10.3组合
材料力学第10章 组合变形
因此，截面O为危险截面。
危险截面上，由轴力引起的正应力均匀分布，其值
为
，由弯矩引起的正应力线性分布，其值为
。利用叠加原理，将拉伸及弯曲正应力叠加
后，危险截面上正应力沿截面高度的变化情况如图10.5
（e）所示，仍为线性分布。而且可以看出，最大拉应
力和最大压应力分别发生在O截面上、下边缘各点，其
值为
（10.4）
图10.5
依据上述分析，弯拉（压）组合变形时危险点处于单向应力状态，所以可将 截面上的σmax与材料的许用应力相比较建立其强度条件。对于拉压强度相等 的材料，强度条件为
对于抗拉与抗压性能不同的材料，强度条件为
下面举例说明弯拉（压）组合变形的强度计算。 例10.2如图10.6（a）所示的钢支架，已知载荷F=45 kN，尺寸如图。 （1）如材料为钢材，许用应力［σ］=160 MPa，试选择AC杆的工字钢型号。 （2）如材料为铸铁，许用拉应力［σt］=30 MPa，许用压应力［σc］=160 MPa，且AC杆截面形式和尺寸如图10.6（e）所示，A=15×10－3 m2，z0=75mm ，Iy=5.31×10－5 m4。试校核AC杆的强度。
其力矩矢量分别与y轴和z轴的正向一致（见图10.2（b））。 为了确定横截面上最大正应力点的位置，先求截面中性轴位置。记中性轴上 任一点的坐标为(y0，z0)，由于中性轴上各点处的正应力均为零，所以由式 可得中性轴方程为
（10.2） 可见，中性轴是一条通过横截面形心的直线（见图10.2（c）），其与y轴的 夹角θ为
图10.3 例10.1如图10.4（a）所示，20a号工字钢悬臂梁承受均布载荷q和集中力
。已知钢的许用弯曲正应力［σ］=160 MPa，a=1 m。试求梁的许可 载荷集度［q］。 解由于梁所受到的横向力不在梁的两个纵向对称面内，此时可以将横向力向 两个纵向对称面分解（向y和z轴分解），从而将其看成是梁在其两个相互垂
10.3排列组合中的分堆问题4汇总
A
１ 3
C
4 6
C
1 2
C
1 1
变式练习
1、12本不同的书分给甲、乙、丙三人按下列条件， 各有多少 种不同的分法？
（1）一人三本，一人四本，一人五本；
（2）甲三本，乙四本，丙五本；
（3）甲两本，乙、丙各五本；
（4）一人两本，另两人各五本·
(1)
C
3 12
C
4 9
C
5 5
A
3 3
(2)
C
3 12
C
4 9
C132
C
3 9
C36
C33
A
4 4
2：10本不同的书
（1）按2∶2∶2∶4分成四堆有多少种不同 的分法？
（2）按2∶2∶2∶4分给甲、乙、丙、丁四 个人有多少种不同的分法？
(1)
C120C82C62C44 A33
、(2)
4C120C82C62C44
四、非均分组问题
例3 （1）6本不同的书按1∶2∶3分成三堆有多少种
排列组合中的 分堆问题
学海导航：理解分堆的几种情况，掌握
其基本技巧和方法
一、平均分组问题
理论部分：平均分成的组，不管它们的顺序如何，都 是一种情况，所以分组后要除以Amm，即m!，其中m 表示组数。
例如 把abcd分成平均两组 有_____多少种分法？
ab
cd
ac
bd
C
2 4
C
2 2
A
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ2 2
3
ad
C
2 2
例2（2）12支不同的笔按3：3：2：2：2分给A、B、 C、D、E五个人有多少种不同的分法？
10组合体的三视图表达几何产品造型设计与分析课件
1.弄清视图中图线的含义
中心线、轴线、对称线 一般用点画线表示。
粗实线和虚线的含 义有3种可能： 1）形体表面的积聚
性投影 2）形体表面棱线的
投影 3）回转表面轮廓线
的投影
轴线
平面的积 聚性投影
表面棱线的投影
对称线
圆柱面轮廓 线的投影
中心线
19
2. 利用封闭线框，判断形体表面的相对位置关系
一般来说，视图中的一个封闭线框表示一个面的投影。这个面可 以是平面、曲面，或者光滑过渡的平面和曲面的组合。如果在视 图中出现线框套线框的情况，通常说明几个面凹凸不平或者有通 孔。
