二次函数的图像及画法
二次函数图像性质
探索二次函数的图象与性质知识点一、二次函数2x y =的图象的画法（1）列表：先取原点（0,0），然后在原点两侧对称地取4个点，由于关于y 轴对称的两个点的横坐标互为 ，纵坐标 ，所以只计算y 轴右侧两个点的纵坐标，左侧两个点的纵坐标对应写出即可，为方便计算，x 一般取整数。
（2）描点：先将y 轴右侧的两个点描出来，然后由对称关系找到y 轴左侧的两个对称点。
（3）连线：按照从左到右的顺序将这5个点用光滑的曲线连接起来，画图象不应画到两端为止，而应当化成两个方向延伸的形状。
二、二次函数2x y =与2x y -=的图象和性质1.二次函数2x y =的图象是一条抛物线，它的开口方向 ，关于y 轴对称，对称轴与抛物线的交点是抛物线的顶点，它是图象的最 点，坐标为（0,0）2.二次函数2x y -=的图象是一条抛物线，它的开口方向 ，关于y 轴对称，对称轴与抛物线的交点是抛物线的顶点，它是图象的最 点，坐标为（0,0）3.图象和性质三、二次函数)0(2≠=a ax y 图象的画法（1）列表：先取原点（0,0），然后在原点两侧对称地取几个点，由于关于y 轴对称的两个点的横坐标互为相反数，纵坐标相等，所以只计算y 轴右侧两个点的纵坐标，左侧两个点的纵坐标对应写出即可，为方便计算，x 一般取整数。
（2）描点：先将y 轴右侧的两个点描出来，然后由对称关系找到y 轴左侧的两个对称点。
（3）连线：按照从左到右的顺序将这5个点用光滑的曲线连接起来，画图象不应画到两端为止，而应当化成两个方向延伸的形状。
注意：①用描点法作图的图象只是整个图象的一部分，是近似的，由于x 可以取一切实数，所以图象是向两个方向无限延伸的。
②要用光滑的曲线连接各点，不要画的太尖或太平。
四、二次函数)0(2≠=a ax y 图象的性质注：a 的绝对值决定抛物线的形状和开口大小：a 相同，抛物线的形状和开口大小 ；a 越大，抛物线开口 。
五、二次函数）（02≠+=a k ax y 的图象与性质二次函数）（02≠+=a k ax y 的图象是一条抛物线，图象可由抛物线）（02≠=a ax y 向上（或向下）平移而得到.当k ＞0时，抛物线）（02≠=a ax y 向上平移__________个单位得到）（02≠+=a k ax y 的图象. 当k ＜0时，抛物线）（02≠=a ax y 向下平移__________个单位得到）（02≠+=a k ax y 的图象.拓展：（1）k 决定抛物线）（02≠+=a k ax y 顶点在y 轴上的位置：①当k ＞0时，顶点在y 轴的__________上；②当k=0时，顶点是__________，此时抛物线是____________________； ③当k ＜0时，顶点在y 轴的__________上.（2）抛物线）（02≠+=a k ax y 的对称轴是__________，对称轴是y 轴的抛物线的关系式是_____________.六、二次函数）（）（0,2≠-=a h x a y 的图象和性质二次函数）（）（0,2≠-=a h x a y 的图象是一条抛物线，图象可由抛物线）（02≠=a ax y 向左（或向右）平移而得到.当h ＞0时，抛物线）（02≠=a ax y 向右平移__________个单位得到）（）（0,2≠-=a h x a y 的图象. 当h ＜0时，抛物线）（02≠=a ax y 向左平移__________个单位得到）（）（0,2≠-=a h x a y 的图象.拓展：抛物线）（）（0,2≠-=a h x a y 的顶点在__________上，顶点在x 轴上的抛物线的关系式是_____________.题型一 二次函数)0(2≠=a ax y 的性质比较函数值大小【例1】例1.已知1-<a ，点),1(),,(),,1(321y a y a y a +-都在2x y =的图像上，则（ ） A.321y y y << B .231y y y << C .123y y y << D .312y y y <<【例2】下列各点：(-1，2)，(-1，-2)，(-2，-4)，(-2，4)，其中在二次函数y =-2x 2的图象上的是 . 【例3】已知点),3(),,1(),,3(321y C y B y A --在抛物线232x y =上，则（ ） A .321y y y << B .321y y y >> C .231y y y <= D .312y y y =< 【过关练习】1.已知A （m ,a ）和B （n ,a ）两点都在抛物线2x y =上，则m ,n 之间的关系正确的是（ ） A.m =n B .m +n =0 C .m +n >0 D .m +n <02.已知函数25x y -=的图象上有三个点),(),,)(,(332211y x y x y x ，若0321>>>x x x 则321,,y y y 的大小关系为 。
二次函数的图像画法课件
顶点位置
二次函数的顶点位于y轴上，其 横坐标为-b/2a。
与x轴交点
二次函数与x轴的交点数取决于 判别式Δ=b²-4ac的值。如果 Δ>0，有两个不同的实根；如果 Δ=0，有一个重根；如果Δ<0，
没有实根。
二次函数图像的顶点
01
02
03
顶点的坐标
二次函数图像的顶点坐标 为(-b/2a, f(-b/2a))。
顶点的性质
顶点是二次函数的最值点 ，即函数值在该点取得最 大或最小值。
顶点与开口方向
顶点的位置和开口方向可 以用来判断二次函数的增 减性。
二次轴是 x=-b/2a。
对称性
二次函数图像关于对称轴 对称。
对称轴的性质
在对称轴上，函数值取得 最值，即最大值或最小值 。
