常微分方程87简单应用
常微分方程应用举例
常微分方程应用举例摘要根据几何学和其他学科的实际问题及相关知识建立微分方程。
讨论该方程的性质，并由所得解或解的性质反过来解释该实际过程，关键词：常微分方程，导数，解题，方法。
1，引言：微分方程是数学学科联系实际的主要桥梁之一，是数学专业的一门重要基础课，也是理，工科高等数学的重要组成部分。
在自然科学和技术科学的其他领域中，例如化学，生物，物理学，自动控制，电子技术等等，都提出了大量的微分方程问题。
同样在社会科学的一些领域里也存在着微分方程的问题，因此社会的生产实践是常微分方程理论的取之不尽的基本源泉。
此外，常微分方程与数学的其他分支的关系也是非常密切的，它们往往互相联系，互相促进。
例如几何学就是常微分方程理论的丰富的源泉之一和有力工具。
考虑到常微分方程是一门与实际联系比较密切的数学课程，我们自然应该注意它的实际背景与应用。
2：在其他学科应用的方面有些完全无关的，本质上不同的物理现象有时可以由同类型的微分方程来描述。
例如，反映物体冷却过程的方程。
dy=﹣k(u-ｕa)dx和反映R-L电路中电流变化规律的方程。
dI dt＋ＲI L =E L都可以写成dydt＋K ²y=B 这里K,B 是常数，而R-L-C 电路的方程22d I dt+R L dI dt +I LC =1()de t L dt和数学摆的强迫微小振动的方22d dtϕ+m μd dt ϕ+g l ϕ=1ml F(t)都具有同一形式：22d Idt +bdydt+cy=f(t) 这里b,c 是常数，又L-C 电路方程22d dtϕ+ILC =0和阻力系数u=0的数学摆的自由微小振动方程22d dtϕ+gl ϕ=0属于同样的数学模型22d ydt+2k y=0这里k 是常数。
不同的物理现象可以具有相同的数学模型这一事实，正是现代许多应用数学工作者和工程人员应用模拟方法解决物理或工程问题的理论根据。
应用常微分方程解决实际问题，一般有三个步骤： （1）建立微分方程。
常微分方程的解法及应用(常见解法及举实例)
常微分方程的解法及应用 （常见解法及举实例）
课 程 名 称： 高等数学（2） 专 业 班 级： 成 员 组 成：
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2012 05月25 年日
摘要
常微分方程是微积分学的重要组成部分，广泛用于具体问题的 研究中。求解常微分的问题，常常通过变量分离、两边积分， 如果是高阶的则通过适当的变量代换，达到降阶的目的来解决 问题。本文就是对不同类型的常微分方程的解法的系统总结： 先对常微分方程
解法：
若得其解为则 原方程通解为
2.4二阶线性微分方程解的结构
形如： 若时，（方程一）称为：二阶线性齐次微分方程。
若时，（方程二）称为：二阶非齐次微分方程
2.4.1 二阶线性齐次微分方程解的结构
定理1 :如果函数与是方程(5.2)的两个解, 则
也是（方程一)的解，其中是任意常数.
