高考数学一轮总复习 84椭圆课后强化作业 新人教B版(1)
【走向高考】2015届高考数学一轮总复习 8-4椭圆课后强化作业 新人教B 版基础巩固强化一、选择题1．(文)椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)上任一点到两焦点的距离分别为d 1、d 2，焦距为2c .若d 1,2c ，d 2成等差数列，则椭圆的离心率为( )A.12B.22C.32D.34 [答案] A[解析] 由椭圆的定义，d 1＋d 2＝2a ， 又由题意得d 1＋d 2＝4c ，∴2a ＝4c ，∴e ＝c a ＝12.(理)(2013·新课标Ⅱ)设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，P 是C上的点，PF 2⊥F 1F 2，∠PF 1F 2＝30°，则C 的离心率为( )A.36 B.13 C.12 D.33[答案] D[解析] 解法一：由题意可设|PF 2|＝m ，结合条件可知|PF 1|＝2m ，|F 1F 2|＝3m ， 故离心率e ＝c a ＝2c 2a ＝|F 1F 2||PF 1|＋|PF 2|＝3m 2m ＋m ＝33.解法二：由PF 2⊥F 1F 2可知P 点的横坐标为c ，将x ＝c 代入椭圆方程可解得y ＝±b 2a ，∴|PF 2|＝b 2a .又由∠PF 1F 2＝30°可得|F 1F 2|＝3|PF 2|，故2c ＝3·b 2a ，变形可得3(a 2－c 2)＝2ac ，等式两边同除以a 2，得3(1－e 2)＝2e ，解得e ＝33或e ＝－3(舍去)． 2．(2013·大连二十四中期中)设椭圆x 2m 2＋y 2n 2＝1(m >0，n >0)的右焦点与抛物线y 2＝8x 的焦点相同，离心率为12，则此椭圆的方程为( )A.x 212＋y 216＝1 B.x 216＋y 212＝1 C.x 248＋y 264＝1 D.x 264＋y 248＝1 [答案] B[解析] 抛物线的焦点F (2,0)，∴c ＝2， 又椭圆的离心率e ＝c m ＝12，∴m ＝4.n 2＝m 2－c 2＝12， ∴椭圆方程为x 216＋y 212＝1.3．(文)(2013·云南省名校统考)已知k ＜4，则曲线x 29＋y 24＝1和x 29－k ＋y 24－k ＝1有( )A ．相同的准线B ．相同的焦点C ．相同的离心率D ．相同的长轴[答案] B[解析] ∵k <4，∴曲线x 29－k ＋y 24－k ＝1表示焦点在x 轴上的椭圆，又∵(9－k )－(4－k )＝9－4＝5， ∴两椭圆有相同的焦点．(理)(2013·浙江金华一中月考)已知双曲线x 2－y 2＝λ与椭圆x 216＋y 264＝1有共同的焦点，则λ的值为( )A ．50B ．24C ．－50D ．－24 [答案] D[解析] 椭圆中a 2＝64，b 2＝16，∴c 2＝a 2－b 2＝48，∴c ＝43，∴焦点为(0，±43)，故双曲线中λ<0，双曲线方程为y 2－λ－x 2－λ＝1，由题意可得－2λ＝48，∴λ＝－24，故选D.4．(文)椭圆x 24＋y 2＝1的焦点为F 1、F 2，点M 在椭圆上，MF 1→·MF 2→＝0，则M 到y 轴的距离为( )A.233B.263C.33D. 3[答案] B[分析] 条件MF 1→·MF 2→＝0，说明点M 在以线段F 1F 2为直径的圆上，点M 又在椭圆上，通过方程组可求得点M 的坐标，即可求出点M 到y 轴的距离．[解析] 解法1：椭圆的焦点坐标是(±3，0)，点M 在以线段F 1F 2为直径的圆上，该圆的方程是x 2＋y 2＝3，即y 2＝3－x 2，代入椭圆得x 24＋3－x 2＝1，解得x 2＝83，即|x |＝263，此即点M 到y 轴的距离．解法2：由MF 1→·MF 2→＝0知，MF 1⊥MF 2，∴⎩⎪⎨⎪⎧ |MF 1|＋|MF 2|＝4，|MF 1|2＋|MF 2|2＝4×(4－1)，∴⎩⎪⎨⎪⎧|MF 1|＝2＋2，|MF 2|＝2－2，由|MF 1|2＝t ·|F 1F 2|得t ＝3＋263，∴M 到y 轴的距离为t －3＝263.解法3：设M (x 0，y 0)，则x 204＋y 20＝1， ∴y 20＝1－x 204，①∵MF 1→·MF 2→＝0，∴MF 1⊥MF 2， ∴|MF 1|2＋|MF 2|2＝|F 1F 2|2＝4c 2＝12， 又F 1(－3，0)，F 2(3，0)，∴(x 0＋3)2＋y 20＋(x 0－3)2＋y 20＝12，将①代入解得x 0＝±263，∴M 到y 轴的距离为263.[点评] 满足MA →·MB →＝0(其中A ，B 是平面上两个不同的定点)的动点M 的轨迹是以线段AB 为直径的圆．(理)(2012·新课标，4)设F 1、F 2是椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，P 为直线x＝3a2上一点，△F 2PF 1是底角为30°的等腰三角形，则E 的离心率为( ) A.12 B.23 C.34 D.45 [答案] C[解析] 本题考查了圆锥曲线的离心率的求法．设直线x ＝3a2与x 轴交于点M ，则由条件知，∠F 2F 1P ＝∠F 2PF 1＝30°，∴∠PF 2M ＝60°，在Rt △PF 2M 中，PF 2＝F 1F 2＝2c ，F 2M ＝3a2－c ，故cos60°＝F 2M PF 2＝32a －c2c ＝12，解得c a ＝34，故离心率e ＝34.[点评] 求离心率时要注意数形结合的应用，在图形中设法寻求a ，c 所满足的数量关系，从而确定离心率的值．5．(文)(2013·烟台质检)一个椭圆中心在原点，焦点F 1，F 2在x 轴上，P (2，3)是椭圆上一点，且|PF 1|，|F 1F 2|，|PF 2|成等差数列，则椭圆方程为( )A.x 28＋y 26＝1 B.x 216＋y 26＝1 C.x 28＋y 24＝1 D.x 216＋y 24＝1 [答案] A[解析] 设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)．由点(2，3)在椭圆上知4a 2＋3b 2＝1.又|PF 1|，|F 1F 2|，|PF 2|成等差数列，则|PF 1|＋|PF 2|＝2|F 1F 2|，即2a ＝2·2c ，又c 2＝a 2－b 2，联立得a 2＝8，b 2＝6.(理)已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，且长轴长为12，离心率为13，则椭圆方程为( )A.x 2144＋y 2128＝1 B.x 236＋y 220＝1 C.x 232＋y 236＝1 D.x 236＋y 232＝1 [答案] D[解析] 2a ＝12，∴a ＝6，∵e ＝c a ＝13，∴c ＝2，∴b 2＝a 2－c 2＝32，故选D.6．(2013·豫南九校联考)过椭圆x 22＋y 2＝1的右焦点F 2作倾斜角为45°弦AB ，则|AB |为( )A.263B.423C.463D.433[答案] B[解析] 由a 2＝2，b 2＝1得c 2＝a 2－b 2＝1，∴F 2(1,0)，∴直线AB 的方程为y ＝x －1，将y ＝x －1代入x 22＋y 2＝1中消去y 整理得，3x 2－4x ＝0，∴x 1＝0，x 2＝43，∴|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝2|0－43|＝423.二、填空题7．(文)已知实数k 使函数y ＝cos kx 的周期不小于2，则方程x 23＋y 2k ＝1表示椭圆的概率为________．[答案] 12[解析] 由条件2π|k |≥2，∴－π≤k ≤π，当0<k ≤π且k ≠3时，方程x 23＋y 2k ＝1表示椭圆，∴概率P ＝12.(理)已知1m ＋2n ＝1(m >0，n >0)，则当mn 取得最小值时，椭圆x 2m 2＋y 2n 2＝1的离心率是________．[答案]32[解析] ∵m >0，n >0 ∴1＝1m ＋2n≥22mn， ∴mn ≥8，当且仅当1m ＝2n，即n ＝2m 时等号成立，由⎩⎪⎨⎪⎧n ＝2m ，mn ＝8，解得m ＝2，n ＝4. 即当m ＝2，n ＝4时，mn 取得最小值8， ∴离心率e ＝n 2－m 2n ＝32. 8．直线l ：x －y ＝0与椭圆x 22＋y 2＝1相交A 、B 两点，点C 是椭圆上的动点，则△ABC面积的最大值为________．[答案]2[解析] 设与l 平行的直线方程为x －y ＋a ＝0，当此直线与椭圆的切点为C 时，△ABC 的面积最大，将y ＝x ＋a 代入x 22＋y 2＝1中整理得，3x 2＋4ax ＋2(a 2－1)＝0，由Δ＝16a 2－24(a 2－1)＝0得，a ＝±3，两平行直线x －y ＝0与x －y ＋3＝0的距离d ＝62，将y ＝x 代入x 22＋y 2＝1中得，x 1＝－63，x 2＝63， ∴|AB |＝1＋1|63－(－63)|＝433， ∴S △ABC ＝12|AB |·d ＝12×433×62＝ 2.9．(2013·苏北四市联考)已知两定点M (－1,0)，N (1,0)，若直线上存在点P ，使|PM |＋|PN |＝4，则该直线为“A 型直线”．给出下列直线，其中是“A 型直线”的是________(填序号)．①y ＝x ＋1；②y ＝2；③y ＝－x ＋3；④y ＝－2x ＋3. [答案] ①④[解析] 由题意可知，点P 的轨迹是以M ，N 为焦点的椭圆，其方程是x 24＋y 23＝1，①把y ＝x ＋1代入x 24＋y 23＝1并整理得，7x 2＋8x －8＝0，∵Δ＝82－4×7×(－8)>0，直线与椭圆有两个交点， ∴y ＝x ＋1是“A 型直线”．②把y ＝2代入x 24＋y 23＝1，得x 24＝－13不成立，直线与椭圆无交点，∴y ＝2不是“A 型直线”．③把y ＝－x ＋3代入x 24＋y 23＝1并整理得，7x 2－24x ＋24＝0，Δ＝(－24)2－4×7×24<0，∴y ＝－x ＋3不是“A 型直线”．④把y ＝－2x ＋3代入x 24＋y 23＝1并整理得，19x 2－48x ＋24＝0，∵Δ＝(－48)2－4×19×24>0，∴y ＝－2x ＋3是“A 型直线”．三、解答题10．(文)已知椭圆G ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为63，右焦点为(22，0)，斜率为1的直线l 与椭圆G 交于A ，B 两点，以AB 为底边作等腰三角形，顶点为P (－3,2)．(1)求椭圆G 的方程；(2)求△P AB 的面积．[解析] (1)由已知得，c ＝22，c a ＝63，解得a ＝23， 又b 2＝a 2－c 2＝4，所以椭圆G 的方程为x 212＋y 24＝1.(2)设直线l 的方程为y ＝x ＋m ，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋m ，x 212＋y 24＝1，得4x 2＋6mx ＋3m 2－12＝0.① 设A 、B 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)(x 1<x 2)，AB 中点为E (x 0，y 0)，则 x 0＝x 1＋x 22＝－3m 4，y 0＝x 0＋m ＝m 4.因为AB 是等腰△P AB 的底边，所以PE ⊥AB ， 所以PE 的斜率k ＝2－m 4－3＋3m 4＝－1.解得m ＝2，此时方程①为4x 2＋12x ＝0， 解得x 1＝－3，x 2＝0，所以y 1＝－1，y 2＝2，所以|AB |＝32，此时，点P (－3,2)到直线AB ：x －y ＋2＝0的距离d ＝|－3－2＋2|2＝322，所以△P AB 的面积S ＝12|AB |·d ＝92.(理)(2013·福建四地联考)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的焦距为26，椭圆C 上任意一点到椭圆两个焦点的距离之和为6.(1)求椭圆C 的方程；(2)设直线l ：y ＝kx －2与椭圆C 交于A 、B 两点，点P (0,1)，且|P A |＝|PB |，求直线l 的方程．[解析] (1)由已知得2a ＝6,2c ＝26，解得a ＝3，c ＝6， ∴b 2＝a 2－c 2＝3，∴椭圆C 的方程为x 29＋y 23＝1.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧x 29＋y 23＝1，y ＝kx －2，消去y 得(1＋3k 2)x 2－12kx ＋3＝0，∵直线与椭圆有两个不同的交点， ∴Δ＝144k 2－12(1＋3k 2)>0，解得k 2>19.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则x 1＋x 2＝12k 1＋3k 2，x 1x 2＝31＋3k2， ∴y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)－4＝k ·12k 1＋3k 2－4＝－41＋3k 2， ∴AB 中点坐标E (6k 1＋3k 2，－21＋3k 2)， ∵|P A |＝|PB |，∴PE ⊥AB ，k PE ·k AB ＝－1， ∴－21＋3k 2－16k 1＋3k 2·k ＝－1，解得k ＝±1.经检验，符合题意，所以直线l 的方程为x －y －2＝0或x ＋y ＋2＝0.能力拓展提升一、选择题11．(2013·浙江绍兴一模)椭圆x 225＋y 29＝1上一点M 到焦点F 1的距离为2，N 是MF 1的中点，则|ON |等于( )A ．2B ．4C ．8 D.32[答案] B[解析] 连接MF 2.已知|MF 1|＝2，又|MF 1|＋|MF 2|＝10，∴|MF 2|＝10－|MF 1|＝8. 如图，|ON |＝12|MF 2|＝4.故选B.12．(2013·荆州市质检)若椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率e ＝12，右焦点为F (c,0)，方程ax 2＋2bx ＋c ＝0的两个实数根分别是x 1和x 2，则点P (x 1，x 2)到原点的距离为( )A. 2B.72 C ．2 D.74[答案] A[解析] 因为e ＝c a ＝12，所以a ＝2c ，由a 2＝b 2＋c 2，得b a ＝32，x 1＋x 2＝－2ba ＝－3，x 1x 2＝c a ＝12，点P (x 1，x 2)到原点(0,0)的距离d ＝x 21＋x 22＝(x 1＋x 2)2－2x 1x 2＝ 2.13．(2013·新课标Ⅰ理，10)已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的右焦点为F (3,0)，过点F的直线交椭圆于A 、B 两点．若AB 的中点坐标为(1，－1)，则E 的方程为( )A.x 245＋y 236＝1 B.x 236＋y 227＝1 C.x 227＋y 218＝1 D.x 218＋y 29＝1 [答案] D[解析] 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， ∵A 、B 在椭圆上，∴⎩⎨⎧x 21a 2＋y 21b2＝1，x 22a 2＋y22b 2＝1.两式相减得，x 21－x 22a 2＝y 22－y 21b2，即(x 1－x 2)(x 1＋x 2)a 2＝(y 2－y 1)(y 2＋y 1)b 2，∵AB 的中点为(1，－1)，∴x 1＋x 2＝2，y 1＋y 2＝－2， ∴k ＝y 2－y 1x 2－x 1＝b 2a2，又∵k ＝－1－01－3＝12∴b 2a 2＝12又∵c 2＝a 2－b 2＝2b 2－b 2＝b 2，c 2＝9，∴b 2＝9，a 2＝18， ∴椭圆E 的标准方程为x 218＋y 29＝1，故选D.二、填空题14．(文)过椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的一个顶点作圆x 2＋y 2＝b 2的两条切线，切点分别为A ，B ，若∠AOB ＝90°(O 为坐标原点)，则椭圆C 的离心率为________．[答案]22[解析] 因为∠AOB ＝90°，所以∠AOF ＝45°，所以b a ＝22，所以e 2＝c 2a 2＝a 2－b 2a 2＝1－b 2a2＝12，即e ＝22. (理)(2013·兰州名校检测)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，离心率为e .直线l ：y ＝ex ＋a 与x 轴、y 轴分别交于点A 、B ，M 是直线l 与椭圆C 的一个公共点，设AM →＝eAB →，则该椭圆的离心率e ＝________.[答案]5－12[解析] 因为点A 、B 分别是直线l ：y ＝ex ＋a 与x 轴、y 轴的交点，所以点A 、B 的坐标分别是(－ae，0)、(0，a )．设点M 的坐标是(x 0，y 0)，由|AM |＝e |AB |，得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝a e (e －1)，y 0＝ea .因为点M 在椭圆上，所以x 20a 2＋y 20b 2＝1，将(*)式代入，得(e －1)2e 2＋e 2a 2b2＝1，整理得，e 2＋e－1＝0，解得e ＝5－12.三、解答题15．(文)(2013·天津和平区质检)已知椭圆C 的中心在原点，焦点在x 轴上，且过点(1，423)，离心率e ＝53.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)若直线l 过点M (－2,1)，交椭圆C 于A 、B 两点，且点M 恰是线段AB 的中点，求直线l 的方程．[解析] (1)设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧1a 2＋329b 2＝1，c a ＝53，a 2－b 2＝c 2.解得a 2＝9，b 2＝4.∴椭圆C 的标准方程为x 29＋y 24＝1.(2)设A 、B 两点的坐标分别为(x 1，y 1)和(x 2，y 2)，由题意知x 1≠x 2，且x 219＋y 214＝1，① x 229＋y 224＝1，② ②－①得，(x 2－x 1)(x 1＋x 2)9＋(y 2－y 1)(y 1＋y 2)4＝0，③∵点M (－2,1)为线段AB 的中点， ∴x 1＋x 2＝－4，y 1＋y 2＝2.把上式分别代入③，得y 2－y 1x 2－x 1＝89，即直线l 的斜率为89.∵直线l 过点M (－2,1)，∴直线l 方程为y －1＝89(x ＋2)，即8x －9y ＋25＝0.(理)(2013·天津河西区一模)设F 1，F 2分别是椭圆x 24＋y 2＝1的左、右焦点．(1)若P 是第一象限内该椭圆上的一点，且PF 1→·PF 2→＝－54，求点P 的坐标；(2)设过定点M (0,2)的直线l 与椭圆交于不同的两点A ，B ，且∠AOB 为锐角(其中O 为原点)，求直线l 斜率k 的取值范围．