运筹学 第五章1

j∈J j∈J
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对于目标函数最小值的情况只需把定理中的 σ j ≤ 0 改为 σ j ≥ 0. 注：并不是所有 LP 问题都有最优解。 问题都有最优解。 问题无最优解？ 第四节介绍） 如何判断 LP 问题无最优解？ （第四节介绍）
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三.基变换
求最优解的思想： 求最优解的思想：从一个基本可行解到另一个基本可行
解，最终到达最优解。----迭代 最终到达最优解。----迭代 求最优解的过程：从一个可行基到另一个可行基， 求最优解的过程：从一个可行基到另一个可行基，最后 找到一个可行基，使其对应的基可行解为最优解。 找到一个可行基，使其对应的基可行解为最优解。 如何通过基变换找到一个新的可行基？ 如何通过基变换找到一个新的可行基？ 从可行基中换一个列向量使其和原来的基中的列向量线性 无关，这样可以得到一个新的可行基， 无关，这样可以得到一个新的可行基，其对应的新的基可行解 的目标函数值更优。 的目标函数值更优。 1.入基变量的确定 1.入基变量的确定 目标函数： 目标函数： max z = z 0 + ∑ σ j x j ,
第五章
单纯形法
§1.单纯形法的基本思路和原理 1.单纯形法的基本思路和原理
基本思路: 从可行域的某个顶点开始,判断此顶点是否是最优解, 基本思路: 从可行域的某个顶点开始,判断此顶点是否是最优解, 若不是，再找另一个使得目标函数值更优的顶点,称之为迭代 迭代, 若不是，再找另一个使得目标函数值更优的顶点,称之为迭代, 再判断此点是否是最优解.直到找到一个顶点为其最优解, 再判断此点是否是最优解.直到找到一个顶点为其最优解,即使 其目标函数值最优的解,或能判断出线性规划问题无最优解. 其目标函数值最优的解,或能判断出线性规划问题无最优解. 基本可行解: 基本可行解: ----可行域的顶点 可行域的顶点. 可行域的顶点 初始基本可行解: 初始基本可行解: ----第一个找到的可行域的顶点 第一个找到的可行域的顶点. 第一个找到的可行域的顶点 注：一个 LP 问题若有最优解，一定是基本可行解！ 问题若有最优解，一定是基本可行解！ 一.找出一个初始基本可行解
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目标函数： 目标函数： max z = 50 x1 + 100 x 2 x1 + x 2 ≤ 300, 约束条件： 约束条件： 2 x1 + x 2 ≤ 400, x 2 ≤ 250, x 1 ≥ 0, x 2 ≥ 0. 将其变为标准形式如下： 将其变为标准形式如下： 标准形式如下 目标函数： 目标函数： max z = 50 x 1 + 100 x 2
此解是可行解！ 此解是可行解！ 可行解：满足非负条件的基本解叫做基可行解。 基（本）可行解：满足非负条件的基本解叫做基可行解。 其对应 叫做可行基 可行基。 其对应的基 B 叫做可行基。 注：可行基是由基本可行解而定义的。 可行基是由基本可行解而定义的。 问题：是否能在求解之前，找到一个可行基？ 问题：是否能在求解之前，找到一个可行基？ 2.如何找出一个初始基本可行解？ 2.如何找出一个初始基本可行解？ 如何找出一个初始基本可行解 第一个找到的基可行解。 第一个找到的基可行解。
1 1 1 1 1 1 对于基 B = 2 1 0 来说， 2 , 1 , 0 都是 B 的基向量。 的基向量。 来说， 0 1 0 0 1 0
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非基向量：不在 B 中的 A 的列向量 pj ,叫做非基向量。 叫做非基向量。 非基向量： 叫做非基向量
基变量： 叫做基变量。 基变量：与基向量 pj 对应的变量 xj 叫做基变量。基变量有 m 个。 是对应B 的基变量； 是对应B 的基变量. 如：x1,x2,s1是对应 1的基变量；而s1,s2,s3是对应 2的基变量 非基变量：与非基向量 pj 对应的变量 xj 叫做非基变量。 叫做非基变量。 非基变量： 非基变量有 n-m 个。
j∈J
为常数， 其中 z 0 为常数， J 是所有非基变量的下标
集。
由于所有的变量 x j ≥ 0,
当所有的
σ j ≤ 0 时，
∑σ
j∈J
j
xj ≤ 0
而对于基可行解来说： 而对于基可行解来说： x j = 0, j ∈ J , 即 ∑ σ j x j = 0.
