洛必达法则解决高考问题
新人教版高中数学《洛必达法则在高考中的应用》精品PPT课件
注意：lim6x 2 为已定式，不能再用洛必达法则。
x1 6 x
例5.若f(x0 )
2
，求lim h0
f(x0
2h) 5h
f(x0
h)
解析：l i m h0
f(
x0
2 h ) 5h
f
( x0
h)
lim 2f(x0
h0
2
h ) 5
f( x0
h)
3 5
f( x0
2a
g(3) 9a 1 0
①若g(1) a 1 0 a 1 时，
g(t)
则 g(t) 在 [1,3]必有唯一零点t0
所以 y(t) 在[1, t0 ] 减，[t0 ,3]增
1 t0 3
又y(1) 0 ，所以 y(t0 ) 0不适合。
②若g(1) a 1 0 a 1时，
若 x (0,)，则
ax 1 0 ax 1 x f (x)
a
1 1 ex
1 x
xex ex 1 x(ex 1)
h(x)恒成立。
下面求 h(x),x (0,) 的最小值或最小极限值。
用导数法判断单调性难以解决，所以猜测最小
极限值点在0或 位置，由洛必达法则：
g(x) xe x 2e x x 2 0(x 0)
因为 g(x) xex ex 1 ，g (x) xe x 0
所以 g(x) 在(0,) 增
g(x) g(0) 0 所以 g(x) 在(0,)增
g(x) g(0) 0 h(x) 1
高考培优点 洛必达法则
跟踪训练 1 若∀x∈[1，＋∞)，不等式 ln x≤mx－1x恒成立，求实数 m 的 取值范围.
当x＝1时，不等式恒成立，m∈R；
当 x>1 时，m≥xx2l－n x1恒成立，
令 h(x)＝xx2l－n x1，x>1，
则
h′(x)＝ln
x＋1x2－1－2x·xln x2－12
x＝x2－x2lxn2－x－1ln2
4.若条件符合，洛必达法则可连续多次使用，直到求出极限为止.
lim
x→a
gfxx＝lxi→ma
gf′′xx＝lxi→ma
gf″″xx，如满足条件，可继续使用洛必达法则.
0 题型一 用洛必达法则处理 型函数
0
例 1 设函数 f(x)＝2＋sincoxs x.如果对任何 x≥0，都有 f(x)≤ax，求 a 的取值 范围.
思维升华
∞
∞
用洛必达法则处理∞型函数的步骤：(1)分离变量；(2)出现∞型式子；(3)运
用洛必达法则求值.
跟踪训练2 已知函数f(x)＝2ax3＋x.当x∈(1，＋∞)时，恒有f(x)>x3－a， 求a的取值范围.
当x∈(1，＋∞)时，f(x)>x3－a恒成立，
即2ax3＋x>x3－a恒成立，
12
且 h(x)>h(0)＝0，所以 g′(x)＝hxx2>0，
从而 g(x)＝ex－x 1在(0，＋∞)上单调递增，
所以 a≤lim x→0
ex－1 x.
由洛必达法则得lim x→0
g(x)＝lim x→0
ex－x 1＝lxi→m0
e1x＝1，
即当x→0时，g(x)→1，所以g(x)>1，即有a≤1.
