D10_3格林公式
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§10.3格林公式-PPT课件
2 2 2 3 3 3 C x y a 例 1 ． 求 由 星 形 线 ： 所 围 成 的 面 积 A 。
3 x a cos t , 0 t 2 解 ： C 的 参 数 方 程 为 （ ） 。 3 y a sin t ,y
1 A xdy ydx 2C
X 型 Y 型 又 是 作 辅 助 线 把 D 分 成 两 个 既 是 的 区 域 y F D 和 D ， 1 2
D1
Q P ( x y )dxdy
D
A
D2
B
E
o Q P Q P ( ) dxdy ( ) dxdy ： （ 1 ） 若 D 既 是 。
D {( x , y ) y ( x ) y y ( x ), a x b } ， 1 2
P ∵ 连 续 ， y y y y (x ) 2 b y ( x ) P P N C 2 dxdy dx dy ∴ y ( x ) y a yA D B 1
4.用格林公式求平面图形的面积
Q P Pdx Qdy ( ) dxdy 若 在 中 ， C x y
D
P ( x , y ) y Q ( x , y ) x 取 ， ， 则 得
ydx xdy 2 dxdy , C
D
1 A xdy ydx ∴ 。 （ 其 中 A 是 区 域 D 的 面 积 。 ） C 2
P [ x ,y ( x )] P [ x ,y ( x )]} dx { 1 2
a b
P ∴ P ( x , y ) dx dxd 。 ① C y
D
D { ( x , y ) x ( y ) x x ( y ), c y d } 又 设 ， 1 2
10.3 格林(Green)公式
lim P ( , y )
x 0
lim P( , y ) P( x, y )
同理可得
u y
Q ( x , y ).
又由于P ( x , y ), Q ( x , y ) 连续，
所以 u ( x , y ) 可微，且
du P ( x , y ) dx Q ( x , y ) dy .
D.
由条件（1）有
Q x
,
( x, y ) E .
由格林公式有
Pdx Qdy
L
( x
E
Q
P y
) dxdy 0 .
（2）
（3）： 设
L 1 , L 2是 D
D
内任意两条由 A 到
B 的曲线， 则 L 2 L1
是
内一条正向闭曲线。由条
件（2）有
A
其中 AB 在 D 内； 与起点 A 和终点 B 有关，
即 du Pdx Qdy .
（4） Pdx Qdy 在 D 内是某一函数 u ( x , y ) 的全微分，
证 （1）
（2）： 设
L
为 D 中任一条闭曲线，
它所围成的区域记为 E , 由于D 是单连通
L
D
E
区域， 所以 E
P y
偏导数， L 是 D 的正向边界曲线， 则有
P ( x , y ) dx Q ( x , y ) dy
L
( x
D
Q
P y
) dxdy
（格林公式）
例1 求 L
xdy 2 ydx , 其中 L 是圆周 x 2 y 2 1,
高等数学10.3格林公式(几个等价条件)
内容小结
Q P 1. 格林公式 P d x Q d y D x y d x d y L
2. 等价条件
设 P, Q 在 D 内具有一阶连续偏导数, 则有
在 D 内有
Q x
P y
L
对 D 内任意闭曲线 L 有 P d x Q d y 0
2 2
可见, 在不含原点的单连通区域内积分与路径无关.
取圆弧 AB :
W
x
k
2
cos , y
2
sin ( :
2
0)
AB
r
2
( y dx x d y)
y
A L
2
o
k
B x
思考: 积分路径是否可以取 AO OB ? 为什么？ 注意, 本题只在不含原点的单连通区域内积分与路径 无关 !
u ( x, y)
( x , y ) P ( x , y )d x Q( x , y )d y
0 0
( x, y)
y
4.
P ( x , y0 )d x Q( x , y )d y 存在 u ux( x , y ) 使 d u P yd x Q d y 在 y 内恒成立 D 0 0
x
P y
m
o
J
A x
x
( e sin y my ) dx ( e cos y m ) dy ,
AO OA
Q P dx dy y x
D
D
m a2 . m dx dy 8
10[1]3格林公式及其应用2010423
![10[1]3格林公式及其应用2010423](https://img.taocdn.com/s3/m/5cfcce5f1eb91a37f1115cf7.png)
的三角形闭区域.
