数列章末归纳总结
第一章
章末归纳总结
成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·北师大版 ·数学 ·必修5
4．等差中项：若三个数 a，A，b 成等差数列，则 A 叫做 a a＋b 与 b 的等差中项，并且 A＝ 2 . 5．等差数列的性质： (1)已知等差数列{an}的公差为 d，且第 m 项为 am，第 n 项 为 an，则 an＝am＋(n－m)d； (2)在等差数列{an}中，若 m＋n＝p＋q，(m、n、p、q∈N＋) 则 am＋an＝ap＋aq； (3)若数列{an}满足 Sn＝an2＋bn，则{an}为等差数列，且 a1 ＝a＋b，d＝2a；
k＝1 k＝1 n n
所以 an＋1－a1＝n2，即 an＋1＝n2＋a1. 又 a1＝1，所以{an}的通项公式为 an＝n2－2n＋2.
第一章
章末归纳总结
成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·北师大版 ·数学 ·必修5
[方法总结 ]
an.
已知a1 ＝a，an ＋1 －an ＝f(n) ，其中f(n) 可以是
③一个数列 {an} ，如果从第 2 项起，有些项大于它的前一 项，有些项小于它的前一项，那么这个数列叫作摆动数列． ④一个数列{an}，如果它的每一项都相等，那么这个数列
叫作常数列．
第一章
章末归纳总结
成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·北师大版 ·数学 ·必修5
5．根据数列的通项公式判定数列的单调性 (1)已知 an＝f(n)，若 f(x)的单调性可以确定，则{an}的单调 性可以确定． (2)比较法 ①作差比较法 n∈N＋，an＋1－an>0⇒{an}为递增数列； n∈N＋，an＋1－an＝0⇒{an}为常数列； n∈N＋，an＋1－an<0⇒{an}为递减数列．
5n＝1 ∴an＝ 2n＋1n≥2
.
第一章
章末归纳总结
成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·北师大版 ·数学 ·必修5
2．累加法
[ 例 2] (2014· 全国大纲文， 17) 数列 {an} 满足 a1 ＝ 1 ， a2 ＝ 2，an＋2＝2an＋1－an＋2. (1)设bn＝an＋1－an，证明{bn}是等差数列； (2)求{an}的通项公式．
第一章
章末归纳总结
成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·北师大版 ·数学 ·必修5
二、等差数列 1．定义：若一个数列从第二项起，每一项与其前一项的差 等于同一个常数，则这个数列就叫等差数列，其中的常数叫等 差数列的公差，它常用字母 d 表示．即定义的表达式为 an＋1－ an＝d(n∈N＋)或 an－an－1＝d(n≥2，n∈N＋)． 2． 通项公式： 若数列{an}为等差数列， 则 an＝a1＋(n－1)D． 3．前 n 项和公式：若数列{an}为等差数列，则前 n 项和 Sn na1＋an nn－1 ＝ ＝na1＋ 2 D． 2
①一般地，一个数列{an}，如果从第2项起，每一项都大于
它前面的一项，即an＋1>an，那么这个数列叫作递增数列． ②一个数列{an}，如果从第2项起，每一项都小于它前面的 一项，即an＋1<an，那么这个数列叫作递减数列．
第一章
章末归纳总结
成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·北师大版 ·数学 ·必修5
S1 an＝ Sn－Sn－1
n＝1 n≥2
第一章
章末归纳总结
成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·北师大版 ·数学 ·必修5
已知数列{an}的前 n 项和 Sn＝n2＋3n＋1，求通项 an.
[解析] 当 n≥2 时，an＝Sn－Sn－1＝n2＋3n＋1－(n－1)2－ 3(n－1)－1＝2n＋2， 又 n＝1 时，a1＝S1＝5 不满足上式．
成才之路 ·数学
北师大版 ·必修5
路漫漫其修远兮 吾将上下而求索
成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·北师大版 ·数学 ·必修5
第一章
数 列
第一章
解三角形
成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·北师大版 ·数学 ·必修5
第一章
章末归纳总结
第一章
解三角形
成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·北师大版 ·数学 ·必修5
第一章 章末归纳总结
成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·北师大版 ·数学 ·必修5
专题研究
第一章
章末归纳总结
成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·北师大版 ·数学 ·必修5
数列通项公式的求法
数列的通项公式是给出数列的主要方式，其本质就是函数 的解析式．根据数列的通项公式，不仅可以判断数列的类型，
研究数列的项的变化趋势与规律，而且有利于求数列的前 n项
和．求数列的通项公式是数列的核心问题之一．现根据数列的 结构特征把常见求通项公式的方法总结如下：
第一章
章末归纳总结
成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·北师大版 ·数学 ·必修5
1．知Sn求an [例1] (1)已知数列{an}的前n项和Sn＝(－1)n＋1n，求an； (2)已知数列{an}的前n项和Sn＝3＋2n，求an.
第一章
章末归纳总结
成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·北师大版 ·数学 ·必修5
6．等差、等比数列的判定方法的区别． 判定方法：(1)定义法：an＋1－an＝d(d 为常数)⇔{an}为等差 数列； an＋1 an ＝q(q 为非零常数)⇔{an}为等比数列． (2)中项公式法： 2an＋1＝an＋an＋2(n∈N＋)⇔{an}为等差数列． a2 an＋2(an≠0，n∈N＋)⇔{an}为等比数列． n＋1＝an· (3)通项公式法： an＝pn＋q(p、 q 为常数)⇔{an}为等差数列； an＝cqn(c、 q 均是不为 0 的常数， n∈N＋)⇔{an}为等比数列； Sn＝kqn－k(k 为常数，且 q≠0,1)⇒{an}为等比数列．
S1，n＝1 Sn－Sn－1，n≥2
.
