平面向量在物理方面的五类应用
平面向量的应用
平面向量的应用平面向量是解决空间内几何问题的重要工具之一，具有广泛的应用。
它们可以用来描述物体的位移、速度、加速度等物理量，帮助我们解决各种实际问题。
本文将介绍平面向量的应用，包括力的作用、力的分解、面积计算以及平衡条件等方面。
1. 力的作用平面向量可以用来描述力的作用。
在物体上施加力可以使其发生位移。
假设有两个力F1和F2作用在物体上，它们的大小和方向可以用平面向量表示。
若这两个力的向量分别为A和B，它们的合力可以表示为A + B。
通过求解合力向量的大小和方向，可以确定物体所受的合力。
2. 力的分解平面向量还可以用来对力进行分解。
在力的分析中，我们常常需要将一个力分解为两个或多个分力，以便更好地理解和研究物体受力情况。
将一个力F进行分解，可以得到两个力F1和F2，它们的合力等于F。
通过适当地选择分解方向和大小，可以使得问题的处理更加简单。
3. 面积计算平面向量可以用来计算平面上的面积。
设有三个非共线的向量A、B和C，它们的起点相同，可以构成一个三角形。
这个三角形的面积可以用向量的叉乘来计算，即：面积 = 1/2 * |A × B|其中，|A × B|表示叉乘的模。
通过面积计算公式，我们可以快速准确地计算出平面上各种形状的面积，如矩形、梯形、圆等。
4. 平衡条件平面向量还可以应用于力系统的平衡条件。
对于一个物体受到多个力的作用，若物体保持平衡，则所有作用力的合力必须为零。
可以将每个力表示为一个平面向量，然后将它们相加得到合力向量。
若合力向量为零，则说明物体处于平衡状态。
在实际问题中，通过平面向量的分析和计算，可以解决许多与平面运动、平衡、受力分析等相关的问题。
例如，在建筑物的结构设计中，我们可以利用平面向量对各个支点受力进行分析，保证建筑物结构的稳定性。
总结平面向量的应用广泛且重要，它们可以用于描述力的作用、力的分解、面积计算以及平衡条件的分析等方面。
通过适当地选择和计算向量，可以解决各种实际问题，并提高问题处理的准确性和效率。
5.5平面向量应用
= .
A
B
解： = ∙ = ( + ) ∙ ( + ) = ∙ + ∙ + ∙ + ∙ =
同理：
=
− ∙ + （）
（1）+（2）得：
+
= （
涉及长度问题常常考虑向量的数量积，对 与 进行计算.
（1） ， 分别对质点所做的功；
（2） ， 的合力F对质点所做的功。
17.在风速为（ − ）/的西风中，飞机以150km/h的航速向西北方向飞行，求没有风时飞机的航速和航向。
作
业
答
案
(3)基底向量的夹角最好是明确的(直角最合适);
(4)尽量使基底向量和所涉及的向量共线或构成三角形或构成平行四边形.
3.用向量的坐标处理问题时，建立平面直角坐标系的基本原则：
选择坐标轴和原点不当会增加解题的运算量，也会带来不必要的麻烦.具有公共原点的两
条互相垂直的数轴构成了平面直角坐标系，因此在已知图形中，只要选择互相垂直的两条直
A
Q
B
P
C
课后作业：
4.在△ABC中，AB=AC，D为BC的中点，用向量方法证明 ⊥ .
5.如下图，在正方形ABCD中，E,F分别为AB,BC的中点。求证： ⊥ （利用向量证明）.
D
C
F
A
E
B
6.如下图，在▱ABCD中，AB=3，AD=1，∠ = ，求对角线AC和BD的长.
