高中数学数列递推与放缩问题专题训练试题

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2024年高考数学专题10 数列不等式的放缩问题 (练习)(原卷版)

(1)证明：对 "x Î[0, +¥), f (x) ³ 0 恒成立；
(2)是否存在
n
Î
N*
，使得
ln
2
<
sin
1 1´
3
+
sin
2
1 ´
4
+
×
×
×
+
sin
1 n(n +
2)
<
3 4
成立？请说明理由．
23．（2023·福建福州·福建省福州第一中学校考三模）记 Sn 为数列an 的前 n 项和，已知
专题 10 数列不等式的放缩问题
目录
01 先求和后放缩 .................................................................................................................................1
明理由；
a
-
1
£0
(3)对任意正整数
n
，不等式
1 +
1 b1
1 +
1 b2
××
×
1
+
1 bn
n - 2 + an
都成立，求实数 a 的取值范围．
n
06 å ai < (>)b 型不等式的证明 i =1
22．（2023·山西·高三统考阶段练习）已知函数 f (x) = sin x - x + 1 x3 ． 6
等比数列，这三个条件中任选一个补充在上面题干中，并解答下面问题.
(1)求an 的通项公式；

高三数学必做题数列放缩法典型试题

高三数学必做题数列放缩法典型试题Prepared on 22 November 2020数列综合题1、已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足：()11n n aS a a =--，a 为常数，且0a ≠，1a ≠．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若13a =，设1111n n n n n a a b a a ++=-+-，且数列{}n b 的前n 项和为n T ，求证：13n T <．2、已知数列{}n a 的前n 项和()12n n n a S +=，且11a =．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）令ln n n b a =，是否存在k (2,)k k N ≥∈，使得k b 、1k b +、2k b +成等比数列．若存在，求出所有符合条件的k 值；若不存在，请说明理由．3、已知{}n a 是等差数列，32=a ，53=a ．⑴求数列{}n a 的通项公式；⑵对一切正整数n ，设1)1(+⋅-=n n n n a a nb ，求数列{}n b 的前n 项和n S ．4、设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足21=a ,221+=+n n S a ()1,2,3n =．（1）求2a ；（2）数列{}n a 的通项公式；（3）设n n n n S S a b 11++=,求证：2121<+++n b b b ．5、对于任意的n ∈N *，数列{a n }满足1212121212121n n a n a a n ---+++=++++. (Ⅰ) 求数列{a n }的通项公式；(Ⅱ) 求证：对于n≥2，231222112n n a a a ++++<-6、已知各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S 满足242n n n S a a =+．（1）求1a 的值；（2）求{}n a 的通项公式；（3）求证：*222121111,2n n N a a a ++⋅⋅⋅+<∈。

高中数学数列放缩专题：用放缩法处理数列和不等问题(含答案)(K12教育文档)