实例一：简单的二次函数图像画法
步骤 1. 确定二次函数的表达式。
2. 使用描点法在坐标系上标出关键点。
实例一：简单的二次函数图像画法
3. 连接各点形成抛物线。
4. 根据抛物线的开口方向判断系数a的正负。
实例二：复杂的二次函数图像画法
总结词：进阶提高
详细描述：通过绘制复杂的二次函数图像，让学习者掌握如何处理系数a、b、c对抛物线的影响，以 及如何绘制开口方向不同的抛物线。
二次函数的图像画 法课件
目 录
• 二次函数的基本概念 • 二次函数的图像 • 二次函数的图像画法 • 二次函数的图像变换 • 实例分析
01
二次函数的基本概念
二次函数定义
总结词
二次函数是形如$f(x) = ax^2 + bx + c$的函数，其中$a neq 0$ 。
第08讲二次函数定义图像与性质(7大考点)(原卷版)
第08讲二次函数定义、图像与性质（7大考点）考点考向一．二次函数的定义（1）二次函数的定义：一般地，形如y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数．其中x、y是变量，a、b、c是常量，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项．y═ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）也叫做二次函数的一般形式．判断函数是否是二次函数，首先是要看它的右边是否为整式，若是整式且仍能化简的要先将其化简，然后再根据二次函数的定义作出判断，要抓住二次项系数不为0这个关键条件．（2）二次函数的取值范围：一般情况下，二次函数中自变量的取值范围是全体实数，对实际问题，自变量的取值范围还需使实际问题有意义．二．二次函数的图象（1）二次函数y＝ax2（a≠0）的图象的画法：①列表：先取原点（0，0），然后以原点为中心对称地选取x值，求出函数值，列表．②描点：在平面直角坐标系中描出表中的各点．③连线：用平滑的曲线按顺序连接各点．④在画抛物线时，取的点越密集，描出的图象就越精确，但取点多计算量就大，故一般在顶点的两侧各取三四个点即可．连线成图象时，要按自变量从小到大（或从大到小）的顺序用平滑的曲线连接起来．画抛物线y＝ax2（a≠0）的图象时，还可以根据它的对称性，先用描点法描出抛物线的一侧，再利用对称性画另一侧．（2）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象看作由二次函数y＝ax2的图象向右或向左平移||个单位，再向上或向下平移||个单位得到的．三．二次函数的性质二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标是（﹣，），对称轴直线x ＝﹣，二次函数y＝ax2+bx+c （a≠0）的图象具有如下性质：①当a＞0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向上，x ＜﹣时，y随x的增大而减小；x ＞﹣时，y随x的增大而增大；x＝﹣时，y取得最小值，即顶点是抛物线的最低点．②当a＜0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向下，x＜﹣时，y随x的增大而增大；x＞﹣时，y随x的增大而减小；x＝﹣时，y取得最大值，即顶点是抛物线的最高点．③抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象可由抛物线y＝ax2的图象向右或向左平移|﹣|个单位，再向上或向下平移||个单位得到的．四．二次函数图象与系数的关系二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）①二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小．当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；|a|还可以决定开口大小，|a|越大开口就越小．②一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置．当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左侧；当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右侧．（简称：左同右异）③．常数项c决定抛物线与y轴交点．抛物线与y轴交于（0，c）．④抛物线与x轴交点个数．△＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；△＝b2﹣4ac ＜0时，抛物线与x轴没有交点．五．二次函数图象上点的坐标特征二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象是抛物线，顶点坐标是（﹣，）．①抛物线是关于对称轴x＝﹣成轴对称，所以抛物线上的点关于对称轴对称，且都满足函数函数关系式．顶点是抛物线的最高点或最低点．②抛物线与y轴交点的纵坐标是函数解析中的c值．③抛物线与x轴的两个交点关于对称轴对称，设两个交点分别是（x1，0），（x2，0），则其对称轴为x＝．六．二次函数图象与几何变换由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．七．