[解析] (1)由题意知a ＝2，b ＝1，c ＝3， 所以F 1(－3，0)，F 2(3，0)． 设P (x ，y )(x >0，y >0)， 则PF 1→＝(－3－x ，－y )，PF 2→＝(3－x ，－y ) 由PF 1→·PF 2→＝－54，得x 2＋y 2－3＝－54.联立⎩⎨⎧x 2＋y 2＝74，x24＋y 2＝1.解得点P (1，32)． (2)可设l 的方程为y ＝kx ＋2，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)． 将y ＝kx ＋2代入椭圆方程得， (1＋4k 2)x 2＋16kx ＋12＝0，由Δ＝(16k )2－4·(1＋4k 2)·12>0得k 2>34，①又y 1·y 2＝(kx 1＋2)(kx 2＋2)＝k 2x 1x 2＋2k (x 1＋x 2)＋4，∠AOB 为锐角， ∴OA →·OB →>0，即x 1x 2＋y 1y 2>0， 即(1＋k 2)x 1x 2＋2k (x 1＋x 2)＋4 ＝12(1＋k 2)1＋4k 2＋2k (－16k 1＋4k 2)＋4＝4(4－k 2)1＋4k 2>0. ∴－14<k 2<4.②由①②可知34<k 2<4，故k 的取值范围是(－2，－32)∪(32，2)． 16．(文)已知椭圆C 的中心为坐标原点O ，一个长轴端点为(0,2)，短轴端点和焦点所组成的四边形为正方形，直线l 与y 轴交于点P (0，m )，与椭圆C 交于相异两点A 、B ，且AP →＝2PB →.(1)求椭圆方程； (2)求m 的取值范围．[解析] (1)由题意知椭圆的焦点在y 轴上，设椭圆方程为y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)，由题意知a ＝2，b ＝c ， 又a 2＝b 2＋c 2，则b ＝2，所以椭圆方程为y 24＋x 22＝1.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由题意，直线l 的斜率存在， 设其方程为y ＝kx ＋m ，与椭圆方程联立即⎩⎪⎨⎪⎧y 2＋2x 2＝4y ＝kx ＋m ，消去y 得， (2＋k 2)x 2＋2mkx ＋m 2－4＝0， Δ＝(2mk )2－4(2＋k 2)(m 2－4)>0 由韦达定理知⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝－2mk2＋k 2，x 1·x 2＝m 2－42＋k 2.又AP →＝2PB →，即有(－x 1，m －y 1)＝2(x 2，y 2－m )，∴－x 1＝2x 2，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝－x 2，x 1x 2＝－2x 22，∴m 2－42＋k2＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫2mk 2＋k 22， 整理得(9m 2－4)k 2＝8－2m 2， 又9m 2－4＝0时不成立， 所以k 2＝8－2m 29m 2－4>0，得49<m 2<4，此时Δ>0，所以m 的取值范围为⎝⎛⎭⎫－2，－23∪⎝⎛⎭⎫23，2. (理)(2013·陕西检测)如图，经过点P (2,3)，且中心在坐标原点，焦点在x 轴上的椭圆M 的离心率为12.(1)求椭圆M 的方程；(2)若椭圆M 的弦P A 、PB 所在直线分别交x 轴于点C 、D ，且|PC |＝|PD |，求证：直线AB 的斜率为定值．[解析] (1)设椭圆M 的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，则4a 2＋9b 2＝1，且e 2＝a 2－b 2a 2＝14，解得a 2＝16，b 2＝12. 故椭圆M 的方程为x 216＋y 212＝1.(2)由题意知，直线P A 的斜率必存在，故设直线P A 的方程为y ＝k (x －2)＋3，A (x A ，y A )，B (x B ，y B )，由|PC |＝|PD |可知，直线PB 的方程为y ＝－k (x －2)＋3.由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －2)＋3，x 216＋y 212＝1，可得，(4k 2＋3)x 2－8k (2k －3)x ＋4(2k －3)2－48＝0.① 又方程①有一实根为2，故另一实根为4(2k －3)2－482(4k 2＋3)＝2(2k －3)2－244k 2＋3＝2(4k 2－12k －3)4k 2＋3，故x A ＝2(4k 2－12k －3)4k 2＋3.同理，x B ＝2(4k 2＋12k －3)4k 2＋3.所以x A ＋x B ＝4(4k 2－3)4k 2＋3，x A ＋x B －4＝－244k 2＋3，x A －x B ＝－48k 4k 2＋3.所以直线AB 的斜率k AB ＝y A －y B x A －x B ＝k (x A ＋x B －4)x A －x B＝12，即直线AB 的斜率为定值．考纲要求1．掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单性质． 2．了解圆锥曲线的简单应用． 3．理解数形结合的思想． 补充材料1．函数与方程的思想(1)在圆锥曲线的一些求取值范围及最值的问题中，常将所求量表达为其他量的函数，运用函数的方法解决．(2)求圆锥曲线方程时，往往是已知曲线形状特征或由已知条件可分析其几何特征，确定形状，设出其标准方程，然后设法列出关于待定系数的方程或方程组求待定系数．要注意解题过程中，设而不求、整体处理的策略和恰当运用一元二次方程根与系数的关系求解．2．焦点三角形问题椭圆的一条焦点弦和另一焦点围成一个三角形．习惯上称为焦点三角形，在焦点三角形中命制题目是常见命题方式，解决焦点三角形问题经常从以下几个方面入手：①定义；②正、余弦定理；③三角形面积．3．求椭圆的离心率时，常常要列出a 、b 、c 的一个齐次方程，结合b 2＝a 2－c 2，两边同除以a 2化为e(e ＝ca)的二次方程求解．4．椭圆上点M 到焦点距离的最大值为a ＋c ，最小值为a －c . 备选习题1．两个正数a 、b 的等差中项是52，等比中项是6，且a >b ，则椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1的离心率e 等于( )A.32 B.133 C.53D.13 [答案] C[解析] 由题意可知⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝5，a ·b ＝6，又因为a >b ，所以解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，b ＝2，所以椭圆的半焦距为c ＝5，所以椭圆的离心率e ＝c a ＝53，故选C.2．P 为椭圆x 24＋y 23＝1上一点，F 1、F 2为该椭圆的两个焦点，若∠F 1PF 2＝60°，则PF 1→·PF 2→等于( )A ．3 B. 3 C ．2 3 D ．2 [答案] D[解析] 由题意可得|F 1F 2|＝2，|PF 1|＋|PF 2|＝4， |F 1F 2|2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1||PF 2|·cos60° ＝(|PF 1|＋|PF 2|)2－3|PF 1||PF 2|，所以4＝42－3|PF 1||PF 2|，|PF 1||PF 2|＝4， PF 1→·PF 2→＝|PF 1→||PF 2→|·cos60°＝4×12＝2，故选D.3．(2013·惠安三中月考)直线y ＝x 与椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1的交点在x 轴上的射影恰好是椭圆的焦点，则椭圆C 的离心率为( )A.－1＋52B.1＋52C.3－52D.12[答案] A[解析] 由条件知点(c ，c )在椭圆上，∴c 2a 2＋c 2b 2＝1，将b 2＝a 2－c 2代入解得，e 2＝3－52，∴e ＝5－12.4．已知圆(x ＋2)2＋y 2＝36的圆心为M ，设A 为圆上任一点，N (2,0)，线段AN 的垂直平分线交MA 于点P ，则动点P 的轨迹是( )A ．圆B ．椭圆C ．双曲线D ．抛物线 [答案] B[解析] 点P 在线段AN 的垂直平分线上，故|P A |＝|PN |，又AM 是圆的半径， ∴|PM |＋|PN |＝|PM |＋|P A |＝|AM |＝6>|MN |，由椭圆定义知，P 的轨迹是椭圆． 5．若直线mx ＋ny ＝4和圆x 2＋y 2＝4没有交点，则过点(m ，n )的直线与椭圆x 29＋y 24＝1的交点个数为( )A ．至多一个B ．2个C ．1个D ．0个[答案] B[解析] ∵直线与圆无交点，∴4m 2＋n 2>2，∴m 2＋n 2<4，∴点(m ，n )在圆内，又圆在椭圆内，∴点(m ，n )在椭圆内，故过点(m ，n )的直线与椭圆有两个交点．6．已知椭圆G 的方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，它与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴正半轴交于C 点，点D (0,4)，若AC →·BC →＝－3，|BD →|＝2 5.(1)求椭圆G 的方程；(2)过点D 的直线l 交椭圆G 于M ，N 两点，若∠NMO ＝90°，求|MN |的长．[解析] (1)∵A (－a,0)、B (a,0)、D (0,4)、C (0，b )， AC →·BC →＝－3，|BD →|＝25，∴⎩⎪⎨⎪⎧(a ，b )·(－a ，b )＝－3a 2＋42＝25，∴a 2＝4，b 2＝1， ∴椭圆G 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)设M (x 1，y 1)，则有⎩⎨⎧x 21＋4y 21＝4，y 1－4x 1·y 1x 1＝－1.⇒x 1＝±253，y 1＝23，∴直线l 的斜率k ＝±5则直线l 的方程为y ＝±5x ＋4，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝±5x ＋4x 2＋4y 2＝4⇒21x 2±325x ＋60＝0，∴x 1＋x 2＝±32521，x 1x 2＝6021.∴|MN |＝1＋k 2(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝43021.。
2012届高考数学第一轮复习强化训练 15.1《椭圆》新人教版选修1-1
15.1椭圆【考纲要求】1、了解椭圆的实际背景，了解椭圆在刻画现实世界和解决实际问题中的作用.2、掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单性质.3、了解椭圆的简单应用.4、理解数形结合的思想. 【基础知识】 1、 椭圆的定义平面内与两个定点12,F F 距离的和等于常数 1.22(2)a a F F >的点的轨迹叫做椭圆 （).ellipse 这两个定点12,F F 叫做椭圆的焦点，两焦点的距离 1.2F F 叫做椭圆的焦距。
当平面内与两个定点12,F F 距离的和等于常数 1.22(2)a a F F =的点的轨迹是线段12F F ;当平面内与两个定点12,F F 距离的和等于常数 1.22(2)a a F F <的点的轨迹不存在. 2、 椭圆的标准方程⑴设(,)x y 是椭圆上任意一点，椭圆焦点12,F F 的坐标分别为(,0),(,0)c c -又点M 与点12,F F 的距离的和等于常数2(220),a a c >>则椭圆的标准方程是：22221x y a b+=（其中222,0).b a c a b =->>（2）设(,)x y 是椭圆上任意一点，椭圆焦点12,F F 的坐标分别为(0,),(0,)c c -又点M 与点12,F F 的距离的和等于常数2(220),a a c >>则椭圆的标准方程是：22221y x a b+=（其中222,0).b a c a b =->>3、 椭圆的简单几何性质 标准方程22221(0)x y a b a b +=>> 22221(0)y x a b a b +=>>图形范围 ,a x a b y b -≤≤-≤≤,a y a b x b -≤≤-≤≤对称性 既是中心对称，又是轴对称，原点是椭圆的对称中心，x 轴和y 轴是椭圆的对称轴顶点 (,0),(,0),(0,),(0,)a a b b --(,0),(,0),(0,),(0,)b b a a --离心率 (0,1)ce a=∈， 焦点 (,0),(,0)c c -(0,),(0,)c c -焦距222c a b =-）长轴长 2a 短轴长 2b准线方程 2a x c=±2a y c=±通径22b d a= 4、点00(,)p x y 和椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的位置关系（1）点00(,)p x y 在椭圆外2200221x y a b ⇔+>（2）点00(,)p x y 在椭圆上2200221x y a b ⇔+=（3）点00(,)p x y 在椭圆内2200221x y a b⇔+<5、求椭圆的方程，用待定系数法，先定位，后定量。
【精品】2019-2020年度最新人教版最新高中数学高考总复习椭圆习题及详解及参考答案
教学资料参考范本【精品】2019-2020年度最新人教版最新高中数学高考总复习椭圆习题及详解及参考答案撰写人：__________________部门：__________________时间：__________________一、选择题1．设0≤α<2π，若方程x2sin α－y2cos α＝1表示焦点在y 轴上的椭圆，则α的取值范围是( )A.∪B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫π2，3π4 C.D.⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4，3π2[答案] C[解析] 化为＋＝1， ∴－>>0，故选C.2．(文)(2010·瑞安中学)已知双曲线C 的焦点、顶点分别恰好是椭圆＋＝1的长轴端点、焦点，则双曲线C 的渐近线方程为( )A ．4x±3y＝0B ．3x±4y＝0C ．4x±5y＝0D ．5x±4y＝0[答案] A[解析] 由题意知双曲线C 的焦点(±5,0)，顶点(±3，0)，∴a ＝3，c ＝5，∴b＝＝4，∴渐近线方程为y ＝±x ，即4x ±3y ＝0.(理)(2010·广东中山)若椭圆＋＝1过抛物线y2＝8x 的焦点，且与双曲线x2－y2＝1，有相同的焦点，则该椭圆的方程是( )A.＋＝1B.＋y2＝1C.＋＝1D ．x2＋＝1[答案] A[解析] 抛物线y2＝8x 的焦点坐标为(2,0)，则依题意知椭圆的右顶点的坐标为(2,0)，又椭圆与双曲线x2－y2＝1有相同的焦点，∴a＝2，c ＝，∵c2＝a2－b2，∴b2＝2，∴椭圆的方程为＋＝1.3．分别过椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右焦点F1、F2作两条互相垂直的直线l1、l2，它们的交点在椭圆的内部，则椭圆的离心率的取值范围是( )A ．(0,1)B.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，22C.D.⎝⎛⎦⎥⎤0，22 [答案] B[解析] 依题意，结合图形可知以F1F2为直径的圆在椭圆的内部，∴c<b，从而c2<b2＝a2－c2，a2>2c2，即e2＝<，又∵e>0，∴0<e<，故选B.4．椭圆＋＝1的焦点为F1、F2，椭圆上的点P 满足∠F1PF2＝60°，则△F1PF2的面积是( )A. B. C.D.643[答案] A[解析] 由余弦定理：|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|·cos60°＝|F1F2|2.又|PF1|＋|PF2|＝20，代入化简得|PF1|·|PF2|＝，。
2025年高考数学一轮复习-定值问题-专项训练【含答案】