解 令P 0, Q xe y2 ,
则 Q P e y2 , x y
应用格林公式,有
y
1 D
o
A
x
1
e y2dxdy
xe y2 dy
D
OA AB BO
xe y2dy
OA
1 xe x2 dx
0
1 (1 e1 ). 2
二、平面上曲线积分与路径无关的条件
1.曲线积分与路径无关的定义
D2
x
y
)dxdy
(
D3
x
y
)dxdy
L1 Pdx Qdy L2 Pdx Qdy L3 Pdx Qdy
L Pdx Qdy
L3 D3
( L1, L2 , L3对D来说为正方向) L1 D1
D2 L2
L
证明(3)
若区域不止由一条闭曲
L3
线所围成.添加直线段 AB,CE.
E
则D 的边界曲线由 AB,L2 ,BA, AFC,CE, L3 , EC 及 CGA 构成.
L
(2)在G内存在u(x,y),使得 称为Pdx+Qdy的原函数
du P(x, y)dx Q(x, y)dy
(3) (x,y) G, P Q ; y x
(4) 对G 内任意闭曲线C: Pdx Qdy 0 .
C
证明 (1)
(2)
在D内取定点
与路径无关, 有函数
和任一点B( x, y ), 因曲线积分
P Q y x
证明 (3)
(4)
设L为D中任一分段光滑闭曲线, 所围区域为 D D (如图) , 因此在D上
P Q
D
y x
利用格林公式 , 得
解 令P 0, Q xe y2 ,
则 Q P e y2 , x y
应用格林公式,有
y
1 D
o
A
x
1
e y2dxdy
xe y2 dy
D
OA AB BO
xe y2dy
OA
1 xe x2 dx
0
1 (1 e1 ). 2
二、平面上曲线积分与路径无关的条件
1.曲线积分与路径无关的定义
D2
x
y
)dxdy
(
D3
x
y
)dxdy
L1 Pdx Qdy L2 Pdx Qdy L3 Pdx Qdy
L Pdx Qdy
L3 D3
( L1, L2 , L3对D来说为正方向) L1 D1
D2 L2
L
证明(3)
若区域不止由一条闭曲
L3
线所围成.添加直线段 AB,CE.
E
则D 的边界曲线由 AB,L2 ,BA, AFC,CE, L3 , EC 及 CGA 构成.
L
(2)在G内存在u(x,y),使得 称为Pdx+Qdy的原函数
du P(x, y)dx Q(x, y)dy
(3) (x,y) G, P Q ; y x
(4) 对G 内任意闭曲线C: Pdx Qdy 0 .
C
证明 (1)
(2)
在D内取定点
与路径无关, 有函数
和任一点B( x, y ), 因曲线积分
P Q y x
证明 (3)
(4)
设L为D中任一分段光滑闭曲线, 所围区域为 D D (如图) , 因此在D上
P Q
D
y x
利用格林公式 , 得
高等数学《格林公式》
在整个平面内恒有 Q 2x P ,
x
y
所以曲线积分与路径无关．
应用: 对某些第二类曲线积分可改变其路径简化计算.
例 1 计算 ( x2 2xy)dx ( x2 y4 )dy. 其中 L 为由点
L
O(0,0)到点 A(1,1)的曲线弧 y sin x . 2
y
A(1,1) L
解 记 P( x, y) x2 2xy,Q( x, y) x2 y4,
(Q P )dxdy P( x, y)dx Q( x, y)dy
D x y
D
(1) 公式(1)叫做格林公式.
y
证明(1)
d
若区域D 既是X 型 x 1( y)
又是Y 型,即平行于
坐标轴的直线和D+
A c
至多交于两点.
oa
E y 2(x)
D
B
x 2( y)
Cy 1(x) b
x
D {( x, y)1( x) y 2( x),a x b}
滑的闭曲线围成.如图,
将D 分成三个既是X 型又是 Y 型的区域D1,D2 ,D3 .
L3 D3
D1
L1
D2 L2
D L
(Q P )dxdy
(Q P )dxdy
D x y
x D1 D2 D3 y
(Q x
P y
)dxdy
(
Q x
P y
)dxdy
(
Q x
P y
)dxdy
D1
D2
D3
( )Pdx Qdy Pdx Qdy
则称曲线积分 P( x, y)dx Q( x, y)dy 在 G 内与
L
路径无关。
10-3格林定理
Ω
即
∫∫∫ f ( x , y , z )dv = lim ∑ f (ξ i ,η i , ζ i )∆vi . λ →0 i =1
Ω
n
其中 dv 叫做体积元素 .
