椭圆型方程的有限元法
有限差分法、有限单元和有限体积法简介
有限差分法、有限单元法和有限体积法的简介1.有限差分方法有限差分方法(Finite Difference Method，FDM)是计算机数值模拟最早采用的方法，至今仍被广泛运用。
该方法将求解域划分为差分网格，用有限个网格节点代替连续的求解域。
有限差分法以Taylor级数展开等方法，把控制方程中的导数用网格节点上的函数值的差商代替进行离散，从而建立以网格节点上的值为未知数的代数方程组。
该方法是一种直接将微分问题变为代数问题的近似数值解法，数学概念直观，表达简单，是发展较早且比较成熟的数值方法。
对于有限差分格式，从格式的精度来划分，有一阶格式、二阶格式和高阶格式。
从差分的空间形式来考虑，可分为中心格式和逆风格式。
考虑时间因子的影响，差分格式还可以分为显格式、隐格式、显隐交替格式等。
目前常见的差分格式，主要是上述几种形式的组合，不同的组合构成不同的差分格式。
差分方法主要适用于有结构网格，网格的步长一般根据实际地形的情况和柯朗稳定条件来决定。
构造差分的方法有多种形式，目前主要采用的是泰勒级数展开方法。
其基本的差分表达式主要有三种形式：一阶向前差分、一阶向后差分、一阶中心差分和二阶中心差分等，其中前两种格式为一阶计算精度，后两种格式为二阶计算精度。
通过对时间和空间这几种不同差分格式的组合，可以组合成不同的差分计算格式。
2.有限元方法有限元方法(Finite Element Method，FEM)的基础是变分原理和加权余量法，其基本求解思想是把计算域划分为有限个互不重叠的单元，在每个单元内，选择一些合适的节点作为求解函数的插值点，将微分方程中的变量改写成由各变量或其导数的节点值与所选用的插值函数组成的线性表达式，借助于变分原理或加权余量法，将微分方程离散求解。
采用不同的权函数和插值函数形式，便构成不同的有限元方法。
有限元方法最早应用于结构力学，后来随着计算机的发展慢慢用于流体力学的数值模拟。
在有限元方法中，把计算域离散剖分为有限个互不重叠且相互连接的单元，在每个单元内选择基函数，用单元基函数的线形组合来逼近单元中的真解，整个计算域上总体的基函数可以看为由每个单元基函数组成的，则整个计算域内的解可以看作是由所有单元上的近似解构成。
多尺度有限元方法解椭圆方程
多尺度有限元方法解椭圆方程1.研究背景众所周知，现代科学、技术、工程中的大量数学模型都可以用微分方程来描述.但绝大部分微分方程(特别是偏微分方程)定解问题的解不能以适用的解析形式来表示，这就产生了理论与实际的矛盾．为了解决上述矛盾，许多研究人员进行了数值解研究，这就促使微分方程的数值方法成为一门学科，它不仅是数学学科，而且是很多其他学科领域的一种重要研究手段和方法．微分方程数值方法主要有有限差分法和有限元方法，另外还出现了边界元、混合有限元、谱方法、有限体积法等．有限元方法是求解各种微分方程的一种重要的数值方法，它本身有着有限差分法无法比拟的优越性．最早用有限元方法处理偏微分方程近似解的是40年代Courant等人，国内最早研究有限元方法的是冯康先生，他的成果当时处于世界先进行列．NT 60年代，有限元方法开始广泛应用于船舶，一般机械，巨型建筑和水利设施(如大坝和桥梁)的设计以及用于解决流体力学，电磁场等非应力问题，并取得了良好的成果，但该方法仅能得到未知函数的近似解．70年代初，Babuska和Brezzi创立了混合有限元方法的一般理论，其主要的结果是B—B稳定条件。
为了使混合有限元方法能解决更多、更广泛的问题，得到更高的计算精度，80年代初，ralk和Osborn提出了一种改进的方法，扩大了混合有限元方法的适用范围，使混合有限元方法得到了进一步的发展．较标准有限元方法，该方法可以同时高精度逼近未知函数及其伴随向量函数，对处理高阶方程和含有两个或两个以上未知函数的方程更为便利，且易于数值处理．但另一方面，混合有限元方法要求所构造的}昆合元空间满足LBB相容条件，因而在一定程度上限制了有限元空间的选取．有限差分法也是求解偏微分方程数值解的一个重要方法．其历史可追溯到欧拉，它以差商代微商，将微分方程化为差分方程．1928年。