定理2 : 如果与是方程(5.2)的两个线性无关的特解，则
2.1.4 伯努利方程
形如：
当时， 一阶线性微分方程（公式法） 当时， 可分离变量微分方程 求通解过程： 作变量代换
（积分因子公式法）
2.2 一阶微分方程的应用举例
例1细菌的增长率与总数成正比。如果培养的细菌总数在24h内 由100增长为400、那么前12h后总数是多少? 分析：
例2。。某人的食量是2500 cal／天，其中1200 cal用于基本的 新陈代谢(即自动消耗)。在健身训练中，他所消耗的大约是16 cal/kg/天，乘以他的体重(kg)。假设以脂肪形式贮藏的热量 100%的有效，而1kg脂肪含热量10,000 cal。求出这人的体重是 怎样随时间变化的。 输入率=2500 cal／天
定义及一般解法做简单阐述，然后应用变量替换法解齐次性微 分方程，降阶法求高阶微分方程，讨论特殊的二阶微分方程， 并且用具体的实例分析常微分方程的应用。
常微分方程的求解及其应用
常微分方程的求解及其应用常微分方程是微积分中十分重要的一个分支。
通过解决微分方程，我们可以得到模型在不同情况下的变化，进而为实际问题的解决提供了关键性所在。
本文将介绍常微分方程的求解及其应用。
一、常微分方程的基础知识在介绍常微分方程的求解之前，我们先来了解一些常微分方程的基础知识。
常微分方程是指只有一个自变量的微分方程，即形如：$$\frac{dy}{dx}=f(x,y)$$其中y是自变量，x是因变量，f(x,y)是一个已知函数。
上述方程也可以写成以下形式：$$y'=f(x,y)$$其中y'表示y对x的导数。
二、常微分方程的求解方法1.可分离变量法可分离变量法是常微分方程最常用的求解方法。
该方法的主要思想是将变量y和x分离，即将f(x,y)拆分为g(x)h(y)，使得原方程可写成以下形式：$$\frac{dy}{dx}=g(x)h(y)$$然后将上式两边分别积分即可。
以求解一阶线性微分方程为例，其形式为：$$y'+p(x)y=q(x)$$首先，将右式中的q(x)移到左边，得到：$$y'+p(x)y-q(x)=0$$然后，应用一个分离变量法的思想，令p(x)=P'(x)，即可将该方程写成：$$\frac{dy}{dx}+P(x)y=Q(x)$$然后，我们使用降阶的方法将该一阶方程转换为首阶方程。
具体来说，将y分离出来，得到：$$\frac{dy}{dx}=-P(x)y+Q(x)$$我们令u(x)=e^{\int P(x)dx}，则上式可以写成：$$u(x)\frac{dy}{dx}-u(x)P(x)y=u(x)Q(x)$$将上式两边同时积分，得到：$$u(x)y=\int u(x)Q(x)dx+C$$其中C为常数，e^{\int P(x)dx}也可以写成常数K。
这样，我们就求解出了一阶线性微分方程。
2.参数化方法参数化方法是常微分方程的另一种常见求解方法。
该方法的核心是寻找一条曲线，使得函数y(x)可以表示为该曲线上某点的函数。
常微分方程及其应用全文
件y x x0
y0
的特解这样一个问题，称为一阶微
分方程的初值问题。
记为
F x, y, y 0
y x x0
y0
例1 验证函数 x C1 cos kt C2 sin kt
是微分方程
d2x dt 2
k2x
0(k
0)
的通解。
例2 求例1中 满足初始条件
x A ，dx t 0
0 的特解。
dt t 0
直到t=T 时， F T 。若0 开始时质点位于原点，且
初速度为0，求这质点的运动规律。
F(t)
F
F0
0
x
Tt
y f x, y
设
y
p
,则 y
dp dx
p
方程可化为 p f x, p
通解为 p x,C1
得到微分方程
dy dx
x, C1
分离变量或者直接积分得到通解
y x,C1 dx C2
判断下列方程是否为微分方程：
x2 xy y2 0 否
x y 0 是
3y c 是
二、微分方程的阶
微分方程中所出现的未知函数的最高阶导 数的阶数。
dy 2x
一阶
dx
x2 y xy 4 y 3x 三阶
y4 2 y 12 y 5y sin 2x 三阶
三、微分方程的一般形式
1、一阶微分方程
y f y, y 设 y p ，则
