宁夏银川一中2016-2017学年高二上学期期末考试数学(理)试题-Word版含答案
1银川一中2016/2017学年度(上)高二期末考试数学(理科)一、选择题（每小题5分，共60分） 1．抛物线241x y =的准线方程是( )A ．1-=yB ．1=yC ．161-=xD ．161=x2．若方程x 2+ky 2=2表示焦点在y 轴上的椭圆，那么实数k 的取值范围是 ( ) A ．(0，+∞)B ．(0，2)C ．(1，+∞)D ．(0，1)3．若双曲线E ：116922=-y x 的左、右焦点分别为F 1、F 2，点P 在双曲线E上，且|PF 1|=3，则|PF 2|等于 ( ) A ．11B ．9C ．5D ．3或94．已知命题p ：∀x ∈R ，2x 2+2x +21<0，命题q ：∃x 0∈R ，sinx 0-cosx 0=2，则下列判断中正确的是 ( ) A ．p 是真命题B ．q 是假命题C ．⌝p 是假命题D ． ⌝q是假命题5．一动圆P 过定点M (-4，0)，且与已知圆N ：(x -4)2+y 2=16相切，则动圆圆心P 的轨迹方程是 ( ) A ．)2(112422≥=-x y xB ．)2(112422≤=-x y xC ．112422=-y xD ．112422=-x y6．已知向量a=(1，0，-1)，则下列向量中与a 成60°夹角的是 ( ) A ．(-1，1，0)B ．(1，-1，0)C ．(0，-1，1)D ．(-1，0，1)7．已知椭圆E 的中心为坐标原点，离心率为21，E 的右焦点与抛物线C ：y 2=8x 的焦点重合，点A 、B 是C 的准线与E 的两个交点，则|AB |= ( ) A ．3B ．6C ．9D ．128．若ab ≠0，则ax -y +b =0和bx 2+ay 2=ab 所表示的曲线只可能是下图中的 ( )2MC 1BA 19．设Q P ,分别为圆()2622=-+y x 和椭圆11022=+y x 上的点，则Q P ,两点间的最大距离 是（ ）A. 25B.246+C.27+D.2610．若AB 是过椭圆22221(0)x y a b a b+=>>中心的一条弦，M 是椭圆上任意一点，且AM ，BM 与两坐标轴均不平行，k AM ，k BM 分别表示直线AM ，BM 的斜率，则k AM ·k BM =( ) A. 22c a-B. 22b a-C. 22c b-D. 22a b-11．已知抛物线x 2=4y 上有一条长为6的动弦AB ，则AB 的中点到x 轴的最短距离为( )A ．34B ． 32C ．1D ．212．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左焦点为F ,C 与过原点的直线相交于A 、B 两点,连接AF 、BF . 若|AB |=10,|BF |=8，cos ∠ABF =45,则C 的离心率为 ( )A. 35B. 57C. 45D. 67二、填空题（每小题5分，共20分）13．若抛物线y ²=-2px (p >0)上有一点M ，其横坐标为-9，它到焦点的距离为10，则点M 的坐标为________.14．过椭圆22154x y +=的右焦点作一条斜率为2的直线与椭圆 交于A ，B 两点，O 为坐标原点，则△OAB 的面积为______ 15．如图，M 、N 分别是四面体OABC 的棱AB 与OC 的中点，已知向量MN xOA yOB zOC =++,则xyz=_________.16．已知双曲线221124x y -=的右焦点为F ，若过点F 的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此直线斜率的取值范围是________. 三、解答题（共70分）17. （本小题满分10分）(1)是否存在实数m ，使2x +m <0是x 2-2x -3>0的充分条件？ (2)是否存在实数m ，使2x +m <0是x 2-2x -3>0的必要条件？18. （本小题满分12分）在三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，AA 1⊥平面ABC ，AB=AC=AA 1,3∠CAB=90°,M 、N 分别是AA 1和AC 的中点.（1） 求证：MN ⊥BC 1（2） 求直线MN 与平面BCC 1B 1所成角.19. （本小题满分12分）双曲线C 的中心在原点，右焦点为⎪⎪⎭⎫⎝⎛0,332F ，渐近线方程为x y 3±=.(1)求双曲线C 的方程；(2)设点P 是双曲线上任一点，该点到两渐近线的距离分别为m 、n .证明n m ⋅是定值.20. （本小题满分12分）已知抛物线C 的顶点在坐标原点O ，对称轴为x 轴，焦点为F ，抛物线上一点A 的横坐标为2，且10=⋅OA FA .(1)求此抛物线C 的方程.(2)过点(4，0)作直线l 交抛物线C 于M 、N 两点，求证：OM ⊥ON21. （本小题满分12分）如图，已知ABCD 是正方形，PD ⊥平面ABCD ，PD=AD. (1)求二面角A-PB-D 的大小；(2)在线段PB 上是否存在一点E,使PC ⊥平面ADE?若存在, 确定E 点的位置,若不存在,说明理由.22. （本小题满分12分）如图，设椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为12,F F ，点D在椭圆上，12112121,F F DF F F DF F DF ⊥=∆. (1)求椭圆的标准方程;(2)是否存在圆心在y 轴上的圆,使圆在x 轴的上方与椭圆有两个交点,且圆在这两个交点处的两条切线相互垂直并分别过不同的焦点?若存在,求出圆的方程,若不存在,请说明理由.高二期末数学（理科）试卷答案一.选择题（每小题5分，共60分） 1-6 ADBDCB 7-12 BCDBDB二．填空题（每小题5分，共20分）13. （-9,6）或（-9，-6） 14. 35 15. 8116.⎥⎦⎤⎢⎣⎡3333-， 三．解答题（共70分） 17. (1)欲使得是的充分条件, 则只要或,则只要即,故存在实数时, 使是的充分条件.(2)欲使是的必要条件,则只要或,则这是不可能的, 故不存在实数m 时,使是的必要条件.18.（1）解：接连A 1C 、AC 1在平面AA 1C 1C 内，∵AA 1⊥平面ABC AA 1=AC ∴A 1C ⊥AC 1 又∵∠CAB=90︒即AB ⊥AC 、AA 1⊥AB且 AA 1∩AC=A ∴AB ⊥平面AA 1C 1C又∵A 1C 在平面AA 1C 1C 内 ∴A 1C ⊥AB又∵AB∩AC 1=A ∴A 1C ⊥平面ABC 1 又∵BC 1在平面ABC 1内 ∴A 1C ⊥BC 1又∵M,N 分别是AA 1和AC 的中点. ∴A 1C ∥MN ∴MN ⊥BC 1. （2）解：取C 1B 1的中点D ，连接CD∵A 1B 1=A 1C 1 ∴A 1D ⊥B 1C 1 又∵CC 1∥AA 1 AA 1⊥平面ABC∴CC 1⊥平面ABC 即CC 1平面A 1B 1C 1 又∵A 1D 在平面A 1B 1C 1内 ∴A 1D ⊥CC 1 且CC 1∩C 1B 1=C CD 在平面CBB 1C 1内 ∴A 1D ⊥CD ∴cos ∠A 1CD=C A CD 1=23∴∠A 1CD=30°又∵MN ∥A 1C 即MN 与平面BCC 1B 1所成角为30°519. （1）易知 双曲线的方程是1322=-y x . （2）设P ()00,y x ，已知渐近线的方程为：x y 3±= 该点到一条渐近线的距离为：13300+-=y x m到另一条渐近线的距离为13300++=y x n412232020=⨯-=⋅y x n m 是定值.20. （1）根据题意，设抛物线的方程为（），因为抛物线上一点的横坐标为，设，因此有，......1分 因为，所以，因此，......3分解得，所以抛物线的方程为； (5)分（2）当直线的斜率不存在时，此时的方程是：，因此M，N，因此NO M O ⋅，所以OM ⊥ON ； ......7分 当直线的斜率存在时，设直线的方程是，因此，得，设M，N，则，，， ......9分 所以NO M O⋅，所以OM ⊥ON 。
......11分 综上所述，OM ⊥ON 。
21. （1）以向量,,DA DC DP 为正交基底，建立空间直角坐标系.联结AC,交BD 于点O,取PA 中点G,联结DG. ∵ABCD 是正方形,∴AC ⊥DB.又PD ⊥平面ABCD,AC ⊂平面ABCD, ∴AC ⊥PD, ∴AC ⊥平面PBD.∵PD ⊥平面ABCD ，AB ⊥AD ，∴PA ⊥AB. ∴AB ⊥平面PAD.∵PD=AD,G 为PA 中点, ∴GD ⊥平面PAB.故向量DG AC 与分别是平面PBD 与平面PAB 的法向量. 令PD=AD=2，则A(2，0，0)，C(0，2，0)，∴AC =(-2，2，0). ∵P(0,0,2),A(2,0,0), ∴G(1,0,1),∴DG =(1,0,1).∴向量DG AC 与的夹角余弦为212222cos -=⋅-=⋅=DGAC θ，∴0120=θ,∴二面角A-PB-D 的大小为060. （2）∵PD ⊥平面ABCD ，AD ⊥CD ，∴AD ⊥PC. 设E 是线段PB 上的一点，令)10(<<=λλPB PE .6∴=AP (-2,0,2),=PB (2,2,-2),=PC (0,2,-2).∴)2,2,2(λλλ-=PE . ∴)22,2,22(λλλ-+-=+=PE AP AE . 令得,0=⋅PC AE 222-⋅λ(2-λ2)=0,得21=λ. ∴当21=λ,即点E 是线段PB 中点时,有AE ⊥PC. 22如图，设椭圆22221(0)x ya b a b+=>>的左、右焦点分别为12,F F ，点D 在椭圆上，12112121,22,F F DF F F DF F DF ⊥=∆的面积为22.(1)求椭圆的标准方程;(2)是否存在设圆心在y 轴上的圆,使圆在x 轴的上方与椭圆有两个交点,且圆在这两个交点处的两条切线相互垂直并分别过不同的焦点?若存在,求出圆的方程,若不存在,请说明理由.【解题提示】(1)直接根据椭圆的定义及题设条件可求出椭圆的标准方程.(2)直接设出交点坐标然后根据椭圆与圆的对称性列出方 程组求解.