吉林省白山市2021届新高考数学一模试卷含解析

吉林省白山市2021届新高考数学一模试卷

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1． 若x,y 满足约束条件x 0x+y-30z 2x-2y 0x y ≥??

≥=+??≤?

，则的取值范围是

A ．[0,6]

B ．[0,4]

C ．[6, +∞）

D ．[4, +∞）

【答案】D 【解析】

解：x 、y 满足约束条件

，表示的可行域如图：

目标函数z=x+2y 经过C 点时，函数取得最小值， 由

解得C （2，1），

目标函数的最小值为：4 目标函数的范围是[4，+∞）． 故选D ．

2．抛物线()2

20y px p =>的准线与x 轴的交点为点C ，过点C 作直线l 与抛物线交于A 、B 两点，使

得A 是BC 的中点，则直线l 的斜率为（ ） A ．1

3

± B ．22

3

±

C ．±1

D ．3±

【答案】B 【解析】 【分析】

设点()11,A x y 、()22,B x y ，设直线AB 的方程为2p

x my =-，由题意得出212

y y =，将直线l 的方程与抛物线的方程联立，列出韦达定理，结合2

12

y y =可求得m 的值，由此可得出直线l 的斜率. 【详解】

由题意可知点,02p C ??-

???，设点()11,A x y 、()22,B x y ，设直线AB 的方程为2

p x my =-， 由于点A 是BC 的中点，则2

12

y y =

， 将直线l 的方程与抛物线的方程联立得222p x my y px

?

=-?

??=?，整理得2220y mpy p -+=，

由韦达定理得12132y y y mp +==，得123mp y =，222

2121829m p y y y p ===

，解得m =， 因此，直线l

的斜率为13

m =±

. 故选：B. 【点睛】

本题考查直线斜率的求解，考查直线与抛物线的综合问题，涉及韦达定理设而不求法的应用，考查运算求解能力，属于中等题.

3．设02x π≤≤

sin cos x x =-，则（ ） A ．0x π≤≤ B ．

74

4

x π

π

≤≤

C ．

54

4

x π

π≤≤

D ．

32

2

x π

π≤≤

【答案】C 【解析】 【分析】

将等式变形后，利用二次根式的性质判断出sin cos x x ，即可求出x 的范围. 【详解】

1sin 2

-=|sin cos |x x =-

sin cos x x =-

sin cos 0,x x ∴- 即sin cos x x 02x π

54

4

x

π

π∴

故选：C 【点睛】

此题考查解三角函数方程，恒等变化后根据sin ,cos x x 的关系即可求解，属于简单题目.

4．221a b +=是sin cos 1a b θθ+≤恒成立的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件

【答案】A 【解析】 【分析】 【详解】

设

cos {sin cos sin cos cos sin sin(+)1sin a a b b αθθθαθαθαα

=?+=+=≤= 成立；反之，0a b 满足 sin cos 1a b θθ+≤，但221a b +≠，故选A.

5．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（ ）

A ．113

B ．4

C ．133

D ．5

【答案】B 【解析】 【分析】

还原几何体的直观图，可将此三棱锥1A CD E -放入长方体中, 利用体积分割求解即可. 【详解】

如图，三棱锥的直观图为1A CD E -，体积

11111111BB E A A CD E E AB A F A C E CC D E AD F D ADC C V V V V V V V ------=-----长方体 12121

242222422222423232

=??-???-????-????=.

故选:B.

【点睛】

本题主要考查了锥体的体积的求解,利用的体积分割的方法,考查了空间想象力及计算能力,属于中档题. 6．已知圆2

2

4210x y

x y +-++=关于双曲线()22

2

2:10,0x y C a b a b

-=>>的一条渐近线对称，则双曲线C 的离心率为（ ） A 5B ．5

C 5

D ．

54

【答案】C 【解析】 【分析】

将圆224210x y x y +-++=，化为标准方程为，求得圆心为()21-，

.根据圆224210x y x y +-++=关于双曲线()22

22:10,0x y C a b a b

-=>>的一条渐近线对称，则圆心在渐近线上，12b a =.再根据

2

1c b e a a ??

==+ ???

.

