专题：函数定义域的求法及常见题型 (定稿)
高中数学《函数定义域值域》专题复习
求函数定义域和值域专题1 知识点拨一、函数的定义域及求法1、分式的分母≠0；偶次方根的被开方数≥0；2、对数函数的真数＞0；对数函数的底数＞0且≠1；3、正切函数：x ≠kπ+ π/2 ,k∈Z；4、一次函数、二次函数、指数函数的定义域为R；5、复合函数定义域的求法：取交集及分类讨论；6、抽象函数定义域的求法；二、含分式的函数在求含分式的函数的定义域时，要注意两点：（1）分式的分母一定不能为0；（2）绝对不能先化简后求函数定义域。
例1：求函数f(x)=211xx-+的定义域．三、含偶次根式的函数注意（1）求含偶次根式的函数的定义域时，注意偶次根式的被开方数不小于0，通过求不等式来求其定义域；（2）在研究函数时，常常用到区间的概念，它是数学中常用的术语和符号，注意区间的开闭情况.例2 ：求函数y ＝3-ax （a 为不等于0的常数）的定义域.四、复合型函数注意 函数是由一些基本初等函数通过四则运算而得到的，则它的定义域是各基本函数定义域的交集，通过列不等式组来实现.例3：求函数y ＝23-x ＋30323-+x x ）（的定义域．练习1、求下列函数的定义域。
⑴y=xx -||1 ⑵y=3102++x x （3）y=||11x - （4）y=2121---x x （5）2143)(2-+--=x x x x f五、抽象函数1.已知)(x f 的定义域，求复合函数()][x g f 的定义域由复合函数的定义我们可知，要构成复合函数，则内层函数的值域必须包含于外层函数的定义域之中，因此可得其方法为：若)(x f 的定义域为()b a x ,∈，求出)]([x g f 中b x g a <<)(的解x 的范围，即为)]([x g f 的定义域。
2.已知复合函数()][x g f 的定义域，求)(x f 的定义域方法是：若()][x g f 的定义域为()b a x ,∈，则由b x a <<确定)(x g 的范围即为)(x f 的定义域。
函数专题：函数定义域的3种常见考法-【题型分类归纳】
函数专题：函数定义域的3种常见考法一、具体函数定义域求法 1、分式的分母不能为零.2、偶次方根的被开方数的被开方数必须大于等于零，(2,)n x n k k N *=∈其中中0,x ≥奇次方根的被开方数取全体实数，即(21,)n xn k k N *=+∈其中中，x R ∈.3、零次幂的底数不能为零，即0x 中0x ≠.4、如果函数是一些简单函数通过四则运算复合而成的，那么它的定义域是各个简单简单函数定义域的交集。
【注意】定义域用集合或区间表示，若用区间表示熟记，不能用“或”连接，而应用并集符号“∪”连接。
二、抽象函数及定义域求法（1）已知)(x f 的定义域为A ，求))((x g f 的定义域，其实质是)(x g 的取值范围为A ，求x 的取值范围;（2）已知))((x g f 的定义域为B ，求)(x f 的定义域，其实质是已知))((x g f 中的x 的取值范围为B ，求)(x g 的范围（值域），此范围就是)(x f 的定义域.（3）已知))((x g f 的定义域，求))((x h f 的定义域，要先按（2）求出)(x f 的定义域.三、根据函数的定义域求参数范围解题思路方法题型一 具体函数的定义域求解【例1】函数2x y -=中，自变量x 的取值范围是（ ） A ．2x > B ．2x ≥ C ．2x ≥且0x ≠ D ．0x ≠ 【答案】B【解析】由题意知，200-≥⎧⎨≠⎩x x ，解得2≥x ，即函数2-=x y x的定义域为[2,)+∞.故选：B【变式1-1】函数()()032f x x x =--的定义域是（ ） A ．[)2,+∞ B ．()2,+∞ C ．()()2,33,+∞ D ．[)3,+∞【答案】C【解析】由2030->⎧⎨-≠⎩x x ，解得2>x 且3≠x ．∴函数0()(3)2=--f x x x 的定义域为(2,3)(3,)⋃+∞．故选：C ．【变式1-2】函数f (x 21x-31x +的定义域是（ ）A ．