(1)设12(,0),(,0),F c F c -其中222.c a b =-由12122F F DF =得1212.222F F DF c == 从而122112122,222DF F S DF F F c ∆=== 故 1.c = 从而12,2DF =由112DF F F ⊥得22221129,2DF DF F F =+=因此232.2DF =所以12222,a DF DF =+=故2,a =222 1.b a c =-=因此，所求椭圆的标准方程为22 1.2x y +=（2）如图，设圆心在y 轴上的圆C 与椭圆2212xy +=相交，()()111222,,,P x y P x y 是两个交点，1211220,0,,y y FP F P >> 是圆C 的切线，7且1122.F P F P ⊥由圆和椭圆的对称性，易知，2112,.x x y y =-= 由（1）知12(1,0),(1,0),F F -所以11112211(1,),(1,).F P x y F P x y =+=-- 再由1122.F P F P ⊥得2211(1)0.x y -++=由椭圆方程得22111(1),2x x -=+ 即211340.x x +=解得143x =-或10.x =当10x =时，12,P P 重合，此时题设要求的圆不存在.当143x =-时, 过12,P P 分别与1122,F P F P 垂直的直线的交点即为圆心.C 设0(0,)C y由111,F P CP ⊥得10111 1.1y y yx x -•=-+ 而1111,3y x =+= 故05.3y = 圆C的半径13CP == 综上,存在满足题设条件的圆,其方程为22532.39x y ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭。
宁夏银川二中2016-2017学年高二上学期期中数学试卷(理科) 含解析
2016-2017学年宁夏银川二中高二（上）期中数学试卷(理科）一、选择题:1．已知集合M=｛x|｜x﹣1|＜1}，N={x｜x2＞4｝，则（）A．M∩N=∅ B．M∩N=M C．M∩N=N D．M∪N=R2．在三角形ABC中,AB=5，AC=3,BC=7,则∠BAC大小为（)A． B． C． D．3．已知点A(﹣1,2）和点B(4，﹣6）在直线2x﹣ky+4=0的两侧，则实数k的取值范围是（)A．(﹣2，1）B．（﹣1，2) C．(﹣∞,1）∪（﹣2,+∞）D．（﹣∞，﹣2）∪（1，+∞）4．已知{a n｝是等比数列，且a n＞0，a2a4+2a3a5+a4a6=25，那么a3+a5的值等于（）A．5 B．10 C．15 D．205．在△ABC中,acosA=bcosB,则△ABC的形状为()A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰或直角三角形D．等腰直角三角形6．下列四个命题中正确的是（）A．若a＞b,c＞d，则ac＞bdB．若ab≥0，则|a+b|=|a｜+|b|C．若x＞2，则函数y=x+有最小值2D．若a＜b＜0，则a2＜ab＜b27．已知x＜,则函数y=4x﹣2+的最大值是（）A．2 B．3 C．1 D．8．等差数列｛a n｝的前10项和为30，前20项和为100,则它的前30项和是() A．130 B．170 C．210 D．2609．已知点（x，y）在给出的平面区域内(如图阴影部分所示）,其中A(1，1），B （2,5），C(4，3)，若使目标函数Z=ax﹣y（a＞0)取得最大值的最优解有无穷多个，则a的值是(）A．B．1 C．4 D．10．函数y=3x+（x＞0）的最小值是()A．6 B．6 C．9 D．1211．若关于x的不等式|x+2｜﹣|x﹣1|＞a的解集不是空集，则实数a的取值范围是（）A．（3，+∞）B．(﹣3,+∞) C．(﹣∞，3) D．(﹣∞，﹣3）12．在△ABC中,角A、B、C所对的边为a，b，c,若a,b，c成等差数列，则角B 的范围是（）A．B．C． D．二、填空题：(本题共4小题，每空5分，共20分.）13．已知数列,则是该数列的第项．14．设A、B两点在河的两岸，一测量者在A的同侧所在的河岸边选定一点C，测出AC的距离为50m，∠ACB=45°，∠CAB=105°后，算出A、B两点的距离为m．15．设x＞0，y＞0且x+2y=1，求+的最小值．16．若a,b是正常数，a≠b,x，y∈（0,+∞),则,当且仅当时上式取等号．利用以上结论，可以得到函数(）的最小值为，取最小值时x的值为．三、解答题：(本大题共6小题，总分70分，解答时写出证明过程或演算步骤。
宁夏省银川一中高二数学上学期期末试卷 理 新人教A版
MD 1C 1B 1A 1D CBA一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．命题“∃Z x ∈，使022≤++m x x ”的否定是（ ） A. ∃Z x ∈，使m x x ++22＞0B. 不存在Z x ∈，使m x x ++22＞0C. ∀Z x ∈，使022≤++m x xD. ∀Z x ∈，使m x x ++22＞0 2．已知椭圆C 的左、右焦点坐标分别是)0,3(),0,3(-，离心率是23，则椭圆C 的方程为 ( )． A. 1222=+y x B ． 1422=+y x C. 1222=+y x D. 1422=+y x 3．设集合}3|),{(},136|),{(22x y y x B y x y x A ===-= ，则A ∩B 的子集的个数是（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 84．如图，在底面ABCD 为平行四边形的四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1 中，M 是AC 与BD 的交点，若c AA b AD a AB ===1,,， 则下列向量中与M B 1 相等的向量是（ ） A ．++-2121 B. ++2121 C ．-+-2121 D ．+--21215．已知条件2|1:|>+x p , 条件 265:x x q >-，则p ⌝是q ⌝的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件6. 已知双曲线)0,0(1:2222>>=-b a bx a y C 的离心率为25，则C 的渐近线方程为（ ）A ．x y 2±=B ．x y 21±= C ．x y 4±= D ．x y 41±= 7. 一个三棱锥的顶点在空间直角坐标系O-xyz 中的坐标分别是（1，-2，-3），（0，1，0）， （0，1，1），（0，0，1），则该四面体的体积为（ ） A ． 1 B ．21 C ．31 D ．618．过直线l ：9y x =+上的一点P 作一个长轴最短的椭圆，使其焦点为()()123,0,3,0F F -，则椭圆的方程为（ ）A ．131222=+y xB ．1162522=+y xC ．1364522=+y xD ．1728122=+y x 9. 如图，平面ABCD ⊥平面ABEF ，四边形ABCD 是正方形， 四边形ABEF 是矩形，且AF ＝AD 23，G 是EF 的中点，则GB 与平面AGC 所成角的正弦值为（ ） A.66B.621 C. 77 D.72110．已知命题p ：△ABC 所对应的三个角为A ，B ，C . A >B 是cos 2A <cos 2B 的充要条件；命题q ：函数))2,0((1tan 2tan 1π∈+++=x x x y 的最小值为1；则下列四个命题中正确的是（ ） A. q p ∧ B. q p ⌝∧ C. q p ∨⌝ D. q p ⌝∧⌝11. 已知向量321,,v v v 分别是空间三条不同直线321,,l l l 的方向向量，则下列命题中正确的是（ ）A ．)(,313221R v v l l l l ∈=⇒⊥⊥λλ B. )(//,313221R v v l l l l ∈=⇒⊥λλC. 321,,l l l 平行于同一个平面R ∈∃⇒μλ,，使得321v v v μλ+=D. 321,,l l l 共点R ∈∃⇒μλ,，使得321v v v μλ+=12. 过抛物线24y x =的焦点F 的直线交抛物线于,A B 两点，点O 是原点，若3AF =,则AOB ∆的面积为（ ）A.22 D. 二、填空题（每题5分，满分20分）13．有下列四个命题：①“若0x y += , 则,x y 互为相反数”的逆命题； ②“全等三角形的面积相等”的否命题；③“若1q ≤ ,则220x x q ++=有实根”的逆否命题； ④“不等边三角形的三个内角相等”逆命题； 其中真命题为___________________.14. 过点(1,1)M 作一直线与椭圆22194x y +=相交于A 、B 两点，若M 点恰好为弦AB 的中点，则AB 所在直线的方程为 ．15．抛物线顶点为O ，焦点为F ，M 是抛物线上的动点，则||||MF MO 的最大值为 ．16．设四面体的六条棱的长分别为1，1，1，1和a ，且长为a 的棱异面，则a 的取值范围是_________________. 三．解答题（满分70分） 17.（本小题满分10分）设抛物线x 2=2py （p >0）的焦点为F ，经过点F 的直线交抛物线于A 、B 两点，点C 在抛物线的准线上，DOCAB Pl yMDS且BC ∥y 轴.证明直线AC 经过原点O .18.（本小题满分12分）直三棱柱ABC －A ′B ′C ′中，AC ＝BC ＝AA ′，∠ACB ＝90°，D 、E 分别为AB 、BB ′的中点．(1)求证：CE ⊥A ′D ；(2)求异面直线CE 与AC ′所成角的余弦值．19. （本小题满分12分）已知点),(00y x P 是椭圆15:22=+y x C 上的一点。
宁夏回族自治区银川一中高二上学期期末考试试题(9科10
