52自动控制理论-第五章02
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《自动控制理论(第3版)》第05章课件
频率特性 G(j) = j
= Im
（1）极坐标图
A() = () = 90
0 =0
Re
（2）波特图
L() = 20lgA() = 20lg () = 90
注意：由于微分环节与
L()/dB
20
0
1
20dB/dec
10
积分环节的传递函数互
为倒数， L()和 ()
仅相差一个符号。因此，
()/(°)
90°
Im
=
=0
Re
0
1
36
8 延迟环节
其频率特性为 ：G(j) = e jT 幅值为：A() = e jT = 1 相角为：() = T (rad) = 57.3T()
由于幅值总是1，相角随频率而变化，其极坐标图为一单位圆。
Im
L()/dB
0
0
=0
Re
()/(°)
0°
T大 T小
由于( )随频率的增长而线性滞后，将严重影响系统的稳定性 37
L ()2l0 g G (j) dB “分贝”
坐标特点 纵轴 (),(单位：度或者弧)度
⑴ 幅值相乘 = 对数相加，便于叠加作图；
特点 ⑵ 可在大范围内表示频率特性；
⑶ 利用实验数据容易确定 L(),进而确定G(s)。
17
频率特性 G(jw) 的表示方法
以 G(j) 1 为例。
Ts1sj
1. 幅相特性(Nyquist)
称为RC网络的幅频特性，后者称为相频特性。
⑤
1
jarc T tan 1
j 1 1 j T 1
e e 1 (T )2
1 j T
1 j T
完全地描述了网络在正弦输入电压作用下，稳态输
= Im
（1）极坐标图
A() = () = 90
0 =0
Re
（2）波特图
L() = 20lgA() = 20lg () = 90
注意：由于微分环节与
L()/dB
20
0
1
20dB/dec
10
积分环节的传递函数互
为倒数， L()和 ()
仅相差一个符号。因此，
()/(°)
90°
Im
=
=0
Re
0
1
36
8 延迟环节
其频率特性为 ：G(j) = e jT 幅值为：A() = e jT = 1 相角为：() = T (rad) = 57.3T()
由于幅值总是1，相角随频率而变化，其极坐标图为一单位圆。
Im
L()/dB
0
0
=0
Re
()/(°)
0°
T大 T小
由于( )随频率的增长而线性滞后，将严重影响系统的稳定性 37
L ()2l0 g G (j) dB “分贝”
坐标特点 纵轴 (),(单位：度或者弧)度
⑴ 幅值相乘 = 对数相加，便于叠加作图；
特点 ⑵ 可在大范围内表示频率特性；
⑶ 利用实验数据容易确定 L(),进而确定G(s)。
17
频率特性 G(jw) 的表示方法
以 G(j) 1 为例。
Ts1sj
1. 幅相特性(Nyquist)
称为RC网络的幅频特性，后者称为相频特性。
⑤
1
jarc T tan 1
j 1 1 j T 1
e e 1 (T )2
1 j T
1 j T
完全地描述了网络在正弦输入电压作用下，稳态输
自动控制原理第五章
1第五章 频域分析法目的：①直观，对高频干扰的抑制能力。
对快(高频)、慢(低频)信号的跟踪能力。
②便于系统的分析与设计。
③易于用实验法定传函。
§5.1 频率特性一. 定义)()()()(1n p s p s s s G +⋅⋅⋅+=θ在系统输入端加一个正弦信号：t R t r m ωsin )(⋅=))(()(22ωωωωωj s j s R s R s R m m -+⋅=+⋅=↔ 系统输出：))(()()()()(1ωωωθj s j s R p s p s s s Y m n -+⋅⋅+⋅⋅⋅+=2t j t j e A e A t y t y ωω⋅+⋅+=↔-瞬态响应)()(1 若系统稳定，即)(s G 的极点全位于s 左半平面，则 0)(l i m 1=∞→t y t 稳态响应为：t j t j ss e A eA t y ωω⋅+⋅=-)( 而)(21)()(22ωωωωωj G R j j s s R s G A m j s m -⋅-=+⋅+⋅⋅=-= )(21)()(22ωωωωωj G R jj s s R s G A m j s m ⋅=-⋅+⋅⋅== ∴t j m t j m ss e j G R je j G R j t y ωωωω⋅⋅+⋅-⋅-=-)(21)(21)( =])()([21t j t j m e j G e j G R jωωωω-⋅--⋅⋅ 又)(s G 为s 的有理函数，故)()(*ωωj G j G -=，即3φωωj e j G j G )()(=φωωj e j G j G -=-)()( ∴][)(21)()()(φωφωω+-+--⋅=t j t j m ss e e j G R jt y =)sin()(φωω+⋅⋅t j G R m=)sin(φω+⋅t Y m可见：对稳定的线性定常系统，加入一个正弦信号，其稳态响应也是一个同频率的正弦信号。
