高三应知应会讲义1——函数与导数

函数与导数1．（1）函数f (x )＝ 的定义域是 ． 解：[2，3) (3，4)．（2）函数f (x )＝lg(x 2－4x －21)的定义域是___________． 解：(7，＋∞) ∪(－∞，－3)． （3）函数2()f x =的定义域为 ．解：[3,)+∞．说明：考查函数的定义域，理解函数有意义的条件． 2．（1）若f (x )＝2x ＋3，g (x +2)= f (x )，则g (x )的表达式为________________． 解： 2x －1．（2）若一次函数y =f (x )在区间[－1，2]上的最大值为3，最小值为1，则f (x )的解析式为_____．解：23x+53，或－23x+73．（3）已知f (x )=3x +2则fn x f f f 个)))(((=________________．解： 3n x +3n－1．（4）设定义在R 上的函数()f x 满足()()213f x f x ⋅+=，若()12f =，则()99f =． 解：132． （5）周长为l 的铁丝弯成下部为矩形，上部为半圆形的框架，圆的半径为x ，求此框架围成的面积y 与x 的函数关系式为f (x ) =_____________． 解：－(π2+2)x 2+lx ，0<x <l 2+π．说明：考查函数的解析式，理解根据实际问题写出函数的解析式．3．（1）函数y ＝(13)|x |的值域是_________________．解：(0，1]．（2）已知函数f (x ) = log a (x + 1)的定义域和值域都是[0，1]，则实数a 的值是_______________． 解：2．（3）若函数()y f x =的值域是1[,3]2，则函数1()()()F x f x f x =+的值域是 ． 解：10[2,]3． （4）已知t 为常数，函数t x x y --=22在区间[0，3]上的最大值为2，则t =___． 解：1．说明：考查函数的值域的求法． 3．（1）函数f (x )＝ 则f (3)=_______________． 解： 125．（2）已知f (x )＝ 若f (x )=3，则x 的值是__________．（3）设函数f (x )＝ 若f (x 0)>1，则x 0的取值范围是 ． 解： (3，＋∞) ∪(－∞，－1)说明：考查分段函数的概念，会求分段函数的函数值． 4．（1）比较下列各组数值的大小：①1．73__________1．72; ②1．72________0．92 ; ③log 20．3_________20．3． 解：>；>；<．（2）计算：lg 22+lg2lg5+lg5＝__________；2log 32－log 3329＋log 38－3log 55＝ ．解：1；－1． （3）已知1249a =(a >0) ，则23log a = ． 解：4．（4）若13(1)ln 2ln ln x e a x b x c x -∈===，，，，，则a 、b 、c 的大小关系是 ．解：b <a <c（5）若0.52a =，πlog 3b =，22πlog sin5c =，则a 、b 、c 的大小关系是 ． 解：a b c >>．说明：考查指数，对数的运算和性质． 5．（1）已知f (x )是奇函数，且x ≤0时，f (x )＝x 2+2x ，则x >0时，f (x )＝__________________． 解：－x 2+2x ．（2）若函数f (x )＝13－x －1 ＋a 是奇函数，则实数a 的值为_____________．解： 12．（3）设f (x )是R 上的奇函数，f (x +2)＝－f (x )，当0≤x ≤1时，f (x )＝x ，则f (47．5)等于_____． 解：－12．（4）若函数f (x )＝2x 2+bx +c 对任意实数x 都有f (2－x )＝f (2＋x )，则f (1)， f (1．5)， f (4)的大小关系是_____________________．解： f (4) >f (1)> f (1.5)．（5）设函数f (x )＝x 2+2(a －1)x ＋1在区间(－∞，4)上是减函数，则a 的取值范围是__________． 解：a ≤－3．（6）函数f (x ) = l o g 0．5(－x 2+ 2x + 3)在区间__________上是增函数，在_________上是减函数，函数的值域是____________．解： (1，3)， (－1，1)， [－2，＋∞)．（7）已知f (x )＝ 是(－∞，＋∞)上的增函数，那么a 的取值范围是___ ．解： (1，32)．（8）设奇函数()f x 在(0)+∞，上为增函数，且(1)0f =，则不等式()()0f x f x x--<的解集为 ． 解：(10)(01)-，，．（9）已知f (x )是奇函数，且在(0，＋∞)内是增函数，又f (2)＝0，则xf (x )<0的解集是_______．解： (0，2) ∪(－2，0)．（10）对于函数①()()12lg +-=x x f ，②()()22-=x x f ，③()()2cos +=x x f ．