实验6数据拟合及参数辨识方法(精)
参数估计与拟合76页PPT文档
目 标 ： 估 计 , 或 者 更 为 一 般 地 ， 估 计 ( 1 , . . . , m )
如 果 f(x ;)为 真 ， 则 有
n
要想在统计上将相对误差减少到 5%，总共需要多少个事例？ 由信息不等式，任何估计量的方差下界为
Vˆ1 b2
2logL
E
2
对于本问题，b=0，
L i n 1fxi, 1 2 ni n 11xi
ˆ=0.10
Vˆ0.0052=2.5105
带入不等式可以求得 n 1.2 105。
6/28/2019
BESIII 暑期讲习班
19
估计量的方差: 图解法
考 虑 单 参 数 情 况 下 ， 将 l o g L ( ) 在 ˆ 附 近 展 开 ，
l o g L () l o g L (ˆ ) l o g L ( ˆ ) 2 1 ! 2 l o g 2 L ˆ( ˆ ) 2 ...
的矩阵(Hessian矩阵)是通过有限差值来估计。
调用 CERN 的 MINUIT 软件包中的 HESSE 程序
6/28/2019
BESIII 暑期讲习班
17
例子：估计实验所需的统计量
质子与反质子弹性散射实验，观测量为散射角 x=cos，服从
f (x;)=0.5×(1+x)， 其中 是反映反质子极化的参数。目前测量值为0.10±0.02 ，
应使得下式定义的似然函数
n
L() f (xi ,) i1
数据拟合
%%%%%%%数据拟合根据一组二维数据，即平面上的若干点，要求确定一个一元函数y =f(x)，即曲线，使这些点与曲线总体来说尽量接近。
这就是数据拟合成曲线的思想，简称为曲线拟合(fitting a curve)。
曲线拟合其目的是根据实验获得的数据去建立因变量与自变量之间有效的经验函数关系，为进一步的深入研究提供线索。
本章的目的，掌握一些曲线拟合的基本方法，弄清楚曲线拟合与插值方法之间的区别,学会使用MATLAB软件进行曲线拟合。
§5.1 引例拟合问题引例一电阻问题已知热敏电阻电阻值与温度的数据：求温度为63度时的电阻值。
拟合问题引例二给药问题一种新药用于临床之前，必须设计给药方案。
药物进入机体后血液输送到全身，在这个过程中不断地被吸收、分布、代谢，最终排出体外，药物在血液中的浓度，即单位体积血液中的药物含量，称为血药浓度。
一室模型：将整个机体看作一个房室，称中心室，室内血药浓度是均匀的。
快速静脉注射后，浓度立即上升；然后迅速下降。
当浓度太低时，达不到预期的治疗效果；当浓度太高，又可能导致药物中毒或副作用太强。
临床上，每种药物有一个最小有效浓度c 1和一个最大有效浓度c 2。
设计给药方案时，要使血药浓度 保持在c 1~c 2之间。
本题设c 1=10，c 2=25(ug/ml).要设计给药方案,必须知道给药后血药浓度随时间变化的规律。
从实验和理论两方面着手：在实验方面, t=0时对某人用快速静脉注射方式一次注入该药物300mg 后,在一定时刻t(小时)采集血药,测得血药浓度c(ug/ml)如下表:1. 在快速静脉注射的给药方式下，研究血药浓度（单位体积血液中的药物含量）的变化规律。
2. 给定药物的最小有效浓度和最大治疗浓度，设计给药方案：每次注射剂量多大；间隔时间多长。
§5.2 最小二乘法给定平面上的点(x i , y i )，（i = 1,2,…,n ），进行曲线拟合有多种方法，其中最小二乘法是解决曲线拟合最常用的方法。
数据拟合方法(免费)
2 数据拟合方法在实验中，实验和戡测常常会产生大量的数据。
为了解释这些数据或者根据这些数据做出预测、判断，给决策者提供重要的依据。
需要对测量数据进行拟合，寻找一个反映数据变化规律的函数。
数据拟合方法与数据插值方法不同，它所处理的数据量大而且不能保证每一个数据没有误差，所以要求一个函数严格通过每一个数据点是不合理的。
数据拟合方法求拟合函数，插值方法求插值函数。
这两类函数最大的不同之处是，对拟合函数不要求它通过所给的数据点，而插值函数则必须通过每一个数据点。
例如，在某化学反应中，测–33显然，连续函数关系是客观存在的。
但是通过表中的数据不可能确切地得到这种关系。
