高考数学知识点总复习教案空间几何体的结构、三视图和直观图

第八篇
立体几何
第1讲空间几何体的结构、三视图和直观图
A级基础演练
(时间：30分钟满分：55分)
一、选择题(每小题5分，共20分)
1．给出下列四个命题：
①各侧面都是全等四边形的棱柱一定是正棱柱；②对角面是全等矩形的六面
体一定是长方体；③棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则该棱锥可能是正六棱锥；④长方体一定是正四棱柱．
其中正确的命题个数是
()．
A．0 B．1 C．2 D．3
解析反例：①直平行六面体底面是菱形，满足条件但不是正棱柱；②底面是等腰梯形的直棱柱，满足条件但不是长方体；③若以正六边形为底面，侧棱长必然要大于底面边长，故③中不能组成正六棱锥；④显然错误，故选
A.
答案 A
2．以下关于几何体的三视图的论述中，正确的是
()．
A．球的三视图总是三个全等的圆
B．正方体的三视图总是三个全等的正方形
C．水平放置的正四面体的三视图都是正三角形
D．水平放置的圆台的俯视图是一个圆
解析画几何体的三视图要考虑视角，但对于球无论选择怎样的视角，其三视图总是三个全等的圆．
答案 A
3．(2012·陕西)将正方体(如图(a)所示)截去两个三棱锥，得到图(b)所示的几何体，则该几何体的侧视图为
()．
解析还原正方体后，将D1，D，A三点分别向正方体右侧面作垂线，D1A 的射影为C1B，且为实线，B1C被遮挡应为虚线．
答案 B
4．(2011·浙江)若某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的直观图可以是
()
．
解析A，B的正视图不符合要求，C的俯视图显然不符合要求，答案选D.
答案 D
二、填空题(每小题5分，共10分)
5.如图所示，E、F分别为正方体ABCD－A1B1C1D1的面
ADD1A1、面BCC1B1的中心，则四边形BFD1E在该
正方体的面DCC1D1上的投影是________(填序号)．
解析B在面DCC1D1上的投影为C，F、E在面DCC1D1上的投影应分别在边CC1和DD1上，而不在四边形的内部，故①③④错误．
答案②
6．一个几何体的正视图为一个三角形，则这个几何体可能是下列几何体中的________(填入所有可能的几何体前的编号)．
①三棱锥；②四棱锥；③三棱柱；④四棱柱；⑤圆锥；⑥圆柱．
解析显然，三棱锥、圆锥的正视图可以是三角形；
三棱柱的正视图也可以是三角形(把三棱柱放倒，
使一侧面贴在地面上，并让其底面面对我们，如图
所示)；只要形状合适、摆放适当(如一个侧面正对
着观察者的正四棱锥)，四棱锥的正视图也可以是三角形(当然，不是任意摆放的四棱锥的正视图都是三角形)，即正视图为三角形的几何体完全有可能是四棱锥；不论四棱柱、圆柱如何摆放，正视图都不可能是三角形(可以验证，
随意摆放的任意四棱柱的正视图都是四边形，圆柱的正视图可以是圆或四边形)．综上所述，应填①②③⑤.
答案 ①②③⑤
三、解答题(共25分)
7．(12分)已知：图a 是截去一个角的长方体，试按图示的方向画出其三视图；图b 是某几何体的三视图，试说明该几何体的构成．
解 图a 几何体的三视图为：
图b 所示的几何体是上面为正六棱柱，下面为倒立的正六棱锥的组合体．
8．(13分)已知圆锥的底面半径为r ，高为h ，且正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1内接于圆锥，求这个正方体的棱长．
解 如图所示，过内接正方体的一组对棱作圆锥的轴截
面，设圆锥内接正方体的棱长为x ，则在轴截面中，正
方体的对角面A 1ACC 1的一组邻边的长分别为x 和2x .
∵△VA 1C 1∽△VMN ， ∴2x 2r ＝h －x h ，∴x ＝2rh 2r ＋2h
.
即圆锥内接正方体的棱长为
2rh
2r＋2h
.B级能力突破(时间：30分钟
满分：45分)
一、选择题(每小题5分，共10分)
1．(2013·温州质检)下图是一个正方体的展开图，将其折叠起来，变成正方体后的图形是()．
解析∵在这个正方体的展开图中，与有圆的面相邻的三个面中都有一条直线，当变成正方体后，这三条直线互相平行，∴选B.
答案 B
2．一个锥体的正视图和侧视图如图所示，下面选项中，不可能是该锥体的俯视图的是()．
解析选项C不符合三视图中“宽相等”的要求．
答案 C
二、填空题(每小题5分，共10分)
3．利用斜二测画法得到的：
①三角形的直观图一定是三角形；
②正方形的直观图一定是菱形；
③等腰梯形的直观图可以是平行四边形；
④菱形的直观图一定是菱形．
以上正确结论的序号是________．
解析由斜二测画法的规则可知①正确；②错误，是一般的平行四边形；③错误，等腰梯形的直观图不可能是平行四边形；而菱形的直观图也不一定是菱形，④也错误．
答案①
4．图(a)为长方体积木块堆成的几何体的三视图，此几何体共由________块木块堆成；图(b)中的三视图表示的实物为________．
图(a)图(b)
解析(1)由三视图可知从正面看到三块，从侧面看到三块，结合俯视图可判断几何体共由4块长方体组成．
(2)由三视图可知几何体为圆锥．
答案4圆锥
三、解答题(共25分)
5．(12分)正四棱锥的高为3，侧棱长为7，求侧面上斜高(棱锥侧面三角形的高)为多少？
解如图所示，在正四棱锥S－ABCD中，
高OS＝3，侧棱SA＝SB＝SC＝SD＝7，
在Rt△SOA中，
OA＝SA2－OS2＝2，∴AC＝4.
∴AB＝BC＝CD＝DA＝2 2.
作OE⊥AB于E，则E为AB中点．
连接SE，则SE即为斜高，
在Rt △SOE 中，∵OE ＝12BC ＝2，SO ＝3，
∴SE ＝5，即侧面上的斜高为 5.
6．(13分)(1)如图1所示的三棱锥的三条侧棱OA 、OB 、OC 两两垂直，那么该三棱锥的侧视图是图2还是图3?
(2)某几何体的三视图如图4，问该几何体的面中有几个直角三角形？
(3)某几何体的三视图如图5，问该几何体的面中有几个直角三角形？
解 (1)该三棱锥在侧(右)投影面上的投影是一直角三角形，该三棱锥的侧视图应是图2.
(2)该几何体是三棱锥，其直观图如图所示，其中
OA 、OB 、OC 两两垂直，
∴△OAB 、△OAC 、△OBC 都是直角三角形，但
△ABC 是锐角三角形．设AO ＝a ，OC ＝c ，OB ＝
b ，则AC ＝a 2＋
c 2，BC ＝c 2＋b 2，AB ＝a 2＋b 2，
∴cos ∠BAC ＝a 2
a 2＋
b 2·
c 2＋a 2
>0，∴∠BAC 为锐角．同理，∠ABC 、∠ACB 也是锐角．
综上所述，该几何体的面中共有三个直角三角形．
(3)该几何体是三棱锥，其直观图如图所示，其中，AB ⊥BC ，
AB ⊥BD ，BD ⊥CD ，∴DC ⊥面ABD ，∴DC ⊥AD ，
∴△ACD 也是直角三角形．
∴该几何体的面中共有四个直角三角形.。