导数基础讲义-10页word资料
导数讲义
导数讲义导数作为研究函数单调性最一般、最有效的工具，同时也是刻画复合函数图像，求解函数极值最值，解决恒成立、存在问题的最理想手段，其重要性不言而喻，而且定积分也是建立在导数基础之上的，在高考题目中分值一般在17分左右，那么，Let ’s Go,young man!一、导数的定义：严格地来说，导数依然是一种特殊的函数，其特殊性主要表现在其对应关系不是传统的由数集A 中的数通过某种或几种四则、对数、指数、开方运算得到一个集合B 中唯一的数，而是另一个函数在任意自变量处函数值变化量与自变量变化量比值的极限与数集B 中唯一的数对应，即对应关系f 为0limx yx。
因为导数是基于另一个函数()yf x 的，所以我们把()y f x 的导数记为'()yf x 。
②函数某点处的导数)('0x f 平均变化率：我们把yx称为平均变化率。
当自变量的变化量x 很小时，我们就称此时的平均变化率为瞬时变化率，瞬时变化率：我们把0limx yx称为瞬时变化率，00()()yf x x f x ，我们把)(x f y =在0x x =处的瞬时变化率0limx yx =00()()lim x f x x f x x称为函数)(x f y =在0x x =处的导数，记做00000()()'()lim lim x x f x x f x yf x x x例1：已知函数()y f x 满足'(1)2f ，求0(13)(1)lim x f x f x③某点处导数的几何意义：我们知道1212()()f x f x x x 表示函数()yf x 图像上两点))(,()),(,(2211x f x x f x 连线的斜率，我们称之为为函数图像上一条割线的斜率，而当21,x x 即为接近时，即210x x x 时，我们可以把))(,(,)(,2211x f x x f x ）（几乎可以看成一点，此时我们可以认为这条直线为函数图像的一条切线，而导数恰好是该切线的斜率，这就是某点处导数的几何意义：函数在某点处的导数就是函数图像该点处切线的斜率。
高中数学《导数》讲义(全)
高中数学导数讲义完整版第一部分 导数的背景一、导入新课 1. 瞬时速度问题1：一个小球自由下落，它在下落3秒时的速度是多少？ (221gt s =,其中g 是重力加速度）.2. 切线的斜率问题2：P （1,1）是曲线2x y =上的一点，Q 是曲线上点P 附近的一个点，当点Q 沿曲线逐渐向点P 趋近时割线PQ 的斜率的变化情况.3. 边际成本问题3：设成本为C ，产量为q ，成本与产量的函数关系式为103)(2+=q q C ，我们来研究当q ＝50时，产量变化q ∆对成本的影响. 二、小结:瞬时速度是平均速度ts∆∆当t ∆趋近于0时的极限；切线是割线的极限位置，切线的斜率是割线斜率xy∆∆当x ∆趋近于0时的极限；边际成本是平均成本q C ∆∆当q ∆趋近于0时的极限.三、练习与作业：1. 某物体的运动方程为25)(t t s =（位移单位：m ，时间单位：s ）求它在t ＝2s 时的速度. 2. 判断曲线22x y =在点P （1,2）处是否有切线，如果有，求出切线的方程. 3. 已知成本C 与产量q 的函数关系式为522+=q C ，求当产量q ＝80时的边际成本. 4. 一球沿某一斜面自由滚下，测得滚下的垂直距离h （单位：m ）与时间t （单位：s ）之间的函数关系为2t h =，求t ＝4s 时此球在垂直方向的瞬时速度. 5. 判断曲线221x y =在（1，21）处是否有切线，如果有，求出切线的方程.6. 已知成本C 与产量q 的函数关系为742+=q C ，求当产量q ＝30时的边际成本.第二部分 导数的概念一、新课：1.设函数)(x f y =在0x x =处附近有定义，当自变量在0x x =处有增量x ∆时，则函数()y f x =相应地有增量)()(00x f x x f y -∆+=∆，如果0→∆x 时，y ∆与x ∆的比xy∆∆（也叫函数的平均变化率）有极限(即xy∆∆无限趋近于某个常数)，我们把这个极限值叫做函数)(x f y =在0x x →处的导数，记作0/x x y =，即xx f x x f x f x ∆-∆+=→∆)()(lim)(0000/。
(完整word版)第一讲导数、导函数的概念及导数的运算讲义(非常好、有解析)