例析洛必达法则在解高考导数题中的运用
例析洛必达法则在解高考导数题中的运用2014年全国高考数学试题中，有许多与函数的综合运用有关的考题，其中涉及到恒成立问题和有解问题，而这些问题几乎都需要求解参数的取值范围。
解决这类问题的方式有两种，一种是选主元法，另一种是分离参数法。
分离参数法的优点在于将函数关系由隐变显，避免了繁琐的分类讨论，因此备受教师和学生的喜爱。
然而，在实际应用中，有时函数在某点处的极限难以求出，导致解答中途失败。
但是，利用高等数学中的洛必达法则，这些问题就可以迎刃而解。
洛必达法则是一种通过求导和求极限来确定未定式值的方法。
当x趋于某一点a时，若f(x)和g(x)都趋于零（或无穷大），且f'(x)和g'(x)都存在且g'(x)不为零，则可以使用洛必达法则。
在使用时需要注意两点：一是要检查函数极限是否满足∞/∞或0/0型；二是可以连续使用多次。
以2014年陕西高考数学试题为例，其中一道压轴试题涉及到分离参数法和洛必达法则的应用。
在求解过程中，需要使用洛必达法则来解决函数在某点处的极限问题，从而得到最终的答案。
这表明，在解决高考数学导数题时，洛必达法则的应用是非常重要的。
已知函数$f(x)=(1+x)\ln(1+x)-x\ln(1+x)$，其中$x>0$。
1）设$h(x)=\frac{f(x)}{x^2}$，求$h(x)$在$(0,+\infty)$上的单调性和最小值；2）设$a=\min\{h(x)\}$，求$a$的取值范围。
解：1）首先求出$h(x)$的导数$h'(x)$：h'(x)=\frac{f'(x)x^2-2xf(x)}{x^4}=\frac{x\ln(1+x)}{(1+x)^2}$$由于$x>0$，所以$h'(x)>0$，即$h(x)$在$(0,+\infty)$上单调递增。
接下来求$h(x)$的最小值：h'(x)=0\Rightarrow x=0\text{或}x=e-1$$当$x=e-1$时，$h(x)$取得最小值：h(e-1)=\frac{(e-1)\ln e}{e^2}=\frac{1-e^{-1}}{e}$$2）由于$f(0)=0$，所以$h(0)=0$。
【优质文档】用洛必达定理来解决高考压轴题
e
2x
lim
x0
e
2
1
，
2
故a 1 2
综上，知 a 的取值范围为
1 ,
。
2
2 ．（ 20XX 年全国新课标理）已知函数，曲线
y f ( x) 在点 (1, f (1))处的切线方程为
x 2y 3 0。 （Ⅰ）求 a 、 b 的值； （Ⅱ）如果当 x 0 ，且 x 1 时， f ( x) ln x k ，求 k 的取值范围。 x1 x
原解：（Ⅰ） f '( x)
( x 1 ln x) x
b
( x 1)2
x2
由于直线 x 2 y 3 0 的斜率为
1
，且过点
(1,1)，故
2
f (1) 1,
f '(1)
1即 ,
2
b 1,
a
1
b
,
2
2
解得 a 1， b 1。
ln x 1
（Ⅱ）由（Ⅰ）知 f ( x)
，所以
x1 x
ln x k 1
(k 1)(x2 1)
,1
2
原解在处理第（ II ）时较难想到，现利用洛必达法则处理如下：
另解 :（ II ）当 x 0 时， f (x) 0，对任意实数 a,均在 f (x) 0 ；
x
e 当 x 0时， f (x) 0等价于 a
x1
2
x
x
令
gx
e x1 2
(x>0),
则
x
g ( x)
x
x
xe 2e x 2
3
x
，令
x
x
h x xe 2e x
洛必达法则(简版)
