人教A版高中数学选修1-1《三章导数及其应用3.1变化率与导数3.2导数的概念》优质课教案_24
人教A版高中数学选修1-1《三章 导数及其应用 3.1 变化率与导数 3.1.2 导数的概念》优质课教案_3
《导数的概念》教学设计一、教学内容解析导数是微积分学的核心概念之一，不仅是数学知识，也是一种数学思想，也蕴含着函数思想和极限的思想方法，本节内容的核心是用平均变化率的极限来刻划瞬时变化率，从而引出导数的概念。
从教材的编写看，淡化了极限的形式化定义，直接通过实例来反映导数的思想和本质。
导数属于事实型知识（函数的瞬时变化率是客观存在的），导数是研究函数增减、变化快慢、最大（小）值等问题的最一般、最有效的工具。
因而也是解决诸如运动速度、物种繁殖率、效率最高、用料最省等实际问题的最有力的工具。
在天文、地理等各方面都有广泛的应用，教材中也是有实例引出导数概念，再由实际问题来巩固导数的概念。
让学生掌握从具体到抽象，特殊到一般的思维方法，领悟“无限趋近”思想，进一步体会数学的本质。
二、学生学情分析学生已较好地掌握了函数的平均变化率及高一物理中的平均速度、瞬时速度，并积累了一定量的关于函数变化率的经验；高二年级的学生思维较活跃，并具有一定归纳、概括、类比、抽象思维能力；对导数这一新鲜的概念，具有较强的求知欲和渴望探究的积极情感态度。
由于瞬时变化率就是导数，又是用平均变化率“无限接近”进行研究，而“无限”是非常抽象的，是学生首次接触，要求学生既要具备一定的直观感悟能力，又要具有较高的抽象思维能力。
从平均速度、瞬时速度到平均变化率、瞬时变化率，是将实例抽象为数学模型，是本节认识的一次飞跃，借助几何画板的动态演示学生能初步感悟，但是对“是无限趋近于0，但始终不能为0”，学生不能自主或合作顺利完成，需要教师在此充分发挥作用进行点拨．综上分析确定本节的难点是：对极限思想的感悟及用平均变化率的极限刻划瞬时变化率的科学性。
突破策略为：用几何画板动态直观演示以降低思维难度；多利用实例以降低抽象程度，强化对过程的感悟；给足时间让学生充分合作交流；教师恰当精讲点拨。
三、教学目标1、掌握导数的概念；会依据定义求简单函数在某点处的导数，能初步按定义归纳求函数在某点处导数的基本步骤。
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导数的概念教学目标知识目标：通过实际问题理解瞬时速度，并理解函数的增量与自变量的增量的比当0∆→的具体意义。
同时还要理解导x数的概念并会运用概念求导数能力目标：培养学生会从实际问题中抽象出数学模型，运用数学去思考一些实际问题。
了解导数概念的实际背景，理解瞬时变化率就是导数这一本质情感态度与价值观：培养学生思考问题的广度深度，让学生学会在更广阔的空间中思考问题。
同时培养学生相互之间的合作能力，培养学生的创新精神教学重点：理解瞬时速度，以及掌握导数的概念及求法。
教学难点：引导学生运用逼近的思想去思考问题,从一些实际问题中抽象出导数的概念，理解极限的数学思想。
教学方法：自学指导法及合作探究教学过程：一创设情景从每年高考情况看，导数是每年高考必考的内容，而这个知识点比较困难，它也很重要，那么什么是导数呢？本节课我们一起来探究导数的概念。
通过第一节的学习，我们一起来回忆一下平均变化率是怎么求的？问题1：平均变化率怎么算？（2步：一差，二比） （一）平均变化率2121()()f x f x y x x x -∆=∆- （二）探究：在高台跳水运动中,平均速度不能反映他（她）在这段时间里运动状态，需要用瞬时速度描述运动状态。
