双曲线与方程_知识点总结_例题习题精讲_详细答案
双曲线知识点总结和典型习题
1．双曲线的定义平面内与两个定点F 1，F 2的距离的差的绝对值等于非零❶常数(小于|F 1F 2|)❷的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．集合P ＝{M |||MF 1|－|MF 2||＝2a }，|F 1F 2|＝2c ，其中a ，c 为常数且a ＞0，c ＞0. 2．双曲线的标准方程和几何性质x ≤－a 或x ≥a ，y ∈Ry ≤－a 或y ≥a ，x ∈R若将双曲线的定义中的“差的绝对值等于常数”中的“绝对值”去掉，则点的集合是双曲线的一支，具体是左支还是右支视情况而定．设双曲线上的点M 到两焦点F 1，F 2的距离之差的绝对值为2a ，则0＜2a ＜|F 1F 2|，这一条件不能忽略． ①若2a ＝|F 1F 2|，则点M 的轨迹是分别以F 1，F 2为端点的两条射线；②若2a ＞|F 1F 2|，则点M 的轨迹不存在； ③若2a ＝0，则点M 的轨迹是线段F 1F 2的垂直平分线.[熟记常用结论]1．双曲线的焦点到其渐近线的距离为b .方程Ax 2＋By 2＝1表示双曲线的充要条件是什么？ 提示 若A >0，B <0，表示焦点在x 轴上的双曲线；若A <0，B >0，表示焦点在y 轴上的双曲线．所以Ax 2＋By 2＝1表示双曲线的充要条件是AB <0.2．若P 是双曲线右支上一点，F 1，F 2分别为双曲线的左、右焦点，则|PF 1|min ＝a ＋c ，|PF 2|min ＝c －a .3．同支的焦点弦中最短的为通径(过焦点且垂直于长轴的弦)，其长为2b 2a ；异支的弦中最短的为实轴，其长为2a . 4．若P 是双曲线上不同于实轴两端点的任意一点，F 1，F 2分别为双曲线的左、右焦点，则S △PF 1F 2＝b 2tan θ2，其中θ为∠F 1PF 2.5．若P 是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)右支上不同于实轴端点的任意一点，F 1，F 2分别为双曲线的左、右焦点，I为△PF 1F 2内切圆的圆心，则圆心I 的横坐标为定值a .6．等轴双曲线(1)定义：中心在原点，以坐标轴为对称轴，实半轴长与虚半轴长相等的双曲线叫做等轴双曲线． (2)性质：①a ＝b ；②e ＝2；③渐近线互相垂直；④双曲线方程λ=-22y x 5等轴双曲线上任意一点到中心的距离是它到两焦点距离的等比中项． 7．共轭双曲线1)定义：如果一条双曲线的实轴和虚轴分别是另一条双曲线的虚轴和实轴，那么这两条双曲线互为共轭双曲线． (2)性质：①它们有共同的渐近线；②它们的四个焦点共圆；③它们的离心率的倒数的平方和等于1.1与双曲线12222=-b y a x 共渐近线的双曲线系方程是λ=-2222by a x )0(≠λ与双曲线12222=-by a x 共焦点的双曲线系方程是12222=--+k b y k a x (1）若双曲线方程为12222=-b y a x ⇒渐近线方程：22220x y a b -=⇔x aby ±=.(2)若渐近线方程为x aby ±=⇔0=±b y a x ⇒双曲线可设为λ=-2222b y a x .(3)若双曲线与12222=-b y a x 有公共渐近线，可设为λ=-2222by a x （0>λ，焦点在x 轴上，0<λ，焦点在y 轴已知两圆C 1：(x －4)2＋y 2＝169，C 2：(x ＋4)2＋y 2＝9，动圆M 在圆C 1内部且和圆C 1相内切，和圆C 2相外切，则动圆圆心M 的轨迹方程为( )A.x 264－y 248＝1B.y 264＋x 248＝1C.x 248－y 264＝1 D .x 264＋y 248＝1 (1)已知圆C 1：(x ＋3)2＋y 2＝1和圆C 2：(x －3)2＋y 2＝9，动圆M 同时与圆C 1及圆C 2相外切，则动圆圆心M 的轨迹方程为____．(2)已知F 1，F 2为双曲线C ：x 2－y 2＝2的左、右焦点，点P 在C 上，|PF 1|＝2|PF 2|，则cos ∠F 1PF 2＝________. (3)已知F 是双曲线x 24－y 212＝1的左焦点，A (1,4)，P 是双曲线右支上的一动点，则|PF |＋|PA |的最小值为________．2．已知△ABC 的顶点A (－5,0)，B (5,0)，△ABC 内切圆的圆心在直线x ＝2上，则顶点C 的轨迹方程是( )A.x 24－y 221＝1(x ＞2)B.y 24－x 221＝1(y ＞2)C.x 221－y 24＝1 D.y 24－x 22＝1 4．已知圆C ：(x －3)2＋y 2＝4，定点A (－3，0)，则过定点A 且和圆C 外切的动圆圆心M 的轨迹方程为__________． 若双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的焦点到其渐近线的距离等于实轴长，则该双曲线的离心率为( )A. 5 B ．5 C. 2D ．2]经过点A (4,1)，且对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线方程为________．已知方程x 2m 2＋n －y 23m 2－n ＝1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n 的取值范围是( )A ．(－1,3)B ．(－1，3)C ．(0,3)D ．(0，3)6．若双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a>0，b>0)的一条渐近线经过点(3，－4)，则此双曲线的离心率为()A.73 B.54 C.43 D.53题型一：双曲线定义问题1.“ab <0”是“曲线ax 2+by 2=1为双曲线”的( )2.若R ∈k ，则“3>k ”是“方程13322=+--k y k x 表示双曲线”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C .充分必要条件 D.既不充分又不必要条件3.过双曲线x 2-y 2=8的左焦点F 1有一条弦PQ 在左支上，若|PQ |=7，F 2是双曲线的右焦点，则△PF 2Q 的周长是 .题型二：双曲线的渐近线问题1.双曲线42x －92y =1的渐近线方程是( )A . y =±23x B.y =±32x C.y =±49x D.y =±94x2.过点（2，－2）且与双曲线22x －y 2=1有公共渐近线的双曲线方程是()A .22y －42x =1 B.42x －22y =1 C.42y －22x =1 D.22x －42y =1题型三：双曲线的离心率问题1已知双曲线 x 2a 2 － y 2b2 = 1 (a ＞0,b ＞0)的左右焦点分别为F 1、F 2，点P 在双曲线的右支上，且∣PF 1∣=4∣PF 2∣,则此双曲线的离心率e 的最大值为 （ ）A ．43 B ．53 C ．２ D ．732.已知21,F F 是双曲线)0(,12222>>=-b a b y a x 的左、右焦点,过1F 且垂直于x 轴的直线与双曲线的左支交于A 、B两点,若2ABF ∆是正三角形,那么双曲线的离心率为 ( )A.2 B.3 C. 2 D. 33.过双曲线M:2221y x b -=的左顶点A 作斜率为1的直线l ,若l 与双曲线M 的两条渐近线分别相交于B 、C,且|AB|=|BC|,则双曲线M 的离心率是 ( )4.在给定双曲线中，过焦点垂直于实轴的弦长为2，焦点到相应准线的距离为21，则该双曲线的离心率为( )A.22 B. 2 C .2 D. 225..已知双曲线12222=-by a x (a>0,b<0)的右焦点为F ，若过点F 且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是A.( 1,2) B. (1,2) C .[2,+∞) D.(2,+∞)题型四：双曲线的距离问题1.设P 是双曲线22ax －92y =1上一点，双曲线的一条渐近线方程为3x －2y =0，F 1、F 2分别是双曲线的左、右焦点.若|PF 1|=3，则|PF 2|等于( )A.1或5 B.6 C .7 D.92.已知双曲线141222=-y x 的右焦点为F ，若过点F 的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此直线斜率的取值范围是A.(33-,33) B. (-3,3) C .[ 33-,33] D. [-3,3]3.已知圆C 过双曲线92x －162y =1的一个顶点和一个焦点，且圆心在此双曲线上，则圆心到双曲线中心的距离是____.题型五：轨迹问题1.已知椭圆x 2+2y 2 =8的两焦点分别为F 1、F 2，A 为椭圆上任一点。
