川巴中·中考真题）已知方程220x x k -+=的一个根为2-，则方程的另一个根为．7．（2024·甘肃临夏州·中考真题）若关于x 的一元二次方程x 2+2x ﹣m=0有两个相等的实数根，则m 的值为．【答案】-1【分析】根据关于x 的一元二次方程x 2+2x ﹣m=0有两个相等的实数根可知△=0，求出m 的取值即可．【详解】解：由已知得△=0，即4+4m=0，解得m=-1．故答案为-1.【点睛】本题考查的是根的判别式，即一元二次方程ax 2+bx+c=0(a≠0)的根与△=b 2-4ac 有如下关系：①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；②当△=0时，方程有两个相等的两个实数根；③当△＜0时，方程无实数根．三、解答题8．（2024·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）解方程：x 2﹣5x +6＝0【答案】x 1＝2，x 2＝3【分析】利用因式分解的方法解出方程即可.【详解】利用因式分解法求解可得．解：∵x 2﹣5x +6＝0，∴（x ﹣2）（x ﹣3）＝0，则x ﹣2＝0或x ﹣3＝0，解得x 1＝2，x 2＝3．【点睛】本题考查解一元二次方程因式分解法,关键在于熟练掌握因式分解的方法步骤.9．（2024·安徽·中考真题）解方程：223x x -=【答案】13x =，21x =-【分析】先移项，然后利用因式分解法解一元二次方程，即可求出答案．【详解】解：∵223x x -=，∴223=0x x --，∴(3)(1)0x x -+=，∴13x =，21x =-．【点睛】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握解一元二次方程的方法进行解题．10．（2024·青海·中考真题）（1）解一元二次方程：2430x x -+=；（2）若直角三角形的两边长分别是（1）中方程的根，求第三边的长．11．（2024·辽宁·中考真题）某商场出售一种商品，经市场调查发现，日销售量（件）与每件售价x （元）满足一次函数关系，部分数据如下表所示：每件售价x /元⋅⋅⋅455565⋅⋅⋅日销售量y /件⋅⋅⋅554535⋅⋅⋅(1)求y 与x 之间的函数关系式（不要求写出自变量x 的取值范围）；(2)该商品日销售额能否达到2600元？如果能，求出每件售价：如果不能，请说明理由．【答案】(1)100=-+y x ；(2)该商品日销售额不能达到2600元，理由见解析。

全国中考数学一元二次方程组的综合中考真题分类汇总附答案

全国中考数学一元二次方程组的综合中考真题分类汇总附答案一、一元二次方程1．已知关于x 的方程230x x a ++=①的两个实数根的倒数和等于3，且关于x 的方程2(1)320k x x a -+-=②有实数根，又k 为正整数，求代数式2216k k k -+-的值．【答案】0.【解析】【分析】由于关于x 的方程x 2+3x +a =0的两个实数根的倒数和等于3，利用根与系数的关系可以得到关于a 的方程求出a ，又由于关于x 的方程（k -1）x 2+3x -2a =0有实数根，分两种情况讨论，该方程可能是一次方程、有可能是一元二次方程，又k 为正整数，利用判别式可以求出k ，最后代入所求代数式计算即可求解．【详解】解：设方程①的两个实数根分别为x 1、x 2则12123940x x x x a a +-⎧⎪⎨⎪-≥⎩V ＝＝＝，由条件，知12121211x x x x x x ++==3，即33a -=，且94a ≤，故a ＝－1，则方程②为(k -1)x 2+3x +2=0，Ⅰ.当k -1=0时，k =1,x =23-，则22106k k k -=+-. Ⅱ.当k -1≠0时，∆=9-8（k -1）=17-6-8k ≥0，则178k ≤，又k 是正整数，且k≠1，则k =2，但使2216k k k -+-无意义. 综上，代数式2216k k k -+-的值为0 【点睛】本题综合考查了根的判别式和根与系数的关系，在解方程时一定要注意所求k 的值与方程判别式的关系．要注意该方程可能是一次方程、有可能是一元二次方程，2．解下列方程：（1）x 2﹣3x=1．（2）12（y+2）2﹣6=0．【答案】(1)12313313,22x x +-== ;(2)12223,223y y =-+=-- 【解析】试题分析：（1）利用公式法求解即可；（2）利用直接开方法解即可；试题解析：解：（1）将原方程化为一般式，得x 2﹣3x ﹣1=0，∵b 2﹣4ac=13＞0∴． ∴12313313,22x x +-==．（2）（y+2）2=12， ∴或，∴12223,223y y =-+=--3．解方程：（2x+1）2=2x+1．【答案】x=0或x=12-. 【解析】试题分析：根据因式分解法解一元二次方程的解法，直接先移项，再利用ab=0的关系求解方程即可.试题解析：∵（2x+1）2﹣（2x+1）=0，∴（2x+1）（2x+1﹣1）=0，即2x （2x+1）=0，则x=0或2x+1=0，解得：x=0或x=﹣12． 4．已知关于x 的一元二次方程()222130x k x k --+-=有两个实数根．()1求k 的取值范围；()2设方程两实数根分别为1x ，2x ，且满足221223x x +=，求k 的值．【答案】（1）134k ≤；（2）2k =-．【解析】【分析】 ()1根据方程有实数根得出()()22[2k 1]41k 38k 50=---⨯⨯-=-+≥V ，解之可得． ()2利用根与系数的关系可用k 表示出12x x +和12x x 的值，根据条件可得到关于k 的方程，可求得k 的值，注意利用根的判别式进行取舍．【详解】解：()1Q 关于x 的一元二次方程()222130x k x k --+-=有两个实数根， 0∴≥V ，即()()22[21]4134130k k k ---⨯⨯-=-+≥，解得134k ≤． ()2由根与系数的关系可得1221x x k +=-，2123x x k =-，()222222121212()2(21)23247x x x x x x k k k k ∴+=+-=---=-+，221223x x +=Q ， 224723k k ∴-+=，解得4k =，或2k =-，134k ≤Q ， 4k ∴=舍去，2k ∴=-．【点睛】本题考查了一元二次方程2ax bx c 0(a 0,++=≠a ，b ，c 为常数)根的判别式.当0V >，方程有两个不相等的实数根；当0=V ，方程有两个相等的实数根；当0<V ，方程没有实数根.以及根与系数的关系．5．已知关于x 的二次函数22(21)1y x k x k =--++的图象与x 轴有2个交点.（1）求k 的取值范围；（2）若图象与x 轴交点的横坐标为12,x x ，且它们的倒数之和是32-，求k 的值. 【答案】（1）k ＜-34 ；（2）k=﹣1 【解析】试题分析：（1）根据交点得个数，让y=0判断出两个不相等的实数根，然后根据判别式△= b 2-4ac 的范围可求解出k 的值；（2）利用y=0时的方程，根据一元二次方程的根与系数的关系，可直接列式求解可得到k 的值.试题解析：（1）∵二次函数y=x 2-（2k-1）x+k 2+1的图象与x 轴有两交点，∴当y=0时，x 2-（2k-1）x+k 2+1=0有两个不相等的实数根．∴△=b 2-4ac=[-（2k-1）]2-4×1×（k 2+1）＞0．解得k ＜-34；（2）当y=0时，x 2-（2k-1）x+k 2+1=0．则x 1+x 2=2k-1，x 1•x 2=k 2+1，∵=== 32-，解得：k=-1或k= 13-（舍去），∴k=﹣16．