我们把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度.问题2：如何求瞬时速度呢?思考：t=2时的瞬时速度怎么求？二 新课讲授1．瞬时速度()?2,?,....,时的瞬时速度是多少比如度呢如何求运动员的瞬时速那么度在某时刻的瞬时速她他定能反映运动员的平均速度不一时速度某一时刻的速度称为瞬我们把物体在度是不同的运动员在不同时刻的速在高台跳水运动中=t [][].,2,22,2.22,0;22,0.0,,,,2,2.2可以得到如下表格内平均速度和区间计算区间之后在时当之前在时当但不为也可以是负值可以是正值是时间的改变量任意取一个时刻之前或之后在附近的情况我们先考察v t t t t t t t t t t ∆+∆+∆+>∆∆+<∆∆∆+==观察：当0→∆t 平均速度有怎样的变化趋势？结论：当t ∆趋近于0时，即无论t 从小于2的一边，还是从大于2的一边趋近于2时，平均速度v 都趋近于一个确定的值13.1-． 从物理的角度看，时间t ∆间隔无限变小时，平均速度v 就无限趋近于史的瞬时速度，因此，运动员在2t =时的瞬时速度是13.1/m s -为了表述方便，我们用0(2)(2)lim13.1t h t h t ∆→+∆-=-∆表示“当2t =，t ∆趋近于0时，平均速度v 趋近于定值13.1-”小结：局部以匀速代替变速，以平均速度代替瞬时速度，然后通过取极限，从瞬时速度的近似值过渡到瞬时速度的精确值。
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问题二：请大家继续思考，当Δt取不同值时,尝试
计算 v 4.9t 13.1 的 值 ,同时观察讨论，表格中
的数据有着怎样的规律？
Δt
-0.1 -0.01 -0.001 -0.0001 -0.00001
……….
3.1.2导数的概念
1
在高台跳水运动中，运动员相对水面的高度h
（单位：m）与起跳后的时间t（单位：s）存
在函数关系
计算运动员
在 0 t 65 这段时间里的平均速度，并
49
思考下面的问题：
（1）运动员在这段时间里是静止的吗？
（2）你认为用平均速度描述运动员的运动状态 有什么问题吗？
2
平均速度不一定能反映运动员在某一时 刻的运动状态，可以看出，平均速度只 能粗略地描述物体在某段时间内的运动 状态，为了能更精确地刻画物体运动， 我们有必研究某个时刻的速度即
函数 y = f (x) 在 x = x0 处的瞬时变化率是
称为函数 y = f (x) 在 x = x0 处的导数, 记作
或
,即
14
由导数的定义可知, 求函数 y = f (x)在x=x0的导数的一般方法:
1.求平均变化率 2. 取极限求值 一平、二极 同学们可以这么记求导数的方法：“一贫而急”
瞬时速度。
3
什么是瞬时速度呢？ 如何求瞬时速度呢？
4
3.1.2导数的概念
5
我们把物体在某一时刻的速度称为
瞬时速度.
又如何求 瞬时速度呢?
6
问题一：请大家思考如何求运动员的瞬时速度， 如t=2时刻的瞬时速度？
平均变化率
高中数学第三章导数及其应用3.1变化率与导数课件新人
,
1 x
1 x x
x
1 x
所以 lim y = lim (3+ 2 )=5,
x x 0
x 0
1 x
所以 f′(1)=5.
方法技巧 根据导数的定义,求函数y=f(x)在x=x0处的导数的步骤 (1)求函数的增量Δy=f(x0+Δx)-f(x0);
(2)求平均变化率 y = f (x0 x) f (x0) ;
第三章 导数及其应用 3.1 变化率与导数 3.1.1 变化率问题 3.1.2 导数的概念
3.1.3 导数的几何意义
课标要求
1.理解函数的平均变化率与瞬时 变化率. 2.理解函数在x0处的导数的定义 和导数的几何意义. 3.会求函数在x0处的导数与切线 方程.