2025年高考数学一轮复习-定值问题-专项训练一、基本技能练1.已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的离心率为12，左、右顶点分别为A1，A2.点P是椭圆C上异于左、右顶点的任意一点，证明：点P与A1，A2连线的斜率的乘积为定值，并求出该定值.2.已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的离心率为32，F1，F2分别为椭圆C的左、右焦点，M为椭圆C上一点，△MF1F2的周长为4＋23.(1)求椭圆C的方程；(2)若P为圆x2＋y2＝5上任意一点，过点P作椭圆C的两条切线，切点分别为A，B，试判断PA→·PB→是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由.3.已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的左、右焦点分别是F1，F2，其离心率e＝12，P是椭圆C上一动点，△PF1F2内切圆面积的最大值为π3 .(1)求椭圆C的标准方程；(2)直线PF1，PF2与椭圆C分别相交于点A，B，求证：|PF1||F1A|＋|PF2||F2B|为定值.二、创新拓展练4.已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)经过点(2，1)，离心率为22.(1)求椭圆C的方程；(2)设直线l：y＝kx＋t(t≠0)与椭圆C相交于A，B两点，若以OA，OB为邻边的平行四边形OAPB的顶点P在椭圆C上，求证：平行四边形OAPB的面积为定值.参考答案与解析一、基本技能练1.证明设P (x 0，y 0)，则x 20a 2＋y 20b 2＝1，所以y 20＝b 2（a 2－x 20）a 2，所以kPA 1＝y 0x 0＋a ，kPA 2＝y 0x 0－a (x 0≠±a )，所以kPA 1·kPA 2＝y 0x 0＋a ·y 0x 0－a ＝y 20x 20－a 2＝b 2（a 2－x 20）a 2x 20－a2＝－b 2a 2，又因为e ＝c a ＝12，a 2＝b 2＋c 2，所以b 2a 2＝34，所以－b 2a 2＝－34，所以点P 与A 1，A 2连线的斜率的乘积为定值－34.2.解(1)＋2c ＝4＋23，＝32，＝b 2＋c 2，解得a ＝2，b ＝1，c ＝ 3.所以椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)设P (x 0，y 0)，则x 20＋y 20＝5.当x 0＝±2时，y 0＝±1，显然PA ⊥PB ，则PA →·PB →＝0.当x 0≠±2时，过点P 的切线可设为y ＝k (x －x 0)＋y 0，联立切线方程与椭圆方程，＝kx ＋（y 0－kx 0），2＋4y 2＝4，消去y ，得(4k 2＋1)x 2＋8k (y 0－kx 0)x ＋4[(y 0－kx 0)2－1]＝0，所以Δ＝64k2(y0－kx0)2－16(4k2＋1)·[(y0－kx0)2－1]＝0.整理成关于k的方程，得(4－x20)k2＋2x0y0k＋1－y20＝0，此方程的两个根k1，k2就是切线P A，PB的斜率，所以k1·k2＝1－y204－x20＝1－（5－x20）4－x20＝－1.所以PA⊥PB，所以P A→·PB→＝0.综上，PA→·PB→＝0，为定值.3.(1)解由题意得△PF1F2内切圆半径r的最大值为33，设|F1F2|＝2c，ca＝12，（2a＋2c）×33＝12×2c·b，＝b2＋c2，2＝3，2＝4，∴椭圆C的标准方程为x24＋y23＝1.(2)证明设P(x0，y0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，当y0≠0时，设直线PF1，PF2的方程分别是x＝m1y－1，x＝m2y＋1.m1y－1，＋y23＝1，消去x并整理得(3m21＋4)y2－6m1y－9＝0，∴y0y1＝－93m21＋4.∵x0＝m1y0－1，∴m1＝x0＋1y0，又x204＋y203＝1，∴y0y1＝－5＋2x03.m 2y ＋1，＋y 23＝1，同理可得y 0y 2＝－5－2x 03，∴|PF 1||F 1A |＋|PF 2||F 2B |＝－y 0y 1－y 0y 2＝103；当y 0＝0时，直线PF 1，PF 2与x 轴重合，易得|PF 1||F 1A |＋|PF 2||F 2B |＝3＋13＝103.综上所述，|PF 1||F 1A |＋|PF 2||F 2B |＝103.二、创新拓展练4..(1)解＋1b 2＝1，22，b 2＋c 2，2＝4，2＝2，所以椭圆方程为x 24＋y 22＝1.(2)证明kx ＋t ，＋y 22＝1，得(2k 2＋1)x 2＋4ktx ＋2(t 2－2)＝0，所以Δ＝(4kt )2－8(2k 2＋1)(t 2－2)＝8[2(2k 2＋1)－t 2]>0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－4kt 2k 2＋1，x 1x 2＝2（t 2－2）2k 2＋1，所以y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)＋2t ＝2t 2k 2＋1.因为四边形OAPB 是平行四边形，所以OP →＝OA →＋OB →＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)－4kt 2k 2＋1，则－4kt 2k 2＋1，又因为点P 在椭圆上，所以4k 2t 2（2k 2＋1）2＋2t 2（2k 2＋1）2＝1，即t 2＝2k 2＋12.因为|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝1＋k 2（x 1＋x 2）2－4x 1x 2＝221＋k 22（2k 2＋1）－t 22k 2＋1＝231＋k 22k 2＋1.又点O 到直线l 的距离d ＝|t |1＋k 2，所以平行四边形OAPB 的面积S ＝2S △OAB ＝|AB |·d ＝23|t |2k 2＋1＝62k 2＋12k 2＋1＝ 6.即平行四边形OAPB 的面积为定值 6.。
2021年高考数学一轮复习 9.5 椭圆 理 新人教B版
2021年高考数学一轮复习 9.5 椭圆 理 新人教B 版一、选择题1．设F 1，F 2分别是椭圆x 225＋y 216＝1的左、右焦点，P 为椭圆上一点，M 是F 1P 的中点，|OM |＝3，则P 点到椭圆左焦点的距离为( )A ．4B ．3C ．2D ．5解析 由题意知，在△PF 1F 2中，|OM |＝12|PF 2|＝3，∴|PF 2|＝6，∴|PF 1|＝2a －|PF 2|＝10－6＝4. 答案 A2．已知椭圆x 210－m ＋y 2m －2＝1的焦距为4，则m 等于( )A ．4B ．8C ．4或8D ．以上均不对解析 由⎩⎪⎨⎪⎧10－m >0，m －2>0，得2<m <10，由题意知(10－m )－(m －2)＝4或(m －2)－(10－m )＝4， 解得m ＝4或m ＝8. 答案 C3．(xx·青岛质量检测)已知中心在原点的椭圆C 的右焦点为F (1，0)，离心率等于12，则C的方程是( )A.x 23＋y 24＝1B.x 24＋y 23＝1 C.x 24＋y 23＝1D.x 24＋y 2＝1 解析 依题意，所求椭圆的焦点位于x 轴上，且c ＝1，e ＝c a ＝12⇒a ＝2，b 2＝a 2－c 2＝3，因此其方程是x 24＋y 23＝1，故选C.答案 C4．(xx·汕头一模)已知椭圆x 24＋y 22＝1上有一点P ，F 1，F 2是椭圆的左、右焦点，若△F 1PF 2为直角三角形，则这样的点P 有( )A ．3个B ．4个C ．6个D ．8个解析 当∠PF 1F 2为直角时，根据椭圆的对称性知，这样的点P 有2个；同理当∠PF 2F 1为直角时，这样的点P 有2个；当P 点为椭圆的短轴端点时，∠F 1PF 2最大，且为直角，此时这样的点P 有2个．故符合要求的点P 有6个． 答案 C5．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点为F ，C 与过原点的直线相交于A ，B 两点，连接AF ，BF .若|AB |＝10，|BF |＝8，cos ∠ABF ＝45，则C 的离心率为( )A.35B.57C.45D.67解析 如图，设|AF |＝x ，则 cos ∠ABF ＝82＋102－x 22×8×10＝45.解得x ＝6，∴∠AFB ＝90°，由椭圆及直线关于原点对称可知|AF 1|＝8，∠FAF 1＝∠FAB ＋∠FBA ＝90°，△FAF 1是直角三角形，所以|F 1F |＝10，故2a ＝8＋6＝14，2c ＝10，∴c a ＝57.答案 B 二、填空题6．(xx ·威海模拟)已知P 为椭圆x 225＋y 216＝1上的一点，M ，N 分别为圆(x ＋3)2＋y 2＝1和圆(x －3)2＋y 2＝4上的点，则|PM |＋|PN |的最小值为________．解析 由题意知椭圆的两个焦点F 1，F 2分别是两圆的圆心，且|PF 1|＋|PF 2|＝10，从而|PM |＋|PN |的最小值为|PF 1|＋|PF 2|－1－2＝7. 答案 77．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率等于13，其焦点分别为A ，B ，C 为椭圆上异于长轴端点的任意一点，则在△ABC 中，sin A ＋sin Bsin C的值等于________．解析 在△ABC 中，由正弦定理得sin A ＋sin B sin C ＝|CB |＋|CA ||AB |，因为点C 在椭圆上，所以由椭圆定义知|CA |＋|CB |＝2a ，而|AB |＝2c ，所以sin A ＋sin B sin C ＝2a 2c ＝1e＝3.答案 38．(xx·沈阳质量监测)已知F 1(－c ，0)，F 2(c ，0)为椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的两个焦点，P 为椭圆上一点，且PF 1→·PF 2→＝c 2，则此椭圆离心率的取值范围是________．解析 设P (x ，y )，则PF 1→·PF 2→＝(－c －x ，－y )·(c －x ，－y )＝x 2－c 2＋y 2＝c 2，①将y 2＝b 2－b 2a2x 2代入①式解得x 2＝（2c 2－b 2）a 2c 2＝（3c 2－a 2）a 2c2， 又x 2∈[0，a 2]，∴2c 2≤a 2≤3c 2， ∴e ＝c a ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤33，22.答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤33，22 三、解答题9．(xx·新课标全国Ⅱ卷)设F 1，F 2分别是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左，右焦点，M 是C 上一点且MF 2与x 轴垂直，直线MF 1与C 的另一个交点为N .(1)若直线MN 的斜率为34，求C 的离心率；(2)若直线MN 在y 轴上的截距为2，且|MN |＝5|F 1N |，求a ，b .解 (1)根据c ＝a 2－b 2及题设知M ⎝ ⎛⎭⎪⎫c ，b 2a ，2b 2＝3ac .将b 2＝a 2－c 2代入2b 2＝3ac ，解得c a ＝12或c a ＝－2(舍去)．故C 的离心率为12.(2)由题意，知原点O 为F 1F 2的中点，MF 2∥y 轴，所以直线MF 1与y 轴的交点D (0，2)是线段MF 1的中点，故b 2a＝4，即b 2＝4a .①由|MN |＝5|F 1N |，得|DF 1|＝2|F 1N |. 设N (x 1，y 1)，由题意知y 1＜0，则⎩⎪⎨⎪⎧2（－c －x 1）＝c ，－2y 1＝2，即⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝－32c .y 1＝－1.代入C 的方程，得9c 24a 2＋1b2＝1.②将①及c ＝a 2－b 2代入②得9（a 2－4a ）4a 2＋14a ＝1. 解得a ＝7，b 2＝4a ＝28， 故a ＝7，b ＝ 2 7.10.(xx·江苏卷)如图，在平面直角坐标系xOy 中，F 1，F 2分别是椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点，顶点B的坐标为(0，b )，连接BF 2并延长交椭圆于点A ，过点A 作x 轴的垂线交椭圆于另一点C ，连接F 1C .(1)若点C 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫43，13，且|BF 2|＝2，求椭圆的方程；(2)若F 1C ⊥AB ，求椭圆离心率e 的值．解 设椭圆的焦距为2c ，则F 1(－c ，0)，F 2(c ，0)． (1)因为B (0，b )，所以|BF 2|＝b 2＋c 2＝a . 又|BF 2|＝2，故a ＝ 2.因为点C ⎝ ⎛⎭⎪⎫43，13在椭圆上， 所以169a 2＋19b2＝1，解得b 2＝1.故所求椭圆的方程为x 22＋y 2＝1.(2)因为B (0，b )，F 2(c ，0)在直线AB 上， 所以直线AB 的方程为x c ＋y b＝1.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x c ＋yb ＝1，x 2a 2＋y 2b 2＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝2a 2c a 2＋c2，y 1＝b （c 2－a 2）a 2＋c 2，⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝0，y 2＝b . 所以点A 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2a 2c a 2＋c 2，b （c2－a 2）a 2＋c 2.又AC 垂直于x 轴，由椭圆的对称性，可得点C 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2a 2c a 2＋c 2，b （a2－c 2）a 2＋c 2.因为直线F 1C 的斜率为b （a 2－c 2）a 2＋c 2－02a 2c a 2＋c 2－（－c ）＝b （a 2－c 2）3a 2c ＋c3，直线AB 的斜率为－b c，且F 1C ⊥AB ，所以b （a 2－c 2）3a 2c ＋c 3·⎝ ⎛⎭⎪⎫－b c ＝－1.又b 2＝a 2－c 2，整理得a 2＝5c 2. 故e 2＝15，因此e ＝55.能力提升题组 (建议用时：25分钟)11．(xx·朝阳市重点高中模拟)设F 1，F 2分别是椭圆E ：x 24＋y 23＝1的左、右焦点，过F 1的直线l 与E 相交于A ，B 两点，且|AF 2|，|AB |，|BF 2|成等差数列，则|AB |＝( )A.103B ．3C.83D ．2解析 依题意得|AF 1|＋|AF 2|＋|BF 1|＋|BF 2|＝(|AF 1|＋|BF 1|)＋(|AF 2|＋|BF 2|)＝|AB |＋(|AF 2|＋|BF 2|)＝3|AB |＝4×2，|AB |＝83，故选C.答案 C12．(xx·云南统一检测)设F 1，F 2分别是椭圆x 225＋y 216＝1的左、右焦点，P 为椭圆上任一点，点M 的坐标为(6，4)，则|PM |＋|PF 1|的最大值为 ( ) A ．10B ．12C ．15D ．18解析 |PF 1|＋|PF 2|＝10，|PF 1|＝10－|PF 2|， |PM |＋|PF 1|＝10＋|PM |－|PF 2|，易知M 点在椭圆外，连接MF 2并延长交椭圆于P 点， 此时|PM |－|PF 2|取最大值|MF 2|， 故|PM |＋|PF 1|的最大值为10＋|MF 2|＝10＋（6－3）2＋42＝15. 答案 C13．(xx·陕西五校联考)椭圆x 2a 2＋y 25＝1(a 为定值，且a ＞5)的左焦点为F ，直线x ＝m 与椭圆相交于点A ，B .若△FAB 的周长的最大值是12，则该椭圆的离心率是________． 解析 设椭圆的右焦点为F ′，如图，由椭圆定义知，|AF |＋|AF ′|＝|BF |＋|BF ′|＝2a .又△FAB 的周长为|AF |＋|BF |＋|AB |≤|AF |＋|BF |＋|AF ′|＋|BF ′|＝4a ，当且仅当AB 过右焦点F ′时等号成立． 此时4a ＝12，则a ＝3.故椭圆方程为x 29＋y 25＝1，所以c ＝2，所以e ＝c a ＝23.答案2314．(xx·辽宁卷)圆x 2＋y 2＝4的切线与x 轴正半轴、y 轴正半轴围成一个三角形，当该三角形面积最小时，切点为P (如图)．双曲线C 1：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)过点P 且离心率为 3.(1)求C 1的方程；(2)椭圆C 2过点P 且与C 1有相同的焦点，直线l 过C 2的右焦点且与C 2交于A ，B 两点．若以线段AB 为直径的圆过点P ，求l 的方程． 解 (1)设切点坐标为(x 0，y 0)(x 0>0，y 0>0)， 则切线斜率为－x 0y 0，切线方程为y －y 0＝－x 0y 0(x －x 0)，即x 0x ＋y 0y ＝4，此时，两个坐标轴的正半轴与切线围成的三角形面积为S ＝12·4x 0·4y 0＝8x 0y 0.由x 20＋y 20＝4≥2x 0y 0知当且仅当x 0＝y 0＝2时，x 0y 0有最大值，即S 有最小值，因此点P 的坐标为(2，2)． 由题意知⎩⎪⎨⎪⎧2a 2－2b 2＝1，a 2＋b 2＝3a 2，解得a 2＝1，b 2＝2，故C 1的方程为x 2－y 22＝1.(2)由(1)知C 2的焦点坐标为(－3，0)，(3，0)，由此设C 2的方程为x 23＋b 21＋y 2b 21＝1，其中b 1>0.由P (2，2)在C 2上，得23＋b 21＋2b 21＝1，解得b 21＝3，因此C 2的方程为x 26＋y 23＝1.显然，l 不是直线y ＝0.设l 的方程为x ＝my ＋3，点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ＋3，x 26＋y 23＝1，得(m 2＋2)y 2＋23my －3＝0.又y 1，y 2是方程的根，因此⎩⎪⎨⎪⎧y 1＋y 2＝－23mm 2＋2，①y 1y 2＝－3m 2＋2，②由x 1＝my 1＋3，x 2＝my 2＋3，得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝m （y 1＋y 2）＋23＝43m 2＋2，③x 1x 2＝m 2y 1y 2＋3m （y 1＋y 2）＋3＝6－6m2m 2＋2，④. 因为AP →＝(2－x 1，2－y 1)，BP →＝(2－x 2，2－y 2)， 由题意知AP →·BP →＝0，所以x 1x 2－2(x 1＋x 2)＋y 1y 2－2(y 1＋y 2)＋4＝0，⑤ 将①，②，③，④代入⑤整理得2m 2－26m ＋46－11＝0， 解得m ＝362－1或m ＝－62＋1.因此直线l 的方程为x －⎝⎛⎭⎪⎫362－1y －3＝0或x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫62－1y －3＝0. 37320 91C8 釈@30345 7689 皉34194 8592 薒K26688 6840 桀R: L26773 6895梕38297 9599 閙q30791 7847 硇。
【走向高考】高考数学一轮总复习 8-4椭圆课后强化作业 新人教A版