二次函数的最值（1）当a＞0时，抛物线在对称轴左侧，y随x的增大而减少；在对称轴右侧，y随x的增大而增大，因为图象有最低点，所以函数有最小值，当x ＝时，y ＝．（2）当a＜0时，抛物线在对称轴左侧，y随x的增大而增大；在对称轴右侧，y随x的增大而减少，因为图象有最高点，所以函数有最大值，当x ＝时，y ＝．（3）确定一个二次函数的最值，首先看自变量的取值范围，当自变量取全体实数时，其最值为抛物线顶点坐标的纵坐标；当自变量取某个范围时，要分别求出顶点和函数端点处的函数值，比较这些函数值，从而获得最值．考点精讲一．二次函数的定义（共5小题）1．（2021秋•淮阴区期末）函数y＝x2m﹣1+x﹣3是二次函数，则m ＝．2．（2022秋•启东市校级月考）函数是关于x的二次函数，求m的值．3．（2022秋•启东市校级月考）下列函数中，一定是二次函数的是（）A．y＝x（﹣x+1）B．y＝ax2+bx+cC．y＝2x+3D．y＝（x﹣1）2﹣x24．（2022秋•通州区校级月考）已知y＝（a﹣3）﹣2是二次函数，求a．5．（2022•宿豫区开学）已知函数y＝m（m+2）x2+mx+m+1．（1）当m为何值时，此函数是一次函数？（2）当m为何值时，此函数是二次函数？二．二次函数的图象（共1小题）6．（2022秋•海安市月考）如图是二次函数y1＝ax2+bx+c（a≠0）和一次函数y2＝mx+n（m≠0）的图象，当y2＞y1，x的取值范围是．三．二次函数的性质（共6小题）7．（2022秋•通州区校级月考）抛物线y＝﹣2（x﹣1）2+2的对称轴是（）A．直线x＝﹣1B．直线x＝1C．直线x＝﹣2D．直线x＝28．（2022秋•通州区校级月考）抛物线y＝3（x﹣1）2﹣4的顶点坐标是（）A．（1，4）B．（1，﹣4）C．（﹣1，4）D．（﹣1，﹣4）9．（2022秋•启东市校级月考）已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则一次函数y＝bx+c的图象和反比例函数y＝的图象在同一坐标系中大致是（）A．B．C．D．10．（2022•苏州二模）已知二次函数y＝a（x﹣2）2+2a（x﹣2）（a为常数，a＜0），则该函数图象的顶点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限11．（2021秋•灌南县期末）在平面直角坐标系中，下列二次函数的图象开口向上的是（）A．y＝x2B．y＝﹣x2+2x+1C．y＝﹣2x2+x D．y＝﹣0.5x2+x12．（2021秋•邗江区期末）已知函数y＝x2﹣2kx+k2+1．（1）求证：不论k取何值，函数y＞0；（2）若函数图象与y轴的交点坐标为（0，10），求函数图象的顶点坐标．四．二次函数图象与系数的关系（共6小题）13．（2022•南京一模）二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象如图所示，下列说法正确的是（）A．b＜0，c＞0B．b＞0，c＞0C．b＞0，c＜0D．b＜0，c＜014．（2022•天宁区校级一模）设直线x＝1是函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是实数，且a＜0）的图象的对称轴，（）A．若m＞1，则（m﹣1）a+b＞0B．若m＞1，则（m﹣1）a+b＜0C．若m＜1，则（m+1）a+b＞0D．若m＜1，则（m+1）a+b＜015．（2022•仪征市二模）设直线x＝1是函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是实数，且a＜0）的图象的对称轴，若（m+1）a+b＞0，则m的取值范围是．16．（2022秋•通州区校级月考）已知函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，给出下列4个结论：①abc＞0；②b2＞4ac；③4a+2b+c＞0；④2a+b＝0．其中正确的有（）个．A．1B．2C．3D．417．（2022•灌南县一模）已知二次函数y＝﹣x2+2mx+c，当x＞0时，y随x的增大而减小，则实数m的取值范围是．18．（2021秋•南京期末）已知函数y1＝x+1和y2＝x2+3x+c（c为常数）．（1）若两个函数图象只有一个公共点，求c的值；（2）点A在函数y1的图象上，点B在函数y2的图象上，A，B两点的横坐标都为m，若A，B两点的距离为3，直接写出满足条件的m值的个数及其对应的c的取值范围．五．二次函数图象上点的坐标特征（共8小题）19．（2022秋•启东市校级月考）已知点A（2，3）在函数y＝ax2﹣x+1的图象上，则a等于．20．（2021秋•淮阴区期末）已知二次函数y＝x2+bx+c的图象经过点（﹣2，5）和（1，﹣4），求b、c的值．21．（2022•武进区校级一模）已知点（2，y1）与（3，y2）在函数的图象上，则y1、y2的大小关系为．22．（2022•徐州）若二次函数y＝x2﹣2x﹣3的图象上有且只有三个点到x轴的距离等于m，则m的值为．23．（2021秋•盐都区期末）如图，在正方形ABCD中，已知：点A，点B在抛物线y＝2x2上，点C，点D 在x轴上．（1）求点A的坐标；（2）连接BD交抛物线于点P，求点P的坐标．24．（2022•溧阳市模拟）抛物线y＝x2上有三个点A、B、C，其横坐标分别为m、m+1、m+3，则△ABC的面积为（）A．1B．2C．3D．425．（2022•常熟市模拟）在平面直角坐标系中，若点P的横坐标与纵坐标的和为零，则称点P为“零和点”．已知二次函数y＝x2+3x+m的图象上有且只有一个“零和点”，则下列结论正确的是（）A．