第一章 章末归纳总结
成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·北师大版 ·数学 ·必修5
4．数列的分类
(1)根据数列的项数可以对数列进行分类：项数有限的数列 叫作有穷数列，项数无限的数列叫作无穷数列． (2)按照项与项之间的大小关系、数列的增减性，可以分为 以下几类：
第一章 章末归纳总结
成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·北师大版 ·数学 ·必修5
(4)若数列{an}满足 Sn＝an2＋bn＋c(c≠0)，则{an}从第 2 项 起成等差数列； (5)等差数列和的最大值、最小值． 1° 在等差数列{an}中，a1>0，d<0，则 Sn 有最大值；若 a1<0，d>0，则 Sn 有最小值． 2° 求 Sn 的最值的方法： d d 2 ①因为 Sn＝2n ＋a1－2n， 所以可转化为二次函数求最值， 但应注意 n∈N＋；
S1 an＝ Sn－Sn－1
[分析] 项公式．
利用
n＝1 ，求数列{an}的通 n≥2
第一章
章末归纳总结
成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·北师大版 ·数学 ·必修5
[解析] (1)当 n≥2 时， an＝Sn－Sn－1＝(－1)n＋1n－(－1)n(n－1) ＝(－1)n(1－2n)， 当 n＝1 时，a1＝S1＝(－1)2×1＝1，适合上式． ∴an＝(－1)n(1－2n)． (2)当 n≥2 时，an＝Sn－Sn－1＝3＋2n－(3＋2n－1)＝2n－1， 当 n＝1 时，a1＝S1＝3＋21＝5，不满足上式．
1
知 识 结 构
2
知 识 整 合
3
专 题 研 究
第一章
章末归纳总结
成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·北师大版 ·数学 ·必修5
知识结构
第一章
章末归纳总结
成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·北师大版 ·数学 ·必修5
第一章
章末归纳总结
成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·北师大版 ·数学 ·必修5
第一章
章末归纳总结
成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·北师大版 ·数学 ·必修5
②对各项同号的数列，可用作商比较法． an＋1 n∈N＋，an>0(<0)， a >1(<1)⇔{an}为递增数列； n an＋1 n∈N＋，an>0(<0)， a ＝1⇔{an}为常数列； n an＋1 n∈N＋，an>0(<0)， a <1(>1)⇔{an}为递减数列． n
成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·北师大版 ·数学 ·必修5
已知{an}中，a1＝1，且 an＋1－an＝3n(n∈N＋)，求通项 an.
[解析] ∵an＋1－an＝3n(n∈N＋)， ∴a2－a1＝3， a3－a2＝32， a4－a3＝33， …… an－an－1＝3n 1(n≥2)，
第一章
章末归纳总结
成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·北师大版 ·数学 ·必修5
第一章
章末归纳总结
成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·北师大版 ·数学 ·必修5
知识整合
第一章
章末归纳总结
成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·北师大版 ·数学 ·必修5
一、数列的概念与函数特征 1．数列的定义：按一定次序排列的一列数叫做数列，数列 还可以看作一个定义域为 N＋(或它的有限子集{1,2，…，n})的 函数的一列函数值． 2．通项公式：如果数列{an}的第 n 项与 n 之间的函数关系 可以用一个公式来表示， 这个公式就叫做这个数列的通项公式． 3．an 与 Sn 之间的关系： 如果 Sn 是数列{an}的前 n 项和，则 Sn＝a1＋a2＋…＋an. 数 列 {an} 的 前 n 项 和 Sn 与 an 之 间 的 关 系 是 an ＝
an≥0， ②利用 an＋1<0， an≤0， Sn 为最大值； an＋1>0，
数列知识点归纳总结详细
数列知识点归纳总结详细数列是数学中重要的概念之一，广泛应用于各个领域。
本文将对数列的基本概念、常见类型以及解题方法等进行详细的归纳总结。
通过本文的学习，读者可以全面了解数列的相关知识，为日后的学习和应用打下坚实的基础。
一、数列的概念数列是按照一定规律排列的数的集合。
其中，每个数都称为数列的项，每个项的位置称为项数。
通常用字母a1，a2，a3，…，an 等表示数列的项，其中an表示第n个项。
数列可以分为有限数列和无限数列。
有限数列是指项数有限的数列，而无限数列是指项数无限的数列。
二、数列的表示方式1. 显式表示法：数列的每一项都直接用公式表示。
常见的显式公式有等差数列的通项公式an=a1+(n-1)d 和等比数列的通项公式an=a1*r^(n-1)。
2. 递推关系式表示法：数列的每一项通过前一项来表示。
常见的递推关系式有等差数列的递推关系式an=an-1 +d 和等比数列的递推关系式an=an-1*r。
三、常见数列类型1. 等差数列：数列中的任意两项之差都相等。
常用的求和公式为Sn=n/2(a1+an)，其中n为项数，a1为首项，an为末项。
2. 等比数列：数列中的任意两项之比都相等。
常用的求和公式为Sn=a1(1-r^n)/(1-r)，其中n为项数，a1为首项，r为公比。
3. 斐波那契数列：数列中每一项都是前两项之和。
斐波那契数列的特点是每一项都等于前两项之和，即a1=a2=1，an=an-1+an-2（n>=3）。
4. 平方数列：数列中的每一项都是该项的平方。
例如1，4，9，16，…5. 等差平方数列：数列中的相邻两项之差为平方数。
例如3，8，15，24，…四、数列的求和1. 等差数列的求和公式为Sn=n/2(a1+an)。
2. 等比数列的求和公式为Sn=a1(1-r^n)/(1-r)。
3. 其他特殊数列的求和需要根据数列的特点进行推导计算。
五、数列的性质和运算1. 数列的项可以进行加减乘除等运算，同类型数列可以互相进行运算。
数列知识点总结(经典)
数列基础知识点和方法归纳
1.等差数列的定义与性质
定义： （ 为常数）,
等差中项: 成等差数列
前n 项和()()11122
n n a a n n n S na d +-==+ 性质: 是等差数列
（1）若 , 则
（2）数列 仍为等差数列, 仍为等差数列, 公差为 ；
（3）若三个成等差数列, 可设为
（4）若 是等差数列, 且前 项和分别为 , 则
（5） 为等差数列 （ 为常数, 是关于 的常数项为0的二次函数） 的最值可求二次函数 的最值；或者求出 中的正、负分界项,
2.等比数列的定义与性质
定义: （ 为常数, ）, .