库朗、弗瑞德里克斯及卢伊证明三大典型方程的典型差分格式的收敛性定理，为该方法的应用打下基础．第二次世界大战之后，由于计算机的运用，差分方法做为有效的数值方法得到有效的发展，1948年冯·诺伊曼对于无粘性流体的非线性双曲型方程，为避开激波引出的间断性，引进人工粘性项，为此设计的差分方法是现代流体力学数值计算主要方法．1956年拉克斯(P．D．Lax，1926．)及里希特迈尔(R．D．Richtmyer，1910一)建立了一般差分格式的收敛性及稳定性等价的定理，它对实际计算中误差积累问题有着重要意义．有限元离散化的思想早在20世纪40年代初就已经被提出(R．Courant，1943)，并于50年代被西方的工程师采用，用于求解简单的结构问题．它作为一种系统的数值方法，则是在60年代中期，以冯康先生为代表的中国学者与西方学者独立并行完成的．有限元方法是用简单方法解决复杂问题的范例，主要有以下三大特点：(i)从数学物理的变分问题出发，而不是从微分方程出发，因此是从问题的整体描述而不是从问题的局部描述出发；(ii)对所考虑问题的区域(以二维情形为例)作三角形(或其他简单多边形)剖分，而不是仅仅作矩形剖分；(iii)用剖分区域上的简单函数(例如分片多项式)去逼近原问题的解，而不是只在剖分节点上的数值逼近．有限元方法的基本过程可以归纳为：(1)把问题转化为变分形式，(2)选定单元的形状，对求解区域进行剖分，一维情形下的单元是小区间，二维情形下的重要单元有两种：四边形(矩形、任意凸四边形)和三角形，(3)构造基函数和单元形状函数，(4)形成有限元方程，(5)提供有限元方程的有效解法，(6)对近似解进行误差分析．2.多尺度有限元法基本原理。
椭圆微分方程及其求解方法
椭圆微分方程及其求解方法椭圆微分方程是常见的一类偏微分方程，它在自然科学、工程技术、金融数学等诸多领域中都有着广泛的应用。
本文将介绍椭圆微分方程的基础概念、分类、本征值问题及求解方法等内容。
一、椭圆微分方程的基本概念椭圆微分方程通常具有形如$$\begin{cases}Lu(x)=f(x), & x\in \Omega, \\u(x)=g(x), & x\in \partial\Omega, \\\end{cases}$$其中，$Lu(x)$是一线性偏微分算子，$\Omega$为区域（一般指开集上的连通子集），$\partial\Omega$为$\Omega$的边界，$f(x)$和$g(x)$为已知函数，求解$u(x)$满足上述条件。
椭圆微分方程中的偏微分算子$Lu(x)$通常具有形如$$Lu(x)=\sum_{i,j=1}^na_{i,j}(x)\frac{\partial^2}{\partial x_i\partial x_j}u(x)+\sum_{k=1}^nb_k(x)\frac{\partial}{\partialx_k}u(x)+c(x)u(x),$$其中，$n$为空间维数，$a_{i,j}(x)$、$b_k(x)$和$c(x)$都是已知函数。
二、椭圆微分方程的分类根据椭圆微分方程中的偏微分算子$Lu(x)$的性质，椭圆微分方程可分为一般椭圆型、二阶椭圆型和高阶椭圆型三类。
其中，一般椭圆型指的是$Lu(x)$的主部分系数矩阵在$\overline{\Omega}$上正定（即对于任意$x\in\overline{\Omega}$和非零$u\in\mathbb{R}^n$，均满足$u^T A(x)u>0$），二阶椭圆型指的是$Lu(x)$仅包含二次微分项，而高阶椭圆型则指的是$Lu(x)$中至少包含有三次或以上的微分项。
三、椭圆微分方程的本征值问题对于某些特殊的椭圆微分方程，我们可以考虑它们的本征值问题。
椭圆型方程新解法
4.特殊函数方法：对于二维泊松方程，我们可以采用复变函数的方法，引入调和函数和调和多项式，使用适当的变换和积分来得到精确解。这种方法的优点在于它可以提供一些有用的分析工具和结论，但是它不适用于大部分非线性问题。
以上这些方法都是对椭圆型方程进行求解的常见方法，对于不同的问题，可以根据具体情况选择合适的方法来求解。
我们可以以二维泊松方程为例，介绍如何使用这些方法来解决椭圆型方程的求解问题：
1.有限元方法：对于二维泊松方程，我们可以采用网格划分的方法将求解域离散化，然后构建稀疏矩阵来解决线性系统。这种方法的优点在于它适用于各种形状的求解域，并且对于非线性方程也能有效求解。但是，计算时间和内存消耗可能会比较大。
2.障碍泛函方法：对于二维泊松方程，我们可以构建一个能量泛函，并通过变分方法求解其最小值。该方法在求解高维些理论保证。但是，它需要一定的数学理论和分析基础。
椭圆型方程
(1.5)
注 此方程组尽管是高阶方程组，但每个方程未知数
最多有3个易于求解.
