《锐角三角函数》课件
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锐角三角函数课件
$sin 30^circ = frac{1}{2}$
45度角的余弦值
$cos 45^circ = frac{sqrt{2}}{2}$
30度角的余弦值
$cos 30^circ = frac{sqrt{3}}{2}$
60度角的正弦值
$sin 60^circ = frac{sqrt{3}}{2}$
45度角的正弦值
在工程学中的应用
结构设计
在建筑和机械设计中，锐角三角 函数用于计算结构件的角度和长
度。
控制系统
在控制系统的设计中，锐角三角函 数用于描述系统的传递函数和稳定 性。
信号处理
在信号处理中，锐角三角函数用于 频谱分析和滤波器的设计。
05
特殊角度的三角函数值
30度、45度、60度的三角函数值
30度角的正弦值
正切函数的图像在每 一个开区间(π/2+kπ, π/2+kπ)， k∈Z内都是递增的。
04
锐角三角函数的应用
在几何学中的应用
01
02
03
计算角度
锐角三角函数可以帮助我 们计算出特定角度的三角 形的角度，例如直角三角 形中的锐角。
计算边长
通过已知的角度和边长， 我们可以使用锐角三角函 数来计算其他边的长度。
04
90度角的余弦值
$cos 90^circ = 0$
06
习题与解答
习题
题目1
已知直角三角形中，一个锐角为 30°，邻边长为3，求对边长。
题目2
在直角三角形中，已知一个锐角 为45°，斜边长为5，求邻边长。
题目3
已知直角三角形中，一个锐角为 60°，对边长为6，求斜边长。
答案与解析
01
45度角的余弦值
$cos 45^circ = frac{sqrt{2}}{2}$
30度角的余弦值
$cos 30^circ = frac{sqrt{3}}{2}$
60度角的正弦值
$sin 60^circ = frac{sqrt{3}}{2}$
45度角的正弦值
在工程学中的应用
结构设计
在建筑和机械设计中，锐角三角 函数用于计算结构件的角度和长
度。
控制系统
在控制系统的设计中，锐角三角函 数用于描述系统的传递函数和稳定 性。
信号处理
在信号处理中，锐角三角函数用于 频谱分析和滤波器的设计。
05
特殊角度的三角函数值
30度、45度、60度的三角函数值
30度角的正弦值
正切函数的图像在每 一个开区间(π/2+kπ, π/2+kπ)， k∈Z内都是递增的。
04
锐角三角函数的应用
在几何学中的应用
01
02
03
计算角度
锐角三角函数可以帮助我 们计算出特定角度的三角 形的角度，例如直角三角 形中的锐角。
计算边长
通过已知的角度和边长， 我们可以使用锐角三角函 数来计算其他边的长度。
04
90度角的余弦值
$cos 90^circ = 0$
06
习题与解答
习题
题目1
已知直角三角形中，一个锐角为 30°，邻边长为3，求对边长。
题目2
在直角三角形中，已知一个锐角 为45°，斜边长为5，求邻边长。
题目3
已知直角三角形中，一个锐角为 60°，对边长为6，求斜边长。
答案与解析
01
《锐角三角函数》PPT教学课件(第1课时)
BC AC
= 12 =
AC
34，所以AC=9.故填9.
随堂训练
AB 6.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC
17 15
,则tan
15 A＝_8__．
由正切定义可知tan A＝BACC , 因为 AB 17 , 可设BC＝15a，AB＝17a，从而可
BC 15
用勾股定理表示出第三边AC＝8a，再用正切的定义求解得 tan A＝ BC 15 .
由勾股定理可得 AB= BC2 AC2 122 162 =20.
∴AB的长为20.
课堂小结
1.正切的定义： 如图，在Rt△ABC中，如果锐角A确定，那么∠A的对边与邻
边的比便随之确定，这个比叫做 ∠A的正切，记作tan A， 即tan A＝ A的对边
A的邻边
2.tanA的值越大，梯子（坡）越陡
图①
图②
新课导入
问题引入
如图所示,轮船在A处时,灯塔B位于它 的北偏东35°的方向上.轮船向东航行5 km 到达C处时,轮船位于灯塔的正南方,此时轮 船距灯塔多少千米?(结果保留两位小数)
该实际问题中的已知和所求为图中的哪些角和线段?
(事实上,求轮船距灯塔的距离,就是在Rt△ABC中,已知 ∠C=90°,∠BAC=55°,AC=5 km,求BC长度的问题)
C,C'.
BC AC
与BACC
具有怎样的关系?