银川一中2015/2016学年度(上)高二期末考试数 学 试 卷(文科)命题人：一、选择题（每小题5分，共60分） 1．复平面内，复数虚部是（ ） A ．-1B ．1C ．-3D ．32．抛物线y=的焦点坐标是( )A ．(1,0)B ．(-1,0)C ．(0,1)D ．(0,-1) 3．若双曲线（a ＞0）的离心率为2，则a 等于（ ） A ．2 B ． C ． D ．1 4．已知复数z 满足，则z=（ ） A ． B. C. D.5．已知32()26f x x x x =-++，则f （x ）在点P （－1,2）处的切线与坐标轴围成的三角形面积等于（ ）A.4B.5C.D.6．过抛物线y 2=8x 的焦点作直线交抛物线于A ，B 两点，若线段AB 的中点的横坐标为4，则∣AB ∣等于 （ ）A ．12B ．8C ．6D ．4 7．函数＝在区间上的最大值与最小值分别是 ( )A. 5, -15B. 5, -4C. -4, -15D.-5, -158．若函数f (x )＝x 2＋2x ＋aln x 在(0,1)上单调递减，则实数a 的取值范围是( )A ．a≥0B ．a ＜０C ．a≤-4D ．a ＞-4 9．与双曲线共同的渐近线,且过点(-3,2)的双曲线的标准方程是（ ） A ． B ． C ． D ．10．若关于的方程在上有根，则实数的取值范围是( )A ．B ．C ．D ．11．已知抛物线的焦点为F ，过点F 的直线交抛物线于A ，B 两点，若A 且|AF|=4，则△OAB 的面积为( ) A ． B ． C ． D ．12．已知函数是定义在R 上的奇函数，f （2）=0，当时，有成立，则不等式x 2的解集是 ( ) A ． B ． C ． D ． 二、填空题（每小题5分，共20分）13．若双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的焦距是其一个焦点到一条渐近线距离的4倍，则该双曲线的离心率为_________.14．某少数民族的刺绣有着悠久的历史，下图（1）、（2）、（3）、（4）为她们刺绣最简单的四个图案，这些图案都是由小正方形构成，小正方形数越多刺绣越漂亮；现按同样的规律刺绣(小正方形的摆放规律相同)，设第个图形包含个小正方形，则 。
宁夏银川一中1617学年度高二下学期期末考试——数学理
宁夏银川一中2016—2017学年度下学期期末考试高二数学理试题一、选择题(每小题5分，共60分)1．已知一个回归方程为＝3－5x ，则变量x 增加一个单位时( ) A ．y 平均增加3个单位 B ．y 平均减少5个单位 C ．y 平均增加5个单位 D ．y 平均减少3个单位2．已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t ，y ＝－1＋t (t 为参数,)，则直线l 的普通方程为( )A ．x －y －2＝0B ．x －y ＋2＝0C ．x ＋y ＝0D ．x ＋y －2＝03．在极坐标系中，点(1，0)到直线θ＝π4(ρ∈R)的距离是( )A.12B.22C ．1 D. 2 4．若22520x x -+->2|2|x -等于（ ） A ． B ．3 C ． D ． 5．已知离散型随机变量ξ的概率分布如图：则E () 等于( )A ．1B ．4.8C ．2＋3mD ．5.86. 6本相同的数学书和3本相同的语文书分给9个人,每人1A.CB.AC.. AD. A·A7．4张卡片上分别写有数字1,2,3,4，从这4张卡片中依次抽取2张（取后不放回），则在已知第一次取到奇数数字卡片的条件下，第二次取出的卡片数字是偶数的概率为( ) A.13 B. 23 C. 12 D.348．已知展开式中常数项为1120，其中实数是常数，则展开式中各项系数的和是( ) A ．28 B ．38 C ．1或38 D ．1或28 9．某市期末教学质量检测，甲、乙、丙三科考试成绩近似服从 正态分布，则由如图曲线可得下列说法中正确的是（ ） A ．甲总体的方差最小 B ．丙总体的均值最小 C ．乙总体的方差及均值都居中D ．甲、乙、丙的总体的均值不相同10．在4次独立重复试验中，随机事件A 恰好发生1次的概率不大于其恰好发生2次的概率，则事件A 在一次试验中发生的概率的取值范围是( ) A ．[0.4,1) B ．(0,0.6] C ．(0,0.4] D ．[0.6,1)11．有A 、B 、C 、D 、E 、F 共6个集装箱，准备用甲、乙、丙三辆卡车运送，每台卡车一次运两个，若卡车甲不能运A 箱，卡车乙不能运B 箱，此外无其他任何限制；要把这6个集装箱分配给这3台卡车运送，则不同的分配方案的种数为( )A ．168B ．84C ．56D ．4212．某人研究中学生的性别与成绩、视力、智商、阅读量这4个变量的关系，随机抽查了52名中学生，得到统计数据如表1至表4，则与性别有关联的可能性最大的变量是（ ）A ．成绩B ．视力C ．智商D ．阅读量 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上) 13．已知(x ＋1)6(ax －1)2的展开式中含x 3项的系数是20，则a 的值等于________． 14．若存在实数x 使|x －a |＋|x －1|≤3成立，则实数a 的取值范围是________．15．在直角坐标系中，直线过点，其倾斜角为，圆的方程为圆与直线交于A 、B ，则的值为_______ 16．将一个半径适当的小球放入如图所示的容器最上方的入口处，小球将自由下落．小球在下落的过程中，将3次遇到黑色障碍物，最后落入A 袋或B 袋中．已知小球每次遇到黑色障碍物时，向左、右两边下落的概率都是12，则小球落入A 袋中的概率为________.三、解答题：17．(本小题满分10分)某班从6名班干部中(其中男生4人，女生2人)，任选3人参加学校的义务劳动． (1)设所选3人中女生人数为ξ，求ξ的分布列； (2)求男生甲或女生乙被选中的概率； 18．(本小题满分12分)某兴趣小组欲研究昼夜温差大小与患感冒人数多少之间的关系，他们分别到气象局与某医院抄该兴趣小组确定的研究方案是：先从这组（每个有序数对叫作一组）数据中随机选取组作为检验数据，用剩下的组数据求线性回归方程.(1)求选取的组数据恰好来自相邻两个月的概率；(2)若选取的是月和月的两组数据，请根据至月份的数据，求出关于的线性回归方程；(3)若由线性回归方程得到的估计数据与所选取的检验数据的误差均不超过人，则认为得到的线性回归方程是理想的，试问（2）中所得到的线性回归方程是否是理想的？参考公式：1122211()()ˆ()ˆˆn ni i i i i i n ni i i i x x y y x y nx y b x x x nx ay bx ====⎧---⎪⎪==⎪⎨--⎪⎪=-⎪⎩∑∑∑∑. 19．(本小题满分12分)有甲、乙两个班级进行数学考试，按照大于或等于85分为优秀，85分以下为非优秀统计成绩后，得到如下的2×2列联表．已知从全部210人中随机抽取1人为优秀的概率为27.(1)请完成上面的2×2“成绩与班级有关”； (2)从全部2103人中的优秀人数为ξ，若每次抽取的结果是相互独立的，求ξ的分布列及数学期望E (ξ)．附：))()()(()(22d b c a d c b a bc ad n K ++++-=20．(本小题满分12分)某银行柜台设有一个服务窗口，假设顾客办理业务所需的时间互相独立，且都是整数分钟，对从第一个顾客开始办理业务时计时．(1)估计第三个顾客恰好等待4分钟开始办理业务的概率；(2)X 表示至第2分钟末已办理完业务的顾客人数，求X 的分布列及数学期望．21．(本小题满分12分)在平面直角坐标系中，曲线：，曲线：（为参数），以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴，建立极坐标系.(1)求曲线，的极坐标方程； (2)曲线：（为参数，，）分别交，于，两点，当取何值时，取得最大值. 22．(本小题满分12分)已知，，记关于的不等式的解集为. (1)若，求实数的取值范围； (2)若，求实数的取值范围。
宁夏回族自治区银川一中高二上学期期末考试试题(9科10
银川一中2015/2016学年度(上)高二期末考试物理试卷命题教师：一、选择题（本题包括13小题。
每小题3分，共39分。
在每小题给出的四个选项中。
只有一个选项正确）1．在物理学发展史上，最先提出电流周围有磁场的科学家是A．安培B．法拉第C．奥斯特D．楞次2．下列说法正确的是A．由公式可知，电场中某点的电场强度E与试探电荷在电场中该点所受的电场力F成正比，与q成反比B．由公式可知，在离点电荷Q距离为r的地方，电场强度E的大小与Q成正比C．由公式U=Ed可知，在匀强电场中，E为恒量，任意两点间的电势差与这两点间的距离成正比D．由公式可知，电容器的电容C随着极板带电荷量Q的增加而变大3．两个电子以大小不同的初速度沿垂直于磁场的方向射入同一匀强磁场中，设R1、R2为这两个电子的运动轨道半径，T1、T2是它们的运动周期，则A．R1＝R2，T1≠T2 B．R1≠R2，T1≠T2C．R1＝R2，T1＝T2D．R1≠R2，T1＝T24．如图所示，放在台秤上的条形磁铁两极未知，为了探明磁铁的极性，在它中央的正上方固定一根导线，导线与磁铁垂直，给导线通以垂直与纸面向外的电流，则A．如果台秤的示数增大，说明磁铁左端是北极B．如果台秤的示数增大，说明磁铁右端是北极C．无论如何台称的示数都不可能变化D．以上说法都不正确5．如图所示电路，当合上开关S后，两个标有“3V，1W”的灯泡均不发光，用电压表测得U ac=U bd=6V，如果各段导线及接线处均无问题，且只有一处故障，这说明A．开关S未接通B．灯泡L2的灯丝断了C．灯泡L1的灯丝断了D．滑动变阻器R电阻丝断了6．关于回旋加速器的下列说法，其中正确的有A．电场和磁场同时用来加速带电粒子B．随着粒子圆周运动的半径不断增大，粒子在磁场中运动半周所需时间也不断增大C．在确定的交流电源下，回旋加速器的半径越大，同一带电粒子获得的动能越大D．同一带电粒子获得的最大动能与交流电源的电压大小有关7．一束几种不同的正离子，垂直射入有正交的匀强磁场和匀强电场区域里，离子束保持原运动方向未发生偏转．接着进入另一匀强磁场，发现这些离子分成几束如图．对这些离子，可得出结论A．它们的动能一定各不相同B．它们的电量一定相同C．它们的质量一定各不相同D．它们的比荷一定各不相同8．如图所示，绕在铁芯上的线圈与电源、滑动变阻器和电键组成闭合回路，在铁芯的右端套有一个表面绝缘的铜环a，下列各种情况中铜环a中没有感应电流的是A．将电键突然断开的瞬间B．线圈中通以恒定的电流C．通电时，使滑动变阻器的滑片P做加速移动D．通电时，使滑动变阻器的滑片P做匀速移动9．如图，两根相互平行的长直导线分别通有方向相反的电流I1和I2，且I1＞I2；a、b、c、d为导线某一横截面所在平面内的四点，且a、b、c与两导线共面；b点在两导线之间，b、d的连线与导线所在平面垂直．磁感应强度可能为零的点是A．a点B．b点C．c点D．d点10．长为L，间距也为L的两平行金属板间有垂直向里的匀强磁场，如图所示，磁感应强度为B，今有质量为m、带电量为q的正离子从平行板左端两板正中间以平行于金属板的方向射入磁场。