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用放缩法处理数列和不等问题（教师版）一．先求和后放缩（主要是先裂项求和，再放缩处理）例1．正数数列{}n a 的前n 项的和n S ,满足12+=n n a S ，试求：（1)数列{}n a 的通项公式; （2）设11+=n n n a a b ,数列{}n b 的前n 项的和为n B ，求证：21<n B解:（1）由已知得2)1(4+=n n a S ，2≥n 时，211)1(4+=--n n a S ，作差得：1212224----+=n n n n n a a a a a ，所以0)2)((11=--+--n n n n a a a a ，又因为{}n a 为正数数列，所以21=--n n a a ，即{}n a 是公差为2的等差数列，由1211+=a S ,得11=a ，所以12-=n a n（2）)121121(21)12)(12(111+--=+-==+n n n n a a b n n n ，所以21)12(2121)1211215131311(21<+-=+---+-=n n n B n 真题演练1：（06全国1卷理科22题）设数列{}n a 的前n 项的和,14122333n n n S a +=-⨯+，1,2,3,n =（Ⅰ)求首项1a 与通项n a ;（Ⅱ）设2nn nT S =，1,2,3,n =,证明:132ni i T =<∑. 解：（Ⅰ)由 S n =错误!a n －错误!×2n+1+错误!, n=1,2,3，… , ① 得 a 1=S 1= 错误!a 1－错误!×4+23所以a 1=2 再由①有 S n －1=错误!a n －1－错误!×2n +错误!， n=2，3，4，…将①和②相减得： a n =S n －S n －1= 错误!(a n －a n －1)－错误!×（2n+1－2n ）,n=2,3， …整理得: a n +2n =4(a n －1+2n －1),n=2，3， … ，因而数列{ a n +2n ｝是首项为a1+2=4,公比为4的等比数列,即 : a n +2n =4×4n －1= 4n ， n=1，2,3, …，因而a n =4n －2n ， n=1，2，3, …,(Ⅱ）将a n =4n －2n 代入①得 S n = 错误!×（4n －2n )－错误!×2n+1 + 错误! = 错误!×(2n+1－1)（2n+1－2）= 错误!×（2n+1－1）（2n －1）T n = 错误!= 错误!×错误! = 错误!×（错误! －错误!）所以, 1ni i T =∑= 321(n i =∑错误! －错误!) = 错误!×（错误! － 1121n +-）〈错误!二．先放缩再求和1．放缩后成等比数列，再求和例2．等比数列{}n a 中，112a =-,前n 项的和为n S ，且798,,S S S 成等差数列．设n n n a a b -=12，数列{}n b 前n 项的和为n T ，证明：13n T <．解：∵9789A A a a -=+，899A A a -=-，899a a a +=-,∴公比9812a q a ==-． ∴n n a )21(-=． nn n nn n b 231)2(41)21(141⋅≤--=--=．（利用等比数列前n 项和的模拟公式n n S Aq A =-猜想）∴n n b b b B ++=2131)211(31211)211(213123123123122<-=--⋅=⋅++⋅+⋅≤n n ．真题演练2:（06福建卷理科22题)已知数列{}n a 满足*111,21().n n a a a n N +==+∈（I ）求数列{}n a 的通项公式； (II ）若数列{}n b 滿足12111*444(1)()n n b b b b n a n N ---=+∈，证明：数列{}n b 是等差数列；（Ⅲ）证明：*122311...()232n n a a a n nn N a a a +-<+++<∈.（I)解：*121(),n n a a n N +=+∈112(1),n n a a +∴+=+{}1n a ∴+是以112a +=为首项，2为公比的等比数列12.n n a ∴+=即 2*21().n a n N =-∈（II)证法一：1211144...4(1).n n k k k k n a ---=+12(...)42.n n k k k n nk +++-∴=122[(...)],n n b b b n nb ∴+++-= ①12112[(...)(1)](1).n n n b b b b n n b ++++++-+=+ ②②－①，得112(1)(1),n n n b n b nb ++-=+-即1(1)20,n n n b nb +--+=21(1)20.n n nb n b ++-++= ③－④,得 2120,n n n nb nb nb ++-+=即 2120,n n n b b b ++-+=*211(),n n n n b b b b n N +++∴-=-∈{}n b ∴是等差数列（III）证明：1121211,1,2,...,,12122(2)2k k k k k k a k n a ++--==<=-- 12231 (2)n n a a a na a a +∴+++<111211111111.,1,2,...,,2122(21)2 3.222232k k k k k kk k a k n a +++-==-=-≥-=--+-1222311111111...(...)(1),2322223223n n n n a a a n n n a a a +∴+++≥-+++=-->-*122311...().232n n a a a n nn N a a a +∴-<+++<∈ 2．放缩后为“差比”数列,再求和例3．已知数列{}n a 满足：11=a ，)3,2,1()21(1 =+=+n a n a n n n ．求证:11213-++-≥>n n n n a a 证明：因为n nn a na )21(1+=+，所以1+n a 与n a 同号，又因为011>=a ，所以0>n a ，即021>=-+n n n n a na a ，即n n a a >+1．所以数列{}n a 为递增数列,所以11=≥a a n ，即n n n n n n a n a a 221≥=-+，累加得：121212221--+++≥-n n n a a ．令12212221--+++=n n n S ,所以n n n S 2122212132-+++= ，两式相减得: n n n n S 212121212121132--++++=- ，所以1212-+-=n n n S ,所以1213-+-≥n n n a ，故得11213-++-≥>n n n n a a ．3．放缩后成等差数列，再求和例4．已知各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ,且22nn n a a S +=.(1）求证：2214n n n a a S ++<;（2）求证<⋅⋅⋅+< 解:(1）在条件中，令1=n ，得1112122a S a a ==+，1011=∴>a a ，又由条件n n n S a a 22=+有11212+++=+n n n S a a ，上述两式相减，注意到n n n S S a -=++11得0)1)((11=--+++n n n n a a a a 001>+∴>+n n n a a a ∴11n n a a +-=所以， n n a n =-⨯+=)1(11，(1)2n n n S +=所以42)1(212)1(21222++=++•<+=n n n a a n n n n S （2）因为1)1(+<+<n n n n ,所以212)1(2+<+<n n n n ,所以 2)1(23222121+++⨯+⨯=++n n S S S n 212322++++<n 2122312-=+=+n S n n ；222)1(2222121n n S n n n S S S =+=+++>++练习：1。