导数与导函数的概念【基础知识点】 1．函数从到的平均变化率为①____________，若21x x x =-△，21()()y f x f x =-△，则平均变化率可表示为．2．一般的，定义在区间（a ，b ）上的函数)(x f ，)(b a x o ，∈，当x ∆无限趋近于0时，xx f x x f x y o o ∆-∆+=∆∆)()(无限趋近于一个固定的常数A ，则称)(x f 在o x x =处可导，并称A 为)(x f 在o x x =处的导数，记作)('o x f 或o x x x f =|)(' 3．几何意义：)(x f 在0x x =处的导数就是)(x f 在0x x =处的切线斜率。
4．导函数的概念：)(x f 的对于区间（a ,b ）上任意点处都可导，则)(x f 在各点的导数也随x 的变化而变化，因而也是自变量x 的函数，该函数被称为)(x f 的导函数，记作)('x f 。
【典例解析】【典例1】函数)(x f 满足2)1('=f ，则当x 无限趋近于0时，（1）=-+xf x f 2)1()1(（2）=-+xf x f )1()21( 变式:设f(x)在x=x 0处可导， （3）x x f x x f ∆-∆+)()4(00无限趋近于1，则)(0x f '=___________（4）xx f x x f ∆-∆-)()4(00无限趋近于1，则)(0x f '=__________（5）当△x 无限趋近于0，xx x f x x f ∆∆--∆+)2()2(00所对应的常数与)(0x f '的关系。
总结：导数等于纵坐标的增量与横坐标的增量之比的极限值。
【基础知识点】1．基本初等函数的求导公式：⑴ ()kx b k '+= (k,b 为常数) ⑵ 0)(='C (C 为常数) ⑶ ()1x '= ⑷ 2()2x x '= ⑸ 32()3x x '= ⑹ 211()x x '=- ⑺ ()2x x'=⑻ 1()x xααα-'= （α为常数）⑼ ()ln (01)xxa a a a a '=>≠，⑽ a a 11(log x)log e (01)x xlnaa a '==>≠，且 ⑾ xx e )(e =' ⑿ x1)(lnx ='⒀ cosx )(sinx =' ⒁ sinx )(cosx －='2．曲线在某点处的切线和曲线过某点的切线．曲线y ＝f （x ）在点P （x 0，f （x 0））处的切线方程是y －f （x 0）＝)('o x f （x －x 0）；3． 求过某点的切线方程，需先设出切点坐标，再依据已知点在切线上求解． 4．函数的差、积、商的求导法则：（1） []()()''()'()f x g x f x g x ±=± （2） []()'()'cf x cf x =（3） []()()''()()()'()f x g x f x g x f x g x =+（4） '2()'()()()'()(()0)()()f x f x g x f x g x g x g x g x ⎛⎫-=≠ ⎪⎝⎭【典例解析】【典例1】求下列函数的导数 （1）35y x =（2）41y x =（3）4log y x = （4）sin()2y x π=-（5）3cos()2y x π=+ （6）x x x y = 题型一：点在曲线上【典例2】已知曲线331x y =上一点)38,2(P ,则过P 点的切线方程为 .解析：过点P 的切线的斜率为()'24k f ==，那么切线方程为()8423y x -=- ，即123160x y --= ．变式：（南通市2013届高三第一次调研测试数学试卷）曲线2(1)1()e (0)e 2x f f x f x x '=-+在点(1,f (1))处的切线方程为________. 题型二：点不在曲线上【典例3】过点)0,1(-作抛物线12++=x x y 的切线，则其中一条切线为 解析：设切点为()00,x y ，切线的斜率为()'0021fx x =+，则切线方程为：()()'000y y f x x x -=- ，因为点)0,1(-在切线上，故()()'0001y f x x -=-- ，解得00x = ，或02x =- ，切点为()0,1 或()2,3- ，故切线方程为20x y -+= 或330x y ++=变式：1．（江苏省淮安市2013届高三上学期第一次调研测试数学试题）过点()1,0-.与函数()xf x e =(e 是自然对数的底数)图像相切的直线方程是__________.2．（2011年高考（江苏卷））在平面直角坐标系xOy 中,已知点P 是函数)0()(>=x e x f x的图象上的动点,该图象在P 处的切线l 交y 轴于点M ,过点P 作l 的垂线交y 轴于点N ,设线段MN 的中点的纵坐标为t ,则t 的最大值是__ 题型三：已知切线斜率求切线方程【典例4】求垂直于直线0162=+-y x 且与曲线5323-+=x x y 相切的直线方程。