等比中项： 成等比数列 , 或 .
前 项和: （要注意！ ）
性质: 是等比数列
（1）若 , 则
（2）232n n n n n S S S S S --，，……仍为等比数列,公比为n q .
注意: 由 求 时应注意什么？
时, ；
时, .
4.求数列前n 项和的常用方法
(1) 裂项法
（2）错位相减法
如: ①
()23412341n n n x S x x x x n x nx -=+++++-+·……
② ①—②()21
11n n n x S x x x nx --=++++-……
时, , 时,。
数列章末归纳整合1
网络构建 专题归纳 解读高考 高考真题
3t＋1 1≤ ≤40， 2 ∴ 1≤2t≤40，
79 1 3≤t≤ 3 ， 解得 1≤t≤20. 2
章末归纳整合
网络构建
专题归纳
解读高考
高考真题
网络构建
专题归纳
解读高考
高考真题
专题一
数列的概念与函数特性
1．数列中的数是按一定“顺序”排列的，可以看成一个定义域 为正整数集(或它的有限子集)的函数当自变量从小到大依 次取值时对应的一系列函数值．因此，数列的表示方法中 就有了类似于函数表示方法中的列表法、图像法、通项公 式法． 2．数列的分类：按项数有限还是无限分为有穷数列和无穷数 列；按项与项之间的大小关系可分为递增数列、递减数 列、摆动数列和常数列．
来表示．
3．数列是项关于序号的函数，是一种特殊的函数，其特殊性在 于数列的定义域是N＋(或其有限子集{1,2,3，…，n})，在我 们利用数列的通项公式求其最大项(或最小项)时，要特别注 意这一点，否则会产生错解．
网络构建
专题归纳
解读高考
高考真题
【例1】 求数列{－2n2＋9n＋3}的最大项．
解 已知－2n
网络构建 专题归纳 解读高考 高考真题
2．等比数列的概念、性质、通项公式是高考的必考内容，特 别是与其他知识的交汇点，一直是考查的重要热点之一， 常见的考题有： (1)判断、证明数列是等比数列； (2)运用通项公式求数列中的项； (3)解决数列与函数、三角、向量、几何等知识交汇点问 题； (4)涉及递推关系的推理及运算问题．
数学数列知识点归纳总结
数学数列知识点归纳总结一、数列的概念1.1 数列的定义数列是按照一定的顺序排列的一系列数的集合，通常用一对大括号{}表示，其中的每个数称为数列的项。
例如：{1, 2, 3, 4, 5, ...}就是一个数列，它包含了无穷多个项，每个项都是自然数。
1.2 数列的表示数列可以用不同的方式表示，常见的表示方法有公式法、图形表示法和文字描述法。
- 公式法：可以用一个通项公式来表示数列的每一项，例如：an = n^2表示数列{1, 4, 9, 16, ...}的通项公式。
- 图形表示法：可以用图形来表示数列，例如：等差数列可以用直线表示，等比数列可以用曲线表示。
- 文字描述法：可以用文字描述数列的规律，例如：数列{2, 4, 6, 8, ...}可以描述为“每一项都比前一项大2”。
1.3 数列的分类数列可以按照不同的规律进行分类，常见的分类有等差数列、等比数列和斐波那契数列等。
- 等差数列：数列中相邻两项的差等于一个常数，这个常数称为公差。
- 等比数列：数列中相邻两项的比等于一个常数，这个常数称为公比。
- 斐波那契数列：数列中每一项都是前两项之和，例如：1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, ...1.4 数列的通项公式数列的通项公式是指数列中任意一项与项号之间的函数关系式，一般用an表示第n项的值，n表示项号。
如果一个数列存在通项公式，则可以利用通项公式计算数列的任意项的值。
1.5 数列的性质数列有许多重要的性质，例如数列的有界性、单调性、敛散性以及极限等。
- 有界性：如果数列的项有上界或下界，则称该数列是有界的。
- 单调性：如果数列的项都单调递增或单调递减，则称该数列是单调的。
- 敛散性：数列是否有极限，如果有极限则称该数列是收敛的，否则是发散的。
二、等差数列2.1 等差数列的定义等差数列是指数列中相邻两项的差等于一个常数的数列，这个常数称为公差。
例如：{2, 4, 6, 8, ...}就是一个等差数列，公差为2。
数列章末总结
数列章末总结1．探索并掌握一些基本的数列求前n项和的方法；2．能在具体的问题情境中，发现数列的数列的通项和递推关系，一、课前准备（1）有关概念：1°数列：按一定次序排列的一列数，数列中的每一个数叫做数列的项。
2°数列的通项公式：如果数列{a n}的第n项a n与n之间的关系可以用一个公式来表示，这个公式就叫做数列的通项公式。
3°数列的递推公式：如果已知数列{a n}的第一项（或前n项，且任一项a n与它的前一项a n-1（或前n项）间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式。
4°若数列{a n}的前n项和为S n则aS S nS nnn n=-≥=⎧⎨⎩-1121（）（）※数列通项公式的求法数列的通项公式是数列的核心内容之一。
它如同函数中的解析式一样，对研究数列的性质起着重要的作用。
围绕数列的通项公式，不仅可以判断数列的类型，研究数列的项的变化规律与趋势，而且还便于研究数列的前n 项和，因此求数列的通项公式往往是解决数列问题的突破口，在解题时，根据题目所给条件的不同，可以采用不同的方法求数列的通项公式，常见方法如下： 1.叠加法（累加法）对于形如a n+1-a n =f(n)型的，用叠加法例1：已知数列{a n }中，a 1=1，且a n+1-a n =3n-n ，求数列{a n }的通项公式。