自动控制原理第五章
KT j 1 2T 2
0 : U(0) K
V (0) 0
1: T
:
U(1) K T2
U() 0
V(1) K T2
V() 0
●
●
K
●
0.707K
V(ω)
K/2 K
●
●
U(ω)
-K/2
●
10
3 由零、极点分布图绘制
1)在[s]上标出开环零极点；
G( j ) K K / T 1 jT j 1 / T
低频段 1
T
L( ) 20lg A( ) 20lg () arctgT 0
10
高频段
1
T
20lg A() 20lgT ( ) arctgT 900
转折频率 1
T
20lg A( ) 20lg 2 3.01 0db
( ) arctgT 450
15
20 0 -20 -40 -60 90 45 0 -45 -90
3) 振荡环节
1
G(s) (s / n )2 2 (s / n ) 1
n
1 T
0
4) 一阶微分 G(s) Ts 1 (T>0)
0 1
5) 二阶微分 G(s) (s / n )2 2 (s / n ) 1 (n 0, 0 1)
6) 纯滞后环节 G(s) e s
19
5-3-2 最小相位典型环节的频率特性
0.01
0.1
T
10
T
●
●
●
●
0.1
1/T1
10
T 0.1 () arctg0.1 5.70
T 1 ( ) arctg10 84.30
自动控制原理第五章课后习题答案(免费)[1]
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自动控制原理第五章课后习题答案（免费）5－１设单位反馈系统的开环传递函数为对系统进行串联校正，满足开环增益 及 解:① 首先确定开环增益K,00()12lim v s K SG S k →===② 未校正系统开环传函为:012()(1)G s s s =+M a g n i t u d e (d B )1010101010P h a s e (d e g )Bode DiagramGm = 70.5 dB (at 200 rad/sec) , P m = 16.5 deg (at 3.39 rad/sec)Frequency (rad/sec)③ 绘制未校正系统的开环对数频率特性,得到幅穿频率 3.4c ω=,对应相位角'0()164,16c G j ωγ∠=-∴=,采用超前校正装置,最大相角 0(180())4016630m c G j ϕγωγ=-+∠+=-+=④ 11sin ,31m αϕαα--=∴=+ 0()(1)KG s s s =+40γ=︒112K s -=⑤ 在已绘图上找出10lg 10lg3 4.77α-=-=-的频率 4.4m ω=弧度/秒 令c m ωω=⑥0.128/,0.385/m T s T s ωα=⇒==∴=校正装置的传函为:110.385()110.128Ts s G s Ts s α++==++校正后的开环传函为:012(10.39)()()()(1)(10.13)c s G s G s G s s s s +==++ 校正后1801374340γ=-=>,满足指标要求.-100-50050100M a g n i t u d e (d B )101010101010P h a s e (d e g )Bode DiagramGm = 99.2 dB (at 1.82e+003 rad/sec) , P m = 42.4 deg (at 4.53 rad/sec)Frequency (rad/sec)5－２设单位反馈系统的开环传递函数为要求 设计串联迟后校正装置。
自动控制理论第五章
a G(s) A 2j
因为 G(j)G(j)ej() G(j)G(j)ej()
所以 C (t)AG (j)S(in t)
2019/11/13
第五章 频率响应
3
自动控制理论
图5-1
例:
E E 1 2((ss))1R 1 C ,E 1(Ss)S2A 2