导数讲义
导数讲义一、导数的概念1．切线的斜率 如图5—1所示，曲线)(x f y =在其上一点),(00y x P 处的切线PT 是割线PQ 当动点Q 沿此曲线无限接近于点P 时的极限位置．由于割线PQ 的斜率为0)()(x x x f x f k --=，因此当0x x →时如果k 的极限存在，则极限=k 00)()(limx x x f x f x x --→ ………………..（1） 即为切线PT 的斜率．2、导数的定义 设函数)(x f y =在点0x 的某邻域内有定义，若极限)()(lim00x x x f x f x x --→ (2)存在，则称函数f 在点0x 处可导，并称该极限为函数f 在点0x 处的导数，记作)(0x f '． 令),()(,000x f x x f y x x x -∆+=∆∆+=则(2)式可改写为).()()(lim lim00000x f x x f x x f x y x x '=∆-∆+=∆∆→∆→∆=000)()(lim )(0x x x f x f x f x x --='→ (3)所以，导数是函数增量y ∆与自变量增量x ∆之比xy∆∆的极限．这个增量比称为函数关于自变量的平均变化率(又称差商)，而导数)(0x f '则为f 在0x 处关于x 的变化率． 若(2)(或(3))式极限不存在，则称f 在点0x 处不可导．3、倒数的几何意义：由导数的定义，)(x f k '=，所以曲线)(x f y =在点),(00y x 的切线方程是).)((000x x x f y y -'=-由解析几何知道，若切线斜率为k ，则法线斜率为.1k -从而过点P 的法线方程为).()(1000x x x f y y -'-=-二、常用的求导公式(1)(C )'=0, (2)n nx x n n ,)(1-='为正整数； (3);sin )(cos ,cos )(sin x x x x -='=' (4)(tan x )'=sec 2x , (cot x )'=-csc 2x , (5)),0,1,0(log 1)(log >≠>='x a a e x x a a 特别xx 1)(ln ='. (6)(a x )'=a x ln a ,特别的(e x )'=e x , (7) 211)(arcsin x x -='， 211)(a r c c o s x x --=' 211)(arctan x x +='， 211)cot arc (x x +-='.三、导数的运算法则1．、设u =u (x ), v =v (x )都可导, 则(1)(u ±v )'=u '±v ', (2)(C u )'=C u ',(3)(u v )'=u '⋅v +u ⋅v ', (4)2)(vv u v u vu '-'='. 2、复合函数的求导法则设y =f (x ), 而u =g (x )且f (u )及g (x )都可导, 则复合函数y =f [g (x )]的导数为：y '(x )=f '(u )⋅g '(x ).证明: 当u =g (x )在x 的某邻域内为常数时, y =f [ϕ(x )]也是常数, 此时导数为零, 结论自然成立. 当u =g (x )在x 的某邻域内不等于常数时, ∆u ≠0, 此时有xx g x x g x g x x g x g f x x g f x x g f x x g f x y ∆-∆+⋅-∆+-∆+=∆-∆+=∆∆)()()()()]([)]([)]([)]([ xx g x x g u u f u u f ∆-∆+⋅∆-∆+=)()()()(,xx g x x g u u f u u f x y dx dy x u x ∆-∆+⋅∆-∆+=∆∆=→∆→∆→∆)()(lim)()(lim lim 000= f '(u )⋅g '(x ). 简要证明:x u u y x y dx dy x x ∆∆⋅∆∆=∆∆=→∆→∆00lim lim )()(l i ml i m 00x g u f xu u y x u ''=∆∆⋅∆∆=→∆→∆.四、导数的应用 1． 函数的单调性⑴ 函数y ＝)(x f 在某个区间内可导，若)(x f '＞0，则)(x f 为 ；若)(x f '＜0，则)(x f 为 .反之，设函数y ＝)(x f 在某个区间内可导，如果)(x f 在该区间上单调递增（或递减），则在该区间内)(x f ' （或()f x ' ）恒成立。
导数的概念-课件-导数的概念