变式：已知数列{}n a 满足211=a ，nn a a n n ++=+211，求n a 。
2.叠乘法（累乘法）对于形如1()n na f n a +=)型的，用叠加法 例2:已知数列{}n a 满足321=a ，n n a n na 11+=+，求n a 。
变式：已知31=a ，n n a n n a 23131+-=+ )1(≥n ，求n a 。
3.构造法其他的，已知数列递推公式求an ，用构造法（构造等差或等比数列） 例3：数列{}n a 中11=a ，)2(1211≥+=-n a a n n ，求该数列的通项公式n a 。
章末小结 (1)
章末小结(1)归纳推理的难点是由部分结果得到一般结论，破解的方法是充分考虑这部分结果提供的信息，从中发现一般规律，解题的一般步骤是：①对有限的资料进行观察、分析、归纳整理；②提出带有规律性的结论，即猜想；③检验猜想．(2)类比是从已经掌握了的事物的属性，推测正在研究的事物的属性，是以旧有的认识为基础，类比出新的结果；类比是从一种事物的特殊属性推测另一种事物的特殊属性；类比的结果是猜测性的，不一定可靠，但它却有发现的功能．找出圆与球的相似性质，并用圆的下列性质类比球的有关性质．(1)圆心与弦(非直径)中点的连线垂直于弦．(2)与圆心距离相等的两弦相等．(3)圆的周长c＝πd(d为直径)．(4)圆的面积S＝π4d2.解析：圆与球具有下列相似性质．1．圆是平面上到一定点的距离等于定长的所有点构成的集合，球面是空间中到一定点的距离等于定长的所有点构成的集合．2．是平面内封闭的曲线所围成的对称图形，球是空间中封闭的曲面所围成的对称图形．与圆的有关性质相比较，可以推测球的有关性质：圆球 (1)圆心与弦(非直径)中点的连线垂直于弦球心与截面圆(非轴截面)圆心的连线垂直于截面 (2)与圆心距离相等的两条弦长相等与球心距离相等的两个截面圆面积相等 (3)圆的周长c ＝πd球的表面积S ＝πd 2 (4)圆的面积S ＝π4d 2 球的体积V ＝π6d 3 由实数构成的集合A 满足条件：若a ∈A ，a ≠1，则11－a ∈A ，证明：(1)若2∈A ，则集合A 必有另外两个元素，并求出这两个元素；(2)非空集合A 中至少有三个不同元素．分析：从集合中的元素满足的条件“若a ∈A ，则1a －1∈A (a ≠1)”出发；当a ＝2时，依次进行检验，即可得证．证明：(1)∵a ∈A ，a ≠1，则1a －1∈A . ∴2∈A 时，有11－2＝－1∈A . 由于－1≠1，有11－（－1）＝12∈A . 由于12≠1，有11－12＝2∈A .如此循环可知集合A 中的另外两个元素为12，－1. (2)∵集合A 非空，故存在a ∈A ，a ≠1，有11－a∈A ， ∴11－a ∈A 且11－a≠1， 即a ≠0时，有11－11－a ＝a －1a ∈A ，即如此循环出现三个数a ，11－a ，a －1a ∈A .若a ＝11－a，则a 2－a ＋1＝0，方程无实根． 若＝11－a＝a －1a ，则a 2－a ＋1＝0，方程无实根． 若a ＝a －1a，则a 2－a ＋1＝0，方程无实根． ∴a ，11－a，a －1a 互不相等，故集合A 中至少有三个不同元素． 分析法和综合法是对立统一的两种方法，在使用这两种方法解题是，一般步骤是：(1)分析条件和结论之间的联系和区别，选择解题方向．(2)确定恰当的解题方法，若能够结合题设条件，通过相关的公理、定理、公式、结论推得所求结果，则用综合法，若从条件出发，应用相关的公理、定理、公式、结论难以推得所求结果，则可以考虑使用分析法．(3)解题反思，回顾解题过程，对所得结果和解题步骤进行检查，确保解题的严谨性和完备性．设a >0，b >0，a ＋b ＝1，求证：1a ＋1b ＋1ab≥8. 证明：方法一 综合法因为a >0，b >0，a ＋b ＝1，所以1＝a ＋b ≥2ab ，ab ≤12，ab ≤14，所以1ab ≥4， 又1a ＋1b ＝(a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＝2＋b a ＋a b ≥4， 所以1a ＋1b ＋1ab ≥8(当且仅当a ＝b ＝12时等号成立)． 方法二 分析法因为a >0，b >0，a ＋b ＝1，要证1a ＋1b ＋1ab≥8. 只要证⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＋a ＋b ab ≥8， 只要证⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1b ＋1a ≥8， 即证1a ＋1b ≥4. 也就是证a ＋b a ＋a ＋b b≥4. 即证b a ＋a b≥2， 由基本不等式可知，当a >0，b >0时，b a ＋a b≥2成立， 所以原不等式成立．反证法的理论基础是互为逆否命题的等价性，从逻辑角度看，命题“若p ，则q ”的否定是“若p ，则¬q ”，由此进行推理，如果发生矛盾，那么就说明“若p ，则¬q ”为假，从而可以导出“若p ，则q ”为真，从而达到证明的目的．反证法反映了“正难则反”的解题思想．