20lg1 jT 20lg 1 1 jT
arg(1 jT) arg( 1 ) 1 jT
3. 积分、微分因子
1 1)积分因子 j
( j)1
L()20 lg
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图5-10
第五章 频率响应
10
自动控制理论
()90
2)微分因子 j
()20 lg
() a G 1 ( r j) g a G 2 r ( j) g a G n r ( j) g
例5-2 G(S)H(S)10 (10.1S) S(10.5S)
解 （1）幅频特性 10(1 j )
G( j)
j(1
10
j)
2
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图5-2
第五章 频率响应
4
自动控制理论
e2(t)
A S
1T22
i(n tarcTta) n
G(j) 1TA22 ()tg1T
图5-3
2019/11/13
第五章 频率响应
5
自动控制理论
二、由传递函数确定系统的频率响应
例5-1 G (s) S 1 2 (4 S 0 S 1 ) 1 3 (S 2 1 j( 3 S )0 S ( 1 )2 j3 ) 试绘制系统的幅频和相频特性曲线。
因为 G(j)G(j)ej() G(j)G(j)ej()
所以 C (t)AG (j)S(in t)
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第五章 频率响应
3
自动控制理论
图5-1
例:
E E 1 2((ss))1R 1 C ,E 1(Ss)S2A 2
20lg1 jT 20lg 1 1 jT
arg(1 jT) arg( 1 ) 1 jT
3. 积分、微分因子
1 1)积分因子 j
( j)1
L()20 lg
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图5-10
第五章 频率响应
10
自动控制理论
()90
2)微分因子 j
()20 lg
() a G 1 ( r j) g a G 2 r ( j) g a G n r ( j) g
例5-2 G(S)H(S)10 (10.1S) S(10.5S)
解 （1）幅频特性 10(1 j )
G( j)
j(1
10
j)
2
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图5-2
第五章 频率响应
4
自动控制理论
e2(t)
A S
1T22
i(n tarcTta) n
G(j) 1TA22 ()tg1T
图5-3
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第五章 频率响应
5
自动控制理论
二、由传递函数确定系统的频率响应
例5-1 G (s) S 1 2 (4 S 0 S 1 ) 1 3 (S 2 1 j( 3 S )0 S ( 1 )2 j3 ) 试绘制系统的幅频和相频特性曲线。
自动控制原理(第五章)
L(ω)
0.1ωn
ωn
10ωn -40 db/dec
ω
-40
() G( j)
n 0 90 n 180 n
φ( ω )
ω
-90o -180o
自动控制原理 ——线性系统的频域分析法
7) 二阶微分环节
G( s) ( s
-30
自动控制原理 ——线性系统的频域分析法
3) 微分环节
G( s) s G( j ) j
20
L( )(dB)
0 0.01 0.1 1 10
20dB / dec
G ( j )
j
40
G ( j ) j 90
0
( )()
90 60 30 0 0.01 0.1 1 10
0
0 .1 1 T
1 T
10
1 T
自动控制原理 ——线性系统的频域分析法
2 n 6) 振荡环节 G(s) 2 2 s 2n s n 2 n G( j) 2 j ( j)2 2n ( j) n
பைடு நூலகம்
G( j )
2 2 2 (1 2 ) (2 ) 0 n n
G ( j )
1
自动控制原理 ——线性系统的频域分析法
L( )(dB)
0 .1 1 T
L( ) 20lg G ( j0)
-20 20lg 1 T 1 时，L( ) 20lg 1 0 T ( )() 1 1 时，L( ) 200 lg .1 T T T ( ) G ( j ) 0 arctanT