导数在现代数学中的地位和作用
基本概念
导数是现代数学的基本概念之一，是研究函数性质和解决实际问题的 重要工具。
数学分析
导数是数学分析的重要分支，是研究函数的可微性、可导性和连续性 的基础。
应用领域
导数的应用领域非常广泛，不仅限于数学和物理领域，还涉及到工程 学、经济学和计算机科学等多个领域。
数学建模
导数的应用发展
物理学
工程学
导数在物理学的各个分支中都有广泛的应 用，如力学、电磁学、热学等。
在机械工程、航空航天工程、土木工程等 领域，导数被用于优化设计、控制工程和 流体力学等方面。
经济学
计算机科学
导数在经济学中被用于研究经济系统的变 化率和最优决策问题。
在计算机图形学、数值分析和机器学习等 领域，导数被用于计算图像处理、数据拟 合和模型训练等方面。
高阶导数在研究函数的极值、拐 点、曲线的形状等方面有重要应 用。
微分学基本定理
微分学基本定理的内容
微分学基本定理是导数与微分之间的关系，即函数在某点的导数 等于该函数在该点的切线的斜率。
微分学基本定理的推导
通过极限的概念和性质，利用切线斜率的定义推导出微分学基本定 理。
微分学基本定理的应用
微分学基本定理是微分学的基础，在研究函数的增减性、极值、曲 线的形状等方面有重要应用。
复合函数求导法则
若$y = f(u)$和$u = g(x)$都可导， 则复合函数$y = f[g(x)]$的导数为 $(y)' = u' cdot (u)' = u' cdot v'$。
隐函数的导数
由显函数表示的隐函数求 导
若由显函数$F(x, y) = 0$表示的隐函数为$y = f(x)$，则通过求偏导数$frac{partial F}{partial x}$和$frac{partial F}{partial y}$ ，可以得到隐函数$y = f(x)$的导数。
高数课件-导数的概念
导数的四则运算规则
加法规则：导数相加等于导数之和
乘法规则：导数相乘等于导数之积
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减法规则：导数相减等于导数之差
除法规则：导数相除等于导数之商
复合函数的导数计算
复合函数的定 义：由两个或 多个函数组成
的函数
复合函数的导 数计算方法：
链式法则
链式法则：将 复合函数分解 为多个简单函 数，分别计算 导数，然后将
导数的性质定理
导数的定义：导数是函数在某一点的切线斜率 导数的性质：导数是连续的，可导函数在定义域内处处可导 导数的公式：导数的基本公式包括导数的四则运算、复合函数求导公式、隐函数求导公式等 导数的应用：导数在微积分、函数极限、函数极值、函数凹凸性等方面有广泛应用
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导数的定理与公式
导数的定义：导数是函数在某一点 的切线斜率
导数的基本定理
导数的公式：导数公式包括基本导 数公式、复合函数导数公式、隐函 数导数公式等
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导数的性质：导数是函数在某一点 的极限值
导数的应用：导数在微积分、函数 分析、=lim(h>0)(f(x+h)-f(x))/h
导数的推导公式
导数的定义：函数在某一点的导数是该函数在该
01
点附近曲线的切线斜率 导数的基本公式：f'(x)=lim(h->0) [f(x+h)-
02
f(x)]/h 导数的四则运算法则：f'(x)=f(x)+g'(x)，
03
f'(x)=f(x)-g'(x)，f'(x)=f(x)*g'(x)，f'(x)=f(x)/g'(x) 04 导数的复合函数公式：f'(g(x))=f'(g(x))*g'(x)
导数基本总结知识点
一、导数的定义1. 导数的概念导数是用来描述函数在某一点上的变化率的概念。
具体来说，对于函数f(x)，如果它在点x处的导数存在，那么导数f'(x)就表示了函数f在点x处的变化率。
导数的正负和大小可以描述函数在该点上的增减性和速率。
2. 导数的定义设函数f(x)在点x处有定义，则f(x)在点x处的导数定义如下：f'(x) = lim┬(Δx→0)(f(x+Δx) - f(x))/Δx其中，Δx表示自变量x的增量，f(x+Δx) - f(x)表示因变量f(x)的增量。
当Δx趋近于0时，导数f'(x)即为函数f在点x处的导数。
3. 导数的几何意义导数在几何上的意义可以通过函数图像的切线来理解。
对于函数f(x)在点x处的导数f'(x)，如果该导数存在，则函数图像在点(x, f(x))处有一个切线，且其斜率为f'(x)。