在两个直角三角形中,当一对锐角相等
时,这两个直角三角形相似,从而两条对应直
角边的比相等,即当∠A(小于90°)确定时,以 ∠A为锐角的Rt△ABC的两条直角边的比 BC
AC
是确定的.
知识讲解
1.正切的定义
如图所示,在Rt△ABC中,∠C=90°,我们把∠A的对边与邻边的比叫
锐角三角函数课件
探究新知
正切的定义
问题 你能比较两个梯子哪个更陡吗？ 你有哪些办法？
如图,小明想通过测量B1C1及AC1, 算出它们的比,来说明梯子AB1的 倾斜程度;
而小亮则认为,通过测量B2C2及AC2, 算出它们的比,也能说明梯子AB1的 倾斜程度.
你同意小亮的看法吗?
A
B1 B
2
CC
2
1
直角三角形的边与角的关系
2.1 锐角三角形
教学目标
1.理解正弦和余弦的意义;能够运用sin A,cos A表示直角三角形两边的比;能根据 直角三角形中的边角关系,进行简单的计算.
2.通过正弦和余弦函数的学习,进一步认识函数,体会函数的变化与对应的思想,逐 步培养学生会视察、比较、分析、概括等逻辑思维能力.。
教学难点
重点:理解正弦、余弦的数学定义,感受数学与生活的联系. 难点:体会正弦、余弦的数学意义,并用它来解决生活中的实际问题.
A
a
2
c
b 2 c
a2 b2 c2
c2 c2
1
定义：在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，我们把∠A的正弦、余弦 和正切，叫作 ∠A的锐角三角函数 .
巩固练习
1. 在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=7，BC=5，则
5
7
tan A=__7____，tan B =__5____．
2.如图,在Rt△ABC中,锐角A的对边和邻边同时扩大100倍,
与邻边的比就随之确定.想一想，此时，其他边之间的比是否
也确定了呢？
B
斜边c
对边a
A
邻边b C
一、正弦的定义
任意画Rt△ABC 和Rt△A'B'C'，使得∠C＝∠C'＝90°，∠A＝
(课件1)25.2锐角三角函数
股定理求出，试一试吧，用心做一做，我相信， 你 一 定 能 又 准 又 快 的 做 好 的 ---
特殊角的三角函数值
sin 30 , sin 45 , sin 60 的 函 数 值 分 别 是 多 少 啊 ？ 有哪些规律啊？（可以从它们的分子分母上去观察） cos 30 , cos 45 , cos 60 呢 ？ 与 正 弦 有 什 么 联 系 呢 ？ tan 30 , tan 45 , tan 60 的 大 小 规 律 是 什 么 啊 ？ cot 30 , cot 45 , cot 60 的 大 小 规 律 与 锐 角 的 正 弦 类 似 ， 还是与余弦类似啊？
定义的应用(一）
取值范围：
AC AB
在以后的计算过程中， 如果出现了一个锐角 的正弦值或是余弦值 大于1—你啊，快点 回头检查，一定在哪 一步出现了错误！
sin B
中 , A C 为 直 角 边 ， AB为 斜 边 ， AC AB
sin B 1
想 一 想 ： 为 什 么 “ sin B 0” 呢 ？ 你 能 不 能 根 据 以 上 推 理 ， 得 出 “ 0 sinB 1 这个结论吗？
, 斜 边 A B是 直 角 边 AC的
答案（1-----3题）
1 . 1 .原 式 3 3 3 3
2 .原 式
3 2 2
1
2。 答 ： 这 个 三 角 形 是 钝 角 三 角 形 。 原 因 ： A=45 , B 30
C 180 45 30 105 90
解直角三角形 -锐角三角函数
• 华东师大版第25章第二节 • 九年级上册
锐角三角函数的内容
锐角三角函数的基本概念优秀课件
随堂练习 18
相信自己 9. 在 Rt△ABC 中，∠C=90°.
（1）AC=25，AB=27，求 tan A 和 tan B； （2）BC=3，tan A=0.6，求 AC 和 AB； （3）AC=4，tan A=0.8，求 BC.
第二十一页，共二十六页。
10. 如图，在梯形 ABCD 中，AD//BC，AB=DC= 13，AD=8，BC=18. 求 tan B.
第二十六页，共二十六页。
第十二页，共二十六页。
B1 B2
C2
C1
例题欣赏 12
行家看“门道”
例1 下图表示两个自动扶梯，哪一个自动扶梯比较陡？
13 m α
甲
5m ┌
6m ┐β 8m 乙
第十三页，共二十六页。
解：甲梯中， tan 5 5 . 乙梯中， tan 6 3 . 132 52 12 ∵tan β >tan α， 8 4
A. 扩大 100 倍
B. 缩小 100 倍
C. 不变
D. 不能确定
4. 已知∠A，∠B为锐角.
