2020届内蒙古呼伦贝尔市海拉尔区高三第一次统考理科数学试题

2020年呼伦贝尔市普通高中第一次统考理科数学
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合{}0,1,2A =，{}
2,a
B x x a A ==∈，则A B =U ( )
A. {}0,1,2
B. {}0,1,2,3
C. {}0,1,2,4
D. {}1,2,4
2.复数12i
2i
+=-（ ）． A. i
B. 1i +
C. i -
D. 1i -
3.在ABC ∆中，,2,BD DC AP PD BP AB AC λμ===+u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v
，则λμ+= （ ）
A. 13
-
B.
13
C. 12
-
D.
12
4.在精准扶贫工作中，有6名男干部、5名女干部，从中选出2名男干部、1名女干部组成一个扶贫小组分到某村工作，则不同的选法共有( ) A. 60种
B. 70种
C. 75种
D. 150种
5.过抛物线2
4y x =的焦点F 的直线交该抛物线于A ，B 两点，O 为坐标原点.若3AF =，则直线AB 的
斜率为( )
A. B.
C.
D. ±
6.等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若0n a >，1q >，3520a a +=，2664a a =，则5S =（ ） A. 48
B. 36
C. 42
D. 31
7.函数3
()e 1
=+x
x f x 的图象大致是（ ） A. B.
C. D.
8.在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满足212
152–lg E m m E =
，其中星等为m k 的星的亮度为E k （k =1,2）.已知太阳的星等是–26.7，天狼星的星等是–1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为( ) A. 1010.1
B. 10.1
C. lg10.1
D. 10–10.1
9.把函数sin()6
y x π
=+
图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，再将图象向右平移3
π
个单位，
那么所得图象的一个对称中心为（ ） A. (
,0)3
π
B. (
,0)4
π
C. (
,0)12
π
D. (0,0)
10.在棱长均相等的正三棱柱111ABC A B C =中，D 为1BB 的中点，F 在1AC 上，且1DF AC ⊥，则下述结论：①1AC BC ⊥；②1AF FC =；③平面1DAC ⊥平面11ACC A ：④异面直线1AC 与CD 所成角为60︒其中正确命题的个数为( )
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
11.已知双曲线22
22:1x y C a b
-=（0a >，0b >）
，以点P （,0b ）为圆心，a 为半径作圆P ，圆P 与双曲线C 的一条渐近线交于M ，N 两点，若90MPN ∠=︒，则C 的离心率为（ ）
A.
B.
C.
D.
2
12.已知()()11,101,012
x f x f x x x ⎧
--<<⎪+⎪=⎨
⎪≤<⎪⎩，若方程()21f x ax a -=-有唯一解，则实数a 取值范围是
( )
A. {}()81,-⋃+∞
B. {}()116,12,2⎛⎤
-⋃⋃+∞
⎥⎝⎦
C. {}()18,12,2⎡⎤-⋃⋃+∞⎢⎥⎣⎦
D. {}[]()321,24,-⋃⋃+∞
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.(x ＋y )(2x －y )5的展开式中x 3y 3的系数为________.
14.设实数,x y 满足约束条件1024x y x y x +≤⎧⎪
-≤⎨⎪≥⎩
,则23z x y =+的最大值为______.
15.一个四面体的顶点在空间直角坐标系O xyz -
中的坐标分别是A
，B ，(0,1,0)C
，
D ，则该四面体的外接球的体积为__________．
16.数列{}n a 的前n 项和为n S ，
数列{}n b 的前n 项和为n T ，满足12a =，()(
)
*3N ,n n S n m a n m R =+∈∈，且1n n a b n =+.若任意*N n ∈，2n n T T λ≤-成立，则实数λ的取值范围为__________.
三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分.
17.在ABC V 中，A 、B 、C 的对应边分别为a 、b 、c ，已知2a =
，c =，1cos 2
C =-. （1）求A ；
（2）设M 为BC 中点，求AM
长.
18.万众瞩目的第14届全国冬季运动运会（简称“十四冬”）于2020年2月16日在呼伦贝尔市盛大开幕，期间正值我市学校放寒假，寒假结束后，某校工会对全校100名教职工在“十四冬”期间每天收看比赛转播的时间作了一次调查，得到如图频数分布直方图：
的
（1）若将每天收看比赛转播时间不低于3小时的教职工定义为“冰雪迷”，否则定义为“非冰雪迷”，请根据频率分布直方图补全22⨯列联表；并判断能否有90%的把握认为该校教职工是否为“冰雪迷”与“性别”有关；
（2）在全校“冰雪迷”中按性别分层抽样抽取6名，再从这6名“冰雪迷”中选取2名作冰雪运动知识讲座.记其中女职工的人数为ξ，求的ξ分布列与数学期望. 附表及公式：
()
()()()()
2
2n ad bc K a b c d a c b d -=
++++，n a b c d =+++ 19.在如图所示的四棱锥F ABCD -中，四边形ABCD 是等腰梯形，//AB CD ，60ABC ∠=︒，FC ⊥平面ABCD ，AC BF ⊥，1CB CD ==.
（1）求证：AC ⊥平面BCF ；
（2）已知二面角F BD C --
，求直线AF 与平面DFB 所成角的正弦值. 20.已知点00(,)M x y 为椭圆22:12
x C y +=上任意一点，直线00:22l x x y y +=与圆22
(1)6x y -+= 交于A ，
B 两点，点F 为椭圆
C 的左焦点.
（1）求证：直线l 与椭圆C 相切； （2）判断AFB ∠是否为定值，并说明理由. 21.已知函数4()ln (2)(1)x
f x a x x
-=+--. （1）当1a =时.
①求函数()f x 在(2,(2))f 处的切线方程； ②定义1241
()()(
)n n S f f f n n n
-=+++L 其中N n *∈，求2020S ； （2）当2a ≠时，设(
)2
()()ln 4t x f x x x
=--，1()x
g x xe
-=(e 为自然对数
底数)，若对任意给定的
(]00,x e ∈，在(]0,e 上总存在两个不同的(1,2)i x i =，使得0()()i t x g x =成立，求a 的取值范围.
（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做第一题计分.
选修4－4：极坐标系与参数方程
22.在直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程1cos sin x y ϕ
ϕ=+⎧⎨=⎩
（ϕ为参数），以O 为极点，x 轴的非负半轴为极
轴建立极坐标系.
（1）求圆C 的极坐标方程；
（2）直线l
的极坐标方程是2sin 3πρθ⎛⎫
+= ⎪⎝
⎭:3
OM π
θ=与圆C 的交点为O 、P ，与直线l 的交点为Q ，求线段PQ 的长.
选修4-5：不等式选讲
23.已知函数()1f x x =-
（1）解不等式()()48f x f x ++≥；
（2）若1a <，1b <，0a ≠，求证：()b f ab a f a ⎛⎫
> ⎪⎝⎭
.
的
.。