m＝B．m＝C．m＝1D．m＝426．（2022秋•通州区校级月考）抛物线y＝（x﹣3）2﹣4与y轴的交点坐标是．六．二次函数图象与几何变换（共8小题）27．（2022•天宁区模拟）将抛物线y＝﹣3x2﹣1向左平移2个单位长度，再向下平移2个单位长度，所得到的抛物线为（）A．y＝﹣3（x+2）2+1B．y＝﹣3（x﹣2）2﹣3C．y＝﹣3（x+2）2﹣3D．y＝﹣3（x﹣2）2+128．（2022秋•如皋市校级月考）将抛物线y＝（x﹣3）2﹣4先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到的抛物线的函数表达式为（）A．y＝（x﹣4）2﹣6B．y＝（x﹣1）2﹣3C．y＝（x﹣2）2﹣2D．y＝（x﹣4）2﹣2 29．（2022•钟楼区校级模拟）将抛物线y＝x2+2x﹣3关于y轴对称，所得到的抛物线解析式为．30．（2022秋•启东市校级月考）在同一平面直角坐标系中，将函数y＝x2+1的图象向左平移3个单位长度，再向下平移2单位，得到的图象的顶点坐标是．31．（2022•东台市模拟）如图，抛物线y＝﹣x2+4x+1与y轴交于点P，其顶点是A，点P'的坐标是（3，﹣2），将该抛物线沿PP'方向平移，使点P平移到点P'，则平移过程中该抛物线上P、A两点间的部分所扫过的面积是．32．（2022•宿豫区开学）已知二次函数y＝2（x﹣1）2+1的图象为抛物线C．（1）抛物线C顶点坐标为；（2）将抛物线C先向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到抛物线C1，请判断抛物线C1是否经过点P（2，3），并说明理由；（3）当﹣2≤x≤3时，求该二次函数的函数值y的取值范围．33．（2022•泗洪县一模）把二次函数y＝x2+bx+c的图象向下平移1个单位长度，再向左平移5个单位长度，所得的抛物线顶点坐标为（﹣3，2），求原抛物线相应的函数表达式．34．（2021秋•仪征市期末）已知二次函数y＝2x2﹣4x+3的图象为抛物线C．（1）抛物线C顶点坐标为；（2）将抛物线C先向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到抛物线C1，请判断抛物线C1是否经过点P（2，3），并说明理由；（3）当﹣2≤x≤3时，求该二次函数的函数值y的取值范围．七．二次函数的最值（共6小题）35．（2022•高新区二模）在平面直角坐标系中，若点P的横坐标和纵坐标相等，则称点P为漂亮点．已知二次函数y＝ax2+6x﹣（a≠0）的图象上有且只有一个漂亮点．且当﹣1≤x≤m时，二次函数y＝ax2+6x ﹣5（a≠0）的最小值为﹣12，最大值为4，则m取值范围是．36．（2022•姑苏区校级一模）如图，在直角坐标系中，O为坐标原点，矩形ABCO，B点坐标为（4，2），A、C分别在y轴、x轴上；若D点坐标为（1，0），连结AD，点E、点F分别从A点、B点出发，在AB上相向而行，速度均为1个单位/每秒，当E、F两点相遇时，两点停止运动；过E点作EG∥AD交x轴于H点，交y轴于G点，连结FG、FH，在运动过程中，△FGH的最大面积为．37．（2022•南京一模）若x+y＝5，则xy+1的最大值为．38．（2022•鼓楼区一模）若二次函数y＝ax2﹣bx+2有最大值6，则y＝﹣a（x+1）2+b（x+1）+2的最小值为．39．（2022•高邮市模拟）如图，已知点P、Q分别是矩形ABCD中AB、CD边上的动点（不与点A、B、C、D重合），PE∥BQ交AQ于点E，连接PQ．AB＝8，BC＝6，设△PEQ的面积为S．（1）当点P运动到AP＝2时，无论点Q运动到CD边的何处，S＝；（2）在点P、Q的运动过程中，①若S ＝，求AP的长；②求S的最大值．40．（2022•宿豫区开学）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝6cm，BC＝10cm，点P从点A开始沿AB 边向点B移动，速度为1cm/s；点Q从点B开始沿BC边向点C移动，速度为2cm/s，点P、Q分别从点A、B同时出发，当其中一点到达终点后，另一点也随之停止运动．（1）几秒时，PQ的长度为3cm？（2）几秒时，△PBQ的面积为8cm2？（3）当t（0＜t＜5）为何值时，四边形APQC的面积最小？并求这个最小值．巩固提升一．选择题（共13小题）1．（2022•武进区一模）二次函数y＝2（x+1）2+3的顶点坐标是（）A．（﹣1，﹣3）B．（﹣1，3）C．（1，﹣3）D．（1，3）2．（2022秋•启东市校级月考）下列各式中，y是关于x的二次函数的是（）A．y＝4x+2B．y＝（x﹣1）2﹣x2C．y＝3x2+5﹣4x D．y＝3．（2022•钟楼区校级模拟）以下对二次函数y＝4x2的图象与性质的描述中，不正确的是（）A．开口向上B．对称轴是y轴C．图像经过点（﹣1，﹣4）D．x＞0时，y随x的增大而增大4．（2022秋•通州区校级月考）已知两点A（﹣5，y1），B（1，y2）均在抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）上，点C（x0，y0）是该抛物线的顶点，若y0≥y2＞y l，则x0的取值范围是（）A．x0＞﹣2B．x0＜﹣2C．﹣5＜x0＜1D．﹣2＜x0＜15．（2022•吴中区模拟）抛物线y＝2（x+3）（x﹣1）的对称轴是（）A．x＝﹣3B．x＝1C．x＝3D．x＝﹣16．