又因为 = − = − ； 与共线，所以我们设： = = ( − )
平面向量知识点总结归纳
平面向量知识点总结归纳一、向量的基本概念1. 向量的定义既有大小又有方向的量叫做向量。
例如，物理学中的力、位移、速度等都是向量。
向量可以用有向线段来表示，有向线段的长度表示向量的大小，箭头所指的方向表示向量的方向。
向量的大小叫做向量的模，记作a（对于向量a）。
模为0的向量叫做零向量，记作0，零向量的方向是任意的。
模为1的向量叫做单位向量。
2. 向量的表示方法几何表示：用有向线段表示向量，有向线段的起点和终点分别表示向量的起点和终点。
例如，以A为起点，B为终点的向量记作AB。
字母表示：用小写字母a,b,c,表示向量。
3. 相等向量与平行向量相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量。
若a=b，则a=b且a与b方向相同。
例如，在平行四边形ABCD中，AB=DC。
平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量。
规定零向量与任意向量平行。
若a与b是平行向量，则记作ab。
例如，在梯形ABCD中，ADBC。
二、向量的运算1. 向量的加法三角形法则已知非零向量a,b，在平面内任取一点A，作AB=a，BC=b，则向量AC=a+b。
例如，若a表示向东3个单位长度的位移，b表示向北4个单位长度的位移，那么a+b表示向东北方向5个单位长度（根据勾股定理3^2+4^2 = 5）的位移。
平行四边形法则已知两个不共线向量a,b，作AB=a，AD=b，以AB，AD为邻边作平行四边形ABCD，则向量AC=a+b。
运算律：向量加法满足交换律a+b=b+a，结合律(a+b)+c=a+(b+c)。
2. 向量的减法定义：向量a与b的差ab=a+(b)，其中b是b的相反向量，b与b大小相等，方向相反。
三角形法则：已知向量a,b，在平面内任取一点O，作OA=a，OB=b，则向量BA=ab。
3. 向量的数乘定义：实数与向量a的积是一个向量，记作a，它的长度a=a，它的方向当> 0时与a相同，当<0时与a相反，当= 0时，a=0。
平面向量在物理学中的应用
平面向量在物理学中的应用引言：平面向量是一种在数学和物理学中广泛应用的概念。
它们可以用于描述物体的位置、方向和速度，以及解决力学和电磁学等领域的问题。
本文将探讨平面向量在物理学中的重要应用，包括位移、速度、加速度以及力的合成等方面。
1. 位移（Displacement）：位移是描述物体在空间中位置变化的矢量量。
在物理学中，平面向量常用于表示位移。
根据矢量的性质，位移可以用一个有方向和大小的箭头来表示，箭头的起点和终点分别代表物体的起始位置和最终位置。
平面向量可以方便地表示物体在直线或曲线运动中的位移。
2. 速度（Velocity）：速度是物体运动中的物理量之一，表示单位时间内物体位置的改变量。
在物理学中，速度是一个矢量量，并且与位移有一定的关系。
根据矢量加法的原理，速度可以看作位移对时间的导数。
通过平面向量的运算，可以方便地计算出物体的速度，并描述其大小和方向。
3. 加速度（Acceleration）：加速度是物体运动状态的度量，指单位时间内速度的变化率。
类似于速度，加速度也是一个矢量量，并且可以通过位移对时间的导数来计算。
平面向量的加法运算可以简化加速度的计算过程，同时也可以准确地描述加速度的大小和方向。
4. 力的合成（Composition of Forces）：力的合成是指将多个力合并成一个力的过程。
在物理学中，力可以用向量来表示，力的合成则是将多个力矢量进行相加，得到一个合力矢量。
平面向量的运算规则使得力的合成变得简单明了。
通过将各个力的大小和方向用向量表示，并进行矢量相加，可以求得力的合力，从而更好地理解和分析物体所受的合力。
5. 牛顿第二定律（Newton's Second Law）：牛顿第二定律描述了物体运动的定量关系，通过力、质量和加速度之间的关系。
根据牛顿第二定律的公式 F = ma，力和加速度都可以表示成矢量形式。
平面向量的运算能够方便地进行质量和加速度之间的计算，并帮助解决相关的物理问题。
平面向量在物理问题中的应用
平面向量在物理问题中的应用平面向量是解决物理问题的重要工具之一，它能够描述物体在平面内的位移、速度和加速度等性质，广泛应用于力学、电磁学、动力学等物理学领域。