何况，由于仪器和环境的影响，测量数据难免有误差。
因此只能寻求一个近拟表达式y = ϕ(t )寻求合理的近拟表达式，以反映数据变化的规律，这种方法就是数据拟合方法。
数据拟合需要解决两个问题：第一，选择什么类型的函数)(t ϕ作为拟合函数（数学模型）；第二，对于选定的拟合函数，如何确定拟合函数中的参数。
数学模型应建立在合理假设的基础上，假设的合理性首先体现在选择某种类型的拟合函数使之符合数据变化的趋势（总体的变化规律）。
拟合函数的选择比较灵活，可以选择线性函数、多项式函数、指数函数、三角函数或其它函数，这应根据数据分布的趋势作出选假设拟合函数是线性函数，即拟合函数的图形是一条平面上的直线。
而表中的数据点未能精确地落在一条直线上的原因是实验数据的误差。
则下一步是确定函数y= a + b x中系数a 和b 各等于多少？从几何背景来考虑，就是要以a 和b 作为待定系数，确定一条平面直线使得表中数据所对应的10个点尽可能地靠近这条直线。
一般来讲，数据点将不会全部落在这条直线上，如果第k 个点的数据恰好落在这条直线上，则这个点的坐标满足直线的方程，即a +b x k = y k如果这个点不在直线上，则它的坐标不满足直线方程，有一个绝对值为k k y bx a -+的差异（残差）。
参数辨识方法
参数辨识方法指通过实验数据或观测结果，推断或估计系统或模型的参数值的一类方法。
这些方法通常用于建立数学模型、探索系统行为、优化控制策略等领域。
以下是几种常见的参数辨识方法：
1. 最小二乘法（Least Squares Method）：最小二乘法是一种常见的参数辨识方法，通过最小化实际观测值与模型预测值之间的差异来估计参数。
它适用于线性和非线性模型，并可考虑测量误差。
2. 极大似然估计（Maximum Likelihood Estimation）：极大似然估计是一种统计方法，用于通过最大化观测数据的似然函数来估计参数。
它适用于概率模型和随机过程的参数辨识。
3. 遗传算法（Genetic Algorithms）：遗传算法是一种优化算法，可以用于参数辨识问题。
它模拟生物进化过程中的选择、交叉和变异等操作，通过迭代搜索来找到最优参数组合。
4. 粒子群优化算法（Particle Swarm Optimization）：粒子群优化算法是一种启发式优化算法，模拟鸟群或鱼群的行为，通过协作和信息共享来寻找最优参数组合。
5. 系统辨识理论（System Identification Theory）：系统辨识理论提供了一系列数学和统计方法，用于从实验数据中推断系统的结构和参数。
它涵盖了许多方法，包括参数估计、频域分析、时域分析等。
这些方法的选择取决于具体的应用和问题领域。
不同方法有不同的假设和适用条件，需要根据实际情况选择合适的参数辨识方法来获得准确的参数估计。
第六章数据拟合方法
* 2 5.6615
9 8 7 6 5 4 3 2 1
2
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
二、 超定方程组的最小二乘解
a0 将拟合函数以向量表示： a 1 ( x) 0 ( x) 1 ( x) n ( x) ( x ) y （ i =1,2,…, m ） 令 i i an
n
m
k
( xi ) j ( xi )]a j k ( xi ) yi
i 1
m
即
m m i 1 i 1
(k 0,1,, n)
m i 1
a0 k ( xi )0 ( xi ) a1 k ( xi )1 ( xi ) an k ( xi ) n ( xi ) k ( xi ) yi
Bezier曲线的数学表达式：
若给定控制多边形顶点P0 ,P1 ,……, Pm坐标
(x0 ,y0 ) ,……(xm ,ym )，则相应的Bezier多项式 定义为： m
x(t ) c t (1 t )
k 0 m k k m k k m
mk
xk yk
y (t ) c t (1 t )
1 1 1 1
1 1 4 a0 2 4 10 a 1 3 9 18 a2 4 16 26