1,13⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ B ．11,33⎛⎫- ⎪⎝⎭ C ．1,13⎛⎫-⎪⎝⎭ D ．1,3⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭【答案】C【解析】由函数f (x )有意义，得10310⎧->⎪⎨+>⎪⎩，，x x 解得113-<<x ，即函数f (x )的定义域是 1,13⎛⎫- ⎪⎝⎭.故选：C【变式1-3】求下列函数的定义域（1）3+=x y ； （2）245=---y x x ； （3）22-=-a x y x x（0a >）. 【答案】（1）[3,1)(1,)-⋃+∞；（2）[]2,3)(3,5⋃；（3）[,0)-a【解析】（1）因为31+=-x y x ，所以3010+≥⎧⎨-≠⎩x x ，解得31-≤<x 或1>x所以函数3+=x y 的定义域为[3,1)(1,)-⋃+∞； （2）因为245=---y x x，所以24050245⎧-≥⎪-≥⎨-≠-x x x x ，解得：23≤<x 或35<≤x 所以函数245=---y x x的定义域为[]2,3)(3,5⋃；（3）因为22-=-a x y x x()0>a 所以2200⎧-≥⎪⎨-≠⎪⎩a x x x ，解得：0-≤<a x所以函数22-=-a x y x x()0>a 的定义域为[,0)-a ；题型二 抽象函数的定义域求解【例2】已知函数()f x 的定义域为[]22-,，则函数()2()31=-g x f x x 域为（ ）A ．2,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦ B ．[]1,1- C ．2,13⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ D ．22,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【答案】D【解析】由题意223210-≤≤⎧⎨-≥⎩x x ，解得2233-≤≤x ．故选：D ．【变式2-1】已知()21-f x 的定义域为3,3⎡-⎣，则()f x 的定义域为（ ）A ．[]22-,B ．[]0,2C ．[]1,2-D ．3,3⎡-⎣【答案】C【解析】因为2(1)-f x 的定义域为[3,3]-，所以33≤≤x 所以2112-≤-≤x ，所以()f x 的定义域为[1,2]-．故选：C【变式2-2】已知函数()1f x -的定义域为[]2,1-，则函数()21f x +的定义域为（ ） A ．12,2⎡⎤--⎢⎥⎣⎦B ．[]3,0-C ．3,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．[]2,1-【答案】A【解析】因为函数()1f x -的定义域为[]2,1-，即21x -≤≤，所以310x -≤-≤， 令3210x -≤+≤，解得122x -≤≤-，所以函数()21f x +的定义域为12,2⎡⎤--⎢⎥⎣⎦；故选：A【变式2-3】已知函数()22f x -的定义域为{}|1x x <，则函数()211f x x --的定义域为（ ）A ．(,1)-∞B ．(,1)-∞-C ．()(),11,0-∞--D ．()(),11,1-∞-- 【答案】D【解析】因为函数()22f x -的定义域为{}|1x x <，故220x -<，所以()f x 的定义域为(),0-∞，故函数()211f x x --中的x 需满足：21010x x -<⎧⎨-≠⎩， 故1,1x x <≠-，故函数()211f x x --的定义域为()(),11,1-∞--，故选：D.【变式2-4】若函数()11f x x x =-+()1f x -的定义域为（ ） A ．()1,1- B ．[]2,0- C ．[]1,1- D ．[]0,2 【答案】D【解析】要使原函数有意义，则1010x x -≥⎧⎨+≥⎩，解得11x -≤≤．由111x -≤-≤，得02x ≤≤．