安徽省屯溪一中2015届高三第四次月考(数学理)

屯溪一中2015届高三第四次月考数学（理科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．若复数z满足()1z +=（i 为虚数单位），则z 在复平面内对应的点在（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 2. 命题“和为偶数的两个整数都为偶数”的否定是 （ ）A ．和不为偶数的两个整数都为偶数B ．和为偶数的两个整数都不为偶数C ．和不为偶数的两个整数不都为偶数D ．和为偶数的两个整数不都为偶数3．已知集合⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤-+=013x x xM ，{}3-≤=x x N ，则=⋃)(N M C R （ ）A ．{}1≤x xB ．{}1≥x xC ．{}1<x xD ．{}1>x x 4.“1=a ”是“函数ax ax y 22sin cos -=的最小正周期为π”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．由直线,,033x x y ππ=-==与曲线sin y x =所围成的封闭图形的面积为（ ）A ．BC．1 6．函数x xx xe e y e e ---=+的图像大致为（ ）7. 在ABC ∆中，D 是BC 边上的一点，4||,2||,||||==⎭⎫⎝⎛=AC AB λ． 若记b AC a AB ==,，则用b a,表示BD 所得的结果为 （ ） A ．b a 2121- B ．b a 3131- C ．b a 3131+- D ．b a 3121+128．以n S 表示等差数列{}n a 的前n 项的和，若65S S >，则下列不等关系不一定成立的是（ ）A ．4332a a >B ．61565a a a +>C ． 0345<-+a a aD ．712632a a a a <++9． 已知二次函数c bx ax x f ++=2)(的导数为)(/x f ，0)0(/>f ，对于任意的实数x 都有0)(≥x f ，则)0()1(/f f 的最小值为（ ） A ．23B ． 2C ．25 D ． 310．已知函数，则关于x 的方程（）的根的个数不可能为（ ）A ．3B ． 4C ． 5D ． 6二.填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．请把正确答案填在答题卡的相应位置． 11.在极坐标系中，点(1,)2π到直线2cos sin 20ρθρθ-+=的距离为 ．12.已知平面向量,a b 满足：||1,||2a b ==，且|2|10a b +=，则向量a 与2a b -的夹角为 ．13.在数列{}n a 中，若7211a a a ≤≤≤= ，且1a 、3a 、5a 、7a 成公比为q 的等比数列，2a 、4a 、6a 成公差为1的等差数列，则q 的最小值是 ．14.把函数()sin y x x R =∈的图象上所有的点向左平移6π个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到图象的函数表达式为 ． 15.定义全集U 的子集A 的特征函数为⎩⎨⎧=,0,1)(x f A AC x Ax U ∈∈，这里A C U 表示集合A 在全集U 中的补集．已知U B U A ⊆⊆,，给出以下结论： ①若B A ⊆,则对于任意U x ∈，都有)(x f A ≤)(x f B ； ②对于任意U x ∈，都有)(1)(x f x f A A C U -=；31,0()3,0x x f x xx x ⎧+>⎪=⎨⎪+≤⎩2(2)f x x a +=2a >③对于任意U x ∈，都有)()()(x f x f x f B A B A ⋅=⋂； ④对于任意U x ∈，都有)()()(x f x f x f B A B A +=⋃．其中正确的结论有 ．（写出全部正确结论的序号）三．解答题：（本大题共6小题，共75分） 16．（本小题满分12分）已知函数)36cos(2)(ππ+=x x f )50(≤≤x ，点A 、B 分别是函数)(x f y =图像上的最高点和最低点．（1）求点A 、B 的坐标以及⋅的值；（2）设点A 、B 分别在角α、β（[]πα2,0∈）的终边上，求)22sin(βα-的值．17．（本小题满分12分）在ABC ∆中, 090=∠ABC ，3=AB ,1=BC ，P 为ABC ∆内一点,90BPC ∠=︒.(1)若PC =,求PA ； (2)若0120=∠APB ,求ABP ∆的面积S .18．