y dp dp dy p dp dx dy dx dy
原方程化为 又得微分方程 dy
dx
分离变量，得通解
y,C1
dy
y,C1
x
C2
例 求方程 y 3 y 满足 y x0 1 的特解。
常微分方程与其在实际中的应用
常微分方程与其在实际中的应用常微分方程是描述自然现象和物理现象最基本的数学工具之一。
对于任何数学专业的学生来说，只有精通常微分方程，才能够真正掌握数学的精华和应用。
尽管很多人会认为，微分方程只是一种抽象的数学概念，但实际上它在我们的日常生活中扮演了重要的角色。
本文将围绕着常微分方程，探讨它在实际中的应用。
一、常微分方程的基本概念常微分方程是研究函数的微分方程。
它包括两部分：一个是未知函数，另一个是关于该函数的导数。
通常，常微分方程包含一个独立变量和一个未知函数，其中这个未知函数是随着独立变量的改变而变化的。
在数学领域中，常微分方程可以用于求解需要改变的过程，并且它在各种物理学和其他科学领域的应用中也很重要。
二、常微分方程在经济中的应用在经济学领域中，常微分方程有广泛的应用。
例如，宏观经济学中的萨缪尔森模型就是一个关于经济增长的常微分方程模型。
此外，在经济学中另一个重要的应用是价格变化的方程。
价格经常依赖供求关系，而这种供求关系可以用常微分方程来描述。
我们可以通过模拟这种微分方程，来预测未来的价格趋势。
因此，常微分方程在经济学中被广泛应用。
三、常微分方程在物理学中的应用物理学是应用最广泛的领域之一，因此，常微分方程在物理学中的应用也是最广泛的之一。
物理学中有许多关于运动和力学运动的问题需要解决，这些问题都可以用常微分方程来描述。
例如，牛顿定律是经典物理学中最基本的定律之一，它可以用常微分方程的形式来表示。
此外，常微分方程还在许多其他领域中被广泛应用，如电学、光学、热学等。
四、常微分方程在生物学中的应用在生物学中，常微分方程也有广泛的应用。
生物学领域中的一些问题，例如种群增长和动态平衡，可以用常微分方程来描述。
此外，有些分子生物学问题也涉及到微分方程。
例如，细胞内生物化学反应非常复杂，它们可以用常微分方程来描述各种生物分子之间的相互作用。
五、总结因此，在各种学科领域中，包括经济学、物理学和生物学，常微分方程的应用都是不可忽视的。
常微分方程应用
常微分方程应用常微分方程是数学中的一个重要分支，它描述了物理、工程、经济等各个领域中的变化规律。
在实际应用中，常微分方程被广泛用于模拟和预测系统的行为，以及解决各种问题。
本文将介绍常微分方程在几个实际应用中的案例，并探讨其重要性和局限性。
一、人口增长模型人口增长是一个重要的社会经济问题，而常微分方程可以用来描述和预测人口变化的规律。
以Malthus模型为例，它假设人口增长的速度与当前人口数量成正比，即dP/dt = kP，其中P是人口数量，t是时间，k是增长率。
通过解这个方程，我们可以得到人口数量随时间的变化规律。
这种模型可以应用于城市规划、资源分配等问题中，帮助政府制定合理的政策。
二、物理系统建模常微分方程在物理学中有广泛的应用，可以用来描述各种运动和变化的规律。
以简谐振动为例，它可以由二阶常微分方程描述：d^2x/dt^2 + ω^2x = 0，其中x是物体的位移，t是时间，ω是角频率。
这个方程可以应用于机械振动、电路振荡等问题中，帮助我们理解和分析物理系统的行为。
三、化学反应动力学常微分方程在化学反应动力学中也有重要作用。
以一阶反应为例，它可以由一阶常微分方程描述：d[A]/dt = -k[A]，其中[A]是反应物的浓度，t是时间，k是反应速率常数。
通过解这个方程，我们可以得到反应物浓度随时间的变化规律。
这种模型可以应用于酶催化、药物代谢等领域，帮助我们理解和控制化学反应的过程。
尽管常微分方程在各个领域中都有广泛的应用，但它也存在一些局限性。
首先，常微分方程通常是基于一些简化假设得到的，这些假设可能无法完全满足实际情况。
其次，常微分方程的求解通常需要数值方法，这在某些情况下可能会带来精度和计算效率的问题。
此外，常微分方程模型的建立和参数的选择也需要一定的经验和专业知识。
总之，常微分方程作为一种数学工具，可以应用于各个领域中的问题求解和模拟预测。
通过合理选择模型和求解方法，我们可以更好地理解和控制自然和社会系统的行为。