一般以下题型用反证法：①当“结论”的反面比“结论”本身更简单、更具体、更明确；②否定性命题、唯一性命题，存在性命题、“至多”“至少”型命题；③有的肯定形式命题，由于已知或结论涉及无限个元素，用直接证明比较困难，往往用反证法．用反证法证明不等式要把握三点：①必须先否定结论，即肯定结论的反面；②必须从否定结论进行推理，即应把结论的反面作为条件，且必须依据这一条件进行推证；③推导出的矛盾可能多种多样，有的与已知矛盾，有的与假设矛盾，有的与已知事实矛盾等，但是推导出的矛盾必须是明显的．已知直线ax －y ＝1与曲线x 2－2y 2＝1相交于P ，Q 两点，证明：不存在实数a ，使得以PQ 为直径的圆经过坐标原点O .证明：假设存在实数a ，使得以PQ 为直径的圆经过坐标原点O ，则OP ⊥OQ .设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则y 1x 1·y 2x 2＝－1， 所以(ax 1－1)(ax 2－1)＝－x 1·x 2，即(1＋a 2)x 1·x 2－a (x 1＋x 2)＋1＝0.由题意得(1－2a 2)x 2＋4ax －3＝0，所以x 1＋x 2＝－4a 1－2a 2，x 1·x 2＝－31－2a2. 所以(1＋a 2)·－31－2a 2－a ·－4a 1－2a 2＋1＝0， 即a 2＝－2，这是不可能的．所以假设不成立．故不存在实数a ，使得以PQ 为直径的圆经过坐标原点O .数学归纳法的两关关注(1)关注点一：用数学归纳法证明等式问题是数学归纳法的常见题型，其关键点在于“先看项”，弄清等式两边的构成规律，等式两边各有多少项，初始n 0是多少．(2)关注点二：由n ＝k 到n ＝k ＋1时，除等式两边变化的项外还要利用n ＝k 时的式子，即利用假设，正确写出归纳证明的步骤，从而使问题得以证明．设数列{a n }满足a n ＋1＝a 2n －na n ＋1，n ∈N *.(1)当a 1＝2时，求a 2，a 3，a 4，并由此猜想出a n 的一个通项公式；(2)当a 1≥2时，证明对所有的n ≥1，有a n ≥n ＋1.解析：(1)由a 1＝2，得a 2＝a 21－a 1＋1＝3.由a 2＝3，得a 3＝a 22－2a 2＋1＝4.由a 3＝4，得a 4＝a 23－3a 3＋1＝5.由此猜想a n 的一个通项公式为a n ＝n ＋1(n ≥1)．(2)证明：①当n ＝1时，∵a n ＝a 1≥2，n ＋1＝1＋1＝2，∴不等式成立．②假设当n ＝k 时不等式成立，即a k ≥k ＋1.那么当n ＝k ＋1时，a k ＋1＝a k (a k －k )＋1≥(k ＋1)(k ＋1－k )＋1＝k ＋2.也就是说，当n ＝k ＋1时，a k ＋1>(k ＋1)＋1.根据①和②，对于所有n ≥1，有a n ≥n ＋1.一、选择题1．“因为指数函数y ＝a x是增函数(大前提)，而y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 是指数函数(小前提)，所以函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 是增函数(结论)”，以上推理的错误的原因是(A )A ．大前提错误导致结论错B ．小前提错误导致结论错C ．推理形式错误导致结论错D ．大前提和小前提错误导致结论错解析：推理形式没有错误，而大前提“y ＝a x 是增函数”是不正确的，当0＜a ＜1时，y ＝a x 是减函数；当a ＞1时，y ＝a x 是增函数．故选A.2．已知n 为正偶数，用数学归纳法证明： 1－12＋13－14＋…＋1n －1＝2(1n ＋2＋1n ＋4＋…12n )时，若已假设n ＝k (k ≥2为偶数)时命题为真，则还需要用归纳假设再证(B )A．n＝k＋1时等式成立B．n＝k＋2时等式成立C．n＝2k＋2时等式成立D．n＝2(k＋2)时等式成立解析：因为n为正偶数，n＝k(k≥2为偶数)，所以下一步要证明的命题也应该是在偶数条件下成立，所以，还需要证明n＝k＋2时等式成立，故选B.3．若m，n是正整数，则m＋n>mn成立的充要条件是(D)A．m，n都等于1B．m，n都不等于2C．m，n都大于1D．m，n至少有一个等于1解析：∵m＋n>mn，∴(m－1)(n－1)<1.∵m，n∈N*，∴(m－1)(n－1)∈Z，∴(m－1)(n－1)＝0.∴m＝1或n＝1，故选D.4．下列结论正确的是(B)A．当x>0且x≠1时，lg x＋1lg x≥2B．当x>0时，x＋1x≥2C．当x≥2时，x＋1x的最小值为2D ．当0<x ≤2时，x －1x无最大值 解析：A 错在lg x 的正负不清；C 错在等号成立的条件不存在；根据函数f (x )＝x －1x 的单调性，当x ＝2时，f (2)max ＝32，故D 错．故选B.5．已知a ＋b ＋c ＝0，则ab ＋bc ＋ca 的值(D )A ．大于0B ．小于0C ．不小于0D ．不大于0解析：解法一 因为a ＋b ＋c ＝0，所以a 2＋b 2＋c 2＋2ab ＋2ac ＋2bc ＝0，所以ab ＋bc ＋ca ＝－a 2＋b 2＋c 22≤0. 解法二 令c ＝0，若b ＝0，则ab ＋bc ＋ca ＝0，否则a 、b 异号，所以ab ＋bc ＋ca ＝ab ＜0，排除A 、B 、C ，故选D.6．