④ 对方程组 (1.4)～(1.5) 的解分析需要考虑以下几个问题：
(a) 解是否惟一？ (b) 当网格无限加密时，即 h 0 时，差分解 ui
是否收敛到真解 u (xi ) ? (c) 在何种度量下收敛？ (d) 收敛速度如何？ 为了解决如上问题，需要给出如下说明：
于是在 xi 将方程 (1.1) 写成
u (xi1) 2u (xi ) u (xi1) h2
q(xi )
u (xi )
f
(xi )
R
i(u),
(1.3)
其中
R
i(u)
h2 12
d
4u(x) dx4
i
O(h3 ).
舍去 R i(u) 得逼近方程 (1.1) 的差分方程为：
du dx
i
hi1 2
hi
d 2u dx2
i
O(h2
)
(2.3)
p(
x i
1
)
2
u(xi ) u(xi1) hi
p
du dx i1
2
hi2 24
p
d 3u
dx3
i1
2
O(h3)
p
du dx
取 x(1) x0 a, x(2) x1 , 得
2
(2.7) (2.8)
(2.9) (2.10)
W (a) W (x1 ) 2
x1
二阶椭圆方程自适应最小二乘混合有限元法
研究 发展起来 的 ， 最小 二 乘 有 限元 法 的一 个重 要 优点就是 可以通过 最小二乘 数将 一个 非 自共 轭
的问题转化成 一 个对 称 正定 问题 ， 而且 该 方法 不 需要 有 限元空 间满足 Ｌ Ｂ条 件 ， 以近 年来 最小 Ｂ 所
二乘 法被 广泛 的应用到 求解 多个方 程 （ ： ｔｋ ｓ 如 Ｓ ｏ ｅ
ＧＵ ａ— ｉ ｇ， ＬＩ Ｈｏ ｇ ｗｅ Ｈ ｉｍ ｎ ｎ — ｉ
（ ｌｅ ｅｏ ａｈ ｍａｉｓａ ｄＰｈ ｓｃ ，Ｑｉｇ ａ Ｃｏｌｇ ｆＭ ｔｅ ｔｃ ｎ ｙ ｉｓ ｎ ｄ ｏＵｎｉｅ ｓｔ ｆＳｃｅ ｃ ｎ ｃ ｎ ｌｇ ｖ ｒｉｙｏ ｉｎ ｅａ ｄ Ｔｅ ｈ ｏｏ ｙ，Ｑｉｇ ａ ６ ０ １ Ｃｈｉ ） ｎ ｄ ｏ２ ６ ６ 。 ｎａ
二
阶椭 圆方程 自适 应 最小 二乘 混合 有 限元 法
顾 海 明 ， 宏 伟 李
（ 岛科 技 大 学 数 理 学 院 ， 青 山东 青 岛 ２ ６６ ） ６０ １
摘 要 ： 究 了二 阶椭 圆方程 的 自适应 最 小二 乘混合 有 限元 法 ， 用二 次非协 调 有限 元 研 利
空间和 Ｒａ ｉ ｒ ｏ ｓ ｖａ — ｍａ 有限元 空 间进行 逼近 ， 用最小二乘 函数 构造 了进行 自适 应计 算 ｔ Ｔｈ 利
ｅ ｅ ｅ ｅ ｈｏ ｌｍ ｎｔｍ ｔ ｄ；ｐ ｔ ｒｏ ｉｅ ｒ ｓ ｉ ａ ｉ ｎ ｏｓ ｅ ｉ ｒ ｒ ｏｒｅ ｔｍ ｔｏ
解椭 圆型方程 的最小 二乘方 法的一 般理论 最
早 是 由 Ａｚ Ｋｅｌｇ 和 Ｓ ｅ ｈ ｎ ｊ Ａ Ｋ， ｌ ｇＲ Ｂ ｚ ｏ ｔｐ ｅ ｓＡ Ｂ
方程 ， 圆方 程 ， 体 力 学 】传 输 问 题 椭 流 ， 等） 。本研究 主要 目的是 研究 椭 圆 方程 的 自适 应 最小 二乘｝ 合 有 限法 ， 研究 的最 小二 乘 形式 类 昆 本
galerkin有限元法
galerkin有限元法
galerkin有限元法
Galerkin有限元法，也称为Galerkin有限体积法(FV)，是一种数值解决偏微分方程的有限元方法，用于快速求解各种椭圆型方程的数值求解。
它把椭圆型方程分解成多个有限元，然后对每个有限元计算其权重，将所有有限元的权重加起来就是椭圆型方程的数值解。
在使用Galerkin有限元法来解决椭圆型方程时，首先要确定有限元的形状与大小，这将影响有限元法求解时的准确程度。