数列的放缩(含答案)

数列的放缩题型一:单调性法例1：证明：11115123136n n n n ++++>++-，2n n N *≥∈，.因为1111111112313233233n a n n n n n n n n =++++<++++++-++++ 所以n a 单调递增，156n a a >=例2：证明：1111121313n n n n<++++<+-，n N *∈.右边：11111(31)213231n n n n n n n++++<•-+=+--左边：1111112313n a n n n n n=+++++++-可以证明：11232n x n x n+>+- 44()(3)2*2n nn x n x n n>+-所以倒叙相加可得 1111111111()()1231333121n n nn n n n nn n++++++++++++++--+ 2*n >422*2nn n = 所以1n a >题型二:裂项法例1：证明：222211117147(32)6n +++<-，n N *∈.211(32)(34)(31)n n n <---例2：证明：2611151(1)(21)493n n n n ≤++++<++ 解析: 一方面⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=-=-<12112121444111222n n n n n ,所以35321121121513121112=+<⎪⎭⎫ ⎝⎛+--++-+<∑=n n knk 另一21111111111492334(1)11n n n n n n ++++>++++=-=⨯⨯+++方面:当3≥n 时,)12)(1(61++>+n n n n n ,当1=n 时,2191411)12)(1(6n n n n ++++=++ ,当2=n 时,2191411)12)(1(6nn n n ++++<++ ,所以综上有35191411)12)(1(62<++++≤++n n n n例3：证明：11112477121017(31)(52)25n n +++<⨯⨯⨯++提示：1313615(31)(52)55(31)(3)(3)(3)522n n n n n n =<++++-+例4：求证：22211171135(21)62(21)n n ++++>---，2n n N *≥∈，. 提示：211(21)(21)(21)n n n >--+例5：证明：222233131312n+++<---，n N *∈ 方法一:13123n n --≥⨯方法二:1111122323113()31(31)3(31)(31)3131n n nn n n n n n +++++⨯⨯=<=-------例6：已知当0x >时sin x x >，求证:211sinln 2(1)nk k =<+∑例7：已知函数()()cos sin 10f x x x x x =-+>。

高三数学必做题--数列放缩法(典型试题)