10
步骤2：布置视图
中心线 对称线
轴线
凸台
支撑板
圆筒
底板
肋板
轴线
基线
11
步骤3：画底稿
为了快速地画图，画图的先、后顺序是先画实体，再画孔、洞。 用细线逐个画出各个基本体的三视图，注意事项： （1）每个基本体的绘制，都应从反映其形状特征的视图画起。 先画主要部分，后画次要部分；先确定形体的位置，再绘制其 形状；先画整体形状，后画局部细节。 （2）对于每一基本体，最好是三个视图配合着画。利用投影 之间的对应关系，将几个视图配合起来画。这样可以节省测量 时间，提高绘图速度。 （3）注意各个基本体之间的相对位置关系。 （4）注意正确画出各形体的表面过渡关系。
3
2、相切 当两个形体表面相切时，如果两个表面在相切处光滑过渡， 由于不存在轮廓线，则不应将切线画出。如果两个表面在 相切处不是光滑过渡，则应画出切线。 无线
无线
●
4
有线
5
3、相交 两个形体的表面相交时，应画出它们的交线。 有线
有线
隔板法、插入法、捆绑法解决组合问题
1 10.3 组合六教学目标: 1掌握组合数的性质并能应用组合数的性质解题. 2培养学生应用公式、性质的能力. 教学重点: 隔板法、插入法、捆绑法解决组合问题. 教学难点: 隔板法、插入法、捆绑法. 教学过程: 讲授新课例1有10个相同的小球放入编号为1、2、3的三个不同盒子�7�6要求每个盒子非空共有多少种放法�7�7要求每个盒子放入的小球数不少于盒子的编号数共有多少种放法方法一:�7�6设xyz10 x≥y≥z 其正整数解为x8y1z1x7y2z1 x6y3z1x6y2z2x5y4z1x5y3z2 x4y4z2x4y3z3 则放法有:.36443313AA �7�7先将1个、2个小球分别放入第2、3个盒子再按�7�6放入每个盒子的小球数gt 0 设xyz7 x≥y≥z 其正整数解为x5y1z1x4y2z1 x3y3z1x3y2z2 则放法有:.1533313AA 方法二隔板法.如: 对应: �7�63629C �7�71526C 答:�6�7 练习1.某中学从高中7个班中选出12名学生组成校代表队参加市中学数学应用题竞赛活动使代表中每班至少有1人参加的选法有多少种611C462 练习2. 6人带10瓶汽水参加春游每人至少带1瓶汽水共有多少种不同的带法12659C 练习3.北京市某中学要把9台型号相同的电脑送给西部地区的三所希望小学每所小学至少得到2台共有种不同送法. 例2. 已知方程xyzw100求这个方程的正整数解的组数. 练习4. 已知方程x1x2x350求这个方程有多少组非负整数解. 1号2号3号1号2号3号1号2号3号2 隔板法就是把“”当成隔板把考察的对象分成若干份例3. 一座桥上有编号为123�6�710的十盏灯为节约用电又不影响照明可以把其中的三盏关掉但不能关掉相邻的两盏或三盏也不能关掉两端的路灯问不同的关灯方法有多少种练习5. 一条长椅上有9个座位3个人坐若相邻2人之间至少有2个空椅子共有几种不同的坐法例4. 一条长椅上有七个座位四人坐要求三个空位中有两个空位相邻另一个空位与这两个相邻空位不相邻共有几种坐法课堂小结 1. 隔板法2. 插入法3. 捆绑法. 捆绑法和插空法是解排列组合问题的重要方法之一主要用于解决quot相邻问题quot及quot不邻问题quot。
第十章 应力状态,强度理论与组合变形1
2 2
s
2 3
2(s1s 2
s 2s 3
s 3s1 )]
(10 11)
用主应力表示的体积改变比能为：
uV
= 1 2
6E
(s1 s 2
s 3 )2
用主应力表示的形状改变比能为：
usd
=
u
uv
=
1
6E
s 1
s2 2
s 2
s3
2
s 3
s
1
2
(10-13)
14
强度理论
问题：
复杂应力状态下 的强度？
屈服判据 s1-s3= sys Tresca条件, 1864, 法
实验验证： 很好地预测了塑性材料屈服。
设计：
强度条件： s1-s3[s]=sys/n
19
10.2.2 延性材料的屈服强度理论
四、形状改变比能理论（第四强度理论）