2023-2024学年宁夏回族自治区银川一中高二上册期末考试数学(理)试题(含解析)
2023-2024学年宁夏回族自治区银川一中高二上册期末考试数学（理）试题一、单选题1．已知21zi i=++,则复数z =A ．13i -+B ．13i--C ．13i-D ．13i+【正确答案】C【分析】根据复数的乘法运算求得z ，再根据共轭复数的定义求得结果.【详解】由题意知：()()1213z i i i =++=+13z i∴=-本题正确选项：C本题考查复数的运算及共轭复数的求解问题，属于基础题.2．甲、乙、丙3名学生排成一排，其中甲、乙两人站在一起的概率是A ．16B ．13C ．23D ．12【正确答案】C【详解】甲、乙、丙3名学生排成一排，共有336A =种排法，其中甲、乙两人站在一起的排法共有22224A A ⋅=种，所以概率为23，故选C ．3．8(2x 展开式中常数项为（）A ．28B ．28-C ．7D ．7-【正确答案】C【分析】利用二项式的展开式的通项即得.【详解】由题意8(2x 得展开式通项为：()884831881C 1C 22rrrr r r rr x T x---+⎛⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝,令4803r-=，得6r =，所以常数项为()2667811C 72T ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭.故选：C.4．已知F 是抛物线22y x =的焦点，,A B 是该抛物线上的两点，11AF BF +=，则线段AB 的中点到y 轴的距离为（）A ．3B ．4C ．5D ．7【正确答案】C【详解】 F 是抛物线22y x =的焦点1(,0)2F ∴,准线方程12x =-，设1122(,),(,)A x y B x y 12111122AF BF x x ∴+=+++=1210x x +=,∴线段AB 的中点横坐标为5∴线段AB 的中点到y 轴的距离为5，所以C 选项是正确的.故选：C5．宋元时期数学名著《算学启蒙》中有关于“松竹并生”的问题：松长五尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等，如图是源于其思想的一个程序框图，若输入的a ，b 分别为5，2，则输出的n 等于（）A ．2B ．3C ．4D ．5【正确答案】C【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量n 的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【详解】当1n =时，1542a b ==，，满足进行循环的条件；当2n =时，45,84a b ==满足进行循环的条件；当3n =时，135,168a b ==满足进行循环的条件；当4n =时，405,3216a b ==不满足进行循环的条件，故输出的n 值为4.故选：C ．本题考查的知识点是程序框图，当循环的次数不多，或有规律时，常采用模拟循环的方法解答．6．某工厂生产某种产品的产量x （吨）与相应的生产能耗y （吨标准煤）有如下几组样本数据：根据相关检验，这组样本数据具有线性相关关系，通过线性回归分析，求得其回归直线的斜率为0.7，则这组样本数据的回归直线方程是A ．0.7 2.5ˆ0y x =+B ．0.71ˆy x =+C ．0.735ˆ0y x =+D ．0.70.5ˆ4yx =+【正确答案】C【详解】由题意可知， 4.5, 3.5x y ==，线性回归方程过样本中心(4.5,3,5)，所以只有C 选项满足．选C.线性回归方程过样本中心(,)x y ，所以可以代入四个选项进行逐一检验．7．已知4k <，则曲线22194x y +=和22194x y k k +=--有()A ．相同的短轴B ．相同的焦点C ．相同的离心率D ．相同的长轴【正确答案】B【分析】利用椭圆的标准方程和几何性质计算并判断.【详解】4k < ，∴940k k ->->，∴曲线22194x y +=和22194x y k k +=--都是焦点在x 轴上的椭圆，由椭圆22194x y +=，得1113,2,a b c ===，所以长轴长为6，短轴长为4，焦点坐标为()，离心率为3，由椭圆22194x y k k+=--，得222a b c ===，所以长轴长为，焦点坐标为()所以两个椭圆有相同的焦点．故选：B8．5个大学生分配到三个不同的村庄当村干部，每个村庄至少有一名大学生，其中甲村庄恰有一名大学生的分法种数为A ．14B ．35C ．70D ．100【正确答案】C【详解】试题分析：由题意得，甲村庄恰有一名大学生，有155C =种分法，另外四名大学生分为两组，共有21344322437C C C A +=+=种，再分配到两个村庄，共有22714A ⨯=种不同的分法，所以每个村庄至少有一名，且甲村庄恰有一名大学生的分法种数为51470⨯=种不同的分法，故选C.计数原理和排列组合的应用.9．已知P 是△ABC 所在平面内﹣点，20PB PC PA ++=，现将一粒黄豆随机撒在△ABC内，则黄豆落在△PBC 内的概率是（）A ．23B ．12C ．13D ．14【正确答案】B【分析】推导出点P 到BC 的距离等于A 到BC 的距离的12．从而S △PBC =12S △ABC ．由此能求出将一粒黄豆随机撒在△ABC 内，黄豆落在△PBC 内的概率．【详解】以PB 、PC 为邻边作平行四边形PBDC ，则PB PC + =PD ，∵20PB PC PA ++= ，∴2PB PC PA +=- ，∴2PD PA =-，∴P 是△ABC 边BC 上的中线AO 的中点，∴点P 到BC 的距离等于A 到BC 的距离的12．∴S △PBC =12S △ABC ．∴将一粒黄豆随机撒在△ABC 内，黄豆落在△PBC 内的概率为：P=PBC ABCS S=12．故选B ．本题考查概率的求法，考查几何概型等基础知识，考运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，考查创新意识、应用意识，是中档题．10．方程所表示的曲线是A ．B ．C ．D．【正确答案】D【详解】试题分析：由题意得方程(10x y +-=，得10x y +-=或，且，所以方程(10x y +-=所表示的曲线为选项D ，故选D ．曲线与方程．11．过点(1,1)M 的直线与椭圆22143x y +=交于,A B 两点，且点M 平分弦AB ，则直线AB 的方程为（）A ．4370x y +-=B ．3470x y +-=C ．3410x y -+=D ．4310x y --=【正确答案】B【分析】设()()1122,,,A x y B x y ，代入22143x y +=作差变形即可求出直线斜率，利用点斜式求出直线方程【详解】设()()1122,,,A x y B x y ，直线l 斜率为k ，则有22112222143143x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩①②，①-②得()()()()12121212043x x x x y y y y +-+-+=，因为点M 为AB 中点，则12122,2x x y y +=+=，所以12122()023x x y y --+=，即121234y y k x x -==--，所以直线l 的方程为()3114y x -=--，整理得3470x y +-=故选：B12．过双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点F 作一条直线，当直线斜率为1时，直线与双曲线左、右两支各有一个交点；当直线斜率为3时，直线与双曲线右支有两个不同的交点，则双曲线离心率的取值范围为()A．B．C．D．【正确答案】C【分析】先写出直线的方程，联立双曲线的方程消去y ，由k ＝1得到22222(2)0a a b b a +>-，即1b a >．由k ＝3得到22222(910)9a a b b a +<-，即3b a <，再求离心率e =【详解】双曲线右焦点为，设过右焦点的直线为y k x =，与双曲线方程联立消去y 可得到：22222222222()2()0b a k x a k a a k b k b -+-++=，由题意可知，当k ＝1时，此方程有两个不相等的异号实根，∴22222(2)a ab b a +>-，得0＜a ＜b ，即1b a >；当k =3时，此方程有两个不相等的同号实根，∴22222(910)09a a b b a+<-，得0＜b ＜3a ，3b a <；又e ，∴离心率的取值范围为．故选：C.二、填空题13．若坐标原点到抛物线2y mx =的准线距离为2，则m =___________.【正确答案】18±根据抛物线性质可得结果.【详解】由2y mx =化为标准方程21x y m=，准线方程14y m =-，故由题意124m -=，得18m =±.故18±14．已知椭圆221102x y m m +=--的焦点在y 轴上，若焦距为4，则m 等于________.【正确答案】8由椭圆的标准方程及焦点在y 轴上且24c =，结合椭圆参数的关系即可求m .【详解】由题意知：10020210m m m m ->⎧⎪->⎨⎪->-⎩，得610m <<，又24c =，焦点在y 轴上∴2104m m -=-+，解得8m =.故815．设()|1|f x ax =-，()2f x ≤的解集为[]6,2-，则实数a 的值为____.【正确答案】12-##0.5-【分析】利用题给条件列出关于实数a 的方程组，解之即可求得实数a 的值.