数列综合题 1、已知数列 an 的前 n 项和 Sn 满足： S n （1）求数列 an 的通项公式；（2）若 a
a an 1 ， a 为常数，且 a 0 ， a 1 ． a 1
1 1 an a ，设 bn n 1 ，且数列 bn 的前 n 项和为 Tn ，求证： Tn ． 3 3 1 an 1 an1
1 1 2 ． a1a2 a2 a3 3
1 n (1)n1 ，其中 n 2 ． bn n an
②是否存在实数，使得数列 {bn } 为等比数列？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
9、已知数列 an 的前 n 项和为 Sn ，且 S n （1）求数列 an 的通项公式；（2）若 bn
3、已知 a n 是等差数列， a 2 3 ， a 3 5 ． ⑴求数列 a n 的通项公式； ⑵对一切正整数 n ，设 bn
(1) n n ，求数列 b n 的前 n 项和 S n ． a n a n 1
4、设数列 a n 的前 n 项和为 S n ，且满足 a1 2 , an1 2S n 2 n 1,2,3 （1）求 a2 ；（2）数列 a n 的通项公式；（3）设 bn
2、已知数列 an 的前 n 项和 S n
n 1 an ，且 a
2
1
1．
（1）求数列 an 的通项公式；（2）令 bn ln an ，是否存在 k (k 2, k N ) ，使得 bk 、bk 1 、bk 2 成等比数列．若存在，求出所有符合条件的 k 值；若不存在，请说明理由．
．
a n 1 1 ,求证： b1 b2 bn ． 2 S n 1 S n

放缩法数列练习题

放缩法数列练习题在数列的学习中，放缩法是一种常用的求解数列问题的方法。

通过逐步放缩数列的项，我们可以找到数列中的规律，并进一步推导出数列的通项公式。

本篇文章将为您介绍一些放缩法数列练习题，帮助您更好地掌握这一方法。

练习题一：等差数列的放缩已知数列{a_n}满足 a_1 = 2，a_2 = 5，a_3 = 8，...，a_100 = ?，其中数列的公差为 3。

请利用放缩法找出 a_100 的值。

解析：我们可以观察到每个项之间的差都是 3，因此这是一个等差数列。

我们可以使用放缩法来找到通项公式并计算 a_100。

首先，我们将数列放缩三次：第一次放缩：令 b_n = a_n + 1，我们可以得到一个新的等差数列{b_n}，满足 b_1 = a_2 = 5，b_2 = a_3 = 8，b_3 = a_4，...第二次放缩：令 c_n = b_n + 1，得到等差数列{c_n}，满足 c_1 = b_2 = 8，c_2 = b_3，...第三次放缩：令 d_n = c_n + 1，得到等差数列{d_n}，满足 d_1 = c_2 = 11，...通过这一系列的放缩，我们可以发现新的数列{d_n}是一个公差为 3 的等差数列，且 d_1 = 11。