？ ？ 思考： Tresca条件与s2无关
滑移改变形状 能量
假说： 延性材料屈服取决于其形状改变比能 ud。
1 2
(s 1 s 2 )2 (s 2 s 3 )2 (s 3 s 1 )2 [s ] = s ys / n
21
强度理论汇总：
强度条件的一般形式： 工作应力许用应力
相当应力
破 s1 理论 坏
e1 理论
sr [s]
sr1 = s1 常用
脆性破坏 [s]=sb/n 塑性屈服 [s]=sys /n
5
注意到txy=tyx，解得：
sa=sxcos2a+s ysin2a-2t xy sinacosa t a=(s x-s y)sinacosa+txy(cos2a -sin2a)
排列组合问题(教案
排列组合问题(教案)第一章：排列与组合的基本概念1.1 排列的概念：排列是指从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素，按照一定的顺序排成一列的过程。
1.2 组合的概念：组合是指从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素，但与排列不同的是，组合不考虑元素的顺序。
1.3 排列数与组合数的表示：排列数用符号A(n,m)表示，组合数用符号C(n,m)表示。
第二章：排列数的计算方法2.1 排列数的直接计算方法：A(n,m) = n ×(n-1) ×(n-2) ××(n-m+1)，当n≥m时成立。
2.2 排列数的递推计算方法：A(n,m) = A(n-1,m-1) ×(n-m+1)，当n≥m时成立。
2.3 排列数的周期性：对于任意的正整数n和m，A(n,m)与A(n,n-m)相等。
第三章：组合数的计算方法3.1 组合数的直接计算方法：C(n,m) = A(n,m) / m!，当n≥m时成立。
3.2 组合数的递推计算方法：C(n,m) = C(n-1,m-1) + C(n-1,m)，当n≥m时成立。
3.3 组合数的性质：C(n,m) = C(n,n-m)，且C(n,m) = C(n-1,m-1) + C(n-1,m)。
第四章：排列组合的应用实例4.1 人员选拔问题：从n个人中选拔m个人，有多少种不同的选拔方式？4.2 活动安排问题：有n个活动，每个活动可以独立进行或进行，有多少种不同的安排方式？4.3 物品分配问题：有n个相同的物品，需要分成m组，每组至少有一个物品，有多少种不同的分配方式？第五章：排列组合问题拓展5.1 错位排列问题：将一个长度为n的序列中的每个元素错位排列，求错位排列的总数。
5.2 循环排列问题：将一个长度为n的序列进行循环排列，求循环排列的总数。
5.3 限制条件的排列组合问题：在排列组合问题中，添加一些限制条件，如元素不可重复使用等，求解符合条件的排列组合总数。
10.3组合⑴-组合与组合数公式
例6 圆周上有10个点，以任意三点为顶点画圆 内接三角形，一共可以画多少个？
解
巩 固 知 识 典 型 例 题
可以画出的圆内接三角形的个数为 分析 3 C10 120个． 只要选出 3! 三个点三角 即可以画出120个圆内接三角形． 形就唯一确 定，与三个 点的排列顺 序无关，所 以是计算从 10个不同元 素中取3个 元素的组合
新授概念
组合定义:
一般地，从n个不同元素中取出m（m≤n） 个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m 个元素的一个组合． 思考: 排列与组合的概念，它们有什么共同点、不同点？ 共同点:都要“从n个不同元素中任取m个元素” 不同点:对于所取出的元素，排列要“按照一定的顺序 排成一列”，而组合却是“不管怎样的顺序并成一 组”． 排列与元素的顺序有关，而组合则与元素的顺序无关
n n m m m m
n ( n 1)( n 2) ( n m 1) 组合数公式: C m Am m! P
m n m P An
n! m P Am ,A Pm m! n (n m) !
m n
被选数的阶乘
n! m Cn m !(n m)!