一般来说，有限元的形状可以是矩形、三角形或其他任意多边形，但大小是由实际情况决定的，需要根据椭圆型方程质量结构以及实际求解精度来确定。
确定有限元的形状与大小之后，就可以为每个有限元应用Galerkin有限元法，主要步骤如下：
1. 对每个有限元确定一个适当的坐标系，以便计算其权重；
2. 将系数函数投影到有限元上，并且确定每个有限元的质点分布情况；
3. 确定每个有限元的权重，并将所有有限元的权重加起来就是椭圆型方程的数值解。
Galerkin有限元法的优点是可以快速求解出准确的解，而且可以灵活应用于解决多种椭圆型方程。
但是它也有一定的缺点，比如假设有限元的形状和大小得不到充分考虑，那么计算精度可能会降低；另外，在计算权重时，需要考虑每个有限元上的局部梯度，如果选取
的有限元尺度过小，必须计算大量的梯度，从而增加计算难度。
各类椭圆型微分方程的解法
各类椭圆型微分方程的解法
椭圆型微分方程是数学中重要的一类方程，解决这类方程的方法可以根据具体方程的形式和性质进行选择。
以下是一些常见的解法：
分离变量法
对于具有分离变量形式的椭圆型微分方程，可以将方程中的变量分开并独立求解。
这种方法常用于一维问题，例如求解泊松方程和拉普拉斯方程等。
特征值方法
当椭圆型微分方程的系数具有特殊的形式或性质时，可以采用特征值方法来求解。
这种方法利用特征值和特征函数的性质，将椭圆型方程转化为常微分方程或代数方程进行求解。
特征值方法常用于求解二维泊松方程、二维拉普拉斯方程等问题。
能量方法
能量方法是求解椭圆型微分方程的重要方法之一。
该方法基于
能量守恒原理，通过最小化能量泛函求得方程的解。
能量方法在求
解各种带边界条件的椭圆型微分方程问题中得到广泛应用。
变分法
变分法是一种广泛应用于微分方程求解的方法，包括椭圆型微
分方程。
利用变分法，将原始方程转化为变分问题，并通过求解变
分问题来找到方程的解。
数值解法
对于复杂的椭圆型微分方程，常常无法得到解析解，此时可以
采用数值解法进行求解。
常用的数值方法包括有限元法、有限差分
法和谱方法等，这些方法利用数值计算的手段来逼近方程的解。
以上是一些常见的椭圆型微分方程解法。
根据具体的方程形式
和性质，选择适合的解法可以更高效地求解椭圆型微分方程的问题。
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两点边值问题有限元法（必做）
从Galerkin 原理出发用线性元解两点边值问题：
"2,01(0)(1)0
u u x x u u ⎧-+=<<⎨==⎩ 精确解：12
2
1()[(23)(23)]21
x x u x e e e e x e -=
---++-。
1.1变分形式
从Galerkin 原理出发推导出两点边值问题的变分形式，将积分区间等分为N 份，则步长1
,1,2,i h i n N
=
=，记为h 。
写出有限元方程及系数矩阵元素。
基于虚功原理，求变分形式),(),(v f v u a h =。
对于h v v ∈∀，取h h u x u ∈)(在n 个剖分结点，1,,,010==n x x x 。
取值为
0)1(,,,0)0(10====u u u u u n 。
其中ih x x i +=0，N i 1≤≤，N
h 1
=。
取v u =，udx x udx u u ⎰
⎰=+-1
10
2)''(，推得dx ux dx u u ⎰⎰=+1
210
22])'[(。
相应的双线性变分形式
dx a j i j i j i ⎰+=1