在直角坐标系中， 在直角坐标系中，如果 用平行于坐标面 的平面来划分 Ω , 则 ∆v i = ∆x j ∆yk ∆z l .
重 记 三 积 为
D 1
D2
D2 : x 2 + y 2 = 4,
0 ≤ θ ≤ 2π 0 ≤ r ≤ 2 . Ω2 : 2 r ≤ z ≤ 2 2
∴ I = I1 − I 2 = ∫∫∫ ( x + y )dxdydz − ∫∫∫ ( x + y )dxdydz ,
2 2 2 2 Ω1 Ω2
I1 = ∫∫ rdrdθ ∫r 2 fdz = ∫
并作和, 乘积 f (ξ i ,η i , ζ i ) ⋅ ∆vi ，( i = 1,2,L, n)，并作和,
如果当各小闭区域的直径中的最大值 λ 趋近于零 这和式的极限存在， 时，这和式的极限存在，
上的三 则称此极限为函数 f ( x , y , z ) 在闭区域Ω 上的三 重积分， 重积分， 记为 ∫∫∫ f ( x , y , z )dv ,
过点 ( x , y ) ∈ D 作直线,
穿入， 穿出． 从 z1 穿入，从 z2 穿出．
b a
z
z = z2 ( x , y )
z2 S 2
Ω
z1 S1
z = z1 ( x , y )
o
( x, y )
D
y
y = y2 ( x )
x
y = y1 ( x )
看作定值， 先将 x , y 看作定值，将 f ( x , y , z )只看作 z 的 函数， 函数，则
即
∫∫∫ f ( x , y , z )dv = lim ∑ f (ξ i ,η i , ζ i )∆vi . λ →0 i =1
Ω
n
其中 dv 叫做体积元素 .
在直角坐标系中， 在直角坐标系中，如果 用平行于坐标面 的平面来划分 Ω , 则 ∆v i = ∆x j ∆yk ∆z l .
重 记 三 积 为
D 1
D2
D2 : x 2 + y 2 = 4,
0 ≤ θ ≤ 2π 0 ≤ r ≤ 2 . Ω2 : 2 r ≤ z ≤ 2 2
∴ I = I1 − I 2 = ∫∫∫ ( x + y )dxdydz − ∫∫∫ ( x + y )dxdydz ,
2 2 2 2 Ω1 Ω2
I1 = ∫∫ rdrdθ ∫r 2 fdz = ∫
并作和, 乘积 f (ξ i ,η i , ζ i ) ⋅ ∆vi ，( i = 1,2,L, n)，并作和,
如果当各小闭区域的直径中的最大值 λ 趋近于零 这和式的极限存在， 时，这和式的极限存在，
上的三 则称此极限为函数 f ( x , y , z ) 在闭区域Ω 上的三 重积分， 重积分， 记为 ∫∫∫ f ( x , y , z )dv ,
过点 ( x , y ) ∈ D 作直线,
穿入， 穿出． 从 z1 穿入，从 z2 穿出．
b a
z
z = z2 ( x , y )
z2 S 2
Ω
z1 S1
z = z1 ( x , y )
o
( x, y )
D
y
y = y2 ( x )
x
y = y1 ( x )
看作定值， 先将 x , y 看作定值，将 f ( x , y , z )只看作 z 的 函数， 函数，则
格林公式
5
1
xdy ydx
2 AMO
M
N
A(a,0)
1 2
0
a
x(
2
a ax
1)dx
(
ax x)dx
a a
40
xdx 1 a2 . 6
4
四、小结
1.连通区域的概念;
2.二重积分与曲线积分的关系
Q P
D
(
x
y
)dxdy
L
Pdx
Qdy
——格林公式;
3. 格林公式的应用.
应用格林公式, P 0, Q x 有
13
dxdy L xdy
D
OA xdy AB xdy BO xdy,
由于 OA
xdy
0,
BO xdy 0,
AB
xdy
dxdy
1 4
r
2
.