【走向高考】2015届高考数学一轮总复习 8-4椭圆课后强化作业 新人教A 版基础巩固强化一、选择题1．(文)设P 是椭圆x 225＋y 216＝1上的点，若F 1、F 2是椭圆的两个焦点，则|PF 1|＋|PF 2|等于( )A ．4B ．5C ．8D ．10[答案] D[解析] ∵a 2＝25，∴a ＝5，∴|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝10.(理)椭圆x 216＋y 27＝1的左、右焦点分别为F 1、F 2，一直线过F 1交椭圆于A 、B 两点，则△ABF 2的周长为( )A ．32B ．16C ．8D ．4 [答案] B[解析] 由题设条件知△ABF 2的周长为|AF 1|＋|AF 2|＋|BF 1|＋|BF 2|＝4a ＝16.2．(文)(2012·丽水模拟)若P 是以F 1、F 2为焦点的椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)上的一点，且PF 1→·PF 2→＝0，tan ∠PF 1F 2＝12，则此椭圆的离心率为( )A.53B.23C.13D.12[答案] A[解析] 在Rt △PF 1F 2中，不妨设|PF 2|＝1，则|PF 1|＝2.|F 1F 2|＝5，∴e ＝2c 2a ＝53.(理)设圆锥曲线Γ的两个焦点分别为F 1、F 2，若曲线Γ上存在点P 满足|PF 1|:|F 1F 2|:|PF 2|＝4:3:2，则曲线Γ的离心率等于( )A.12或32B.23或2C.12或2 D.23或32[答案] A[解析] 设|PF 1|＝4t ，|F 1F 2|＝3t ，|PF 2|＝2t (t >0)，若Γ为椭圆，则离心率为e ＝3t 6t ＝12，若Γ为双曲线，则离心率为3t 2t ＝32.3．(2013·浙江绍兴一模)椭圆x 225＋y 29＝1上一点M 到焦点F 1的距离为2，N 是MF 1的中点，则|ON |等于( )A ．2B ．4C ．8 D.32[答案] B[解析] 连接MF 2.已知|MF 1|＝2，又|MF 1|＋|MF 2|＝10，∴|MF 2|＝10－|MF 1|＝8. 如图，|ON |＝12|MF 2|＝4.故选B.4．(2013·新课标Ⅰ理，10)已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的右焦点为F (3,0)，过点F 的直线交椭圆于A 、B 两点．若AB 的中点坐标为(1，－1)，则E 的方程为( )A.x 245＋y 236＝1 B.x 236＋y 227＝1 C.x 227＋y 218＝1 D.x 218＋y 29＝1 [答案] D[解析] 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， ∵A 、B 在椭圆上，∴⎩⎨⎧x 21a 2＋y 21b2＝1，x 22a 2＋y22b 2＝1.两式相减得，x 21－x 22a 2＝y 22－y 21b2，即(x 1－x 2)(x 1＋x 2)a 2＝(y 2－y 1)(y 2＋y 1)b 2，∵AB 的中点为(1，－1)，∴x 1＋x 2＝2，y 1＋y 2＝－2，∴k ＝y 2－y 1x 2－x 1＝b 2a2，又∵k ＝－1－01－3＝12，∴b 2a 2＝12，又∵c 2＝a 2－b 2＝2b 2－b 2＝b 2，c 2＝9，∴b 2＝9，a 2＝18， ∴椭圆E 的标准方程为x 218＋y 29＝1，故选D.5．(文)若椭圆的中心在原点，焦点在x 轴上，长轴长为18，且两个焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆的方程是( )A.x 281＋y 272＝1 B.x 281＋y 29＝1 C.x 281＋y 245＝1 D.x 281＋y 236＝1 [答案] A[解析] 依题意知：2a ＝18，∴a ＝9,2c ＝13×2a ，∴c ＝3，∴b 2＝a 2－c 2＝81－9＝72，∴椭圆方程为x 281＋y 272＝1.(理)(2013·烟台质检)一个椭圆中心在原点，焦点F 1，F 2在x 轴上，P (2，3)是椭圆上一点，且|PF 1|，|F 1F 2|，|PF 2|成等差数列，则椭圆方程为( )A.x 28＋y 26＝1 B.x 216＋y 26＝1 C.x 28＋y 24＝1 D.x 216＋y 24＝1 [答案] A[解析] 设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)．由点(2，3)在椭圆上知4a 2＋3b 2＝1.又|PF 1|，|F 1F 2|，|PF 2|成等差数列，则|PF 1|＋|PF 2|＝2|F 1F 2|，即2a ＝2·2c ，c a ＝12，又c 2＝a 2－b 2，联立得a 2＝8，b 2＝6.6．椭圆x 2100＋y 264＝1的焦点为F 1、F 2，椭圆上的点P 满足∠F 1PF 2＝60°，则△F 1PF 2的面积是( )A.6433B.9133C.1633D.643 [答案] A[解析] 由余弦定理：|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1|·|PF 2|·cos60°＝|F 1F 2|2.又|PF 1|＋|PF 2|＝20，代入化简得|PF 1|·|PF 2|＝2563， ∴S △F 1PF 2＝12|PF 1|·|PF 2|·sin60°＝6433.二、填空题7．(文)设F 1、F 2分别是椭圆x 225＋y 216＝1的左、右焦点，P 为椭圆上一点，M 是F 1P 的中点，|OM |＝3，则P 点到椭圆左焦点距离为________．[答案] 4[解析] |OM |＝3，|PF 2|＝6， 又|PF 1|＋|PF 2|＝10，∴|PF 1|＝4.(理)(2013·池州二模)已知点M (3，0)，椭圆x 24＋y 2＝1与直线y ＝k (x ＋3)交于点A 、B ，则△ABM 的周长为________．[答案] 8[解析] M (3，0)与F (－3，0)是椭圆的焦点，则直线AB 过椭圆左焦点F (－3，0)，且|AB |＝|AF |＋|BF |，△ABM 的周长等于|AB |＋|AM |＋|BM |＝(|AF |＋|AM |)＋(|BF |＋|BM |)＝4a ＝8.8．若方程x 2sin2α－y 2cos α＝1表示焦点在y 轴上的椭圆，那么α的取值范围是________． [答案] ⎝⎛⎭⎫2k π＋7π6，2k π＋3π2，k ∈Z [解析] 根据题意知，⎩⎪⎨⎪⎧－1cos α>1sin2α，cos α<0，sin2α>0.化简得，⎩⎪⎨⎪⎧－1≤sin α<－12，cos α<0.解得α∈⎝⎛⎭⎫2k π＋76π，2k π＋32π(k ∈Z )． 9．已知椭圆M ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >0，b >0)的面积为πab ，M 包含于平面区域Ω：⎩⎨⎧|x |≤2，|y |≤ 3.内，向Ω内随机投一点Q ，点Q 落在椭圆M 内的概率为π4，则椭圆M 的方程为________．[答案] x 24＋y 23＝1[解析]平面区域Ω：⎩⎨⎧|x |≤2，|y |≤ 3.是一个矩形区域，如图所示， 依题意及几何概型，可得πab 83＝π4，即ab ＝2 3. 因为0<a ≤2,0<b ≤3，所以a ＝2，b ＝ 3. 所以，椭圆M 的方程为x 24＋y 23＝1.三、解答题10．椭圆的两焦点坐标分别为F 1(－3，0)，F 2(3，0)，且椭圆过点M (1，－32)． (1)求椭圆方程；(2)过点N (－65，0)作不与y 轴垂直的直线l 交该椭圆于P 、Q 两点，A 为椭圆的左顶点，试判断∠P AQ 的大小是否为定值，并说明理由．[解析] (1)设椭圆的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，由题意c ＝3，且椭圆过点M (1，－32)，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2－b 2＝3，1a 2＋34b2＝1.⇒⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，b 2＝1.∴椭圆方程为x 24＋y 2＝1. (2)设直线PQ ：x ＝ty －65，由⎩⎨⎧x ＝ty －65，x24＋y 2＝1.消去x 得，(t 2＋4)y 2－125ty －6425＝0，设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)， ∴y 1y 2＝－6425(t 2＋4)，y 1＋y 2＝12t5(t 2＋4)， 又A (－2,0)，∴AP →·AQ →＝(x 1＋2，y 1)·(x 2＋2，y 2)＝(x 1＋2)(x 2＋2)＋y 1y 2＝(ty 1＋45)(ty 2＋45)＋y 1y 2＝(t 2＋1)y 1y 2＋45t (y 1＋y 2)＋1625＝0，∴∠P AQ ＝π2(定值).能力拓展提升一、选择题11．(2013·荆州市质检)若椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率e ＝12，右焦点为F (c,0)，方程ax 2＋2bx ＋c ＝0的两个实数根分别是x 1和x 2，则点P (x 1，x 2)到原点的距离为( )A. 2B.72C ．2 D.74[答案] A[解析] 因为e ＝c a ＝12，所以a ＝2c ，由a 2＝b 2＋c 2，得b a ＝32，x 1＋x 2＝－2ba ＝－3，x 1x 2＝c a ＝12，点P (x 1，x 2)到原点(0,0)的距离d ＝x 21＋x 22＝(x 1＋x 2)2－2x 1x 2＝ 2. 12．(文)若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是( )A.45 B.35 C.25 D.15 [答案] B[分析] 要求离心率e ＝ca ，先由条件建立a 、b 、c 的方程，利用a 2＝b 2＋c 2消去b ，两边同除以a 2即可化为e 的方程．[解析] 由题意得：4b ＝2(a ＋c )⇒4b 2＝(a ＋c )2⇒3a 2－2ac －5c 2＝0⇒5e 2＋2e －3＝0⇒e ＝35或e ＝－1(舍)，故选B. (理)(2013·全国大纲理，8)椭圆C ：x 24＋y 23＝1的左、右顶点分别为A 1、A 2，点P 在C 上且直线P A 2斜率的取值范围是[－2，－1]，那么直线P A 1斜率的取值范围是( )A ．[12，34]B ．[38，34]C ．[12，1]D ．[34，1][答案] B [解析]如图：A 1(－2,0)，A 2(2,0)直线A 2M 的方程为y ＝－(x －2)，即y ＝2－x ， 代入椭圆方程x 24＋y 23＝1中消去y 得，7x 2－16x ＋4＝0，∴2＋x ＝167，∴x ＝27，∴M 点坐标为(27，127)．同理可得N 点坐标为(2619，2419)∵kA 1M ＝12727＋2＝34，kA 1N ＝24192619＋2＝38，∴直线P A 1斜率的取值范围是[38，34]．[解法探究] 点P 在椭圆C 上运动，P A 2的斜率取值已知，求P A 1的斜率的取值范围，若能找到kP A 1与kP A 2的关系，则解答更简便．由条件知，A 1(－2,0)，A 2(2,0)， 设P 点坐标为(x 0，y 0)，则x 204＋y 203＝1，kP A 2＝y 0x 0－2，kP A 1＝y 0x 0＋2，于是kP A 1·kP A 2＝y 20x 20－22＝3－34x 20x 20－4＝－34.∴kP A 1＝3－4kP A 2，∵－2≤kP A 2≤－1，∴4≤－4kP A 2≤8，∴38≤kP A 1≤34.13．(文)已知椭圆C 1：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)与双曲线C 2：x 2－y 24＝1有公共的焦点，C 2的一条渐近线与以C 1的长轴为直径的圆相交于A 、B 两点，若C 1恰好将线段AB 三等分，则( )A ．a 2＝132B ．a 2＝13C ．b 2＝12D ．b 2＝2[答案] C [解析]由已知双曲线渐近线为y ＝±2x .圆方程为x 2＋y 2＝a 2，则|AB |＝2a .不妨取y ＝2x 与椭圆交于P 、Q 两点，且P 在x 轴上方，则由已知|PQ |＝13|AB |＝2a 3，∴|OP |＝a 3.则点P 坐标为(5a 15，25a15)， 又∵点P 在椭圆上，∴5a 2225a 2＋20a 2225b2＝1.①又∵a 2－b 2＝5，∴b 2＝a 2－5.②，解①②得⎩⎨⎧a 2＝112，b 2＝12.故选C. (理)设F 是椭圆x 225＋y216＝1的左焦点，且椭圆上有2011个不同的点P i (x i ，y i )(i ＝1,2,3，…，2011)，且线段|FP 1|，|FP 2|，|FP 3|，…，|FP 2011|的长度成等差数列，若|FP 1|＝2，|FP 2011|＝8，则点P 2010的横坐标为( )A.20082011B.1005201 C.1004201 D.53667[答案] C[解析] ∵椭圆x 225＋y 216＝1，∴F (－3,0)，由|FP 1|＝2＝a －c ，|FP 2011|＝8＝a ＋c ，可知点P 1为椭圆的左顶点，P 2011为椭圆的右顶点，即x 1＝－5，x 2011＝5＝－5＋2010d ，∴d ＝1201，则数列{x i }是以－5为首项，1201为公差的等差数列，∴x 2010＝－5＋2009×1201＝1004201. 二、填空题14．(文)如果AB 是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1的任意一条与x 轴不垂直的弦，O 为椭圆的中心，e为椭圆的离心率，M 为AB 的中点，则k AB ·k OM 的值为________．[答案] e 2－1[解析] 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，中点M (x 0，y 0)，由点差法，x 21a 2＋y 21b 2＝1，x 22a 2＋y 22b2＝1，作差得(x 1－x 2)(x 1＋x 2)a 2＝(y 2－y 1)(y 2＋y 1)b 2，∴k AB ·k OM ＝y 2－y 1x 2－x 1·y 1＋y 2x 1＋x 2＝－b 2a2＝c 2－a 2a 2＝e 2－1.(理)以椭圆的右焦点F 2为圆心的圆恰好过椭圆的中心，交椭圆于点M 、N ，椭圆的左焦点为F 1，且直线MF 1与此圆相切，则椭圆的离心率e 等于________．[答案]3－1[解析] 由题意知，MF 1⊥MF 2，|MF 2|＝|OF 2|＝c ，又|F 1F 2|＝2c ，∴|MF 1|＝3c ， 由椭圆的定义，|MF 1|＋|MF 2|＝2a ， ∴3c ＋c ＝2a ，∴e ＝ca＝3－1.15．(2013·苏北四市联考)已知两定点M (－1,0)，N (1,0)，若直线上存在点P ，使|PM |＋|PN |＝4，则该直线为“A 型直线”．给出下列直线，其中是“A 型直线”的是________(填序号)．①y ＝x ＋1；②y ＝2；③y ＝－x ＋3；④y ＝－2x ＋3. [答案] ①④[解析] 由题意可知，点P 的轨迹是以M ，N 为焦点的椭圆，其方程是x 24＋y 23＝1，①把y ＝x ＋1代入x 24＋y 23＝1并整理得，7x 2＋8x －8＝0，∵Δ＝82－4×7×(－8)>0，直线与椭圆有两个交点， ∴y ＝x ＋1是“A 型直线”．②把y ＝2代入x 24＋y 23＝1，得x 24＝－13不成立，直线与椭圆无交点，∴y ＝2不是“A 型直线”．③把y ＝－x ＋3代入x 24＋y 23＝1并整理得，7x 2－24x ＋24＝0，Δ＝(－24)2－4×7×24<0，∴y ＝－x ＋3不是“A 型直线”．④把y ＝－2x ＋3代入x 24＋y 23＝1并整理得，19x 2－48x ＋24＝0，∵Δ＝(－48)2－4×19×24>0，∴y ＝－2x ＋3是“A 型直线”．三、解答题16．(文)(2012·广东文，20)在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C 1：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左焦点为F 1(－1,0)，且点P (0,1)在C 1上．(1)求椭圆C 1的方程；(2)设直线l 同时与椭圆C 1和抛物线C 2：y 2＝4x 相切，求直线l 的方程． [解析] (1)因为椭圆C 1的左焦点为F 1(－1,0)， 所以c ＝1，将点P (0,1)代入椭圆方程x 2a 2＋y 2b 2＝1，得1b 2＝1，即b 2＝1，所以a 2＝b 2＋c 2＝2， 所以椭圆C 1的方程为x 22＋y 2＝1.(2)直线l 的斜率显然存在，设直线l 的方程为y ＝kx ＋m ，由⎩⎪⎨⎪⎧x 22＋y 2＝1，y ＝kx ＋m ，消去y 并整理得，(1＋2k 2)x 2＋4kmx ＋2m 2－2＝0， 因为直线l 与椭圆C 1相切，所以Δ1＝16k 2m 2－4(1＋2k 2)(2m 2－2)＝0 整理得2k 2－m 2＋1＝0，①由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x ，y ＝kx ＋m ，消去y 并整理得， k 2x 2＋(2km －4)x ＋m 2＝0， 因为直线l 与抛物线C 2相切， 所以Δ2＝(2km －4)2－4k 2m 2＝0， 整理得km ＝1，②综合①②，解得⎩⎪⎨⎪⎧ k ＝22，m ＝2，或⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－22，m ＝－ 2. 所以直线l 的方程为y ＝22x ＋2或y ＝－22x － 2. (理)已知椭圆C 的中心在原点，一个焦点F (－2,0)，且长轴长与短轴长的比是 3.(1)求椭圆C 的方程；(2)设点M (m,0)在椭圆C 的长轴上，点P 是椭圆上任意一点．当|MP →|最小时，点P 恰好落在椭圆的右顶点，求实数m 的取值范围．[解析] (1)设椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，由题意⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝b 2＋c 2，a b ＝23，c ＝2.解得a 2＝16，b 2＝12.所以椭圆C 的方程为x 216＋y 212＝1.(2)设P (x ，y )为椭圆上的动点，由于椭圆方程为x 216＋y 212＝1，故－4≤x ≤4.因为MP →＝(x －m ，y )，所以|MP →|2＝(x －m )2＋y 2＝(x －m )2＋12×⎝⎛⎭⎫1－x 216. ＝14x 2－2mx ＋m 2＋12＝14(x －4m )2＋12－3m 2. 因为当|MP →|最小时，点P 恰好落在椭圆的右顶点，即当x ＝4时，|MP →|2取得最小值．而x ∈[－4,4]， 故有4m ≥4，解得m ≥1.又点M 在椭圆的长轴上，即－4≤m ≤4. 故实数m 的取值范围是m ∈[1,4]．考纲要求1．掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单性质． 2．了解圆锥曲线的简单应用． 3．理解数形结合的思想． 补充说明1．求椭圆的方程主要有定义法和待定系数法，运用待定系数法求方程时，当椭圆的焦点位置不明确而无法确定其标准方程时，设方程为x 2m ＋y 2n ＝1(m >0，n >0)，可以避免讨论和繁琐的计算，也可以设为Ax 2＋By 2＝1(A >0，B >0)，这种形式在求解过两定点的椭圆方程时更简便．2．用待定系数法求椭圆标准方程的一般步骤：(1)作判断：根据条件判断椭圆的焦点在x 轴上还是在y 轴上，还是两个坐标轴都有可能；(2)设方程：根据上述判断设方程x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)或y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)，当椭圆焦点位置不确定时，可设为mx 2＋ny 2＝1(m >0，n >0，m ≠n )；(3)找关系：根据已知条件，建立方程组；(4)写出标准方程：解方程组，将解代入所设方程，即为所求． 3．函数与方程的思想(1)在圆锥曲线的一些求取值范围及最值的问题中，常将所求量表达为其他量的函数，运用函数的方法解决．(2)求圆锥曲线方程时，往往是已知曲线形状特征或由已知条件可分析其几何特征，确定形状，设出其标准方程，然后设法列出关于待定系数的方程或方程组求待定系数．要注意解题过程中，设而不求、整体处理的策略和恰当运用一元二次方程根与系数的关系求解．4．