【详解】由()|1|f x ax =-，()2f x ≤可得|1|2ax -≤，则22|1|2ax -≤，整理得22230a x ax --≤当0a =时不等式22230a x ax --≤解集为R ，不符合题意；当0a ≠时，由不等式22230a x ax --≤解集为[]6,2-可得()222312212024a a a a-⎧=-⎪⎪⎪-+>⎨⎪⎪=-⎪⎩，解之得12a =-综上，实数a 的值为12-故12-16．若O 为坐标原点，直线y ＝2b 与双曲线22221x y a b-=(a >0，b >0)的左、右两支分别交于A ，B 两点，直线OA 的斜率为－1，则该双曲线的渐近线的方程为________.【正确答案】y ＝x 【分析】根据题意先求得点A ，代入双曲线方程可得22b a，然后可得渐近线方程.【详解】易知直线OA 方程为y x =-，由2y x y b=-⎧⎨=⎩解得(2,2)A b b -，代入22221x ya b -=得2222441b b a b -=，即2254b a =，所以渐近线方程为2y x =±.故52y x =±三、解答题17．已知函数()13,1f x x x x =++-≥-.(1)求不等式()6f x ≤的解集；(2)若()f x 的最小值为n ，正数,a b 满足22nab a b =+，求2a b +的最小值.【正确答案】(1){}1|4x x -≤≤(2)98【分析】（1）分13x -≤<和3x ≥两种情况，脱去绝对值符号，解不等式，即得答案.（2）确定n 的值，可得82ab a b =+，可得128b a +=，将2a b +变为112(2)(8a b b a++，结合基本不等式，即可求得答案.【详解】（1）当13x -≤<时，()134f x x x =++-=,当3x ≥时，()1322f x x x x =++-=-，不等式()6f x ≤等价于1346x -≤<⎧⎨≤⎩或3226x x ≥⎧⎨-≤⎩，解得13x -≤<，或34x ≤≤，故14x -≤≤，∴原不等式的解集为{|14}x x -≤≤.（2）由（1）得，4,13()22,3x f x x x -≤<⎧=⎨-≥⎩，当3x ≥时，224x -≥，所以()f x 的最小值为4，4n ∴=，故82ab a b =+，可得128b a+=，因为0,0a b >>，112122192(2)()(5)(528888a b a b a b b a b a ∴+=+=++≥+，当且仅当22a b b a=时，即38a b ==，取等号，∴2a b +的最小值为98.18．如图，设P 是圆x 2＋y 2＝25上的动点，作PD ⊥x 轴，D 为垂足，M 为PD 上一点，且45MD PD =.(1)当P 在圆上运动时，求点M 的轨迹C 的方程；(2)求过点()30，且斜率为45的直线被方程C 所截线段的长度【正确答案】(1)2212516x y +=(2)415【分析】（1）设(),M x y ，(),P x y ''，则由PD ⊥x 轴与45MD PD =，得54x xy y =⎧''⎪⎨=⎪⎩，代入2225x y ''+=，整理得2212516x y +=；（2）由题意可求得直线方程为()435y x =-，代入椭圆方程，由韦达定理可知：123x x +=，128x x =-，进而由弦长公式AB =即可求得直线被C 所截线段的长度．【详解】（1）设点M 的坐标为(),x y ，点P 的坐标为(),x y ''，因为PD ⊥x 轴且45MD PD =，得45x x y y ''=⎧⎪⎨=⎪⎩，即54x xy y =⎧''⎪⎨=⎪⎩，因为P 在圆上，得2225x y ''+=，故225254x y ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，整理得2212516x y +=，故C 的方程为2212516x y +=；（2）由点斜式知，过点()3,0且斜率为45的直线方程为()435y x =-，设直线与C 的交点为()12,A x y ，()22,B x y ，将直线方程()435y x =-代入C 的方程，得()22312525x x -+=，整理得2380x x --=，所以123x x +=，128x x =-，故线段AB 的长度为415AB ==，所以直线被C 所截线段的长度为415.19．已知点A (2,8)在抛物线22(0)y px p =>上,直线l 和抛物线交于B ,C 两点，焦点F 是三角形ABC 的重心，M 是BC 的中点（不在x 轴上）（1）求M 点的坐标；（2）求直线l 的方程.【正确答案】（1）（11，－4）（2）4400.x y +-=【分析】（1）由点A （2，8）在抛物线22y px =上，有2822p =⋅，求出p=16，得到抛物线方程为232y x =，焦点F （8，0）是△ABC 的重心，设点M 的坐标为()00,x y ，则由23AF AM = 即可求出M 点的坐标；（2）设BC 所在直线的方程为：()()4110.y k x k +=-≠由()2411,32y k x y x ⎧+=-⎨=⎩消x 得()232321140ky y k --+=，所以1232y y k +=，由（2）的结论得1242y y +=-，解得 4.k =-，即可求出直线l 的方程.【详解】解（1）由点A （2，8）在抛物线22y px =上，有2822p =⋅，解得p=16.所以抛物线方程为232y x =，焦点F 的坐标为（8，0）.F （8，0）是△ABC 的重心，M 是BC 的中点，设点M 的坐标为()00,x y ，则23AF AM = 所以点M 的坐标为（11，－4）．（2）由于线段BC 的中点M 不在x 轴上，所以BC 所在的直线不垂直于x 轴.设BC 所在直线的方程为：()()4110.y k x k +=-≠由()2411,32y k x y x ⎧+=-⎨=⎩消x 得()232321140ky y k --+=，所以1232y y k +=，由（2）的结论得1242y y +=-，解得 4.k =-因此BC 所在直线的方程为：4400.x y +-=本题考查抛物线方程的求法，考查直线与抛物线的位置关系，属中档题.20．已知椭圆C 与椭圆223737x y +=的焦点12,F F 相同且椭圆C 过点,62⎛⎫- ⎪⎝⎭.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）若点P 在椭圆C 上，且123F PF π∠=，求12F PF △的面积.【正确答案】（1）22110064x y +=；（2）3.【分析】（1）根据椭圆223737x y +=的焦点坐标设出椭圆C 的标准方程，再将点6⎫-⎪⎝⎭代入方程，即可得出椭圆C 的标准方程；（2）由定义得出12220PF PF a +==，由余弦定理得出2221212122cos 3F PF PF PF PF F π=+-⋅，求出12PF PF ⋅，再由三角形面积公式得出面积.【详解】（1）因为椭圆22137x y +=的焦点坐标为(6,0),(6,0)-，所以设椭圆C 的标准方程为()2222213636x y a a a +=>-①将点62⎛⎫- ⎪⎝⎭代入①，整理得42446363000a a -+=解得2100a =或2634a =（舍去）所以椭圆C 的标准方程为22110064x y +=.（2）因为点P 在椭圆C 上，所以12220PF PF a +==.由（1）知6c =，在12PF F △中，12212F F c ==所以由余弦定理得2221212122cos3F PF PF PF PF F π=+-⋅，即222121212PF PF PF PF =+-⋅.因为()2221212122PF PF PF PF PF PF +=+-⋅所以()221212123PF PF PF PF =+-⋅即221212203PF PF =-⋅.所以22122012328256333PF PF -⨯⋅===.121211256sin 232323F PF S PF PF π=⋅=⨯⨯=△.所以12F PF △的面积为3.本题主要考查求椭圆的标准方程以及椭圆中三角形的面积问题，属于中档题.21．已知抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，点M 在抛物线上，且点M 的横坐标为4，|MF |＝5.(1)求抛物线的方程；(2)设l 为过点(4,0)的任意一条直线，若l 交抛物线于A ，B 两点，求证：以AB 为直径的圆必过原点．【正确答案】（1）y 2＝4x .（2）见解析【分析】（1）求出抛物线的焦点和准线方程，再由抛物线的定义，可得p=2，进而得到抛物线方程.（2）设直线l ：y ＝k (x －4)(k ≠0)，A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），代入抛物线方程，运用韦达定理，结合向量垂直的条件，即可证得以AB 为直径的圆必过坐标原点．【详解】解：(1)由题意得|MF |＝4＋＝5.∴p ＝2.故抛物线方程为y 2＝4x .(2)当直线l 的斜率不存在时，其方程为x ＝4.由得y ＝±4.∴|AB |＝8.∴＝4.∴以AB 为直径的圆过原点．当直线l 的斜率存在时，设其方程为y ＝k (x －4)(k ≠0)．设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．由得k 2x 2－(4＋8k 2)x ＋16k 2＝0.∴x 1＋x 2＝，x 1x 2＝16.y 1y 2＝k 2(x 1－4)(x 2－4)＝k 2[x 1x 2－4(x 1＋x 2)＋16]＝k 2＝k 2＝－16，∴x 1x 2＋y 1y 2＝0.又·＝x 1x 2＋y 1y 2＝0，∴OA ⊥OB ．∴以AB 为直径的圆必过原点．综上可知，以AB 为直径的圆必过原点．本题考查抛物线的定义、方程和性质，主要考查直线与抛物线的方程的运用，注意联立方程，运用韦达定理，将以AB 为直径的圆过原点转化为向量的数量积等于零即可，属于中档题．22．已知双曲线的中心在原点，离心率为2，一个焦点()2,0F -(1)求双曲线方程；(2)设Q 是双曲线上一点，且过点F 、Q 的直线l 与y 轴交于点M ，若2MQ QF = ，求直线l 的方程．【正确答案】(1)2213y x -=(2)()22y x =±+或()22y x =±+【分析】（1）依题意设所求的双曲线方程为22221x y a b-=，则2c =，再根据离心率求出a ，即可求出b ，从而得到双曲线方程；（2）依题意可得直线l 的斜率存在，设():2l y k x =+，即可得到M 的坐标，依题意可得2MQ QF = 或2MQ QF =- ，分两种情况分别求出Q 的坐标，再根据Q 的双曲线上，代入曲线方程，即可求出k ，即可得解；【详解】（1）解：设所求的双曲线方程为22221x y a b-=0a >0b >，则2c e a ==，2c =，∴1a =，又222c a b =+则b ，∴所求的双曲线方程为2213y x -=．（2）解：∵直线l 与y 轴相交于M 且过焦点()2,0F -，∴l 的斜率一定存在，则设():2l y k x =+．令0x =得()0,2M k ，∵2MQ QF = 且M 、Q 、F 共线于l ，∴2MQ QF = 或2MQ QF =- 当2MQ QF = 时，43Q x =-，23Q y k =，∴42,33Q k ⎛⎫- ⎪⎝⎭，∵Q 在双曲线2213y x -=上，∴21641927k -=，∴2k =±，当2MQ QF =- 时，()4,2Q k --，代入双曲线可得：241613k -=，∴k =综上所求直线l 的方程为：()22y x =±+或)2y x =+．。