解方程： 2212x x 6x 9-=-+（）【答案】124x x 23==-，【解析】试题分析：先对方程的右边因式分解，直接开平方或移项之后再因式分解法求解即可.试题解析：因式分解，得2212x x 3-=-（）（）开平方，得12x x 3-=-，或12x x 3-=--（）解得124x x 23==-，7．从图象来看，该函数是一个分段函数，当0≤x≤m 时，是正比例函数，当x ＞m 时是一次函数．【小题1】只需把x 代入函数表达式，计算出y 的值，若与表格中的水费相等，则知收取方案．8．解下列方程：(1)2x 2－4x －1＝0(配方法)；(2)(x ＋1)2＝6x ＋6.【答案】(1)x 1＝1＋62x 2＝1－621＝－1，x 2＝5. 【解析】试题分析：（1）根据配方法解一元二次方程的方法，先移项，再加减一次项系数一半的平方，完成配方，再根据直接开平方法解方程即可；（2）根据因式分解法，先移项，再提公因式即可把方程化为ab=0的形式，然后求解即可. 试题解析：(1)由题可得，x 2－2x ＝12，∴x 2－2x ＋1＝32. ∴(x －1)2＝32. ∴x －1＝326.∴x 1＝1＋2，x 2＝1－2. (2)由题可得，(x ＋1)2－6(x ＋1)＝0，∴(x ＋1)(x ＋1－6)＝0.∴x ＋1＝0或x ＋1－6＝0.∴x 1＝－1，x 2＝5.9．已知两条线段长分别是一元二次方程28120x x -+=的两根，（1）解方程求两条线段的长。

2024年中考数学《一元二次方程及其应用》真题含解析

专题09 一元二次方程及其应用（33题）一、单选题1．（2024·吉林·中考真题）下列方程中，有两个相等实数根的是（）A ．()221x −=− B ．()220x −= C ．()221x −= D ．()222x −=【答案】B【分析】本题考查了一元二次方程的根，解一元二次方程，熟练掌握开平方法解方程是解题的关键．分别对每一个选项运用直接开平方法进行解方程即可判断．【详解】解：A 、()2210x −=−<，故该方程无实数解，故本选项不符合题意； B 、()220x −=，解得：122x x ==，故本选项符合题意； C 、()221x −=，21x −=±，解得123,1x x ==，故本选项不符合题意；D 、()222x −=，2x −，解得1222x x 故选：B ．2．（2024·黑龙江绥化·中考真题）小影与小冬一起写作业，在解一道一元二次方程时，小影在化简过程中写错了常数项，因而得到方程的两个根是6和1；小冬在化简过程中写错了一次项的系数，因而得到方程的两个根是2−和5−．则原来的方程是( ) A ．2650x x ++= B ．27100x x −+= C ．2520x x −+= D ．26100x x −−=【答案】B【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，根据题意得出原方程中127x x +=，1210x x =，逐项分析判断，即可求解．【详解】解：∵小影在化简过程中写错了常数项，得到方程的两个根是6和1； ∴12617x x +=+=，又∵小冬写错了一次项的系数，因而得到方程的两个根是2−和5−． ∴1210x x =A. 2650x x ++=中，126x x +=−，125x x =，故该选项不符合题意；B. 27100x x −+=中，127x x +=，1210x x =，故该选项符合题意；C. 2520x x −+=中，125x x +=，122x x =，故该选项不符合题意；D. 26100x x −−=中，126x x +=，1210x x =−，故该选项不符合题意；故选：B ．3．（2024·河北·中考真题）淇淇在计算正数a 的平方时，误算成a 与2的积，求得的答案比正确答案小1，则=a （）A ．1B 1−C 1+D ．11【答案】C【分析】本题考查了一元二次方程的应用，解一元二次方程，熟练掌握知识点是解题的关键．由题意得方程221a a +=，利用公式法求解即可．【详解】解：由题意得：221a a +=，解得：1a =1a = 故选：C ．4．（2024·黑龙江大兴安岭地·中考真题）关于x 的一元二次方程()22420m x x −++=有两个实数根，则m 的取值范围是（） A ．4m ≤ B ．4m ≥ C ．4m ≥−且2m ≠ D ．4m ≤且2m ≠【答案】D【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式．根据一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的根的判别式24b ac ∆=−的意义得到20m −≠且0∆≥，即244(2)20m −×−×≥，然后解不等式组即可得到m 的取值范围．【详解】解：关于x 的一元二次方程()22420m x x −++=有实数根， 20m ∴−≠且0∆≥，即244(2)20m −×−×≥，解得：4m ≤，m ∴的取值范围是4m ≤且2m ≠．故选：D ．5．（2024·黑龙江牡丹江·中考真题）一种药品原价每盒48元，经过两次降价后每盒27元，两次降价的百分率相同，则每次降价的百分率为（） A ．20%B ．22%C ．25%D ．28%【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，设每次降价的百分率为x ，根据原价每盒48元，经过两次降价后每盒27元，列出方程进行求解即可．【详解】解：设每次降价的百分率为x ，由题意，得：()248127x −=，解得：121725%,44x x ===（舍去）；故选C ．6．（2024·四川凉山·中考真题）若关于x 的一元二次方程()22240a x x a +++−=的一个根是0x =，则a 的值为（） A ．2 B ．2− C ．2或2−D ．12【答案】A【分析】本题考查一元二次方程的定义和一元二次方程的解，二次项系数不为0．由一元二次方程的定义，可知20a +≠；一根是0，代入()22240a x x a +++−=可得240a −=，即可求答案．【详解】解：()22240a x x a +++−=是关于x 的一元二次方程， 20a ∴+≠，即2a ≠−①由一个根0x =，代入()22240a x x a +++−=，可得240a −=，解之得2a =±；② 由①②得2a =；故选A7．（2024·四川眉山·中考真题）眉山市东坡区永丰村是“天府粮仓”示范区，该村的“智慧春耕”让生产更高效，提升了水稻亩产量，水稻亩产量从2021年的670千克增长到了2023年的780千克，该村水稻亩产量年平均增长率为x ，则可列方程为（） A ．()67012780x ×+=B ．()26701780x ×+= C ．()26701780x ×+=D ．()6701780x ×+=【答案】B【分析】本题主要考查一元二次方程的应用，正确理解题意、列出方程是解题的关键．设该村水稻亩产量年平均增长率为x ，根据题意列出方程即可．【详解】解：根据题意得：()26701780x ×+=．8．（2024·北京·中考真题）若关于x 的一元二次方程240x x c −+=有两个相等的实数根，则实数c 的值为（） A ．16− B ．4− C ．4 D ．16【答案】C【分析】根据方程的根的判别式()22Δ44410b ac c =−=−−××=即可．本题考查了一元二次方程的根的判别式，熟练掌握根的判别式是解题的关键．【详解】∵方程240x x c −+=有两个相等的实数根，1,4,a b c c ==−=， ∴()22Δ44410b ac c =−=−−××=， ∴416c =，解得4c =．