导数结合洛必达法则巧解高考压轴题洛必达法则：设函数()f x 、()g x 满足：（1）lim ()lim ()0x ax a f x g x →→==； （2）在()U a 内，()f x '和()g x '都存在，且()0g x '≠；（3）()lim()x a f x A g x →'=' （A 可为实数，也可以是±∞）. 则()()lim lim ()()x a x a f x f x A g x g x →→'==' 例1、（2011新课标理）已知函数ln ()1a x b f x x x =++，曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为230x y +-=.（Ⅰ）求a 、b 的值； （Ⅱ）如果当0x >，且1x ≠时，ln ()1x k f x x x >+-，求k 的取值范围.例2（2010新课标理）设函数2()1x f x e x ax =---.（Ⅰ）若0a =，求()f x 的单调区间；（Ⅱ）当0x ≥时，()0f x ≥，求a 的取值范围.例3、若不等式3sin x x ax >-对于(0,)2x π∈恒成立，求a 的取值范围 例4、（2010海南宁夏文）已知函数2()(1)x f x x e ax =--. （Ⅰ）若()f x 在1x =-时有极值，求函数()f x 的解析式；（Ⅱ）当0x ≥时，()0f x ≥，求a 的取值范围.例5、（2010全国大纲理）设函数()1xf x e -=-. （Ⅰ）证明：当1x >-时，()1x f x x ≥+；（Ⅱ）设当0x ≥时，()1x f x ax ≤+，求a 的取值范围.例6、（2008年全国2理）设函数sin ()2cos xf x x =+． （Ⅰ）求()f x 的单调区间；（Ⅱ）如果对任何0x ≥，都有()f x ax ≤，求a 的取值范围．课后练习：1.（2006年全国理2）设函数f (x )＝(x ＋1)ln(x ＋1)，若对所有的x ≥0，都有f (x )≥ax 成立，求实数a 的取值范围．2.（2006全国理1）已知函数()11ax x f x e x -+=-.（Ⅰ）设0a >，讨论()y f x =的单调性；（Ⅱ）若对任意()0,1x ∈恒有()1f x >，求a 的取值范围.3.（2007全国理1）设函数()e e x x f x -=-．（Ⅰ）证明：()f x 的导数()2f x '≥；（Ⅱ）若对所有0x ≥都有()f x ax ≥，求a 的取值范围．4.（2008辽宁理）设函数ln ()ln ln(1)1x f x x x x =-+++.⑴求()f x 的单调区间和极值; ⑵是否存在实数a ,使得关于x 的不等式()f x a …的解集为(0,)+∞?若存在,求a 的取值范围;若不存在,试说明理由.5.（2010新课标文）已知函数2()(1)x f x x e ax =--.（Ⅰ）若()f x 在1x =-时有极值，求函数()f x 的解析式；（Ⅱ）当0x ≥时，()0f x ≥，求a 的取值范围.6、若不等式3sin x x ax >-对于(0,)2x π∈恒成立，求a 的取值范围.。
2023年高考数学复习：洛必达法则
lim
x→0+
ex2－x 1＝xl→ im0+
e2x＝12，故 a≤12.
综上，实数 a 的取值范围是－∞，12.
则h′(x)＝xex－ex＋1，
记φ(x)＝h′(x)，则φ′(x)＝xex>0，
∴h′(x)在(0，＋∞)上单调递增，h′(x)>h′(0)＝0，
∴h(x)在(0，＋∞)上单调递增，h(x)>h(0)＝0，
∴g′(x)>0，g(x)在(0，＋∞)上单调递增.
由洛必达法则知
lim
x→0+
ex－xx2－1＝
gf′′xx＝A(可连续使用).
例 已知函数f(x)＝x2ln x－a(x2－1)，a∈R.若当x≥1时，f(x)≥0恒成立， 求实数a的取值范围.
解 方法一 由f(x)＝x2ln x－a(x2－1)≥0，
当x＝1时，不等式成立，
当 x>1 时，a≤xx22－ln 1x， 令 g(x)＝xx22－ln 1x(x>1)，则 g′(x)＝xx2－ x21－－122ln x，
因为 x>1，则(x2－1－2ln x)′＝2x－2x>0，
故y＝x2－1－2ln x在(1，＋∞)上单调递增，
则y＝x2－1－2ln x>0，
故
g′(x)＝xx2－ x21－－122ln
x >0.
所以g(x)在(1，＋∞)上单调递增.