自动控制原理 ——线性系统的频域分析法
自动控制原理第五章频域分析法
一 由传递函数求系统的频率响应
第19页/共187页
频率特性
对应的幅值和相角：
同理，可求得对应于2的|G(j2)|和(j2) 。
若对取所有可能的值，则可得到一系列相应的幅值和相位。 其中幅值随频率变化而变化的特性称为系统的幅频特性。 相角随频率变化而变化的特性称为系统的相频特性。
第20页/共187页
每当ω增加十倍， L(ω)减少20dB负20分贝十倍频程 －20dB/ dec
第34页/共187页
5－3典型环节和开环系统频率特性
第35页/共187页
积分环节L(ω)
[-20]
[-20]
[-20]
第36页/共187页
5－3典型环节和开环系统频率特性
三、微分环节
幅频特性与ω成正比，相频特性恒为90°
第12页/共187页
5-2频率特性
以RC网络为例，说明频率特性的基本概念。
取拉氏变换，求网络的传递函数
如果输入为正弦量：
由电路分析，电路达到稳态时，输出也是以ω为角频率的正弦量。
在传递函数中G(s)中，只要令s=jω，则可由⑴式得到⑵式。
第13页/共187页
5-2频率特性
控制系统的三种数学模型：微分方程、传递函数、频率特性可以相互转换，它们的关系见右图。
交接频率将近似对数幅频特性曲线分为二段：低频段和高频段。
第41页/共187页
惯性环节G(jω)
φ(ω) = -tg-10.5 ω
ω
0
0.5
1
2
4
5
8
20
φo(ω)
A(ω)
0
1
-14.5
0.97
-26.6
0.89
第19页/共187页
频率特性
对应的幅值和相角：
同理，可求得对应于2的|G(j2)|和(j2) 。
若对取所有可能的值，则可得到一系列相应的幅值和相位。 其中幅值随频率变化而变化的特性称为系统的幅频特性。 相角随频率变化而变化的特性称为系统的相频特性。
第20页/共187页
每当ω增加十倍， L(ω)减少20dB负20分贝十倍频程 －20dB/ dec
第34页/共187页
5－3典型环节和开环系统频率特性
第35页/共187页
积分环节L(ω)
[-20]
[-20]
[-20]
第36页/共187页
5－3典型环节和开环系统频率特性
三、微分环节
幅频特性与ω成正比，相频特性恒为90°
第12页/共187页
5-2频率特性
以RC网络为例，说明频率特性的基本概念。
取拉氏变换，求网络的传递函数
如果输入为正弦量：
由电路分析，电路达到稳态时，输出也是以ω为角频率的正弦量。
在传递函数中G(s)中，只要令s=jω，则可由⑴式得到⑵式。
第13页/共187页
5-2频率特性
控制系统的三种数学模型：微分方程、传递函数、频率特性可以相互转换，它们的关系见右图。
交接频率将近似对数幅频特性曲线分为二段：低频段和高频段。
第41页/共187页
惯性环节G(jω)
φ(ω) = -tg-10.5 ω
ω
0
0.5
1
2
4
5
8
20
φo(ω)
A(ω)
0
1
-14.5
0.97
-26.6
0.89
自动控制理论第五章
kg K 2K s (0.5s 1) s ( s 2) s ( s 2)
k g 2K
开环有两个极点： p1= 0， p2=－2 开环没有零点。 闭环特征方程为： D(s) = s2 +2s + kg = 0 s 解得闭环特征根（亦即闭环极点） s1 1 1 k g ；2 1 1 k g 可见，当kg 变化，两个闭环极点也随之连续变化。 当kg 从0→∞变化时，直接描点作出两个闭环极点的变化轨迹
（1）当 kg = 0时，s1 = 0、s2 = －2，此时闭环极点 就是开环极点。 （2）当0＜kg＜1时，s1、s2均为负实数，且位于负 实轴的（－2，0） 一段上。 （3）当kg = 1时，s1 = s2 = －1，两个负实数闭环极 点重合在一起。 （4）当1＜kg＜∞时，s1，2 =－1± j k g 1 ，两个闭 环极点变为一对共轭复数极点。s1、s2的实部不随kg 变化，其位于过（－1，0）点且平行于虚袖的直线 上。 （5）当kg＝∞时， s1 = －1+ j∞、s2 = －1－j∞， 此时s1、s2将趋于无限远处。
例：求上例中根轨迹上
s2 (0.5, j1)
点对应的kg 。
k 解 ：g s2 p1 s2 p2 0.5 j 0 0.5 j 1 1.118 1.118 1.25 s2 p1 、 s2 p2 也可以用直尺测量向量的长度。
5．2 绘制根轨迹的基本规则
不符合相角条件， s1不在根轨迹上。