剩余数的阶乘 选出数的阶乘
例题讲解 例1 判断下列问题是组合问题还是排列问题? (4)10人聚会，见面后每两人之间要握手相互问 候，共需握手多少次? 组合问题
(5)从4个风景点中选出2个安排游览,有多少种 不同的方法? 组合问题
(6)从4个风景点中选出2个,并确定这2个风景点 的游览顺序,有多少种不同的方法? 排列问题
深化理解 如:从 a , b , c三个不同的元素中取出两个元素的所 有组合分别是: ab , ac , bc (有3个组合) 如:已知4个元素a , b , c , d ,写出每次取出两个元素 的所有组合. a b c
容规、国标对检测比例的规定
新《容规》的规定1. 无损检测要求压力容器设计单位应当根据本规程、本规程引用标准和JB/T4730的要求在设计图样上规定所选择的无损检测方法、比例、质量要求及其合格级别等。
2.钢板超声检测2.1 检测要求厚度大于或者等于12mm的碳素钢和低合金钢钢板（不包括多层压力容器的层板）用于制造压力容器壳体时，凡符合下列条件之一的，应当逐张进行超声检测：(1) 盛装介质毒性程度为极度、高度危害的；(2) 在湿H2S腐蚀环境中使用的；(3) 设计压力大于或者等于10MPa的；(4) 本规程引用标准中要求逐张进行超声检测的。
2.2 检测合格标准钢板超声检测应当按JB/T 4730 《承压设备无损检测》的规定进行，用于本规程2.5.1第(1)项至第(3)项的钢板，合格等级不低于Ⅱ级，用于本规程2.5.1第(4)项的钢板，合格等级应当符合本规程引用标准的规定。
3.接管与壳体之间接头设计钢制压力容器的接管（凸缘）与壳体之间的接头设计以及夹套压力容器的接头设计，可参照本规程引用标准进行。
有下列情况之一的，应当采用全焊透结构：(1)介质为易爆或者介质毒性为极度危害和高度危害的压力容器；(2)要求气压试验或者气液组合压力试验的压力容器；(3)第Ⅲ类压力容器；(4)低温压力容器；(5)进行疲劳分析的压力容器；(6)直接受火焰加热的压力容器；(7)设计图样规定的压力容器。
4.焊接返修焊接返修（包括母材缺陷补焊）的要求如下：(1)应当分析缺陷产生的原因，提出相应的返修方案；(2)返修应当按本规程4.2.1进行焊接工艺评定或者具有经过评定合格的焊接工艺规程（WPS）支持，施焊时应当有详尽的返修记录；(3)焊缝同一部位的返修次数不宜超过2次，如超过2次，返修前应当经过制造单位技术负责人批准，并且将返修的次数、部位、返修情况记入压力容器质量证明文件；(4)要求焊后消除应力热处理的压力容器，一般应当在热处理前焊接返修，如在热处理后进行焊接返修，应当根据补焊深度确定是否需要进行消除应力处理；(5)有特殊耐腐蚀要求的压力容器或者受压元件，返修部位仍需保证不低于原有的耐腐蚀性能；(6)返修部位应当按照原要求经过检测合格。
排列与组合知识学习材料
10.2 排列典例1、从甲、乙、丙3名同学中选出两名参加某天的一项活动，其中1名同学参加上午的活动，1名同学参加下午的活动，有多少种不同的选法？2、从a 、b 、c 、d 这4个字母中，；每次取出3个按顺序排成一列，共有多少种不同的排法？例1、计算:(1)316A ; (2)66A ; (3)46A .例2、某年全国足球甲队（A组）联赛共有14队参加，每队都要与其余各队在主、客场分别比赛一次，共进行多少场比赛？例3、（1）有5本不同的书，从中选3本送给3名同学，每人各1本，共有多少种不同的送法？（2）有5 种不同的书，要买3本送给3名同学，每人各一本，共有多少种不同的送法？例4、某信号兵用红、黄、蓝3面旗从上到下挂在竖直的旗杆上表示信号，每次可以任挂1面、2面或3面，并且不同的顺序表示不同的信号，一共可以表示多少种不同的信号？例5、从0到9这10个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数？排列练习一1、写出：（1）从4个元素a、b、c、d中任取两个元素的所有排列；（2）从5个元素a、b、c、d、e中任取两个元素的所有排列.2、计算：（1）415A ； （2）77A ； （3）28482A A -； （4）712812A A .3、计算下表中的阶乘数，并填入表中：4、选择题：（1）89161718⨯⨯⋅⋅⋅⨯⨯⨯等于（ ）A 、818A . B 、918A . C 、1018A . D 、1118A .