（2022•宿豫区校级开学）已知函数y＝ax2+bx+4（a＜0），2a﹣b＝0，在此函数图象上有A（﹣，y1）、B（﹣，y2）、C（，y3）三点，则y1、y2、y3的大小关系为（）A．y1＜y2＜y3B．y3＜y2＜y1C．y3＜y1＜y2D．y2＜y3＜y17．（2022秋•启东市校级月考）已知二次函数y＝ax2﹣2ax+2（a＞0），A（x1，y1）、B（x2，y2）是其图象上的两点，且x1＜x2，|x1﹣1|≠|x2﹣1|，则下列式子正确的是（）A．（x1+x2﹣2）（y1﹣y2）＜0B．（x1+x2﹣2）（y1﹣y2）＞0C．（x1+x2+2）（y1﹣y2）＞0D．（x1+x2+2）（y1﹣y2）＜08．（2022秋•启东市校级月考）对称轴为直线x＝1的抛物线y＝ax2+bx+c（a、b、c为常数，且a≠0）如图所示，某同学得出了以下结论：①abc＜0；②b2＞4ac；③4a+2b+c＞0；④a+b≤m（am+b）（m为任意实数）；⑤当x＞1时，y随x的增大而增大，其中结论正确的个数为（）A．2B．3C．4D．59．（2022•工业园区校级二模）在平面直角坐标系，xOy中，点（1，m）和点（3，n）在抛物线y＝ax2+bx （a＞0）上，已知点（﹣1，y1），（2，y2），（4，y3）在该抛物线上．若mn＜0，则y1，y2，y3的大小为（）A．y1＜y2＜y3B．y2＜y1＜y3C．y3＜y1＜y2D．y1＜y3＜y210．（2022秋•通州区校级月考）设A（﹣2，y1），B（1，y2），C（2，y3）是抛物线y＝x2﹣2x+c上的三点，y1，y2，y3的大小关系为（）A．y1＞y2＞y3B．y1＞y3＞y2C．y3＞y2＞y1D．y3＞y1＞y211．（2022秋•如皋市校级月考）若A（m+1，y1）、B（m，y2），C（m﹣2，y3）为抛物线y＝ax2﹣4ax+2（a ＜0）上三点，且总有y2＞y3＞y1，则m的取值范围是（）A．m＞2B．C．D．m＞312．（2022•宿豫区开学）已知二次函数y＝2x2﹣4x﹣1在0≤x≤a时，y取得的最大值为15，则a的值为（）A．1B．2C．3D．413．（2022•虎丘区校级模拟）设M为抛物线y＝（x﹣1）2的顶点，点A、B为该抛物线上的两个动点，且MA⊥MB．连接点A、B，过M作MC⊥AB于点C，则点C到y轴距离的最大值（）A．B．C．D．2二．填空题（共9小题）14．（2022秋•通州区校级月考）已知二次函数的解析式为：y＝x2+2x﹣3，则当x时，y随x增大而增大．15．（2022秋•通州区校级月考）抛物线y＝﹣3x2+4x﹣3开口方向是．16．（2022•昆山市校级一模）定义：[a，b，c]为二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的特征数．下面给出特征数为[m，l﹣m，2﹣m]的二次函数的一些结论：①当m＝1时，函数图象的对称轴是y轴；②当m＝2时，函数图象过原点；③当m＞0时，函数有最小值：④若m＜0，则当x＞时，y随x的增大而减小．其中所有正确结论的序号是．17．（2021秋•灌南县期末）关于x的函数y＝（m+2）是二次函数，则m的值是．18．（2022秋•通州区校级月考）已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则当0≤x≤3时，函数值y 的取值范围是．19．（2022秋•启东市校级月考）对于两个实数，规定min{a，b}表示a，b中的较小值，当a≥b时，min{a，b}＝b，当a＜b时，min{a，b}＝a，例如：min{﹣1，3}＝﹣1．则函数y＝min{x2+2x+2，﹣x2+2}的最大值是．20．（2022•相城区校级自主招生）设max{x，y}表示x，y两个数中的最大值．例如“max{1，3}＝3，max{﹣2，0，}＝”．则关于x的函数y＝max{2x，﹣x﹣2，﹣x2}的最小值为．21．（2022秋•通州区校级月考）已知二次函数y＝﹣x2+2x，当x＜a时，y随x的增大而增大，则实数a的取值范围是．22．（2022秋•通州区校级月考）二次函数y＝（x+1）2﹣5，当m≤x≤n，且mn＜0时，y的最小值是2m，最大值是2n，则m﹣n＝．三．解答题（共3小题）23．（2022•鼓楼区二模）已知二次函数y＝x2﹣2mx+3（m是常数）．（1）若m＝1，①该二次函数图象的顶点坐标为；②当0≤x≤4时，该二次函数的最小值为；③当2≤x≤5时，该二次函数的最小值为．（2）当﹣1≤x≤3时，该二次函数的最小值为1，求常数m的值．24．（2022•宿豫区开学）已知点A（2，﹣3）是二次函数y＝x2+（2m﹣1）x﹣2m图象上的点．（1）求二次函数图象的顶点坐标；（2）当﹣1≤x≤4时，求函数的最大值与最小值的差；（3）当t≤x≤t+3时，若函数的最大值与最小值的差为4，求t的值．25．（2022秋•通州区校级月考）在平面直角坐标系中，已知抛物线G：y＝x2﹣2（k﹣1）x+k（k为常数）．（1）若抛物线G经过点（2，k），求k的值；（2）若抛物线G经过点（k+1，y1），（1，y2），且y1＞y2．求出k的取值范围；（3）若将抛物线G向右平移1个单位长度，所得图象的顶点为（m，n），当k≥0时，求n﹣m的最大值．。
二次函数课件 二次函数PPT
y 2(x 2)2 3
向右平移
向下平移3
2个单位
个单位
y 2x2 向左平移 y 2(x 2)2 向上平移3 y 2(x 2)2 3
2个单位
个单位
（检测学生对该节课的掌握程度，并对该节课的内 容进行巩固。）
函数y=ax²+bx+c的顶点式
一般地,对于二次函数y=ax²+bx+c,我 们可以利用配方法推导出它的对称轴和 顶点坐标.