解常微分方程的方法及应用
解常微分方程的方法及应用常微分方程是数学中的一个重要分支，它研究的是含有未知函数的导数的关系式。
在物理、化学、工程等领域中，常微分方程被广泛应用于建模和解决实际问题。
本文将介绍解常微分方程的几种常见方法，并探讨其在实际应用中的重要性。
一、分离变量法分离变量法是解常微分方程中最基本的方法之一。
对于形如dy/dx= f(x)g(y)的方程，我们可以将方程两边同时乘以dy和1/f(y)，然后两边同时积分，从而将原方程分离为两个变量的方程。
最后再对方程进行求解，得到的解即为原方程的解。
这种方法适用于许多一阶和高阶常微分方程的求解。
二、常系数齐次线性微分方程的求解常系数齐次线性微分方程是指形如dy/dx + ay = 0的方程，其中a为常数。
这类方程的解可以通过特征方程的求解得到。
我们可以首先假设解为y = e^(rx)，其中r为常数，代入方程中得到特征方程ar^2 + r = 0。
解特征方程后，可以得到两个不同的解r1和r2。
最后，将通解表示为y = C1e^(r1x) + C2e^(r2x)，其中C1和C2为任意常数，即为原方程的解。
三、变量可分离的高阶微分方程的解法对于一些高阶微分方程，可以通过变量代换和变量分离的方法将其转化为一系列一阶变量可分离的方程。
首先，通过变量代换将高阶方程转化为一阶方程组，然后再利用分离变量法逐个求解一阶方程。
最后，将解代入原方程组，得到原方程的通解。
这种方法可以简化高阶微分方程的求解过程。
四、常微分方程在物理和工程中的应用常微分方程在物理和工程学中有着广泛的应用。
举例来说，经典力学中的牛顿第二定律可以用微分方程来描述：F = ma，其中F是物体所受的外力，m是物体的质量，a是物体的加速度。
这个方程可以通过求解微分方程来得到物体的位移函数。
另外，电路中的RC和RLC电路也可以通过微分方程来描述响应和稳定性。
此外，生物学中也常常使用微分方程模型来描述生物体的生长和变化过程。
常微分方程在不同领域的应用
常微分方程在不同领域的应用
1 常微分方程的概念
常微分方程（也被称为偏微分方程）是一类针对二阶以上的连续
微分方程的通用定义。
它是有关某个函数的变化，以及它的某几个极
限当其极限趋近某个数值时的表达式。
常微分方程在描述物理现象时
很有效，它是解决许多科学技术问题的基础。
2 常微分方程在不同领域的应用
常微分方程应用广泛，主要用于物理、力学、航空、气象、医学
等领域。
（1）物理领域：常微分方程在物理领域被广泛应用。
例如，太
阳系的运动解释，描述电荷在电场中的运动等。
（2）力学领域：常微分方程也在力学领域中得到了广泛的应用。
比如，它可以用来描述运动物体的位移、速度、加速度和力在时间上
的变化，以及物体受到外力时，其俯仰和滚动运动过程中物体姿态变
化的问题。
（3）航空领域：常微分方程在航空领域也有广泛的应用。
航空
工程与导航密切相关，常微分方程可以用来描述飞机姿态变化、轨迹
规划等问题。
（4）气象领域：常微分方程在气象领域的应用较为广泛，比如，可用于描述空气的流动特性，以及大气中水汽内液、外液的运动。
（5）医学领域：常微分方程在医学领域也有实践应用，用于分析和研究脑的动态行为，以及人体在受到外界条件变化时的反应。
3 结论
由此可见，常微分方程在不同的科技领域中都有广泛的应用，充分发挥着指导和推动实际发展的重要作用。
它不仅解释了许多自然现象，而且为改善社会和人类实践活动中复杂问题的解决提供了有力的武器。
常微分方程的求解和应用
第12章常微分方程的求解和应用1 学习指导1.基本要求⑴了解常微分方程的基本概念，包括微分方程的解、通解、阶、初始条件和特解的定义。
⑵熟练掌握一阶线性方程的解法，掌握分离变量法及齐次方程、伯努利方程、全微分方程的解法，会用简单的变量代换求解方程。
⑶了解线性方程解的结构，熟练掌握高阶（特别是二阶）常系数线性齐次微分方程的特征根求解法及自由项为特殊类型的函数（如多项式、指数函数、正弦函数与余弦函数及乘积与和等形式）的二阶常系数线性非齐次微分方程特解的待定系数法。
⑷掌握可降阶的高阶方程的解法，会解欧拉（Euler)方程。
⑸会用微分方程求解简单的几何与物理应用问题。