素养达成
通过对导数概念与几何意义的学 习,提高学生观察、归纳、抽象概 括的能力,培养学生的应用意识.
新知探求 课堂探究
新知探求 素养养成
知识点一 平均变化率
问题1:我们都吹过气球.回忆一下吹气球的过程,可以发现,随着气球内空 气容量的增加,气球的半径增加得越来越慢.从数学角度,如何描述这种现 象呢?
答案:可以从气球的平均膨胀率去考虑,当 V 从 0 增加到 1 L 时,气球半径增加了 r(1)-r(0)≈0.62(dm). 气球的平均膨胀率为 r(1) r(0) ≈0.62(dm/L);当 V 从 1 L 增加到 2 L 时,气球半径增
均变化率的值.
解:当自变量从 x0 到 x0+Δx 时,函数值的改变量为 Δy=f(x0+Δx)-f(x0)=[2(x0+Δx)2+1]-(2 x02 +1)=4x0Δx+2(Δx)2,
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教案（理论教学首页）二、教学方法和手段1、通过导数概念的形成过程，让学生掌握从具体到抽象，从特殊到一般的思维方法。
2、提高类比归纳、抽象概括、联系与转化的思维能力。
3、在探索“平均变化率”的过程中，体会数学的严谨与理性，感受数学中的美感，激发学生对数学知识的热爱，养成实事求是的科学态度。
4、接受用运动变化的辩证唯物主义思想处理数学问题的积极态度。
三．教学过程1.创设情境，引入新课（1）平均速度与瞬时速度（8分钟）【创设情景，引入课题】播放一段视频林跃在2008年北京奥运会10米跳台夺冠的视频。
（1分钟）【教师提问】假如在比赛过程中，林跃相对水面的高度h(m)与起跳后的时间t(s)存在这样一个函数关系：10＋6.5t ＋4.9t －=）t （h 2.请同学们思考一下在 0t t =时刻时林跃的瞬时速度是多少？ 【学生活动】通过讨论，找到突破口：要求瞬时速度，就是通过研究0t t =时它附近的平均速度变化，如图（1）。
【教师提问】所谓的0t t =时的附近的平均速度速度又要怎么刻画呢？瞬时速度和平均速度有什么关系呢？【教师总结】先求出0t 时刻到0t t +∆时刻的平均速度00()()h t t h t v t+∆-=∆，那么瞬时速度可以用平均速度来约等于，当时间变化量t ∆越小时，平均速度就越接近于瞬时速度，于是我们得到00000()()()lim limt t h t t h t v t v t∆→∆→+∆-==∆。
（2）曲线的切线斜率（5分钟）（1）为什么求曲线的切线的历史原因，17世纪数学家遇到的三类问题。
（2）任意曲线在任意一点的切线定义：割线的极限位置即为切线位置。
【教师提问】那么00(,)M x y 点的切线斜率，按照切线的定义怎么求呢？如下图（2）。
【学生活动】学生按照上述例子瞬时速度的总结，讨论归纳出00(,)M x y 点切线斜率。
即：割线MN 的斜率为平均变化率，当自变量的该变量0x x x ∆=-趋于零时的平均变化率即为M 点的瞬时速度。
2014年人教A版选修1-1课件 第三章小结(导数及其应用)
例2. 已知函数 f ( x ) a ln x b , 曲线 yf(x) 在点 x 1 x (1, f(1)) 处的切线方程为 x2y30. (1) 求 a, b 的值; (2) 证明: 当 x>0 且 x≠1 时, f(x)> ln x . x 1 分析: (1) 求曲线在点(1, f(1))处的切线方程, 与 x2y30 比较系数即可.
左负右正 左正右负
a b co
d
e
x
左负右正
y 8. 用导数求函数的极值 (1) 求导数 f(x). (2) 解导数不等式 f (x)≥0. (3) 确定极值点和极值: a o b x
如果函数连续, 在 f (x)≥0 的左端点处取 得极小值, 右端点处取得极大值.