已知1＋2×3＋3×32＋4×33＋…＋n ×3n －1＝3n (na －b )＋c 对一切n ∈N *都成立，那么a ，b ，c 的值为(A )A ．a ＝12，b ＝c ＝14B ．a ＝b ＝c ＝14C ．a ＝0，b ＝c ＝14D ．不存在这样的a 、b 、c解析：令n ＝1，得1＝3(a －b )＋c ，令n ＝2，得1＋2×3＝9(2a －b )＋c ，令n ＝3，得1＋2×3＋3×32＝27(3a －b )＋c .即⎩⎪⎨⎪⎧3a －3b ＋c ＝118a －9b ＋c ＝781a －27b ＋c ＝34，∴a ＝12，b ＝c ＝14.故选A. 7．若凸k 边形的内角和为f (k )，则凸(k ＋1)边形的内角和f (k ＋1)(k ≥3且k ∈N *)等于(B )A ．f (k )＋π2B ．f (k )＋πC ．f (k )＋32π D ．f (k )＋2π 解析：由凸k 边形到凸(k ＋1)边形，增加了一个三角形，故f (k ＋1)＝f (k )＋π.故选B.8．公差不为零的等差数列{a n }的前n 项和为S n .若a 4是a 3与a 7的等比中项，S 8＝32，则S 10＝(C )A ．18B ．24C ．60D ．90解析：由a 24＝a 3a 7得(a 1＋3d )2＝(a 1＋2d )(a 1＋6d )，2a 1＋3d ＝0.再由S 8＝8a 1＋562d ＝32，得2a 1＋7d ＝8，则d ＝2，a 1＝－3.所以S 10＝10a 1＋902d ＝60，选C. 二、填空题9．若数列{a n }满足：a 1＝1，a n ＋1＝2a n (n ∈N *)，则a 5＝________；前8项的和S 8＝________(用数字作答)．解析：a 1＝1，a 2＝2a 1＝2，a 3＝2a 2＝4，a 4＝2a 3＝8，a 5＝2a 4＝16，易知S 8＝28－12－1＝255，∴应填255.答案：16 25510．(2014·郑州高二检测)图1是一个水平摆放的小正方体木块，图2，图3是由这样的小正方体木块叠放而成的，按照这样的规律放下去，至第七个叠放的图形中，小正方体木块总数就是________．解析：分别观察正方体的个数为：1，1＋5，1＋5＋9，… 归纳可知，第n 个叠放图形中共有n 层，构成了以1为首项，以4为公差的等差数列，所以S n ＝n ＋[n (n －1)×4]÷2＝2n 2－n ， 所以S 7＝2×72－7＝91. 答案：9111．(2014·厦门六中高二期中)在平面上，我们用一直线去截正方形的一个角，那么截下的一个直角三角形，按如图所标边长，由勾股定理有c 2＝a 2＋b 2.设想正方形换成正方体，把截线换成如图截面，这时从正方体上截下三条侧棱两两垂直的三棱锥OLMN ，如果用S 1、S 2、S 3表示三个侧面面积，S 表示截面面积，那么类比得到的结论是________．解析：类比如下：正方形↔正方体；截下直角三角形↔截下三侧面两两垂直的三棱锥；直角三角形斜边平方↔三棱锥底面面积的平方；直角三角形两直角边平方和↔三棱锥三个侧面面积的平方和，结论S 2＝S 21＋S 22＋S 23.(这个结论是正确的，证明略)答案：S 2＝S 21＋S 22＋S 2312．(2014·洛阳部分重点中学教学检测)观察下列等式：31×2×12＝1－122，31×2×12＋42×3×122＝1－13×22，31×2×12＋42×3×122＋53×4×123＝1－14×23，……，由以上等式推测到一个一般的结论：对于n ∈N *，31×2×12＋42×3×122＋…＋n ＋2n （n ＋1）×12n＝________． 解析：由已知中的等式：31×2×12＝1－12231×2×12＋42×3×122＝1－13×22，31×2×12＋42×3×122＋53×4×123＝1－14×23，…， 所以对于n ∈N *，31×2×12＋42×3×122＋…＋n ＋2n （n ＋1）×12n ＝1－1（n ＋1）2n. 答案：1－1（n ＋1）·2n三、解答题13．证明不等式：12×34×…×2n －12n <12n ＋1(n ∈N *)．证明：(1)当n ＝1时，左边＝12，右边＝13，显然12 < 13，不等式成立．(2)假设n ＝k 时，不等式成立， 即12×34×…×2k －12k<12k ＋1，则n ＝k ＋1时，12×34×…×2k －12k ×2k ＋12k ＋2<12k ＋1×2k ＋12k ＋2＝2k ＋12k ＋2，要证n ＝k ＋1时，不等式成立，只要2k ＋12k ＋2<12k ＋3成立． 即证(2k ＋1)(2k ＋3)<(2k ＋2)2， 即证4k 2＋8k ＋3<4k 2＋8k ＋4. 该不等式显然成立．即n ＝k ＋1时，不等式成立．由(1)(2)知，对任意的正整数n ，不等式成立．14．如图所示，已知两个正方形ABCD 和DCEF 不在同一平面内，M ，N 分别为AB ，DF 的中点．(1)若CD ＝2，平面ABCD ⊥平面DCEF ，求MN 的长； (2)用反证法证明：直线ME 与BN 是两条异面直线． (1)解析：如下图，取CD 的中点G ，连接MG ，NG ，因为ABCD ，DCEF 为正方形，且边长为2， 所以MG ⊥CD ，MG ＝2，NG ＝ 2. 因为平面ABCD ⊥平面DCEF ， 所以MG ⊥平面DCEF . 所以MG ⊥GN .所以MN ＝MG 2＋GN 2＝ 6.