记系数矩阵为，则 4 10 30 T 10 30 100 30 100 354 故正规方程组为
若m>n+1，则此方程组称超定方程组（方程个数>未知数
n
m
实验6 数据拟合及参数辨识方法
实验6 数据拟合及参数辨识方法一、实验目的及意义[1] 了解最小二乘拟合的基本原理和方法；[2] 掌握用MATLAB作最小二乘多项式拟合和曲线拟合的方法；[3] 通过实例学习如何用拟合方法解决实际问题，注意与插值方法的区别。
[4] 了解各种参数辨识的原理和方法；[5] 通过范例展现由机理分析确定模型结构，拟合方法辨识参数，误差分析等求解实际问题的过程；通过该实验的学习，掌握几种基本的参数辨识方法，了解拟合的几种典型应用，观察不同方法得出的模型的准确程度，学习参数的误差分析，进一步了解数学建模过程。
这对于学生深入理解数学概念，掌握数学的思维方法，熟悉处理大量的工程计算问题的方法具有十分重要的意义。
二、实验内容1．用MATLAB中的函数作一元函数的多项式拟合与曲线拟合，作出误差图；2．用MATLAB中的函数作二元函数的最小二乘拟合，作出误差图；3．针对预测和确定参数的实际问题，建立数学模型，并求解。
三、实验步骤1．开启软件平台——MATLAB，开启MATLAB编辑窗口；2．根据各种数值解法步骤编写M文件3．保存文件并运行；4．观察运行结果(数值或图形)；5．根据观察到的结果写出实验报告，并浅谈学习心得体会。
四、实验要求与任务根据实验内容和步骤，完成以下具体实验，要求写出实验报告（实验目的→问题→数学模型→算法与编程→计算结果→分析、检验和结论→心得体会）应用实验1．旧车价格预测某年美国旧车价格的调查资料如下表，其中x i表示轿车的使用年数，y i表示相应的平均价格。
试分析用什么形式的曲线来拟合上述的数据，并预测使用4.5年后轿车的平均价格大致为多少？由题意知用matlab编程：t=1:1:10;r=[2615 1943 1494 1087 765 538 484 290 226 204];aa=polyfit(t,r,2);a=aa(1)b=aa(2)c=aa(3)y=polyval(aa,t);plot(t,r,'k+',t,y,'r')z=a*4.5*4.5+b*4.5+c图像如下：z = 955.7047从而可知第4.5年的预测结果为956辆2．机器人识别定形工具柄问题机器人在不同层次上应用于工业生产、水下探测、核点开发、军事研究等领域和部门。
数学实验报告数据拟合
实验报告一·实验指导书解读本次实验是通过两个变量的多组记录数据利用最小二乘法寻求两个变量之间的函数关系！两个变量之间的函数关系要紧有两种：一是线性关系（一次函数）；二是非线性关系（非一次的其它一元函数）。
因此本实验做两件事：一是线性拟合（练习1）；二是非线性拟合（练习2、3、4）。
练习2是用多项式函数拟合，练习3是用指数函数、对数函数、双曲函数、三角函数、分式有理多项式函数等初等函数拟合，练习4是用分段函数（非初等函数）拟合。
二、实验打算1.用线性函数拟合程序线性拟合曲线ft1可由如下mathematica程序求出：lianxi1biao= { {100,45} , {110,51} , { 120,54} , {130,61} , {140,66} , {150,70} , {160,74} , {170,78} , {180,85} , {190,89} }ft1=Fit[lianxi1biao,{1,x},x]gp = Plot [ ft1 , {x,100,190} , PlotStyle -> { RGBColor[1,0,0]} ]fp = ListPlot [ lianxi1biao,PlotStyle->{PointSize[],RGBColor[0,0,1]} ]Show[fp,gp]a= ;b= ;f[x_]=a*x+b;dareta=Sum[(lianxi1biao[[i,2]]-f[lianxi1biao[[i,1]]])^2,{i,1,10}]修改、补充程序:要说明拟合成效，要紧从形（大多数散点是不是在拟合曲线上或周围）与量（残差是不是小）！