9. 函数的最大值与最小值 如果函数在区间 [a, b] 上的图象是一条连 续不断的曲线, 那么它必有最大值和最小值.
3. 导数的意义 (1) 函数 yf(x) 在 x0 处的导数的几何意义是 函数过这点的切线的斜率. (2) 导数为正, 函数增; 导数为负, 函数减.
(3) 导数的绝对值大时, 函数增减变化快, 图 象陡峭; 导数绝对值小时, 函数增减变化慢, 图象 较平缓.
(4) 运动函数的导数是瞬时速度, 速度函数的 导数是加速度.
6. 导数与函数的单调性 在区间 (a, b) 内, 若 f(x)>0, 则 f (x) 在 这个区间内是增函数;
反之, 若 f(x)<0, 则 f(x) 在这个区域内
是减函数.
7. 导数与极值 极值点处的导数 等于0 . 极大值左边的导数 大于0 , 右边的导数 小于0 . 极小值左边的导数 小于0 , 右边的导数 大于0 . y 左正右负 左正右负
高中数学第三章导数及其应用3.1.1变化率问题3.1.2导数的概念新人教A版选修
探究2：根据函数的瞬时变化率与在某点处导数的定 义，回答下列问题：
(1)瞬时变化率与平均变化率的关系是什么？它们的 物理意义分别是什么？
提示 瞬时变化率是平均变化率在Δx 无限趋近于 0 时，ΔΔxy无限趋近的值；瞬时变化率的物理意义是指物体运 动的瞬时速度，平均变化率的物理意义是指物体运动的平 均速度．
(2)瞬时变化率与函数在某点处导数的关系是什么？ 提示 函数在某点处的瞬时变化率就是函数在此点 处的导数．
课堂探究案·核心素养提升
题型一 求函数的平均变化率
例1 求函数y＝f(x)＝3x2＋2在区间[x0，x0＋Δx]上的
平均变化率，并求当x0＝2，Δx＝0.1时平均变化率的 值．
【自主解答】 函数 y＝f(x)＝3x2＋2 在区间[x0，x0
【答案】
1 (1)2
(2)见自主解答
●规律总结
1.求函数y=f(x)在点x0处的导数的三个步骤
2．瞬时变化率的几种变形形式
f（x0＋Δx）－f（x0） Δx
2×12＝5.
题型二 求函数在某点处的导数
例2 (1)函数 y＝ x在 x＝1 处的导数为________．
(2)如果一个质点由定点 A 开始运动，在时间 t 的位 移函数为 y＝f(t)＝t3＋3，
①当 t1＝4，Δt＝0.01 时，求Δy 和比值ΔΔyt； ②求 t1＝4 时的导数．
【自主解答】 (1)Δy＝ 1＋Δx－1， ΔΔxy＝ 1＋ΔΔxx－1＝ 1＋Δ1 x＋1，
＋
Δ
x]
上
的
平
均
变
化
率
为
f（x0＋Δx）－f（x0） （x0＋Δx）－x0
＝
[3（x0＋Δx）2＋2]－（3x20＋2） Δx
2020秋高中数学人教A版选修1-1：第三章3.1-3.1.2导数的概念
[学习目标] 1.理解平均变化率、瞬时变化率的概念 (重点)． 2.了解导数概念的实际背景，理解瞬时变化率 就是导数(难点)． 3.会求函数在某点处的导数(重点)．
1．函数的变化率 变化率类型
定义
实例
平均 变化率
解：函数 f(x)＝3x2＋2 在区间[x0，x0＋Δx]上的平均变化
率为
f（x0＋Δx）－f（x0） （x0＋Δx）－x0
＝
[3（x0＋Δx）2＋2]－（3x20＋2） Δx
＝6x0·Δx＋Δ3x（Δx）2＝6x0＋3Δx.
当 x0＝2，Δx＝0.1 时，函数 y＝3x2＋2 在区间[2，2.1]上 的平均变化率为 6×2＋3×0.1＝12.3.