（本小题满分12分）设公差不为0的等差数列{}n a 的首项为1，且2a 、5a 、14a 构成等比数列． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）若数列{}n b 满足n n n a b a b a b 2112211-=+++ ，+∈N n ，求{}n b 的前n 项和n T ．19．（本小题满分12分）对于定义域为[]1,0上的函数)(x f ，如果同时满足下列三条：①对任意的[]1,0∈x ， 总有)(x f ≥0；②1)1(=f ；③若1x ≥0，2x ≥0，21x x +≤1，都有)(21x x f +≥)()(21x f x f +成立，则称函数)(x f 为理想函数．(1) 若函数)(x f 为理想函数，求)0(f 的值；(2) 判断函数12)(-=x x g （[]1,0∈x ）是否为理想函数，并给出证明； (3) 若函数)(x f 为理想函数，假定存在[]1,00∈x ，使得)(0x f []1,0∈，且[])()(00x f x f f =，求证：00)(x x f =．20．（本小题满分13分）现有六名篮球运动员进行传球训练，由甲开始传球（第一次传球是由甲传向其他五名运动员中的一位），若第n 次传球后，球传回到甲的不同传球方式的种数记为n a . (1) 求出1a 、2a 的值，并写出n a 与1-n a n (≥)2的关系式；(2) 证明数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧-615nn a 是等比数列，并求出数列{}n a 的通项公式； (3) 当n ≥2时，证明：10311132<+++n a a a .21．（本小题满分14分） 已知函数x x f ln )(=，bx ax x g +=221)(（0≠a ）. (1) 若2-=a 时，函数()()()h x f x g x =-在其定义域上是增函数，求实数b 的取值范围； (2) 在（1）的结论下，设函数)(],2ln ,0[,)(2x x be ex x xϕϕ求函数∈+=的最小值；(3) 设函数)(x f 的图象1C 与函数)(x g 的图象2C 交于点P 、Q ，过线段PQ 的中点R作x 轴的垂线分别交1C 、2C 于点M 、N ，问是否存在点R ，使1C 在M 处的切线与2C 在N处的切线平行？若存在，求出R 的横坐标；若不存在，请说明理由.屯溪一中2015届高三第四次月考数学（理科）二.填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．请把正确答案填在答题卡的相应位置。

11.55； 12．2π； 13.33； 14. )621sin(π+=x y ； 15．①②③．三．解答题：（本大题共6小题，共75分） 16．（本小题满分12分）17．（本小题满分12分）18．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）设等差数列{a n}的公差为d（d≠0），则∵a2，a5，a14构成等比数列，∴a25＝a2a14，即(1＋4d)2＝(1＋d)(1＋13d)，解得d＝0（舍去），或d＝2．∴a n ＝1＋(n －1)×2＝2n －1．………………………………………4分（Ⅱ）由已知b 1a 1＋b 2a 2＋…＋b n a n ＝1－12n ，n ∈N *，当n ＝1时，b 1a 1＝12；当n ≥2时，b n a n ＝1－12n －(1－12n －1)＝12n ．∴b n a n ＝12n ，n ∈N *． 由（Ⅰ），知a n ＝2n －1，n ∈N *， ∴b n ＝2n －12n ，n ∈N *． 又T n ＝12＋322＋523＋…＋2n －12n ，12T n ＝122＋323＋…＋2n －32n ＋2n －12n ＋1． 两式相减，得12T n ＝12＋(222＋223＋…＋22n )－2n －12n ＋1＝32－12n －1－2n －12n ＋1， ∴T n ＝3－2n ＋32n ．……………………………………………………………12分19．（本小题满分12分） 解析：（1）取021==x x 得)0(f ≥)0(f +)0(f ，则)0(f ≤0，又)0(f ≥0，故)0(f 0=；（2）当[]1,0∈x 时，函数)(x g ≥0，满足条件①；又1)1(=g 满足条件②； 若1x ≥0，2x ≥0，21x x +≤1， 则[])()()(2121x g x g x x g +-+[])12()12(122121-+---=+x x x x )12)(12(21--=x x ≥0，满足条件③，故函数)(x g 是理想函数．