∴函数(1)f x -的定义域为[0,2]．故选：D ．题型三 已知定义域求参数范围【例3】已知函数()223f x x mx =-+，若()f x 的定义域为R ，则m 的取值范围是________．【答案】26,26⎡-⎣【解析】由已知得2230x mx -+≥对R x ∈恒成立，即2240m ∆=-≤，∴626m -≤故答案为：26,26⎡⎤-⎣⎦.【变式3-1】若函数2()1f x ax ax =++R ，则a 的范围是（ ） A ．[0,4] B ．[0,4) C ．(0,4] D ．(0,4) 【答案】A【解析】依题意，R x ∀∈，210ax ax ++≥成立，当0a =时，10≥成立，即0a =，当0a ≠时，2Δ40a a a >⎧⎨=-≤⎩，解得04a <≤，因此得04a ≤≤， 所以a 的范围是[0,4].故选：A【变式3-2】已知函数()f x a x -(,1]-∞，则实数a 的取值集合为（ ） A ．{1} B ．(,1]-∞ C ．[1,)+∞ D ．(,1)(1,)-∞⋃+∞ 【答案】A【解析】由0a x -≥可得x a ≤，即()f x 的定义域为(,]a -∞，所以1a =，则实数a 的取值集合为{}1.故选：A.【变式3-3】已知函数257()21x f x ax ax +=++的定义域是R ，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(0，1)B ．(,0)(1,)-∞⋃+∞ C ．[)0,1 D ．(][)-01∞⋃+∞，， 【答案】C 【解析】函数257()21x f x ax ax +=++的定义域是R ，即2210ax ax ++≠恒成立； 当0a =时，10≠，满足题意；当0a ≠时，2440a a ∆=-<，解得01a <<； 综上知，实数a 的取值范围是[0，1)．故选：C ．【变式3-4】若函数2()24f x mx mx =++R ，则实数m 的取值范围是（ ）A ．()0,4B ．[)0,4C ．[]0,4D ．(]0,4 【答案】B【解析】函数的定义域为R ，即不等式的解集224mx mx ++>0的解集为R当0m =时，得到40>，显然不等式的解集为R ；当0m <时，二次函数224y mx mx =++开口向下，函数值y 不恒大于0，故不等式的解集不可能为R ；当0m >时，二次函数224y mx mx =++开口向上，由不等式的解集为R ，得到二次函数与x 轴没有交点，24160m m ∆=-<， 解得04m <<；综上所述，实数m 的取值范围[)0,4.故选：B。
必修一 数学 定义域,值域,解析式 求法,例题,习题(含答案)
函数的定义域（1）函数的定义域就是使得这个函数关系式有意义的实数的全体构成的集合（2）求函数定义域的注意事项☉分式分母不为零； ☉偶次根式的被开方数大于等于零；☉零次幂的底数不为零； ☉实际问题对自变量的限制若函数由几个式子构成，求其定义域时要满足每个式子都要有意义（取“交集”）。
（3）抽象复合函数定义域的求法☉已知y=f （x ）的定义域是A ，求y=f （g （x ））的定义域，可通过解关于g （x ）∈A 的不等式，求出x 的范围☉已知y=f （g （x ））的定义域是A ，求y=f （x ）的定义域，可由x ∈A ，求g （x ）的取值范围（即y=g （x ）的值域）。
例1．函数()1f x x =- 的定义域为 ( ) A. (－∞，4) B. [4，＋∞) C. (－∞，4] D. (－∞，1)∪(1,4] 【答案】D 【解析】要使解析式有意义需满足：40{10x x -≥-≠，即x 4≤且1x ≠所以函数()f x =的定义域为(－∞，1)∪(1,4] 故选：D例2．函数y =( )A. {|11}x x x ≥≤-或B. {|11}x x -≤≤C. {1}D. {-1,1}【答案】D 【解析】函数y 可知: 2210{ 10x x -≥-≥,解得： 1x =±.函数y =的定义域为{-1,1}.故选D.例3．已知函数()21y f x =-的定义域为()2,2-，函数()f x 定义域为__________.