2．函数 y＝f(x)，当自变量 x 由 x0 改变到 x0＋Δx 时， Δy＝( )
A．f(x0＋Δx) B．f (x 0)＋Δx C．f (x 0)·Δx D．f (x 0＋Δx)－f (x 0)
解析：函数值的改变量为 f (x 0＋Δx)－f (x 0)， 所以Δy＝f (x0＋Δx)－f (x 0)．
①当 Δx＝2 时，ΔΔxy＝－4.9×2－3.3＝－13.1； ②当 Δx＝1 时，ΔΔxy＝－4.9×1－3.3＝－8.2； ③当 Δx＝0.1 时，ΔΔxy＝－4.9×0.1－3.3＝－3.79； ④当 Δx＝0.01 时，ΔΔxy＝－4.9×0.01－3.3＝－3.349. (2)当Δx 越来越小时，函数 f(x)在区间[1，1＋Δx]上 的平均变化率逐渐变大，并接近于－3.3.
1．思考判断(正确的打“√”，错的打“×”) (1)函数在某一点的导数与Δx值的正、负无 关．( ) (2)函数y＝f(x)在x＝x0处的导数值是Δx＝0时的平均 变化率．( ) (3)在导数的定义中，Δx，Δy都不可能为0.( ) (4)瞬时变化率是刻画某函数值在区间[x1，x2]点变化 快慢的物理量．( )
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1.1.2导数的概念
（一）教材分析
本节课的教学内容选自人教社普通高中课程标准实验教科书（A版）数学选修2-2第一章第一节的《变化率与导数》，《导数的概念》是第2课时.
导数是微积分的核心概念之一，它是一种特殊的极限，反映了函数变化的快慢程度.导数是求函数的单调性、极值、曲线的切线以及一些优化问题的重要工具，同时对研究几何、不等式起着重要作用.导数概念是我们今后学习微积分的基础•同时，导数在物理学，经济学等领域都有广泛的应用，是开展科学研究必不可少的工具.
（二）教学目标
（1）在上一节学习平均变化率的基础上，了解瞬时速度、瞬时变化率的概念；
（2）理解导数的概念，知道瞬时变化率就是导数，体会导数的思想及其内涵；
（3）会求函数在某点的导数及简单应用.
（三）教学重点与难点
重点：通过运动物体在某一时刻的瞬时速度的探求，抽象概括出函数导数的概念. 难点：使学生体会运动物体在某一时刻的平均速度的极限意义，由此得出函数在某点平均变化率的极限就是函数在该点的瞬时变化率，并由此得出导数的概念.
（四）教学过程
1. 复习引入
（1）函数y = f（x）从x i到X2的平均变化率公式；
（2）函数y = f（x）从x0到X Q L X的平均变化率公式.
2. 合作探究
在高台跳水运动中，运动员在不同时刻的速度是不同的. 我们把物体在某一时刻（某一位置）的速度称为瞬时速度.
探究一：瞬时速度的求解
从前面的学习我们知道，平均速度只能粗略地描述某段时间内物体的运动状态，不一定能
反映运动员在某一时刻的瞬时速度. 如何求运动员的瞬时速度呢？
设计意图：让学生产生进一步学习的需求，即有必要知道任意时刻的速度.
以高台跳水运动为例，研究运动员在某一时刻的瞬时速度.在高台跳水运动中，如果运动员相对于水面的高度h （单位：m ）与起跳后的时间t （单位：s ）存在关系ht =-4.9t2
6.5t 10.
探究：如何求运动员瞬时速度？比如t =2s的瞬时速度是多少？平均速度与瞬时速度有关系吗？
设计意图：问题具体化，即求运动员在t=2s时的瞬时速度.针对具体的问题情境，寻求解决问题的想法.
