高中双曲线知识点

x2 y2 1 的一个顶点和一个焦点， 3.已知圆C过双曲线 9 16 16 且圆心在此双曲线上，则圆心到双曲线中心的距离是___ 3
4.如图，已知OA是双曲线的实半轴，OB是虚半轴，F为
1 焦点，且S△ABF= 6 - 3 3 ,∠BAO=30°，则双曲线的方 2 2 2 x y 1 程为__________________ 9 3
返回 3．双曲线的几何性质：以x2/a2-y2/b2=1(a、b＞0)表示的双 曲线为例，其几何性质如下：(1)范围：x≤-a，或x≥a(2)关 于x轴、y轴、原点对称，(3)两顶点是(±a,0)(4)离心率 e=c/a∈(1,+∞).c=√a2+b2(5)渐近线方程为y=±bx/a，准线方 程是x=±a2/c 4．双曲线的焦半径公式 (1)双曲线x2/a2-y2/b2=1上一点P(x0，y0)的左焦半径为 |PF1|=|ex0+a|；右焦半径为|PF2|=|ex0-a| (2)双曲线-x2/b2+y2/a2=1上一点P(x0,y0)的下焦半径为 |PF1|=|ey0+a|，上焦半径为|PF2|=|ey0-a| 5．双曲线x2/a2-y2/b2=1的渐近线方程为x2/a2-y2/b2=0；双曲 线x2/a2-y2/b2=1的共轭双曲线为x2/a2-y2/b2=-1.
误解分析
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(1)不能由题设条件建立 k与m两变量之间关系，导致第二 小题无法入手而圆心与弦中点的连线垂直于弦以及根与 系数之间关系的应用是建立k与m两变量间关系的关键.
(2)若求出k与m之间的关系但没有考虑Δ＞0会出现解答不 全，导致错误
课前热身
x2 y2 1 表示双曲线，则实数m的取值 1．如果方程 m -1 2 - m
范围是( D ) (A)m＞2 (C)-1＜m＜2
(B)m＜1或m＞2 (D)-1＜m＜1或m＞2
x2 y2 2．若椭圆 2 2 1a b 0 的离心率为32，则双曲线 a b x2 y2 2 1 的离心率是( Ｂ ) 2 a b 5 (A) (B) 5 (C) 3 (D) 5 4 2 2 4
延伸·拓展
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2 3 x2 y2 5.已知双曲线 2 2 1 (a＞0，b＞0)的离心率e= ， 3 a b 3 过点A(0，-b)和B(a,0)的直线与原点的距离为 2 (1)求双曲线的方程；
(2)直线y=kx+m(k≠0,m≠0)与该双曲线交于不同的两点 C、 D，且C、D两点都在以A为圆心的同一圆上，求m的取值 【解题回顾】圆锥曲线与直线的关系的问题由于是几何 问题，往往利用图形的一些平面几何性质，如本题，CD 是圆的弦，圆心与弦中点的连线垂直于弦，垂直关系可 以较方便地用斜率互为负倒数而表示出来，解析几何不 等的关系通常由判别式大于、等于零而得到


返回 5.已知双曲线中心在原点且一个焦点为F( 7 ，0)直线y=x2 1与其相交于M、N两点，MN中点的横坐标为 ，则此 3
双曲线的方程是(
x2 y2 (A) 1 3 4 x2 y2 (C) 1 5 2
D
)
x2 y2 (B) 1 4 3 x2 y2 (D) 1 5 2
返回 4. 已知双曲线x2/a2-y2/b2=1的离心率e＞1+√2，左、右焦点 分别为F1，F2，左准线为l ，能否在双曲线的左支上找到 一点P，使得|PF1|是P到l 的距离d与|PF2|的等比中项?
【解题回顾】1＜e≤1+√2是双曲线x2/a2-y2/b2=1 ，左支上存在 P 点 ， 使 |PF1|2=|PF2|· d 成 立 的 充 要 条 件 ， 例 如 双 曲 线 x2/20y2/25=1的离心率e=3/2＜1+√2，则这样的P
要点·疑点·考点
1.双曲线的定义 (1)双曲线的第一定义：平面内与两个定点F1、F2的距离差 的绝对值是常数(小于|F1F2|) (2)双曲线的第二定义：平面内到一个定点 F的距离和到一 条定直线 l 的距离比是常数 e(e＞ 1) 的点的轨迹叫做双曲线 2．双曲线标准方程的两种形式 x2/a2-y2/b2=1, -x2/b2+y2/a2=1(a、b＞0) 分别表示中心在原点、焦点在x轴、y
【解题回顾】先判断双曲线焦点位置再设出双曲线方程由 题设条件，求出待定系数，若焦点位置不确定必须分类讨 论
3.在双曲线x2/13-y2/12=-1的一支上有不同的三点A(x1 , y1), B(x2 , 6),C(x3 , y3),它们与焦点F(0，5) (1)求y1+y3；(2)求证线段AC
【解题回顾】过焦点的弦或半径使用双曲线的第二定源自文库进
能力·思维·方法
1. 求与双曲线 x2-2y2=2有公共渐近线，且过点 M(2,-2)的双
x2 y2 【解题回顾】与 2 2 1有公共渐近线的双曲线系方程是 a b x2 y2 2 k (k∈R,k≠0), 这种设法可简化运算、避免不必 2 a b
2.设双曲线的焦点在 x轴上，且过点 A(1，0)和B(-1，0)， P是双曲线上异于A、B的任一点，如果△APB的垂心H总 在此双曲线上，求双曲线的标准方程