则 g(x)>g(1)，由洛必达法则知lim x→1
x2ln x x2－1
2 a 1
所以f(x)min＝f( e 2 )
2 a 1
＝(e 2
)2·2a2－1－a[( e
2a1 2
洛必达法则在高考解答题中的应用(高二下)
洛必达法则在高考解答题中的应用(高二下)-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN导数结合洛必达法则巧解高考压轴题一．洛必达法则：法则1.若函数)(x f 和)(x g 满足下列条件：(1) ()lim 0x a f x →= 及()lim 0x ag x →=； (2)在点a 的去心邻域内，)(x f 与)(x g 可导且0)('≠x g ；(3)()()lim x a f x l g x →'='，那么 ()()lim x a f x g x →=()()lim x a f x l g x →'='． 法则2.若函数)(x f 和)(x g 满足下列条件：(1) ()lim x a f x →=∞及()lim x a g x →=∞；(2)在点a 的去心邻域内，)(x f 与)(x g 可导且0)('≠x g ；(3)()()lim x a f x l g x →'='，那么 ()()lim x a f x g x →=()()lim x a f x l g x →'='． 利用洛必达法则求未定式的极限是微分学中的重点之一，在解题中应注意： ○1将上面公式中的a x →，∞→x 换成+∞→x ，-∞→x ，+→a x ，-→a x 洛必达法则也成立．○2洛必达法则可处理00，∞∞，0⋅∞，∞1，0∞，00，∞-∞型． ○3在着手求极限以前，首先要检查是否满足00，∞∞，0⋅∞，∞1，0∞，00，∞-∞型定式，否则滥用洛必达法则会出错．当不满足三个前提条件时，就不能用洛必达法则，这时称洛必达法则不适用，应从另外途径求极限． ○4若条件符合，洛必达法则可连续多次使用，直到求出极限为止． 二．高考例题讲解1. 函数2()1x f x e x ax =---．（Ⅰ）若0a =，求()f x 的单调区间；（Ⅱ）若当0x ≥时()0f x ≥，求实数a 的取值范围．2. 已知函数xb x x a x f ++=1ln )(，曲线()y f x =在点))1(,1(f 处的切线方程为230x y +-=．（Ⅰ）求a 、b 的值；（Ⅱ）如果当0x >，且1x ≠时，ln ()1x k f x x x>+-，求k 的取值范围． 3.若不等式3sin ax x x ->对于)2,0(π∈x 恒成立，求实数a 的取值范围． 4.设函数xx x f cos 2sin )(+=。
洛必达法则在高考解答题中的应用
一．洛必达法例：法例 1. 若函数f (x)和g (x)知足以下条件： (1) lim f x0 及 lim g x0 ；x a x a(2) 在点a的去心邻域内， f (x) 与 g(x) 可导且 g '( x)0 ；f xl ，那么f x f xl ．(3) lim lim= limx a g x x a g x x a g x法例 2. 若函数f (x)和g (x)知足以下条件： (1)lim f x及 lim g x；x a x a(2) 在点a的去心邻域内， f (x) 与 g(x)可导且 g' ( x)0 ；f xl ，那么f x f xl ．(3) lim lim= limx a g x x a g x x a g x利用洛必达法例求不决式的极限是微分学中的要点之一，在解题中应注意：○1 将上边公式中的x a ， x换成 x， x， x a， x a 洛必达法例也建立．○2 洛必达法例可办理0 ，， 0， 1，， 00，型．0 ，○3 在着手求极限从前，第一要检查能否知足，0， 1 ，0，00，型定式，不然滥用洛必达法例会犯错．当不知足三个前提条件时，就不可以用洛必达法例，这时称洛必达法例不合用，应从此外门路求极限．○4 若条件切合，洛必达法例可连续多次使用，直到求出极限为止．二．高考例题解说1.函数 f ( x)e x 1 x ax2．（Ⅰ）若 a0 ，求 f ( x)的单一区间；（Ⅱ）若当 x0 时f ( x)0 ，务实数 a 的取值范围．2. 已知函数aln x by f (x) 在点(1, f (1))处的切线方程为f ( x)1，曲线x xx 2 y 30 ．（Ⅰ）求 a 、b的值；（Ⅱ）假如当 x0 ，且 x 1时， f ( x)ln x k，求 k 的取值范围．x 1x3. 若不等式sin x x ax3关于x (0,) 恒建立，务实数 a 的取值范围．24. 设函数 f ( x)sin x 。