这意味着函数在该点上的瞬时变化率等于切线的斜率。
二、导数的基本性质1. 可加性设函数f(x)和g(x)分别在点x处可导，则它们的和函数(f+g)(x)在点x处也可导，并且有(f+g)'(x) = f'(x) + g'(x)。
2. 可乘性设函数f(x)和g(x)分别在点x处可导，则它们的乘积函数(f*g)(x)在点x处也可导，并且有(f*g)'(x) = f'(x)*g(x) + f(x)*g'(x)。
3. 复合函数的导数设函数f(x)在点x处可导，而函数g(x)在点f(x)处可导，则复合函数(g∘f)(x)在点x处可导，并且有(g∘f)'(x) = g'(f(x)) * f'(x)。
4. 求导法则常见的求导法则包括常函数的导数、幂函数的导数、指数函数的导数、对数函数的导数、三角函数的导数等。
求导法则可以帮助我们快速求解各种函数的导数。
1. 常数函数的导数对于常数函数f(x) = c，其导数f'(x) = 0。
(word完整版)导数的概念、导数公式与应用
导数的概念及运算知识点一：函数的平均变化率（1）概念:+△x)函数中,如果自变量在处有增量,那么函数值y也相应的有增量△y=f(x—f(x），其比值叫做函数从到+△x的平均变化率，即。
若，，则平均变化率可表示为,称为函数从到的平均变化率。
注意：①事物的变化率是相关的两个量的“增量的比值”。
如气球的平均膨胀率是半径的增量与体积增量的比值;②函数的平均变化率表现函数的变化趋势，当取值越小，越能准确体现函数的变化情况。
③是自变量在处的改变量，；而是函数值的改变量，可以是0。
函数的平均变化率是0，并不一定说明函数没有变化,应取更小考虑。
（2）平均变化率的几何意义函数的平均变化率的几何意义是表示连接函数图像上两点割线的斜率。
如图所示，函数的平均变化率的几何意义是:直线AB的斜率。
事实上，.作用:根据平均变化率的几何意义,可求解有关曲线割线的斜率。
知识点二：导数的概念： 1．导数的定义： 对函数,在点处给自变量x 以增量,函数y 相应有增量。
若极限存在，则此极限称为在点处的导数，记作或，此时也称在点处可导。
即:(或）注意: ①增量可以是正数，也可以是负数;②导数的本质就是函数的平均变化率在某点处的极限，即瞬时变化率。
2．导函数： 如果函数在开区间内的每点处都有导数，此时对于每一个，都对应着一个确定的导数，从而构成了一个新的函数, 称这个函数为函数在开区间内的导函数，简称导数.注意：函数的导数与在点处的导数不是同一概念,是常数,是函数在处的函数值，反映函数在附近的变化情况。
3．导数几何意义： （1)曲线的切线曲线上一点P(x 0，y 0)及其附近一点Q （x 0+△x ，y 0+△y),经过点P 、Q 作曲线的割线PQ ，其倾斜角为当点Q(x 0+△x,y 0+△y)沿曲线无限接近于点P(x 0,y 0），即△x →0时，割线PQ 的极限位置直线PT 叫做曲线在点P 处的切线。
若切线的倾斜角为，则当△x→0时，割线PQ斜率的极限，就是切线的斜率。
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二、考试要求⑴了解导数概念的某些实际背景（如瞬时速度、加速度、光滑曲线切线的斜率等），掌握函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义，理解导函数的概念。
⑵熟记基本导数公式（c,x m (m为有理数)，sin x, cos x, e x, a x,lnx,x的导数）。
掌握两个函数四则运算的求导法则和复合函数的求导法loga则，会求某些简单函数的导数。
⑶了解可导函数的单调性与其导数的关系，了解可导函数在某点取得极值的必要条件和充分条件（导数要极值点两侧异号），会求一些实际问题（一般指单峰函数）的最大值和最小值。
三、复习目标1．了解导数的概念，能利用导数定义求导数．掌握函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义，理解导函数的概念．了解曲线的切线的概念．在了解瞬时速度的基础上抽象出变化率的概念．2．熟记基本导数公式（c,x m (m为有理数)，sin x, cos x, e x, a x, x的导数）。
掌握两个函数四则运算的求导法则和复合函数的求lnx, loga导法则，会求某些简单函数的导数，利能够用导数求单调区间，求一个函数的最大(小)值的问题，掌握导数的基本应用．3．了解函数的和、差、积的求导法则的推导，掌握两个函数的商的求导法则。