(2)证明：假设直线ME 与BN 共面，则AB ⊂平面MBEN ， 且平面MBEN ∩平面DCEF ＝EN .由已知，两正方形ABCD 和DCEF 不共面，故AB ⊄平面DCEF . 又AB ∥CD ，所以AB ∥平面DCEF . 所以EN ∥AB ，又AB ∥CD ∥EF ， 所以EF ∥NE ，这与EF ∩EN ＝E 矛盾， 故假设不成立．所以ME 与BN 不共面，它们是异面直线．15．在圆x 2＋y 2＝r 2(r >0)中，AB 为直径，C 为圆上异于A 、B 的任意一点，则有k AC ·k BC ＝－1.你能用类比的方法得出椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)中有什么样的结论？并加以证明．解析：类比得到的结论是：在椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)中，A 、B 分别是椭圆长轴的左右端点，点C (x ，y )是椭圆上不同于A 、B 的任意一点，则k AC ·k BC ＝－b 2a2证明如下：设A (x 0，y 0)为椭圆上的任意一点，则A 关于中心的对称点B 的坐标为B (－x 0，－y 0)，点P (x ，y )为椭圆上异于A ，B 两点的任意一点，则k AP ·k BP ＝y －y 0x －x 0·y ＋y 0x ＋x 0＝y 2－y 2x 2－x 20.由于A 、B 、P 三点在椭圆上，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 2a 2＋y 2b 2＝1，x 20a 2＋y 20b 2＝1.两式相减得，x 2－x 20a 2＋y 2－y 2b2＝0，∴y 2－y 20x 2－x 20＝－b 2a 2，即k AP ·k BP ＝－b 2a 2.故在椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)中，长轴两个端点为A 、B 、P 为异于A 、B 的椭圆上的任意一点，则有k AB ·k BP ＝－b 2a2.16．在各项为正的数列{a n }中，数列的前n 项和S n 满足S n ＝12⎝⎛⎭⎪⎫a n ＋1a n .(1)求a 1，a 2，a 3；(2)由(1)猜想数列{a n }的通项公式，并用数学归纳法证明你的猜想．解析：(1)由S 1＝a 1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1＋1a 得a 21＝1，∵a n >0，∴a 1＝1.由S 2＝a 1＋a 2＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＋1a 2得a 22＋2a 2－1＝0. ∴a 2＝2－1.由S 3＝a 1＋a 2＋a 3＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫a 3＋1a 3得a 23＋22a 3－1＝0.∴a 3＝3－ 2.(2)猜想a n ＝n －n －1(n ∈N *)．证明如下：①n ＝1时，a 1＝1－0命题成立． ②假设n ＝k 时，a k ＝k －k －1成立，则n ＝k ＋1时，a k ＋1＝S k ＋1－S k ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫a k ＋1＋1a k ＋1－12⎝ ⎛⎭⎪⎫a k＋1a k ， 即a k ＋1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫a k ＋1＋1a k ＋1－12⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫k －k －1＋1k －k －1 ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫a k ＋1＋1a k ＋1－k ，∴a 2k ＋1＋2ka k ＋1－1＝0.∴a k ＋1＝k ＋1－k .即n ＝k ＋1时，命题成立， 由①②知，n ∈N *，a n ＝n －n －1.。
新教材2023年高中数学第四章数列章末整合提升课件新人教A版选择性必修第二册
当 x≠1 时，(1－x)Sn＝11－－xxn－nxn ＝1－xn－1n－xnx＋nxn＋1＝1－（1＋1n－）xxn＋nxn＋1， ∴Sn＝1－（1（＋1n－）x）xn＋2 nxn＋1；
∴bn＝32＋(n－1)×12＝1＋n2， Sn＝2b2nb－n 1＝21＋ ＋nn， 当 n＝1 时，a1＝S1＝32，
当 n≥2 时，an＝Sn－Sn－1＝21＋＋nn－1＋n n＝－n（n1＋1），显然对于 n ＝1 不成立，
∴an＝2－3，n（n＝n1＋1 1），n≥2.
[规律方法] 已知某条件式，证明关于an(或Sn)的某个表达式成等差 (或等比)数列，问题本身就给出了条件式的变形方向，可依据等差(等比) 数列定义，结合an＝Sn－Sn－1(n≥2)对条件式变形构造新数列求解．
典例1 已知数列{an}中，a1＝1，且an＋1－an＝3n－n，求数列 {an}的通项公式．
[解析] 由an＋1－an＝3n－n， 得an－an－1＝3n－1－(n－1)， an－1－an－2＝3n－2－(n－2)， ……
a3－a2＝32－2，a2－a1＝3－1.