我们知道等差数列的通项公式为 a_n = a_1 + (n-1)d，将 d_n 还原回 a_n，我们可以得到 a_n = d_n - 1。

因此，我们可以计算 a_100 = d_100 - 1 = 11 + (100-1)3 - 1 = 11 + 99× 3 - 1 = 307。

练习题二：等比数列的放缩已知数列{b_n}满足 b_1 = 2，b_2 = 6，b_3 = 18，...，b_10 = ?，其中数列的公比为 3。

请利用放缩法找出 b_10 的值。

解析：我们可以观察到每个项之间的比都是 3，因此这是一个等比数列。

我们可以使用放缩法来找到通项公式并计算 b_10。

专题20 放缩法证明数列不等式(练习及答案)-高考数学二轮专题必考点专练

专题20：放缩法证明数列不等式题型一：先求和再证明不等式典型例题例1(2021·全国乙)设{a n}是首项为1的等比数列,数列{b n}满足b n=na n3.已知a1,3a2,9a3成等差数列．(1)求{a n}和{b n}的通项公式；(2)记S n和T n别为{a n}和{b n}的前n项和．证明：T n<S n2．变式训练练1已知数列{a n}为等比数列，数列{b n}为等差数列，且b1=a1=1，b2=a1+a2，a3=2b3−6．(1)求数列{a n}，{b n}的通项公式；(2)设c n=1b n b n+2，数列{c n}的前n项和为T n，证明：15≤T n<13．练2已知数列{a n }的首项a 1=3，前n 项和为S n ，a n+1=2S n +3，n ∈N *． (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n =log 3a n ，求数列{b n a n}的前n 项和T n ，并证明：13≤T n <34．题型二：先放缩再求和证明不等式典型例题例2(2014·全国Ⅱ)已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝3a n ＋1． (1)证明⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n ＋12是等比数列，并求{a n }的通项公式；(2)证明1a 1＋1a 2＋…＋1a n <32．变式训练练3已知数列{a n }的首项为1，S n 为数列{a n }的前n 项和，S n ＋1＝qS n ＋1，其中q >0，n ∈N *．(1)若2a 2，a 3，a 2＋2成等差数列，求数列{a n }的通项公式； (2)设双曲线x 2－y 2a 2n ＝1的离心率为e n ，且e 2＝53，证明：e 1＋e 2＋…＋e n >4n －3n 3n －1．练4已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝32，2S n ＝(n ＋1)a n ＋1(n ≥2)．(1)求{a n }的通项公式；(2)设b n ＝1(a n ＋1)2(n ∈N *)，数列{b n }的前n 项和为T n ，证明：T n<710(n ∈N *)．专题训练1.数列{a n}中，a1＝12，a n+1=a n2a n2−a n+1(n∈N∗)．(1)求证：a n＋1<a n；(2)记数列{a n}的前n项和为S n，求证：S n<1．2.已知正项数列{a n}的前n项和为S n，且a n+1a n=2S n,n∈N∗（1）求证：数列{S n2}是等差数列（2）记数列b n=2S n3,T n=1b1+1b2+⋯+1b n，证明：1√n+1<T n≤32−√n.3.已知数列{a n}满足a1=2,a n+1=2(1+1n )2a n,n∈N+（1）求证：数列{a nn2}是等比数列，并求出数列{a n}的通项公式；（2）设c n=na n ，求证：c1+c2+⋯+c n<1724.4.已知数列{a n}的前n项和S n=na n−3n(n−1),n∈N∗，且a3=17.（1）求a1；（2）求数列{a n}的前n项和S n；（3）设数列{b n}的前n项和T n，且满足b n=√nS n ，求证：T n<23√3n+2.5.已知数列{a n}满足a1=14,a n=a n−1(−1)n a n−1−2(n≥2,n∈N).（1）试判断数列{1a n+(−1)n}是否为等比数列，并说明理由；（2）设b n=a n sin(2n−1)π2，数列{b n}的前n项和为T n，求证：对任意的n∈N∗,T n<47.。

高中数学数列放缩专题：用放缩法处理数列和不等问题(含答案)