]'[),(ϕϕϕϕϕϕ，则有限元方程∑==n
i j i j i x x f u x x a 1
))(),(())(),((ϕϕϕ，
n j ,,1 =。
εεεϕϕd q h p h a j j j j ⎰-+-=--1
1
1])1([),(；
εεεεϕϕd q h d q h p h a j j j j j ])1([][),(21
1
1121-++=⎰⎰-+-；
εεεϕϕd q h p h a j j
x x j j j ⎰
+-+-=++++1
)]
1([)(11
-1j 1； 这里1,,2-=n j 。
第一行只有两个非零元素：),(11ϕϕa ，),(21ϕϕa 。
第n 行
也只有两个非零元素：),(1-n n a ϕϕ和εεϕϕd q h p h a n n
n n ⎰+=-1
021
][),(，方程的右端εεεεεϕd h x f h d h x f h dx f j j j j j j j )1()()(1
1110
11
-+++=⎰⎰⎰
++-；
方程的系数矩阵为：⎥
⎥
⎥⎥⎦
⎤⎢
⎢⎢⎢⎣⎡-),(00
),(0)
,(),(0
),(),(12
21
22111n n n n a a a a a a ϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕ
1.2利用MATLAB 求解问题的过程
依次取2,2,3,4,5,6,7,8.n N n ==用MATLAB 求解并图形比较数值解与精确解，用表格列出不同剖分时的2L 误差。
4N =:
8 N: = N:
16 =
32 N=: N=:
64
128 N=: N=:
256
1.3 方法总结及分析
在利用Galerkin原理出发用线性元解两点边值问题，利用MATLAB作图可以发现解析解与精确解非常逼近，但从误差上可以看出，剖分结点越多，误差越小，逼近程度越好。
附件程序
function [U,precise_value,err]= G(N)
h=1/N;
p=1;
q=1;
X=0:h:1;
A=zeros(N-1);
for i=2:N-1
f3=@(ks)-p./h+h.*q.*ks.*(1-ks);
f2=@(ks)p./h+h.*q.*(ks.^2)+p./h+h.*q.*((1-ks).^2);
f1=@(ks)-p./h+h.*q.*ks.*(1-ks);
A(i-1,i)=quadl(f1,0,1);
A(i,i)=quadl(f2,0,1);
A(i,i-1)=quadl(f3,0,1);
end
A(1,1)=quadl(f2,0,1);
f=zeros(N-1,1);
for i=2:N
f11=@(ks)(X(i-1)+h.*ks).^2.*ks+(X(i)+h.*ks).^2.*(1-ks);
f(i-1)=h.*quadl(f11,0,1);
end
U=A\f;
dx=X;
precise_value=((exp(2)-1)^(-1)).*((2-3*exp(1))*exp(dx)-(2*exp(1)-3)*exp(1-dx))+dx.^2+2
plot(X,[0;U;0],'b--',X,precise_value,'r:+');
legend('数值解','精确解');
err=norm([0;U;0]-precise_value');
format long
sprintf('Galerkin有限元法最大误差%f\n',err)
end
小组成员：宋珂、张云雷、黄镭、耿盼丽。