判断如下三个命题的真假：命题甲：()2+x f 是偶函数；命题乙：()()2,∞-在区间x f 上是减函数，在区间()+∞,2上是增函数；命题丙：()()x f x f -+2在()+∞∞-,上是增函数．能使命题甲、乙、丙均为真的所有函数的序号是 ． 解：② ．说明：考查函数的单调性、奇偶性和周期性．心中有图是关键．6．（1）函数y = 的图象与函数y =x +2的图象的交点的个数是___________． 解：2．（2）函数y ＝2x －1x ＋2的图象关于_______________对称．解： (－2，2)．（3）函数y =a x－1（a >0，且a 1）的图象恒过定点______________． 解：(0，0) （4）若函数f (x )＝log 2|a +x |的图象的对称轴是直线x ＝1，则非零实数a 的值为__________． 解：－1． （5）设函数f (x )＝｜x +1｜+｜x －a ｜的图象关于直线x ＝1对称，则a 的值为 ． 解：3．说明：考查函数的图象及其变换． 7．（1）函数f (x )＝ln x +x ＋1的零点个数为________________． 解：1．（2）设c b a ,,均为正数，且a a21log 2=，b b 21log 21=⎪⎭⎫ ⎝⎛，c c2log 21=⎪⎭⎫ ⎝⎛，则a 、b 、c的大小关系是 ． 解：c b a <<．说明：考查函数与方程，会利用函数的图象解决方程问题．8．（1）函数322+-=x x y 在2到4之间的平均变化率为 ．解：4．（2）一汽球的半径以2cm/s 的速度膨胀，半径为6cm 时，表面积对于时间的变化率是 ． 解：π96．说明：考查平均变化率的概念，理解平均变化率与瞬时变化率之间关系,掌握路程,速度,加速度之间关系．9．（1）求下列函数的导数：56223-+-=x x x y ；xxe y =；x y tan =．解：6432+-=x x y ；x x xe e +；x2cos 1． （2）曲线xx y 1ln +=在x =2处的导数为 ． 解：41．（3）已知曲线x x y ln 32-=在点0x x =处的导数为1，则0x =______． 解：23． 说明：考查求导公式和求导法则． 10．（1）设曲线11x y x +=-在点（3，2）处的切线与直线10ax y ++=垂直，则a = ． 解：－2． （2）曲线313y x x =+在点413⎛⎫⎪⎝⎭，处的切线与坐标轴围成的三角形面积为 ． 解：1．（3）已知函数()y f x =的图象在点(1(1))M f ，处的切线方程是122y x =+，则(1)(1)f f '+= ．解：3．（4）曲线3423+-=x x y 在点（1，0）处的切线方程为 ；过点（0，5）的切线方程是 ． 解：55+-=x y ，55+-=x y ．（5）已知函数()bx ax x x f 3323+-=在点()11,1-处的切线为0112=-+y x ，则函数()x f 的解析式是 ．解：x x x 9323--．说明：考查导数的几何意义．利用导数求曲线的切线斜率，切点坐标，曲线方程中的待定系数．已知曲线上一点的坐标，求曲线在这点处的切线方程的一般步骤： （1）根据导数的几何意义，求出曲线在一点处的切线斜率； （2）利用直线的点斜式方程，写出切线方程．已知曲线在一点处切线的斜率，求切点坐标的一般步骤： （1）设切点坐标；（2）根据导数的几何意义，求出曲线在这点处切线斜率关于切点坐标的表达式； （3）列关于切点坐标的方程，求出切点坐标． 11．（1）函数)2,0(,cos 2)(π∈+=x x x x f 在 区间上是单调减函数． 解：)2,6(ππ．（2）函数1()(01)ln f x x x x x=>≠且在___上是减函数，________上是增函数．解：),1(+∞e ，)1,0(e．（3）函数1xy e x =--的极小值是__________． 解：0．（4）函数sin x y e x =+在区间[0,]π上的最小值是________ ；最大值是______________． 解：2，1-πe ．（5）若函数3)2(33)(23++++=x a ax x x f 既有极大值又有极小值，则a 的取值范围为 ． 解：2>a 或1-<a ．（6）函数ax x x f -=3)(在区间)0,21(-上单调递减，则a 的取值范围为 ． 解：43≥a ． （7）若()()xb x x f ln 2212+--=在（+∞,1）上是减函数，则b 的取值范围是 ． 解：(,1]-∞-．（注意：原题理科要求，文科不要求） （8）已知函数()c x x x x f +--=22123，若对任意[]2,1-∈x 都有()2c x f <，则c 的取值范围是 ． 解：()()+∞-∞-,21,说明：考查利用导数研究函数的单调性的方法，已知函数的单调性求参数的取值或取值范围；考查利用导数研究函数的极大值、极小值，最大值、最小值的方法，已知函数的极值求参数的值或参数的取值范围．（注：本资料素材和资料部分来自网络，仅供参考。

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