用放缩法处理数列和不等问题（教师版）一．先求和后放缩（主要是先裂项求和，再放缩处理）例1．正数数列{}n a 的前n 项的和n S ，满足12+=n n a S ，试求：（1）数列{}n a 的通项公式；（2）设11+=n n n a a b ，数列{}n b 的前n 项的和为n B ，求证：21<n B解：（1）由已知得2)1(4+=n n a S ，2≥n 时，211)1(4+=--n n a S ，作差得：1212224----+=n n n n n a a a a a ，所以0)2)((11=--+--n n n n a a a a ，又因为{}n a 为正数数列，所以21=--n n a a ，即{}n a 是公差为2的等差数列，由1211+=a S ，得11=a ，所以12-=n a n（2）)121121(21)12)(12(111+--=+-==+n n n n a a b n n n ，所以21)12(2121)1211215131311(21<+-=+---+-=n n n B n 真题演练1：(06全国1卷理科22题)设数列{}n a 的前n 项的和,14122333n n n S a +=-⨯+，1,2,3,n = （Ⅰ）求首项1a 与通项n a ；（Ⅱ）设2n n n T S =，1,2,3,n = ，证明：132ni i T =<∑.解: (Ⅰ)由 S n =43a n －13×2n+1+23, n=1,2,3，… , ① 得 a 1=S 1= 43a 1－13×4+23所以a 1=2再由①有 S n －1=43a n －1－13×2n +23, n=2,3，4,…将①和②相减得: a n =S n －S n －1= 43(a n －a n －1)－13×(2n+1－2n ),n=2,3, …整理得: a n +2n =4(a n －1+2n －1),n=2,3, … , 因而数列{ a n +2n }是首项为a1+2=4,公比为4的等比数列,即 : a n +2n =4×4n －1= 4n , n=1,2,3, …, 因而a n =4n －2n , n=1,2,3, …,(Ⅱ)将a n =4n －2n 代入①得 S n = 43×(4n －2n )－13×2n+1 + 23 = 13×(2n+1－1)(2n+1－2)= 23×(2n+1－1)(2n －1)T n = 2n S n = 32×2n (2n+1－1)(2n －1) = 32×(12n －1 － 12n+1－1)所以, 1ni i T =∑= 321(ni =∑12i －1 － 12i+1－1) = 32×(121－1 － 1121n +-) < 32二．先放缩再求和1．放缩后成等比数列，再求和例2．等比数列{}n a 中，112a =-，前n 项的和为n S ，且798,,S S S 成等差数列．设nn n a a b -=12，数列{}n b 前n 项的和为n T ，证明：13n T <．解：∵9789A A a a -=+，899A A a -=-，899a a a +=-，∴公比9812a q a ==-． ∴n n a )21(-=． nn n nn n b 231)2(41)21(141⋅≤--=--=．（利用等比数列前n 项和的模拟公式n n S Aq A =-猜想）∴n n b b b B ++=2131)211(31211)211(213123123123122<-=--⋅=⋅++⋅+⋅≤n n ．真题演练2：(06福建卷理科22题)已知数列{}n a 满足*111,21().n n a a a n N +==+∈（I ）求数列{}n a 的通项公式；（II ）若数列{}n b 滿足12111*444(1)()n n b b b b n a n N ---=+∈ ，证明：数列{}n b 是等差数列；（Ⅲ）证明：*122311...()232n n a a a n nn N a a a +-<+++<∈. （I ）解：*121(),n n a a n N +=+∈112(1),n n a a +∴+=+{}1n a ∴+是以112a +=为首项，2为公比的等比数列12.n n a ∴+=即 2*21().n a n N =-∈（II ）证法一：1211144...4(1).n n k k k k n a ---=+12(...)42.n n k k k n nk +++-∴=122[(...)],n n b b b n nb ∴+++-= ①12112[(...)(1)](1).n n n b b b b n n b ++++++-+=+ ②②－①，得112(1)(1),n n n b n b nb ++-=+-即1(1)20,n n n b nb +--+= ③21(1)20.n n nb n b ++-++= ④③－④，得 2120,n n n nb nb nb ++-+=即 2120,n n n b b b ++-+=*211(),n n n n b b b b n N +++∴-=-∈{}n b ∴是等差数列（III ）证明：1121211,1,2,...,,12122(2)2k k k k k k a k n a ++--==<=-- 12231 (2)n n a a a na a a +∴+++<111211111111.,1,2,...,,2122(21)2 3.222232k k k k k kk k a k n a +++-==-=-≥-=--+-1222311111111...(...)(1),2322223223n n n n a a a n n n a a a +∴+++≥-+++=-->-*122311...