故选C ．9．（2024·上海·中考真题）以下一元二次方程有两个相等实数根的是（） A ．260x x −= B ．290x -= C ．2660x x −+= D ．2690x x −+=【答案】D【分析】本题考查了一元二次方程判别式判断根的情况，解答本题的关键是熟练掌握一元二次方程()200ax bx c a ++=≠，当240b ac ∆=−>时，方程有两个不相等实数根；当240b ac ∆=−=时，方程的两个相等的实数根；当24<0b ac ∆=−时，方程没有实数根．分别计算出各选项中的根的判别式的值，即可判断．【详解】解：A ．()2Δ6410360=−−××=> ，该方程有两个不相等实数根，故A 选项不符合题意；B ．()2Δ0419360=−××−=> ，该方程有两个不相等实数根，故B 选项不符合题意；C ．()2Δ6416120=−−××=> ，该方程有两个不相等实数根，故C 选项不符合题意； D ．()2Δ64190=−−××= ，该方程有两个相等实数根，故D 选项不符合题意；故选：D ．10．（2024·四川广安·中考真题）若关于x 的一元二次方程2(1)210m x x +−+=有两个不相等的实数根，则m 的取值范围是（）A ．0m <且1m ≠−B ．0m ≥C ．0m ≤且1m ≠−D ．0m <【答案】A【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程()200ax bx ca ++=≠，若240b ac ∆=−>，则方程有两个不相等的实数根，若240b ac ∆=−=，则方程有两个相等的实数根，若24<0b ac ∆=−，则方程没有实数根．由关于x 的一元二次方程2(1)210m x x +−+=两个不相等的实数根，可得0∆>且10m +≠，解此不等式组即可求得答案．【详解】解：关于x 的一元二次方程2(1)210m x x +−+=有两个不相等的实数根， ∴()()22410m ∆=−−+>，解得：0m <，10m +≠ ， 1m ∴≠−，m ∴的取值范围是：0m <且1m ≠−．故选：A ．11．（2024·四川内江·中考真题）某市2021年底森林覆盖率为64%，为贯彻落实“绿水青山就是金山银山”的发展理念，该市大力发展植树造林活动，2023年底森林覆盖率已达到69%．如果这两年森林覆盖率的年平均增长率为x ，则符合题意得方程是（）A ．()0.6410.69x +=B ．()20.6410.69x += C ．()0.64120.69x +=D ．()20.64120.69x +=【答案】B【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，关键是根据题意找到等式两边的平衡条件．设年平均增长率为x ，根据2023年底森林覆盖率=2021年底森林覆盖率()21x ×+，据此即可列方程求解．【详解】解：根据题意，得()264%169%x += 即()20.6410.69x +=，故选：B ．12．（2024·贵州·中考真题）一元二次方程220x x −=的解是（）A ．13x =，21x =B ．12x =，20x =C ．13x =，22x =−D ．12x =−，21x =−【答案】B【分析】本题考查了解一元二次方程，利用因式分解法求解即可．【详解】解∶ 220x x −=，∴()20x x −=，∴0x =或20x −=， ∴12x =，20x =，故选∶B ．13．（2024·四川乐山·中考真题）若关于x 的一元二次方程220x x p ++=两根为1x 、2x ，且12113x x +=，则p 的值为（）A ．23−B ．23C ．6−D ．6【答案】A【分析】本题考查了一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠根与系数的关系：若方程的两实数根为12,x x ，则1212,b x x x x a+=−⋅ca =．根据一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠根与系数的关系得到121222,1x x x x p +=−=−⋅=，然后通分，11x +1221212x x x x x p+−==，从而得到关于p 的方程，解方程即可．【详解】解：121222,1x x x x p +=−=−⋅= ， 121212112x x x x x x p+−∴+==，而12113x x +=， 23p−∴=， 23p ∴=−，故选：A ．14．（2024·云南·中考真题）两年前生产1千克甲种药品的成本为80元，随着生产技术的进步，现在生产1千克甲种药品的成本为60元．设甲种药品成本的年平均下降率为x ，根据题意，下列方程正确的是（）A ．()280160x −=B ．()280160x −=C ．()80160x −=D ．()801260x −=【答案】B【分析】本题考查了一元二次方程的应用，根据甲种药品成本的年平均下降率为x ，利用现在生产1千克甲种药品的成本=两年前生产1千克甲种药品的成本年×（1−平均下降率）2，即可得出关于的一元二次方程．【详解】解：甲种药品成本的年平均下降率为x ，根据题意可得()280160x −=，故选：B ．二、填空题15．（2024·山东·中考真题）若关于x 的方程2420x x m −+=有两个相等的实数根，则m 的值为．【答案】14/0.25【分析】本题考查了根的判别式，牢记“当Δ0=时，方程有两个相等的实数根”是解题的关键．根据方程的系数结合根的判别式，即可得出2242440b ac m ∆=−=−××=，解之即可得出结论．【详解】解：∵关于x 的方程2420x x m −+=有两个相等的实数根， ∴2242444160b ac m m ∆=−=−××=−=，解得：14m =．故答案为：14．16．（2024·广东深圳·中考真题）已知一元二次方程230x x m −+=的一个根为1，则m = ．【答案】2【分析】本题考查了一元二次方程解的定义，根据一元二次方程的解的定义，将1x =代入原方程，列出关于m 的方程，然后解方程即可．【详解】解：关于x 的一元二次方程230x x m −+=的一个根为1，1x ∴=满足一元二次方程230x x m −+=， 130m ∴−+=，解得，2m =．故答案为：2．17．（2024·江苏连云港·中考真题）关于x 的一元二次方程20x x c −+=有两个相等的实数根，则c 的值为．【答案】14/0.25【分析】本题考查了一元二次方程根的个数与根的判别式的关系．根据题意得2Δ14c 0=−=，进行计算即可得．【详解】解：若关于x 的一元二次方程20x x c −+=有两个相等的实数根，2140c ∆=−=，14c ∴=，故答案为：14．18．（2024·四川凉山·中考真题）已知2220330y x x y x −=−+−=，，则x 的值为．【答案】3【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．将2y x =代入22330x y x −+−=，转化为解一元二次方程，20y x =≥，要进行舍解．【详解】解：∵20y x −=， ∴2y x =，将2y x =代入22330x y x −+−=得，2330x x x −+−=，即：2230x x −−=，()()310x x −+=， ∴3x =或=1x −， ∵20y x =≥， ∴=1x −舍， ∴3x =，故答案为：3．19．