画图： 步骤：列表，描点，连线（光滑曲线）
y 3x2 y 3(x 1)2
老师指导学生按照步 骤画出图像，然后让 他们互相讨论，再做 总结，让学生在动手 操作中的过程中学到 知识，感受学习带来 的乐趣。
观察两个图形有什么关系？
老师给予适当的提示，引发学生思考，培养学生勤于思考的习惯。
函数 y 3x2 的图像
式是（A）
4
A、y 1 (x 2)2 2
4
B、y
1 4
(x
2)2
2
C、y 1 (x 2)2 2 4
D、y
1 4
(x
2)2
2
3、抛物线y=3x²先向上平移2个单位，后向右平移3个
单位，所得到的抛物线是（ D ）
A、y=3(x+3)²-2
B、 y=3(x+3)²+2
C、y=3(x-3)²-2
一般地,由y=ax²的图象便可得到二次函数y=a(x-h)²+k的图 象:y=a(x-h)²+k(a≠0) 的图象可以看成y=ax²的图象先沿x轴 整体左(右)平移|h|个单位(当h>0时,向右平移;当h<0时,向左 平移),再沿对称轴整体上(下)平移|k|个单位 (当k>0时向上平 移;当k<0时,向下平移)得到的.
二次函数图像与性质完整归纳
3 2 -2
3 2 0 5…
2
【例 2】 求作函数 y x 2 4 x 3 的图象。
【解】 y x 2 4x 3 ( x2 4x 3)
[( x 2) 2 7] [( x 2) 2 7 先画出图角在对称轴 x 2 的右边部分，列表
x -2 -1 0 1 2 y 76 5 4 3
【点评】 画二次函数图象步骤： (1) 配方； (2) 列表； (3) 描点成图； 也可利用图象的对称性，先画出函数的左（右）边部分图象，再利 用对称性描出右（左）部分就可。
, 3 ] 上是增函数，在区间 [ 3, 10
29 ymaz 20 ) 上是减函数。
【点评】 要研究二次函数顶点、对称轴、最值、单调区间等性质时，方法有两个：
(1) 配方法；如例 3
(2) 公式法：适用于不容易配方题目 ( 二次项系数为负数或分数 ) 如例 4，可避免出错。
任何一个函数都可配方成如下形式：
b 时， y 随 x 的增大而增大； 当 x b
2a
2a
b ，顶点坐标为 2a
b ，4ac b2 ．当 2a 4a
x b 时， y 随 x 的增大而增大；当 x 2a
2
有最大值 4ac b ． 4a
b 时， y 随 x 的增大而减小；当 x 2a
b 时， y 2a
六、二次函数解析式的表示方法
1. 一般式： y ax 2 bx c （ a ， b ， c 为常数， a 0 ）； 2. 顶点式： y a ( x h)2 k （ a ， h ， k 为常数， a 0 ）；
向下
h ，k
x h 时， y 随 x 的增大而减小； x h 时， y X=h
随 x 的增大而增大； x h 时， y 有最大值 k ．
《二次函数的图像和性质》PPT(第1课时)
二次函数的图像和性质
第1课时
导入新课
讲授新课
当堂练习
-.
课堂小结
学习目标
1.正确理解抛物线的有关概念.（重点） 2.会用描点法画出二次函数y=ax²的图像，概括出图像 的特点.（难点） 3.掌握形如y=ax²的二次函数图像的性质，并会应用. （难点）
导入新课
情境引入
讲授新课
一 二次函数y=ax2的图像
问题2：观察图形，y随x的变化如何变化？
y x2
y ax2
(-1,-1) (-2,-4)
(1,-1) (2,-4)
知识要点
对于抛物线 y = ax 2 （a＜0）
当x＞0时，y随x取值的增大而减小； 当x<0时，y随x取值的增大而增大.
例2 在同一直角坐标系中，画出函数 y 1 x2, y 2x2 的图像．
关系是什么？
y y=ax2
二次项系数互为相反数，
开口相反，大小相同，
它们关于x轴对称.
O
x y=-ax2
二 二次函数y=ax2的性质 问题1：观察图形，y随x的变化如何变化？
(-2,4)
(2,4)
(-1,1)
(1,1)
y x2
y ax2
知识要点
对于抛物线 y = ax 2 （a＞0） 当x＞0时，y随x取值的增大而增大； 当x<0时，y随x取值的增大而减小.