我们求t=2s的瞬时速度是多少，先察t=2s附近平均速度的情况：
(2) 我们如何表示运动员在t=2s 时的瞬时速度？ (3) 运动员在某一时刻t o 的瞬时速度怎样表示？
设计意图：从特殊到一般，即从特殊点t=2上升到任意点t=t °瞬时速度的表示. (4) 函数f(x)在x=x 0处的瞬时变化率怎样表示？
设计意图：舍弃具体变化率问题的实际意义，抽象为数学问题，定义导数. 探究二：导数的定义
瞬时速度是平均速度—当览趋近于0时的极限.
L t
导数的定义：函数y =f(x)在x =x o 处的瞬时变化率是
啊卡=|m f(xo
：-f (xo
)，我们称它为函数y = f(x)在x=x o 处的导数，记作 f (x o ) 或 y'U 即 f(x o )pm o
f(x x)
—
f(x o )
注意：
(1) 函数应在点X 。
的附近有定义，否则导数不存在；
(2) 瞬时变化率就是导数，导数就是在该点的函数增量与自变量增量的比值 的极限，它反
映的函数在点x o 处变化的快慢程度；
(3) 在定义导数的极限式中， x 趋近于o ,可正、可负，但不为o ,而勺可
以为o* 3.
例题讲解 类型一：导数的概念
例1求函数f (x) = X 2在点x = 2处的导数• 解：因为：y = f (2 ：x) - f (2) =(2 ：x) -2 =4
：x ( ：x)，
所以儿亠丸
A x
Z
所以 Ijm^—y = ljm©(4 ： -x) = 4 练习 1:求函数 f (x) =3x 2 _2x ，求 f (1). 解：因为：y = f(1
：x)
- f (1) =3(1 ：x) —2(1 • ：x) _(3_2) =4
：x
3( ：x)，
熟悉符号，让学生在亲自计算的过程中感受逼近的趋势.
(1)当.t 趋近于0时，平均速度v 有什么样的变化趋势？ 让学生经历观察、分析、归纳、发现规律的过程，体会瞬时速度的含 设计意图： 合作探究： 设计意图： 义.
2
所以丄心亠—4 s
A x Z
所以叽号二叫4 3x) =4
归纳求导数的一般步骤: 比三极限.
设计意图：熟悉导数定义，能进行简单地计算.
类型二：导数的应用
例2将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品，需要对原油进行冷却和加热•如果在第xh时，原油的温度(单位：°c)为f(x) x2 -7x 15(0<x ^8).计算第2h和第6h时，原油温度的瞬时变化率，并说明它们的意义•
解：在第2h时和第6h时，原油温度的瞬时变化率就是f'(2)和f'(6)，
根据导数定义，卫二公飞空
L X L X
2 2
(2 X)—7(2 ：x) 15-(2 -7 2 15) ..、，o
—=a x — 3
x
所以「(2)
lim lim（• ：x -3） = -3 . J0x. J0
同理可得：f (6) =5 .
表示在第2h时和第6h时，原油温度的瞬时变化率分别为-3和5,说明在2h 附近，原油温度大约以
3：C/h的速率下降，在第6h附近，原油温度大约以5：C/h 的速率上升.
练习2：计算第3h和第5h时原油温度的瞬时变化率，并说明它们的意义. 解：同理可得，「(3) = -1，f (5) =3 .
表示在第3h时和第5h时，原油温度的瞬时变化率分别为-1和3,说明在3h 附近，原油温度大约以1C/h的速率下降，在第5h附近，原油温度大约以3C/h 的速率上升.
总结：函数平均变化率的符号刻画的是函数值的增减，它的绝对值反映函数值变化的快慢.
设计意图：熟悉导数定义，了解导数内涵.
4. 小结
(1)导数的概念；
(2)利用导数求瞬时变化率；
(3)求导数的基本步骤.
5. 布置作业
(1)书面作业：必做：教材P10习题1. 1 A组第1，2，3，4，5题；
(2)思考：如何利用导数，求物体运动的加速度？
6. 教后反思。