高三数学应用题练习

高三数学应用题练习
【南京市】17. （本题满分14分）
如图，在半径为30cm的半圆形（O为圆心）铝皮上截取一块矩形材料ABCD，其中点A、B在直径上，点C、D在圆周上。

（1）怎样截取才能使截得的矩形ABCD的面积最大并求最大
面积；
（2）若将所截得的矩形铝皮ABCD卷成一个以AD为母线的圆
柱形罐子的侧面（不计剪裁和拼接损耗），应怎样截取，才能
使做出的圆柱形形罐子体积最大并求最大面积.
【常州市第17题】
【盐城市】18．(本小题满分14分)
因发生意外交通事故,一辆货车上的某种液体泄漏到一渔塘中.为了治污,根据环保部门的建议,现决定在渔塘中投放一种可与污染液体发生化学反应的药剂.已知每投放
(14≤≤a a ,且)∈a R 个单位的药剂,它在水中释放的浓度y (克/升)随着时间x (天)变化的函数关系式近似为()y a f x =⋅,其中16
1(04)8()15(410)2
⎧-≤≤⎪⎪-=⎨⎪-<≤⎪⎩x x
f x x x .
若多次投放,则某一时刻水中的药剂浓度为每次投放的药剂在相应时刻所释放的浓度之
和.根据经验,
当水中药剂的浓度不低于4(克/升)时,它才能起到有效治污的作用. （Ⅰ）若一次投放4个单位的药剂,则有效治污时间可达几天 （Ⅱ）若第一次投放2个单位的药剂,6天后再投放a 个单位的药剂,要使接下来的4天中
能够持续有效治污,试求a 的最小值(精确到,参考数据
.
18．解：（Ⅰ）因为4a =,所以64
4(04)8202(410)
x y x x x ⎧-≤≤⎪
=-⎨⎪-<≤⎩………………………………1分
则当04x ≤≤时,由
64
448x
-≥-,解得0x ≥,所以此时04x ≤≤………………… 3分 当410x <≤时,由2024x -≥,解得8x ≤,所以此时48x <≤………………………5分
综合,得08x ≤≤,若一次投放4个单位的制剂,则有效治污时间可达8天…………… 6分 （Ⅱ）当610x ≤≤时,1162(5)(1)28(6)
y x a x =⨯-
+---………………………9分 =161014a x a x -+
--=16(14)414a
x a x
-+---,因为14[4,8]x -∈,而14a ≤≤,
所以[4,8],故当且仅当14x -=时,y 有最小值为4a - ………12分
令44a -≥,解得244a -≤≤,所以a 的最小值为24 1.6-≈…14分
【镇江市】
【无锡市】
【苏州市】
【徐州市、宿迁市】
17．解：（1）设点C 受A 污染源污染程度为
2
ka
x
，点C 受B 污染源污染程度为2(18)kb x -，其中k 为比例系数，且0k >． ………………………………………………4分
从而点C 处受污染程度22
(18)ka kb
y x x =
+
-． ………………………………6分 （2）因为1a =，所以，22
(18)k kb
y x x =
+
-， …………………8分 '3322[
](18)b y k x x -=+-，令'
0y =，得31x b
=+， …………………12分
又此时6x =，解得8b =，经验证符合题意．
所以，污染源B 的污染强度b 的值为8． …………………14分 【苏北四市第一次调研】 19.（本小题满分16分）
如图1，OA ，OB 是某地一个湖泊的两条垂直的湖堤，线段CD 和曲线EF 分别是湖泊中的一条栈桥和防波堤.为观光旅游需要，拟过栈桥CD 上某点M 分别修建与OA ，OB 平行的栈桥MG ，MK ，且以MG ，MK 为边建一个跨越水面的三角形观光平台MGK ．建立如图2所示的直角坐标系，测得CD 的方程是220(020)x y x +=≤≤，曲线EF 的方程是200(0)xy x =>，设点M 的坐标为(,)s t ．（题中所涉及长度单位均为米，栈桥及防波堤都不计宽度） （1）求三角形观光平台MGK 面积的最小值；
（2）若要使MGK ∆的面积不小于320平方米，求t 的范围．
19．（1）由题意，得100(,)G t t ，
100(,)
K s s (0,0)s t >>， 又因为(,)M s t 在线段CD ：220(020)x y x +=≤≤上， 所以220(020)s t s +=<<，
11200200140000
()()(400)
222MGK S MG MK s t st t s st ∆=⋅⋅=--=+-……………4分
由202s t =+≥=050st <≤，当且仅当10s =，5t =时等号成立. ………………………6分
令st u =，则140000
()(400)
2MGK f u S u u ∆==+-，(0,50]u ∈. 又2
110000
()(1)02f u u '=-<，故()f u 在(0,50]上单调递减，
（注意：若()f u 在(0,50]上单调递减未证明扣1分） 所以
min ()(50)225
f u f ==，此时10s =，5t =.
所以三角形MGK 面积的最小值为225平方米. ……………………………………10分 （2）由题意得()320f u ≥，
当140000(400)320
2u u +-=，解得40u =或1000u =（舍去），
由（1）知40st ≤， ……………………………………14分 即(202)40t t -≤
，解之得55t +≤所以t
的范围是[5-+．………………………………………………………16分
【泰州市】
17. ⑴由已知第7天的销售价格49p =，销售量41q =. ∴第7天的销售收入
749412009W =⨯= (元) . ……………………………………………………（3分）
⑵设第x 天的销售收入为x W ，则(44)(48)1620097(56)(32)820
x x x x W x x x x +-≤≤⎧⎪
==⎨
⎪-+≤≤⎩
.…（6分）
当16x ≤≤时，2
(44)(48)(44)(48)(
)21162
x x x W x x ++-=+-≤=.（当且仅当2x =时
取等号）∴当2x =时取最大值22116W =.………………………………（9分）
当820x ≤≤时，2
(56)(32)(56)(32)()19362
x x x W x x -++=-+≤=.（当且仅当12
x =时取等号）∴当12x =时取最大值121936W =. …………………………（12分）
由于2712W W W >>，∴第2天该农户的销售收入最大. …………………………（13分）
答：⑴第7天的销售收入2009元；⑵第2天该农户的销售收入最大. …………（14分）
【扬州市】18.（本小题满分15分）
某广场一雕塑造型结构如图所示，最上层是一呈水平状态的圆环，其半径为m 2，通过金属杆321,,,CA CA CA BC 支撑在地面B 处（BC 垂直于水平面），321,,A A A 是圆环上的三等分点，圆环所在的水平面距地面m 10，设金属杆321,,CA CA CA 所在直线与圆环所在水平面所成的角都为θ。