计算残差的程序：假设对两个变量的多组记录数据已有程序biao={{x1,y1},{x2,y2},…,{xn,yn}}而且通过Fit取得线性拟合函数y=ax+b咱们能够先概念函数（程序）f[x_]:=a*x+b再给出计算残差的程序dareta=Sum[(biao[[i ,2]]-f[biao[[i ,1]]])^2,{i ,1, n}]程序说明：biao[[i]]是提取表biao的第i行，即{xi,yi}biao[[i ,1]] 是提取表biao的第i行的第一个数, 即xibiao[[i ,2]] 是提取表biao的第i行的第一个数, 即yibiao[[i ,2]]-f[biao[[i ,1]]] 即yi-(a*xi+b)实验思路1、先对练习1的十组数据线性拟合，并从形与量看拟合成效；2、对练习1的十组数据中的九组数据线性拟合，并从形与量看拟合成效；3、对练习1的十组数据中的八组数据线性拟合，并从形与量看拟合成效；4、对练习1的十组数据中的七组数据线性拟合，并从形与量看拟合成效；5、对练习1的十组数据中的六组数据线性拟合，并从形与量看拟合成效。
实验数据处理与拟合技巧
实验数据处理与拟合技巧在科研和实验工作中，数据的处理和拟合是非常重要的环节。
仅靠实验数据本身并不足以揭示事物之间的关系和规律，因此我们需要借助统计学和数学方法对数据进行处理和分析，从而找出其中的规律和趋势。
以下将介绍一些实验数据处理与拟合的技巧。
一、数据预处理数据预处理是指在进行数据拟合前对原始数据进行处理，以减少误差和噪声的影响，使数据更加准确和可靠。
常见的数据预处理方法包括数据平滑、异常值处理和数据缺失处理。
1. 数据平滑数据平滑是指通过去除噪声和异常值，使数据呈现出平滑的趋势。
常用的方法有移动平均、低通滤波和加权平均等。
移动平均是一种简单有效的平滑方法，通过计算一段时间内数据的平均值来消除噪声。
低通滤波则是通过滤波器对数据进行处理，去除高频噪声。
加权平均可以根据数据点的重要性进行加权处理，使得重要数据点对拟合结果的影响更大。
2. 异常值处理异常值是指与其他数据点明显不符的数据，可能是由于测量误差或其他因素引起的。
处理异常值可以有效避免其对数据拟合结果的干扰。
常用的方法有删除、替换和修正。
删除即将异常值从数据集中剔除，但需谨慎，以免丢失有价值的信息。
替换则是用邻近值或统计方法替代异常值，修正则是根据异常值的特点进行修正处理。
3. 数据缺失处理数据缺失是指实验数据中存在一些缺失的数据点，可能是由于设备故障或其他原因导致的。
数据缺失会对数据拟合和分析产生不利影响，因此需要进行处理。
常用的方法有删除、插值和模型估计。
删除是将缺失点从数据集中删除，但同样需要注意避免信息的丢失。
插值是利用数据点的邻近值进行插值计算，填补缺失点。
模型估计则是利用其他变量和模型对缺失数据进行估计，补充缺失值。
二、数据拟合数据拟合是指将实验数据与数学模型进行对比和拟合，以求解模型参数和预测未知数据。
常见的数据拟合方法有线性回归、非线性拟合和最小二乘法。
1. 线性回归线性回归是一种常用的拟合方法，用于分析自变量和因变量之间的线性关系。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
实验6 数据拟合及参数辨识方法
一、实验目的及意义
[1] 了解最小二乘拟合的基本原理和方法；
[2] 掌握用MATLAB作最小二乘多项式拟合和曲线拟合的方法；
[3] 通过实例学习如何用拟合方法解决实际问题，注意与插值方法的区别。
[4] 了解各种参数辨识的原理和方法；
[5] 通过范例展现由机理分析确定模型结构，拟合方法辨识参数，误差分析等求解实
际问题的过程；
通过该实验的学习，掌握几种基本的参数辨识方法，了解拟合的几种典型应用，观察不同方法得出的模型的准确程度，学习参数的误差分析，进一步了解数学建模过程。
这对于学生深入理解数学概念，掌握数学的思维方法，熟悉处理大量的工程计算问题的方法具有十分重要的意义。
二、实验内容
1．用MATLAB中的函数作一元函数的多项式拟合与曲线拟合，作出误差图；
2．用MATLAB中的函数作二元函数的最小二乘拟合，作出误差图；