< (1)若点(－2，y1)与(3，y2)在此二次函数的图像上，则y1_____y2；
(填“>”“＝”或“<”)；
(2)如图，此二次函数的图像经过点(0，0)，长方形ABCD的顶
点A、B在x轴上，C、D恰好在二次函数的图像上，B点的横坐标
二次函数y=ax2的图像与性质》课件
0时，y<0.
记 r 为圆的半径，S 为该圆的面 积，有面积公式S=πr2，表明S是r的 函数. (1)当半径r分别为2、2.5、3时，求圆 的 面积S（π取3.14）； (2)画出函数S=πr2的图象.
函数S=πr2 的图象: 注意r≥0的条件.
已知抛物线y=ax2经过点A（-2，-8）。 （1）求此抛物线的函数解析式； （2）判断点B（-1，- 4）是否在此抛物线上。 （3）求出此抛物线上纵坐标为-6的点的坐标。
2 二次函数y=ax 的图象和性质
复习回顾
函数的图象的意义：
一般地，对于一个函数，如果把 自变量与函数的每对对应值分别作为 点的横坐标和纵坐标，那么坐标平面 内由这些点组成的图形就是这个函数 的图象。
函数图象的画法：
组卷网
1、列表
2、描点 3、连线
列出自变量与函数的对应值表。 注意：自变量的值必须满足取值范围.
共同点: 开口都向下; 顶点是原点而且是抛物线 的最高点，对称轴是 y 轴 在对称轴的左侧， y随着x的增大而增大。 在对称轴的右侧， y随着x的增大而减小。 不同点: 开口大小不同;
1
-3 -2 -1 0 -1
y
1 2 3 x
1 2 y x 2
-2 -3 -4 -5
y x2 a 越大， 抛物线的开口越大．
2
…
y=－x2
-４ -2.25
-2.25 -４ …
-１.１２５
…
-2
-１.１２５
-2
…
y=－2x2
… -８
-4. 5
-２
-０ . ５ ０
-０ . ５
-２
-4. 5
-８ …
1
二次函数图像与性质完整归纳
二次函数的图像与性质一、二次函数的根本形式1. 二次函数根本形式：2=的性质：y ax2. 2=+的性质：y ax c上加下减。
3. ()2=-的性质：y a x h左加右减。
4. ()2y a x h k =-+的性质：二、二次函数图象的平移1. 平移步骤：方法一：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ，；⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ，处，具体平移方法如下：【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位2. 平移规律在原有函数的根底上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移〞． 概括成八个字“左加右减，上加下减〞． 方法二：⑴c bx ax y ++=2沿y 轴平移:向上〔下〕平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成m c bx ax y +++=2〔或m c bx ax y -++=2〕⑵c bx ax y ++=2沿轴平移：向左〔右〕平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成c m x b m x a y ++++=)()(2〔或c m x b m x a y +-+-=)()(2〕三、二次函数()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++的比拟从解析式上看，()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即22424b ac b y a x a a -⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，其中2424b ac b h k a a -=-=，． 四、二次函数2y ax bx c =++图象的画法五点绘图法：利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式2()y a x h k =-+，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与y 轴的交点()0c ，、以及()0c ，关于对称轴对称的点()2h c ，、与x 轴的交点()10x ，，()20x ，〔假设与x 轴没有交点，那么取两组关于对称轴对称的点〕.画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x 轴的交点，与y 轴的交点.五、二次函数2y ax bx c =++的性质1.当0a >时，抛物线开口向上，对称轴为2bx a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．当2b x a <-时，y 随x 的增大而减小；当2b x a >-时，y 随x 的增大而增大；当2bx a=-时，y 有最小值244ac b a-．2. 当0a <时，抛物线开口向下，对称轴为2bx a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．当2b x a <-时，y 随x 的增大而增大；当2b x a >-时，y 随x 的增大而减小；当2bx a=-时，y 有最大值244ac b a-．六、二次函数解析式的表示方法1. 一般式：2y ax bx c =++〔a ，b ，c 为常数，0a ≠〕；2. 顶点式：2()y a x h k =-+〔a ，h ，k 为常数，0a ≠〕；3. 两根式：12()()y a x x x x =--〔0a ≠，1x ，2x 是抛物线与x 轴两交点的横坐标〕. 注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x 轴有交点，即240b ac -≥时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化.七、二次函数的图象与各项系数之间的关系1.二次项系数a二次函数2y ax bx c =++中，a 作为二次项系数，显然0a ≠．⑴ 当0a >时，抛物线开口向上，a 的值越大，开口越小，反之a 的值越小，开口越大； ⑵ 当0a <时，抛物线开口向下，a 的值越小，开口越小，反之a 的值越大，开口越大．总结起来，a 决定了抛物线开口的大小和方向，a 的正负决定开口方向，a 的大小决定开口的大小． 2. 一次项系数b在二次项系数a 确定的前提下，b 决定了抛物线的对称轴． ⑴ 在0a >的前提下，当0b >时，02ba-<，即抛物线的对称轴在y 轴左侧； 当0b =时，02ba-=，即抛物线的对称轴就是y 轴； 当0b <时，02ba->，即抛物线对称轴在y 轴的右侧．