（2024·湖南·中考真题）若关于x 的一元二次方程2420x x k −+=有两个相等的实数根，则k 的值为．【答案】2【分析】本题考查根据一元二次方程根的情况求参数．一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠有两个不相等的实数根，则240b ac ∆=−>；有两个相等的实数根，则240b ac ∆=−=；没有实数根，则24<0b ac ∆=−．据此即可求解．【详解】解：由题意得：()22444120b ac k ∆=−=−−××=，解得：2k = 故答案为：220．（2024·河南·中考真题）若关于x 的方程2102x x c −+=有两个相等的实数根，则c 的值为．【答案】12/0.5【分析】本题考查一元二次方程根与判别式的关系．掌握一元二次方程()200ax bx ca ++=≠的根的判别式为24b ac ∆=−，且当0∆>时，该方程有两个不相等的实数根；当Δ0=时，该方程有两个相等的实数根；当Δ0<时，该方程没有实数根是解题关键．根据一元二次方程根与其判别式的关系可得：()21Δ1402c =−−×=，再求解即可．【详解】解∶∵方程2102x x c −+=有两个相等的实数根， ∴()21Δ1402c =−−×=，∴12c =，故答案为：12．21．（2024·重庆·中考真题）随着经济复苏，某公司近两年的总收入逐年递增．该公司2021年缴税40万元，2023年缴税48.4万元，该公司这两年缴税的年平均增长率是．【答案】10%【分析】本题主要考查一元二次方程的应用．设平均增长率为x ，然后根据题意可列方程进行求解．【详解】解：设平均增长率为x ，由题意得：()240148.4x +=，解得：10.110%x ==，2 2.1x =−（不符合题意，舍去）；故答案为：10%．22．（2024·四川南充·中考真题）已知m 是方程2410x x −=+的一个根，则(5)(1)m m +−的值为．【答案】4−【分析】本题主要考查了二元一次方程的解，以及已知式子的值求代数式的值，根据m 是方程2410x x −=+的一个根，可得出241m m +=，再化简代数式，整体代入即可求解．【详解】解：∵m 是方程2410x x −=+的一个根， ∴241m m +=(5)(1)m m +−255m m m −+− 245m m =+−15=−4=−，故答案为：4−．23．（2024·广东广州·中考真题）定义新运算：()()200a b a a b a b a −≤ ⊗= −+> 例如：224(2)40−⊗=−−=，23231⊗=−+=．若314x ⊗=−，则x 的值为．【答案】12−或74【分析】本题考查了一元二次方程的应用，一元一次方程的应用，解题的关键是明确新运算的定义．根据新定义运算法则列出方程求解即可．【详解】解：∵()()200a b a a b a b a −≤ ⊗=−+>，而314x ⊗=−， ∴①当0x ≤时，则有2314x −=−，解得，12x =−；②当0x >时，314x −+=−，解得，74x =综上所述，x 的值是12−或74，故答案为：12−或74．24．（2024·四川成都·中考真题）若m ，n 是一元二次方程2520x x −+=的两个实数根，则()22m n +−的值为．【答案】7【分析】本题考查了根与系数的关系和完全平方公式和已知式子的值，求代数式的值．先利用已知条件求出2520n n −+=，5b m n a+=−=，从而得到252n n =−，再将原式利用完全平方公式展开，利用252n n =−替换2n 项，整理后得到m n 2++，再将5m n +=代入即可．【详解】解：∵m ，n 是一元二次方程2520x x −+=的两个实数根， ∴2520n n −+=，5bm n a+=−=，则252n n =−∴()22m n +− 244m n n =+−+5244m n n =+−−+ 2m n =++ 52=+7=故答案为：725．（2024·山东烟台·中考真题）若一元二次方程22410x x −−=的两根为m ，n ，则2234m m n −+的值为．【答案】6【分析】本题考查了根与系数的关系及利用完全平方公式求解，若12,x x 是一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的两根时，1212,bc x x x x a a+=−=，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题关键．根据根与系数的关系得122m n mn +==−，，2241m m −=，再把2234m m n −+变形为22224m m m n −++，然后利用整体代入的方法计算，再利用完全平方公式求解即可．【详解】解：∵一元二次方程22410x x −−=的两个根为m ，n ，∴122m n mn +==−，，2241m m −=∴2234m m n −+22224m m m n −++= 221m n =++2()21m n mn =+−+2122()12=−×−+6=故答案为：6．26．（2024·四川眉山·中考真题）已知方程220x x +−=的两根分别为1x ，2x ，则1211+x x 的值为．【答案】12/0.5【分析】本题考查一元二次方程的根与系数的关系，若一元二次方程()200ax bx ca ++=≠的两根分别为1x ，2x ，则12bx x a +=−，12c x x a=，掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．先根据根与系数的关系得到121x x +=−，122x x =−，然后把1211+x x 化简为1212x x x x +然后整体代入即可．【详解】解：方程220x x +−=的两根分别为1x ，2x ， 121x x ∴+=−，122x x =−，121212111122x x x x x x +−∴+===−．故答案为：12．27．（2024·四川泸州·中考真题）已知1x ，2x 是一元二次方程2350x x −−=的两个实数根，则()212123x x x x −+的值是．【答案】14【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，完全平方公式的变形求值．对于一元二次方程，若该方程的两个实数根为1x ，2x ，则12b x x a +=−，12cx x a=．先根据根与系数的关系得到123x x +=，125x x =−，再根据完全平方公式的变形()22212112229x x x x x x +=++=，求出()21229x x −=，由此即可得到答案．【详解】解： 1x ，2x 是一元二次方程2350x x −−=的两个实数根，123x x ∴+=，125x x =−，()22212112229x x x x x x ∴+=++=，∴()2221211221229492029x x x x x x x x −=−+=−=+=， ∴()()212123293514x x x x −+=+×−=．故答案为：14．三、解答题28．（2024·上海·中考真题）解方程组：2234026x xy y x y −−= += ①②．【答案】4x =，1y =或者6x =−，6y =．【分析】本题考查了二元二次方程，求解一元二次方程，解题的关键是利用代入法进行求解．【详解】解：2234026x xy y x y −−= += ①②，由②得：62x y =−代入①中得：()()226236240y y y y −−−−=，()2223624418640y y y yy −+−+−=，2642360y y −+=，()26760y y −+=，()()6610y y −−=解得：1y =或6y =，当1y =时，6214x =−×=，当6y =时，6266x =−×=−， ∴方程组的解为4,1x y ==或者6,6x y =−=． 