满足相角条件， s2在根轨迹上。
2. 用幅植条件确定kg的值 幅值条件：
n
kg
s p
j 1 m i 1
j
s zi
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20 lg K
1
斜率为： -20=-20dB/dec
1 T1 1 T2
20
1 T1 1 T2
45
20 40 60 80
40
60
90 135 180
270
10 [例]系统开环传函为： GK ( s) (0 25s 1)(0 (0.25 1)(0.25 25s 2 0 0.4 4 s 1)
自动控制理论
周治国
第五章 控制系统的频率特性
• • • • • • §5.1 §5 2 §5.2 §5 3 §5.3 §5.4 §5.5 §5.6 引言 频率特性 典型环节频率特性图 奈奎斯特稳定判据 控制系统的相对稳定性 频率特性与控制系统的性能指标
本次课重点
• 典型环节对数频率特性图 • 最小相位系统 • 开环对数频率特性的绘制
渐近线误差
L( ) 20 lg (1 T 2 2 ) 2 (2T ) 2
L( ) 20 lg (1 T 2 2 ) 2 (2T ) 2 40 lg(T )
L( n ) 20 lg(2 )
6.振荡环节-I
n2 G ( s) 2 2 s 2 n n n 1 0 .4
(4)从低频渐近线开始，沿增大的方向，每遇到一个转 折频率改变 次渐近线斜率 直到绘出转折频率最高的环 折频率改变一次渐近线斜率，直到绘出转折频率最高的环 节为止； 惯性环节： -20dB/dec 振荡环节： -40dB/dec 一阶微分环节：+20dB/dec 二阶微分环节：+40dB/dec (5)若有必要可对渐近线进行修正以获得准确的幅频特性； (6)相频特性曲线由各环节的相频特性相加获得。 相频特性曲线由各环节的相频特性相加获得 注意：对数幅频特性曲线上要标明斜率！
§5.3
典型环节频率特性图
n
5 3 4开环对数频率特性的绘制 5.3.4
将开环传递函数表示成若干典型环节的串联形式： 将开环传递函数表示成若干典型环节的串联形式
G ( s ) G1 ( s )G2 ( s ) Gn ( s ) G ( j ) Gi ( j ) A( )e j ( )
G ( s) K K 1 K 2 K 5 K 10 K 100
2.积分环节
1 G ( s) s
3.惯性环节
1 G ( s) Ts 1 T 1
补充：
1 G (s) Ts 1 T 1
1 G (s) Ts 1 T 1
1 G (s) s 1 Ts
纯微分环节
G(s) s
二阶微分
G(s) T 2 s2 2 Ts 1
1.0 10 0.7 0.5 0.3 0.1 0.2
振荡环节
1 G( s) 2 2 T s 2 Ts 1
0.1 0.2 0.3 0.5 0.7 1.0
[例]开环系统传函为： 试画出该系统的伯德图 试画出该系统的伯德图。
K , T1 T2 0 GK ( s ) s( (1 T1s )( )(1 T2 s )
1 1 2 T1 T2
( )
解： 系统 1, 1 1.该系统是1型系统 2.低频渐近线过点 (1,20lgK) 3.伯德图如下： 3 L()
60 dB / dec
§5.3
典型环节频率特性图
5 3 4开环对数频率特性的绘制 5.3.4
绘制开环系统Bode图的步骤:
(1)将开环传递函数表示为典型环节的串联； (2)确定各环节的转折频率并由小到大标在对数频率轴上； (3)计算 算20lgK，过点 过点(1,20lgK)作斜率等于 作斜率等 -20dB/dec 的直线，得到最低频段的渐近线或其延长线 线 得到最低 线 其 线(最低 最低频段的 斜率由积分环节个数决定)；
7.二阶微分环节
G ( s ) s 2 2 n n
2
n 1 0 .4
传递函数互为倒数的典型环节
1 惯性环节 G(s) Ts 1
一阶微分环节 G(s) Ts 1
对数幅频特性曲线关于0dB线对称； 相频特性曲线关于0o线对称。
积分环节
G (s) 1 s
3 3
§5.3
典型环节频率特性图
5.3.4开环对数频率特性的绘制
例2：已知开环传递函数 s 10( + 1) 5 G(s ) = 2 s s s s( + 1)( + + 1) 2 2 2 绘制系统的开环对数频率特性曲线
1 6.振荡环节-II
n2 G ( s) 2 2 s 2 n n n 1 0 .1 ~ 1
6.振荡环节-III
0 .1