().232n n a a a n nn N a a a +∴-<+++<∈ 2．放缩后为“差比”数列，再求和例3．已知数列{}n a 满足：11=a ，)3,2,1()21(1 =+=+n a n a n n n ．求证：11213-++-≥>n n n n a a 证明：因为n nn a na )21(1+=+，所以1+n a 与n a 同号，又因为011>=a ，所以0>n a ，即021>=-+n n n n a na a ，即n n a a >+1．所以数列{}n a 为递增数列，所以11=≥a a n ，即n n n n n n a n a a 221≥=-+，累加得：121212221--+++≥-n n n a a ．令12212221--+++=n n n S ，所以n n n S 2122212132-+++= ，两式相减得： n n n n S 212121212121132--++++=- ，所以1212-+-=n n n S ，所以1213-+-≥n n n a ，故得11213-++-≥>n n n n a a ．3．放缩后成等差数列，再求和例4．已知各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ,且22n n n a a S +=.(1) 求证：2214n n n a a S ++<；(2)<⋅⋅⋅+<解：（1）在条件中，令1=n ，得1112122a S a a ==+，1011=∴>a a ，又由条件n n n S a a 22=+有11212+++=+n n n S a a ，上述两式相减，注意到n n n S S a -=++11得0)1)((11=--+++n n n n a a a a 001>+∴>+n n n a a a ∴11n n a a +-=所以， n n a n =-⨯+=)1(11，(1)2n n n S +=所以42)1(212)1(21222++=++∙<+=n n n a a n n n n S （2）因为1)1(+<+<n n n n ，所以212)1(2+<+<n n n n ，所以 2)1(23222121+++⨯+⨯=++n n S S S n 212322++++<n 2122312-=+=+n S n n ；222)1(2222121n n S n n n S S S =+=+++>++练习：1.（08南京一模22题）设函数213()44f x x bx =+-，已知不论,αβ为何实数，恒有(cos )0f α≤且(2sin )0f β-≥.对于正数列{}n a ，其前n 项和()n n S f a =，*()n N ∈.(Ⅰ) 求实数b 的值；（II ）求数列{}n a 的通项公式；1,1nn N a +=∈+，且数列{}n c 的前n 项和为n T ，试比较n T 和16的大小并证明之.解：(Ⅰ) 12b =（利用函数值域夹逼性）；（II ）21n a n =+；（Ⅲ）∵21111(22)22123nc n n n ⎛⎫=<- ⎪+++⎝⎭，∴1231111+23236n n T c c c c n ⎛⎫=+++⋅⋅⋅<-< ⎪+⎝⎭…2.（04全国）已知数列}{n a 的前n 项和n S 满足：n n n a S )1(2-+=， 1≥n （1）写出数列}{n a 的前三项1a ，2a ，3a ；（2）求数列}{n a 的通项公式；（3）证明：对任意的整数4>m ，有8711154<+++m a a a 分析：⑴由递推公式易求：a 1=1,a 2=0,a 3=2；⑵由已知得：1112(1)2(1)n n n n n n n a S S a a ---=-=+----（n>1）化简得：1122(1)n n n a a --=+-2)1(2)1(11---=---n n n n a a ,]32)1([232)1(11+--=+---n n n n a a故数列{32)1(+-nn a }是以321+-a 为首项, 公比为2-的等比数列. 故1)2)(31(32)1(---=+-n nn a ∴22[2(1)]3n n n a -=-- ∴数列{n a }的通项公式为：22[2(1)]3n n n a -=--. ⑶观察要证的不等式，左边很复杂，先要设法对左边的项进行适当的放缩，使之能够求和。

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（3）在满足（2）的条件下，求证：数列的前项和
参考答案：
例题7：1） 2）提示：
3）提示：或
练习1：提示：或
数列递推与放缩问题专题训练试题
一、递推公式为与的关系式（或）
例1．设数列的前项和为，已知
（1）求的值；（2）求数列的通项公式；(3)证明：
二、递推公式为
例2．已知数列满足，其中是给定的实数，是正整数，试求的值，使得的最小。
三、递推公式为
例3．已知为数列的前项和，，求数列的通项公式
(1)求的通项公式；(2)证明；(3)证明 .
八、分式放缩
例8. .证明:
练习：1设数列满足，且 .
(1)求证是等比数列；(2)求的通项公式；(3)求证 .
练习2．设为数列的前项和，对任意的，都有（为常数，且）
（1）求证：数列是等比数列；
（2）设数列的公比，数列满足，求数列的通项公式；
四、递推公式为（其中均为常数，）
例4．已知数列列满足，证明：数列是等差数列
（3）证明：
五：拆项放缩（和拆项，积拆项）
例题5：求证
（1） .（2） ,求证：
六、裂项放缩（二次型）
例6.求证:
七：伪等比放缩（指数型）
例题7.已知数列的前项和为，点在直线上.