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9 2
，
1
的双曲线的
标准方程。
x2 【例 6】设 F1、F2 分别是双曲线 a2
y2 b2
1的左、右焦点，若双曲线上存在点 A，使
F1AF2 90 ，且︱AF1︱=3︱AF2︱，求双曲线的离心率。
练习。已知双曲线 x2 y 2 1的离心率 e 2 3 ，过 A(a,0), B(0,b) 的直线到原点的距离
5
【例 2】求虚轴长为 12，离心率为 双曲线标准方程。
4
【例 3】求焦距为 26，且经过点 M（0，12）双曲线标准方程。
练习。焦点为 0,6，且与双曲线 x2 y2 1有相同的渐近线的双曲线方程是 （ 2
）
A． x2 y 2 1
12 24
B． y 2 x2 1
12 24
C． y 2 x2 1
24 12
D． x2 y 2 1
24 12
【例 4】与双曲线 x2 y2 1有公共渐进线，且经过点 A 3, 2 3 9 16
练习。求一条渐近线方程是 3x 4 y 0 ，一个焦点是 4,0的双曲线标准方程，并求此双曲
线的离心率．
解决双曲线的性质问题，关键是找好等量关系，特别是 e、a、b、c 四者的关系，构造出
F1 、F2
分别是双曲线的左、右焦点，若| PF1 | 3 ，则| PF2 |
（）
A．1 或 5
B． 6
C． 7
D． 9
11．已知双曲线
x2 a2
y2 b2
1, (a
0, b
0) 的左，右焦点分别为 F1, F2 ,点
P
在双曲线的右
支上，且| PF1 | 4 | PF2 | ,则双曲线的离心率 e 的最大值为 （ ）
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，根据已知条件，求出 即可。（3）与双曲线
有公共渐近线的双曲 当
时，双曲线的焦点在 x 轴上；当
时，双曲线的焦点在 y 轴上。
线方程可设为
（
，焦点在 轴上，
，焦点在 y 轴上）（4）等轴双
曲线的渐近线等轴双曲线的两条渐近线互相垂直，为
，因此等轴双曲线可设为
. 知识点六：双曲线图像中线段的几何特征：
双曲线 （1）实轴长
双曲线的焦点总在实轴上，因此已知标准方程，判断焦点位置的方法是：看 x2、y2 的系数，如
知识点五：双曲线的渐近线：（1）已知双曲线方程求渐近线方程：若双曲线方程为
， 果 x2 项的系数是正的，那么焦点在 x 轴上；如果 y2 项的系数是正的，那么焦点在 y 轴上。注意：对
于双曲线，a 不一定大于 b，因此不能像椭圆那样通过比较分母的大小来判定焦点在哪一条坐标轴上。
线）之间的关系，并注意方程思想的应用。若已知双曲线的渐近线方程
，可设双曲线方
双曲线的方பைடு நூலகம்为
程为
（
）.
8．已知双曲线实轴长 6，过左焦点 的弦交左半支于 、 两点，且
，设右焦点 ，求
当焦点在 y 轴上时，设双曲线的方程为
由题意，得
（舍去） 综上所得，双曲线的方程为
，解得
， ∴
的周长.
解析：由双曲线的定义有:
2. 若去掉定义中的“绝对值”，常数 满足约束条件：
（
），则动
点轨迹仅表示双曲线中靠焦点 的一支；若
（
），则动点轨迹仅表
（4）离心率： ①双曲线的焦距与实轴长的比叫做双曲线的离心率，用 e 表示，记作
。
示双曲线中靠焦点 的一支；
双曲线知识点及例题
双曲线知识点一：双曲线的定义: 在平面内，到两个定点、的距离之差的绝对值等于常数（大于0且）的动点的轨迹叫作双曲线的轨迹叫作双曲线..这两个定点、叫双曲线的焦点，两焦点的距离叫作双曲线的焦距两焦点的距离叫作双曲线的焦距. . 注意：注意：1. 1. 双曲线的定义中，常数双曲线的定义中，常数应当满足的约束条件：，这可以借助于三角形中边的相关性质“两边之差小于第三边”来理解； 2. 2. 若去掉定义中的“绝对值”，常数若去掉定义中的“绝对值”，常数满足约束条件：（），则动点轨迹仅表示双曲线中靠焦点的一支；若（），则动点轨迹仅表示双曲线中靠焦点的一支；的一支；3. 3. 若常数若常数满足约束条件：，则动点轨迹是以F 1、F 2为端点的两条射线（包括端点）；端点的两条射线（包括端点）； 4．若常数满足约束条件：，则动点轨迹不存在；，则动点轨迹不存在；5．若常数，则动点轨迹为线段F 1F 2的垂直平分线。
的垂直平分线。
知识点二：双曲线与的简单几何性质标准方程图形性质焦点， ，焦距范围，，对称性 关于x 轴、y 轴和原点对称顶点 轴长 实轴长=，虚轴长=离心率 渐近线方程1.通径:过焦点且垂直于实轴的弦,其长ab 222.2.等轴双曲线等轴双曲线等轴双曲线 : : :当双曲线的实轴长与虚轴长相等即当双曲线的实轴长与虚轴长相等即2a=2b 时，我们称这样的双曲线为等轴双曲线。
其离心率,两条渐近线互相垂直为,等轴双曲线可设为3.3.与双曲线与双曲线有公共渐近线的双曲线方程可设为（，焦点在轴上，，焦点在y 轴上）轴上）4.4.焦点三角形的面积焦点三角形的面积2cot221qb SF PF =D ，其中21PF F Ð=q 5.5.双曲线的焦点到渐近线的距离为双曲线的焦点到渐近线的距离为b.6．在不能确定焦点位置的情况下可设双曲线方程为:)0(122<=+mn ny mx 7.7.椭圆、双曲线的区别和联系：椭圆、双曲线的区别和联系：椭圆、双曲线的区别和联系：椭圆双曲线根据|MF 1|+|MF 2|=2a根据|MF 1|－|MF 2|=|=±±2aa ＞c ＞0， a 22－c 22=b 22（b ＞0）0＜a ＜c ， c 22－a 22=b 22（b ＞0）， ，（a＞b＞0）（a＞0，b＞0，a不一定大于b）典型例题1、已知双曲线：（）的离心率为，则的渐近线方程为（）D．A．B．C．试题分析：由题意可知，因为渐近线方程为 所以渐近线的方程为 2、已知分别是双曲线的左右焦点，过做垂直于轴的直线交双曲线于两点，若为钝角三角形，则双曲线的离心率的范围是A．B．C．D．试题分析：由题意为钝角三角形，则,所以,又，，所以，所以，所以．考点：双曲线离心率．3、已知双曲线（a>0，b>0）的一条渐近线为，则它的离心率为（）A．B．C．D．试题分析：由已知得，又在双曲线中有，所以得到；故选A．4、若双曲线的两准线间的距离是焦距的，则双曲线的离心率为_________. 试题分析：双曲线的两准线的距离为：，两焦点间的距离为：，根据题意可由：化简为：解得：，所以答案为：. 5、双曲线的离心率 ．试题分析：双曲线即为，其中6、如图，、是双曲线的左、右焦点，过的直线与双曲线的左右两支分别交于点、.若为等边三角形，则双曲线的离心率为（ ）A．4B．C．D．试题分析：因为为等边三角形，不妨设，为双曲线上一点，，为双曲线上一点，则，，由，则，在中应用余弦定理得：，得，则7、设双曲线的一条渐近线与抛物线只有一个公共点，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．试题分析：的一条渐近线方程与抛物线只有一个公共点，把代入中，得，由，，则8、过双曲线的右焦点F2的一条弦PQ，|PQ|=7，F1是左焦点，那么△F1PQ的周长为（）A．18B．C．D．试题分析：可化为；由双曲线的定义，得的周长为.9、双曲线的顶点到其渐近线的距离等于_________．试题分析：双曲线的顶点为，渐近线方程为，即；则顶点到其渐近线的距离为. 10、双曲线的离心率，则的取值范围是（）A．B．C．D．试题分析：由题意知，又，∴，∴. 11、双曲线的实轴长是（）A．2B．2C．4D．4试题分析：双曲线方程可变形为，所以. 12、双曲线：的渐近线方程是（）A．B．C．D．试题分析：由双曲线的渐近线方程的公式可知的渐近线方程是．13、斜率为的直线过双曲线的右焦点，且与双曲线的左右两支都相交，则双曲线的离心率的取值范围是（）A．B．C．D．试题分析：如图,要使斜率为的直线过双曲线的右焦点，且与双曲线的左右两支都相交，必须且只需即可,从而有所以有离心率,故选D. 14、过原点的直线与双曲线有两个交点，则直线的斜率的取值范围为（）A．B．C．D．试题分析：双曲线的焦点在y轴上，通过双曲线的图象与性质可知当直线与双曲线有两交点时直线的斜率k>1或k<-1，因此答案选B。