（1）若∠A=∠B，则 tan A
tan B；
（2）若 tan A=tan B，则∠A
∠B.
第十八页，共二十六页。
随堂练习 16
八仙过海，尽显才能
5. 如图，分别根据图（1）和图（2）求 tan A 的值. 6. 在 Rt△ABC 中，∠C=90°. （1）AC=3，AB=6，求 tan A 和 tan B； （2）BC=3，tan A= ，5求 AC 和 AB.
12
第十九页，共二十六页。
随堂练习 17
八仙过海，尽显才能
7. 在 Rt△ABC 中，∠C=90°，AB=15，tan A= ， 3
《锐角三角函数》课件
锐角三角函数图像与性质
正弦函数图像及性质
周期性
振幅
相位
图像特点
正弦函数具有周期性，周期为2π。
正弦函数的相位表示函数在水平方向上的移动，通过调整相位可以得到不同位置的正弦波。
正弦函数的振幅为1，表示函数在垂直方向上的波动范围。
正弦函数的图像是一条连续的、平滑的曲线，呈现周期性的波动。
余弦函数图像及性质
202X
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《锐角三角函数》ppt课件
汇报日期
汇报人姓名
目录
锐角三角函数基本概念
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锐角三角函数图像与性质
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锐角三角函数运算规则
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锐角三角函数在实际问题中应用
乘法运算规则
两个锐角三角函数的除法运算，通常转化为同角三角函数的除法运算，再利用同角三角函数的基本关系式进行化简。
除法运算规则
按照先乘除后加减的运算顺序进行乘除混合运算，注意运算过程中的化简和约分。
乘除混合运算规则
复合运算规则
复合函数的定义域
复合函数的值域
复合函数的单调性
复合函数的周期性
01
02
03
钝角三角函数定义
探讨了钝角三角函数的性质，如取值范围、增减性等，以及与锐角三角函数的异同点。
钝角三角函数的性质
介绍了在直角情况下，一些特殊角的三角函数值，如0°、30°、45°、60°、90°等，以及如何利用这些特殊值进行计算和证明。
直角情况下的特殊值
感谢观看
THANKS
渐近线与间断点
02
正弦函数图像及性质
周期性
振幅
相位
图像特点
正弦函数具有周期性，周期为2π。
正弦函数的相位表示函数在水平方向上的移动，通过调整相位可以得到不同位置的正弦波。
正弦函数的振幅为1，表示函数在垂直方向上的波动范围。
正弦函数的图像是一条连续的、平滑的曲线，呈现周期性的波动。
余弦函数图像及性质
202X
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目录
锐角三角函数基本概念
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锐角三角函数图像与性质
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锐角三角函数运算规则
单击此处添加文本具体内容，简明扼要的阐述您的观点。
锐角三角函数在实际问题中应用
乘法运算规则
两个锐角三角函数的除法运算，通常转化为同角三角函数的除法运算，再利用同角三角函数的基本关系式进行化简。
除法运算规则
按照先乘除后加减的运算顺序进行乘除混合运算，注意运算过程中的化简和约分。
乘除混合运算规则
复合运算规则
复合函数的定义域
复合函数的值域
复合函数的单调性
复合函数的周期性
01
02
03
钝角三角函数定义
探讨了钝角三角函数的性质，如取值范围、增减性等，以及与锐角三角函数的异同点。
钝角三角函数的性质
介绍了在直角情况下，一些特殊角的三角函数值，如0°、30°、45°、60°、90°等，以及如何利用这些特殊值进行计算和证明。
直角情况下的特殊值
感谢观看
THANKS
渐近线与间断点
02
锐角的三角函数PPT
余弦函数的符号为cos，表示为cos(θ)， 其中θ为锐角。
02
余弦函数的图像是一条周期为2π的余弦 曲线，表示在直角三角形中，邻边的长 度与斜边的长度的比值在[-1,1]之间周 期性变化。
04
正切函数的定义
01
正切函数：tan(θ) = sin(θ) / cos(θ)
02
正切函数的定义域：(0, π/2)
余弦函数的值域：[-1, 1]
余弦函数的图像：一个周期为2π的周 期函数，图像关于y轴对称
余弦函数的奇偶性：偶函数，f(x) = f(-x)
余弦函数的单调性：在[0, π/2]上是 增函数，在[π/2, π]上是减函数
余弦函数的导数：f'(x) = -sin(x)
正切函数的性质
01
02
03
04
05
值域：正弦函数的值域是[-1, 1]
奇偶性：正弦函数是奇函数， 即f(x) = -f(-x)
周期性：正弦函数的周期是 2π，即f(x + 2π) = f(x)
最值：正弦函数的最大值是1， 最小值是-1
图像：正弦函数的图像是一 条正弦曲线，关于原点对称
余弦函数的性质
定义：余弦函数是直角三角形中的一 个角与对边和斜边的比值
03
正切函数的值域：(0, ∞)
04
正切函数的图像：在平 面直角坐标系中，正切 函数的图像是一条以原 点为中心的对称曲线， 在y轴右侧的部分为单调 递增，在y轴左侧的部分 为单调递减。
Part Two
锐角三角函数的性 质
正弦函数的性质
定义：正弦函数是直角三角 形中的一个角（锐角）的正 弦值与对边长度的比值
06
正切函数是锐 角三角函数中 的一种，表示 在一个直角三 角形中，对边 （opposite） 的长度与邻边 （adjacent） 的长度之比。
锐角三角函数说课稿市公开课一等奖省优质课获奖课件.pptx
注意：sinA不表示“sin”乘以“A”. 正弦常见写法有以下两种形式：
(1)sinA，sin42°，sinβ（省去角符号）;
(2)sin∠DEF，sin∠1（不能省去角符号）.