【详解】

已知圆224210x y x y +-++=，

所以其标准方程为：()()2

2

214x y -++=，

所以圆心为()21-，

. 因为双曲线()22

22:10,0x y C a b a b

-=>>，

所以其渐近线方程为b

y x a

=±

， 又因为圆22

4210x y

x y +-++=关于双曲线()22

2

2:10,0x y C a b a b

-=>>的一条渐近线对称， 则圆心在渐近线上， 所以

12

b a =.

所以c e a ===. 故选：C 【点睛】

本题主要考查圆的方程及对称性，还有双曲线的几何性质 ，还考查了运算求解的能力，属于中档题. 7．若复数()()2a i 1i (i ++为虚数单位)在复平面内所对应的点在虚轴上，则实数a 为（ ） A ．2- B ．2

C ．1

2

-

D ．

12

【答案】D 【解析】 【分析】

利用复数代数形式的乘除运算化简，再由实部为0求得a 值． 【详解】 解：

()()()()2a i 1i 2a 12a 1i ++=-++在复平面内所对应的点在虚轴上，

2a 10∴-=，即1a 2

=

． 故选D ． 【点睛】

本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．

8．设函数()21010

0x x x f x lgx x ?++≤?=?>??

，，若关于x 的方程()()f x a a R =∈有四个实数解()1

234i x i =，，，，其中1234x x x x <<<，则()()1234x x x x +-的取值范围是（ ）

A ．(]0101

， B ．(]099， C ．(]0100， D ．()0+∞，

【答案】B 【解析】 【分析】

画出函数图像，根据图像知：1210x x +=-，341x x =，

31

110

x ≤<，计算得到答案. 【详解】

()21010 lg 0x x x f x x x ?++≤?=?>??

，，，画出函数图像，如图所示：

根据图像知：1210x x +=-，34lg lg x x =-，故341x x =，且

31

110

x ≤<. 故()()(]1234330110,99x x x x x x ??

∈ ??

-

?+-=-.

【点睛】

本题考查了函数零点问题，意在考查学生的计算能力和应用能力，画出图像是解题的关键.

9．关于圆周率π，数学发展史上出现过许多很有创意的求法，如著名的蒲丰实验和查理斯实验.受其启发，某同学通过下面的随机模拟方法来估计π的值：先用计算机产生2000个数对(),x y ，其中x ，y 都是区间()0,1上的均匀随机数，再统计x ，y 能与1构成锐角三角形三边长的数对(),x y 的个数m ﹔最后根据统计数m 来估计π的值.若435m =，则π的估计值为（ ） A ．3.12 B ．3.13

C ．3.14

D ．3.15

【答案】B 【解析】 【分析】

先利用几何概型的概率计算公式算出x ，y 能与1构成锐角三角形三边长的概率，然后再利用随机模拟方法得到x ，y 能与1构成锐角三角形三边长的概率，二者概率相等即可估计出π. 【详解】

因为x ，y 都是区间()0,1上的均匀随机数，所以有01x <<，01y <<，若x ，y 能与1构成锐角三角

则2211x y x y +>??+>?，由几何概型的概率计算公式知11435411142000

m P n ππ?-

==-==?， 所以435

4(1)2000

π=?-

=3.13. 故选：B. 【点睛】

本题考查几何概型的概率计算公式及运用随机数模拟法估计概率，考查学生的基本计算能力，是一个中档题.

10．设复数z ＝

213i

i

-+，则|z|＝（ ） A ．

13

B ．

23

C ．

12

D ．

22

【答案】D 【解析】 【分析】

先用复数的除法运算将复数z 化简，然后用模长公式求z 模长. 【详解】

解：z ＝213i i -+＝(2)(13)(13)(13)i i i i --+-＝1710

i --＝﹣1

10﹣710i ,

则|z|＝22

171010????-+- ? ?????

＝50100＝12＝

22. 故选：D. 【点睛】

本题考查复数的基本概念和基本运算,属于基础题.

11．做抛掷一枚骰子的试验，当出现1点或2点时，就说这次试验成功，假设骰子是质地均匀的.则在3次这样的试验中成功次数X 的期望为（ ） A ． B ．

C ．1

D ．2

【答案】C 【解析】 【分析】

每一次成功的概率为，服从二项分布，计算得到答案.

【详解】

每一次成功的概率为，服从二项分布，故.