双曲线专题复习考点技巧归纳+经典例题+变式训练+综合练习
双曲线专题复习讲义题型一 双曲线定义的应用例题1已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，点M 在双曲线的右支上，点N 为2F M的中点，O 为坐标原点，2||||2ON NF b -=，则该双曲线的离心率为( )A B ．2 C D 【答案】C【解析】由N 为2F M 的中点，所以1//ON MF ，且11||||2ON MF =，故01260F MF ∠=， 2121||||(||||)2ON NF MF MF a ∴-=-=，故2a b =，设双曲线的焦距为2c ，由224a b =可得222244()a b c a ==-，即c =，故双曲线的离心率为e =，故选C ． 例题2已知点P 是双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>右支上一点，1F 、2F 分别是双曲线的左、右焦点，I 为△12PF F 的内心，若121213IPF IPF IF F S S S =+成立，则双曲线的离心率为( )A ．3BCD ．4【答案】A【解析】设△12PF F 的内切圆的半径为r ．I 为△12PF F 的内心，由121213IPF IPF IF F SS S =+成立，可得121111||||22232PF r PF r c r ⋅=⋅+⨯⨯⋅．∴又12||||2PF PF a -=，1223a c ∴=⋅．232ce a∴==．故选A ． 【解题技巧提炼】双曲线上的点P 与其两个焦点F 1，F 2连接而成的三角形PF 1F 2称为焦点三角形.令|PF 1|＝r 1，|PF 2|＝r 2，∠F 1PF 2＝θ，因|F 1F 2|＝2c ，所以有(1)定义：|r 1－r 2|＝2a . (2)余弦公式：.(3)面积公式：一般地，在△PF 1F 2中，通过以上三个等式，所求问题就会顺利解决.题型二 与双曲线有关的轨迹问题例题1（2021•重庆质检）在平面直角坐标系中，一动圆C 与x 轴切于点(4,0)A ，分别过点(5,0)M -、(5,0)N 作圆C 的切线并交于点P （点P 不在x 轴上），则点P 的轨迹方程为( )A ．221(4)169x y x -=>B ．221(4)169x y x -=<-C ．221(4)2516x y x +=>D ．221(4)2516x y x +=<-【答案】A【解析】由题意，在平面直角坐标系中，一动圆C 与x 轴切于点(4,0)A ，圆的圆心在4x =上，分别过点(5,0)M -、(5,0)N 作圆C 的切线并交于点P （点P 不在x 轴上），与圆交于S ，T ，所以||||MA MS =，||||NA NT =，||||PS PT =，所以||||||||54(54)8PM PN AM AN -=-=+--=，P 满足双曲线的定义， 是双曲线的右支，除去A 点，故选A ．【解题技巧提炼】求解与双曲线有关的点的轨迹问题，常见的方法有两种：(1)列出等量关系，化简得到方程；(2)寻找几何关系，双曲线的定义，得出对应的方程．求解双曲线的轨迹问题时要特别注意：(1)双曲线的焦点所在的坐标轴；(2)检验所求的轨迹对应的是双曲线的一支还是两支；(3)求出方程后要注意满足方程的解的坐标的点，是否都在所求曲线上．题型三 由双曲线的标准方程求其简单的几何性质例题1（2021秋•温州期中）已知双曲线222:19x y C b-=的焦距为10，则双曲线C 的渐近线方程为( )A ．916y x =±B ．169y x =±C ．43y x =±D ．34y x =±【答案】C【解析】双曲线222:19x y C b-=的焦距为10，210c ∴=，5c =，3a =，22925916b c ∴=-=-=，4b ∴=，∴双曲线C 的浙近线方程为43b y x x a =±=±． 故选C ．【解题技巧提炼】由双曲线的方程研究几何性质的解题步骤1把双曲线方程化为标准形式是解决本题的关键. 2由标准方程确定焦点位置，确定a 、b 的值.3由c 2＝a 2＋b 2求出c 值，从而写出双曲线的几何性质.题型四 利用几何性质求双曲线的标准方程例题1（2020•新疆模拟）已知双曲线的一条渐近线方程为2y x =，且经过点(4,43)，则该双曲线的标准方程为( )A ．221416x y -=B ．221164y x -=C ．22128x y -=D ．22144176y x -=【答案】A【解析】1：根据题意知，2443⨯>(4,3)在渐近线方程2y x =的右下方，所以该双曲线的焦点在x 轴上，设标准方程为22221x y a b-=，且0a >，0b >；又2ba=，所以2b a =； 又2216481a b -=，即2221648414a a a -==，解得24a =，216b =，所以双曲线的标准方程是221416x y -=．解法2：根据渐近线方程设双曲线的标准方程是22(0)4y x k k -=≠，代入点(4，43)，计算得481644k =-=，所以双曲线的标准方程为2244y x -=，即221416x y -=．故选A ． 例题2 （2020秋•胶州市期末）与双曲线22:12x C y -=共渐近线，且经过10)点的双曲线的标准方程是()A ．22142x y -=B ．22124x y -=C ．22142y x -=D ．22124y x -=【答案】A【解析】根据题意，要求双曲线与双曲线22:12x C y -=共渐近线，设要求的双曲线为222x y t -=，(0)t ≠，又由双曲线经过点10，则有91024t -=， 解可得2t =，则要求双曲线的标准方程为22142x y -=；故选A ． 【解题技巧提炼】求双曲线的标准方程的方法与技巧(1)根据双曲线的某些几何性质求双曲线方程，一般用待定系数法转化为解方程(组)，但要注意焦点的位置，从而正确选择方程的形式．(2)利用渐近线与双曲线的位置关系，设有公共渐近线的双曲线方程x 2a 2－y 2b 2＝λ(λ≠0)，这样可避免分类讨论，从而减少运算量，提高解题速度与准确性．拓展延伸：巧设双曲线的六种方法与技巧(1)焦点在x 轴上的双曲线的标准方程可设为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)．(2)焦点在y 轴上的双曲线的标准方程可设为y 2a 2－x 2b2＝1(a >0，b >0)．(3)与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1共焦点的双曲线方程可设为x 2a 2－λ－y 2b 2＋λ＝1(λ≠0，－b 2＜λ＜a 2)．(4)与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1具有相同渐近线的双曲线方程可设为x 2a 2－y 2b 2＝λ(λ≠0)．(5)渐近线为y ＝kx 的双曲线方程可设为k 2x 2－y 2＝λ(λ≠0)． (6)渐近线为ax ±by ＝0的双曲线方程可设为a 2x 2－b 2y 2＝λ(λ≠0)．题型五 求双曲线的离心率例题1（2021秋•镇海区校级期中）双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的离心率为1e ，22221(0,0)x y a b a b-=->>的离心率为2e ，则221211e e +的值为( )A ．1B ．2C ．12D ．4【解析】双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的离心率为1e ，22221(0,0)x y a b a b -=->>的离心率为2e =2222222222122211111a b a b a b e e a b a b ++=+==+++．