n2 G ( s) 2 2 s 2 n n n 1 0 .1 ~ 1
1
6.振荡环节-Matlab程序
1 G (s) Ts 1
4.纯微分环节
G ( s) s
5.一阶微分环节
G ( s ) s 1 1
补充：
G ( s ) s 1 1
G ( s ) s 1 1
G ( s ) s 1
G ( s ) s 1
6.振荡环节-I
0.1 0.2 0.3 0.5 0.7 1.0
L( )(dB B)
1 10T
( )(°)
0.1 0.2 0.3 0.5 0.7 1.0
1 5T 1 2T 1 T 2 T 5 T 10 T
1 时 T 1 时 T 1 时 T
L( ) 0
低频渐近线为0dB的水平线
L( ) 20 lg (T 2 2 ) 2 40 lg T
高频渐近线斜率为 40dB/Dec 高频渐近线斜率为-
1/T --转折频率
相频特性： 0时
( ) 0
2 1 时 ( ) arc tan( ) 90 T 0 时 ( ) 180
试绘制系统的开环对数频率特性。 解： 1.该系统是0型系统
1 1 4 T1
0, K 10, T1 0.25, T2 0.5
1 2 2 T2
20 lg l K 20dB
2 低频渐近线过点(1,20lg10) 2. (1 20lg10) 3.开环对数幅频特性如下： L() 20 1 2 -40 40 4
20 dB / dec
60 dB / dec 80 dB / dec 7 .5
60 dB / dec
1 2 2 2
3 3
20 dB / dec
60 dB / dec
80 dB / dec 7 .5
60 dB / dec
1 2 2 2
斜率为 -20 斜率为： 20=0dB/dec
-60 100
40 60
2
4
红线为渐近线 兰线为实际曲线 红线为渐近线，兰线为实际曲线。
2000 s 4000 [例]系统开环传函为： GK ( s ) 2 s ( s 1)( s 2 10s 400)
试绘制系统的开环对数幅率特性。 解：
i 1
n A( ) Ai ( ) i 1 n ( ) ( ) i i 1
L( ) 20 lg A( ) 20 lg Ai ( )
i 1
n
结论： 对数幅频特性=组成系统的各典型环节的对数幅频特性之代数和。 相频特性=组成系统的各典型环节的相频特性之代数和。
1 1 1 T1
2
1 2 T2
20 lg K 20dB
1 3 20 T3
2.低频渐近线过点(1,20) 斜率为： -20=-40dB/dec
3.开环对数幅频特性：
转折频率
环节 惯性 一阶微分 微分 振荡
1 1
L( )
60
40
40dB / dec
2 2
sys6 tf(num, den); den [1,1.4,1]; sys7 tf(num, den); den [1,1.6,1]; [1 1 6 1]; sys8 tf(num, den); den [1,1.8,1]; sys9 tf(num, den); den [1,2,1]; sys10 sys 0 tf( tf(num, u , de den); ); bode(sys1, sys2, sys3, sys4, sys5, sys6 sys7, sys6, sys7 sys8, sys8 sys9, sys9 sys10); grid on;
20 lg G( j w)
§5.3
典型环节频率特性图
对数频率特性图
§5.3
典型环节频率特性图
1 比例（放大）环节 1. 2.积分环节 3.惯性环节 4.纯微分环节 5 一阶微分环节 5. 阶微分环节 6.振荡环节 7.二阶微分环节 8.延迟环节
5 3 2对数频率特性图 5.3.2
1.比例（放大）环节
§5.3
典型环节频率特性图
5.3.3最小相位系统
如果一个环节传递函数的极点和零点的实部都小于或等于零， 则称这个环节为最小相位环节。 数学上可以证明，对于最小相位系统，对数幅频和相频特性不 ， 是相互独立的，两者之间存在着严格的关系。两者包含的信息 内容是相同的。 从建立数学模型和分析、设计系统的角度看，只要详细地画出 两者中的 个就足够了 两者中的一个就足够了。
num [1]; den [1,0.2,1]; sys1 tf(num, den); den [1,0.4,1]; [1 0 4 1]; sys2 tf(num, den); d [1,0.6,1]; den [1 0 6 1] sys3 tf(num, den); den [1,0.8,1]; sys4 tf(num, den); den [1,1,1]; sys5 y tf(num, f( , den); ); den [1,1.2,1];