第4页
例题精讲 【例1】如图28-1-4，在Rt△ABC中，BC=8， AC=10. 求sinA和sinB值.
第5页
解析 依据正弦定义知sinA= ，sinB= . 因为AB未知，所以应先依据勾股定理求出AB.
（1）求证：DC=BC； （2）若AB=5，AC=4，求 tan∠DCE值．
第36页
第37页
第38页
第17页
锐角三角函数概念:锐角A正弦、余弦、正切都叫 做∠A锐角三角函数.三角函数实质是一个比值，这些 比值只与锐角大小相关，与直角三角形大小无关. 当 一个锐角值给定，它三个三角函数值就对应地确定了 ，另外，并非只有在直角三角形中才有锐角三角函数 值，而是只要有角就有三角函数值.
第18页
2. 各锐角三角函数之间关系： （1）互余关系：sinA=cos（90°-A）， cosA= sin（90°-A）. （2）平方关系：sin2A+cos2A=1. （3）弦切关系：tanA=
方法规律
第32页
第33页
7. （6分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B ，∠C对边分别为a，b，c.已知2a＝3b，求∠B三角函 数值.
第34页
第35页
8. （6分）如图KT28-1-2所表 示，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O直 径，点D在⊙O上，过点C切线交AD 延长线于点E，且AE⊥CE，连接CD．
解析 作出图形如图28-1-10，可得AB=500 m，∠A=20°，在Rt△ABC中，利用三角函数即可求 得BC长度.
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数 学
新课标（XJ） 九年级上册
4.2.2 锐角三角函数
4.2.2 锐角三角函数
探 究 新 知
活动1 知识准备
1． 在△ABC 中， 若∠C＝90°， AC＝1， AB ＝5， 则 sin B ＝____，cosB ＝____，tan A ＝____． 2．计算：sin 230°＋cos230°－tan 245°＝____ 0 ．
4.2.2 锐角三角函数
活动2
教材导学
利用计算器解决正切相关计算问题 1．用计算器求锐角的正切值(精确到0.0001)： (1)tan21°15′≈ 0.3889 ； (2)tan89°27′≈ 104.1709 ； 0.1019 ． (3)tan5°49′≈ 2．已知正切值，用计算器求相应的锐角(精确到1′)． 52°9′ ； (1)若tanα＝1.2868，则α≈ 89°28′ (2)若tanα＝108.5729，则α≈ ．
4.2.2 锐角三角函数
探究问题二
锐角三角函数的简单运用
例 2 如图 4－ 2－15 所示， 根据图中给出的零件的相 关数据，求α 的大小．
图 4－2－15
4.2.2 锐角三角函数
[解析] 首先构造含α的直角三角形，过 A 点作 BC 的垂 线， 垂足为点 C ， 在 R， 可求得 α的正切值 tan α，借助计算器得出α的大 小． 解：过点 A 作 AC⊥ BC 于点 C，则在 Rt △ABC 中， AC＝90，BC＝83－(145－118)＝56， AC 90 ∴tan α＝ ＝ ≈1.6071. BC 56 ∴α≈58°7′.