29．（2024·四川凉山·中考真题）阅读下面材料，并解决相关问题：下图是一个三角点阵，从上向下数有无数多行，其中第一行有1个点，第二行有2个点……第n 行有n 个点……容易发现，三角点阵中前4行的点数之和为10．(1)探索：三角点阵中前8行的点数之和为_____，前15行的点数之和为______，那么，前n 行的点数之和为______(2)体验：三角点阵中前n 行的点数之和______（填“能”或“不能”）为500．(3)运用：某广场要摆放若干种造型的盆景，其中一种造型要用420盆同样规格的花，按照第一排2盆，第二排4盆，第三排6盆……第n 排2n 盆的规律摆放而成，则一共能摆放多少排？【答案】(1)36；120；()112n n +(2)不能(3)一共能摆放20排．【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．（1）根据图形，总结规律，列式计算即可求解；（2）根据前n 行的点数和是500，即可得出关于n 的一元二次方程，解之即可判断；（2）先得到前n 行的点数和是()1n n +，再根据题意得出关于n 的一元二次方程，解之即可得出n 的值．【详解】（1）解：三角点阵中前8行的点数之和为()112345678188362+++++++=+×=，前15行的点数之和为()11231415115151202+++++=+×= ，那么，前n 行的点数之和为()()111231122nn nn n ++++=+×=+ ；故答案为：36；120；()112n n +；（2）解：不能，理由如下：由题意得()115002n n +=，得210000n n +−=，()21410004001∆=−×−=，∴此方程无正整数解，所以三角点阵中前n 行的点数和不能是500；故答案为：不能；（3）解：同理，前n 行的点数之和为()()124622112n n n n n ++++=×+×=+ ，由题意得()1420n n +=，得24200n n +−=，即()()21200n n +−=，解得20n =或21n =−（舍去）， ∴一共能摆放20排．30．（2024·四川内江·中考真题）已知关于x 的一元二次方程210x px −+=（p 为常数）有两个不相等的实数根1x 和2x ．(1)填空：12x x +=________，12x x =________； (2)求1211+x x ，111x x +；(3)已知221221x x p +=+，求p 的值．【答案】(1)p ，1； (2)1211p x x +=，111x p x +=； (3)3p =．【分析】本题考查了一元二次方程根和系数的关系，根的判别式，掌握一元二次方程根和系数的关系是解题的关键．（1）利用根和系数的关系即可求解；（2）1211+x x 变形为()21212122x x x x x x +−，再把根和系数的关系代入计算即可求解，由一元二次方程根的定义可得21110x px −+=，即得1110x p x −+=，进而可得111x p x +=；（3）把方程变形为()21212221x x x x p +−=+，再把根和系数的关系代入得2221p p −=+，可得1p =−或3p =，再根据根的判别式进行判断即可求解．【详解】（1）解：由根与系数的关系得，12x x p +=，121=x x ，故答案为：p ，1；（2）解：∵12x x p +=，121=x x ， ∴12121211x x p x x x x ++==， ∵关于x 的一元二次方程210x px −+=（p 为常数）有两个不相等的实数根1x 和2x ， ∴21110x px −+=， ∴1110x p x −+=， ∴111x p x +=；（3）解：由根与系数的关系得，12x x p +=，121=x x ，∵221221x x p +=+，∴()21212221x x x x p +−=+， ∴2221P p −=+， ∴2230P p −−=，解得1p =−或3p =，∴一元二次方程210x px −+=为210x x ++=或2310x x −+=，当1p =−时，2141130∆=−××=−<，不合题意，舍去；当3p =时，()2Δ341150=−−××=>，符合题意； ∴3p =．31．（2024·广东广州·中考真题）关于x 的方程2240x x m −+−=有两个不等的实数根． (1)求m 的取值范围；(2)化简：2113|3|21m m m m m −−−÷⋅−+．【答案】(1)3m > (2)2−【分析】本题考查的是一元二次方程根的判别式，分式的混合运算，掌握相应的基础知识是解本题的关键；（1）根据一元二次方程根的判别式建立不等式解题即可；（2）根据（1）的结论化简绝对值，再计算分式的乘除混合运算即可．【详解】（1）解：∵关于x 的方程2240x x m −+−=有两个不等的实数根． ∴()()224140m ∆=−−××−>，解得：3m >；（2）解：∵3m >， ∴2113|3|21m m m m m −−−÷⋅−+ ()()1123311m m m m m m −+−−⋅⋅−−+ 2=−；32．（2024·四川南充·中考真题）已知1x ，2x 是关于x 的方程22210x kx k k −+−+=的两个不相等的实数根． (1)求k 的取值范围．(2)若5k <，且k ，1x ，2x 都是整数，求k 的值．【答案】(1)1k > (2)2【分析】本题主要考查了根据一元二次方程根的情况求参数范围、解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程根的情况与判别式的关系是解题的关键．（1）根据“1x ，2x 是关于x 的方程22210x kx k k −+−+=的两个不相等的实数根”，则0∆>，得出关于k 的不等式求解即可；（2）根据5k <，结合（1）所求k 的取值范围，得出整数k 的值有2，3，4，分别计算讨论整数k 的不同取值时，方程22210x kx k k −+−+=的两个实数根1x ，2x 是否符合都是整数，选择符合情况的整数k 的值即可．【详解】（1）解：∵1x ，2x 是关于x 的方程22210x kx k k −+−+=的两个不相等的实数根， ∴0∆>，∴()()2222Δ24114444440k k k k k k k =−−××−+=−+−=−>，解得：1k >；（2）解：∵5k <，由（1）得1k >， ∴15k <<，∴整数k 的值有2，3，4，当2k =时，方程为2430x x −+=，解得：11x =，23x =（都是整数，此情况符合题意）；当3k =时，方程为2670x x −+=，解得：3x =±（不是整数，此情况不符合题意）；当4x =时，方程为28130x x −+=，解得：4x =（不是整数，此情况不符合题意）；综上所述，k 的值为2．33．（2024·四川遂宁·中考真题）已知关于x 的一元二次方程()2210x m x m −++−=． (1)求证：无论m 取何值，方程都有两个不相等的实数根；(2)如果方程的两个实数根为12,x x ，且2212129x x x x +−=，求m 的值．【答案】(1)证明见解析； (2)11m =或22m =−．【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，解一元二次方程，掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键．（1）根据根的判别式证明0∆>恒成立即可；（2）由题意可得，122x x m +=+，121⋅=−x x m ，进行变形后代入即可求解．【详解】（1）证明：()()22Δ24118m m m =−+−××−=+ ， ∵无论m 取何值，280m +>，恒成立，∴无论m 取何值，方程都有两个不相等的实数根．（2）解：∵12,x x 是方程()2210x m x m −++−=的两个实数根， ∴122x x m +=+，121⋅=−x x m ，∴()()()22221212121232319x x x x x x x x m m +−=+−=+−−=，解得：11m =或22m =−．。