【答案】[]1,3-【解析】由函数()21y f x =-的的定义域为(−2,2)，得： 2113x -≤-≤，故函数f (x )的定义域是[]1,3-.例4．若函数()y f x =的定义域为[]0,2,则函数()()21f xg x x =-的定义域是（ ）A. [)0,1B. []0,1C. [)(]0,11,4⋃ D. ()0,1 【答案】A函数()y f x =的定义域是[]0,2， 022{10x x ≤≤∴-≠，解不等式组：01x ≤<，故选A.例5．已知函数()1y f x =+的定义域是[]2,3-，则()2y f x =的定义域是（ ） A. []1,4- B. []0,16 C. []2,2- D. []1,4【答案】C 【解析】解：由条件知： ()1f x +的定义域是[]2,3-，则1x 14-≤+≤，所以214x -≤≤，得[]x 2,2∈-例6．已知函数y f x =+()1定义域是[]-23，，则y f x =-()21的定义域是（ ）A ．[]052， B. []-14， C. []-55， D. []-37，【答案】A 【解析】523,114,1214,02x x x x -≤≤-≤+≤-≤-≤≤≤例7．函数y =的定义域为___________．【答案】[]3,4-【解析】要使函数有意义，则2120x x +-≥，即2120x x --≤，即34x -≤≤，故函数的定义域为[]3,4-，故答案为[]3,4-.函数值域定义：对于函数y=f （x ），x ∈A 的值相对应的y 值叫函数值，函数值得集合{f （x ）|x ∈A }叫做函数的值域。
函数定义域的经典题型及解析
函数定义域的经典题型及解析函数定义域是指函数的自变量（输入）的取值范围，也就是函数能够接受的有效输入。
经典的函数定义域题型包括以下几种：1. 有理函数的定义域：有理函数是指多项式函数与有理函数的组合，例如 f(x) = (x+1)/(x-2)。
在求有理函数的定义域时，需要注意分母不能为零，因此需要排除使分母为零的值。
在这个例子中，x-2不能为零，所以x ≠ 2，因此定义域为除去x=2的所有实数。
2. 幂函数的定义域：幂函数是指形如 f(x) = x^a 的函数，其中 a 是实数。
对于幂函数，定义域是所有实数，除非底数为负数且指数为分数，此时需要满足底数大于零。
例如f(x) = √x，定义域要求x ≥ 0。
3. 指数函数的定义域：指数函数是指形如 f(x) = a^x 的函数，其中 a 是正实数且不等于 1。
对于指数函数，定义域是所有实数。
4. 对数函数的定义域：对数函数是指形如 f(x) = logₐ(x) 的函数，其中 a 是正实数且不等于 1。
对于对数函数，定义域要求 x 大于零。
5. 三角函数的定义域：三角函数包括正弦函数、余弦函数和正切函数等。
对于三角函数，定义域是所有实数。
6. 根式函数的定义域：根式函数是指形如f(x) = √(x-a) 的函数，其中 a 是实数。
对于根式函数，要求被开方的表达式大于等于零，即 x-a ≥ 0。
因此定义域为x ≥ a。
以上是几种经典的函数定义域题型及其解析。
在求解函数定义域时，需要根据函数的性质和定义的限制条件，仔细分析自变量的取值范围，确保函数有意义且不会出现无定义的情况。
函数定义域求法及练习题(含答案)含答案
的定义域为
and A 的定义域为__________
4、设函数 y=f(x)的定义域为［0，1］，求
y=f( x 1) f (x 1) 定义域。
3
3
5
1、（1）{x | x 5或x或 3 x 6}
（2）{x | x 0}
.5、若函数 y ax2 ax 1 的定义域是 R，求实数 a
11.选
15.{x|－ 3 ＜x＜－ 2 或 2 ＜x＜ 3 }．巩固训
22
练
time 1.（1）定义域为
（2）定义域为 2.
at a 3、已知函数
的定义域为
，则
y one thing y=f(3x-5)的定义域为________。
3.5/3≤x≤2.4.
定义域为
1 3
,
2 3
.5.