1
斜率为： -20=-20dB/dec
1 T1 1 T2
20
1 T1 1 T2
45
20 40 60 80
40
60
90 135 180
270
10 [例]系统开环传函为： GK ( s) (0 25s 1)(0 (0.25 1)(0.25 25s 2 0 0.4 4 s 1)
自动控制理论
周治国
第五章 控制系统的频率特性
• • • • • • §5.1 §5 2 §5.2 §5 3 §5.3 §5.4 §5.5 §5.6 引言 频率特性 典型环节频率特性图 奈奎斯特稳定判据 控制系统的相对稳定性 频率特性与控制系统的性能指标
本次课重点
• 典型环节对数频率特性图 • 最小相位系统 • 开环对数频率特性的绘制
渐近线误差
L( ) 20 lg (1 T 2 2 ) 2 (2T ) 2
L( ) 20 lg (1 T 2 2 ) 2 (2T ) 2 40 lg(T )
L( n ) 20 lg(2 )
6.振荡环节-I
n2 G ( s) 2 2 s 2 n n n 1 0 .4
(4)从低频渐近线开始，沿增大的方向，每遇到一个转 折频率改变 次渐近线斜率 直到绘出转折频率最高的环 折频率改变一次渐近线斜率，直到绘出转折频率最高的环 节为止； 惯性环节： -20dB/dec 振荡环节： -40dB/dec 一阶微分环节：+20dB/dec 二阶微分环节：+40dB/dec (5)若有必要可对渐近线进行修正以获得准确的幅频特性； (6)相频特性曲线由各环节的相频特性相加获得。 相频特性曲线由各环节的相频特性相加获得 注意：对数幅频特性曲线上要标明斜率！
§5.3
典型环节频率特性图
n
5 3 4开环对数频率特性的绘制 5.3.4
将开环传递函数表示成若干典型环节的串联形式： 将开环传递函数表示成若干典型环节的串联形式
G ( s ) G1 ( s )G2 ( s ) Gn ( s ) G ( j ) Gi ( j ) A( )e j ( )
G ( s) K K 1 K 2 K 5 K 10 K 100
2.积分环节
1 G ( s) s
3.惯性环节
1 G ( s) Ts 1 T 1
补充：
1 G (s) Ts 1 T 1
1 G (s) Ts 1 T 1
1 G (s) s 1 Ts
纯微分环节
G(s) s
二阶微分
G(s) T 2 s2 2 Ts 1
1.0 10 0.7 0.5 0.3 0.1 0.2
振荡环节
1 G( s) 2 2 T s 2 Ts 1
0.1 0.2 0.3 0.5 0.7 1.0
[例]开环系统传函为： 试画出该系统的伯德图 试画出该系统的伯德图。
K , T1 T2 0 GK ( s ) s( (1 T1s )( )(1 T2 s )
1 1 2 T1 T2
( )
解： 系统 1, 1 1.该系统是1型系统 2.低频渐近线过点 (1,20lgK) 3.伯德图如下： 3 L()
60 dB / dec
§5.3
典型环节频率特性图
5 3 4开环对数频率特性的绘制 5.3.4
绘制开环系统Bode图的步骤:
(1)将开环传递函数表示为典型环节的串联； (2)确定各环节的转折频率并由小到大标在对数频率轴上； (3)计算 算20lgK，过点 过点(1,20lgK)作斜率等于 作斜率等 -20dB/dec 的直线，得到最低频段的渐近线或其延长线 线 得到最低 线 其 线(最低 最低频段的 斜率由积分环节个数决定)；
7.二阶微分环节
G ( s ) s 2 2 n n
2
n 1 0 .4
传递函数互为倒数的典型环节
1 惯性环节 G(s) Ts 1
一阶微分环节 G(s) Ts 1
对数幅频特性曲线关于0dB线对称； 相频特性曲线关于0o线对称。
积分环节
G (s) 1 s
3 3
§5.3
典型环节频率特性图
5.3.4开环对数频率特性的绘制
例2：已知开环传递函数 s 10( + 1) 5 G(s ) = 2 s s s s( + 1)( + + 1) 2 2 2 绘制系统的开环对数频率特性曲线
1 6.振荡环节-II
n2 G ( s) 2 2 s 2 n n n 1 0 .1 ~ 1
6.振荡环节-III
0 .1
n2 G ( s) 2 2 s 2 n n n 1 0 .1 ~ 1
1
6.振荡环节-Matlab程序
1 G (s) Ts 1
4.纯微分环节
