实数的基本定理

第三章 关于实数的基本定理及闭区间上连续函数性质的证明六个基本定理： 1实数戴德德公理 确界原理2数列的单调有界定理 3区间套定理 4聚点定理 致密性定理5数列柯西收敛准则 6有限覆盖定理定理(确界原理) 设S 为非空数集．若S 有上界，则S 必有上确界；若S 有下界，则S 必有下确界．定理 单调有界数列必收敛. 证明 不妨设{}n a 为有上界的递增数列．由确界原理，数列{}n a 有上确界，记{}n a a sup =．下面证明a 就是{}n a 的极限．事实上，任给0>ε，按上确界的定义，存在数列{}n a 中某一项N a ，使得N a a ε-<．又由{}n a 的递增性，当N n ≥时有n N a a a <<-ε．另一方面，由于a 是{}n a 的一个上界，故对一切n a 都有ε+<≤a a a n ．所以当N n ≥时有εε+<<-a a a n ，即a a n n =∞→lim ．同理可证有下界的递增数列必有极限，且其极限即为它的下确界．（区间套定理） 若[]{}n n b a ,是一个区间套，则在实数系中存在唯一的一点ξ，使得ξ∈[]n n b a ,，,2,1=n ，即ξ≤n a n b ≤， .,2,1 =n （2） 证 由（1）式，{}n a 为递增有界数列，依单调有界定理，{}n a 有极限ξ，且有 .,2,1, =≤n a n ξ （3） 同理，递减有界数列{}n b 也有极限，并按区间套的条件（¡¡）有ξ==∞→∞→n n n n a b lim lim ， （4）且 .,2,1, =≥n b n ξ （5） 联合（3）、（5）即得（2）式。

最后证明满足（2）的ξ是唯一的。

设数ξ'也满足 ,,2,1, =≤'≤n b a n n ξ则由（2）式有≤'-ξξ.,2,1, =-n a b n n 由区间套的条件（¡¡）得≤'-ξξ0)(lim =-∞→n n n a b ，故有ξξ='.由（4）式容易推得如下很有用的区间套性质：推论 若[]),2,1(, =∈n b a n n ξ是区间套[]{}n n b a ,所确定的点，则对任给的ε>0，存在N>0，使得当n >N 时有[]n n b a ,⊂()．；εξU致密性定理定义2 设S 为数轴上的点集，ξ为定点(它可以属于S ，也可以不属S)．ξ的任何邻域内都含有S 中无穷多个点，则称ξ为点集S 的一个聚点．等价定义如下：定义2’ 对于点集S ，若点ξ的任何ε邻域内都含有S 中异于ξ的点，即Φ≠S U );(0εξ，则称ξ为S 的一个聚点．定义2” 若存在各项互异的收敛数列{}S x n ⊂，则其极限ξ=∞→n n x lim 称为S 的一个聚点现证定义2’ ⇒定义2”设ξ为S(按定义2’)的聚点，则对任给的0>ε，存在()S U xεξ;∈．令11=ε，则存在()S U x11;εξ∈；令⎪⎭⎫ ⎝⎛-=12,21min x ξε，则存在()S U x22;εξ∈，且显然12x x ≠；令⎪⎭⎫⎝⎛-=-1,1min n n x n ξε，则存在()S U x n n εξ;∈，且11,,-n n x x x 与互异。

无限地重复以上步骤，得到S 中各项互异的数列{}n x ，且由nx n n 1≤<-εξ，易见ξ=∞→n n x lim 。

下面我们应用区间套定理来证明聚点定理．定理 (魏尔斯特拉斯(Weierstrass)聚点定理) 实轴上的任一有界无限点集S 至少有一个聚点． 证 因S 为有界点集，故存在0>M ，使得[]M M S ,-⊂，记[][]M M b a ,,11-=现将[]11,b a 等分为两个子区间．因S 为无限点集，故两个子区间中至少有一个含有S 中无穷多个点，记此子区间为[]22,b a ，则[][]2211,,b a b a ⊃且()M a b a b =-=-112221再将[]22,b a 等分为两个子区间，则其中至少有一个子区间含有S 中无穷多个点，取出这样的一个子区间，记为[]33,b a ，则[][]3322,,b a b a ⊃，且()2212233M a b a b =-=- 将此等分子区间的手续无限地进行下去，得到一个区间列[]{}n n b a ,，它满足[][]11,,++⊃n n n n b a b a ,,,2,1 =n021→=--n n n Ma b ()∞→n 即[]{}n n b a ,是区间套，且其中每一个闭区间都含有S 中无穷多个点．由区间套定理，存在唯一的一点[]n n b a ,∈ξ，,,2,1 =n ．于是由定理5的推论，对任给的0>ε，存在0>N ，当M n >时有[]()εξ;,U b a n n ⊂．从而()εξ;U 内含有S 中无穷多个点，按定义2，ξ为S 的一个聚点．推论(致密性定理) 有界数列必含有收敛子列．证 设{}n x 为有界数列．若{}n x 中有无限多个相等的项，则由这些项组成的子列是一个常数列，而常数列总是收敛的.若{}n x 不含有无限多个相等的项，则其在数轴上对应的点集必为有界无限点集，故由聚点定理，点集{}n x 至少有一个聚点，记为ξ。