4.2.2 锐角三角函数
新 知 梳 理
知识点一 用计算器由正切值求角度
与用计算器由锐角的正、余弦值求角度相同，仅按的 键不同．由正切值求角度时按键顺序应为“2ndF，tan， 数值，＝”或“SHIFT，tan，数值，＝”．
4.2.2 锐角三角函数
知识点二
锐角三角函数的概念 ．
定义：把锐角的____ 统称为锐角三角函数 正弦、____ 余弦和____ 正切 取值范围：当α为锐角时， 正弦：0＜sinα＜1， 余弦：0＜cosα＜1， 正切：tanα＞0.
4.2.2 锐角三角函数
重难互动探究
探究问题一 由锐角的一种三角函数值求其他三角函数值
3 例 1 在△ABC 中，∠C＝ 90°，若 sin A ＝ ，求∠A 的 4 另外两个三角函数值．
[解析] 本题可用锐角三角函数概念求解， 也可用锐角三角 函数间的关系求解．
4.2.2 锐角三角函数
解：法一：因为 ∠A 为锐角， 所以 cosA ＞0. 又由 sin 2A ＋cos2A ＝1， 3 2 7 2 1 －（ ） 所以 cosA ＝ 1－sin A＝ ＝ ， 4 4 3 sinA 4 3 7 tan A ＝ ＝ ＝ . cosA 7 7 4 3 法二：因 sin A ＝ ，所以设 BC＝3A ，AB ＝ 4A ， 4 AC 7 则 AC＝ 7A ，所以 cosA ＝ ＝ ， AB 4 3 7 tan A ＝ . 7
新课标（XJ） 九年级上册
4.2.2 锐角三角函数
4.2.2 锐角三角函数
探 究 新 知
活动1 知识准备
1． 在△ABC 中， 若∠C＝90°， AC＝1， AB ＝5， 则 sin B ＝____，cosB ＝____，tan A ＝____． 2．计算：sin 230°＋cos230°－tan 245°＝____ 0 ．
4.2.2 锐角三角函数
活动2
教材导学
利用计算器解决正切相关计算问题 1．用计算器求锐角的正切值(精确到0.0001)： (1)tan21°15′≈ 0.3889 ； (2)tan89°27′≈ 104.1709 ； 0.1019 ． (3)tan5°49′≈ 2．已知正切值，用计算器求相应的锐角(精确到1′)． 52°9′ ； (1)若tanα＝1.2868，则α≈ 89°28′ (2)若tanα＝108.5729，则α≈ ．
4.2.2 锐角三角函数
探究问题二
锐角三角函数的简单运用
例 2 如图 4－ 2－15 所示， 根据图中给出的零件的相 关数据，求α 的大小．
图 4－2－15
4.2.2 锐角三角函数
[解析] 首先构造含α的直角三角形，过 A 点作 BC 的垂 线， 垂足为点 C ， 在 R， 可求得 α的正切值 tan α，借助计算器得出α的大 小． 解：过点 A 作 AC⊥ BC 于点 C，则在 Rt △ABC 中， AC＝90，BC＝83－(145－118)＝56， AC 90 ∴tan α＝ ＝ ≈1.6071. BC 56 ∴α≈58°7′.
4.2.2 锐角三角函数
新 知 梳 理
知识点一 用计算器由正切值求角度
与用计算器由锐角的正、余弦值求角度相同，仅按的 键不同．由正切值求角度时按键顺序应为“2ndF，tan， 数值，＝”或“SHIFT，tan，数值，＝”．
4.2.2 锐角三角函数
知识点二
锐角三角函数的概念 ．
定义：把锐角的____ 统称为锐角三角函数 正弦、____ 余弦和____ 正切 取值范围：当α为锐角时， 正弦：0＜sinα＜1， 余弦：0＜cosα＜1， 正切：tanα＞0.
4.2.2 锐角三角函数
重难互动探究
探究问题一 由锐角的一种三角函数值求其他三角函数值
3 例 1 在△ABC 中，∠C＝ 90°，若 sin A ＝ ，求∠A 的 4 另外两个三角函数值．
[解析] 本题可用锐角三角函数概念求解， 也可用锐角三角 函数间的关系求解．
4.2.2 锐角三角函数
解：法一：因为 ∠A 为锐角， 所以 cosA ＞0. 又由 sin 2A ＋cos2A ＝1， 3 2 7 2 1 －（ ） 所以 cosA ＝ 1－sin A＝ ＝ ， 4 4 3 sinA 4 3 7 tan A ＝ ＝ ＝ . cosA 7 7 4 3 法二：因 sin A ＝ ，所以设 BC＝3A ，AB ＝ 4A ， 4 AC 7 则 AC＝ 7A ，所以 cosA ＝ ＝ ， AB 4 3 7 tan A ＝ . 7