本文将从力学、电磁学和动力学三个方面介绍平面向量在物理问题中的应用。
一、力学中的平面向量应用力学是研究物体运动和受力情况的学科，平面向量在力学问题中扮演着重要的角色。
1. 位移和速度：位移是物体从一个位置到另一个位置的变化，速度是物体在单位时间内位移的变化率。
在力学问题中，我们可以利用平面向量来表示位移和速度。
假设一个物体位于平面上的点P，其位移向量为r，那么P点的速度向量v就是位移向量r对时间的导数。
2. 力和加速度：力是物体所受的作用，而加速度是物体单位时间内速度的改变量。
根据牛顿第二定律，力的大小等于物体质量乘以加速度的大小。
在力学问题中，我们可以使用平面向量来描述力和加速度。
假设一个物体受力F，质量为m，加速度向量为a，则根据牛顿第二定律可以得到F = ma。
二、电磁学中的平面向量应用电磁学是研究电荷和电流、电场和磁场相互作用的学科，平面向量在电磁学问题中也有重要应用。
1. 电场和电势：电场是由电荷产生的一种力场。
在电磁学问题中，平面向量可以用来描述电场的强弱和方向。
假设一个电荷在空间中的位置为点P，电场向量E就是点P处的电场强度对于位置的导数。
而电势则是描述电场能量的标量量，是电场在单位正电荷上的做功。
在电磁学中，我们可以利用平面向量来计算电势。
2. 磁场和磁感应强度：磁场是由电流产生的一种力场。
在电磁学问题中，平面向量可以用来描述磁场的强弱和方向。
假设一个电流在空间中的位置为点P，磁感应强度向量B就是点P处的磁场强度对于位置的导数。
磁场力的大小可以通过安培力定律来计算，利用平面向量可以方便地进行计算。
三、动力学中的平面向量应用动力学是研究物体运动的原因和规律的学科，平面向量在动力学问题中也有广泛应用。
1. 动量和力矩：动量是物体的运动状态的度量，等于质量乘以速度。
初中数学知识归纳平面向量的应用
初中数学知识归纳平面向量的应用初中数学知识归纳:平面向量的应用平面向量是初中数学中重要的概念之一，其应用领域非常广泛。
在本文中，我们将归纳总结平面向量的应用，并且探讨其在几何、物理和经济等领域中的具体应用。
一、平面向量在几何中的应用1. 平移变换：平面向量的加法运算可以用于描述平移变换。
假设有一个向量a表示某个点的位置，通过向量b可以将该点平移至另一个位置，新的位置可以表示为a+b。
平移变换在几何图形的移动和构造中有着重要的应用，例如平行四边形的构造、图形的镜像等。
2. 向量共线与线性组合：通过向量的共线性来判断线段的相似性和平面的共面性。
如果两个向量a和b共线，则可以表示为a=kb，其中k 为一个实数。
此外，通过向量的线性组合可以方便地表示平面内的任意一点。
这种方法在平面几何证明和计算中经常被使用。
3. 矢量运算：平面向量的乘法运算包括数量积和向量积。
数量积可以用于计算两个向量的夹角，通过计算a·b=|a||b|cosθ来得到。
而向量积则用于计算两个向量的面积，通过计算a×b=|a||b|sinθ来得到。
这些矢量运算在几何中常常用于求解角度、判断垂直、计算面积等问题。
二、平面向量在物理中的应用1. 力的合成与分解：平面向量可以用于描述物体所受到的力的合成与分解。
当一个物体受到多个力的作用时，可以将这些力的大小和方向表示为向量，并利用向量的运算求得它们的合力。
相反地，可以将一个力向量分解为多个力向量的和，以便更好地分析物体所受到的力的效果。
2. 平衡力与力的平衡：平面向量的概念在力的平衡问题中有着重要的应用。
当物体所受到的合力为零时，物体处于平衡状态。
利用平面向量，我们可以方便地求解力的平衡条件，并解决各种力的平衡问题。
3. 速度与加速度：平面向量可以用于描述物体的速度和加速度。
速度可以表示为物体位置矢量随时间的变化率，即v=d/dt[r(t)]，其中r(t)为位置矢量。
利用平面向量的运算可以方便地计算物体的速度和加速度，并解决相关的运动学问题。
第二章平面向量及其应用章末总结提升课件高一下学期数学北师大版
中同样适用,但是这里的“同类项”“公因式”是指向量,实数看作是向量的系
数.
(2)方程法:向量也可以通过列方程来解,把所求向量当作未知数,利用解方
程的方法求解,同时在运算过程中多注意观察,恰当地运用运算律,简化运
算.
变式训练 1(1)如图所示,在正方形 ABCD 中,M 是 BC 的中点,若
的侵袭.
