洛必达法则解决问题

洛必达法则简介：
法则1 若函数f(x) 和g(x)满足下列条件：(1) ()lim 0x a f x →= 及()lim 0x a
g x →=； (2)在点a 的去心邻域内，f(x) 与g(x) 可导且g '(x)≠0；
(3)()()
lim x a f x l g x →'='， 那么 ()
()lim x a f x g x →=()()
lim x a f x l g x →'='。

法则2 若函数f(x) 和g(x)满足下列条件：(1)()lim 0x f x →∞= 及()lim 0x g x →∞=； (2)0A ∃，f(x) 和g(x)在(),A -∞与(),A +∞上可导，且g '(x)≠0；
(3)()()lim x f x l g x →∞'='， 那么 ()()lim x f x g x →∞=()()
lim x f x l g x →∞'='。

法则3 若函数f(x) 和g(x)满足下列条件：(1) ()lim x a f x →=∞及()lim x a
g x →=∞； (2)在点a 的去心邻域内，f(x) 与g(x) 可导且g '(x)≠0；
(3)()()lim x a f x l g x →'='， 那么 ()()lim x a f x g x →=()()
lim x a f x l g x →'='。

利用洛必达法则求未定式的极限是微分学中的重点之一，在解题中应注意： ○
1将上面公式中的x→a，x→∞换成x→+∞，x→-∞，x a +→，x a -→洛必达法则也成立。

○2洛必达法则可处理00，∞∞
，0⋅∞，1∞，0∞，00，∞-∞型。

○3在着手求极限以前，首先要检查是否满足00，∞∞
，0⋅∞，1∞，0∞，00，∞-∞型定式，否则滥用洛必达法则会出错。

当不满足三个前提条件时，就不能用洛必达法则，这时称洛必达法则不适用，应从另外途径求极限。

○
4若条件符合，洛必达法则可连续多次使用，直到求出极限为止。

二．高考题处理
1.(2010年全国新课标理)设函数2
()1x f x e x ax =---。

（1） 若0a =，求()f x 的单调区间；
（2） 若当0x ≥时()0f x ≥，求a 的取值范围
原解：（1）0a =时，()1x f x e x =--，'()1x f x e =-.
当(,0)x ∈-∞时，'()0f x <；当(0,)x ∈+∞时，'()0f x >.故()f x 在(,0)-∞单调减少，在(0,)+∞单调增加
（II ）'()12x f x e ax =--
由（I ）知1x e x ≥+，当且仅当0x =时等号成立.故
'()2(12)f x x ax a x ≥-=-，
从而当120a -≥，即12
a ≤时，'()0 (0)f x x ≥≥，而(0)0f =， 于是当0x ≥时，()0f x ≥.
由1(0)x e x x >+≠可得1(0)x e x x ->-≠.从而当12a >时， '()12(1)(1)(2)x x x x x f x e a e e e e a --<-+-=--，
故当(0,ln 2)x a ∈时，'()0f x <，而(0)0f =，于是当(0,ln 2)x a ∈时，()0f x <.
综合得a 的取值范围为1,2⎛
⎫-∞ ⎪⎝⎭
原解在处理第（II ）时较难想到，现利用洛必达法则处理如下：
另解:（II ）当0x =时，()0f x =，对任意实数a,均在()0f x ≥；
当0x >时，()0f x ≥等价于21
x x a e x --≤
令()21
x x g x e x --=(x>0),则322()x
x
x x g x e e x
-++'=，令()()220x x h x x x x e e =-++>，则()1x x
h x x e e '=-+，()0x h x x e ''=>， 知()h x '在()0,+∞上为增函数，()()00h x h ''>=；知()h x 在()0,+∞上为增函数，()()00h x h >=；()0g x '∴>，g(x)在()0,+∞上为增函数。