焦点三角形问题椭圆的一条焦点弦和另一焦点围成一个三角形．习惯上称为焦点三角形，在焦点三角形中命制题目是常见命题方式，解决焦点三角形问题经常从以下几个方面入手：①定义；②正、余弦定理；③三角形面积．5．求椭圆的离心率时，常常要列出a 、b 、c 的一个齐次方程，结合b 2＝a 2－c 2，两边同除以a 2化为e (e ＝ca)的二次方程求解．6．椭圆上点M 到焦点距离的最大值为a ＋c ，最小值为a －c . 备选习题1．若椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1过抛物线y 2＝8x 的焦点，且与双曲线x 2－y 2＝1有相同的焦点，则该椭圆的方程是( )A.x 24＋y 22＝1 B.x 23＋y 2＝1 C.x 22＋y 24＝1 D ．x 2＋y 23＝1[答案] A[解析] 抛物线y 2＝8x 的焦点坐标为(2,0)，则依题意知椭圆的右顶点的坐标为(2,0)，又椭圆与双曲线x 2－y 2＝1有相同的焦点，∴a ＝2，c ＝2，∵c 2＝a 2－b 2，∴b 2＝2，∴椭圆的方程为x 24＋y 22＝1.2．椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左顶点为A ，左、右焦点分别为F 1、F 2，D 是它短轴上的一个顶点，若2DF 1→＝DA →＋DF 2→，则该椭圆的离心率为( )A.12B.13C.14D.15[答案] B[解析] 由2DF 1→＝DA →＋DF 2→知F 1是AF 2的中点， ∴a －c ＝2c ，∴a ＝3c ，e ＝13.3．F 1、F 2是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的两焦点，P 是椭圆上任一点，过一焦点引∠F 1PF 2的外角平分线的垂线，则垂足Q 的轨迹为()A ．圆B ．椭圆C ．双曲线D ．抛物线[答案] A[解析] ∵PQ 平分∠F 1P A ，且PQ ⊥AF 1， ∴Q 为AF 1的中点，且|PF 1|＝|P A |， ∴|OQ |＝12|AF 2|＝12(|P A |＋|PF 2|)＝a ，∴Q 点轨迹是以O 为圆心，a 为半径的圆．4．(2013·乌鲁木齐一诊)如图，椭圆的中心在坐标原点O ，顶点分别是A 1，A 2，B 1，B 2，焦点分别为F 1，F 2，直线B 1F 2与A 2B 2交于P 点，若∠B 1P A 2为钝角，则此椭圆的离心率e 的取值范围为________．[答案] (5－12，1)[解析] 设椭圆的方程为x 2a 2＋y2b 2＝1(a >b >0)，∠B 1P A 2为钝角可转化为B 2A 2→与F 2B 1→所夹的角为钝角，则(a ，－b )·(－c ，－b )<0，得b 2<ac ，即a 2－c 2<ac ，故(c a )2＋ca －1>0，即e 2＋e －1>0，e >5－12或e <－5－12，又0<e <1，所以5－12<e <1.。
高三数学一轮基础巩固(新人教B版)第8章第4节椭圆(含解析)
高中数学学习材料金戈铁骑整理制作【走向高考】2016届 高三数学一轮基础巩固 第8章 第4节 椭圆 新人教B 版一、选择题 1．(文)(2014·长春模拟)椭圆x2＋4y2＝1的离心率为( ) A.32 B.34 C.22 D.23[答案] A[解析] 先将x2＋4y2＝1化为标准方程x2＋y214＝1，则a ＝1，b ＝12，c ＝a2－b2＝32.离心率e ＝c a ＝32.(理)椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)上任一点到两焦点的距离分别为d1、d2，焦距为2c.若d1,2c ，d2成等差数列，则椭圆的离心率为( ) A.12 B ．22 C.32 D ．34[答案] A[解析] 由椭圆的定义，d1＋d2＝2a ，又由题意得d1＋d2＝4c ，∴2a ＝4c ，∴e ＝c a ＝12.2．(文)已知椭圆x210－m ＋y2m －2＝1，长轴在y 轴上，若焦距为4，则m 等于( )A ．4B ．5C ．7D ．8 [答案] D[分析] 方程表示椭圆时，分母都大于0，又焦点在y 轴上，∴y2项的分母较大，依据焦距为4列方程求解．[解析] 由题意知，m －2>10－m>0，∴6<m<10， ∵焦距为4，∴c2＝4，∴(m －2)－(10－m)＝4， ∴m ＝8.(理)(2013·云南省名校统考)已知k ＜4，则曲线x29＋y24＝1和x29－k ＋y24－k ＝1有( )A ．相同的准线B ．相同的焦点C ．相同的离心率D ．相同的长轴 [答案] B[解析] ∵k<4，∴曲线x29－k ＋y24－k ＝1表示焦点在x 轴上的椭圆，又∵(9－k)－(4－k)＝9－4＝5， ∴两椭圆有相同的焦点．3．(文)已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，且长轴长为12，离心率为13，则椭圆方程为( ) A.x2144＋y2128＝1B ．x236＋y220＝1C.x232＋y236＝1 D ．x236＋y232＝1 [答案] D[解析] 2a ＝12，∴a ＝6，∵e ＝c a ＝13， ∴c ＝2，∴b2＝a2－c2＝32，故选D.(理)(2014·佛山月考)设F1，F2分别是椭圆x24＋y2＝1的左、右焦点，P 是第一象限内该椭圆上的一点，且PF1⊥PF2，则点P 的横坐标为( ) A ．1B ．83C ．2 3D ．263 [答案] D[解析] 由题意知，c2＝a2－b2＝4－1＝3，点P 即为圆x2＋y2＝3与椭圆x24＋y2＝1在第一象限的交点，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x2＋y2＝3，x24＋y2＝1，得点P 的横坐标为263.4．(2014·豫东、豫北十所名校联考)已知椭圆C ：x2a2＋y2b2＝1的左、右焦点分别为F1，F2，P 为椭圆C 上一点，若△F1F2P 为等腰直角三角形，则椭圆C 的离心率为( ) A.22B ．2－1C.2－1或22 D ．24[答案] C[解析] 当∠F1PF2为直角时，P 为椭圆短轴端点，∴b ＝c ，∴c2a2＝12，∴e ＝22；当∠F1F2P 或∠F2F1P 为直角时，b2a ＝2c ，∴b2＝2ac ，∴a2－c2＝2ac ，∴e2＋2e －1＝0，∴e ＝2－1.5．(文)已知圆(x ＋2)2＋y2＝36的圆心为M ，设A 为圆上任一点，N(2,0)，线段AN 的垂直平分线交MA 于点P ，则动点P 的轨迹是( ) A ．圆 B ．椭圆 C ．双曲线 D ．抛物线 [答案] B[解析] 点P 在线段AN 的垂直平分线上，故|PA|＝|PN|，又AM 是圆的半径， ∴|PM|＋|PN|＝|PM|＋|PA|＝|AM|＝6>|MN|，由椭圆定义知，P 的轨迹是椭圆．(理)P 为椭圆x24＋y23＝1上一点，F1、F2为该椭圆的两个焦点，若∠F1PF2＝60°，则PF1→·PF2→等于( )A ．3B ．3C ．2 3D ．2 [答案] D[解析] 由题意可得|F1F2|＝2，|PF1|＋|PF2|＝4， |F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|·cos60° ＝(|PF1|＋|PF2|)2－3|PF1||PF2|，所以4＝42－3|PF1||PF2|，|PF1||PF2|＝4， PF1→·PF2→＝|PF1→||PF2→|·cos60°＝4×12＝2，故选D.6．(2014·豫东、豫北十所名校联考)已知F1(－3,0)，F2(3,0)是椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)两个焦点，P 在椭圆上，∠F1PF2＝α，且当α＝2π3时，△F1PF2的面积最大，则椭圆的标准方程为( ) A.x212＋y23＝1 B ．x214＋y25＝1 C.x215＋y26＝1 D ．x216＋y27＝1[答案] A[解析] ∵|F1F2|为定值，∴当P 在短轴端点时，S △F1PF2最大， ∵∠F1PF2＝2π3，∴∠PF1F2＝π6，∴tan π6＝bc ，∵c ＝3，∴b ＝3，∴a2＝b2＋c2＝12，椭圆方程为x212＋y23＝1. 二、填空题7．(文)已知1m ＋2n ＝1(m>0，n>0)，则当mn 取得最小值时，椭圆x2m2＋y2n2＝1的离心率是________． [答案] 32[解析] ∵m>0，n>0 ∴1＝1m ＋2n ≥22mn ，∴mn≥8，当且仅当1m ＝2n ，即n ＝2m 时等号成立，由⎩⎪⎨⎪⎧n ＝2m ，mn ＝8，解得m ＝2，n ＝4. 即当m ＝2，n ＝4时，mn 取得最小值8， ∴离心率e ＝n2－m2n ＝32.(理)已知实数k 使函数y ＝coskx 的周期不小于2，则方程x23＋y2k ＝1表示椭圆的概率为________． [答案] 12[解析] 由条件2π|k|≥2，∴－π≤k≤π，当0<k≤π且k≠3时，方程x23＋y2k ＝1表示椭圆， ∴概率P ＝12.8．(2014·辽宁理，15)已知椭圆C ：x29＋y24＝1，点M 与C 的焦点不重合．若M 关于C 的焦点的对称点分别为A 、B ，线段MN 的中点在C 上，则|AN|＋|BN|＝________. [答案] 12 [解析] 如图．设MN 与椭圆的交点为D ，由中位线定理． |AN|＋|BN|＝2(|DF1|＋|DF2|)由椭圆的定义知|DF1|＋|DF2|＝2a ＝6. ∴|AN|＋|BN|＝12.9．(2014·山东济南二模)若椭圆C1：x2a21＋y2b21＝1(a1>b1>0)和椭圆C2：x2a22＋y2b22＝1(a2>b2>0)的焦点相同且a1>a2.给出以下四个结论：①椭圆C1和椭圆C2一定没有公共点；②a1a2>b1b2；③a21－a22＝b21－b22；④a1－a2<b1－b2. 其中，所有正确结论的序号是________． [答案] ①③④[解析] 由于两椭圆焦点相同，且a1>a2，故b1>b2，因此两椭圆必无公共点，即命题①为真命题；又由于两椭圆焦点相同，a1>a2，a21b22＝a21(a22－c2)<a22(a21－c2)＝a22b21，故a1a2<b1b2，即命题②为假命题；由焦点相同得a21－b21＝a22－b22，故a21－a22＝b21－b22，即命题③为真命题；因为a21－a22＝b21－b22，即(a1－a2)(a1＋a2)＝(b1－b2)(b1＋b2)⇒a1－a2b1－b2＝b1＋b2a1＋a2<1，故有a1－a2<b1－b2，即命题④为真命题，综上①③④为真命题． 三、解答题10．(文)(2013·福建四地联考)已知椭圆C ：x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的焦距为26，椭圆C 上任意一点到椭圆两个焦点的距离之和为6. (1)求椭圆C 的方程；(2)设直线l ：y ＝kx －2与椭圆C 交于A 、B 两点，点P(0,1)，且|PA|＝|PB|，求直线l 的方程． [解析] (1)由已知得2a ＝6,2c ＝26，解得a ＝3，c ＝6，∴b2＝a2－c2＝3，∴椭圆C 的方程为x29＋y23＝1. (2)由⎩⎪⎨⎪⎧x29＋y23＝1，y ＝kx －2，消去y 得(1＋3k2)x2－12kx ＋3＝0，∵直线与椭圆有两个不同的交点， ∴Δ＝144k2－12(1＋3k2)>0，解得k2>19. 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝12k 1＋3k2，x1x2＝31＋3k2，∴y1＋y2＝k(x1＋x2)－4＝k·12k 1＋3k2－4＝－41＋3k2，∴AB 中点坐标E(6k 1＋3k2，－21＋3k2)，∵|PA|＝|PB|，∴PE ⊥AB ，kPE·kAB ＝－1， ∴－21＋3k2－16k1＋3k2·k ＝－1，解得k ＝±1. 经检验，符合题意，所以直线l 的方程为x －y －2＝0或x ＋y ＋2＝0.(理)已知椭圆G ：x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的离心率为63，右焦点为(22，0)，斜率为1的直线l 与椭圆G 交于A ，B 两点，以AB 为底边作等腰三角形，顶点为P(－3,2)． (1)求椭圆G 的方程； (2)求△PAB 的面积．[解析] (1)由已知得，c ＝22，c a ＝63， 解得a ＝23，又b2＝a2－c2＝4，所以椭圆G 的方程为x212＋y24＝1. (2)设直线l 的方程为y ＝x ＋m ，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋m ，x212＋y24＝1，得4x2＋6mx ＋3m2－12＝0.①设A 、B 的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)(x1<x2)，AB 中点为E(x0，y0)，则 x0＝x1＋x22＝－3m 4， y0＝x0＋m ＝m4.因为AB 是等腰△PAB 的底边，所以PE ⊥AB ，所以PE 的斜率k ＝2－m 4－3＋3m 4＝－1.解得m ＝2，此时方程①为4x2＋12x ＝0， 解得x1＝－3，x2＝0，所以y1＝－1，y2＝2，所以|AB|＝32，此时，点P(－3,2)到直线AB ：x －y ＋2＝0的距离d ＝|－3－2＋2|2＝322，所以△PAB 的面积S ＝12|AB|·d ＝92.一、选择题11．若直线mx ＋ny ＝4和圆x2＋y2＝4没有交点，则过点(m ，n)的直线与椭圆x29＋y24＝1的交点个数为( )A ．至多一个B ．2个C ．1个D ．0个 [答案] B[解析] ∵直线与圆无交点，∴4m2＋n2>2，∴m2＋n2<4，∴点(m ，n)在圆内，又圆在椭圆内，∴点(m ，n)在椭圆内，故过点(m ，n)的直线与椭圆有两个交点．12．椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的左顶点为A ，左、右焦点分别为F1、F2，D 是它短轴上的一个顶点，若2DF1→＝DA →＋DF2→，则该椭圆的离心率为( ) A.12 B ．13 C.14 D ．15 [答案] B[解析] 由2DF1→＝DA →＋DF2→知F1是AF2的中点， ∴a －c ＝2c ，∴a ＝3c ，e ＝13.13．(2014·湖南六校联考)已知F1，F2分别是椭圆x24＋y23＝1的左、右焦点，A 是椭圆上一动点，圆C 与F1A 的延长线、F1F2的延长线以及线段AF2相切，若M(t,0)为一个切点，则( ) A ．t ＝2 B ．t>2 C ．t<2D ．t 与2的大小关系不确定 [答案] A[解析] 如图，P ，Q 分别是圆C 与F1A 的延长线、线段AF2相切的切点，|MF2|＝|F2Q|＝2a －(|F1A|＋|AQ|)＝2a －|F1P|＝2a －|F1M|，即|F1M|＋|MF2|＝2a ，所以t ＝a ＝2.故选A.14．(文)(2014·陕西西工大附中适应性训练)已知椭圆C ：x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的左焦点为F ，C 与过原点的直线相交于A ，B 两点，连线AF ，BF ，若|AB|＝10，|AF|＝6，cos ∠ABF ＝45，则椭圆C 的离心率e 为( ) A.57 B ．45 C.47 D ．56 [答案] A[解析] 在△ABF 中，由|AB|＝10，|AF|＝6，cos ∠ABF ＝45，得|BF|＝8，设椭圆的右焦点为E ，由对称性知，|AE|＝8，且△AEF 为直角三角形，|EF|＝10，∴2a ＝|AF|＋|AE|＝14.∴e ＝2c2a ＝1014＝57.(理)(2014·包头三十三中期末)已知椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1(－c,0)，F2(c,0)，若椭圆上存在点P 使a sin ∠PF1F2＝c sin ∠PF2F1，则该椭圆的离心率的取值范围为( )A ．(0，2－1)B ．(22，1)C ．(0，22) D ．(2－1,1) [答案] D[解析] 根据正弦定理得|PF2|sin ∠PF1F2＝|PF1|sin ∠PF2F1，所以由a sin ∠PF1F2＝c sin ∠PF2F1可得a|PF2|＝c |PF1|，即|PF1||PF2|＝ca ＝e ，所以|PF1|＝e|PF2|.又|PF1|＋|PF2|＝e|PF2|＋|PF2|＝|PF2|·(e ＋1)＝2a ，即|PF2|＝2a e ＋1.因为a －c<|PF2|<a ＋c(不等式两边不能取等号，否则分式中的分母为0，无意义)，所以a －c<2a e ＋1<a ＋c ，即1－c a <2e ＋1<1＋c a ，所以1－e<2e ＋1<1＋e ，即⎩⎪⎨⎪⎧1－e 1＋e <2，2<1＋e 2，所以⎩⎨⎧1－e2<2，2<1＋e ，解得e>2－1.又因为e<1，所以2－1<e<1，即e∈(2－1,1)，选D. 二、填空题15．(2013·兰州名校检测)已知椭圆C ：x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1、F2，离心率为e.直线l ：y ＝ex ＋a 与x 轴、y 轴分别交于点A 、B ，M 是直线l 与椭圆C 的一个公共点，设AM →＝eAB →，则该椭圆的离心率e ＝________. [答案]5－12[解析] 因为点A 、B 分别是直线l ：y ＝ex ＋a 与x 轴、y 轴的交点，所以点A 、B 的坐标分别是(－ae ，0)、(0，a)．设点M 的坐标是(x0，y0)， 由|AM|＝e|AB|，得⎩⎪⎨⎪⎧x0＝a e e －1，y0＝ea.因为点M 在椭圆上，所以x20a2＋y20b2＝1，将(*)式代入，得e －12e2＋e2a2b2＝1，整理得，e2＋e－1＝0，解得e ＝5－12.16．直线l ：x －y ＝0与椭圆x22＋y2＝1相交A 、B 两点，点C 是椭圆上的动点，则△ABC 面积的最大值为________．[答案] 2[解析] 设与l 平行的直线方程为x －y ＋a ＝0，当此直线与椭圆的切点为C 时，△ABC 的面积最大，将y ＝x ＋a 代入x22＋y2＝1中整理得，3x2＋4ax ＋2(a2－1)＝0，由Δ＝16a2－24(a2－1)＝0得，a ＝±3，两平行直线x －y ＝0与x －y ＋3＝0的距离d ＝62，将y ＝x 代入x22＋y2＝1中得，x1＝－63，x2＝63，∴|AB|＝1＋1|63－(－63)|＝433， ∴S △ABC ＝12|AB|·d ＝12×433×62＝ 2. 三、解答题17．(文)(2014·安徽合肥三校联考)已知椭圆的中心在原点，焦点在x 轴上，离心率为22，且椭圆经过圆C ：x2＋y2－4x ＋22y ＝0的圆心C. (1)求椭圆C 的方程；(2)设直线l 过椭圆的焦点且与圆C 相切，求直线l 的方程． [解析] (1)圆C 方程化为(x －2)2＋(y ＋2)2＝6， 圆心C(2，－2)，半径r ＝ 6.