规律方法
用向量观点解题,关键在于找到好的切入点,如果题中的速度
(既有大小,又有方向)、距离都可以用向量表达.本题可根据台风中心与城
市间的距离不超过台风侵袭的半径来建立向量不等式,再根据模长公式,求
出时间.
变式训练4一艘船以5 km/h的速度向垂直于对岸的方向行驶,该船实际航行
方向与水流方向成30°角.求水流速度与船的实际速度.
和抽象思维的协调发展,沟通数学知识之间的联系,从复杂的数量关系中凸
显最本质的特征,它是解决问题时常用的方法.在解决平面向量的实际问题
时,结合题目情景,可将问题抽象出一个几何图形(一般利用三角形、平行
四边形、矩形为主),可以直观形象地反映问题中的元素和量的关系,有助
于提升学生的直观想象的思维能力.
【例3】 已知向量a与b不共线,且|a|=|b|≠0,则下列结论一定正确的是( A)
所以 − =λ( − ),又 2 = ,
所以 =(1-λ)+λ=3(1-λ)+λμ =3(1-λ)a+λμb,由于 =
所以
3
1
3(1-λ)=4,λμ=4,解得
3
1
λ=4,μ=3.
3
1
a+4b,
平面向量5类解题技巧(“爪子定理”、系数和等和线、极化恒等式、奔驰定理与三角形四心问题)试题含答案
平面向量5类解题技巧(“爪子定理”、系数和(等和线)、极化恒等式、奔驰定理与三角形四心问题、范围与最值问题)技法01“爪子定理”的应用及解题技巧“爪子定理”是平面向量基本定理的拓展，用“爪子定理”能更快速求解，需同学们重点学习掌握知识迁移形如AD =xAB +yAC 条件的应用(“爪子定理”)“爪”字型图及性质：(1)已知AB ,AC 为不共线的两个向量，则对于向量AD ，必存在x ,y ，使得AD =xAB +yAC 。
则B ,C ,D 三点共线⇔x +y =1当0<x +y <1，则D 与A 位于BC 同侧，且D 位于A 与BC 之间当x +y >1，则D 与A 位于BC 两侧x +y =1时，当x >0,y >0，则D 在线段BC 上；当xy <0，则D 在线段BC 延长线上(2)已知D 在线段BC 上，且BD :CD =m :n ，则AD =n m +n AB +m m +nAC1(全国·高考真题)设D 为△ABC 所在平面内一点，且BC =3CD ，则()A.AD =-13AB +43ACB.AD =13AB -43ACC.AD =43AB +13ACD.AD =43AB -13AC 2(2023江苏模拟)如图，在△ABC 中，AN =13NC ，P 是BN 上的一点，若AP =mAB +211AC ，则实数m 的值为()A.911 B.511 C.311 D.2111(2022·全国·统考高考真题)在△ABC 中，点D 在边AB 上，BD =2DA ．记CA =m ，CD =n ，则CB =()A.3m -2nB.-2m +3nC.3m +2nD.2m +3n2(全国·高考真题)在△ABC 中，AB =c ，AC =b ．若点D 满足BD =2DC ，则AD =()A.23b +13c B.53c -23b C.23b -13c D.13b +23c 3(2020·新高考全国1卷·统考高考真题)已知平行四边形ABCD ，点E ，F 分别是AB ，BC 的中点(如图所示)，设AB =a ，AD =b ，则EF 等于()A.12a +bB.12a -bC.12b -aD.12a +b 4(全国·高考真题)在△ABC 中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则EB =()A.34AB -14AC B.14AB -34AC C.34AB +14AC D.14AB +34AC 5(江苏·高考真题)设D 、E 分别是ΔABC 的边AB ，BC 上的点，AD =12AB ，BE =23BC . 