宁夏回族自治区银川一中高二上学期期末考试试题(9科10
FOyx银川一中2015/2016学年度(上)高二期末考试数 学 试 卷(理科)命题人：一、选择题（每小题5分，共60分） 1．双曲线的渐近线为（ ） A. B. C. D. 2.等于（ ）A. B. C. D. 3．若曲线在点处的切线方程是，则( ) A ． B ． C ． D ．4．如图，在平行六面体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，E 为BC 1与B 1C 的交点， 记，,则=（ ） A ． B ． C ． D ．5．已知双曲线方程)0,0(12222>>=-b a by a x ，以O 为圆心，实半轴长为半径作圆O ，过双曲线的焦点F 作圆O 的两 条切线，切点为,A B ，若四边形FAOB 为正方形，则双 曲线的离心率为（ ） A．32BC D ．26．过抛物线的焦点作直线交抛物线于A ，B 两点，若线段AB 的中点的横坐标为4，则∣AB ∣等于 （ ）A ．12B ．8C ．6D ．47. 已知函数的图象如图 (其中是函数的导函数),下面四个图象中,的图象可能是( )（第7题图） A ． B ． C ． D ． 8．已知函数f(x)＝12mx 2＋ln x －2x 在定义域内是增函数，则实数m 的取值范围为 ( )A ．(－∞,－2]B ．(－∞,－1]C ．[0,+∞)D ．[1,+∞) 9．如图，由所围成阴影部分面积为( )A ．B ．C ．D ．10．若关于的方程在上有根，则实数的取值范围是 ( )A ．B ．C ．D ．11．直线x=t(t>0),与函数，的图像分别交于A,B 两点，则|AB|最小值（ ） A. B. C. D.12．函数21)(,1)1())((<'=∈x f f R x x f 满足，则不等式的解集为( ) A ．(－∞,－1)∪(1，+∞) B ．(1，+∞) C ．(－∞,－1) D ．(－1,1) 二、填空题（每小题5分，共20分） 13. 抛物线的准线方程为14．函数的单调递减区间为 .15. 已知，，，，，，经计算得：，，那么 根据以上计算所得规律，可推出 .16. 已知,)1()(,)(2a x x g xe x f x ++-==若使得成立，则实数a 的取值范围是 . 三．简答题(共70分) 17.（本小题满分10分）（1）求函数在处的切线方程； （2），证明不等式18. （本小题满分12分）已知四棱锥的底面为直角梯形，，底面，且,， 是的中点。
【全国百强校】宁夏银川一中2016-2017学年高二下学期期末考试数学(理)试题
试卷第1页，共14页绝密★启用前【全国百强校】宁夏银川一中2016-2017学年高二下学期期末考试数学（理）试题考试范围：xxx ；考试时间：120分钟；命题人：xxx学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________注意事项．1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）一、选择题（题型注释）1、已知一个回归方程为＝3－5x ，则变量x 增加一个单位时( )A ．y 平均增加3个单位B ．y 平均减少5个单位C ．y 平均增加5个单位D ．y 平均减少3个单位【答案】B【解析】根据一次函数的性质 增加一个单位是，减少5个单位，故选B.2、已知直线l 的参数方程为 (t 为参数,)，则直线l 的普通方程为( )A ．x －y －2＝0B ．x －y ＋2＝0C ．x ＋y ＝0D ．x ＋y －2＝0【答案】A 【解析】第一式反解代入第二式便可得，故选B.3、在极坐标系中，点(1，0)到直线θ＝(ρ∈R)的距离是( )试卷第2页，共14页A ．B ．C ．1D ．【答案】B【解析】点 到直线的距离，故选B. 4、若，则等于（ ）A ．B ．3C ．D ．【答案】B 【解析】试题分析：,所以．故B 正确． 考点：绝对值．5、已知离散型随机变量ξ的概率分布如图：则E ()等于( )A ．1B ．4.8C ．2＋3mD ．5.8【答案】D 【解析】由已知可.6、6本相同的数学书和3本相同的语文书分给9个人,每人1本,共有不同分法( ) A ．C B ．A C ．. A D ．A ·A【答案】A【解析】先分语文书有种，再分数学书有，故共有=，故选A.试卷第3页，共14页7、4张卡片上分别写有数字1,2,3,4，从这4张卡片中依次抽取2张（取后不放回），则在已知第一次取到奇数数字卡片的条件下，第二次取出的卡片数字是偶数的概率为( ) A ． B ． C ． D ．【答案】B【解析】所求概率为，故选B.8、已知展开式中常数项为1120，其中实数是常数，则展开式中各项系数的和是( )A ．28B ．38C ．1或38D ．1或28【答案】C 【解析】通项，令各项系数和为或，故选C. 9、某市期末教学质量检测，甲、乙、丙三科考试成绩近似服从正态分布，则由如图曲线可得下列说法中正确的是（ ）A ．甲总体的方差最小B ．丙总体的均值最小C ．乙总体的方差及均值都居中D ．甲、乙、丙的总体的均值不相同【答案】A【解析】甲的图像最瘦高，故甲的方差最小，故选A.10、在4次独立重复试验中，随机事件A 恰好发生1次的概率不大于其恰好发生2次的概率，则事件A 在一次试验中发生的概率的取值范围是( ) A ．[0.4，1) B ．(0，0.6] C ．(0，0.4] D ．[0.6，1)试卷第4页，共14页【答案】A 【解析】试题分析：在n 次独立重复试验中, 随机事件A 恰好发生次的概率为，由题意分析可知，解得考点：独立重复试验与二项分布.11、有A 、B 、C 、D 、E 、F 共6个集装箱，准备用甲、乙、丙三辆卡车运送，每台卡车一次运两个，若卡车甲不能运A 箱，卡车乙不能运B 箱，此外无其他任何限制；要把这6个集装箱分配给这3台卡车运送，则不同的分配方案的种数为( ) A ．168 B ．84 C ．56 D ．42【答案】D【解析】甲卡车运B 共有甲卡车不运B 共有，合计有，故选D.12、某人研究中学生的性别与成绩、视力、智商、阅读量这4个变量之间的关系，随机抽查52名中学生，得到统计数据如表1至表4，这与性别有关联的可能性最大的变量是试卷第5页，共14页（ ）A ．成绩B ．视力C ．智商D ．阅读量【答案】D 【解析】试题分析：由表中数据可得表1:；表2: ；表3: ；表4:．其中最大,所以阅读量与性别有关联的可能性最大．故D 正确．考点：独立性检验．试卷第6页，共14页第II 卷（非选择题）二、填空题（题型注释）13、已知(x ＋1)6(ax －1)2的展开式中含x 3项的系数是20，则a 的值等于________．【答案】0或5 【解析】的通项公式的系数或. 14、若存在实数使成立，则实数的取值范围是 .【答案】【解析】试题分析：在数轴上，表示横坐标为的点到横坐标为的点距离，就表示点到横坐标为1的点的距离，∵，∴要使得不等式成立，只要最小值就可以了，即，∴，故实数的取值范围是-，故答案为：．本题得到是关键，也是难点．考点：绝对值不等式的解法． 15、在直角坐标系中，直线过点，其倾斜角为，圆的方程为圆与直线交于A 、B ，则的值为_______【答案】9试卷第7页，共14页【解析】将 代入圆方程得.16、将一个半径适当的小球放入如图所示的容器最上方的入口处，小球将自由下落.小球在下落的过程中，将3次遇到黑色障碍物，最后落入袋或袋中.己知小球每次遇到黑色障碍物时，向左、右两边下落的概率都是，则小球落入袋中的概率为__________．【答案】【解析】记小球落入袋中的概率，则，又小球每次遇到黑色障碍物时一直向左或者一直向右下落，小球将落入袋，所以有，则．故本题应填．三、解答题（题型注释）17、某班从6名班干部中（其中男生4人，女生2人），任选3人参加学校的义务劳动． （1）设所选3人中女生人数为ξ，求ξ的分布列； （2）求男生甲或女生乙被选中的概率．【答案】（1）详见解析；（2）。
宁夏银川一中2016-2017学年高二上学期期中考试数学试题 含答案