能正确运用函数的和、差、积的求导法则及已有的导数公式求某些简单函数的导数。
4．了解复合函数的概念。
会将一个函数的复合过程进行分解或将几个函数进行复合。
掌握复合函数的求导法则，并会用法则解决一些简单问题。
四、双基透视导数是微积分的初步知识，是研究函数，解决实际问题的有力工具。
在高中阶段对于导数的学习，主要是以下几个方面:1．导数的常规问题：（1）刻画函数（比初等方法精确细微）；（2）同几何中切线联系（导数方法可用于研究平面曲线的切线）； （3）应用问题（初等方法往往技巧性要求较高，而导数方法显得简便）等关于n 次多项式的导数问题属于较难类型。
2．关于函数特征，最值问题较多，所以有必要专项讨论，导数法求最值要比初等方法快捷简便。
3．导数与解析几何或函数图象的混合问题是一种重要类型，也是高考中考察综合能力的一个方向，应引起注意。
5．瞬时速度在高一物理学习直线运动的速度时，涉及过瞬时速度的一些知识，物理教科书中首先指出：运动物体经过某一时刻(或某一位置)的速度叫做瞬时速度，然后从实际测量速度出发，结合汽车速度仪的使用，对瞬时速度作了说明．物理课上对瞬时速度只给出了直观的描述，有了极限工具后，本节教材中是用物体在一段时间运动的平均速度的极限来定义瞬时速度． 6．导数的定义 7．导数的几何意义函数y=f(x)在点0x 处的导数，就是曲线y=(x)在点))(,(00x f x P 处的切线的斜率．由此，可以利用导数求曲线的切线方程．具体求法分两步： (1)求出函数y=f(x)在点0x 处的导数，即曲线y=f(x)在点))(,(00x f x P处的切线的斜率；(2)在已知切点坐标和切线斜率的条件下，求得切线方程为 ))(('000x x x f y y -=-特别地，如果曲线y=f(x)在点))(,(00x f x P 处的切线平行于y 轴，这时导数不存，根据切线定义，可得切线方程为0x x = 8．和（或差）的导数9．积的导数10．商的导数11. 导数与函数的单调性的关系 范例分析例1．⎩⎨⎧>+≤==11)(2x bax x x x f y 在1=x 处可导，则=a =b 例2．已知f(x)在x=a 处可导，且f ′(a)=b ，求下列极限：（1）hh a f h a f h 2)()3(lim 0--+→∆； （2）h a f h a f h )()(lim 20-+→∆例3．观察1)(-='n n nx x ，x x cos )(sin ='，x x sin )(cos -='，是否可判断，可导的奇函数的导函数是偶函数，可导的偶函数的导函数是奇函数。
例4．（1）求曲线122+=x xy 在点（1，1）处的切线方程； （2）运动曲线方程为2221t tt S +-=，求t=3时的速度。
例5． 求下列函数单调区间 （1）5221)(23+--==x x x x f y（2）x x y 12-=（3）x xk y +=2)0(>k（4）αln 22-=x y 例6．求证下列不等式（1）)1(2)1ln(222x x x x x x +-<+<- ),0(∞+∈x （2）πxx 2sin >)2,0(π∈x（3）x x x x -<-tan sin )2,0(π∈x例7．利用导数求和：（1）； （2）。
例8．求满足条件的a（1）使ax x y +=sin 为R 上增函数 （2）使a ax x y ++=3为R 上…… （3）使5)(23-+-=x x ax x f 为R 上↑例9．（1）),0(∞+∈x 求证x x x x 11ln 11<+<+ （2）N n ∈ 2≥n 求证 11211ln 13121-+++<<+++n n n ΛΛ例10． 设0>a ，求函数),0()(ln()(+∞∈+-=x a x x x f 的单调区间.例11．已知抛物线42-=x y 与直线y=x+2相交于A 、B 两点，过A 、B 两点的切线分别为1l 和2l 。
（1）求A 、B 两点的坐标； （2）求直线1l 与2l 的夹角。
例12．（2001年天津卷）设0>a ，x x eaa e x f +=)(是R 上的偶函数。
（I ）求a 的值；（II ）证明)(x f 在),0(+∞上是增函数。
例13．（2000年全国、天津卷）设函数ax x x f -+=1)(2，其中0>a 。
（I ）解不等式1)(≤x f ；（II ）证明：当1≥a 时，函数)(x f 在区间),0[+∞上是单调函数。
例14． 已知0>a ，函数),,0(,1)(+∞∈-=x x ax x f 设ax 201<<，记曲线)(x f y =在点))(,(11x f x M 处的切线为l 。