若DE =λ1AB +λ2AC (λ1,λ2为实数)，则λ1+λ2的值是技法02系数和(等和线)的应用及解题技巧近年，高考、模考中有关“系数和（等和线）定理”背景的试题层出不穷，学生在解决此类问题时，往往要通过建系或利用角度与数量积处理，结果因思路不清、解题繁琐，导致得分率不高，而向量三点共线定理与等和线巧妙地将代数问题转化为图形关系问题，将系数和的代数运算转化为距离的比例运算，数形结合思想得到了有效体现，同时也为相关问题的解决提供了新的思路，大家可以学以致用知识迁移如图，P 为ΔAOB 所在平面上一点，过O 作直线l ⎳AB ，由平面向量基本定理知：存在x ,y ∈R ，使得OP =xOA +yOB下面根据点P 的位置分几种情况来考虑系数和x +y 的值①若P ∈l 时，则射线OP 与l 无交点，由l ⎳AB 知，存在实数λ，使得OP =λAB 而AB =OB -OA ，所以OP =λOB -λOA ，于是x +y =λ-λ=0②若P ∉l 时，(i )如图1，当P 在l 右侧时，过P 作CD ⎳AB ，交射线OA ，OB 于C ,D 两点，则ΔOCD ∼ΔOAB ，不妨设ΔOCD 与ΔOAB 的相似比为k由P ,C ，D 三点共线可知：存在λ∈R 使得：OP =λOC +(1-λ)OD =kλOA +k (1-λ)OB所以x +y =kλ+k (1-λ)=k(ii )当P 在l 左侧时，射线OP 的反向延长线与AB 有交点，如图1作P 关于O 的对称点P ，由(i )的分析知：存在存在λ∈R 使得：OP =λOC +(1-λ)OD =kλOA +(1-λ)OB 所以OP =-kλOA +-(1-λ)OB于是x +y =-kλ+-k (1-λ)=-k 综合上面的讨论可知：图中OP 用OA ,OB 线性表示时，其系数和x +y 只与两三角形的相似比有关。
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学科知识融合交汇处 缔结向量物理新空间
——平面向量在物理方面的五类应用
平面向量是联系“数”与“形”的桥梁和纽带，它不仅是解决数学问题的有力工具，也是物理学中破解有关“数与形”物理问题的有效工具，数学与物理学科知识的融合交汇处，可缔结出向量与物理的新空间.通过平面向量这一工具一般可化解物理学中的“力的合成、功的求解、速度合成、船的航行、物体稳定”等五类问题，下面就平面向量在这五个方面的应用进行举例分析：
一、力的合成问题
例1、两个大小相等的共点力12
,F F ，当它们间夹角为0
90时，合力的大小为20N ，则当它们的夹角为0
120时，合力的大小为（ ）
A 、40N B
、 C
、 D
分析：力的合成关键是依平行四边形法则，求出力的大小，然后再结合平行四边形法则
求出新的合力.
解析：对于两个大小相等的共点力12
,F F ，当它们间夹角为0
90时，合力的大小为20N
时，这二个力的大小都是N ，对于它们的夹角为0
120时，由三角形法则，可知力的合
成构成一个等边三角形，因此合力的大小为N. 正确答案为B.
点评：力的合成可用平行四边形法则，也可用三角形法则，各有优点，但实质是相通的，
关键是要灵活掌握；对于第一个平行四边形法则的应用易造成的错解是1F =
，这样
就会错选答案D.
类题练习1：已知作用在()1,1A 点的三个力123(3,4),(2,5),(3,1),F F F ==-=
则合力123F F F F =++
的终点坐标是（ ）
A 、()9,1
B 、()1,9
C 、()9,0
D 、()0,9
解析：对于力的合成问题用坐标法，实际是相量的加法问题，因此123F F F F =++
的终
点坐标是()323,451(8,0),(9,1)AF F =++-+=∴=
,因此选A.
二、功的求解问题
例2、一个物体受到同一平面内的三个力123
,,F F F 的作用，沿北偏东0
45的方向移动8m ，其中，12F N = ，方向为北偏东030，24F N = ，方向为东偏北0
30，36F N = ，
方向为西偏北0
60，则合力所作的功是
分析：这是一个物理中的功的求解问题，对于功的求解一般是用向量的点积，但点积的运算有向量法和坐标法两种，对于易建立坐标系的情况还是用坐标法求解为好.
解析：对于题意建立平面直角坐标如图所示，根据图示求出各处力的向量坐标可
得：12(1F F ==
3(F =-
因此合
力2,2F =+
，
而(,42
S = ，这样其所做的功为W F S =⋅=
(
=，即合
O
x
y
1F 2F
3F
力所做的功为.