3．针对预测和确定参数的实际问题，建立数学模型，并求解。
三、实验步骤
1．开启软件平台——MATLAB，开启MATLAB编辑窗口；
2．根据各种数值解法步骤编写M文件
3．保存文件并运行；
4．观察运行结果(数值或图形)；
5．根据观察到的结果写出实验报告，并浅谈学习心得体会。
四、实验要求与任务
根据实验内容和步骤，完成以下具体实验，要求写出实验报告（实验目的→问题→数学模型→算法与编程→计算结果→分析、检验和结论→心得体会）
应用实验
1．旧车价格预测
某年美国旧车价格的调查资料如下表，其中x i表示轿车的使用年数，y i表示相应的平均价格。
试分析用什么形式的曲线来拟合上述的数据，并预测使用4.5年后轿车的平均价
格大致为多少？
由题意知用matlab编程：
t=1:1:10;
r=[2615 1943 1494 1087 765 538 484 290 226 204];
aa=polyfit(t,r,2);
a=aa(1)
b=aa(2)
c=aa(3)
y=polyval(aa,t);
plot(t,r,'k+',t,y,'r')
z=a*4.5*4.5+b*4.5+c
图像如下：
z = 955.7047
从而可知第4.5年的预测结果为956辆
2．机器人识别定形工具柄问题
机器人在不同层次上应用于工业生产、水下探测、核点开发、军事研究等领域和部门。
当一个机器人工作时，经常需要识别那些从外形上看来是圆形或椭圆形的仪器或工具柄等基本设备，以便执行进一步的操作。
通常在所需操纵的工具柄上放置适当数量的传感器，这些传感器不断向四周发射电信号，机器人身上安置有接收电信号的硬件装置，根据这些信号，机器人将估算出各个传感器当时所在的位置，然后，再利用这些数据获得工具柄的位置。
由于硬件设备的限制和测量的随机偏差，所获得的传感器位置数据是有误差的。
因此，为了增强识别的准确性和可靠性，工具柄上放置的传感器应多于确定该定形曲线所需的最少点数。
（能否获得比较准确的工具柄位置，对机器人能否有效抓握、操作该工具柄起着关键的作用。
）
现有一个圆形工具柄，其边缘上放置了6个传感器，一机器人在某一个时刻测得这些传感器的位置坐标为：(1,7),(2,6),(5,8),(7,7),(9,5),(3,7),如何确定该圆形工具柄的圆心坐标和半径。
用matlab编程如下：
xdata=[1,2,5,7,9,3]';
ydata=[9,6,8,7,5,7]';
B=-(xdata.^2+ydata.^2);
A=[xdata,ydata,ones(6,1)];
X=A\B;
a=-1/2*X(1)
b=-1/2*X(2)
r=sqrt(-X(3)+1/4*(X(1)^2+X(2)^2))
alpha=0:pi/20:2*pi;
R=r;
x=a+R*cos(alpha);
y=b+R*sin(alpha);
plot(xdata,ydata,'o',x,y,'r')
axis equal
运行结果：
a =4.8007
b =6.2908
r =3.1901
图像：
3．经济增长模型
增加生产、发展经济所依靠的主要因素有增加投资、增加劳动力以及技术革新等，在研究国民经济产值与这些因素的数量关系时，由于技术水平不像资金、劳动力那样容易定量化，作为初步的模型，可认为技术水平不变，只讨论产值和资金、劳动力之间的关系。
在科学技
术发展不快时，如资本主义经济发展的前期，这种模型是有意义的。
用Q，K，L分别表示产值、资金、劳动力，要寻求的数量关系Q(K,L)。
经过简化假设与分析，在经济学中，推导出一个著名的Cobb-Douglas生产函数：
Q(K,L) = aKαLβ， 0<α,β<1 （*）
式中α,β，a要由经济统计数据确定。
现有美国马萨诸塞州1900—1926年上述三个经济指数的统计数据，如下表，试用数据拟合的方法，求出式（*）中的参数α,β，a。
提示：由于（*）式对参数α,β，a是非线性的，因此，可以有两种方式进行拟合，一是直接使用MATLAB软件中的曲线或曲面拟合命令。
另一个是将非线性函数转化成线性函数的形式，使用线性函数拟合。