G ( s) s
5.一阶微分环节
G ( s ) s 1 1
补充：
G ( s ) s 1 1
G ( s ) s 1 1
G ( s ) s 1
G ( s ) s 1
6.振荡环节-I
0.1 0.2 0.3 0.5 0.7 1.0
L( )(dB B)
1 10T
( )(°)
0.1 0.2 0.3 0.5 0.7 1.0
1 5T 1 2T 1 T 2 T 5 T 10 T
1 时 T 1 时 T 1 时 T
L( ) 0
低频渐近线为0dB的水平线
L( ) 20 lg (T 2 2 ) 2 40 lg T
高频渐近线斜率为 40dB/Dec 高频渐近线斜率为-
1/T --转折频率
相频特性： 0时
( ) 0
2 1 时 ( ) arc tan( ) 90 T 0 时 ( ) 180
试绘制系统的开环对数频率特性。 解： 1.该系统是0型系统
1 1 4 T1
0, K 10, T1 0.25, T2 0.5
1 2 2 T2
20 lg l K 20dB
2 低频渐近线过点(1,20lg10) 2. (1 20lg10) 3.开环对数幅频特性如下： L() 20 1 2 -40 40 4
20 dB / dec
60 dB / dec 80 dB / dec 7 .5
60 dB / dec
1 2 2 2
3 3
20 dB / dec
60 dB / dec
80 dB / dec 7 .5
60 dB / dec
1 2 2 2
斜率为 -20 斜率为： 20=0dB/dec
-60 100
40 60
2
4
红线为渐近线 兰线为实际曲线 红线为渐近线，兰线为实际曲线。
2000 s 4000 [例]系统开环传函为： GK ( s ) 2 s ( s 1)( s 2 10s 400)
试绘制系统的开环对数幅率特性。 解：
i 1
n A( ) Ai ( ) i 1 n ( ) ( ) i i 1
L( ) 20 lg A( ) 20 lg Ai ( )
i 1
n
结论： 对数幅频特性=组成系统的各典型环节的对数幅频特性之代数和。 相频特性=组成系统的各典型环节的相频特性之代数和。
1 1 1 T1
2
1 2 T2
20 lg K 20dB
1 3 20 T3
2.低频渐近线过点(1,20) 斜率为： -20=-40dB/dec
3.开环对数幅频特性：
转折频率
环节 惯性 一阶微分 微分 振荡
1 1
L( )
60
40
40dB / dec
2 2
sys6 tf(num, den); den [1,1.4,1]; sys7 tf(num, den); den [1,1.6,1]; [1 1 6 1]; sys8 tf(num, den); den [1,1.8,1]; sys9 tf(num, den); den [1,2,1]; sys10 sys 0 tf( tf(num, u , de den); ); bode(sys1, sys2, sys3, sys4, sys5, sys6 sys7, sys6, sys7 sys8, sys8 sys9, sys9 sys10); grid on;
20 lg G( j w)
§5.3
典型环节频率特性图
对数频率特性图
§5.3
典型环节频率特性图
1 比例（放大）环节 1. 2.积分环节 3.惯性环节 4.纯微分环节 5 一阶微分环节 5. 阶微分环节 6.振荡环节 7.二阶微分环节 8.延迟环节
5 3 2对数频率特性图 5.3.2
1.比例（放大）环节
§5.3
典型环节频率特性图
5.3.3最小相位系统
如果一个环节传递函数的极点和零点的实部都小于或等于零， 则称这个环节为最小相位环节。 数学上可以证明，对于最小相位系统，对数幅频和相频特性不 ， 是相互独立的，两者之间存在着严格的关系。两者包含的信息 内容是相同的。 从建立数学模型和分析、设计系统的角度看，只要详细地画出 两者中的 个就足够了 两者中的一个就足够了。
num [1]; den [1,0.2,1]; sys1 tf(num, den); den [1,0.4,1]; [1 0 4 1]; sys2 tf(num, den); d [1,0.6,1]; den [1 0 6 1] sys3 tf(num, den); den [1,0.8,1]; sys4 tf(num, den); den [1,1,1]; sys5 y tf(num, f( , den); ); den [1,1.2,1];