⑵ 在0a <的前提下，结论刚好与上述相反，即 当0b >时，02ba->，即抛物线的对称轴在y 轴右侧； 当0b =时，02ba-=，即抛物线的对称轴就是y 轴； 当0b <时，02ba-<，即抛物线对称轴在y 轴的左侧． 总结起来，在a 确定的前提下，b 决定了抛物线对称轴的位置．ab 的符号的判定：对称轴abx 2-=在y 轴左边那么0>ab ，在y 轴的右侧那么0<ab ，概括的说就是“左同右异〞总结：3. 常数项c⑴ 当0c >时，抛物线与y 轴的交点在x 轴上方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为正； ⑵ 当0c =时，抛物线与y 轴的交点为坐标原点，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为0； ⑶ 当0c <时，抛物线与y 轴的交点在x 轴下方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为负． 总结起来，c 决定了抛物线与y 轴交点的位置．总之，只要a b c ，，都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的．二次函数解析式确实定：根据条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法．用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便．一般来说，有如下几种情况：1. 抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；2. 抛物线顶点或对称轴或最大〔小〕值，一般选用顶点式；3. 抛物线与x 轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式；4. 抛物线上纵坐标一样的两点，常选用顶点式．八、二次函数图象的对称二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达 1. 关于x 轴对称2y ax bx c =++关于x 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =---；()2y a x h k =-+关于x 轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k =---；2. 关于y 轴对称2y ax bx c =++关于y 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+；()2y a x h k =-+关于y 轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k =++；3. 关于原点对称2y ax bx c =++关于原点对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+-； ()2y a x h k =-+关于原点对称后，得到的解析式是()2y a x h k =-+-；4. 关于顶点对称〔即：抛物线绕顶点旋转180°〕2y ax bx c =++关于顶点对称后，得到的解析式是222b y ax bx c a=--+-；()2y a x h k =-+关于顶点对称后，得到的解析式是()2y a x h k =--+．5. 关于点()m n ，对称 ()2y a x h k =-+关于点()m n ，对称后，得到的解析式是()222y a x h m n k =-+-+-根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此a 永远不变．求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原那么，选择适宜的形式，习惯上是先确定原抛物线〔或表达式的抛物线〕的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式．二次函数图像参考：十一、【例题精讲】一、一元二次函数的图象的画法【例1】求作函数64212++=x x y 的图象 【解】 )128(21642122++=++=x x x x y2-4)(214]-4)[(21 2222+=+=x x以4-=x 为中间值，取x 的一些值，列表如下：【例2】求作函数342+--=x x y 的图象。
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二次函数的图像及画法
在平面直角坐标系中作出二次函数y=x的平方的图像，可以看出，二次函数的图像是一条永无止境的抛物线。
如果所画图形准确无误，那么二次函数将是由一般式平移得到的。
二次函数y＝ax 的图像的画法
用描点法画二次函数y＝ax 的图像时，应在顶点的左、右两侧对称地选取自变量x的值，然后计算出对应的y值，这样的对应值选取越密集，描出的图像越准确。
用描点法画出二次函数y＝x 的图像，它是一条关于y轴对称的曲线，这样的曲线叫做抛物线。
因为抛物线y＝x 关于y轴对称，所以y轴是这条抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是抛物线的顶点，从图上看，抛物线y＝x2的顶点是图象的最低点.因为抛物线y＝x2有最低点.所以函数y ＝x2有最小值，它的最小值就是最低点的纵坐标。
基本图像
当a0时，y＝ax 的图像
当a0时，y＝ax 的图像
二次函数y=ax ;，y=a(x-h) ;，y=a(x-h) +k，y=ax +bx+c(各式中，a0)的图象形状相同，只是位置不同，它们的顶点坐标及对称
轴如下表：
解析式
y=ax ;
y=ax +K
y=a(x-h) ;
y=a(x-h) +k
y=ax +bx+c
顶点坐标
(0，0)
(0，K)
(h，0)
(h，k)
(-b/2a，4ac-b /4a)
对称轴
x=0
x=0
x=h
x=h
x=-b/2a
当h0时，y=a(x-h) ;的图象可由抛物线y=ax ;向右平行移动h个单位得到，
当h0时，则向左平行移动|h|个单位得到．
当h0,k0时，将抛物线y=ax ;向右平行移动h个单位，再向上移动k个单位，就可以得到y=a(x-h) +k的图象；
当h0,k0时，将抛物线y=ax ;向右平行移动h个单位，再向下移动|k|个单位可得到y=a(x-h) -k的图象；
当h0,k0时，将抛物线向左平行移动|h|个单位，再向上移动k个单位可得到y=a(x+h)sup2;+k的图象；
当h0,k0时，将抛物线向左平行移动|h|个单位，再向下移动|k|个单位可得到y=a(x-h)sup2;+k的图象；在向上或向下.向左或向右平移抛物线时，可以简记为上加下减，左加右减。
因此，研究抛物线y=ax +bx+c(a0)的图象，通过配方，将一般式化为y=a(x-h) ;+k的形式，可确定其顶点坐标、对称轴，抛物线的大体位置就很清楚了．这给画图象提供了方便．。