∴ z = z 0 + ∑ σ j x j 达到最大。 达到最大。
j∈J
中的各x 的系数σ 称为检验数 检验数。 中的各 j的系数 j 称为检验数。 例如： 例如： 目标函数： 目标函数：max z = 0 + 50 x1 + 100 x 2 + 0 ⋅ s1 + 0 ⋅ s2 + 0 ⋅ s3 约束条件： 约束条件： x 1 + x 2 + s1 = 300, 1 0 2 x 1 + x 2 + s 2 = 400, 选基 B = 0 1 0 0 x 2 + s 3 = 250, x 1 , x 2 , s 1 , s 2 , s 3 ≥ 0.
bj ≥ 0
1 1 1 0 0 系数矩阵： 系数矩阵： A = ( p1 , p 2 , p 3 , p4 , p5 ) = 2 1 0 1 0 , 0 1 0 0 1 1 0 0 找到一个单位矩阵 B = 0 1 0 为基， s1,s2,s3是对应 的基 为基， 是对应B 0 0 1
得到基本解： 变量.令其非基变量 变量 令其非基变量 x 1 = 0, x 2 = 0. 得到基本解：
( x1 , x 2 , s1 , s 2 , s 3 )T = (0,0,300,400,250)T .
初始基本可行解找到了！ 初始基本可行解找到了！
此解也是基本可可行基。
( x1 , x 2 , s1 , s 2 , s 3 )T = (75,250,−25,0,0)T
此解不是线性规划的可行解！ 此解不是线性规划的可行解！
5
P2
1 1 0 若选 B1 = 2 0 0 , 0 0 1 约束方程就变为： 约束方程就变为：
可行基 令其非基变量 x 2 = 0, s 2 = 0.
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P2
基（本）解：在约束方程组中，对于选定的基 B, 令所有的非基 在约束方程组中， 变量为零，得到满足约束方程组的一组解 满足约束方程组的一组解， 变量为零，得到满足约束方程组的一组解，称为对应于基 B 的 基（本）解。 1 1 1 如：对于 B1 = 2 1 0 来说，令 s 2 = 0, s 3 = 0. 来说， 0 1 0 约束方程就变为: 约束方程就变为 基本解的特点： 基本解的特点： x1 + x 2 + s1 = 300, 所有的非基变量全为零！ 所有的非基变量全为零！ 2 x1 + x 2 = 400, x 2 = 250, 解得： 解得： x1 = 75, x 2 = 250, s1 = −25, 此时得到线性规划的一个基本解： 此时得到线性规划的一个基本解： 基本解
0 0 1 1 1 来说， 如：对于 B1 = 2 1 0 来说，p4 = 1 , p5 = 0 是B1的非基向量。 的非基向量。 0 1 0 1 0 1 1 1 0 0 的非基向量。 来说， 而对于 B2 = 0 1 0 来说，p1 = 2 , p 2 = 1 是B2的非基向量。 0 1 0 0 1
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初始可行基与初始基本可行解： 在第一次找可行基时，所找到的 初始可行基与初始基本可行解： 在第一次找可行基时， 或为单位矩阵或为由单位矩阵的各列向量组成，称之为初始 基，或为单位矩阵或为由单位矩阵的各列向量组成，称之为初始 可行基，相应的基本可行解叫初始基本可行解 初始基本可行解。 可行基，相应的基本可行解叫初始基本可行解。
0 0 , 1
σ 则检验数为： 则检验数为： 1 = 50, σ 2 = 100, σ 3 = 0, σ 4 = 0, σ 5 = 0.
也可把基变量在目标函数中的系数看作是零。 也可把基变量在目标函数中的系数看作是零。
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2.最优解判定定理 2.最优解判定定理 定理: 对于求最大目标函数问题中，对于某个基本可行解， 定理: 对于求最大目标函数问题中，对于某个基本可行解， 如果所有的检验数 所有的检验数σ ，则这个基本可行解是最优解。 如果所有的检验数 j≤0，则这个基本可行解是最优解。 事实上， 事实上，假设用非基变量表示的目标函数为 z = z0 + ∑σ j x j ,
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P2
目标函数： 目标函数： max z = 50 x 1 + 100 x 2 约束条件： 约束条件： x1 + x 2 + s1 = 300, 2 x1 + x 2 + s 2 = 400,
x 2 + s 3 = 250, x 1 , x 2 , s 1 , s 2 , s 3 ≥ 0.
标准形式
x 1 + s1 = 300 , 2 x 1 = 400 , s 3 = 250 ,
基本可行解
基本可行解的特点： 基本可行解的特点： 1.非基变量全为零 非基变量全为零; 非基变量全为零 2.基变量非负 基变量非负. 基变量非负
( x1 , x 2 , s1 , s 2 , s 3 )T = (200,0,100,0,250)T . 得基本解 ：
1 1 1 1 0 0 都是该线性规划问题的一个基。 如： 2 1 0 , 0 1 0 都是该线性规划问题的一个基。 0 1 0 0 0 1 个线性无关的列向量组成的。 它们是由 A 中3 个线性无关的列向量组成的。
基向量： 基向量：基 B 中的每一列向量 pj。基 B 中共有 m 个列向量。 个列向量。
s 约束条件： x1 + x 2 + x13 = 300, 约束条件： 2 x1 + x 2 + s 24 = 400, x x 2 + x35 = 250, s x1 , x 2 , s1 , s 2 , s 3 ≥ 0.