（2）下列各式中，不等于!n 的是（ ）A 、nn A . B 、1111+++n n A n . C 、n n A 1+. D 、11--n n nA .5、求证：（1）11--=m n m n nA A ； （2）66778878A A A +-.6、从参加乒乓球团体比赛的5名运动员中选出3名进行某一场比赛，并排定他们的出场顺序，有多少种不同的方法？8、从4种蔬菜品种中选出3种，分别种植在不同土质的3块土地上进行试验，有多少种不同的种植方法？排列练习二1、计算：（1）243545A A +； （2）44342414A A A A +++.2、求证：（1）11211--++=-n n n n n n A n A A ；（2）!!)1()!1(!!)!1(k n k n k n k n •+-=--+.3、求下列各式中的n ：（1）33210nnA A =； （2）4345=+nnn A A A .4、填空：（1）已知591010⨯⋅⋅⋅⨯⨯=mA ，那么=m ▁▁▁▁▁； （2）已知362880!9=，那么=79A ▁▁▁▁▁； （3）已知562=n A ，那么=n ▁▁▁▁▁； （4）已知2427-=n n A A ，那么=n ▁▁▁▁▁.5、一个火车站有8个岔道，停放4列不同的火车，有多少种不同的停放方法（假设每股岔道只能停放1列火车）？6、一步纪录影片在4个单位轮映，每个单位放映一场，有多少种轮换次序？7、（1）由数字1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字的正整数？（2）由数字1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复在数字，并且比13000大的正整数？8、（1）7个人站在一排，如果甲必须站在正中间，有多少种排法？ （2）7个人站在一排，如果甲、乙2人必须站在两端，有多少种排法？（3）7个小孩站成两排，其中3个女孩站在前排，4个男孩站在后排，有多少种排法？ （4）7个人站成两排，其中前排站3人，后排站4人，有多少种排法？9、学校要安排一场文艺晚会的11个节目的演出顺序.除了第一个节目和最后一个节目已经确定外，4个音乐节目要求排在第2、5、7、10的位置，3个舞蹈节目要求排在第3、6、9的位置，2个文艺节目要求排在第4、8的位置，共有多少种不同的排法？10、求证：（1）5847575A A A =+； （2）m n m n m n A mA A 11+-=+.10.3 组合练习一1、从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参加一项活动，有多少种不同的选法？2、计算：（1）47C ； （2）710C .3、求证：11+•-+=m nm n C mn m C .4、甲、乙、丙、丁4足球队举行单循环赛： （1）列出所有比赛各场的双方； （2）列出所有冠亚军的所有情况.5、已知平面内D C B A ,,,这4个点中任何3个点都不在一条直线上，写出由其中每3个点为顶点的所有三角形.6、写出：（1）从5个元素e d c b a ,,,,中任取2个元素的所有组合？ （2）从5个元素e d c b a ,,,,中任取3个元素的所有组合.7、从5个元素e d c b a ,,,,中任取2个元素的所有排列.8、计算：（1）26C ； （2）38C ； （3）2637C C -； （4）253823C C -.组合练习二1、（1）平面内有10个点，以其中每2个点为端点的线段共有多少条？ （2）平面内有10个点，以其中每2个点为端点的有向线段共有多少条？2、一个口袋内装有大小相同的7个白球和一个黑球. （1）从口袋内取出3个球，共有多少种取法？（2）从口袋内取出3个球，使其中含有1个黑球，有多少种取法？ （3）从口袋内取出3个球，使其中不含黑球，有多少种取法？3、在100件产品中，有98件合格品，2件次品,从这100件产品中任意抽出3件. （1）一共有多少种不同的抽法？（2）抽出的3件中恰好有1件是次品的抽法有多少种？ （3）抽出的3件中至少有1件是次品的抽法有多少种？4、计算：（1）1720C ； （2）98100C .5、选择题：=+612512C C （ ）A 、513C . B 、613C . C 、1115C . D 、712C .6、求证：（1）59584737C C C C =++；（2）55545352515052=+++++C C C C C C .7、6个朋友聚会，每两人握手1次，一共握手多少次？