D
2. 简化二重积分
y
例 2 计算
e y2 dxdy ,其中D 是
D
x
y
)dxdy
L
Pdx
Qdy
(1)
其中 L是D的取正向的边界曲线,
公式(1)叫做格林公式.
20
证明(1)
若区域D 既是X 型 又是Y 型,即平行于 坐标轴的直线和L 至 多交于两点.
y
d x 1( y)
A c oa
E y 2(x)
D
B
x 2( y) Cy 1(x)
G
G
格林公式
d ( y xy x3 x4 ) 0. 34
C 不定积分法: u x2 x3 y, x
( x2 x3 y)dx x3 x4 xy C( y),
34
u x C( y), 又 u 1 x,
y
y
x C( y) 1 x, C( y) 1, C( y) y, 原方程的通解为 y xy x3 x4 C .
L P( x, y)dx Q( x, y)dy 0.
证明: 由格林公式得
L
P(
x,
y)dx
Q(
x,
y)dy
D
Q x
P y
dxdy
0
其中D是L所围平面区域.
（4）对G内的任意一条分段光滑的闭曲线 L,
L P( x, y)dx Q( x, y)dy 0. (1) 曲线积分 L P( x, y)dx Q( x, y)dy 在G内与路径
无关.
证明: 在G内任取两点M0, M1, y 设L1和L2是G内从M0到M1的任 意两条定向曲线, 现要证
Pdx Qdy Pdx Qdy
L1
L2
o
L1
M1
G
M0
L2
x
已知条件是什么?
Pdx Qdy 0
L1 L2
有关定理的说明： (1) 开区域 G 是一个单连通域.
(2) 函数P( x, y), Q( x, y)在 G 内具有一阶连
续偏导数.
两条件缺一不可 以上四个等价命题最好用的是
曲线积分 L P( x, y)dx Q( x, y)dy在G内与路
C 不定积分法: u x2 x3 y, x
( x2 x3 y)dx x3 x4 xy C( y),
34
u x C( y), 又 u 1 x,
y
y
x C( y) 1 x, C( y) 1, C( y) y, 原方程的通解为 y xy x3 x4 C .
L P( x, y)dx Q( x, y)dy 0.
证明: 由格林公式得
L
P(
x,
y)dx
Q(
x,
y)dy
D
Q x
P y
dxdy
0
其中D是L所围平面区域.
（4）对G内的任意一条分段光滑的闭曲线 L,
L P( x, y)dx Q( x, y)dy 0. (1) 曲线积分 L P( x, y)dx Q( x, y)dy 在G内与路径
无关.
证明: 在G内任取两点M0, M1, y 设L1和L2是G内从M0到M1的任 意两条定向曲线, 现要证
Pdx Qdy Pdx Qdy
L1
L2
o
L1
M1
G
M0
L2
x
已知条件是什么?
Pdx Qdy 0
L1 L2
有关定理的说明： (1) 开区域 G 是一个单连通域.
(2) 函数P( x, y), Q( x, y)在 G 内具有一阶连
续偏导数.
两条件缺一不可 以上四个等价命题最好用的是
曲线积分 L P( x, y)dx Q( x, y)dy在G内与路
格林公式
由格林公式得
C
Pdx
Qdy
D
(
Q x
P y
)d
0
定理2的应用
(1)求 Pdx Qdy
L
若积分与路径无关，可选取简单路径计算.