设椭圆的方程为x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)，则⎩⎪⎨⎪⎧4a2＋2b2＝1，1－b a 2＝222，所以⎩⎪⎨⎪⎧a2＝8，b2＝4.所以所求椭圆的方程是x28＋y24＝1.(2)由(1)得椭圆的左、右焦点分别是F1(－2,0)，F2(2,0)， ∵|F2C|＝2－22＋0＋22＝2< 6.∴F2在圆C 内，故过F2没有圆C 的切线． 设l 的方程为y ＝k(x ＋2)，即kx －y ＋2k ＝0，点C(2，－2)到直线l 的距离为d ＝|2k ＋2＋2k|1＋k2＝6，化简得5k2＋42k －2＝0，解得k ＝25或k ＝－ 2.故l 的方程为2x －5y ＋22＝0或2x ＋y ＋22＝0.(理)(2014·安徽“江南十校”联考)已知椭圆Γ：x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的右焦点为F ，椭圆的上顶点和两焦点连线构成等边三角形且面积为 3. (1)求椭圆Γ的标准方程；(2)若直线l ：x ＝my ＋q(m≠0)与椭圆Γ交于不同的两点A ，B ，设点A 关于椭圆长轴的对称点为A1，试求A1，F ，B 三点共线的充要条件．[解析] (1)设椭圆Γ的标准方程是x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)． 由题意知a ＝2c ，bc ＝3，所以a ＝2，b ＝3，椭圆Γ的标准方程是x24＋y23＝1.(2)联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ＋q ，x24＋y23＝1⇒(3m2＋4)y2＋6mqy ＋(3q2－12)＝0，由Δ＝12[3m2q2－(3m2＋4)(q2－4)]＝48(3m2＋4－q2)>0，得3m2＋4－q2>0.① 记A(x1，y1)，B(x2，y2)，则A1(x1，－y1)，y1＋y2＝－6mq 3m2＋4，y1y2＝3q2－123m2＋4，因为F(1,0)，所以FA1→＝(x1－1，－y1)，FB →＝(x2－1，y2)， 故A1，F ，B 三点共线，∴FA1→∥FB →， ∴(x1－1)y2－(x2－1)(－y1)＝(my1＋q －1)y2＋(my2＋q －1)y1 ＝2my1y2＋(q －1)(y1＋y2) ＝2m·3q2－123m2＋4＋(q －1)·－6mq 3m2＋4＝6m q －43m2＋4＝0⇔q ＝4(m≠0)，②由①②知A1，F ，B 三点共线的充要条件是|m|>2，且q ＝4.18．(文)(2015·石家庄五校联考)已知椭圆的两个焦点坐标分别是(－2，0)，(2，0)，并且经过点(22，306)．(1)求椭圆的标准方程；(2)若斜率为k 的直线l 经过点(0，－2)，且与椭圆交于不同的两点A ，B ，求△OAB 面积的最大值．[解析] (1)设椭圆的标准方程为x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)， 由椭圆的定义可得，2a ＝22＋22＋3062＋22－22＋3062＝2 3. ∴a ＝ 3.又c ＝2，∴b ＝1，故椭圆的标准方程为x23＋y2＝1.(2)设直线l 的方程为y ＝kx －2，由⎩⎪⎨⎪⎧ x23＋y2＝1，y ＝kx －2，消去y 得，(1＋3k2)x2－12kx ＋9＝0， 依题意Δ＝36k2－36>0，∴k2>1，(*)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝12k 1＋3k2，x1x2＝91＋3k2， ∴|AB|＝1＋k2|x1－x2| ＝1＋k2·12k 1＋3k22－361＋3k2＝1＋k2×6k2－11＋3k2， 由点到直线的距离公式得d ＝21＋k2， ∴S △OAB ＝12×1＋k2×6k2－11＋3k2×21＋k2＝6k2－11＋3k2. 设k2－1＝t(t>0)，则k2＝t2＋1， ∴S △OAB ＝6×t 1＋3t2＋1＝6t 3t2＋4＝63t ＋4t ≤32， 当且仅当t ＝233时，上式取等号，所以，△OAB 面积的最大值为32. (理)(2014·新课标全国Ⅰ理)已知点A(0，－2)，椭圆E ：x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的离心率为32，F 是椭圆E 的右焦点，直线AF 的斜率为233，O 为坐标原点．(1)求E 的方程；(2)设过点A 的动直线l 与E 相交于P ，Q 两点，当△OPQ 的面积最大时，求l 的方程．[分析] (1)由过A(0，－2)，F(c,0)的直线AF 的斜率为233或过两点的直线斜率公式可求c ，再由e ＝c a ＝32，可求a ，由b2＝a2－c2可求出b2，则椭圆E 的方程可求．(2)由题意知动直线l 的斜率存在，故可设其斜率为k ，写出直线方程，并与椭圆方程联立，消去y ，整理成关于x 的一元二次方程，利用弦长公式求出弦PQ 的长|PQ|，利用点到直线的公式求出点O 到直线PQ 的距离d ，则由S △OPQ ＝12|PQ|·d ，可将S △OPQ 表示成关于k 的函数，转化为求函数f(k)的最大值问题．注意k 应使得一元二次方程的判别式大于0.[解析] (1)设F(c,0)，由条件知，2c ＝233，得c ＝ 3.又c a ＝32，所以a ＝2，b2＝a2－c2＝1.故E 的方程为x24＋y2＝1.(2)当l ⊥x 轴时不合题意，故设l ：y ＝kx －2，P(x1，y1)，Q(x2，y2)．将y ＝kx －2代入x24＋y2＝1中消去y 得，(1＋4k2)x2－16kx ＋12＝0.当Δ＝16(4k2－3)>0，即k2>34时，x1,2＝8k±24k2－34k2＋1， 从而|PQ|＝k2＋1|x1－x2|＝k2＋1·44k2－34k2＋1. 又点O 到直线PQ 的距离d ＝2k2＋1，所以△OPQ 的面积S △OPQ ＝12d·|PQ|＝44k2－34k2＋1. 设4k2－3＝t ，则t>0，S △OPQ ＝4t t2＋4＝4t ＋4t . 因为t ＋4t ≥4，当且仅当t ＝2，即k ＝±72时等号成立，且满足Δ>0. 所以，当△OPQ 的面积最大时，l 的方程为y ＝72x －2或y ＝－72x －2.。
【走向高考】2021届高考数学一轮总温习 8-4椭圆课后强化作业 新人教A版(1)
【走向高考】2021届高考数学一轮总温习 8-4椭圆课后强化作业 新人教A 版基础巩固强化一、选择题1．(文)设P 是椭圆x 225＋y 216＝1上的点，假设F 1、F 2是椭圆的两个核心，那么|PF 1|＋|PF 2|等于( )A ．4B ．5C ．8D ．10[答案] D[解析] ∵a 2＝25，∴a ＝5，∴|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝10.(理)椭圆x 216＋y 27＝1的左、右核心别离为F 1、F 2，一直线过F 1交椭圆于A 、B 两点，那么△ABF 2的周长为( )A ．32B ．16C ．8D ．4 [答案] B[解析] 由题设条件知△ABF 2的周长为|AF 1|＋|AF 2|＋|BF 1|＋|BF 2|＝4a ＝16.2．(文)(2021·丽水模拟)假设P 是以F 1、F 2为核心的椭圆x 2a2＋y 2b 2＝1(a >b >0)上的一点，且PF 1→·PF 2→＝0，tan∠PF 1F 2＝12，那么此椭圆的离心率为( )A.53B.23 C.13 D.12[答案] A[解析] 在Rt △PF 1F 2中，不妨设|PF 2|＝1，那么|PF 1|＝2.|F 1F 2|＝5，∴e ＝2c2a ＝53.(理)设圆锥曲线Γ的两个核心别离为F 1、F 2，假设曲线Γ上存在点P 知足|PF 1|:|F 1F 2|:|PF 2|＝4:3:2，那么曲线Γ的离心率等于( )A.12或32B.23或2C.12或2 D.23或32[答案] A[解析] 设|PF 1|＝4t ，|F 1F 2|＝3t ，|PF 2|＝2t (t >0)， 若Γ为椭圆，那么离心率为e ＝3t 6t ＝12，若Γ为双曲线，那么离心率为3t 2t ＝32.3．(2021·浙江绍兴一模)椭圆x 225＋y 29＝1上一点M 到核心F 1的距离为2，N 是MF 1的中点，那么|ON |等于( )A ．2B ．4C ．8 D.32[答案] B[解析] 连接MF 2.已知|MF 1|＝2，又|MF 1|＋|MF 2|＝10，∴|MF 2|＝10－|MF 1|＝8. 如图，|ON |＝12|MF 2|＝4.应选B.4．(2021·新课标Ⅰ理，10)已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的右核心为F (3,0)，过点F 的直线交椭圆于A 、B 两点．假设AB 的中点坐标为(1，－1)，那么E 的方程为( )A.x 245＋y 236＝1 B.x 236＋y 227＝1 C.x 227＋y 218＝1 D.x 218＋y 29＝1 [答案] D[解析] 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， ∵A 、B 在椭圆上，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 21a 2＋y 21b 2＝1，x 22a 2＋y 22b 2＝1.两式相减得，x 21－x 22a 2＝y 22－y 21b 2，即x 1－x 2x 1＋x 2a 2＝y 2－y 1y 2＋y 1b 2，∵AB 的中点为(1，－1)，∴x 1＋x 2＝2，y 1＋y 2＝－2， ∴k ＝y 2－y 1x 2－x 1＝b 2a 2，又∵k ＝－1－01－3＝12，∴b 2a 2＝12，又∵c 2＝a 2－b 2＝2b 2－b 2＝b 2，c 2＝9，∴b 2＝9，a 2＝18， ∴椭圆E 的标准方程为x 218＋y 29＝1，应选D.5．(文)假设椭圆的中心在原点，核心在x 轴上，长轴长为18，且两个核心恰好将长轴三等分，那么此椭圆的方程是( )A.x 281＋y 272＝1 B.x 281＋y 29＝1 C.x 281＋y 245＝1 D.x 281＋y 236＝1 [答案] A[解析] 依题意知：2a ＝18，∴a ＝9,2c ＝13×2a ，∴c ＝3，∴b 2＝a 2－c 2＝81－9＝72，∴椭圆方程为x 281＋y 272＝1.(理)(2021·烟台质检)一个椭圆中心在原点，核心F 1，F 2在x 轴上，P (2，3)是椭圆上一点，且|PF 1|，|F 1F 2|，|PF 2|成等差数列，那么椭圆方程为( )A.x 28＋y 26＝1B.x 216＋y 26＝1 C.x 28＋y 24＝1 D.x 216＋y 24＝1[答案] A[解析] 设椭圆的标准方程为x 2a2＋y 2b2＝1(a >b >0)．由点(2，3)在椭圆上知4a 2＋3b2＝1.又|PF 1|，|F 1F 2|，|PF 2|成等差数列，那么|PF 1|＋|PF 2|＝2|F 1F 2|，即2a ＝2·2c ，c a ＝12，又c 2＝a 2－b 2，联立得a 2＝8，b 2＝6.6．椭圆x 2100＋y 264＝1的核心为F 1、F 2，椭圆上的点P 知足∠F 1PF 2＝60°，那么△F 1PF 2的面积是( )A.6433B.9133C.1633D.643[答案] A[解析] 由余弦定理：|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1|·|PF 2|·cos60°＝|F 1F 2|2. 又|PF 1|＋|PF 2|＝20，代入化简得|PF 1|·|PF 2|＝2563，∴S △F 1PF 2＝12|PF 1|·|PF 2|·sin60°＝6433.二、填空题7．(文)设F 1、F 2别离是椭圆x 225＋y 216＝1的左、右核心，P 为椭圆上一点，M 是F 1P 的中点，|OM |＝3，那么P 点到椭圆左核心距离为________．[答案] 4[解析] |OM |＝3，|PF 2|＝6， 又|PF 1|＋|PF 2|＝10，∴|PF 1|＝4. (理)(2021·池州二模)已知点M (3，0)，椭圆x 24＋y 2＝1与直线y ＝k (x ＋3)交于点A 、B ，那么△ABM 的周长为________．[答案] 8 [解析] M (3，0)与F (－3，0)是椭圆的核心，那么直线AB 过椭圆左核心F (－3，0)，且|AB |＝|AF |＋|BF |，△ABM 的周长等于|AB |＋|AM |＋|BM |＝(|AF |＋|AM |)＋(|BF |＋|BM |)＝4a ＝8.8．假设方程x 2sin2α－y 2cos α＝1表示核心在y 轴上的椭圆，那么α的取值范围是________．[答案] ⎝⎛⎭⎪⎫2k π＋7π6，2k π＋3π2，k ∈Z [解析]依照题意知，⎩⎪⎨⎪⎧－1cos α>1sin2α，cos α<0，sin2α>0.化简得，⎩⎪⎨⎪⎧－1≤sin α<－12，cos α<0.解得α∈⎝⎛⎭⎪⎫2k π＋76π，2k π＋32π(k ∈Z )．9．已知椭圆M ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >0，b >0)的面积为πab ，M 包括于平面区域Ω：⎩⎪⎨⎪⎧|x |≤2，|y |≤ 3.内，向Ω内随机投一点Q ，点Q 落在椭圆M 内的概率为π4，那么椭圆M 的方程为________．[答案]x 24＋y 23＝1 [解析] 平面区域Ω：⎩⎪⎨⎪⎧|x |≤2，|y |≤ 3.是一个矩形区域，如下图，依题意及几何概型，可得πab83＝π4，即ab ＝2 3.因为0<a ≤2,0<b ≤3，因此a ＝2，b ＝3.因此，椭圆M 的方程为x 24＋y 23＝1.三、解答题10．椭圆的两核心坐标别离为F 1(－3，0)，F 2(3，0)，且椭圆过点M (1，－32)．(1)求椭圆方程；(2)过点N (－65，0)作不与y 轴垂直的直线l 交该椭圆于P 、Q 两点，A 为椭圆的左极点，试判定∠PAQ 的大小是不是为定值，并说明理由．[解析] (1)设椭圆的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，由题意c ＝3，且椭圆过点M (1，－32)，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2－b 2＝3，1a 2＋34b 2＝1.⇒⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，b 2＝1.∴椭圆方程为x 24＋y 2＝1.(2)设直线PQ ：x ＝ty －65，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ty －65，x 24＋y 2＝1.消去x 得，(t 2＋4)y 2－125ty －6425＝0， 设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，∴y 1y 2＝－6425t 2＋4，y 1＋y 2＝12t5t 2＋4，又A (－2,0)， ∴AP →·AQ →＝(x 1＋2，y 1)·(x 2＋2，y 2)＝(x 1＋2)(x 2＋2)＋y 1y 2＝(ty 1＋45)(ty 2＋45)＋y 1y 2＝(t 2＋1)y1y 2＋45t (y 1＋y 2)＋1625＝0，∴∠PAQ ＝π2(定值).能力拓展提升 一、选择题11．(2021·荆州市质检)假设椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率e ＝12，右核心为F (c,0)，方程ax 2＋2bx ＋c＝0的两个实数根别离是x 1和x 2，那么点P (x 1，x 2)到原点的距离为( )A.2B.72 C ．2 D.74[答案] A[解析] 因为e ＝c a ＝12，因此a ＝2c ，由a 2＝b 2＋c 2，得b a ＝32，x 1＋x 2＝－2ba＝－3，x 1x 2＝c a ＝12，点P (x 1，x 2)到原点(0,0)的距离d ＝x 21＋x 22＝x 1＋x 22－2x 1x 2＝ 2.12．(文)假设一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，那么该椭圆的离心率是( ) A.45 B.35 C.25 D.15[答案] B[分析] 要求离心率e ＝ca，先由条件成立a 、b 、c 的方程，利用a 2＝b 2＋c 2消去b ，两边同除以a 2即可化为e 的方程．[解析]由题意得：4b ＝2(a ＋c )⇒4b 2＝(a ＋c )2⇒3a 2－2ac －5c 2＝0⇒5e 2＋2e －3＝0⇒e ＝35或e ＝－1(舍)，应选B.(理)(2021·全国大纲理，8)椭圆C ：x 24＋y 23＝1的左、右极点别离为A 1、A 2，点P 在C 上且直线PA 2斜率的取值范围是[－2，－1]，那么直线PA 1斜率的取值范围是( )A ．[12，34]B ．[38，34]C ．[12，1]D ．[34，1][答案] B [解析]如图：A 1(－2,0)，A 2(2,0)直线A 2M 的方程为y ＝－(x －2)，即y ＝2－x ，代入椭圆方程x 24＋y 23＝1中消去y 得，7x 2－16x ＋4＝0，∴2＋x ＝167，∴x ＝27，∴M 点坐标为(27，127)．同理可得N 点坐标为(2619，2419)∵kA 1M ＝12727＋2＝34，kA 1N ＝24192619＋2＝38，∴直线PA 1斜率的取值范围是[38，34]．[解法探讨] 点P 在椭圆C 上运动，PA 2的斜率取值已知，求PA 1的斜率的取值范围，假设能找到kPA 1与kPA 2的关系，那么解答更简便．由条件知，A 1(－2,0)，A 2(2,0)， 设P 点坐标为(x 0，y 0)，那么x 204＋y 203＝1，kPA 2＝y 0x 0－2，kPA 1＝y 0x 0＋2，于是kPA 1·kPA 2＝y 20x 20－22＝3－34x 20x 20－4＝－34.∴kPA 1＝3－4kPA 2，∵－2≤kPA 2≤－1，∴4≤－4kPA 2≤8，∴38≤kPA 1≤34.13．(文)已知椭圆C 1：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)与双曲线C 2：x 2－y 24＝1有公共的核心，C 2的一条渐近线与以C 1的长轴为直径的圆相交于A 、B 两点，假设C 1恰好将线段AB 三等分，那么( )A ．a 2＝132 B ．a 2＝13C ．b 2＝12D ．b 2＝2[答案] C [解析]由已知双曲线渐近线为y ＝±2x .圆方程为x 2＋y 2＝a 2，那么|AB |＝2a .不妨取y ＝2x 与椭圆交于P 、Q 两点，且P 在x 轴上方，那么由已知|PQ |＝13|AB |＝2a 3，∴|OP |＝a 3.那么点P 坐标为(5a 15，25a15)，又∵点P 在椭圆上，∴5a 2225a 2＋20a 2225b2＝1.