故选A ． 例题2 （2021秋•遵义月考）已知曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>其中一条渐近线与直线:22l x y +=平行，则此双曲线的离心率是( ) ABC ．32D【解析】根据题意，双曲线C 的方程为22221(0,0)x y a b a b -=>>，则其渐近线方程为by x a=±，又由其一条渐近线与直线:22l x y +=平行，有12b a =，即12b a =，则c =，则其离心率c e a =B ．【解题技巧提炼】 求离心率的方法与技巧(1)求双曲线离心率的常见方法：一是依据条件求出a ，c ，再计算e ＝ca ；二是依据条件建立参数a ，b ，c 的关系式，一种方法是消去b 转化成离心率e 的方程求解，另一种方法是消去c 转化成含b a 的方程，求出ba 后利用e ＝1＋b 2a2求离心率． (2)求离心率的范围一般是根据条件建立a ，b ，c 的不等式，通过解不等式得c a 或ba 的范围，再求得离心率的范围．题型六 与渐进线有关的问题例题1（2021秋•洛阳期中）已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>，若点(,0)A a -，(,0)B a ，C ，)b 是等腰三角形的三个顶点，则该双曲线的渐近线方程为( )A ．3y x =±B ．y =C ．13y x =±D ．y = 【答案】B【解析】依题意，要使点(,0)A a -，(,0)B a ，C ，)b 是等腰三角形的三个顶点，则必有2AB BC a ==，2a ，整理可得2220c ac a --=，解得2c a =，即可得2224a a b =+，ba=所以双曲线的渐近线方程为by x a=±=，故选B ．例题2 （2021秋•南湖区月考）已知双曲线221169x y -=的右支上一点P 到其渐近线的距离为d ，F 为双曲线的左焦点，则||PF d +的最小值为( ) A ．9B ．10C ．11D ．12【解析】由双曲线的方程可得216a =，29b =，所以22225c a b =+=，可得5c =， 设双曲线的右焦点(5,0)F '，渐近线的方程为：043x y±=，即340x y ±=， 所以右焦点F '到渐近线的距离||3DF '==，由双曲线的性质可得右支上的点P 到右焦点的距离||||2PF PF a '=-，||||2||2PF d PF a d DF a ''+=+++，当且仅当F '，P ，垂足三点共线，其值最小，所以||PF d +的最小值为：2324311a +=⨯+=，故选C ．【解题技巧提炼】1．双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的渐近线为y ＝±b a x ，双曲线y 2a 2－x 2b 2＝1的渐近线为y ＝±ab x ，两者容易记混，可将双曲线方程中的“1”换成“0”，然后因式分解即得渐近线方程．2．若已知渐近线方程为mx ±ny ＝0，求双曲线方程，双曲线的焦点可能在x 轴上，也可能在y 轴上，可用下面的方法来解决．方法一：分两种情况设出方程进行讨论．方法二：依据渐近线方程，设出双曲线方程m 2x 2－n 2y 2＝λ(λ≠0)，求出λ即可． 显然方法二较好，避免了讨论． 3．有共同渐近线的双曲线的方程．与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1有共同渐近线的双曲线方程可设为x 2a 2－y 2b 2＝λ(λ≠0)．若λ＞0，则实轴在x 轴上；若λ＜0，则实轴在y 轴上，再依据题设条件可确定λ．题型一 双曲线定义的应用1．已知1F 、2F 分别是双曲线22124y x -=的左、右焦点，若P 是双曲线左支上的点，且12||||48PF PF ⋅=．则△12F PF 的面积为( )A ．8B ．16C ．24 D．【答案】C 【解析】P 是双曲线左支上的点，21||||2PF PF ∴-=，12||10F F =，在△12PF F 中，由余弦定理得222221212211212121212||||||(||||)2||||||4248100cos 02||||2||||248PF PF F F PF PF PF PF F F F PF PF PF PF PF +--+-+⨯-∠====⨯，1290F PF ∴∠=︒，即12PF PF ⊥，∴△12F PF 的面积为1211||||482422PF PF ⋅=⨯=，故选C ． 2．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左，右焦点分别为1F 、2F ，过点2F 作倾斜角为θ的直线l 交双曲线C 的右支于A ，B 两点，其中点A 在第一象限，若1||||AB AF =，且双曲线C 的离心率为2．则cos (θ=) A ．14B ．13C ．23D ．12【答案】A【解析】由双曲线的定义知，12||||2AF AF a -=，1||||AB AF =，221||||||AF BF AF ∴+=，即122||||||2AF AF BF a -==，12||||24BF BF a a ∴=+=，在△12BF F 中，由余弦定理知，2222121212||||||cos 2||||BF F F BF BF F F θ+-=⋅，∴2222244163cos 2222a c a c a a c ac θ+--==⋅⋅，2c e a ==，∴431cos 44θ-==，故选A ．题型二 与双曲线有关的轨迹问题1．（2021秋•海曙区校级期中）与圆22(2)2x y ++=外切，且与圆2240x y x +-=内切的圆的圆心在( ) A ．抛物线上 B ．圆上C ．双曲线的一支上D ．椭圆上【答案】C【解析】由题设，22(2)2x y ++=的圆心为(2,0)A -2240x y x +-=的圆心为(2,0)B ，半径为2，∴若所求圆的圆心为C ，半径为r ，由图及已知条件易得2r >，∴|||2AC r BC r =+=-，则||||2AC BC -=，由双曲线定义知：圆心C 在以A ，B 为焦点的双曲线的右支上． 故选C ．题型三 由双曲线的标准方程求其简单的几何性质1．（2021秋•福建期中）双曲线2214y x -=的右顶点到渐近线的距离为( )ABC ．1D ．2【答案】B【解析】由双曲线2214y x -=，得1a =，2b =，可得右顶点为(1,0)，一条渐近线方程为2y x =，即为20x y -=，可得右顶点到该双曲线一条渐近线的距离为d =．故选B ．2．（2021秋•沙坪坝区校级期中）已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，O 为坐标原点，点P 为双曲线C 中第一象限上的一点，12F PF ∠的平分线与x 轴交于Q ，若214OQ OF =，则双曲线的离心率取值范围为( ) A ．(1,2) B ．(1,4) C． D．【答案】B【解析】由214OQ OF =，知Q 在线段2OF 上，且234QF c =，又12F PF ∠的平分线与x 轴交于Q ，所以1122554334c PF QF PF QF c ===， 所以1253PF PF =，又122PF PF a -=， 所以2223PF a =，又点P 为双曲线C 中第一象限上的一点，所以2PF c a >-， 所以226c a a -<，所以4ce a=<，又1e >，故14e <<．故选B ．题型四 利用几何性质求双曲线的标准方程1．（2019秋•荔湾区期末）已知双曲线的中心在原点，焦点在x 轴上，焦距为8，离心率为2，则该双曲线的方程为( )A ．221204x y -= B ．221412x y -= C ．2211648x y -=D ．2216416x y -=【答案】B【解析】由题意可设双曲线的标准方程为22221x y a b-=，因为双曲线的焦距为8，则28c =，所以4c =， 又双曲线的离心率为2ca=，所以2a =，则22216412b c a =-=-=， 所以双曲线的标准方程为221412x y -=，故选B ．2．