等价于
a0 a2 4a
1 a
0
0
a
y one thing
2
at
a
time
and
All
things
in
their
being
are
good
for
something
and
S
g and S 函数定义域求法总结 thin 一、定义域是函数 y=f(x)中的自变量 x 的范围。 me （1）分母不为零 so （2）偶次根式的被开方数非负。 for （3）对数中的真数部分大于 0。 ood （4）指数、对数的底数大于 0，且不等于 1 g （5）y=tanx 中 x≠kπ+π/2；y=cotx 中 x≠kπ 等等。 are ( 6 ) x0 中 x 0 ing 二、抽象函数的定义域 be 1.已知 f (x) 的定义域，求复合函数 f [gx]的定义 eir 域
函数的定义域和常见求解方法
函数的定义域和常见求解方法函数的定义域（domain）是指函数能够接受的实际输入值的集合。
换句话说，定义域是使函数有意义的所有可能的输入值的集合。
在数学中，函数一般表示为f(x)，其中x是函数的自变量，而f(x)则是自变量x所对应的函数值。
常见的函数定义域包括实数域（-∞,+∞），有理数集，整数集，自然数集，以及其他特定的定义域，如正数集，三角函数等。
在确定函数的定义域时，我们需要注意以下几点：1.分式函数的定义域：分式函数的定义域由分母不等于零的值所构成。
我们需要找出使分母不等于零的x的值，将这些值作为定义域的一部分。
2.平方根函数的定义域：平方根函数的定义域要求被开方数非负，即要求根号内的数大于等于零。
3.对数函数的定义域：对数函数的定义域要求底数大于零，并且对数函数的参数值必须大于零。
常见的函数求解方法包括图像法、方程法、函数变量代换法、函数性质法等。
1.图像法：图像法是通过绘制函数的图像来找出函数的解。
我们将函数的图像与坐标系结合起来，寻找函数与x轴的交点，即函数的解。
2.方程法：方程法是通过将函数等式转化为方程的形式，然后通过解方程来找出函数的解。
在方程法中，我们可以使用各种方法来解方程，如因式分解法、配方法、根号消去法等。
3.函数变量代换法：函数变量代换法是通过引入新的变量来转化函数，从而简化函数的形式。
通过选择适当的变量代换，我们可以将原函数转化为更简单的函数，进而求解出函数的解。
4.函数性质法：函数性质法是通过利用函数的性质来求解函数的解。
例如，通过函数的奇偶性、单调性、周期性、对称性等性质，我们可以得到函数的一些特殊解。
在实际问题中，常常需要综合运用以上多种方法来求解函数的解。
根据具体的函数形式和问题的要求，选择最合适的方法进行求解。
同时，在进行函数求解时，我们也需要注意函数定义域的范围，以保证求解出的函数解在定义域内有效。
函数的定义域和常见求解方法
函数的定义域和常见求解方法一、函数的定义域在一般的函数定义中，常见的定义域包括实数、有理数和整数等。
例如，函数$f(x)=\sqrt{x}$的定义域为非负实数集合即$[0,+\infty)$，因为负数的平方根是没有意义的。
又如，函数$g(x)=\dfrac{1}{x}$的定义域为除0以外的所有实数，即$(-\infty, 0) \cup (0, +\infty)$，因为0不能作为除数。
当给定一个复合函数时，可以通过多个函数的定义域的交集得到整个函数的定义域。
例如，对于函数$h(x)=\sqrt{\log(x)}$，先看到内层函数$\log(x)$的定义域是正实数，而外层函数$\sqrt{x}$的定义域是非负实数。
所以整个函数$h(x)$的定义域即正实数集合$[0,+\infty)$。
二、常见的求解方法1.方程求解法方程求解法是指通过解方程的方式求解函数的取值范围。
常见的方程求解法包括代数法和计算法。
代数法是通过对方程进行变形或利用数学性质来求解，而计算法是通过运算符和数值的计算来求解。
举例来说，对于函数$f(x)=\dfrac{1}{(x-3)^2}$，要求函数的定义域，需要解方程$(x-3)^2\neq 0$。
通过解这个方程，可以得到$x \neq 3$，即函数的定义域为整个实数集合除去32.不等式求解法不等式求解法是通过对不等式进行变形或运算，得出函数的定义域。
常见的不等式求解法包括分段法和绝对值法。
