数值计算课程设计报告

华东交通大学《数值计算》课程设计报告专业班级： 09信息与计算科学(1)班*名：** 20090810010113 组内成员：汪媛、李志鹏、郑福宝设计时间： 2011年12月指导教师：***目录内容提要………………………………………………………………一、课程设计目的、背景、意义以及准备工作……………………(一)目的…………………………………………………………(二)背景…………………………………………………………(三)意义…………………………………………………………(四)准备工作……………………………………………………二、理论分析…………………………………………………………(一)问题分析.……………………………………………………(二)理论依据和求解对策………………………………………三、方法详解…………………………………………………………四、问题结果与精度分析……………………………………………五、心得体会…………………………………………………………六、参考文献…………………………………………………………七、代码附录…………………………………………………………内容提要设某城市男子的身高X~N （170，36）（单位：cm ），应如何选择公共汽车门的高度H 使 男子与车门碰头的机会小于1%。

问题分析：由题设男子身高数据服从平均值为170cm ，方差为6cm 的正态分布，其分布密度函数为2(170)()236x f x ⎡⎤--=⎢⎥⨯⎣⎦按正态分布的分布规律（3σ原则），这个城市的男子身高超过188cm 的人数极少。

故可以对H=188，187，186，…求出概率{}P X H >的值，观察使概率不超过1%的H ，以确定公共汽车门应该取的高度。

概念值的计算实际上是求定积分{}194()()H H P X H f x dx f x dx +∞>=≈⎰⎰（1）选用一种数值求积公式分别计算出H=180、181、…、188时定积分近似值。

（2）根据上面计算的积分值，按题目要求确定公共汽车门的高度取值（答案184cm ）。

如果将汽车门的高度取180cm ，是否满足大多数市民的利益？（3）用计算机模拟的方法来检验你的结论，计算机产生10 000个正态随机数（它们服从均值为170，方差为6的正态分布）来模拟这个城市中10 000个男子的身高，然后统计出这10 000人中身高超过180（cm ）的男子数量所占的百分比。

一、课程设计目的、背景、意义以及准备工作（一）目的1)学会用数值积分避开求f(x)的原函F(x)的繁琐步骤，并可以有效的控制结果，使其在要求的误差范围之内。

2)在某些求积函数中，用数值积分求解一些原函数F(x)不能用初等函数表示成有限形式。

3)熟练掌握用复化辛普森求解积分。

4)编程实现复化辛普森的递推算法。

5)编程实现复化辛普森积分法（二）背景对于较大积分区间、复杂被积函数、较高精度要求的数值积分问题，需要较多的求积节点。

如果采用高阶插值型求积公式，当被积函数f(x)不是多项式函数时，求积过程可能不稳定，因此这时只能采用复化求积。

而龙贝格求积是对逐次分半梯形公式求积公式加速的一种外推方法，收敛速度较复化求积更快，也是一种实用的数值积分方法。

在一元函数的积分学中,我们已经熟知,若函数f(x)在区间［a, b］上连续且其原?函数为F(x) ,则可用牛顿―莱布尼兹公式来求定积分。

牛顿―莱布尼兹公式虽然在理论上或在解决实际问题中都起了很大的作用,?但它并不能完全解决定积分的计算问题。

因为定积分的计算常常会碰到以下三种情况：(1)被积函数f(x)的原函数F(x)不易找到。

许多很简单的函?数,例x x x ln 1,)sin(等,其原函数都不能用初等函数表示成有限形式。

(2)被积函数f(x)没有具体的解析表达式。

其函数关系由表格或图形表示,无法求出原函数。

(3)尽管f(x)的原函数能表示成有限形式但其表达式相当复杂。

另外，许多实际问题中的被积函数往往是列表函数或其他形式的非连续函数，对这类函数的定积分，也不能用不定积分方法求解。

由于以上原因，数值积分的理论与方法一直是计算数学研究的基本课题。

而在这次的课程设计中，具体的问题就是公共汽车的车门的高度。

（三）意义在现实生活中公交车的车门高度问题是一个非常普遍的问题，如何设计好适当的车门高度，是非常重要，过高或者过低都会产生一些不必要的麻烦。

而本次的数值计算课程设计就是有关这个问题的，通过模拟某城市的身高分布函数，通过一系列的计算，最后得到一个数，有这个数确定公共汽车的车门高度。

在本次课程设计中，我们通过编程求积分的方式简化了计算的难度，通过计算得到几个不同的积分值，然后由符合二项式分布的函数产生的随机数来确定最佳的函数值即车门高度（四）准备工作分析题意，用Matlab 编程实现复化辛普森的积分法，并控制了结果的精度，比较最后的结果与给定的数据的误差，使其在要求的误差范围之内。