2.重点与难点重点微分方程的基本概念，线性方程解的结构，求解一阶和可降阶高阶方程的初等积分法，求解二阶常系数线性方程的特征根法和待定函数法，用微分方程求解实际问题。
难点方程类型的判别，选择恰当的变量代换，可降阶方程()y y f='',的求解，求二阶常系数线性非齐次方程特解的待y'定函数法，列微分方程解实际问题。
3.学习方法⑴常微分方程是一个重要的数学分支，它与微积分同时产生与发展是解决实际问题的一个重要数学工具。
学习这一章，应掌握微分方程的一些基本概念，熟悉各种类型的方程与求解方法，会准确迅速地判断方程类型并正确选用相应方法求解。
但应知道，能够通过积分方法或代数方法求解的微分方程是很少的，还有解决问题的其他方法，如幂级数方法、数值方法等，在此我们不作讨论。
⑵一阶微分方程是本章的基础内容，它可归结为()y x f='y,的形式，本章讨论了一阶方程的主要类型与求解方法，它们是：①可分离变量型方程和分离变量法。
②一阶线性方程和常数变易法。
③全微分方程和曲线积分法。
④齐次型方程、伯努利型方程和变量代换法。
上述求解一阶微分方程的方法统称为初等积分法，其特点是用积分方法解微分方程并把微分方程的解用初等函数、隐函数或不定积分表示出来。
大学数学常微分方程的解法与应用
大学数学常微分方程的解法与应用数学在科学研究和工程应用中起着重要的作用，而微分方程则是数学中的一大分支。
大学数学常微分方程是数学专业必修课程之一，它研究的是未知函数的导数与自变量之间的关系。
本文将介绍常微分方程的解法及其在实际问题中的应用。
一、常微分方程的解法1. 分离变量法分离变量法是常微分方程求解中最常用的方法之一。
它适用于形如dy/dx = f(x)g(y)的一阶常微分方程。
具体步骤如下：（1）将方程中的含有y和x的项分别放在一边，得到dy/g(y) =f(x)dx。
（2）对方程两边同时积分，得到∫dy/g(y) = ∫f(x)dx。
（3）对积分后的表达式进行求解，得到y的解析表达式。
以一个简单的例子来说明分离变量法的应用。
考虑方程dy/dx = x/y，我们可以将方程改写为ydy = xdx，然后对方程两边同时积分，得到∫ydy = ∫xdx，最后求解得到y^2 = x^2 + C。
2. 常系数齐次线性微分方程的解法常系数齐次线性微分方程指的是形如dy/dx + ay = 0的一阶微分方程，其中a为常数。
对于这类微分方程，我们可以使用特征方程法来求解。
具体步骤如下：（1）将方程改写为dy/y = -adx。
（2）对方程两边同时积分，得到∫dy/y = ∫-adx。
（3）求解积分后的表达式，得到y的解析表达式。
例如，考虑方程dy/dx + 2y = 0，我们可以将方程改写为dy/y = -2dx，然后对方程两边同时积分，得到∫dy/y = -2∫dx，最后求解得到y = Ce^(-2x)，其中C为常数。
二、常微分方程的应用1. 物理学中的应用常微分方程在物理学中有着广泛的应用。
例如，牛顿第二定律F=ma可以通过微分方程来描述。
考虑一个质点在平面上运动，其速度为v(t)，则根据牛顿第二定律，我们可以得到质点的运动方程mdv/dt = F，其中m为质量，F为合力。
这个方程可以化简为一阶微分方程，进而求解得到速度随时间的变化规律。
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二、利用微分方程求解函数习例
例 1 设可微函数 y f ( x)满足方程
x 1)tf ( t )dt,
0 x
x
求函数y f ( x )。
例2 设f ( x) x sin x ( x t ) f (t )dt,
0
其中f ( x)连续，求f ( x).
例3 设 ( x ) e x ( x u )d u, (0) 0, 0
x x
这里的“函数方程”包括变上限积分、重积分、线面 积分的方程以及偏微分方程等。
例4 设 F ( x ) f ( x ) g( x ), 其中函数 f ( x ), g( x ) 在(－∞,+∞) 内满足以下条件: f ( x) g ( x), g ( x) f ( x), 且 f (0) 0,
f ( x) g ( x) 2 e x .