（3）由条件③，任给[]1,0,∈n m ，当n m <时，[]1,0∈-m n ，且)()(m m n f n f +-=≥)()(m f m n f +-≥)(m f ．若)(00x f x <，则)(0x f ≤[]00)(x x f f =，矛盾．若)(00x f x >，则)(0x f ≥[]00)(x x f f =，矛盾． 故00)(x x f =． 20．（本小题满分13分）解．（1）01=a ,52=a ，第1-n 次传球后，不同传球方式种数为15-n ，不在甲手中的种数为115---n n a ， ∴当n ≥2时，115---=n n n a a ……5分 （2）由n a =－1-n a ＋15-n 得，)615(5161511--=---n n nn a a ， 又616151-=-a ，则数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧-615n n a 是以61-为首项，51-为公比的等比数列.从而1)51(61615--⋅-=-n n n a ，故6)1(55nn n a -+=. …………9分（3）.当n n (≥)3为奇数时, 则1-n 为偶数5565561111-++=+--nn n n a a 25555555556111-⋅-⋅+⋅+⋅=---n n n n n n 25545555611-⋅+⋅+⋅=--n nn n n ⋅<6nn n n 555511⋅+--)5151(61n n +=- =++n a a a 11132 )11()11(132nn a a a a ++++- ＜++)5151[(632)]5151(1n n ++- 511])51(1[25161--=-n103)51(11031<⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=-n 当n n (≥)2为偶数时, 则1+n 为奇数,从而<++n a a a 11132 )11()11(132++++n n a a a a 103< 综上，当n ≥2时,10311132<++n a a a . …………13分 21．（本小题满分14分）解：（1）依题意：.ln )(2bx x x x h -+= ∵),0()(+∞在x h 上是增函数，∴),0(021)(+∞∈≥-+=x b x x x h 对恒成立， ∴.21x x b +≤∵.2221,0≥+>x xx 则 ∴b 的取值范围为].22,(-∞ …………4分（2）设]2,1[,,2∈+==t bt t y e t x则函数化为，即22()24b b y t =+- ，∴当]2,1[,222,12在函数时即y b b≤≤-≤-上为增函数，当t=1时，.1min +=b y 当,2,24,221时当时即bt b b -=-<<-<-<;42min b y -=…………7分当2,4,[1,2]2bb y -≥≤-即时函数在上为减函数，当t=2时，min 42.y b =+ 综上所述，当.1)(,222+≤≤-b x b 的最小值为时ϕ当.4)(,242b x b --<<-的最小值为时ϕ b x b 24)(,4+-≤的最小值为时当ϕ ………8分（3）设点P 、Q 的坐标是.0),,(),,(212211x x y x y x <<且 则点M 、N 的横坐标为.221x x x +=C 1在M 处的切线斜率为.2211x x k +=C 2在点N 处的切线斜率.2)(212b x x a k ++=假设C 1在点M 处的切线与C 2在点N 处的切线平行，则21k k =，即.2)(22121b x x a x x ++=+ 则)(2)()(21221222112x x b x x a x x x x -+-=+-)2()2(121222bx x a bx x a +-+= 12y y -=12ln ln x x -= 12lnx x =， 12122112121)1(2)(2ln x x x x x x x x x x +-=+-=∴ 设212(1)1,ln ,11x u u u u x u-=>=>+则…………………………① 令.1,1)1(2ln )(>+--=u u u u u r 则.)1()1()1(41)(222+-=+-='u u u u u u r ∵1>u ∴.0)(>'u r所以),1[)(+∞在u r 上单调递增，故0)1()(=>r u r ， 则1)1(2ln +->u u u ， 这与①矛盾，假设不成立,故C 1在点M 处的切线与C 2在点N 处的切线不平行． .……13分。