全国中考数学一元二次方程的综合中考真题分类汇总含答案解析

一、一元二次方程真题与模拟题分类汇编（难题易错题）1．“父母恩深重，恩怜无歇时”，每年5月的第二个星期日即为母亲节，节日前夕巴蜀中学学生会计划采购一批鲜花礼盒赠送给妈妈们．（1）经过和花店卖家议价，可在原标价的基础上打八折购进，若在花店购买80个礼盒最多花费7680元，请求出每个礼盒在花店的最高标价；（用不等式解答）（2）后来学生会了解到通过“大众点评”或“美团”同城配送会在（1）中花店最高售价的基础上降价25%，学生会计划在这两个网站上分别购买相同数量的礼盒，但实际购买过程中，“大众点评”网上的购买价格比原有价格上涨52m%，购买数量和原计划一样：“美团”网上的购买价格比原有价格下降了920m元，购买数量在原计划基础上增加15m%，最终，在两个网站的实际消费总额比原计划的预算总额增加了152m%，求出m的值．【答案】（1）120；（2）20．【解析】试题分析：（1）本题介绍两种解法：解法一：设标价为x元，列不等式为0.8x•80≤7680，解出即可；解法二：根据单价=总价÷数量先求出1个礼盒最多花费，再除以折扣可求出每个礼盒在花店的最高标价；（2）先假设学生会计划在这两个网站上分别购买的礼盒数为a个礼盒，表示在“大众点评”网上的购买实际消费总额：120a（1﹣25%）（1+52m%），在“美团”网上的购买实际消费总额：a[120（1﹣25%）﹣920m]（1+15m%）；根据“在两个网站的实际消费总额比原计划的预算总额增加了152m%”列方程解出即可．试题解析：（1）解：解法一：设标价为x元，列不等式为0.8x•80≤7680，x≤120；解法二：7680÷80÷0.8=96÷0.8=120（元）．答：每个礼盒在花店的最高标价是120元；（2）解：假设学生会计划在这两个网站上分别购买的礼盒数为a个礼盒，由题意得：120×0.8a（1﹣25%）（1+52m%）+a[120×0.8（1﹣25%）﹣920m]（1+15m%）=120×0.8a（1﹣25%）×2（1+ 152m%），即72a（1+52m%）+a（72﹣920m）（1+15m%）=144a（1+ 152m%），整理得：0．0675m2﹣1.35m=0，m2﹣20m=0，解得：m1=0（舍），m2=20．答：m的值是20．点睛：本题是一元二次方程的应用，第二问有难度，正确表示出“大众点评”或“美团”实际消费总额是解题关键．2．解下列方程：(1)2x 2－4x －1＝0(配方法)；(2)(x ＋1)2＝6x ＋6.【答案】(1)x 1＝1＋2x 2＝1－21＝－1，x 2＝5. 【解析】试题分析：（1）根据配方法解一元二次方程的方法，先移项，再加减一次项系数一半的平方，完成配方，再根据直接开平方法解方程即可；（2）根据因式分解法，先移项，再提公因式即可把方程化为ab=0的形式，然后求解即可. 试题解析：(1)由题可得，x 2－2x ＝12，∴x 2－2x ＋1＝32. ∴(x －1)2＝32.∴x －1＝.∴x 1＝1x 2＝1 (2)由题可得，(x ＋1)2－6(x ＋1)＝0，∴(x ＋1)(x ＋1－6)＝0.∴x ＋1＝0或x ＋1－6＝0.∴x 1＝－1，x 2＝5.3．沙坪坝区各街道居民积极响应“创文明城区”活动，据了解，某街道居民人口共有7.5万人，街道划分为A ，B 两个社区，B 社区居民人口数量不超过A 社区居民人口数量的2倍．（1）求A 社区居民人口至少有多少万人？（2）街道工作人员调查A ，B 两个社区居民对“社会主义核心价值观”知晓情况发现：A 社区有1.2万人知晓，B 社区有1.5万人知晓，为了提高知晓率，街道工作人员用了两个月的时间加强宣传，A 社区的知晓人数平均月增长率为m %，B 社区的知晓人数第一个月增长了45m %，第二月在第一个月的基础上又增长了2m %，两个月后，街道居民的知晓率达到92%，求m 的值．【答案】（1）A 社区居民人口至少有2.5万人；（2）m 的值为50．【解析】【分析】（1）设A 社区居民人口有x 万人，根据“B 社区居民人口数量不超过A 社区居民人口数量的2倍”列出不等式求解即可；（2）A 社区的知晓人数+B 社区的知晓人数=7.5×92%，据此列出关于m 的方程并解答．【详解】解：（1）设A 社区居民人口有x 万人，则B 社区有（7.5-x ）万人，依题意得：7.5-x ≤2x ，解得x ≥2.5．即A 社区居民人口至少有2.5万人；（2）依题意得：1.2（1+m %）2+1.5×（1+45m %）+1.5×（1+45m %）（1+2m %）=7.5×92%，解得m =50答：m 的值为50．【点睛】本题考查了一元二次方程和一元一次不等式的应用，解题的关键是读懂题意，找到题中相关数据的数量关系，列出不等式或方程．4．已知关于x 的一元二次方程x 2+（2m+3）x+m 2=0有两根α，β．（1）求m 的取值范围；（2）若111αβ+=-，则m 的值为多少？【答案】（1）14m ≥；（2）m 的值为3．【解析】【分析】（1）根据△≥0即可求解,（2）化简11αβ+,利用韦达定理求出α+β，αβ,代入解方程即可. 【详解】解：（1）由题意知，（2m+3）2﹣4×1×m 2≥0，解得：m≥-34；（2）由根与系数的关系得：α+β=﹣（2m+3），αβ=m 2， ∵111αβ+=-，即αβαβ+=-1, ∴2m 3m2+﹣（）=-1,整理得m 2﹣2m ﹣3=0 解得：m 1=﹣1，m 1=3，由（1）知m≥-34， ∴m 1=﹣1应舍去，∴m 的值为3．【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式以及韦达定理，对根进行判断是正确解题的关键.5．如图，在Rt ABC 中，90B =∠，10AC cm =，6BC cm =，现有两点P 、Q 的分别从点A 和点B 同时出发，沿边AB ，BC 向终点C 移动．已知点P ，Q 的速度分别为2/cm s ，1/cm s ，且当其中一点到达终点时，另一点也随之停止移动，设P ，Q 两点移动时间为xs ．问是否存在这样的x ，使得四边形APQC 的面积等于216cm ？若存在，请求出此时x 的值；若不存在，请说明理由．【答案】假设不成立，四边形APQC 面积的面积不能等于216cm ，理由见解析【解析】【分析】根据题意，列出BQ 、PB 的表达式，再列出方程，判断根的情况.【详解】解：∵90B ∠=，10AC =，6BC =，∴8AB =．∴BQ x =，82PB x =-；假设存在x 的值，使得四边形APQC 的面积等于216cm ，则()1168821622x x ⨯⨯--=，整理得：2480x x -+=，∵1632160=-=-<，∴假设不成立，四边形APQC 面积的面积不能等于216cm ．