（2020•梅州二模）已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的渐近线方程为34y x =±，且其一个焦点为(5,0)，则双曲线C 的方程为( )A ．221916x y -=B ．221169x y -=C ．22134x y -=D ．22143x y -=【答案】B【解析】由双曲线的方程及渐近线的方程可得：34b a =，即34a b =，又由题意可得5c =，且222c a b =+， 所以解得216a =，29b =，所以双曲线的方程为：221169x y -=，故选B ．题型五 求双曲线的离心率1．（2021秋•河北期中）已知双曲线22:14x y C m -=(m = )A ．2B ．4C ．8D ．12【答案】B【解析】双曲线22:14x y C m -=，∴c a ==4m =．故选B ．题型六 与渐进线有关的问题1．（2021秋•温州期中）已知双曲线222:19x y C b-=的焦距为10，则双曲线C 的渐近线方程为( )A ．916y x =±B ．169y x =±C ．43y x =±D ．34y x =±【答案】C【解析】双曲线222:19x y C b-=的焦距为10，210c ∴=，5c =，3a =，22925916b c ∴=-=-=，4b ∴=，∴双曲线C 的浙近线方程为43b y x x a =±=±．故选C ．2．（2021秋•福州期中）已知F 为双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右焦点，A 为C 的右顶点，B 为C 上的点，且BF 垂直于x 轴．若AB 的斜率为3，则C 的渐近线方程为( )A ．y =B ．y x =C ．2y x =±D ．12y x =±【答案】A【解析】F 为双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右焦点，A 为C 的右顶点，B 为C 上的点，且BF 垂直于x轴．若AB 的斜率为3，可得23b a c a =-，可得223()c a c a a-=-，解得2c a =，即2224a b a +=，所以ba=C 的渐近线方程为：y =．故选A ．1．（2021秋•福州期中）已知F 为双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右焦点，A 为C 的右顶点，B 为C 上的点，且BF 垂直于x 轴．若AB 的斜率为3，则C 的渐近线方程为( )A ．y =B ．y x =C ．2y x =±D ．12y x =±【答案】A【解析】F 为双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右焦点，A 为C 的右顶点，B 为C 上的点，且BF 垂直于x轴．若AB 的斜率为3，可得23b a c a =-，可得223()c a c a a-=-，解得2c a =，即2224a b a +=，所以ba=C 的渐近线方程为：y =．故选A ．2．（2021秋•沙坪坝区校级期中）若双曲线22221(0,0)y x a b a b-=>>率的取值范围是( )A ．)+∞B ．C ．)+∞D ． 【答案】D【解析】依题意双曲线22221(0,0)y x a b a b-=>>经过一、三象限的渐近线斜率为k ，当k >时，可知a b >，则离心率c e a ==．故选D ．3．（2021秋•北海月考）已知双曲线22:1412x y C -=的左、右焦点分别为1F ，2F ，O 为坐标原点，点P 在C 的一条渐近线上，若2||||OP PF =，则△12PF F 的面积为( ) A．B．C．D．【答案】D【解析】由题意知1(4,0)F -，2(4,0)F，渐近线的方程为y =， 因为2||||OP PF =，故点P 在线段2OF 的中垂线2x =上，故0||y = 所以△12PF F的面积为1201||||2F F y ⋅=．故选D ．4．（2021秋•河南期中）如图，已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，过点2F 作直线l 交双曲线C 的右支于A ，B 两点．若1||||AB AF =，且△1~F AB △21F F B ，则双曲线C 的离心率为()A ．2 BC ．32D ．4【答案】A【解析】由过点2F 作直线l 交双曲线C 的右支于A ，B 两点．所以12||||2AF AF a -=，1||||AB AF =， 所以，2||||2AB AF a -=，所以2||2BF a =，又12||||2BF BF a -=，所以1||4BF a =， 因为△1~F AB △21F F B ，所以1121AF F F ABF B=，又1||||AB AF =，所以112||||BF F F =，所以42a c =，所以离心率2ce a==，故选A ． 5．（2021秋•福建期中）双曲线2222:1(0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别是1F 、2F ，直线y kx =与曲线C交于A ，B 两点，11||3||AF BF =，且1260F AF ∠=︒，则双曲线C 的离心率是 ．【解析】设1||BF t =，因为11||3||AF BF =，则1||3AF t =，2||AF t =，所以212||||32a BF BF t t t =-=-=，2||AF a =，1||3AF a =，在三角形12AF F 中，由余弦定理可得：22212941cos 232a a c AF F a a +-∠==⨯⨯，整理可得：2c =，所以离心率e =．6．（2021秋•沙坪坝区校级期中）已知点P 在双曲线22:1169x y C -=左支上，1F ，2F 是其左、右焦点，若1260F PF ∠=︒，1211||||PF PF -= ． 【答案】29【解析】设1||PF m =，2||PF n =，由双曲线的定义可知8n m -=，在△12PF F 中，由余弦定理可得22100cos602m n mn+-︒=，22100m n mn ∴+-=，2()2100n m mn mn ∴-+-=，即36mn =， ∴211212||||1182||||||||369PF PF n m PF PF PF PF mn ---====，故答案为：29．。
双曲线常见题型与典型方法归纳(修改版 附详解答案)
双曲线常见题型与典型方法归纳考点一 双曲线标准方程及性质1.双曲线的定义第一定义：平面内与两个定点21,F F 距离的差的绝对值等于|)|2(221F F a a <的点的轨迹。
（1）距离之差的绝对值.（2）当|MF 1|－|MF 2|=2a 时，曲线仅表示焦点F 2所对应的一支；当|MF 1|－|MF 2|=－2a 时，曲线仅表示焦点F 1所对应的一支；当2a =|F 1F 2|时，轨迹是同一直线上以F 1、F 2为端点向外的两条射线；当2a ＞|F 1F 2|时，动点轨迹不存在. 【典例】到两定点()0,31-F 、()0,32F 的距离之差的绝对值等于6的点M 的轨迹（ ）A ．椭圆B ．线段C ．双曲线D ．两条射线 第二定义：平面内与一个定点F 和一条定直线l 的距离的比是常数)1(>e 的动点的轨迹。
2双曲线的标准方程及几何性质标准方程)0,0(12222>>=-b a by a x )0,0(12222>>=-b a bx a y 图形性 质焦点 F 1（-)0,c ，F 2（)0,c F 1（),0c -，F 2（),c o焦距 | F 1F 2|=2c 222c b a =+范围 R y a x ∈≥,|| R x a y ∈≥,||对称 关于x 轴，y 轴和原点对称顶点 （-a ，0）。