对于分段函数，可以对每一段函数的定义域进行求解，然后将这些定义域的并集作为整个函数的定义域。
对于函数$f(x) = \sqrt{a-x}$，当$a>x$时，根式内部大于等于0，所以函数的定义域为$(-\infty, a]$。
3.图像法图像法是通过观察函数的图像来确定函数的定义域。
对于一元函数，可以通过绘制函数的图像来判断函数在何种区间内有定义。
例如，为了求解函数$f(x) = \sqrt{x^2-4}$的定义域，可以考虑到根式内部的取值不能小于0。
专题：函数定义域的求法及常见题型-(定稿)
专题一：函数定义域的求法及常见题型一、函数定义域求法（一）常规函数函数解析式确定且已知，求函数定义域。
其解法是根据解析式有意义所需条件，列出关于自变量的不等式或不等式组，解此不等式（或组），即得函数定义域。
例1.求函数的定义域。
解：要使函数有意义，则必须满足由①解得或。
③由②解得或④③和④求交集得且或x>5。
故所求函数的定义域为（－∞，-11）U(-11,-3] U(5,+∞)。
注意点：分母、偶次方根被开方数，多条件求交集，定义域写法，仅可写成区间或集合形式，不能写成不等式。
例2.求函数的定义域。
解：要使函数有意义，则必须满足由①解得③由②解得④由③和④求公共部分，得故函数的定义域为(-4,-π] U(0,π]。
提示点：③和④怎样求公共部分？（二）抽象函数1.有关概念定义域：函数y=f(x)的自变量x的取值范围，可以理解为函数y=f(x)图象向x轴投影的区间；凡是函数的定义域，永远是指自变量x的取值范围；对应法则：通过“工厂”或“模具”观点进行类比，以此深入理解函数()y f x=的对应法则“f”。
把函数()y f x=的对应法则“f”看作“工厂”或“模具”，把自变量“x”的取值看作“原料”，把相应函数值“y”看作“成品”。
该观点注重“原料”以怎样的形式组装成“成品”，而不管“原料”是否为“初级产品”，从而避免了当所给函数的“原料”不是某个单一字母的情形时，找不到或不好找函数的对应法则。
如（1）已知函数f(x)的定义域是[0,4]，求函数f(2x+1)的定义域；（2）已知函数f(2x+1)的定义域是[0,4]，求函数f(x)的定义域。
可以把f(x)看成工厂的生产加工，f是加工工序，x是原料。
（1）中f(x)的原料就是初级产品，所以原料或初级产品满足的条件就是[0,4]；在f(2x+1)中，初级产品是2x+1，它必须满足[0,4]，由此求出f(2x+1)的原料x满足的条件（即自变量）。
因为(2）中f(2x+1)的定义域是[0,4]，即原料x满足[0,4]，变成初步产品2x+1,那么初步产品的限制条件就成了[1,9], 所以f(x)的原材料就是 [1,9]，这样好不好理解？值域：函数y=f(x)的因变量y的取值范围，可以理解为函数y=f(x)图象向y轴投影的区间；显函数：俗称常见函数，函数解析式是明确的，例如：y=f(x)=2x2+3x-5；隐函数：俗称抽象函数，函数解析式是不明确的，就用y=f(x)表示，具体f(x)是什么内容是隐藏的；复合函数：如果说y=f(x)是一个简单的抽象函数，那么把自变量x用一个函数g(x)来代替，就称y=f(g(x))为复合的抽象函数，习惯上称y=f(t)是外函数，t=g(x)为内函数。
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专题一：函数定义域的求法及常见题型一、函数定义域求法（一）常规函数函数解析式确定且已知，求函数定义域。
其解法是根据解析式有意义所需条件，列出关于自变量的不等式或不等式组，解此不等式（或组），即得函数定义域。
例1.求函数的定义域。
解：要使函数有意义，则必须满足由①解得或。
③由②解得或④③和④求交集得且或x>5。
故所求函数的定义域为（－∞，-11）U(-11,-3] U(5,+∞)。
注意点：分母、偶次方根被开方数，多条件求交集，定义域写法，仅可写成区间或集合形式，不能写成不等式。
例2.求函数的定义域。
解：要使函数有意义，则必须满足由①解得③由②解得④由③和④求公共部分，得故函数的定义域为(-4,-π] U(0,π]。