由洛必达法则知，200011222lim lim lim x x x
x x x x x e e e x +++→→→--===， 故12
a ≤
综上，知a 的取值范围为1,2⎛
⎫-∞ ⎪⎝⎭。

2．（2011年全国新课标理）已知函数，曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为230x y +-=。

（Ⅰ）求a 、b 的值；
（Ⅱ）如果当0x >，且1x ≠时，ln ()1x k f x x x
>+-，求k 的取值范围。

原解：（Ⅰ）221(
ln )'()(1)x x b x f x x x
α+-=-+ 由于直线230x y +-=的斜率为12-，且过点(1,1)，故(1)1,1'(1),2
f f =⎧⎪⎨=-⎪⎩即 1,1,22b a b =⎧⎪⎨-=-⎪⎩ 解得1a =，1b =。

（Ⅱ）由（Ⅰ）知ln 1f ()1x x x x
=++，所以 22ln 1(1)(1)()()(2ln )11x k k x f x x x x x x
---+=+--。

考虑函数()2ln h x x =+2(1)(1)k x x
--(0)x >，则22(1)(1)2'()k x x h x x -++=。

（i ）设0k ≤，由22
2(1)(1)'()k x x h x x
+--=知，当1x ≠时，'()0h x <，h （x ）递减。

而(1)0h =故当(0,1)x ∈时， ()0h x >，可得2
1()01h x x >-； 当x ∈（1，+∞）时，h （x ）<0，可得211x
- h （x ）>0 从而当x>0,且x ≠1时，f （x ）-（1ln -x x +x k ）>0，即f （x ）>1ln -x x +x
k . （ii ）设0<k<1.由于2(1)(1)2k x x -++=2(1)21k x x k -++-的图像开口向下，且
244(1)0k ∆=-->，对称轴x=111k >-.
当x ∈（1，k -11）时，（k-1）（x 2 +1）+2x>0,故'h （x ）>0,
而h （1）=0，故当x ∈（1，
k -11）时，h （x ）>0，可得211x -h （x ）<0,与题设矛盾。

（iii ）设k ≥1.此时212x x +≥，2(1)(1)20k x x -++>⇒'
h （x ）>0,而h （1）=0，故当x ∈（1，+∞）时，h （x ）>0，可得
2
11x - h （x ）<0,与题设矛盾。

综合得，k 的取值范围为（-∞，0] 原解在处理第（II ）时非常难想到，现利用洛必达法则处理如下：
另解：（II ）由题设可得，当0,1x x >≠时，k<
22ln 11x x x
+-恒成立。

令g (x)= 22ln 11x x x +-(0,1x x >≠),则()()()22221ln 121x x x g x x +-+'=⋅-， 再令()()221ln 1h x x x x =+-+(0,1x x >≠)，则()12ln h x x x x x '=+-，()212ln 1h x x x ''=+-，易知()212ln 1h x x x
''=+-在()0,+∞上为增函数，且()10h ''=；故当(0,1)x ∈时，()0h x ''<，当x ∈（1，+∞）时，()0h x ''>；
∴()h x '在()0,1上为减函数，在()1,+∞上为增函数；故()h x '>()1h '=0
∴()h x 在()0,+∞上为增函数
()1h =0
∴当(0,1)x ∈时，()0h x <，当x ∈（1，+∞）时，()0h x >
∴当(0,1)x ∈时，()0g x '<，当x ∈（1，+∞）时，()0g x '>
∴()g x 在()0,1上为减函数，在()1,+∞上为增函数
由洛必达法则知()2111
ln 1ln 12121210221lim lim lim x x x x x x g x x x →→→+⎛⎫=+=+=⨯-+= ⎪--⎝⎭ ∴0k ≤，即k 的取值范围为（-∞，0]
规律总结：对恒成立问题中的求参数取值范围，参数与变量分离较易理解，但有些题中的求分离出来的函数式的最值有点麻烦，利用洛必达法则可以较好的处理它的最值，是一种值得借鉴的方法。