（a ，0） （0，-a ）（0，a ）轴 实轴长2a ，虚轴长2b离心率)1(>=e ace （离心率越大，开口越大） 准线ca x 2±=ca y 2±=通径22b d a=22b d a=渐近线x ab y ±= x bay ±=注意：等轴双曲线（1）定义：实轴长与虚轴长相等的双曲线 （2）方程：222x y a -=或222y x a -= （3）离心率e =渐近线y x =±（4）方法：若已知等轴双曲线经过一定点，则方程可设为22(0)x y λλ-=≠ 【典例】 已知等轴双曲线经过点1)-，求此双曲线方程 3双曲线中常用结论（1）两准线间的距离: 22a c （2）焦点到渐近线的距离为b （3）通径的长是ab 22考点二 双曲线标准方程一 求双曲线标准方程的方法（1）定义法，根据题目的条件，若满足定义，求出相应a b c 、、即可求得方程； （2）待定系数法，其步骤是①定位：确定双曲线的焦点在哪个坐标轴上；②设方程：根据焦点的位置设出相应的双曲线方程； ③定值：根据题目条件确定相关的系数。
双曲线题型归纳含答案
三、典型例题选讲（一）考查双曲线的概念22例1设P 是双曲线x 2—匕=1上一点，双曲线的一条渐近线方程为 3x —2y =0, F 1、F 2 a 9 分别是双曲线的左、右焦点.若 | PF 1 |=3,则|PF 2 |=（）A.1 或5B. 6C. 7D. 9分析：根据标准方程写出渐近线方程，两个方程对比求出a的值，利用双曲线的定义求出| PF 2 |的值.一 ― 一 (x)2y 23解：:双曲线，=1渐近线万程为y=± x,由已知渐近线为 a9 a「.a = Z ，||PF i|—|PF 2||=4,，|PF 2 卜 ±4+|PF 1 |.\|PF 1 |=3, |PF 2 A0,，|PF 2 |=7.故选C.归纳小结：本题考查双曲线的定义及双曲线的渐近线方程的表示法.（二）基本量求解2b... .一b 2x 一一x+1=0 有唯一解，所以△ = (―) -4=0, a a所以 b =2 , e = c = ——— =，「(b)2 = J5 ,故选 D. a a a - a3x — 2y = 0 ,点, 例2（2009山东理）设双曲线 则双曲线的离心率为（ b 2=1的一条渐近线与抛物线2y = x +1只有一个公B. 5C.解析：双曲线2 2x _y_2.2a b=1的一条渐近线为b一x,由方程组ab y = x《ya ，消去y,得 2y = x 1归纳小结：本题考查了双曲线的渐近线的方程和离心率的概念, 系，只有一个公共点，则解方程组有唯一解. 本题较好地考查了基本概念、基本方法和基本技能.22x y2 ....例3 （2009全国I 理）设双曲线 --彳=1 （a>0, b>0）的渐近线与抛物线 y=x +1相切,a b则该双曲线的离心率等于 （）A.、3B.2C.,5 D. ,,6解析：设切点P （x o ，y o ）,则切线的斜率为y I x4 = 2x o .由题意有 义=2% .又有一x 。
双曲线知识点归纳与例题分析
双曲线知识点归纳与例题分析双曲线是解析几何中重要的曲线之一，它有着许多特殊的性质和应用。
本文将对双曲线的知识点进行归纳，并结合例题进行分析，帮助读者更好地理解和应用双曲线的相关概念。
一、基本概念双曲线是平面上满足特定几何性质的曲线，由平面上到两个给定的点的距离之差等于一个常数构成。
常见的双曲线方程有两种形式：椭圆型和双曲型。
椭圆型的方程形如：$$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$$，而双曲型的方程形如：$$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$$。
其中，a和b分别是椭圆的长轴和短轴的长度。
二、性质与特点1. 焦点和准线：双曲线的焦点是曲线上到两个定点的距离之和等于常数的点，而准线是指到两个定点的距离之差等于常数的直线。
在椭圆型的双曲线中，焦点和准线位于曲线的长轴上，而在双曲型双曲线中，焦点和准线位于曲线的短轴上。
2. 渐近线：双曲线的两条渐近线是曲线的一种特殊性质。
渐近线与曲线的距离趋于无穷远，但始终不与曲线相交。
在双曲型的双曲线中，渐近线的斜率等于正负短轴与长轴之比。
而在椭圆型的双曲线中，渐近线的斜率等于正负长轴与短轴之比。
3. 对称性：双曲线具有关于x轴、y轴和原点的对称性。
即在曲线上一点(x, y)处，如果(x, -y)也在曲线上，那么曲线关于x轴对称；如果(-x, y)也在曲线上，那么曲线关于y轴对称；如果(-x, -y)也在曲线上，那么曲线关于原点对称。
三、例题分析下面通过几个例题来加深对双曲线的理解：例题1：已知双曲线的焦点为(2, 0)，离心率为2，求该双曲线的方程。
解析：根据离心率的定义可知，双曲线的离心率e满足$$e=\frac{\sqrt{a^2+b^2}}{a}$$，其中a和b分别为双曲线椭圆型方程中长轴和短轴的长度。
因此，代入题目中的离心率2，可以得到2=\frac{\sqrt{a^2+b^2}}{a}。
解方程可得a=\sqrt{5}，再根据焦点所在的位置可知，椭圆型方程的焦点是位于横轴上的。
双曲线知识点及例题
双曲线知识点及例题一、双曲线的定义平面内到两个定点\（F_1\）、＼（F_2\）的距离之差的绝对值等于常数\（2a\）（＼（0 ＜2a ＜｜F_1F_2|＼））的点的轨迹叫做双曲线。
这两个定点\（F_1\）、＼（F_2\）叫做双曲线的焦点，两焦点之间的距离\（｜F_1F_2|＼）叫做焦距，记为\（2c\）。
二、双曲线的标准方程焦点在\（x\）轴上的双曲线标准方程为：＼（＼frac{x^2}｛a^2}＼frac{y^2}｛b^2} ＝ 1\）（＼（a ＞ 0\），＼（b ＞ 0\）），其中\（c^2 ＝ a^2 ＋ b^2\）。
焦点在\（y\）轴上的双曲线标准方程为：＼（＼frac{y^2}｛a^2}＼frac{x^2}｛b^2} ＝ 1\）（＼（a ＞ 0\），＼（b ＞ 0\）），其中\（c^2 ＝ a^2 ＋ b^2\）。
三、双曲线的几何性质1、范围焦点在\（x\）轴上的双曲线，＼（x\）的取值范围是\（x ＼leq a\）或\（x ＼geq a\）；＼（y\）的取值范围是\（R\）。
焦点在\（y\）轴上的双曲线，＼（y\）的取值范围是\（y ＼leq a\）或\（y ＼geq a\）；＼（x\）的取值范围是\（R\）。
2、对称性双曲线关于\（x\）轴、＼（y\）轴和原点都对称。
3、顶点焦点在\（x\）轴上的双曲线的顶点坐标为\（（＼pm a, 0)＼）；焦点在\（y\）轴上的双曲线的顶点坐标为\（（0, ＼pm a)＼）。
4、渐近线焦点在\（x\）轴上的双曲线的渐近线方程为\（y ＝＼pm ＼frac{b}｛a}x\）；焦点在\（y\）轴上的双曲线的渐近线方程为\（y ＝＼pm ＼frac{a}｛b}x\）。
5、离心率双曲线的离心率\（e ＝＼frac{c}｛a}＼）（＼（e ＞ 1\）），它反映了双曲线的开口大小。
四、例题解析例 1：已知双曲线的方程为\（＼frac{x^2}｛9} ＼frac{y^2}｛16} ＝1\），求其顶点坐标、焦点坐标、渐近线方程和离心率。
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、双曲线的定义1、第一定义：到两个定点F i与F2的距离之差的绝对值等于定长（V|F I F2|）的点的轨迹（PFJ PF2|| 2a F1F2（a为常数））。
这两个定点叫双曲线的焦点。
要注意两点：（1）距离之差的绝对值。
（2）2a v|F i F2|。
当|MF i|—|MF2|=2a时，曲线仅表示焦点F2所对应的一支；当|MF i|—|MF2|=—2a时，曲线仅表示焦点F i所对应的一支；当2a=|F i F21时，轨迹是一直线上以F i、F2为端点向外的两条射线；用第二定义证明比较简单或两边之差小于第三边当2a > |F i F2|时，动点轨迹不存在。
a22、第二定义：动点到一定点F的距离与它到一条定直线I （准线）的距离之比是常数e（e>i）时，这个动c点的轨迹是双曲线。
这定点叫做双曲线的焦点，定直线I叫做双曲线的准线。
b。
判定焦点在哪条坐标轴上，不像椭圆似的比较X2、y2的分母的大小，而是X2、y2的系数的二、双曲线的标准方程b2c2 a2X焦点在x轴上：务a2 yb2(a> 0,2焦点在y轴上：%a(a> 0, b> 0)（i）如果x2项的系数是正数，则焦点在X轴上；如果y2项的系数是正数，则焦点在y轴上。
a不一定大于2 1共焦点的双曲线系方程是 二 -a 2 k2 2 (2)与双曲线冷爲 a b2b^k1(3 )双曲线方程也可设为:2仝 1(mn 0) nx a sec x a cos椭圆为y b tan y b sin［提醒］解决直线与椭圆的位置关系问题时常利用数形结合法、根与系数的关系、整体代入、设而不求的 思想方法。