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，熟练掌握方程根的判别方法、理解方程的意义是本题的解题关键.6．阅读下面的例题，范例：解方程x 2﹣|x|﹣2=0，解：（1）当x≥0时，原方程化为x 2﹣x ﹣2=0，解得：x 1=2，x 2=﹣1（不合题意，舍去）．（2）当x ＜0时，原方程化为x 2+x ﹣2=0，解得：x 1=﹣2，x 2=1（不合题意，舍去）． ∴原方程的根是x 1=2，x 2=﹣2请参照例题解方程x 2﹣|x ﹣10|﹣10=0．【答案】x 1=4，x 2=﹣5．【解析】【分析】分为两种情况：当x≥10时，原方程化为x 2﹣x=0，当x ＜10时，原方程化为x 2+x ﹣20=0，分别求出方程的解即可．【详解】当x≥10时，原方程化为x 2﹣x+10﹣10=0，解得x 1=0（不合题意，舍去），x 2=1（不合题意，舍去）；当x ＜10时，原方程化为x 2+x ﹣20=0，解得x 3=4，x 4=﹣5，故原方程的根是x 1=4，x 2=﹣5．【点睛】本题考查了解一元二次方程——因式分解法，解此题的关键是能正确去掉绝对值符号．7．关于x 的一元二次方程ax 2+bx+1=0．（1）当b=a+2时，利用根的判别式判断方程根的情况；（2）若方程有两个相等的实数根，写出一组满足条件的a ，b 的值，并求此时方程的根．【答案】（1）方程有两个不相等的实数根；（2）b=-2，a=1时，x 1=x 2=﹣1．【解析】【详解】分析：（1）求出根的判别式24b ac ∆=-，判断其范围，即可判断方程根的情况.（2）方程有两个相等的实数根，则240b ac ∆=-=，写出一组满足条件的a ，b 的值即可.详解：（1）解：由题意：0a ≠．∵()22242440b ac a a a ∆=-=+-=+>， ∴原方程有两个不相等的实数根．（2）答案不唯一，满足240b ac -=（0a ≠）即可，例如：解：令1a =，2b =-，则原方程为2210x x -+=，解得：121x x ==．点睛：考查一元二次方程()200++=≠ax bx c a 根的判别式24b ac ∆=-，当240b ac ∆=->时，方程有两个不相等的实数根.当240b ac ∆=-=时，方程有两个相等的实数根.当240b ac ∆=-<时，方程没有实数根.8．已知关于x 的一元二次方程x 2﹣mx ﹣2＝0…①（1）若x ＝﹣1是方程①的一个根，求m 的值和方程①的另一根；（2）对于任意实数m ，判断方程①的根的情况，并说明理由．【答案】（1）方程的另一根为x=2；(2)方程总有两个不等的实数根，理由见解析.【解析】试题分析：（1）直接把x=-1代入方程即可求得m 的值，然后解方程即可求得方程的另一个根；（2）利用一元二次方程根的情况可以转化为判别式△与0的关系进行判断．(1)把x=-1代入得1+m-2=0，解得m=1 ∴2--2=0． ∴∴另一根是2；(2)∵， ∴方程①有两个不相等的实数根．考点：本题考查的是根的判别式，一元二次方程的解的定义，解一元二次方程点评：解答本题的关键是熟练掌握一元二次方程根的情况与判别式△的关系：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根9．已知：关于x 的一元二次方程221(1)204x m x m +++-=. （1）若此方程有两个实数根，求没m 的最小整数值；（2）若此方程的两个实数根为1x ，2x ，且满足22211221184x x x m x +=--，求m 的值. 【答案】（1）-4；（2）m=3【解析】【分析】（1）利用根的判别式的意义得到△≥0，然后解不等式得到m 的范围，再在此范围内找出最小整数值即可；（2）利用根与系数的关系得到12(1)x x m +=-+，212124x x m =-，然后解关于m 的一元二次方程，即可确定m 的值．【详解】解：（1）∵221(1)204x m x m +++-=有两个实数根， ∴221(1)41(2)04m m ∆=+-⨯⨯-≥，∴290m +≥， ∴92m ≥-； ∴m 的最小整数值为：4m =-；（2）由根与系数的关系得：12(1)x x m +=-+，212124x x m =-，由22212121184x x x x m ++=-得：()22211121844m m m ⎛⎫⎡⎤-+--=- ⎪⎣⎦⎝⎭∴22150m m +-=，解得：3m =或5m =-； ∵92m ≥-， ∴3m =.【点睛】本题考查了根与系数的关系：若x 1，x 2是一元二次方程ax 2+bx+c=0（a≠0）的两根时，则12b x x a +=-，12c x x a=．也考查了根的判别式．解题的关键是熟练掌握根与系数的关系和根的判别式.10．已知关于x 的方程（a ﹣1）x 2+2x +a ﹣1＝0．（1）若该方程有一根为2，求a 的值及方程的另一根；（2）当a 为何值时，方程的根仅有唯一的值？求出此时a 的值及方程的根．【答案】（1）a=15，方程的另一根为12；（2）答案见解析. 【解析】【分析】（1）把x=2代入方程，求出a 的值，再把a 代入原方程，进一步解方程即可；（2）分两种情况探讨：①当a=1时，为一元一次方程；②当a≠1时，利用b 2－4ac ＝0求出a 的值，再代入解方程即可．【详解】（1）将x ＝2代入方程2(a 1)x 2x a 10-++-=，得4(a 1)4a 10-++-=，解得：a ＝15．将a ＝15代入原方程得24x 2054x 5-+-=，解得：x 1＝12，x 2＝2． ∴a ＝15，方程的另一根为12；（2）①当a ＝1时，方程为2x ＝0，解得：x ＝0.②当a≠1时，由b 2－4ac ＝0得4－4(a －1)2＝0，解得：a ＝2或0．当a ＝2时，原方程为：x 2＋2x ＋1＝0，解得：x 1＝x 2＝－1；当a ＝0时，原方程为：－x 2＋2x －1＝0，解得：x 1＝x 2＝1．综上所述，当a ＝1，0，2时，方程仅有一个根，分别为0，1，－1.考点：1.一元二次方程根的判别式；2.解一元二次方程；3.分类思想的应用.。

全国中考数学一元二次方程的综合中考模拟和真题分类汇总含答案

一、一元二次方程真题与模拟题分类汇编（难题易错题）1．如图，A、B、C、D为矩形的4个顶点，AB＝16cm，BC＝6cm，动点P、Q分别以3cm/s、2cm/s的速度从点A、C同时出发，点Q从点C向点D移动．(1)若点P从点A移动到点B停止，点P、Q分别从点A、C同时出发，问经过2s时P、Q 两点之间的距离是多少cm？(2)若点P从点A移动到点B停止，点Q随点P的停止而停止移动，点P、Q分别从点A、C 同时出发，问经过多长时间P、Q两点之间的距离是10cm？(3)若点P沿着AB→BC→CD移动，点P、Q分别从点A、C同时出发，点Q从点C移动到点D停止时，点P随点Q的停止而停止移动，试探求经过多长时间△PBQ的面积为12cm2？【答案】（1）PQ=62cm；（2）85s或245s；（3）经过4秒或6秒△PBQ的面积为12cm2．【解析】试题分析：（1）作PE⊥CD于E，表示出PQ的长度，利用PE2+EQ2=PQ2列出方程求解即可；（2）设x秒后，点P和点Q的距离是10cm．在Rt△PEQ中，根据勾股定理列出关于x的方程（16-5x）2=64，通过解方程即可求得x的值；（3）分类讨论：①当点P在AB上时；②当点P在BC边上；③当点P在CD边上时．试题解析：（1）过点P作PE⊥CD于E．则根据题意，得EQ=16-2×3-2×2=6（cm），PE=AD=6cm；在Rt△PEQ中，根据勾股定理，得PE2+EQ2=PQ2，即36+36=PQ2，∴cm；∴经过2s时P、Q两点之间的距离是；（2）设x秒后，点P和点Q的距离是10cm．