①又∵a 2－b 2＝5，∴b 2＝a 2－5.②，解①②得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝112，b 2＝12.应选C. (理)设F 是椭圆x 225＋y 216＝1的左核心，且椭圆上有2020个不同的点P i (x i ，y i )(i ＝1,2,3，…，2020)，且线段|FP 1|，|FP 2|，|FP 3|，…，|FP 2020|的长度成等差数列，假设|FP 1|＝2，|FP 2020|＝8，那么点P 2020的横坐标为( )A.20082011B.1005201C.1004201D.53667[答案] C[解析] ∵椭圆x 225＋y 216＝1，∴F (－3,0)，由|FP 1|＝2＝a －c ，|FP 2020|＝8＝a ＋c ，可知点P 1为椭圆的左极点，P 2020为椭圆的右极点，即x 1＝－5，x 2020＝5＝－5＋2020d ，∴d ＝1201，那么数列{x i }是以－5为首项，1201为公差的等差数列，∴x 2020＝－5＋2020×1201＝1004201.二、填空题14．(文)若是AB 是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1的任意一条与x 轴不垂直的弦，O 为椭圆的中心，e 为椭圆的离心率，M 为AB 的中点，那么k AB ·k OM 的值为________．[答案] e 2－1[解析] 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，中点M (x 0，y 0)， 由点差法，x 21a 2＋y 21b 2＝1，x 22a 2＋y 22b 2＝1，作差得x 1－x 2x 1＋x 2a 2＝y 2－y 1y 2＋y 1b 2，∴k AB ·k OM ＝y 2－y 1x 2－x 1·y 1＋y 2x 1＋x 2＝－b 2a 2＝c 2－a 2a 2＝e 2－1.(理)以椭圆的右核心F 2为圆心的圆恰好于椭圆的中心，交椭圆于点M 、N ，椭圆的左核心为F 1，且直线MF 1与此圆相切，那么椭圆的离心率e 等于________．[答案]3－1[解析] 由题意知，MF 1⊥MF 2，|MF 2|＝|OF 2|＝c ， 又|F 1F 2|＝2c ，∴|MF 1|＝3c ，由椭圆的概念，|MF 1|＋|MF 2|＝2a ， ∴3c ＋c ＝2a ，∴e ＝ca＝3－1.15．(2021·苏北四市联考)已知两定点M (－1,0)，N (1,0)，假设直线上存在点P ，使|PM |＋|PN |＝4，那么该直线为“A 型直线”．给出以下直线，其中是“A 型直线”的是________(填序号)．①y ＝x ＋1；②y ＝2；③y ＝－x ＋3；④y ＝－2x ＋3.[答案] ①④[解析] 由题意可知，点P 的轨迹是以M ，N 为核心的椭圆，其方程是x 24＋y 23＝1， ①把y ＝x ＋1代入x 24＋y 23＝1并整理得，7x 2＋8x －8＝0， ∵Δ＝82－4×7×(－8)>0，直线与椭圆有两个交点，∴y ＝x ＋1是“A 型直线”．②把y ＝2代入x 24＋y 23＝1，得x 24＝－13不成立，直线与椭圆无交点，∴y ＝2不是“A 型直线”． ③把y ＝－x ＋3代入x 24＋y 23＝1并整理得，7x 2－24x ＋24＝0，Δ＝(－24)2－4×7×24<0，∴y ＝－x ＋3不是“A 型直线”．④把y ＝－2x ＋3代入x 24＋y 23＝1并整理得，19x 2－48x ＋24＝0，∵Δ＝(－48)2－4×19×24>0，∴y ＝－2x ＋3是“A 型直线”．三、解答题16．(文)(2021·广东文，20)在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C 1：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左核心为F 1(－1,0)，且点P (0,1)在C 1上．(1)求椭圆C 1的方程；(2)设直线l 同时与椭圆C 1和抛物线C 2：y 2＝4x 相切，求直线l 的方程．[解析] (1)因为椭圆C 1的左核心为F 1(－1,0)，因此c ＝1，将点P (0,1)代入椭圆方程x 2a 2＋y 2b 2＝1，得1b 2＝1，即b 2＝1，因此a 2＝b 2＋c 2＝2，因此椭圆C 1的方程为x 22＋y 2＝1. (2)直线l 的斜率显然存在，设直线l 的方程为y ＝kx ＋m ，由⎩⎪⎨⎪⎧ x 22＋y 2＝1，y ＝kx ＋m ，消去y 并整理得，(1＋2k 2)x 2＋4kmx ＋2m 2－2＝0，因为直线l 与椭圆C 1相切，因此Δ1＝16k 2m 2－4(1＋2k 2)(2m 2－2)＝0整理得2k 2－m 2＋1＝0，①由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x ，y ＝kx ＋m ，消去y 并整理得， k 2x 2＋(2km －4)x ＋m 2＝0，因为直线l 与抛物线C 2相切，因此Δ2＝(2km －4)2－4k 2m 2＝0，整理得km ＝1，② 综合①②，解得⎩⎪⎨⎪⎧ k ＝22，m ＝2，或⎩⎪⎨⎪⎧ k ＝－22，m ＝－ 2.因此直线l 的方程为y ＝22x ＋2或y ＝－22x － 2.(理)已知椭圆C 的中心在原点，一个核心F (－2,0)，且长轴长与短轴长的比是23. (1)求椭圆C 的方程；(2)设点M (m,0)在椭圆C 的长轴上，点P 是椭圆上任意一点．当|MP →|最小时，点P 恰好落在椭圆的右极点，求实数m 的取值范围．[解析] (1)设椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，由题意⎩⎪⎨⎪⎧ a 2＝b 2＋c 2，a b ＝23，c ＝2.解得a 2＝16，b 2＝12.因此椭圆C 的方程为x 216＋y 212＝1. (2)设P (x ，y )为椭圆上的动点，由于椭圆方程为x 216＋y 212＝1，故－4≤x ≤4. 因为MP →＝(x －m ，y )，因此|MP →|2＝(x －m )2＋y 2＝(x －m )2＋12×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 216. ＝14x 2－2mx ＋m 2＋12＝14(x －4m )2＋12－3m 2. 因为当|MP →|最小时，点P 恰好落在椭圆的右极点，即当x ＝4时，|MP →|2取得最小值．而x ∈[－4,4]，故有4m ≥4，解得m ≥1.又点M 在椭圆的长轴上，即－4≤m ≤4.故实数m 的取值范围是m ∈[1,4]．考纲要求1．把握椭圆的概念、几何图形、标准方程及简单性质．2．了解圆锥曲线的简单应用．3．明白得数形结合的思想．补充说明1．求椭圆的方程要紧有概念法和待定系数法，运用待定系数法求方程时，当椭圆的核心位置不明确而无法确信其标准方程时，设方程为x 2m ＋y 2n＝1(m >0，n >0)，能够幸免讨论和繁琐的计算，也能够设为Ax 2＋By 2＝1(A >0，B >0)，这种形式在求解过两定点的椭圆方程时更简便．2．用待定系数法求椭圆标准方程的一样步骤：(1)作判定：依照条件判定椭圆的核心在x 轴上仍是在y 轴上，仍是两个坐标轴都有可能；(2)设方程：依照上述判定设方程x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)或y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)，当椭圆核心位置不肯按时，可设为mx 2＋ny 2＝1(m >0，n >0，m ≠n )；(3)找关系：依照已知条件，成立方程组；(4)写出标准方程：解方程组，将解代入所设方程，即为所求．3．函数与方程的思想(1)在圆锥曲线的一些求取值范围及最值的问题中，常将所求量表达为其他量的函数，运用函数的方式解决．(2)求圆锥曲线方程时，往往是已知曲线形状特点或由已知条件可分析其几何特点，确信形状，设出其标准方程，然后设法列出关于待定系数的方程或方程组求待定系数．要注意解题进程中，设而不求、整体处置的策略和适当运用一元二次方程根与系数的关系求解．4．核心三角形问题椭圆的一条核心弦和另一核心围成一个三角形．适应上称为核心三角形，在核心三角形中命制题目是常见命题方式，解决核心三角形问题常常从以下几个方面入手：①概念；②正、余弦定理；③三角形面积．5．求椭圆的离心率时，常常要列出a 、b 、c 的一个齐次方程，结合b 2＝a 2－c 2，两边同除以a 2化为e (e ＝c a)的二次方程求解． 6．椭圆上点M 到核心距离的最大值为a ＋c ，最小值为a －c .备选习题1．假设椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1过抛物线y 2＝8x 的核心，且与双曲线x 2－y 2＝1有相同的核心，那么该椭圆的方程是( )A.x 24＋y 22＝1 B.x 23＋y 2＝1 C.x 22＋y 24＝1 D ．x 2＋y 23＝1 [答案] A[解析] 抛物线y 2＝8x 的核心坐标为(2,0)，那么依题意知椭圆的右极点的坐标为(2,0)，又椭圆与双曲线x 2－y 2＝1有相同的核心，∴a ＝2，c ＝2，∵c 2＝a 2－b 2，∴b 2＝2，∴椭圆的方程为x 24＋y 22＝1. 2．椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左极点为A ，左、右核心别离为F 1、F 2，D 是它短轴上的一个极点，假设2DF 1→＝DA →＋DF 2→，那么该椭圆的离心率为( )A.12B.13C.14D.15[答案] B[解析] 由2DF 1→＝DA →＋DF 2→知F 1是AF 2的中点，∴a －c ＝2c ，∴a ＝3c ，e ＝13. 3．F 1、F 2是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的两核心，P 是椭圆上任一点，过一核心引∠F 1PF 2的外角平分线的垂线，那么垂足Q 的轨迹为( )A ．圆B ．椭圆C ．双曲线D ．抛物线 [答案] A[解析] ∵PQ 平分∠F 1PA ，且PQ ⊥AF 1，∴Q 为AF 1的中点，且|PF 1|＝|PA |，∴|OQ |＝12|AF 2|＝12(|PA |＋|PF 2|)＝a ， ∴Q 点轨迹是以O 为圆心，a 为半径的圆．4．(2021·乌鲁木齐一诊)如图，椭圆的中心在座标原点O ，极点别离是A 1，A 2，B 1，B 2，核心别离为F 1，F 2，直线B 1F 2与A 2B 2交于P 点，假设∠B 1PA 2为钝角，那么此椭圆的离心率e 的取值范围为________．[答案](5－12，1)[解析]设椭圆的方程为x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)，∠B1PA2为钝角可转化为B2A2→与F2B1→所夹的角为钝角，那么(a，－b)·(－c，－b)<0，得b2<ac，即a2－c2<ac，故(ca)2＋ca－1>0，即e2＋e－1>0，e>5－12或e<－5－12，又0<e<1，因此5－12<e<1.。
2025年高考数学一轮复习(新高考版)第8章 §8.5 椭 圆
b2＝4，∠F1PF2＝60°，∴S△PF1F2＝4×tan
30°＝4
3
3 .
延 伸 探 究 若 将 本 例 (2) 中 “∠F1PF2 ＝ 60°” 改 成 “PF1⊥PF2” ， 求 △PF1F2的面积.
∵PF1⊥PF2， ∴|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2＝4(a2－4) ＝4a2－16， 又|PF1|＋|PF2|＝2a，|PF1|2＋|PF2|2＝(|PF1|＋|PF2|)2－2|PF1||PF2|， ∴|PF1|·|PF2|＝8， ∴S△PF1F2＝12|PF1||PF2|＝4.
思维升华
椭圆定义的应用技巧 (1)椭圆定义的应用主要有：求椭圆的标准方程、求焦点三角形的周 长、面积及求弦长、最值和离心率等. (2)通常将定义和余弦定理结合使用求解关于焦点三角形的周长和面 积问题.
跟踪训练1 (1)已知△ABC的周长为12，B(0，－2)，C(0,2)，则顶点A的
轨迹方程为
√A.1x22 ＋1y62 ＝1(x≠0)
y2＝2，它表示一个圆， 即“1<k<5”是“方程k－x21＋5－y2 k＝1 表示椭圆”的必要不充分条件.
(2)(2022·南京师大附中模拟)已知过椭圆ax22＋by22＝1(a>b>0)的左焦点 F1(－1,0)
的直线与椭圆交于不同的两点 A，B，与 y 轴交于点 C，点 C，F1 是线段
AB 的三等分点，则该椭圆的标准方程是
(2)(2023·郑州模拟)若F为椭圆C：2x52 ＋1y62＝1的右焦点，A，B为C上两动点， 则△ABF周长的最大值为
A.4
B.8
C.10
√D.20
如图，设F1为椭圆C的左焦点， 则由椭圆的定义可得△ABF的周长为|AF|＋|BF| ＋|AB|＝2a－|AF1|＋2a－|BF1|＋|AB|＝4a＋|AB| －|AF1|－|BF1|＝20＋|AB|－|AF1|－|BF1|， 当A，B，F1共线时，|AB|－|AF1|－|BF1|＝0， 当A，B，F1不共线时，|AB|－|AF1|－|BF1|<0， 所以△ABF周长的最大值为20.
高考数学一轮复习椭圆作业题 含答案
基础题1． 若椭圆x 216＋y 2b2＝1过点(－2，3)，则其焦距为________．答案 4 3解析 ∵点(－2，3)在椭圆上， ∴416＋3b2＝1，即b 2＝4， ∴c 2＝16－4＝12，故2c ＝4 3.2． 如果方程x 2＋ky 2＝2表示焦点在y 轴上的椭圆，那么实数k 的取值范围是__________．答案 (0,1)解析 将椭圆方程化为x 22＋y 22k＝1，∵焦点在y 轴上，∴2k>2，即k <1，又k >0，∴0<k <1.3． 已知椭圆的焦点在y 轴上，若椭圆x 22＋y 2m ＝1的离心率为12，则m 的值是( )A.23 B.43 C.53 D.83答案 D解析 由题意知a 2＝m ，b 2＝2，∴c 2＝m －2. ∵e ＝12，∴c 2a 2＝14，∴m －2m ＝14，∴m ＝83.4． 已知F 1，F 2是椭圆x 216＋y 29＝1的两焦点，过点F 2的直线交椭圆于A ，B 两点．在△AF 1B中，若有两边之和是10，则第三边的长度为( )A ．6B ．5C ．4D ．3答案 A解析 根据椭圆定义，知△AF 1B 的周长为4a ＝16， 故所求的第三边的长度为16－10＝6.5． 椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的半焦距为c ，若直线y ＝2x 与椭圆的一个交点P 的横坐标恰为c ，则椭圆的离心率为( )A.2－22B.22－12C.3－1D.2－1答案 D解析 依题意有P (c,2c )，点P 在椭圆上，所以有c 2a 2＋2c 2b 2＝1，整理得b 2c 2＋4a 2c 2＝a 2b 2，又因为b 2＝a 2－c 2，代入得c 4－6a 2c 2＋a 4＝0， 即e 4－6e 2＋1＝0，解得e 2＝3－22(3＋22舍去)， 从而e ＝2－1.中档题1． (2012·江西)椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右顶点分别是A 、B ，左、右焦点分别是F 1、F 2，若|AF 1|，|F 1F 2|，|F 1B |成等比数列，则此椭圆的离心率为( )A.14B.55C.12D.5－2答案 B解析 由题意知|AF 1|＝a －c ，|F 1F 2|＝2c ，|F 1B |＝a ＋c ， 且三者成等比数列，则|F 1F 2|2＝|AF 1|·|F 1B |， 即4c 2＝a 2－c 2，a 2＝5c 2， 所以e 2＝15，所以e ＝55.2． 已知椭圆C 的短轴长为6，离心率为45，则椭圆C 的焦点F 到长轴的一个端点的距离为( )A ．9B ．1C ．1或9D ．以上都不对答案 C解析 ⎩⎪⎨⎪⎧b ＝3c a ＝45a 2＝b 2＋c2，解得a ＝5，b ＝3，c ＝4.∴椭圆C 的焦点F 到长轴的一个端点的距离为a ＋c ＝9或a －c ＝1.3． 已知焦点在x 轴上的椭圆的离心率为12，且它的长轴长等于圆C ：x 2＋y 2－2x －15＝0的半径，则椭圆的标准方程是( )A.x 24＋y 23＝1B.x 216＋y 212＝1C.x 24＋y 2＝1 D.x 216＋y 24＝1 答案 A解析 由 x 2＋y 2－2x －15＝0，知r ＝4＝2a ⇒a ＝2.又e ＝c a ＝12，c ＝1，则b 2＝a 2－c 2＝3.4． 已知椭圆x 24＋y 2＝1的左、右焦点分别为F 1、F 2，点M 在该椭圆上，且MF 1→·MF 2→＝0，则点M 到y 轴的距离为( )A.233B.263C.33D. 3答案 B解析 由题意，得F 1(－3，0)，F 2(3，0)．设M (x ，y )，则MF 1→·MF 2→＝(－3－x ，－y )·(3－x ，－y )＝0， 整理得x 2＋y 2＝3.①又因为点M 在椭圆上，故x 24＋y 2＝1，即y 2＝1－x 24.②将②代入①，得34x 2＝2，解得x ＝±263.故点M 到y 轴的距离为263.二、填空题(每小题5分，共15分)5． 已知F 1、F 2是椭圆C 的左、右焦点，点P 在椭圆上，且满足|PF 1|＝2|PF 2|，∠PF 1F 2＝30°，则椭圆的离心率为____________． 答案33解析 在三角形PF 1F 2中，由正弦定理得sin∠PF 2F 1＝1，即∠PF 2F 1＝π2，设|PF 2|＝1，则|PF 1|＝2，|F 2F 1|＝3，所以离心率e ＝2c 2a ＝33.6． 已知椭圆x 216＋y 225＝1的焦点分别是F 1，F 2，P 是椭圆上一点，若连接F 1，F 2，P 三点恰好能构成直角三角形，则点P 到y 轴的距离是________． 答案165解析 F 1(0，－3)，F 2(0,3)，∵3<4， ∴∠F 1F 2P ＝90°或∠F 2F 1P ＝90°. 设P (x,3)，代入椭圆方程得x ＝±165.即点P 到y 轴的距离是165.7. 如图所示，A ，B 是椭圆的两个顶点，C 是AB 的中点，F 为椭圆的右焦点，OC 的延长线交椭圆于点M ，且|OF |＝2，若MF ⊥OA ， 则椭圆的方程为__________． 答案x 24＋y 22＝1 解析 设所求的椭圆方程为x 2a 2＋y 2b2＝1 (a >b >0)，则A (a,0)，B (0，b )，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，b2，F (a 2－b 2，0)．依题意，得a 2－b 2＝2，FM 的直线方程是x ＝2，所以M ⎝⎛⎭⎪⎫2，baa 2－2.由于O ，C ，M 三点共线，所以b a 2－2a 2＝b 2a 2，即a 2－2＝2，所以a 2＝4，b 2＝2. 所求方程是x 24＋y 22＝1.。