(1) 求 F ( x )所满足的一阶微分方程 ;
(2) 求出 F ( x )的表达式 . (2003考研)
例5 已知 ( ) 1, 试确定 ( x)使曲线积分
y L [sin x ( x )] x dx ( x )dy与路径无关。
8.4 微分方程的简单应用
微 分 方 程 的 简 单 应 用
应用微分方程解决实际问题的一般步骤 利用微分方程求函数习例1-7 微分方程在几何上的应用习例8-11 微分方程在物理和力学上的应用习例12-13
一、应用微分方程解决实际问题的一般步骤
1、根据问题的实际背景，利用数学和有关学科知识，建 立微分方程，确定定解条件；
求f ( x )。
例 1 设可微函数 y f ( x)满足方程
解
x
0
xf ( t )dt ( x 1)tf ( t )dt,
0
x
求函数y f ( x )。
原方程是一个带有变上限积分的方程，在其两端分别 对x求导，得
x
0
f (t )dt x f ( x ) tf (t )dt,
x
x
提示: 对积分换元 , 令 t x u , 则有
解初值问题:
2 0
x
上式两端再对x求导，得
x f ( x ) (1 3 x ) f ( x ).
2
x 2 f ( x ) (1 3 x ) f ( x ).
这是变量可分离方程，分离变量并积分得
f ( x ) 1 3x f ( x ) dx x 2 dx, 1 3 l n f ( x ) ( 2 )dx, x x 1 l n f ( x ) 3 l n x c1 x
f ( x ) x sinx x f (t )dt tf (t )dt,
0 0 x x
左端的函数f ( x)也可导。先将方程变形 为
两端对x求导，得 x f ( x ) x cos x sinx xf ( x ) f (t )dt xf ( x ),
0
即
f ( x ) x cos x sinx f ( t )dt.
2、根据方程的类型，用适当的方法求出方程的通解；
3、对所得结果进行具体分析，解释其实际意义。如果 它与实际相差太远，则就应该修改模型，重新求解。
1 . 建立数学模型 — 列微分方程问题 利用物理规律 建立微分方程 ( 共性 ) 利用几何关系 初始条件 确定定解条件 ( 个性 ) 边界条件 可能还有衔接条件 2 . 解微分方程问题 3 . 分析解所包含的实际意义
例6 已知f (t )在[0， ）上连续 , 且满足方程
f (t ) e
4t 2
2
x y 2 4t 2
1 f( 2
x 2 y 2 )dxdy,
求f (t )。
例7 已知f (u)具有二阶连续偏导数 , 且z f (e x sin y)满足方程
2z 2z 2x e z, 2 2 x y
1 3 A , B 0, C 0, D . 4 4
故其特解为
1 2 3 y x cos x x si n x . 4 4
从而方程的通解为
1 2 3 y c1 cos x c2 si n x x cos x x si n x . 4 4
注意到，由
f ( x ) x sin x ( x t ) f ( t )dt,
f ( x) e
1 3 ln x c1 x
1 x
c f ( x) 3 e x
, (c e c1 )
例2 设f ( x) x sin x ( x t ) f (t )dt,
0
x
其中f ( x)连续，求f ( x).
解
因为f ( x)连续，所以方程的右端 是可导的，因而
Qn ( x ) sin x ]型（ 0, 1, Pl ( x ) 2, Qn ( x ) x）
由于 i 0 i是特征根，所以设其特 解形式
y x( Ax B) cos x x(Cx D) sinx.
代入微分方程得
2 此方程的特征方程为 r 1 0,
0
x
f ( x ) x cos x sinx f ( t )dt.
0
x
可得f (0) f (0) 0,
由此确定通解中的任意常数
c1 c2 0,
1 2 3 因此，f ( x ) x cos x x si n x . 4 4
例3 设 ( x) e x 0 ( x u ) du, (0) 0,
0
x
左端的函数f ( x)仍然可导，再对 x求导得
f ( x ) x（ sinx ) cos x cos x f ( x ),
即f ( x )满足微分方程 y y 2 cos x x sinx.
特征根为r1, 2 i , 方程的自由项为f ( x ) cos 2 x , 属于ex [ Pl ( x ) cos x