3、特别地，焦点弦的弦长的计算是将焦点弦转化为两条焦半径之和后，利用第二定义求解 六、焦半径公式2 2双曲线 笃 每 1 (a >0, b >0)上有一动点 M (x 0, y 0)a b左焦半径：r= | ex+a | 右焦半径：r= | ex-a |当M （x o ,y 。
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一、双曲线的定义1、第一定义：到两个定点F 1与F 2的距离之差的绝对值等于定长（＜|F 1F 2|）的点的轨迹（21212F F a PF PF <=-（a 为常数））。
这两个定点叫双曲线的焦点。
要注意两点：（1）距离之差的绝对值。
（2）2a ＜|F 1F 2|。
当|MF 1|－|MF 2|=2a 时，曲线仅表示焦点F 2所对应的一支； 当|MF 1|－|MF 2|=－2a 时，曲线仅表示焦点F 1所对应的一支； 当2a =|F 1F 2|时，轨迹是一直线上以F 1、F 2为端点向外的两条射线；当2a ＞|F 1F 2|时，动点轨迹不存在。
2、第二定义：动点到一定点F 的距离与它到一条定直线l 的距离之比是常数e (e ＞1)时，这个动点的轨迹是双曲线。
这定点叫做双曲线的焦点，定直线l 叫做双曲线的准线。
二、双曲线的标准方程（222a c b -=，其中|1F 2F |=2c ）焦点在x 轴上：12222=-b y a x （a ＞0，b ＞0）焦点在y 轴上：12222=-bx a y （a ＞0，b ＞0）（1）如果2x 项的系数是正数，则焦点在x 轴上；如果2y 项的系数是正数，则焦点在y 轴上。
a 不一定大于b 。
（2）与双曲线12222=-by a x 共焦点的双曲线系方程是12222=--+k b y k a x （3）双曲线方程也可设为：221(0)x y mn m n-=> 需要更多的高考数学复习资料请在淘.宝.上.搜.索.宝.贝.： 高考数学复习资料 知识点与方法技巧总结 例题精讲(详细解答)或者搜.店.铺..： 龙奇迹学习资料网 三、点与双曲线的位置关系，直线与双曲线的位置关系 1、点与双曲线点00(,)P x y 在双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的内部2200221x y a b ⇔->点00(,)P x y 在双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的外部2200221x y a b ⇔-<点00(,)P x y 在双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>上220022-=1x y a b ⇔2、直线与双曲线 代数法：设直线:l y kx m =+，双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 联立解得02)(222222222=----b a m a mkx a x k a b （1）0m =时，b bk a a-<<，直线与双曲线交于两点（左支一个点右支一个点）； b k a ≥，bk a≤-，或k 不存在时，直线与双曲线没有交点；（2）0m ≠时，k 存在时，若0222=-k a b ，abk ±=，直线与双曲线渐近线平行，直线与双曲线相交于一点；若2220b a k -≠，222222222(2)4()()a mk b a k a m a b ∆=-----2222224()a b m b a k =+-0∆>时，22220m b a k +->，直线与双曲线相交于两点； 0∆<时，22220m b a k +-<，直线与双曲线相离，没有交点；0∆=时22220m b a k +-=，2222m b k a +=直线与双曲线有一个交点；k 不存在，a m a -<<时，直线与双曲线没有交点；m a m a ><-或直线与双曲线相交于两点；3、过定点的直线与双曲线的位置关系：设直线:l y kx m =+过定点00(,)P x y ，双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x（1）当点00(,)P x y 在双曲线内部时：b bk a a-<<，直线与双曲线两支各有一个交点； a bk ±=，直线与双曲线渐近线平行，直线与双曲线相交于一点；b k a >或bk a <-或k 不存在时直线与双曲线的一支有两个交点；（2）当点00(,)P x y 在双曲线上时：bk a =±或2020b x k a y =，直线与双曲线只交于点00(,)P x y ；b bk a a-<<直线与双曲线交于两点（左支一个点右支一个点）； 2020b x k a y >（00y ≠）或2020b x bk a a y <<（00y ≠）或b k a <-或k 不存在，直线与双曲线在一支上有两个交点；当00y ≠时，bk a =±或k 不存在，直线与双曲线只交于点00(,)P x y ； b k a >或bk a <-时直线与双曲线的一支有两个交点；b bk a a-<<直线与双曲线交于两点（左支一个点右支一个点）； （3）当点00(,)P x y 在双曲线外部时：当()0,0P 时，b bk a a -<<，直线与双曲线两支各有一个交点； b k a ≥或bk a ≤或k 不存在，直线与双曲线没有交点；当点0m ≠时，k =00(,)P x y 的直线与双曲线相切 bk a=±时，直线与双曲线只交于一点； 需要更多的高考数学复习资料请在淘.宝.上.搜.索.宝.贝.： 高考数学复习资料 知识点与方法技巧总结 例题精讲(详细解答)或者搜.店.铺..： 龙奇迹学习资料网 四、双曲线与渐近线的关系1、若双曲线方程为22221(0,0)x y a b a b -=>>⇒渐近线方程：22220x y a b -=⇔x a by ±=2、若双曲线方程为12222=-b x a y （a ＞0，b ＞0）⇒渐近线方程：22220y x a b -= ay x b =±3、若渐近线方程为x a by ±=⇔0=±b y a x ⇒双曲线可设为λ=-2222by a x , 0λ≠。
4、若双曲线与12222=-b y a x 有公共渐近线，则双曲线的方程可设为λ=-2222by a x （0>λ，焦点在x 轴上，0<λ，焦点在y 轴上） 五、双曲线与切线方程1、双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>上一点00(,)P x y 处的切线方程是00221x x y y a b -=。
2、过双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>外一点00(,)P x y 所引两条切线的切点弦方程是00221x x y y a b -=。
3、双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>与直线0Ax By C ++=相切的条件是22222A a B b c -=。
需要更多的高考数学复习资料请在淘.宝.上.搜.索.宝.贝.：高考数学复习资料知识点与方法技巧总结例题精讲(详细解答)或者搜.店.铺..：龙奇迹学习资料网六、双曲线的性质七、 弦长公式1、若直线y kx b =+与圆锥曲线相交于两点A 、B ，且12,x x 分别为A 、B 的横坐标，则AB =12AB x =-==，若12,y y 分别为A 、B 的纵坐标，则12AB y y =-=2、通径的定义：过焦点且垂直于实轴的直线与双曲线相交于A 、B 两点，则弦长ab AB 22||=。
3、若弦AB 所在直线方程设为x ky b =+，则AB 12y y -。