（Ⅰ）求l 的方程；（Ⅱ）设l 与x 轴的交点为)0,(2x ，证明：①a x 102≤<②若ax 11<，则ax x 121<< 七、强化训练1．设函数f(x)在0x 处可导，则xx f x x f x ∆-∆-→∆)()(lim000等于 （ ）A ．)('0x fB ．)('0x f -C ．)('0x f --D ．)(0x f -- 2．若13)()2(lim000=∆-∆+→∆xx f x x f x ，则)('0x f 等于 （ ）A ．32B ．23C ．3D ．23．曲线x x y 33-=上切线平行于x 轴的点的坐标是 （ ） A ．（-1，2） B ．（1，-2） C ．（1，2） D ．（-1，2）或（1，-2）4．若函数f(x)的导数为f ′(x)=-sinx ，则函数图像在点（4，f （4））处的切线的倾斜角为（ ）A ．90°B ．0°C ．锐角D ．钝角5．函数5123223+--=x x x y 在[0，3]上的最大值、最小值分别是 （ ） A ．5，－15B ．5，－4C ．－4，－15D ．5，－166．一直线运动的物体，从时间t 到t+△t 时，物体的位移为△s ，那么tst ∆∆→∆0lim 为（ ）A ．从时间t 到t+△t 时，物体的平均速度B ．时间t 时该物体的瞬时速度C ．当时间为△t 时该物体的速度D ．从时间t 到t+△t 时位移的平均变化率7．关于函数762)(23+-=x x x f ，下列说法不正确的是（ ）A ．在区间（∞-，0）内，)(x f 为增函数B ．在区间（0，2）内，)(x f 为减函数C ．在区间（2，∞+）内，)(x f 为增函数D ．在区间（∞-，0）),2(+∞⋃内，)(x f 为增函数8．对任意x ，有34)('x x f =，f(1)=-1，则此函数为 （ ） A ．4)(x x f = B ．2)(4-=x x f C ．1)(4+=x x f D ．2)(4+=x x f9．函数y=2x 3-3x 2-12x+5在[0,3]上的最大值与最小值分别是 （ ）A.5 , -15B.5 , 4C.-4 , -15D.5 , -16 10．设f(x)在0x 处可导，下列式子中与)('0x f 相等的是 （ ） （1）x x x f x f x ∆∆--→∆2)2()(lim000； （2）x x x f x x f x ∆∆--∆+→∆)()(lim 000；（3）x x x f x x f x ∆∆+-∆+→∆)()2(lim000（4）x x x f x x f x ∆∆--∆+→∆)2()(lim 000。
A ．（1）（2）B ．（1）（3）C ．（2）（3）D ．（1）（2）（3）（4）11．（2003年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷理工农医类16））f (x )是定义在区间[－c,c]上的奇函数，其图象如图所示：令g （x ）=af （x ）+b ，则下列关于函数g （x ）的叙述正确的是（ ）A ．若a <0,则函数g （x ）的图象关于原点对称.B ．若a =－1，－2<b<0,则方程g （x ）=0有大于2的实根.C ．若a ≠0,b=2,则方程g （x ）=0有两个实根.D ．若a ≥1,b<2,则方程g （x ）=0有三个实根.12．若函数f(x)在点0x 处的导数存在，则它所对应的曲线在点))(,(00x f x 处的切线方程是13．设xx x f 1)(-=，则它与x 轴交点处的切线的方程为______________。
14．设3)('0-=x f ，则=---→hh x f h x f h )3()(lim000_____________。
15．垂直于直线2x-6y+1=0，且与曲线5323-+=x x y 相切的直线的方程是________． 16．已知曲线xx y 1+=，则==1|'x y _____________。
17．y=x 2e x 的单调递增区间是18．曲线3213+=x y 在点)4,1(3处的切线方程为____________。
19．P 是抛物线2x y =上的点，若过点P 的切线方程与直线121+-=x y 垂直，则过P 点处的切线方程是____________。
20．在抛物线2x y =上依次取两点，它们的横坐标分别为11=x ，32=x ，若抛物线上过点P 的切线与过这两点的割线平行，则P 点的坐标为_____________。