提示点：③和④怎样求公共部分？（二）抽象函数1.有关概念定义域：函数y=f(x)的自变量x的取值范围，可以理解为函数y=f(x)图象向x轴投影的区间；凡是函数的定义域，永远是指自变量x的取值范围；对应法则：通过“工厂”或“模具”观点进行类比，以此深入理解函数()y f x=的对应法则“f”。
把函数()y f x=的对应法则“f”看作“工厂”或“模具”，把自变量“x”的取值看作“原料”，把相应函数值“y”看作“成品”。
该观点注重“原料”以怎样的形式组装成“成品”，而不管“原料”是否为“初级产品”，从而避免了当所给函数的“原料”不是某个单一字母的情形时，找不到或不好找函数的对应法则。
如（1）已知函数f(x)的定义域是[0,4]，求函数f(2x+1)的定义域；（2）已知函数f(2x+1)的定义域是[0,4]，求函数f(x)的定义域。
可以把f(x)看成工厂的生产加工，f是加工工序，x是原料。
（1）中f(x)的原料就是初级产品，所以原料或初级产品满足的条件就是[0,4]；在f(2x+1)中，初级产品是2x+1，它必须满足[0,4]，由此求出f(2x+1)的原料x满足的条件（即自变量）。
因为(2）中f(2x+1)的定义域是[0,4]，即原料x满足[0,4]，变成初步产品2x+1,那么初步产品的限制条件就成了[1,9], 所以f(x)的原材料就是 [1,9]，这样好不好理解？值域：函数y=f(x)的因变量y的取值范围，可以理解为函数y=f(x)图象向y轴投影的区间；显函数：俗称常见函数，函数解析式是明确的，例如：y=f(x)=2x2+3x-5；隐函数：俗称抽象函数，函数解析式是不明确的，就用y=f(x)表示，具体f(x)是什么内容是隐藏的；复合函数：如果说y=f(x)是一个简单的抽象函数，那么把自变量x用一个函数g(x)来代替，就称y=f(g(x))为复合的抽象函数，习惯上称y=f(t)是外函数，t=g(x)为内函数。
2.四种类型题型一：已知抽象函数y=f(x)的定义域为[m,n]，如何求复合抽象函数y=f(g(x))的定义域？思路分析：本题型是已知y=f(x)的自变量x的范围，求y=f(g(x))的自变量x的范围，其中的关键是，后者的g(x)相当于前者的x。
解决策略：求不等式m≤g(x)≤n的解集，即为y=f(g(x))的定义域例题3.已知函数y=f(x)的定义域[0,3]，求函数y=f(3+2x)的定义域解：令t=3+2x，∵y=f(x)的定义域[0,3]，∴y=f(t)的定义域也为[0,3]，即t=3+2x∈[0,3]，说明：内函数g(x)=3+2x，通过令t=3+2x做了一个换元，此处换元不能写为令x=3+2x。
原因是y=f(x)中的x与y=f(3+2x)的x虽然长得一样，但是意义不同，如果令x=3+2x，则等号两边的x就是一模一样了，x只能为-3了。
强化训练：1.已知函数y=f(x)的定义域[-1,5]，求函数y=f(3x-5)的定义域；2.已知函数y=f(x)的定义域[1/2,2]，求函数y=f(log2x)的定义域；3.已知的定义域为［－2，2］，求的定义域。
题型二：已知复合抽象函数y=f(g(x))定义域[m,n]，如何求抽象函数y=f(x)的的定义域？思路分析：本题型是已知y=f(g(x))的自变量x的范围，求y=f(x)的自变量x的范围，其中的关键是，前者的g(x)相当于后者的x。
解决策略：求内函数t=g(x)在区间[m,n]的值域（t的取值范围），即为y=f(x)的定义域例题4.已知函数y=f(2x-1)的定义域[0,3]，求函数y=f(x)的定义域.解：∵y=f(2x-1)的定义域[0,3]，∴0≤x≤3，令t=2x-1，∴t=2x-1∈[-1,5]故，函数y=f(t)的定义域为t∈[-1,5]，故，函数y=f(x)的定义域为x∈[-1,5]说明：函数y=f(x)与y=f(t)是同一个函数，与单个自变量是x还是t无关。
另外，题型二是题型一的逆向题目。
强化训练：1.已知函数y=f(x2-2x+2)的定义域[0,3]，求函数y=f(x)的定义域.2.已知函数y=f[lg(x+1)]的定义域[0,9]，求函数y=f(x)的定义域.题型三：已知复合抽象函数y=f(g(x))定义域[m,n]，如何求复合抽象函数y=f(h(x))定义域的定义域？思路分析：本题型是已知y=f(g(x))的自变量x的范围，求y=f(h(x))的自变量x的范围，其中的关键是，前者的g(x)相当于后者的h(x)，故先求出“桥梁”函数y=f(x)的定义域。