4、特别地，焦点弦的弦长的计算是将焦点弦转化为两条焦半径之和后，利用第二定义求解 八、焦半径公式双曲线12222=-by a x （a ＞0，b ＞0）上有一动点00(,)M x y当00(,)M x y 在左支上时10||MF ex a =--,20||MF ex a =-+ 当00(,)M x y 在右支上时10||MF ex a =+,20||MF ex a =-注：焦半径公式是关于0x 的一次函数，具有单调性，当00(,)M x y 在左支端点时1||MF c a =-，2||MF c a =+，当00(,)M x y 在左支端点时1||MF c a =+，2||MF c a =- 九、等轴双曲线12222=-by a x （a ＞0，b ＞0）当a b =时称双曲线为等轴双曲线 1。
a b =； 2。
离心率2=e ；3。
两渐近线互相垂直，分别为y=x ±； 4。
等轴双曲线的方程λ=-22y x ，0λ≠；5。
等轴双曲线上任意一点到中心的距离是它到两个焦点的距离的比例中项。
十、共轭双曲线共轭双曲线有共同的渐近线； 共轭双曲线的四个焦点共圆； 它们的离心率的倒数的平方和等于1。
需要更多的高考数学复习资料请在淘.宝.上.搜.索.宝.贝.： 高考数学复习资料 知识点与方法技巧总结 例题精讲(详细解答)或者搜.店.铺..： 龙奇迹学习资料网【例】如图所示，F 为双曲线1169:22=-y x C 的左焦点，双曲线C 上的点i P 与()3,2,17=-i P i 关于y 轴对称，则F P F P F P F P F P F P 654321---++的值是（ ）A ．9B ．16C ．18D ．27 解： =-F P F P 61=-F P F P 52643=-F P F P ，选C【例】设P 为双曲线11222=-y x 上的一点F 1、F 2是该双曲线的两个焦点，若|PF 1|：|PF 2|=3：2，则△PF 1F 2的面积为 （ ）A ．36B ．12C ．312D ．24解：2:3||:||,13,12,121====PF PF c b a 由 ①又,22||||21==-a PF PF ②由①、②解得.4||,6||21==PF PF,52||,52||||2212221==+F F PF PF 为21F PF ∴直角三角形，.124621||||212121=⨯⨯=⋅=∴∆PF PF S F PF 故选B 。
【例】某中心接到其正东、正西、正北方向三个观测点的报告：正西、正北两个观测点同时听到了一声巨响，正东观测点听到的时间比其他两观测点晚4s. 已知各观测点到该中心的距离都是1020m. 试确定该巨响发生的位置.(假定当时声音传播的速度为340m/ s :相关各点均在同一平面上)思路：时间差即为距离差，到两定点距离之差为定值的点的轨迹是双曲线型的． 解：如图，以接报中心为原点O ，正东、正北方向为x 轴、y 轴正向，建立直角坐标系.设A 、B 、C 分别是西、东、北观测点，则A （－1020，0），B （1020，0），C （0，1020） 设P （x,y ）为巨响为生点，由A 、C 同时听到巨响声，得|PA|=|PC|，故P 在AC 的垂直平分线PO 上，PO 的方程为y=－x ，因B 点比A 点晚4s 听到爆炸声，故|PB|－ |PA|=340×4=1360由双曲线定义知P 点在以A 、B 为焦点的双曲线12222=-b y a x 上，依题意得a=680, c=1020，13405680340568010202222222222=⨯-⨯=-=-=∴y x a c b 故双曲线方程为用y=－x 代入上式，得5680±=x ，∵|PB|>|PA|,10680),5680,5680(,5680,5680=-=-=∴PO P y x 故即答：巨响发生在接报中心的西偏北450距中心m 10680处.【例】已知双曲线12222=-b y a x 的离心率332=e ，过),0(),0,(b B a A -的直线到原点的距离是.23求双曲线的方程； 解：∵（1）,332=ac 原点到直线AB ：1=-bya x 的距离2322==+=c ab b a abd .3,1==∴a b . 故所求双曲线方程为 .1322=-y x【例】已知双曲线的渐近线方程是2x y ±=，焦点在坐标轴上且焦距是10，则此双曲线的方程为解：设双曲线方程为λ=-224y x ，当0>λ时，化为1020λ==-2214x y λλ-=，2010452=∴=∴λλ，当0<λ时，化为2214y x λλ-=--，10=20λ=-， 综上，双曲线方程为221205x y -=或120522=-x y【例】已知双曲线E 的中心为原点，F (3,0)是E 的焦点，过F 的直线l 与E 相交于A ，B 两点，且AB 的中点为N (－12，－15)，则E 的方程．解：设双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，由题意知c ＝3，a 2＋b 2＝9，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则有：⎩⎪⎨⎪⎧x 21a 2－y 21b2＝1，x 22a 2－y 22b2＝1，两式作差得：y 1－y 2x 1－x 2＝b 2x 1＋x 2a 2y 1＋y 2＝－12b 2－15a 2＝4b 25a2，又AB 的斜率是－15－0－12－3＝1，所以将4b 2＝5a 2代入a 2＋b 2＝9得a 2＝4，b 2＝5.所以双曲线的标准方程是x 24－y 25＝1. 需要更多的高考数学复习资料请在淘.宝.上.搜.索.宝.贝.： 高考数学复习资料 知识点与方法技巧总结 例题精讲(详细解答)或者搜.店.铺..： 龙奇迹学习资料网【例】已知双曲线C 与双曲线162x －42y =1有公共焦点，且过点（32，2）.求双曲线C 的方程．解： 法一：设双曲线方程为22a x －22by =1.由题意易求c =25.又双曲线过点（32，2），∴22)23(a －24b=1. 又∵a 2+b 2=（25）2，∴a 2=12，b 2=8.故所求双曲线的方程为122x －82y =1.法二：设双曲线方程为k x -162－k y +42＝1，将点（32，2）代入得k =4，所以双曲线方程为122x －82y ＝1.【例】已知双曲线的渐近线方程是2x y ±=，焦点在坐标轴上且焦距是10，则此双曲线的方程为解：设双曲线方程为λ=-224y x ， 当0>λ时，化为1422=-λλy x ，2010452=∴=∴λλ， 当0<λ时，化为1422=---λλy y ，2010452-=∴=-∴λλ， 综上，双曲线方程为221205x y -=或120522=-x y 【例】已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为(2,0)，右顶点为(3，0)． (1)求双曲线C 的方程；(2)若直线：y ＝kx ＋m (k ≠0，m ≠0)与双曲线C 交于不同的两点M 、N ，且线段MN 的垂直平分线过点A (0，－1)，求实数m 的取值范围． 解析： (1)设双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)．由已知得a ＝3，c ＝2. 又a 2＋b 2＝c 2，得b 2＝1.故双曲线C 的方程为x 23－y 2＝1. (2)联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m x 23－y 2＝1整理得(1－3k 2)x 2－6kmx －3m 2－3＝0.∵直线与双曲线有两个不同的交点，∴⎩⎪⎨⎪⎧1－3k 2≠0Δ＝12(m 2＋1－3k 2)＞0， 可得m 2＞3k 2－1且k 2≠13 ①设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，MN 的中点为B (x 0，y 0)．则x 1＋x 2＝6km 1－3k 2，x 0＝x 1＋x 22＝3km 1－3k 2，y 0＝kx 0＋m ＝m 1－3k 2. 由题意，AB ⊥MN ，∵k AB ＝m1－3k 2＋13km 1－3k 2＝－1k (k ≠0，m ≠0)． 整理得3k 2＝4m ＋1 ②将②代入①，得m 2－4m ＞0，∴m ＜0或m ＞4.又3k 2＝4m ＋1＞0(k ≠0)，即m ＞－14. ∴m 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，0∪(4，＋∞)．【例】已知直线1+=ax y 与双曲线1322=-y x 交于A 、B 点。