银川一中2016—2017学年度（上）高二期中考试数 学 试 卷命题人:本试题分为第Ⅰ卷(选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分,考试时间120分钟.第Ⅰ卷(共60分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，) 1．若0<<b a ，则下列不等式中不成立的是( ） A ．||||b a >B ．ab a 11>- C ．ba11>D ．22b a>2．下列不等式的解集是R 的为（ ）A ．0122>++x xB ．02>xC ．01)21(>+xD ．xx131<-3．满足2,6,45===a c A的△ABC 的个数为m ,则a m 的值为（ ）A ．4B ．2C ．1D ．不确定4．在△ABC 中，bc c b a ++=222,则A 等于（ )A ．60°B ．45°C ．120°D ．30°5．在各项都为正数的等比数列}{na 中，a 1=3,前三项和为21，则a 3 + a 4 + a 5 =（ ) A ．33B ．72C ．84D ．1896．一个等差数列共有10项，其中偶数项的和为15，则这个数列的第6项是（ ） A ．3B ．4C ．5D ．67．在△ABC 中，4:2:3sin :sin :sin =C B A ,则cosC 的值为 （ ）A ．32B ．32-C ．41D ．41-8．数列{x n }满足)2(211,32,11121≥=+==+-n x x x x x nn n 且,则x n 等于（ )A ．11+n B ．1)32(-nC ．n)32(D ．12+n 9．在△ABC 中,若a 、b 、c 成等比数例，且c = 2a ,则cos B 等于（ )A ．41B ．43C ．42D ．32 10．正数a 、b 的等差中项是21，且βαβα++=+=则,1,1bb aa 的最小值是（ ）A ．3B ．4C ．5D ．611．在△ABC 中,若2lg sin lg cos lg sin lg =--C B A ，则△ABC 是（ )A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等边三角形D ．等腰直角三角形12．某人为了观看2018年世界杯,从2011年起,每年8月10日到银行存入a 元定期储蓄，若年利率为P ，且保持不变，并约定每年到期存款均自动转为新的一年定期，到2018年8月10日将所有存款和利息全部取回，则可取回的钱的总数（元)为（ ）A ．7)1(p a +B ．8)1(p a +C ．)]1()1[(7p p pa +-+D ．)]1()1[(8p p pa+-+ 第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（本题共4个小题,每小题5分,共20分） 13．若关于x 的不等式mx x x>+-2212的解集为}20|{<<x x ，则m 的值为 。
2016-2017年宁夏银川一中高二(上)期末数学试卷(理科)及答案
2016-2017学年宁夏银川一中高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题（每小题5分，共60分）1．（5分）抛物线的准线方程为（）A．x=﹣1B．y=﹣1C．D．2．（5分）若方程x2+ky2=2表示焦点在y轴上的椭圆，那么实数k的取值范围是（）A．（0，+∞）B．（0，2）C．（1，+∞）D．（0，1）3．（5分）若双曲线E：=1的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线E 上，且|PF1|=3，则|PF2|等于（）A．11B．9C．5D．34．（5分）已知命题p：∀x∈R，2x2+2x+＜0，命题q：∃x0∈R，sinx0﹣cosx0=，则下列判断中正确的是（）A．p是真命题B．q是假命题C．￢p是假命题D．￢q是假命题5．（5分）一动圆P过定点M（﹣4，0），且与已知圆N：（x﹣4）2+y2=16相切，则动圆圆心P的轨迹方程是（）A．B．C．D．6．（5分）已知向量=（1，0，﹣1），则下列向量中与成60°夹角的是（）A．（﹣1，1，0）B．（1，﹣1，0）C．（0，﹣1，1）D．（﹣1，0，1）7．（5分）已知椭圆E的中心在坐标原点，离心率为，E的右焦点与抛物线C：y2=8x的焦点重合，A，B是C的准线与E的两个交点，则|AB|=（）A．3B．6C．9D．128．（5分）若ab≠0，则ax﹣y+b=0和bx2+ay2=ab所表示的曲线只可能是图中的（）A．B．C．D．9．（5分）设P，Q分别为圆x2+（y﹣6）2=2和椭圆+y2=1上的点，则P，Q 两点间的最大距离是（）A．5B．+C．7+D．610．（5分）若AB是过椭圆中心的一条弦，M是椭圆上任意一点，且AM，BM与坐标轴不平行，k AM，k BM分别表示直线AM，BM的斜率，则k AM•k BM=（）A．B．C．D．11．（5分）已知抛物线x2=4y上有一条长为6的动弦AB，则AB中点到x轴的最短距离为（）A．B．C．1D．212．（5分）已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的左焦点为F，C与过原点的直线相交于A，B两点，连接AF，BF，若|AB|=10，|BF|=8，cos∠ABF=，则C 的离心率为（）A．B．C．D．二、填空题（每小题5分，共20分）13．（5分）若抛物线y2=﹣2px（p＞0）上有一点M，其横坐标为﹣9，它到焦点的距离为10，则点M的坐标为．14．（5分）过椭圆+=1的右焦点作一条斜率为2的直线与椭圆交于A，B 两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为．15．（5分）如图，M、N分别是四面体OABC的棱AB与OC的中点，已知向量=x+y+z，则xyz=．16．（5分）已知双曲线的右焦点为F，若过点F的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此直线的斜率的取值范围是．三、解答题（共70分）17．（10分）（1）是否存在实数m，使得2x+m＜0是x2﹣2x﹣3＞0的充分条件？（2）是否存在实数m，使得2x+m＜0是x2﹣2x﹣3＞0的必要条件？18．（12分）在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，AB=AC=AA1，∠CAB=90°，M、N分别是AA1和AC的中点．（1）求证：MN⊥BC1（2）求直线MN与平面BCC1B1所成角．19．（12分）双曲线C的中心在原点，右焦点为F（，0），渐近线方程为y=±x．（1）求双曲线C的方程；（2）设点P是双曲线上任一点，该点到两渐近线的距离分别为m、n．证明m•n 是定值．20．（12分）已知抛物线C的顶点在坐标原点O，对称轴为x轴，焦点为F，抛物线上一点A的横坐标为2，且．（Ⅰ）求此抛物线C的方程；（Ⅱ）过点（4，0）作直线l交抛物线C于A，B两点，求证：OA⊥OB．21．（12分）如图，已知ABCD是正方形，PD⊥平面ABCD，PD=AD．（1）求二面角A﹣PB﹣D的大小；（2）在线段PB上是否存在一点E，使PC⊥平面ADE？若存在，确定E点的位置，若不存在，说明理由．22．（12分）如图，设椭圆+=1（a＞b＞0）的左右焦点分别为F1，F2，点D在椭圆上，DF1⊥F1F2，=2，△DF1F2的面积为．（Ⅰ）求该椭圆的标准方程；（Ⅱ）是否存在圆心在y轴上的圆，使圆在x轴的上方与椭圆有两个交点，且圆在这两个交点处的两条切线互相垂直并分别过不同的焦点？若存在，求出圆的方程；若不存在，请说明理由．2016-2017学年宁夏银川一中高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（每小题5分，共60分）1．（5分）抛物线的准线方程为（）A．x=﹣1B．y=﹣1C．D．【解答】解：把抛物线转化为标准式方程为x2=4y，∴抛物线焦点在y轴上，且p=2，即其准线方程为y=﹣1．故选：B．2．（5分）若方程x2+ky2=2表示焦点在y轴上的椭圆，那么实数k的取值范围是（）A．（0，+∞）B．（0，2）C．（1，+∞）D．（0，1）【解答】解：∵方程x2+ky2=2，即表示焦点在y轴上的椭圆∴故0＜k＜1故选：D．3．（5分）若双曲线E：=1的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线E 上，且|PF1|=3，则|PF2|等于（）A．11B．9C．5D．3【解答】解：由题意，双曲线E：=1中a=3．∵|PF1|=3，∴P在双曲线的左支上，∴由双曲线的定义可得|PF2|﹣|PF1|=6，∴|PF2|=9．故选：B．4．（5分）已知命题p：∀x∈R，2x2+2x+＜0，命题q：∃x0∈R，sinx0﹣cosx0=，则下列判断中正确的是（）A．p是真命题B．q是假命题C．￢p是假命题D．￢q是假命题【解答】解：∵2x2+2x+=，∴命题p：∀x∈R，2x2+2x+＜0为假命题；∵sinx0﹣cosx0=sin（），∴命题q：∃x0∈R，sinx0﹣cosx0=为真命题．∴￢q是假命题．故选：D．5．（5分）一动圆P过定点M（﹣4，0），且与已知圆N：（x﹣4）2+y2=16相切，则动圆圆心P的轨迹方程是（）A．B．C．D．【解答】解：动圆圆心为P，半径为r，已知圆圆心为N，半径为4 由题意知：PM=r，PN=r+4，所以|PN﹣PM|=4，即动点P到两定点的距离之差为常数4，P在以M、C为焦点的双曲线上，且2a=4，2c=8，∴b=2，∴动圆圆心M的轨迹方程为：．故选：C．6．（5分）已知向量=（1，0，﹣1），则下列向量中与成60°夹角的是（）A．（﹣1，1，0）B．（1，﹣1，0）C．（0，﹣1，1）D．（﹣1，0，1）【解答】解：不妨设向量为=（x，y，z），A．若=（﹣1，1，0），则cosθ==，不满足条件．B．若=（1，﹣1，0），则cosθ===，满足条件．C．若=（0，﹣1，1），则cosθ==，不满足条件．D．若=（﹣1，0，1），则cosθ==，不满足条件．故选：B．7．（5分）已知椭圆E的中心在坐标原点，离心率为，E的右焦点与抛物线C：y2=8x的焦点重合，A，B是C的准线与E的两个交点，则|AB|=（）A．3B．6C．9D．12【解答】解：椭圆E的中心在坐标原点，离心率为，E的右焦点（c，0）与抛物线C：y2=8x的焦点（2，0）重合，可得c=2，a=4，b2=12，椭圆的标准方程为：，抛物线的准线方程为：x=﹣2，由，解得y=±3，所以A（﹣2，3），B（﹣2，﹣3）．|AB|=6．故选：B．8．（5分）若ab≠0，则ax﹣y+b=0和bx2+ay2=ab所表示的曲线只可能是图中的（）A．B．C．D．【解答】解：方程可化为y=ax+b和．从B，D中的两椭圆看a，b∈（0，+∞），但B中直线有a＜0，b＜0矛盾，应排除；D中直线有a＜0，b＞0矛盾，应排除；再看A中双曲线的a＜0，b＞0，但直线有a＞0，b＞0，也矛盾，应排除；C中双曲线的a＞0，b＜0和直线中a，b一致．