当 n≥2 时，以上 n－1 个等式两端分别相加，得(an－an－1)＋(an－1－ an－2)＋…＋(a2－a1)
典例7 求数列 214，418，6116，…，2n＋2n1＋1，…的前 n 项和 Sn. [分析] 此数列的通项公式为 an＝2n＋2n1＋1，而数列{2n}是一个等差 数列，数列2n1＋1是一个等比数列，故采用分组求和法．
[解析] Sn＝214＋418＋6116＋…＋2n＋2n1＋1
高中数学选择性必修二 第4章数列章末复习与总结高二数学(
[例 7] (1)已知数列an，a1＝2，an＝1＋ana－n1－1(n≥2)，求 an； (2)已知数列an满足 an＋1＝3an＋2(n∈N *)，a1＝1，求通项公 式 an. [解] (1)由 an＝1＋ana－n1－1两边取倒数得a1n－an1－1＝1， ∵数列a1n是首项为a11＝12，公差为 1 的等差数列． ∴a1n＝12＋(n－1)＝n－12＝2n2－1.∴an＝2n2－1.
bn－1
＝an1－1(n≥2，
n∈N
*)，
Tn＝b1＋b2·3＋b3·32＋…＋bn·3n－1，证明：数列4Tn－3n·bn为 等差数列．
[解] (1)因为 an＋1＝3an， an＋1
所以 an ＝3，又 a1＝3，因此an是首项为 3，公比为 3 的等比数列，
所以 an＝3n，a4＝34＝81. Sn＝311－－33n＝32(3n－1)， S5＝32×(35－1)＝363.
an
可用公式
an＝SS1n－n＝Sn1－1，n≥2
求解．
3．由递推公式求数列通项：对于递推公式确定的数列的求
解，通常可以通过递推公式的变换，转化为等差数列或等比数
列问题，有时也用到一些特殊的转化方法与特殊数列．
4．待定系数法(构造法)：求数列通项公式的方法灵活多 样，特别是由给定的递推关系求通项公式，对于观察、分析、 推理能力要求较高．通常可对递推式变换，转化成特殊数列 (等差或等比数列)来求解，这种方法体现了数学中化未知为已 知的转化思想，而运用待定系数法变换递推公式中的常数就 是一种重要的转化方法．
1，n为奇数，
②取 a＝2，q＝1 时，an＝
bn＝2(n∈N*)．
2，n为偶数.
此时bn是等比数列，而an不是等比数列．
数列知识点归纳总结笔记
数列知识点归纳总结笔记一、数列的概念1. 数列的定义数列是由一系列有序的数按照一定的规律排列而成的。
我们通常用{n}来表示一个数列，其中n为自然数。
2. 数列的常见表示方式（1）通项公式表示：数列的一般形式为a₁，a₂，a₃，......，aₙ，其中aₙ是第n项的值。
数列的通项公式通常是一种算式，可以用来表示数列的第n项。
（2）递推关系表示：数列的第n项与它的前几项之间存在某种关系，这种关系称为数列的递推关系，通常用递归的方式表示。
3. 数列的分类（1）等差数列：数列中任意两项之间的差是常数，这种数列称为等差数列。
（2）等比数列：数列中任意两项之间的比是常数，这种数列称为等比数列。
（3）等差-等比混合数列：数列中既存在等差关系，又存在等比关系，这种数列称为等差-等比混合数列。
（4）等差-等比-等比差混合数列：数列中既存在等差关系，又存在等比关系，同时等差项间的差也构成等差数列，这种数列称为等差-等比-等比差混合数列。
二、数列的性质1. 数列的有界性（1）有界数列：如果一个数列存在一个上界和一个下界，那么该数列称为有界数列。
（2）无界数列：如果一个数列不存在上界或下界，那么该数列称为无界数列。
2. 数列的单调性（1）单调递增数列：如果数列的每一项都大于等于前一项，那么该数列称为单调递增数列。
（2）单调递减数列：如果数列的每一项都小于等于前一项，那么该数列称为单调递减数列。
3. 数列的极限（1）数列的极限定义：对于一个数列{aₙ}，如果对于任意给定的ε>0，存在N∈N，对于所有n>N，有|aₙ-L|<ε成立，则称数列{aₙ}的极限为L，记为lim(n→∞) aₙ=L。
（2）数列的极限存在性：一个数列未必存在极限，但只要该数列有上界和下界，则该数列一定存在极限。
4. 数列的和（1）数列的部分和：对于数列{aₙ}，它的前n项的和称为数列的部分和，用Sₙ表示。
（2）数列的无穷和：如果lim(n→∞) Sₙ=L，那么L称为数列{aₙ}的无穷和，即∑ aₙ=L。
人教版数学选择性必修二：第四章数列章末复习课件
a202Xa202X－1＝ 2020
－1＜0，故B正确；
T202X是数列{Tn}中的最大值，CD错误.
)
(3)等比数列{an}的各项均为正数，且a1a5＝4，则
5
log2a1＋log2a2＋log2a3＋log2a4＋log2a5＝________.
由等比数列的性质知a1a5＝a2a4＝ 32 ＝4⇒a3＝2，
✓ 而52 ＝a10＞0，所以an＞0，q＞1.
✓ 由条件得2
✓
+1
+2
+
+1
＝5，即2
1
+ ＝5，解得q＝2.
又由52 ＝a10，得(a1q4)2＝a1q9，即a1＝q＝2，故an＝2n.
法二
题型一
[例1]
求数列的通项公式
(2)已知数列{an}中，an＋1＝3an＋4，且a1＝1，求通项公式．
又∵a2a4＋2a3a5＋a4a6＝25，
∴ 32 ＋2a3a5＋ 52 ＝25，而an＞0，
故a3＋a5＝5.
跟踪训练
4． (2)在等比数列{an}中，已知Sn＝48，S2n＝60，求S3n.
根据数列{an}为等比数列，
则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…成等比数列，
即48，60－48，S3n－60，…成等比数列，
等比数列{an}中，已知a1＝2，a4＝16.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)若a3，a5分别为等差数列{bn}的第3项和第5项，试求
数列{bn}的通项公式及前n项和Sn.
[例2]
等比数列{an}中，已知a1＝2，a4＝16.
(1) 求数列{an}的通项公式；