8、学校开设了6门选修课，要求每个学生从中选学3门，共有多少种不同的选法？9、从3、5、7、11这四个质数中任取两个相乘，可以得到多少个不相等的积？组合练习三1、计算：（1）315C ； （2）197200C ； （3）4836C C ÷； （4）21-+•n n n n C C .2、求证：（1）11111----+++=m n m n m n m n C C C C ；（2）12112++-+=++m n m n m n m n C C C C ..3、圆上有10个点（1）过每2个点画一条弦，一共可以画多少弦？（2）过每3个点画一个圆内接三角形，一共可以画多少个园内接三角形？4、（1）凸5边形有多少条对角线？ （2）凸n 边形有多少条对角线？5、壹圆、贰圆、伍圆、拾圆的人民币各一张，一共可以组成多少种币值？6、（1）空间中有8个点，其中任何4个点不共面，过每3个点作一个平面，一共可以作多少个平面？（2）空间中有10个点，其中任何4个点不共面，，以每4个点为顶点作一个四面体，一共可以作多少个四面体？7、填空：（1）有3长参观券，要在5人中确定3人去参观，不同方法的种数是▁▁▁▁▁；（2）要从5件不同的礼物中选出3件分送给3位同学，不同方法的种数是▁▁▁▁▁；（3）5名工人中分别要在3天中选择1天休息，不同方法的种数是▁▁▁▁▁；（4）集合A有m个元素，集合B有n个元素，从两个集合中各取出一个元素，不同方法的种数是▁▁▁▁▁.8、在一次考试的选做题部分要求在第1题的4个小题中选做3个小题，在第2题的3个小题中选做2个小题，在第3题的2个小题中选做1个小题，，有多少种不同的选法？9、从5名男生和4名女生中选择4人去参加辩论比赛.（1）如果4人中男生和女生各选2人，有多少种选法？（2）如果男生中的甲和女生中的乙必须在内，有多少种选法？（3）如果男生中的甲和女生中的乙至少有1人在内，有多少种选法？（4）如果4人必须既有男生又有女生，有多少种选法？10、6人被同时邀请参加一项活动，必须有人去，去几人自行决定，共有多少种不同的去法？11、在200件产品中，有2件次品，从中任取5件：（1）“其中恰有2件次品”的抽法有多少种？（2）“其中恰有1件次品”的抽法有多少种？（3）“其中没有次品”的抽法有多少种？（4）“其中至少有1件次品”的抽法有多少种？12、从1,3,5,7,9中任取3个数字，再从2,4,6,8中任取2个数字，一共可以组成多少个没有重复数字的五位数？13、甲、乙、丙、丁、戊5名学生进行某种劳动技术比赛，决出了第1名到第5名的名次。
10.3资产组合平衡分析法
【资产组合平衡分析法】
• 假设：
– 1.本国居民持有三类资产：本国货币（M）、本国债券（BP）和外 国债券（FP）
本国货币M
居民（私人部门）财富
本币标价
居民 本国债券BP 外国债券FP 外币标价
W M BP S FP S为直接标价法的汇率
国际金融 international finance
bid did bW FP dS 0
dS bid 0
did
bW FP
国际金融 international finance
【资产组合平衡分析法】
• 本国债券市场均衡曲线：汇率与 利率组合
S
B0
A BPD<BPS
B BPD>BPS B0
id
• 本国债券市场均衡曲线的移动
• 本国债券供应增加，曲线右移
• 假设： – 5.本国私人部门财富（W）影响因素
根据 W M BP S FP
第一类：M、BP、FP等资产的变动 第二类：S的变动
国际金融 international finance
【资产组合平衡分析法】
• 假设： – 6.资产的收益与风险 本外币资产不完全替代，非抵补 利率平价未必成立
id i f S~ E
S F1 S2 F0
S1
E1 E0
M0
右移
• 本币贬值，本国利率下降
M1 M0
F1
B0
FF0
id1 id0
id
国际金融 international finance
【资产组合平衡分析法】
• 相对量变动
情形三： 中央银行买入外国债券，卖出 本国债券，私人部门持有本国 债券增加，外国债券减少
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n! A = (n m)!