则存在{}n x 的一个收敛子列(以ξ为其极限).推论 若{}n x 是一个无界数列，则存在子列k n x →∞。

证明 取界为k ,则存在着一个项1k k n n x x -位于之后，则有k n x k >。

（前面有限个项是有界的）。

Cauchy 收敛原理 数列{ }n x 收敛 ⇔ 0,,N N ε+∀>∃∈当,n m N >时，有n m x x ε-<。

证 充分性设数列{}n a 满足柯西条件．先证明{}n a 是有界的．为此，取,1=ε则存在正整数N ，当m=N+1及n>N 时有.11<-+N n a a由此得n a =+-≤+-+++111N n N N n a a a a a 111+<++N N a a .令 M=max {},1,,,,121++N N a a a a则对一切正整数n 均有.M a n ≤于是，由致密性定理，有界数列{}n a 必有收敛子列{},k n a 设k n k a ∞→lim =A ．对任给的ε>0，存在K>0，当m,n,k>K 时，同时有2ε<-m n a a (由柯西条件)，).lim (2∞→=<-k n n A a A a k k 由ε因而当取m=n k (K k >≥)时，得到 .22εεε=+<-+-≤-A a a a A a k k n n n n这就证明了A a n n =∞→lim .(海涅一博雷尔(Heine —Borel)有限覆盖定理) 设H 为闭区间[]b a ,的一个(无限)开覆盖，则从H 中可选出有限个开区间来覆盖[]b a ,证 用反证法 假设定理的结论不成立，即不能用H 中有限个开区间来覆盖[]b a ,．将[]b a ,等分为两个子区间，则其中至少有一个子区间不能用H 中有限个开区间来覆盖．记这个子区间为[]11,b a ，则[][]b a b a ,,11⊂，且()a b a b -=-2111． 再将[]11,b a 等分为两个子区间，同样，其中至少有一个子区间不能用H 中有限个开区间来覆盖．记这个子区间为[]22,b a ，则[][]1122,,b a b a ⊂，且()a b a b -=-22221． 重复上述步骤并不断地进行下去，则得到一个闭区间列[]{}n n b a ,，它满足 [][]11,,++⊃n n n n b a b a ，,,2,1 =n()()∞→→-=-n a b a b n n n 021即[]{}n n b a ,是区间套，且其中每一个闭区间都不能用H 中有限个开区间来覆盖由区间套定理，存在唯一的一点()n n b a ,∈ξ， ,2,1=n ．由于H 是[]b a ,，的一个开覆盖，故存在开区间()H ∈βα,，使()βαξ,∈．由定理5推论，当n 充分大时有 []()βα,,⊂n n b a这表明[]n n b a ,只须用H 中的一个开区间()βα,就能覆盖，与挑选[]n n b a ,时的假设“不能用H 中有限个开区间来覆盖”相矛盾．从而证得必存在属于H 的有限个开区间能覆盖[]b a ,． 有界性定理 若函数f 在闭区间[]b a ,上连续，则f 在[]b a ,上有界．证 [证法一] (应用致密性定理) 倘若f 在[]b a ,上无上界，则对任何正整数n ，存在[]b a x n ,∈，使得()n x f n >．依次取 ,2,1=n ，则得到数列{}[]b a x n ,⊂．由致密性定理，它含有收敛子列{}k n x ，记ξ=∞→k n k x lim 。

由b x a k n ≤≤及数列极限的保不等式性，[]b a ,∈ξ．利用f 在点ξ连续，推得()()+∞<=∞→ξf x f k n k lim另一方面，由n x 的选取方法又有()()+∞=⇒+∞→≥>∞→k k n k k n x f k n x f lim与(1)式矛盾．所以f 在[]b a ,有上界．类似可证f 在[]b a ,有下界，从而f 在[]b a ,上有界.[证法二] (应用有限覆盖定理) 由连续函数的局部有界性(定理4．2)，对每一点[],,b a x ∈'都存在邻域);(x x U ''δ及正数x M '，使得[].,);(,)(b a x U x M x f x x '''∈≤δ考虑开区间集 []{}b a x x U H x ,);(∈''='δ,显然H 是[]b a ,的一个无限开覆盖．由有限覆盖定理，存在H 的一个有限子集()[]{}k i b a x x U i i i ,,2,1,,;* =∈=H δ覆盖了[]b a ,，且存在正数k M M M ,,,21 ，使得对一切()[]b a x U x i i ,; δ∈有().,,2,1,k i M x f i =≤ 令,max 1i ki M M ≤≤=则对任何[]b a x ,∈，x 必属于某()()M M x f x U i i i ≤≤⇒δ;．即证得f 在[]b a ,上有界． 注：开区间上的连续函数既可能有界，也可能无界。