（圆环及金属杆均不计粗细）
（1）当θ的正弦值为多少时，金属杆321,,,CA CA CA BC 的总长最短
（2）为美观与安全，在圆环上设置()4,,,21≥n A A A n Λ个等分点，并仍按上面方法连接，若还要求金属杆n CA CA CA BC ,,,,21Λ的总长最短，对比（1）中C 点位置，此时C 点将会
上移还是下移，请说明理由。

18．解：（Ⅰ）设O 为圆环的圆心，依题意，∠CA 1O=∠CA 2O=∠CA 3O=θ，
CA 1=CA 2=CA 3=
2
cos θ
，CO=2tan θ， 设金属杆总长为ym ，则
6102tan cos y θθ=
+-=2(3sin )10cos θθ-+，
（02π
θ<<） 2
2(3sin 1)
'cos y θθ-=， 当1sin 3θ<时，'0y <；当1
sin 3θ>时，'0y >，
∴当1
sin 3
θ=时，函数有极小值，也是最小值。

……………………………7分
（Ⅱ）依题意，2102tan cos n y θθ=+-=2(sin )
10cos n θθ
-+，
2
2(sin 1)
'cos n y θθ-=， 当1sin n θ<时，'0y <；当1
sin n θ>时，'0y >，
∴当1
sin n θ=时，函数有极小值，也是最小值。

…………………………………13分
当n ≥4时，11
3
n <，所以C 点应上移。

…………………………………15分。