解决策略：用题型二的方法根据y=f(g(x))定义域求y=f(x)的定义域，用题型一的方法根据y=f(x)的定义域求y=f(h(x))的定义域例题5.已知函数y=f(2x-1)的定义域[0,3]，求函数y=f(3+x)的定义域.解：∵y=f(2x-1)的定义域[0,3]，∴0≤x≤3，令t=2x-1，∴t=2x-1∈[-1,5]故，函数y=f(t)的定义域为t∈[-1,5]，故，函数y=f(x)的定义域为x∈[-1,5]令t=3+x，则t=3+x∈[-1,5]故，函数y=f(3+x)定义域为[-4,2]说明：题型三其实是题型一与题型二的综合而已，会了前两个题型，第三个题型自然就会了。
强化训练：1.已知函数y=f(x+1)的定义域[-2,3]，求函数y=f(2x-1)的定义域.2.已知函数y=f(2x)的定义域[-1,1]，求函数y=f(log2x)的定义域.3. 已知f(x+1)的定义域为[-1/2，2]，求f(x2)定义域。
题型四：已知f(x)的定义域，求与f(x)相关四则运算型函数的定义域。
思路分析：若函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的，其定义域为各基本函数定义域的交集。
解题策略：先求出各个函数的定义域，再求交集。
例6.已知f(x)的定义域为[-3，5]，求φ（x）=f(-x)+f(2x+5)定义域。
强化训练：1.已知f(x)的定义域为（0，5]，求g(x)=f(x+a)f(x-a)定义域，其中-1﹤a≦0。
二、与函数定义域相关的变形题型（一）逆向型即已知所给函数的定义域求解析式中参数的取值范围。
特别是对于已知定义域为R，求参数的范围问题通常是转化为恒成立问题来解决。
例7.已知函数的定义域为R，求实数m的取值范围。
分析：函数的定义域为R，表明，使一切x∈R都成立，由项的系数是m，所以应分m=0或进行讨论。
解：当m=0时，函数的定义域为R；当时，是二次不等式，其对一切实数x都成立的充要条件是综上可知。
评注：不少学生容易忽略m=0的情况，希望通过此例解决问题。
例8.已知函数的定义域是R，求实数k的取值范围。
解：要使函数有意义，则必须≠0恒成立，因为的定义域为R，即无实数①当k≠0时，恒成立，解得；②当k=0时，方程左边=3≠0恒成立。
综上k的取值范围是。
定义域非实数，求法。
（二）参数型对于含参数的函数，求定义域时，必须对分母分类讨论。
例9.已知的定义域为［0，1］，求函数的定义域。
解：因为的定义域为［0，1］，即。
故函数的定义域为下列不等式组的解集：，即即两个区间［－a，1－a］与［a，1+a］的交集，比较两个区间左、右端点，知（1）当时，F（x）的定义域为；（2）当时，F（x）的定义域为；（3）当或时，上述两区间的交集为空集，此时F（x）不能构成函数。
（三）隐含型有些问题从表面上看并不求定义域，但是不注意定义域，往往导致错解，事实上定义域隐含在问题中，例如函数的单调区间是其定义域的子集。
因此，求函数的单调区间，必须先求定义域。
例10.求函数的单调区间。
解：由，即，解得。
即函数y的定义域为（－1，3）。
函数是由函数复合而成的。
，对称轴x=1，由二次函数的单调性，可知t在区间上是增函数；在区间上是减函数，而在其定义域上单调增；，所以函数在区间上是增函数，在区间上是减函数。
（四）实际问题型这里函数的定义域除满足解析式外，还要注意问题的实际意义对自变量的限制，这点要加倍注意，并形成意识。
例11.将长为a的铁丝折成矩形，求矩形面积y关于一边长x的函数的解析式，并求函数的定义域。
解：设矩形一边为x，则另一边长为于是可得矩形面积。
由问题的实际意义，知函数的定义域应满足。
故所求函数的解析式为，定义域为（0，）。
例12.用长为L的铁丝弯成下部为矩形上部为半圆的框架，如图，若矩形底边长为2x，求此框架围成的面积y与x的函数关系式，并求定义域。
解：由题意知，此框架围成的面积是由一个矩形和一个半圆组成的图形的面积，如图。
因为CD=AB=2x，所以，所以，故根据实际问题的意义知故函数的解析式为，定义域（0，）。