（16-2x-3x）2+62=102，即（16-5x）2=64，∴16-5x=±8，∴x1=85，x2=245；∴经过85s或245sP、Q两点之间的距离是10cm；（3）连接BQ．设经过ys后△PBQ的面积为12cm2．①当0≤y≤163时，则PB=16-3y，∴12PB•BC=12，即12×（16-3y）×6=12，解得y=4；②当163＜x≤223时，BP=3y-AB=3y-16，QC=2y，则1 2BP•CQ=12（3y-16）×2y=12，解得y1=6，y2=-23（舍去）；③223＜x≤8时，QP=CQ-PQ=22-y，则1 2QP•CB=12（22-y）×6=12，解得y=18（舍去）．综上所述，经过4秒或6秒△PBQ的面积为 12cm2．考点：一元二次方程的应用．2．在等腰三角形△ABC中，三边分别为a、b、c，其中ɑ＝4，若b、c是关于x的方程x2﹣（2k+1）x+4（k﹣12）＝0的两个实数根，求△ABC的周长．【答案】△ABC的周长为10．【解析】【分析】分a为腰长及底边长两种情况考虑：当a=4为腰长时，将x=4代入原方程可求出k值，将k值代入原方程可求出底边长，再利用三角形的周长公式可求出△ABC的周长；当a=4为底边长时，由根的判别式△=0可求出k 值，将其代入原方程利用根与系数的关系可求出b+c 的值，由b+c=a 可得出此种情况不存在．综上即可得出结论．【详解】当a ＝4为腰长时，将x ＝4代入原方程，得：()214421402k k ⎛⎫-++-= ⎪⎝⎭解得：52k = 当52k =时，原方程为x 2﹣6x +8＝0，解得：x 1＝2，x 2＝4，∴此时△ABC 的周长为4+4+2＝10；当a ＝4为底长时，△＝[﹣（2k +1）]2﹣4×1×4（k ﹣12）＝（2k ﹣3）2＝0，解得：k ＝32， ∴b +c ＝2k +1＝4．∵b +c ＝4＝a ，∴此时，边长为a ，b ，c 的三条线段不能围成三角形．∴△ABC 的周长为10．【点睛】本题考查了根的判别式、根与系数的关系、一元二次方程的解、等腰三角形的性质以及三角形的三边关系，分a 为腰长及底边长两种情况考虑是解题的关键．3．已知关于x 的一元二次方程（x ﹣3）（x ﹣4）﹣m 2=0．（1）求证：对任意实数m ，方程总有2个不相等的实数根；（2）若方程的一个根是2，求m 的值及方程的另一个根．【答案】（1）证明见解析；（2）m 的值为2，方程的另一个根是5．【解析】【分析】（1）先把方程化为一般式，利用根的判别式△=b 2-4ac 证明判断即可；（2）根据方程的根，利用代入法即可求解m 的值，然后还原方程求出另一个解即可.【详解】（1）证明：∵（x ﹣3）（x ﹣4）﹣m 2=0，∴x 2﹣7x+12﹣m 2=0，∴△=（﹣7）2﹣4（12﹣m 2）=1+4m 2，∵m 2≥0，∴△＞0，∴对任意实数m ，方程总有2个不相等的实数根；（2）解：∵方程的一个根是2，∴4﹣14+12﹣m 2=0，解得m=±， ∴原方程为x 2﹣7x+10=0，解得x=2或x=5，即m 的值为±，方程的另一个根是5．【点睛】此题主要考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程的根的判别式与根的关系是关键.当△=b 2-4ac ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△=b 2-4ac=0时，方程有两个相等的实数根；当△=b 2-4ac ＜0时，方程没有实数根.4．发现思考：已知等腰三角形ABC 的两边分别是方程x 2﹣7x+10=0的两个根，求等腰三角形ABC 三条边的长各是多少？下边是涵涵同学的作业，老师说他的做法有错误，请你找出错误之处并说明错误原因．涵涵的作业解：x 2﹣7x+10=0a=1 b=﹣7 c=10∵b 2﹣4ac=9＞0∴2b b 4ac -±-732± ∴x 1=5，x 2=2所以，当腰为5，底为2时，等腰三角形的三条边为5，5，2．当腰为2，底为5时，等腰三角形的三条边为2，2，5．探究应用：请解答以下问题：已知等腰三角形ABC 的两边是关于x 的方程x 2﹣mx+m 2﹣14=0的两个实数根．（1）当m=2时，求△ABC 的周长；（2）当△ABC 为等边三角形时，求m 的值．【答案】错误之处及错误原因见解析；（1）当m=2时，△ABC 的周长为72；（2）当△ABC 为等边三角形时，m 的值为1．【解析】【分析】根据三角形三边关系可以得到等腰三角形的三条边不能为2、2、5．（1）先解方程，再确定边，从而求周长；（2）是等边三角形，则两根相等，即△=（﹣m ）2﹣4（m 2﹣14）=m 2﹣2m+1，可求得m. 【详解】解：错误之处：当2为腰，5为底时，等腰三角形的三条边为2、2、5．错误原因：此时不能构成三角形．（1）当m=2时，方程为x2﹣2x+34=0，∴x1=12，x2=32．当12为腰时，12+12<32，∴12、12、32不能构成三角形；当32为腰时，等腰三角形的三边为32、32、12，此时周长为32+32+12=72．答：当m=2时，△ABC的周长为72．（2）若△ABC为等边三角形，则方程有两个相等的实数根，∴△=（﹣m）2﹣4（m2﹣14）=m2﹣2m+1=0，∴m1=m2=1．答：当△ABC为等边三角形时，m的值为1．【点睛】本题考核知识点：二元一次方程的运用.解题关键点：熟练掌握二元一次方程的解法和等腰三角形性质.5．关于x的方程(k－1)x2+2kx+2=0（1）求证：无论k为何值，方程总有实数根．（2）设x1，x2是方程(k－1)x2+2kx+2=0的两个根，记S=++ x1+x2，S的值能为2吗？若能，求出此时k的值．若不能，请说明理由．【答案】（1）详见解析；（2）S的值能为2，此时k的值为2．【解析】试题分析：（1）本题二次项系数为(k－1)，可能为0，可能不为0，故要分情况讨论；要保证一元二次方程总有实数根，就必须使△＞0恒成立；（2）欲求k的值，先把此代数式变形为两根之积或两根之和的形式，代入数值计算即可．试题解析：（1）①当k-1=0即k=1时，方程为一元一次方程2x=1,x=有一个解；②当k-1≠0即k≠1时，方程为一元二次方程，△=（2k）²-4×2（k-1）=4k²-8k＋8="4(k-1)" ²＋4＞0方程有两不等根综合①②得不论k为何值，方程总有实根（2）∵x ₁＋x ₂＝,x ₁ x ₂=∴S=++ x1+x2=====2k-2=2，解得k=2，∴当k=2时，S的值为2∴S的值能为2，此时k的值为2．考点：一元二次方程根的判别式；根与系数的关系．6．已知关于x的方程x2﹣2x+m﹣2＝0有两个不相等的实数根．(1)求m的取值范围；(2)如果m为正整数，且该方程的根都是整数，求m的值．【答案】(1)m＜3；(2)m＝2．【解析】【分析】（1）根据题意得出△＞0，代入求出即可；（2）求出m=1或2，代入后求出方程的解，即可得出答案．【详解】（1）∵方程有两个不相等的实数根．∴△＝4﹣4(m﹣2)＞0．∴m＜3；（2）∵m＜3 且 m为正整数，∴m＝1或2．当 m＝1时，原方程为 x2﹣2x﹣1＝0．它的根不是整数，不符合题意，舍去；当 m＝2时，原方程为 x2﹣2x＝0．∴x(x﹣2)＝0．∴x1＝0，x2＝2．符合题意．综上所述，m＝2．【点睛】本题考查了根的判别式和解一元二次方程，能根据题意求出m的值和m的范围是解此题的关键．7．已知关于x的方程x2－（m＋2）x＋（2m－1）=0。

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