2
(
x
)
L
L3
L4
L1
L2
L3
L4
L1
L2
x
b
a
a P( x,1( x)) dx b P( x,2( x))dx b [P( x,1( x)) P( x,2( x))] dx
a
b
L1 y 1( x)
a P d P( x, y)dx
I
Q
D
(
x
P )d
y
0
P y
y2 x2 ( x2 y2 )2
Q x
(0,0) D 在D内不能用格林公式
在D内取一圆周l x2 y2 r 2 , r 0
记L及l所围成的复连通区域为D1
在D1 应用格林公式得
Ll
xdy x2
L1
（三）应用
Q
D
(
x
P )d
y
L
Pdx
Qdy
1.求 P( x, y)dx Q( x, y)dy
L
例1.(1)求 y4dx 4xy3dy，L : x2 y2 4, 取正向
解
L
设L所围闭区域D : x2 y2 4
格林公式的推导
格林公式的推导
格林公式是一个重要的数学定理，它建立了平面区域上的二重积分与其边界曲线的曲线积分之间的关系。
以下是格林公式的推导过程：
第一步，设D是一个简单封闭曲线围成的平面区域，函数$P(x,y)$和$Q(x,y)$在
D上具有一阶连续偏导数。
第二步，根据曲线积分和路径无关的条件，我们知道，如果存在一个函数$f(x,y)$，使得$Pdx + Qdy = f(x,y)ds$，其中$ds$是曲线D上的弧长，则曲线积分$\int_{L} Pdx + Qdy$与路径无关。
第三步，根据二重积分的性质，我们知道如果存在一个函数$f(x,y)$，使得$Pdx + Qdy = f(x,y)ds$，则$\int_{D} (Pdx + Qdy) = \int_{D} f(x,y)dxdy$。
第四步，根据第一步和第二步，我们可以得到$\int_{L} Pdx + Qdy = \int_{D} f(x,y)dxdy$。
这就是格林公式的推导过程。
需要注意的是，格林公式只适用于封闭曲线围成的区域。
如果区域不是封闭的，需要添加额外的边界条件或者采用其他方法进行处理。
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添线段 L1 , 它与L 所围区域为D , 则
I
L L1
L1
12xd xd y
D
1
(e1 12x1)d x 1
A
yL1
DB
L
1 o 1 x
D 的 边 1界1d为xL1x(2取12正x d向y)2e 2e
L
Pd
x
Qd
y
D
(
Q x
P y
里面顺时针方向.
D
负向
L
L的正向: 当观察者沿该方向行走时，D内在 他近处的那部分总在他的左边.
3、格林公式
定理1.设区域 D 由分段光滑正向闭曲线 L 围成 ,
函数
在 D 上有连续偏导数 , 则
L Pd x
Qd y
D
(
Q x
P )dxd y y
(格林公式)
注1 关键条件（1） L 是正向闭曲线；
3
xy
2
)d
y
P dx Q3dxy2 y2d[ux(yx3, y)] 的条件：P Q y x
此时：u( x, y) ( x, y) P( x, y)dx Q( x, y)d y ( x0 , y0 )
x
y
x0 P( x, y0 )dx y0 Q( x, y)d y
, y1 ) P
y0 )dx
(x, y)
d
x
yQy01 (Qx(,x1y,)yd)dyy
( x0 , y0 )
()
注3 若P (x,y)d x + Q (x,y)d y d u(x, y)，
则有
( x1 , y1 ) P( x, y)dx Q( x, y)d y ( x0 , y0 )
原式 =
L L1
L1
a
3 ( x2 y2 )d xd y
cos yd y
a
D
D 的正向边界为 L
sin
y
a a
L
Pd
x
Qd
y
D
(
Q x
P y
)d
xd
y
y
L
D
a L1
ox
a
思考
例4 计算
其中L为包含原点分段
光滑的正向闭曲线.这里 (0,0) L.
y1 y0
Q(
x1
,
y)d y
例6. 设积分
在xoy面上与路径无关，求(1)常数a 和 b, (2)此积分值，
其中L是
y sin x上从点 (0,0) 到 ( ,1) 的一段弧.
2
解 （1） P ax cos y y2 sin x,
由 P Q , 得 y x
Q bycos x x2 sin y,
D
L1
例1 求 L 2 y dx ( x y2e y )d y, L为
取逆时针方向.
解:令 P 2 y, Q ( x y2ey ), 则
由格林公式 , 得
原式
D
Q x
P y
dxd y
D 的边界为LDd(取xd正y向) ab
L另P解d x:（ Q参d数y 方D程(法Qx）
第三节 格林公式及其应用
一、格林公式
1.平面单连通区域
D
D
简言之:
单连通区域 ( 无洞区域 )
复连通区域 ( 有洞区域 )
设D为平面区域 ,如果D内任一闭曲线 所围的部分都属于D, 则称D为平面单连通 区域，否则称为复连通区域.
2. 平面区域D 的边界L的正向
简言之, 边界曲线的正向:
外面逆时针方向,
指明(书P186,定理11-4)
下列四个条件等价:
(1) 在 D 内每一点都有 P Q . y x
(2) 对D 中任意闭曲线 L ,都有 L Pdx Qdy 0.