故选：C．9．（5分）设P，Q分别为圆x2+（y﹣6）2=2和椭圆+y2=1上的点，则P，Q 两点间的最大距离是（）A．5B．+C．7+D．6【解答】解：设椭圆上的点为（x，y），则∵圆x2+（y﹣6）2=2的圆心为（0，6），半径为，∴椭圆上的点（x，y）到圆心（0，6）的距离为==≤5，∴P，Q两点间的最大距离是5+=6．故选：D．10．（5分）若AB是过椭圆中心的一条弦，M是椭圆上任意一点，且AM，BM与坐标轴不平行，k AM，k BM分别表示直线AM，BM的斜率，则k AM•k BM=（）A．B．C．D．【解答】解：设A（x1，y1），M（x0，y0），则B（﹣x1，﹣y1），则k AM•k BM=∵A，M在椭圆上，∴，，两式相减，可得KAM•KBM=﹣，故选：B．11．（5分）已知抛物线x2=4y上有一条长为6的动弦AB，则AB中点到x轴的最短距离为（）A．B．C．1D．2【解答】解：设A（x1，y1）B（x2，y2）抛物线准线y=﹣1，根据梯形的中位线定理，得所求的距离为：S==由抛物线定义=﹣1（两边之和大于第三边且A，B，F三点共线时取等号）≥﹣1=2故选：D．12．（5分）已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的左焦点为F，C与过原点的直线相交于A，B两点，连接AF，BF，若|AB|=10，|BF|=8，cos∠ABF=，则C 的离心率为（）A．B．C．D．【解答】解：如图所示，在△AFB中，|AB|=10，|BF|=8，cos∠ABF=，由余弦定理得|AF|2=|AB|2+|BF|2﹣2|AB||BF|cos∠ABF=100+64﹣2×10×8×=36，∴|AF|=6，∠BFA=90°，设F′为椭圆的右焦点，连接BF′，AF′．根据对称性可得四边形AFBF′是矩形．∴|BF′|=6，|FF′|=10．∴2a=8+6，2c=10，解得a=7，c=5．∴e==．故选：B．二、填空题（每小题5分，共20分）13．（5分）若抛物线y2=﹣2px（p＞0）上有一点M，其横坐标为﹣9，它到焦点的距离为10，则点M的坐标为（﹣9，6）或（﹣9，﹣6）．【解答】解：∵抛物线y2=﹣2px（p＞0）的准线方程为x=，设M（﹣9，m），∵点M到焦点的距离为10，∴由抛物线的定义知：﹣（﹣9）=10，解得：p=2，∴抛物线方程为：y2=﹣4x；将M（﹣9，m）点的坐标代入抛物线方程得：m2=﹣4×（﹣9）=36，∴m=±6，∴M点的坐标为（﹣9，6）或（﹣9，﹣6），故答案为（﹣9，6）或（﹣9，﹣6）．14．（5分）过椭圆+=1的右焦点作一条斜率为2的直线与椭圆交于A，B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为．【解答】解析：椭圆+=1的右焦点F2（1，0），故直线AB的方程y=2（x ﹣1），由，消去y，整理得3x2﹣5x=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），x1＜x2，则x1，x2是方程3x2﹣5x=0的两个实根，解得x1=0，x2=，故A（0，﹣2），B（，），=S△OFA+S△OFB=×（|﹣2|+）×1=．故S△OAB故答案：15．（5分）如图，M、N分别是四面体OABC的棱AB与OC的中点，已知向量=x+y+z，则xyz=．【解答】解：由题意，=+=（﹣）+﹣﹣=﹣﹣+，∴，y=﹣，z=，∴xyz=．故答案为．16．（5分）已知双曲线的右焦点为F，若过点F的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此直线的斜率的取值范围是．【解答】解：渐近线方程y=x，当过焦点的两条直线与两条渐近线平行时，这两条直线与双曲线右支分别只有一个交点（因为双曲线正在与渐近线无限接近中），那么在斜率是[﹣，]两条直线之间的所有直线中，都与双曲线右支只有一个交点．此直线的斜率的取值范围[﹣，]．故答案为：[﹣，]．三、解答题（共70分）17．（10分）（1）是否存在实数m，使得2x+m＜0是x2﹣2x﹣3＞0的充分条件？（2）是否存在实数m，使得2x+m＜0是x2﹣2x﹣3＞0的必要条件？【解答】解：（1）欲使得2x+m＜0是x2﹣2x﹣3＞0的充分条件，则只要或x＞3}，则只要即m≥2，故存在实数m≥2时，使2x+m＜0是x2﹣2x﹣3＞0的充分条件．（2）欲使2x+m＜0是x2﹣2x﹣3＞0的必要条件，则只要或x＞3}，则这是不可能的，故不存在实数m时，使2x+m＜0是x2﹣2x﹣3＞0的必要条件．18．（12分）在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，AB=AC=AA1，∠CAB=90°，M、N分别是AA1和AC的中点．（1）求证：MN⊥BC1（2）求直线MN与平面BCC1B1所成角．【解答】（1）证明：连接A1C、AC1在平面AA1C1C内，∵AA1⊥平面ABC，AA1=AC∴A1C⊥AC1又∵∠CAB=90°即AB⊥AC、AA1⊥AB且AA1∩AC=A∴AB⊥平面AA1C1C又∵A1C在平面AA1C1C内∴A1C⊥AB又∵AB∩AC1=A，∴A1C⊥平面ABC1又∵BC1在平面ABC1内∴A1C⊥BC1又∵M，N分别是AA1和AC的中点．∴A1C∥MN，∴MN⊥BC1．（2）解：取C1B1的中点D，连接CD∵A1B1=A1C1，∴A1D⊥B1C1又∵CC1∥AA1，AA1⊥平面ABC∴CC1⊥平面ABC，即CC1平面A1B1C1，又∵A1D在平面A1B1C1内∴A1D⊥CC1且CC1∩C1B1=C，CD在平面CBB1C1内，∴A1D⊥CD∴cos∠A1CD==，∴∠A1CD=30°，又∵MN∥A1C即MN与平面BCC1B1所成角为30°19．（12分）双曲线C的中心在原点，右焦点为F（，0），渐近线方程为y=±x．（1）求双曲线C的方程；（2）设点P是双曲线上任一点，该点到两渐近线的距离分别为m、n．证明m•n 是定值．【解答】解：（1）右焦点为F（，0），渐近线方程为y=±x．∴c=，=，∵c2=a2+b2，∴a2=，b2=1，∴双曲线C的方程位3x2﹣y2=1（2）设P（x0，y0），已知渐近线的方程为：该点到一条渐近线的距离为：到另一条渐近线的距离为，是定值．20．（12分）已知抛物线C的顶点在坐标原点O，对称轴为x轴，焦点为F，抛物线上一点A的横坐标为2，且．（Ⅰ）求此抛物线C的方程；（Ⅱ）过点（4，0）作直线l交抛物线C于A，B两点，求证：OA⊥OB．【解答】（Ⅰ）解：设抛物线C：y2=2px（p＞0），点A（2，y0），则有，∵，∴，∴p=2，所以抛物线C的方程为y2=4x；（Ⅱ）证明：当直线l斜率不存在时，此时l：x=4，解得A（4，4），B（4，﹣4），满足，∴OA⊥OB；当直线l斜率存在时，设l：y=k（x﹣4），联立方程，设A（x1，y1），B（x2，y2），则，则•=x1x2+y1y2=（1+k2）x1x2﹣4k2（x1+x2）+16k2=16（1+k2）﹣32k2﹣16+16k2=0，即有OA⊥OB．综上，OA⊥OB成立．21．（12分）如图，已知ABCD是正方形，PD⊥平面ABCD，PD=AD．（1）求二面角A﹣PB﹣D的大小；（2）在线段PB上是否存在一点E，使PC⊥平面ADE？若存在，确定E点的位置，若不存在，说明理由．【解答】解：（1）以向量，，为正交基底，建立空间直角坐标系．联结AC，交BD于点O，取PA中点G，联结DG．∵ABCD是正方形，∴AC⊥DB．又PD⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，∴AC⊥PD，∴AC⊥平面PBD．∵PD⊥平面ABCD，AB⊥AD，∴PA⊥AB．∴AB⊥平面PAD．∵PD=AD，G为PA中点，∴GD⊥平面PAB．故向量与分别是平面PBD与平面PAB的法向量．令PD=AD=2，则A（2，0，0），C（0，2，0），∴=（﹣2，2，0）．∵P（0，0，2），A（2，0，0），∴G（1，0，1），∴=（1，0，1）．∴向量与的夹角余弦为θ，cosθ===﹣，∴θ=120°，∴二面角A﹣PB﹣D的大小为60°．（2）∵PD⊥平面ABCD，AD⊥CD，∴AD⊥PC．设E是线段PB上的一点，令=λ（0＜λ＜1）．∴=（﹣2，0，2），=（2，2，﹣2），=（0，2，﹣2）．∴=（2λ，2λ，﹣2λ）．∴==（﹣2+2λ，2λ，2﹣2λ）．令=0，可得2﹣2λ﹣2（2﹣2λ）=0，得．∴当，即点E是线段PB中点时，有AE⊥PC．22．（12分）如图，设椭圆+=1（a＞b＞0）的左右焦点分别为F1，F2，点D在椭圆上，DF1⊥F1F2，=2，△DF1F2的面积为．（Ⅰ）求该椭圆的标准方程；（Ⅱ）是否存在圆心在y轴上的圆，使圆在x轴的上方与椭圆有两个交点，且圆在这两个交点处的两条切线互相垂直并分别过不同的焦点？若存在，求出圆的方程；若不存在，请说明理由．【解答】解：（Ⅰ）设F1（﹣c，0），F2（c，0），其中c2=a2﹣b2，由=2，得|DF1|==c，从而=|DF 1||F1F2|=c2=，故c=1．从而|DF1|=，由DF1⊥F1F2，得=+=，因此|DF2|=，所以2a=|DF1|+|DF2|=2，故a=，b2=a2﹣c2=1，因此，所求椭圆的标准方程为+y2=1；（Ⅱ）设圆心在y轴上的圆C与椭圆+y2=1相交，P1（x1，y1），P2（x2，y2）是两个交点，y1＞0，y2＞0，F1P1，F2P2是圆C的切线，且F1P1⊥F2P2，由圆和椭圆的对称性，易知x2=﹣x1，y1=y2，|P1P2|=2|x1|，由（Ⅰ）知F1（﹣1，0），F2（1，0），所以=（x1+1，y1），=（﹣x1﹣1，y1），再由F1P1⊥F2P2，得﹣+=0，由椭圆方程得1﹣=，即3+4x1=0，解得x1=﹣或x1=0．当x1=0时，P1，P2重合，此时题设要求的圆不存在；当x1=﹣时，过P1，P2，分别与F1P1，F2P2垂直的直线的交点即为圆心C，设C （0，y0）由F1P1，F2P2是圆C的切线，知CP1⊥F1P1，得•=﹣1，而|y1|=|x1+1|=，故y0=，故圆C的半径|CP1|==．综上，存在满足题设条件的圆，其方程为x2+=．第21页（共21页）。