最后找到符合条件的数据即可找到最后公共汽车的门的最佳高度。

二、理论分析（一）问题分析由已知的身高的分布函数，可以得知该城市的身高的大概区间，将区间分成8等分，因此通过一种求积分的方法可以计算出在不同区间的函数的近似积分值(H)，而由题意的满足概率不超过1%的H，即得解，最后一问中，通过Matlab的随机函数normrnd产生的随机数验证上述结果即可。

（二）理论依据和求解对策复化Simpson求积算法的N-S图：给定f表示被积函数，[a,b]表示积分区间，n表示积分区间被拆分成小区间个数三、方法详解（包括推导、求解、分析、程序框图等）(1)由前面的问题分析可知概率值的计算实际上是求定积分{}194()()H H P X H f x dx f x dx +∞>=≈⎰⎰其中2(170)()236x f x ⎡⎤--=⎢⎥⨯⎣⎦题采用复化的辛普生公式进行求解：11221111001[()4()()][()4()2()()]66n n n n i i i i i i i i h h S f x f x f x f a f x f x f b ---+++====++=+++∑∑∑(1)实际上是求出相应的H 使得对应的概率值满足题意要求即可。

由于 {}194()()H H P X H f x dx f x dx +∞>=≈⎰⎰其中2(170)()236x f x ⎡⎤--=⎢⎥⨯⎣⎦我们从170到194之间选出一个能满足{}0.01P X H >≤的H（3）运用函数normrnd(170,6,10000)便可模拟出这个城市中10 000个男子的身高，然后再计算其中身高大于180cm 的百分比。

四、问题结果与精度分析(代码祥见附录)（一）程序运行及结果1、问题（1）结果如下（e1.m ）：P =0.047758637464544 P =0.033344869800652P =0.022718517515272 P =0.015098521327612P =0.009783695738731 P =0.006178017945395P =0.003798722285391 P =0.002271601047586P =0.0013182293178492、问题（2）结果如下(e2.m)：1843、问题（3）结果如下(e3.m)：模拟数中大于180的数所占比例为：ans = 0.046300000000000（二）身高分布模型图(e4.m)2、精度分析在计算问题（1）和（2）题时运用了复化辛普森公式，由于公式本身就存在一定的局限性，所以在计算概率值时与准确值之间存在一定的误差。

但由于复化辛普生公式有较高的收敛阶，所以误差非常小。

通过问题(3)的模拟可知将高度定于180还是满足大多数人的利益的五、心得体会在这次数值计算课程设计中，我受益很多。

首先在分析问题过程中，不仅要对问题进剖析还要结合一些现实实际情况。

再者，在找出问题后，要解决问题，通过查找相关资料书籍，找到解决方法的过程中，我也学到了其他方面的知识，再另一方面拓展了我的知识面。

最后，就是通过数值课程中的设计，让我在maltab方面学到了很多。

因为在此次课程设计中，我们采用的语言是maltab程序语言。

六、参考文献1、数值方法第二版金一庆陈越王冬梅编著机械工业出版社2、数值方法（Matlab版）七、代码附录e1.m%这里令n=10for a=180:1:188b=194;n=10;h=(b-a)/n;p=0;q=0;f=inline('exp((-(x-170)^2)/72)');for i=0:n-1p1=f((a+i*h+a+(i+1)*h)/2);p=p+p1;endfor j=1:n-1q1=f(a+j*h);q=q+q1;endformat longP=(1/(6*sqrt(2*pi)))*(h/6)*(f(a)+4*p+2*q+f(b))ende2.mfor a=170:1:194b=194;n=10;h=(b-a)/n;p=0;q=0;f=inline('exp((-(x-170)^2)/72)');for i=0:n-1p1=f((a+i*h+a+(i+1)*h)/2);p=p+p1;endfor j=1:n-1q1=f(a+j*h);q=q+q1;endformat longP=(1/(6*sqrt(2*pi)))*(h/6)*(f(a)+4*p+2*q+f(b));if P<=0.01abreak;endende3.mR=normrnd(170,6,10000,1);j=0;for i=1:10000if R(i)>180j=j+1;endenddisp('模拟数中大于180的数所占比例为:')j/10000e4.mx=150:2:190;y=(1/6*(2^1/2))*exp[(-(x-170)^2)/(2*36)];plot(x,y)。