(3) 对D 中任意曲线 L ,曲线积分 L Pdx Qd y 与路
径无关 , 只与起点及终点有关 .
(4)
如果有
L1 P d x Q d y L2 P d x Q d y
G •B
L1 L •A L2
则称 L P d x Qd y 在G内A,B两点处与路径L无关 ,
否则便说与路径L有关.
如果对于G中的任意两点,都有曲线积分与路径L
无关 , 那么就称该曲线积分在G内与积分路径无关.
定理2. 设D 是单连通域 , 函数
Pd
x
6 Qd
y
D
(
Q x
P y
)dxd
y
例3.计算 I L(e y 12x y)d x ( x e y cos y)d y, 其中
L L为曲线 y x2 上从点 A(1,1) 到点B(1,1)的一段弧.
解：P ey 12xy, Q xey cos y, Qx Py 12x
2
∴积分 =
OB BA
2 0
2x
d
x
1 0
2
4
sin
yd
y
o
B( ,0) x
2
2
与路径 无4 关co时s1,
( x1 , y1 ) P( x, y)dx Q( x, y)d y
( x0 , y0 )
x1 x0
P( x,
y0 )dx
y1 y0
Q(
x1 ,
P y
)d
xd
y
y L
D ox
烦！
例2. 计算 L =oABo, 如图。
解: P xy 2, Q x y,
则
原式 ?
其中
. y A(1,1) . .D
o (0,0) B(1,0) x
1d
0
x
x
0
(1
x)d
y
1
(1
0
x)
xDd的x 边 界1为L(取正向)
L
x1 x0
P( x,
y0 )dx
y1 y0
Q(
x1 ,
y)d
y
例7.
是否为
某个函数的全微分？如是，求出一个这样的函数.
解: P 6x y2 y3, Q 6x2 y 3xy2,
∵ P 12x y 3 y2
y ∴存在函数 u (x , y), 使得
P dux Q(6dxy2是 yu3()xd, xy)全(6微x分2 y 3xy2)Pd y Q
y x
此时：u( x, y) ( x, y) P( x, y)dx Q( x, y)d y ( x0 , y0 )
x
y
x0 P( x, y0 )dx y0 Q( x, y)d y
例7.
是否为
某个函数的全微分？如是，求出一个这样的函数.
x
0
0
dx
y 0
(6
x
2
y
不记
定理3. 设D 是单连通域 , 函数 在D内具有一阶连续偏导数 ,则 P(x,y)d x+Q(x,y)dy 在 D 内是函数
的全微分的充要条件为： P Q 在 D 内恒成立. y x
注1 du( x, y) P dx Q d y ux P, uy Q
注2 u( x , y ) 的求法为：
y
E
u( x, y) (x, y) P( x, y)dx Q( x, y)d y
( x0 , y0 )
y0 A
B
x x0
P(
x,
y0 )dx
y y0
Q(
x,
y)d
y
x0 x
[ ( x0, y0 ) 是 D 中任意取定的一点 ]
与路径无关时, ( x1 , y1 ) P( x, y)dx Q( x, y)d y ( x0 , y0 )
上半圆弧从点（2，1）到点（1，2）.
方法1：直接法（参数方程法） 方法2：格林公式法 （. 注意使用格林公式的条件）
（如果直接法繁、难，用格林公式！其本质是把 困难的直接法换成容易的直接法与二重积分) 方法3：如果判断出原积分与路径无关，则可选择 容易的积分路径.
例5. 求
其中L沿半径为R 的
上半圆弧从点（2，1）到点（1，2）. y B(1, 2)
y
设 P, Q 在 D 内具有一阶连续偏导数, 则有
L P d x Q d y 在 D 内与路径无关. 对 D 内任意闭曲线 L 有 L P d x Qd y 0
在 D 内有 Q P x y
在 D 内有 du P dx Qdy
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P
(a 2)xsin y ( ysin x)(2 b) 0
ab2
L P dx Q d y与路径无关
P Q y x
例6.
求此积分值，其中L是 y sin
的一段弧. a = b = 2
（2） ∵ 积分与路径无关
x
上从点
(0,
0)
y
到
( ,1)
2
A( ,1)
(*)
注2 当 P Q 时 , 积分(*)的求法 y1
E
y x