m n
全排列数
问题
丙三人中选出2人 其中1人做 ( 1) 从甲 , 乙 , 丙三人中选出 人 , 其中 人做 ) 从甲, 正式主持人,另一名做候补主持人, 正式主持人,另一名做候补主持人,有多少种不 同的方法? 同的方法? 丙三人中选出2人共同主持节目 人共同主持节目, (2)从甲,乙,丙三人中选出 人共同主持节目, )从甲, 有多少种不同的选法? 有多少种不同的选法? 这两个问题的主要区别是什么? 这两个问题的主要区别是什么 区别是什么
练习
课本P99 练习 课本 1,5(1)( ), 6 )(3), , ( )(
小结
1,组合,组合数的概念,组合的特点. ,组合,组合数的概念,组合的特点. 2,组合与排列的区别与联系. ,组合与排列的区别与联系. 3,组合数公式的推导. ,组合数公式的推导. 4,应用组合数公式解决一些简单的组合 , 问题. 问题.
复习
问题1:什么叫做排列 排列的主要特征是什么? 排列? 问题 :什么叫做排列?排列的主要特征是什么? 一般地, 一般地,从 个不同元素中取出 m(m ≤ n) 个元素,按照一定的顺序排成一列, 个元素,按照一定的顺序排成一列,叫做从 n 个不 个元素的一个排列 排列. 同元素习题10.3 1,3,4,5 课本 , , , 预习课本P100~P103 预习课本
�
合.排列与元素的顺序有关,而组合与元素的 排列与元素的顺序有关,
顺序无关,这是它的根本区别. 顺序无关,这是它的根本区别. 根本区别 ab和ba是相同的排列吗?是相同的组合吗? 是相同的排列吗? 和 是相同的排列吗 是相同的组合吗?
如果两个组合中的元素完全相同, 如果两个组合中的元素完全相同,那么不管它们 顺序如何,都是相同的组合 相同的组合. 顺序如何,都是相同的组合. 当两个组合中的元素不完全相同时( 当两个组合中的元素不完全相同时(即使只有一 个元素不同),就是不同的组合 ),就是不同的组合. 个元素不同),就是不同的组合.
组合
abc
排列
abc bac cab acb bca cba acd cad dac adc cda dca
组合
abd
排列
abd bad dab adb bda dba bcd cbd dbc bdc cdb dcb
acd
bcd
这里的排列数与组合数关系有如何? 这里的排列数与组合数关系有如何? 排列数 关系有如何
(m n∈ N , 且 ≤ n) , m
*
n! ,上面的组合数公式还可写成 由于 A = 上面的组合数公式还可写成 (n m)!
m n
组合数公式
n! C = m!(n m)!
m n
(m n∈ N , 且 ≤ n) , m
*
例题
计算:( :(1) 例1 计算:( )C (2)C10 ) 7
4 7
练习: 个不同元素 练习:在4个不同元素 a,b,c,d 中, 2 C4 取出2个 共有多少种不同的组合? 取出 个,共有多少种不同的组合?
练习: 个不同元素 练习:在4个不同元素 a,b,c,d 中, 2 C4=6 取出2个 共有多少种不同的组合? 取出 个,共有多少种不同的组合?
请在组合的基础上列出所有不同的排列 请在组合的基础上列出所有不同的排列
m An n(n 1)(n 2)(n m+1) m 因此: Cn = m = 因此 Am m! * 这里m , n ∈ N ,且 m ≤ n 这个公式叫做组合 ,
m n
=C A
m n
m
m m
数公式.
组合数公式
m An n(n 1)(n 2)(n m+1) m 组合数公式 Cn = m = Am m!
组合数
从 n 个不同元素中取出 m m ≤ n ) ( 个元素的所有组合的个数, 个元素的所有组合的个数,叫做从 n 个 个元素的组合数 组合数. 不同元素中取出 m个元素的组合数. 记作: n 记作: m C
注意: 注意: m 是一个数,应该把它与"组合"区别开来. Cn 是一个数,应该把它与"组合"区别开来.
n
排列的主要特征是: 排列的主要特征是:与元素的顺序有关
个不同元素全部取出的一个排列, n 个不同元素全部取出的一个排列, 个不同元素的一个全排列 全排列. 叫做 n个不同元素的一个全排列.