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洛必达法则简介：
法则1 若函数f(x) 和g(x)满足下列条件：(1) 及；
(2)在点a的去心邻域内，f(x) 与g(x) 可导且g'(x)≠0；
(3)，
那么=。
法则2 若函数f(x) 和g(x)满足下列条件：(1)及；
(2)，f(x) 和g(x)在与上可导，且g'(x)≠0；
(3)，
那么=。
法则3 若函数f(x) 和g(x)满足下列条件：(1) 及；
(2)在点a的去心邻域内，f(x) 与g(x) 可导且g'(x)≠0；
(3)，
那么=。
利用洛必达法则求未定式的极限是微分学中的重点之一，在解题中应注意：
○1将上面公式中的x→a，x→∞换成x→+∞，x→-∞，，洛必达法则也成立。
○2洛必达法则可处理，，，，，，型。
○3在着手求极限以前，首先要检查是否满足，，，，，，型
定式，否则滥用洛必达法则会出错。
当不满足三个前提条件时，就不能用洛必达法则，这时称洛必达法则不适用，应从另外途径求极限。
○4若条件符合，洛必达法则可连续多次使用，直到求出极限为止。
二．高考题处理
1.(2010年全国新课标理)设函数。
（1）若，求的单调区间；
（2）若当时，求的取值范围
原解：（1）时，，.
当时，；当时，.故在单调减少，在单调增加
（II）
由（I）知，当且仅当时等号成立.故
，
从而当，即时，，而，
于是当时，.
由可得.从而当时，
，
故当时，，而，于是当时，.
综合得的取值范围为
原解在处理第（II）时较难想到，现利用洛必达法则处理如下：
另解:（II）当时，，对任意实数a,均在；
当时，等价于
令(x>0),则，令
，则，，
知在上为增函数，；知在上为增函数，；，g(x)在上为增函数。
由洛必达法则知，，
故
综上，知a的取值范围为。
2．（2011年全国新课标理）已知函数，曲线在点处的切线方程为。
（Ⅰ）求、的值；
（Ⅱ）如果当，且时，，求的取值范围。
原解：（Ⅰ）
由于直线的斜率为，且过点，故即
解得，。
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，所以。
考虑函数，则。
（i）设，由知，当时，，h（x）递减。
而故当时，，可得；
当x（1，+）时，h（x）<0，可得h（x）>0
从而当x>0,且x1时，f（x）-（+）>0，即f（x）>+.
（ii）设0<k<1.由于=的图像开口向下，且
当x（1，）时，（k-1）（x2 +1）+2x>0,，对称轴x=
.
故（x）>0,而h（1）=0，故当x（1，）时，h（x）>0，可得h
（x）<0,与题设矛盾。
（iii）设k 1.此时，（x）>0,而h（1）=0，故当x（1，+）时，h（x）>0，可得h（x）<0,与题设矛盾。
综合得，k的取值范围为（-，0]
原解在处理第（II）时非常难想到，现利用洛必达法则处理如下：
另解：（II）由题设可得，当时，k<恒成立。
令g (x)= (),则，
再令()，则，
，易知在上为增函数，且；故当时，，当x（1，+）时，；
在上为减函数，在上为增函数；故>=0
在上为增函数
=0
当时，，当x（1，+）时，
当时，，当x（1，+）时，
在上为减函数，在上为增函数
由洛必达法则知
，即k的取值范围为（-，0]
规律总结：对恒成立问题中的求参数取值范围，参数与变量分离较易理解，但有些题
中的求分离出来的函数式的最值有点麻烦，利用洛必达法则可以较好的处理它的最值，是一种值得借鉴的方法。