【走向高考】2021届高考数学一轮总温习 8-8曲线与方程课后强化作业 新人教B版(1)
【走向高考】2021届高考数学一轮总温习 8-8曲线与方程课后强化作业 新人教B版基础巩固强化一、选择题1．已知椭圆的核心为F 1、F 2，P 是椭圆上一个动点，延长F 1P 到点Q ，使|PQ |＝|PF 2|，那么动点Q 的轨迹为( )A ．圆B ．椭圆C ．双曲线一支D ．抛物线[答案] A[解析] |QF 1|＝|PF 1|＋|PQ |＝|PF 1|＋|PF 2|＝2a ， ∴动点Q 的轨迹是以F 1为圆心，2a 为半径的圆．2．过椭圆x 29＋y 24＝1内一点R (1,0)作动弦MN ，那么弦MN 中点P 的轨迹是( )A ．圆B ．椭圆C ．双曲线D ．抛物线[答案] B[解析] 设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，P (x ，y )，那么4x 21＋9y 21＝36,4x 22＋9y 22＝36，相减得4(x 1＋x 2)(x 1－x 2)＋9(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝0， 将x 1＋x 2＝2x ，y 1＋y 2＝2y ，y 1－y 2x 1－x 2＝yx －1代入可知轨迹为椭圆．3．在一张矩形纸片上，画有一个圆(圆心为O )和一个定点F (F 在圆外)．在圆上任取一点M ，将纸片折叠使点M 与点F 重合，取得折痕CD .设直线CD 与直线OM 交于点P ，那么点P 的轨迹为( )A ．双曲线B ．椭圆C ．圆D ．抛物线[答案] A[解析] 由OP 交⊙O 于M 可知|PO |－|PF |＝|PO |－|PM |＝|OM |<|OF |(F 在圆外)， ∴P 点的轨迹为双曲线，应选A.4．平面α的斜线AB 交α于点B ，过定点A 的动直线l 与AB 垂直，且交α于点C ，那么动点C 的轨迹是( )A ．一条直线B ．一个圆C ．一个椭圆D ．双曲线的一支[答案] A[解析] 过定点A 且与AB 垂直的直线l 都在过定点A 且与AB 垂直的平面β内，直线l 与α的交点C 也是平面α、β的公共点．点C 的轨迹是平面α、β的交线．5．正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，点M 在棱AB 上，且AM ＝13，点P 是平面ABCD 上的动点，且动点P 到直线A 1D 1的距离与点P 到点M 的距离的平方差为1，那么动点P 的轨迹是( )A ．圆B ．抛物线C ．双曲线D ．直线[答案] B[解析] 由P 向AD 作垂线垂足为N ，由题意知|PN |2＋1－|PM |2＝1，∴|PN |＝|PM |，即动点P 到直线AD 的距离等于动点P 到点M 的距离，∴点P 的轨迹是抛物线． 6．(2021·芜湖模拟)方程x |x |16＋y |y |9＝－1的曲线即为函数y ＝f (x )的图象，关于函数y ＝f (x )，有如下结论；①f (x )在R 上单调递减；②函数F (x )＝4f (x )＋3x 不存在零点；③函数y ＝f (x )的值域是R ；④假设函数g (x )和f (x )的图象关于原点对称，那么函数y ＝g (x )的图象确实是方程y |y |16＋x |x |9＝1确信的曲线．其中正确命题的序号是( )A ．①②B ．②③C ．①③④D ．①②③[答案] D[解析] 当x ≥0，y ≥0时，方程为x 216＋y 29＝－1，现在方程不成立．当x <0，y <0时，方程为x 216＋y 29＝1，现在y ＝－31－x 216.当x >0，y <0时，方程为x 216－y 29＝－1，即y ＝－3x 216＋1.当x <0，y >0时，方程为－x 216＋y 29＝－1，即y ＝3x 216－1. 作出函数的图象如图，由图象可知，函数在R 上单调递减．因此①成立．②由F (x )＝4f (x )＋3x ＝0得f (x )＝－34x .因为双曲线x 216－y 29＝－1和－x 216＋y 29＝－1的渐近线为y ＝±34x ，因此F (x )＝4f (x )＋3x 没有零点，因此②正确．由图象可知函数的值域为R ，因此③正确．假设函数g (x )和f (x )的图象关于原点对称，那么函数y ＝g (x )的图象确实是方程－x |x |16＋－y |y |9＝－1，即x |x |16＋y |y |9＝1，因此④错误，综上①②③正确，应选D. 二、填空题7．过点P (1,1)且相互垂直的两条直线l 1与l 2别离与x 、y 轴交于A 、B 两点，那么AB 中点M 的轨迹方程为________．[答案] x ＋y －1＝0[解析] 设l 1：y －1＝k (x －1)，那么l 2：y －1＝－1k (x －1)，l 1与x 轴交点A (1－1k，0)，l 2与y 轴交点B (0,1＋1k )，设AB 中点M (x ，y )，那么⎩⎪⎨⎪⎧x ＝121－1k，y ＝121＋1k，消去k 得，x ＋y －1＝0.8．已知两条直线l 1：2x －3y ＋2＝0和l 2：3x －2y ＋3＝0，有一动圆(圆心和半径都动)与l 1、l 2都相交，且l 1、l 2被圆截得的弦长别离是定值26和24，那么圆心的轨迹方程是________．[答案] (x ＋1)2－y 2＝65[解析] 设圆心P (x ，y )，动圆半径为r ，P 到l 1、l 2的距离别离为d 1、d 2，由题意知d 21＋169＝r 2＝d 22＋144，∴d 22－d 21＝25，即3x －2y ＋3213－2x －3y ＋2213＝25，整理得，(x ＋1)2－y 2＝65.9．曲线C 是平面内与两个定点F 1(－1,0)和F 2(1,0)的距离的积等于常数a 2(a >1)的点的轨迹．给出以下三个结论：①曲线C 过坐标原点； ②曲线C 关于坐标原点对称；③假设点P 在曲线C 上，那么△F 1PF 2的面积不大于12a 2.其中，所有正确结论的序号是________． [答案] ②③[解析] 由|PF 1|·|PF 2|＝a 2得，x ＋12＋y 2·x －12＋y 2＝a 2(a >1)，将原点O (0,0)代入等式不成立，故①错；将(－x ，－y )代入方程中，方程不变，故曲线C 关于原点对称，故②正确；设∠F 1PF 2＝θ，那么S △F 1PF 2＝12|PF 1||PF 2|·sin θ＝12a 2sin θ≤12a 2，故③正确．三、解答题10．在平面直角坐标系中xOy 中，已知点A (0，－1)，B 点在直线y ＝－3上，M 点知足MB →∥OA →，MA →·AB →＝MB →·BA →，M 点的轨迹为曲线C .(1)求C 的方程；(2)P 为C 上的动点，l 为C 在P 点处的切线，求O 点到l 距离的最小值．[解析] (1)设M (x ，y )，由已知得B (x ，－3)．又A (0，－1)，因此MA →＝(－x ，－1－y )，MB →＝(0，－3－y )，AB →＝(x ，－2)．再由题意可知(MA →＋MB →)·AB →＝0， 即(－x ，－4－2y )·(x ，－2)＝0. 因此曲线C 的方程为y ＝14x 2－2.(2)设P (x 0，y 0)为曲线C ：y ＝14x 2－2上一点．因为y ′＝12x ，因此l 的斜率为12x 0.因此直线l 的方程为y －y 0＝12x 0(x －x 0)，即x 0x －2y ＋2y 0－x 20＝0.因此O 点到l 的距离d ＝|2y 0－x 20|x 20＋4.又y 0＝14x 20－2，因此d ＝12x 20＋4x 20＋4＝12⎝⎛⎭⎪⎪⎫x 20＋4＋4x 20＋4≥2. 当x 0＝0时取等号，因此O 点到l 距离的最小值为2. 能力拓展提升 一、解答题11．已知双曲线x 29－y 216＝1的左右极点别离为A 1、A 2，点P 是双曲线上任一点，Q 是P 关于x 轴的对称点，求直线A 1P 与A 2Q 交点M 的轨迹E 的方程．[解析] 由条件知A 1(－3,0)，A 2(3,0)，设M (x ，y )，P (x 1，y 1)，那么Q (x 1，－y 1)，|x 1|>3， ∴直线A 1P ：y ＝y 1x 1＋3·(x ＋3)，A 2Q ：y ＝－y 1x 1－3·(x －3)， 两式相乘得y 2x 2－9＝－y 21x 21－9，∵点P 在双曲线上，∴x 219－y 2116＝1，∴－y 21x 21－9＝－169，∴y 2x 2－9＝－169，整理得x 29＋y 216＝1(xy ≠0)． 12．(2021·乌鲁木齐诊断)已知点F (1,0)，⊙F 与直线4x ＋3y ＋1＝0相切，动圆M 与⊙F 及y 轴都相切． (1)求点M 的轨迹C 的方程；(2)过点F 任作直线l ，交曲线C 于A ，B 两点，由点A ，B 别离向⊙F 各引一条切线，切点别离为P ，Q ，记α＝∠PAF ，β＝∠QBF ，求证sin α＋sin β是定值．[解析] (1)⊙F 的半径为|4＋1|42＋32＝1，⊙F 的方程为(x －1)2＋y 2＝1.由题意动圆M 与⊙F 及y 轴都相切，分以下情形： ①动圆M 与⊙F 及y 轴都相切，但切点不是原点的情形．作MH ⊥y 轴于H ，那么|MF |－1＝|MH |，即|MF |＝|MH |＋1，那么|MF |＝|MN |(N 是过M 作直线x ＝－1的垂线的垂足)，那么点M 的轨迹是以F 为核心，x ＝－1为准线的抛物线．∴点M 的轨迹C 的方程为y 2＝4x (x ≠0)．②动圆M 与⊙F 及y 轴都相切且切于原点的情形． 现在点M 的轨迹C 的方程为y ＝0(x ≠0,1)．(2)由于直线l 过点F 与C 交于A 、B 两点，且F 不尽在C 上，∴l 只能与y 2＝4x (x ≠0)交于两点． 当l 不与x 轴垂直时，直线l 的方程为y ＝k (x －1)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x －1，y 2＝4x 得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，那么x 1＋x 2＝2k 2＋4k2，x 1x 2＝1. ∴sin α＋sin β＝1|AF |＋1|BF |＝1x 1＋1＋1x 2＋1＝x 1＋x 2＋2x 1x 2＋x 1＋x 2＋1＝x 1＋x 2＋21＋x 2＋x 1＋1＝1.当l 与x 轴垂直时，也可得sin α＋sin β＝1. 综上，有sin α＋sin β＝1.13．(2021·安徽名校联盟联考)设定点M (－2,4)，动点N 在圆x 2＋y 2＝4上运动，线段MN 的中点为点P . (1)求点P 的轨迹方程；(2)设直线l 与点P 的轨迹相切，且l 在x 轴、y 轴上的截距相等，求直线l 的方程．[解析] (1)设P 点坐标为(x ，y )，N 点坐标为(x 0，y 0)，那么由中点坐标公式有⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝2x ＋2，y 0＝2y －4.∵N 点在圆x 2＋y 2＝4上，∴x 20＋y 20＝4.∴(2x ＋2)2＋(2y －4)2＝4， ∴(x ＋1)2＋(y －2)2＝1，即点P 的轨迹方程为(x ＋1)2＋(y －2)2＝1.(2)因直线l 在x 轴、y 轴上的截距相等，故l 的斜率存在且不为0，当直线l 在x 轴、y 轴上的截距都为0时，设直线l 的方程为y ＝kx ，即kx －y ＝0.∵直线l 与(x ＋1)2＋(y －2)2＝1相切， ∴|－k －2|k 2＋1＝1⇒k ＝－34，故直线l 的方程为y ＝－34x .当l 在x 轴、y 轴上的截距均不为0时， 设直线l 的方程为x a ＋ya＝1，即x ＋y －a ＝0.∵直线l 与(x ＋1)2＋(y －2)2＝1相切，那么有 |－1＋2－a |1＋1＝1，解得a ＝2＋1或a ＝1－2.故直线l 的方程为x ＋y －1－2＝0或x ＋y －1＋2＝0，综上可知l 的方程为y ＝－34x 或x ＋y －1－2＝0或x ＋y －1＋2＝0.14．已知定点A (0，－1)，点B 在圆F ：x 2＋(y －1)2＝16上运动，F 为圆心，线段AB 的垂直平分线交BF 于P .(1)求动点P 的轨迹E 的方程；假设曲线Q ：x 2－2ax ＋y 2＋a 2＝1被轨迹E 包围着，求实数a 的最小值；(2)已知M (－2,0)，N (2,0)，动点G 在圆F 内，且知足|MG |·|NG |＝|OG |2(O 为坐标原点)，求MG →·NG →的取值范围．[解析] (1)由题意得|PA |＝|PB |. ∴|PA |＋|PF |＝|PB |＋|PF |＝4>|AF |＝2， ∴动点P 的轨迹E 是以A 、F 为核心的椭圆． 设该椭圆的方程为y 2a2＋x 2b 2＝1(a >b >0)，则2a ＝4,2c ＝2，即a ＝2，c ＝1，故b 2＝a 2－c 2＝3， ∴动点P 的轨迹E 的方程为y 24＋x 23＝1，x 2－2ax ＋y 2＋a 2＝1即(x －a )2＋y 2＝1，∴曲线Q 是圆心为(a,0)，半径为1的圆．而轨迹E 为核心在y 轴上的椭圆，其左、右极点别离为(－3，0)，(3，0)．假设曲线Q 被轨迹E 包围着，那么－3＋1≤a ≤3－1，∴a 的最小值为－3＋1.(2)设G (x ，y )，由|MG |·|NG |＝|OG |2得：x ＋22＋y 2·x －22＋y 2＝x 2＋y 2.化简得x 2－y 2＝2，即x 2＝y 2＋2， ∴MG →·NG →＝(x ＋2，y )·(x －2，y ) ＝x 2＋y 2－4＝2(y 2－1)．∵点G 在圆F ：x 2＋(y －1)2＝16内，∴x 2＋(y －1)2<16， ∴0≤(y －1)2<16⇒－3<y <5⇒0≤y 2<25， ∴－2≤2(y 2－1)<48， ∴MG →·NG →的取值范围是[－2,48)． 考纲要求了解曲线与方程的关系，能用坐标法解决一些与圆锥曲线有关的简单几何问题和实际问题． 补充材料 1．常见的轨迹(1)在平面内，到两定点距离相等的点的轨迹是连结两定点的线段的垂直平分线． (2)平面内到角两边距离相等的点的轨迹是那个角的平分线．(3)平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹是以定点为圆心，以定长为半径的圆． (4)平面内到定直线的距离等于某必然值的点的轨迹是与这条直线平行的两条直线．(5)平面内到两定点F 1，F 2距离之和为定值2a (2a >|F 1F 2|)的点的轨迹是以两定点为核心，2a 为长轴长的椭圆．(6)平面内到两定点F 1，F 2距离差的绝对值为定值2a (0<2a <|F 1F 2|)的点的轨迹是以两定点为核心，实轴长为2a 的双曲线．(7)平面内到定点和定直线距离相等(定点不在定直线上)的点的轨迹是以定点为核心，定直线为准线的抛物线．2．求轨迹方程的其他方式(1)待定系数法：已知所求曲线的类型，可直接设出曲线的方程，再依照已知条件确信其系数．(2)参数法：求轨迹方程有时很难直接找出动点的横坐标、纵坐标之间的关系，那么可借助中间变量(参数)，使x 、y 之间成立起联系，然后再从所求式子中消去参数，得出动点的轨迹方程．(3)交轨法：求两动曲线交点轨迹时，可由方程直接消去参数，例如求两动直线的交点时经常使用此法，也能够引入参数来成立这些动曲线的联系，然后消去参数取得轨迹方程．2．增强知识交汇的训练向量、三角函数、不等式与解析几何交汇，专门是向量进入解析几何已成为新的命题热点，应增强这种融合多处知识，而又比较浅显，考查对学科最基础知识和最大体方式的把握的小题训练．3．在有关直线与圆锥曲线相交的问题中，要注意判别式的作用，不要因为轻忽对判别式的讨论致误． 备选习题1．高12m 和16m 的两根旗杆笔直地竖在水平地面上，且相距50m ，那么地面上观看两旗杆顶端仰角相等的点的轨迹为( )A ．圆B ．椭圆C ．双曲线D ．抛物线[答案] A[解析] 此题是解析几何问题．假设长度为12m,16m 的两旗杆的底部别离为A ，B ，地面上的观看点为P ，以AB 的中点为原点，直线AB 为x 轴成立平面直角坐标系，那么A ，B 的坐标别离为A (－25,0)，B (25,0)，设P (x ，y )，且PA ＝b ，PB ＝a ，∵tan θ＝12b ＝16a ，∴b ＝34a ，∴x ＋252＋y 2＝34x －252＋y 2，化简得方程为圆的方程，因此轨迹为圆，应选A. 2．方程(x 2－y 2－1)x －y －1＝0的曲线形状大致是________(图中实线部份)( )[答案] B[分析] A B ＝0⇔⎩⎪⎨⎪⎧A ＝0B ≥0或B ＝0，万万不要错误的转化为A ＝0或B ＝0.[解析] 原方程等价于⎩⎪⎨⎪⎧x 2－y 2－1＝0x －y －1≥0或x －y －1＝0，前者是双曲线位于直线下方部份，后者为直线，应选B.3．如图，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，点P 在侧面BCC 1B 1及其边界上运动，而且总维持AP ⊥BD 1，那么动点P 的轨迹是( )A ．线段B 1C B ．线段BC 1C ．BB 1中点与CC 1中点连成的线段D ．BC 中点与B 1C 1中点连成的线段 [答案] A[解析] 设P 1、P 2为P 的轨迹上两点，那么AP 1⊥BD 1，AP 2⊥BD 1.∵AP 1∩AP 2＝A ，∴直线AP 1与AP 2确信一个平面α，与面BCC 1B 1交于直线P 1P 2，且知BD 1⊥平面α，∴P 1P 2⊥BD 1， 又∵BD 1在平面BCC 1B 1内的射影为BC 1，∴P 1P 2⊥BC 1，而在面BCC 1B 1内只有B 1C 与BC 1垂直，∴P 点的轨迹为B 1C .4．圆O ：x 2＋y 2＝16，A (－2,0)，B (2,0)为两个定点．直线l 是圆O 的一条切线，假设通过A 、B 两点的抛物线以直线l 为准线，那么抛物线核心的轨迹是( )A ．双曲线B ．椭圆C ．抛物线D ．圆[答案] B[解析] 设抛物线的核心为F ，因为A 、B 在抛物线上，因此由抛物线的概念知，A 、B 到F 的距离AF 、BF 别离等于A 、B 到准线l 的距离AM 、BN ，过O 作OP ⊥l ，由于l 是圆O 的一条切线，因此四边形AMNB 是直角梯形，OP 是中位线，故有|AF |＋|BF |＝|AM |＋|BN |＝2|OP |＝8>4＝|AB |.依照椭圆的概念知，核心F 的轨迹是一个椭圆．5．已知1m ＋2n ＝1(m >0，n >0)，当mn 取得最小值时，直线y ＝－2x ＋2与曲线x |x |m ＋y |y |n ＝1的交点个数为________．[答案] 2[解析] 1＝1m ＋2n ≥22mn ，∴mn ≥8. 当且仅当1m ＝2n 时，即m ＝2，n ＝4时等号成立．曲线为x |x |2＋y |y |4＝1.当x >0，y >0时，表示椭圆y 24＋x 22＝1的一部份；当x <0，y >0时，表示双曲线y 24－x 22＝1的一部份；当x >0，y <0时，表示双曲线x 22－y 24＝1的一部份，当x <0，y <0时，曲线不存在．如图知，交点个数为2.。