复习
问题2:什么叫做排列数?它的公式是怎样的? 问题2 什么叫做排列数?它的公式是怎样的?
从 n个不同元素中取出 m m ≤ n )个 ( 元素的所有排列个数, 元素的所有排列个数,叫做从 n 个不同元素 m 个元素的排列数 排列数. 表示. 中取出 m个元素的排列数.用符号An 表示.
问题
丙三人中选出2人共同主持节目 人共同主持节目, (2)从甲,乙,丙三人中选出 人共同主持节目, )从甲, 有多少种不同的选法? 有多少种不同的选法? 从元素的角度看这问题, 元素的角度看这问题, 的角度看这问题 你能给出它较一般的说法吗? 你能给出它较一般的说法吗? 的元素里每次取出2个元素 从3个不同的元素里每次取出 个元素, 个不同的元素里每次取出 个元素, 不管怎样的顺序并成一组 并成一组, 不管怎样的顺序并成一组,一共有多少不 同的组? 同的组?
m + 1 m +1 C Cn 例2 求证: = 求证: nm
m n
本不同的书中选出3本借给某人 (4)从10本不同的书中选出 本借给某人, ) 本不同的书中选出 本借给某人, 有多少种不同的借法? 有多少种不同的借法?
例题
例 3:用排列数或组合数表示下列问题 , 并计算出 : 用排列数或组合数表示下列问题, 结果. 结果. 中任取两个数相加, (1)从1,3,5,7中任取两个数相加,可以得到 ) , , , 中任取两个数相加 多少个不同的和? 多少个不同的和? (2)从1,3,5,7中任取两个数相除,可以得到 中任取两个数相除, ) , , , 中任取两个数相除 多少个不同的商? 多少个不同的商? 个同学毕业后互相通了一次信, (3)10个同学毕业后互相通了一次信,一共写了多 ) 个同学毕业后互相通了一次信 少封信? 少封信? 个同学毕业后互通 打了多 (4)10个同学毕业后互通了一次电话,一共打了多 ) 个同学毕业后互通了一次电话, 少个电话? 少个电话?
判断下列各问题是排列问题还是组合问题 本不同的书中选出3本分别借给 (3)从10本不同的书中选出 本分别借给 ) 本不同的书中选出 丙三人,有多少种不同的借法? 甲,乙,丙三人,有多少种不同的借法? 本不同的书中选出3本借给某人 (4)从10本不同的书中选出 本借给某人, ) 本不同的书中选出 本借给某人, 有多少种不同的借法? 有多少种不同的借法?
组合 排列 组合 排列
ab,
ac,
ad ad da cd
ab ba ac ca bc, bd,
bc cb bd db cd dc
这里的排列数与组合数有何关系? 这里的排列数与组合数有何关系? 排列数 有何关系
1:列举从4个不同元素 :列举从 个不同元素 个不同元素a,b,c,d中取出 个元素的 中取出3个元素的 中取出 所有不同的组合. 所有不同的组合 2: 在列出所有组合的基础上列出所有不同的排列. 在列出所有组合的基础上列出所有不同的排列.
组合数公式
一般地, 一般地,求从 n 个不同元素中取出 m个元 m An , 素的排列数 可以分为以下2步 可以分为以下 步:
第1步,先求出从这 n 个不同元素中取出 m个元素 步 m 的组合数 Cn . 第2步,求每一个组合中 m个元素的全排列数 Am 步 . 根据分步计数原理,得到: 根据分步计数原理,得到: A
组合定义 一般地, 一般地,从 n 个不同元素中取出m 个元素并成一组, ( m ≤ n )个元素并成一组,叫做从 n 个元素的一个组 个不同元素中取出m 个元素的一个组
判断下列各问题是排列问题还是组合问题 (1)从不在同一条直线上的三点 A , B , C ) 每次取出两个点作一条直线, 中,每次取出两个点作一条直线,可以得到几条 不同的直线? 不同的直线? (2)从不在同一条直线上的三点 A , B , C ) 每次取出两个点作一条有向线段, 中,每次取出两个点作一条有向线段,可以得到 几条不同的有向线段? 几条不同的有向线段?