点评：对于功的求解要注意力用坐标，位移也可用坐标表示，然后用坐标法求向量的点积，然后求出合力所做的功.
类题练2：已知一物体在共点力12(2,2),(3,1),F F ==
的作用下产生位移
13(,)22
s = ，则共点力对物体所做的功为（ ）
A 、4
B 、3
C 、7
D 、2
解析：对于合力()5,3F =
，其所做的功为59722
W F S =⋅=+= .因此选C.
三、速度合成问题
例3、人骑自行车的速度为1v ，风速为2v
，则逆风行驶的速度大小为（ ）
A 、12v v -
B 、12v v +
C 、12v v -
D 、12
v v
分析：对于速度的合成问题，关键是运用向量的合成进行处理，本题的方向相反，大小就相减.
解析：对于逆风行驶其速度大小为12v v -
，因此宜选C.
点评：速度的合成主要是要根据向量的三角形法则或平行四边形法则进行求解，因此对于逆风或顺风问题速度的大小可通过相减或相加可得.
类题练3、某人以时速为/akm h 向东行走，此时正刮着时速为/akm h 的南风，则此人感到的风向及风速为（ ）
A
/h B 、东南，/akm h C
/h D
/h 解析：如图所示，对于速度的合成由三角形法
/h ,因此可选C.
四、船的航行问题
例4、一艘船从A
点出发以/h 的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时河水流速为2/km h ，求船实际航行的速度的大小与方向.
分析：这是一个船行问题，处理的方法和原则是三角形法则或平行四边形法则，当然要注意船的实际航速和航向，船在静水中的航速和航向.
解析：如图所示，由向量的三角形法则知，对于v =水2/km h ，v =
船/h ，
得
4v ==船实际/k m h ，方向为逆水流与水
流成0
30夹角.
点评：对于船的航行问题关键是要注意运用向量的
合成法则进行，当然要特别注意“船的实际航速和航向”和“船在静水中的航速和航向.
类题练4、河水自西向东流，流速为2/m s ，一轮
a /km h
南风2/m s
西北方向/s
水流2/m s
v =水2/km h
v =船
船以2/m s 垂直于水流方向向北横渡，求轮船的实际航行方向和航速.
解析：如图所示，由向量的三角形法则知，轮船的实际航行方向为西北方向，航速为
/s .
五、物体稳定问题
例5、如图所示，对于同一高度（足够高）的两个定滑轮,用一条(足够长)绳子跨过它们,并在两端分别挂有4kg 和2kg 的物体,另在两个滑轮中间的一段绳子悬挂另一物体,为使系统保持平衡状态,此物体的质量应是多少?(忽略滑轮半径、绳子的重量)？
分析：对于物体的平衡关键是上下、左右的平衡，因此可从重力和向上的合力相等；从向左的拉力和向右的拉力相等列方程破解.当然有关参数的求解需要有较高的函数最值的求解技巧.
解析：如图可将重力与向上的拉力；向左与向右的位力相等出发进行列方程，即有122sin 4sin θθ=，122cos 4cos m θθ+=，这样化去
2θ得22124sin 16sin θθ=，()
2
22116cos 2cos m θθ=-，这样就有
22111644cos ,4cos 120m m m m θθ=+-∴--=对于2
116cos 480θ∆=+>，因此有
21120cos 14m m
θ-<=<
，6m <
，因此物体的质量范围是()
.
点评：这类问题的破解首选是列方程，关键是求参数，而求参数的过程是有二种方案的，如果消去1θ，用2θ的变量则求解显得困难重重，因此要注意选择合适的参数作为变量.其中的分离系数求变量的方法更是值得注意的好方法，当然要注意的是参数的范围.
类题练5、如右图所示，在细绳O 处用水平力2
F
缓慢拉起所受重力为G
的物体，绳子与铅垂方向的
夹角为θ，绳子所受到的拉力为1F
，
求：（1）12
,F F 随角θ的变化而变化的情况；（2）当2F G ≤
时，θ角的取值范围.
解析：（1）由题意，对于由三角形法则得，
12,tan ,cos G
F F
G θθ==
因此θ从00至090时，
12,F F
随角θ的增大而增大.
（2）对于11
2,cos cos 2
G F G θθ=≤∴≥ ，因此00060θ≤≤。