故选：. 【点睛】

本题考查了二项分布求数学期望，意在考查学生的计算能力和应用能力. 12．若直线2y kx =-与曲线13ln y x =+相切，则k =（ ） A ．3 B ．

13

C ．2

D ．

12

【答案】A 【解析】 【分析】

设切点为00(,2)x kx -，对13ln y x =+求导，得到3y x

'=，从而得到切线的斜率03k x =，结合直线方程的点斜式化简得切线方程，联立方程组，求得结果. 【详解】

设切点为00(,2)x kx -，

∵3y x '=，∴0

03

,213ln ,

k x kx x ?=???-=+?①② 由①得03kx =， 代入②得013ln 1x +=， 则01x =，3k =， 故选A. 【点睛】

该题考查的是有关直线与曲线相切求参数的问题，涉及到的知识点有导数的几何意义，直线方程的点斜式，属于简单题目.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．已知向量a =（－4，3），b =（6，m ），且a b ⊥，则m=__________. 【答案】8. 【解析】 【分析】

利用a b ⊥转化得到0a b ?=加以计算，得到m .

向量4,36,a b m a b =-=⊥（），（），， 则?046308a b m m =-?+==，，. 【点睛】

本题考查平面向量的坐标运算、平面向量的数量积、平面向量的垂直以及转化与化归思想的应用.属于容易题.

14．设()f x 为定义在R 上的偶函数，当0x <时，()2x

f x m =+（m 为常数），若()3

12

f =

，则实数m 的值为______. 【答案】1 【解析】 【分析】

根据()f x 为定义在R 上的偶函数，得()()11f f =-，再根据当0x <时，()2x

f x m =+（m 为常数）

求解. 【详解】

因为()f x 为定义在R 上的偶函数， 所以()()11f f =-，

又因为当0x <时，()2x

f x m =+，

所以()()1

31122

f f m -=-=+=

， 所以实数m 的值为1. 故答案为：1 【点睛】

本题主要考查函数奇偶性的应用，还考查了运算求解的能力，属于基础题.

15．已知数列{}n a 是各项均为正数的等比数列，若325a a -=，则428a a +的最小值为________. 【答案】40 【解析】 【分析】

设等比数列{}n a 的公比为q ，根据325a a -=，可得15

(1)

a q q =

-，因为

()124312589885121

1q a a a a q q q q q +??++===

-++ ?--?

?，根据均值不等式，即可求得答案.

设等比数列{}n a 的公比为q ，

325a a -=， ∴15

(1)

a q q =

-，

等比数列{}n a 的各项为正数，

∴1q >，

∴()

()2242158881

q a a a q q q ++=+=

-

9512401q q ??=-++≥ ?-?

?，当且仅当13q -=，

即4q =时，428a a +取得最小值40. 故答案为：40. 【点睛】

本题主要考查了求数列值的最值问题，解题关键是掌握等比数列通项公式和灵活使用均值不等式，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.

16．已知等比数列{}n a 的各项都是正数，且2311

3,

,42

a a a 成等差数列，则234245()()log a a log a a +-+=__________．

【答案】2- 【解析】 【分析】

根据等差中项性质，结合等比数列通项公式即可求得公比；代入表达式，结合对数式的化简即可求解. 【详解】

等比数列{}n a 的各项都是正数，且2311

3,,42

a a a 成等差数列， 则32134a a a =+，

由等比数列通项公式可知1112

34a a q q a =+， 所以2

340q q --=， 解得4q =或1q =-（舍）， 所以由对数式运算性质可得

234245()()log a a log a a +-+

34

2

45

a

a log a a +=+

2311341212

1q a a q q q lo q g log a a +==+ 2

1

24

log ==-， 故答案为：2-. 【点睛】

本题考查了等差数列通项公式的简单应用，等比数列通项公式的用法，对数式的化简运算，属于中档题. 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．如图，在四棱锥P ABCD -中，BC CD ⊥，AD CD =，32PA =，ABC ?和PBC ?均为边长为

23的等边三角形.

（1）求证：平面PBC ⊥平面ABCD ； （2）求二面角C PB D --的余弦值. 【答案】 (1)见证明；(2) 313

【解析】 【分析】

(1) 取BC 的中点O ，连接,OP OA ，要证平面PBC ⊥平面ABCD ，转证OP ⊥平面ABCD ，即证

OP OA ⊥，OP BC ⊥ 即可；(2) 以O 为坐标原点，以,,OA OB OP 为,,x y z 轴正方向，建立如图所示的

空间直角坐标系，分别求出平面PBD 与平面PBC 的法向量，代入公式，即可得到结果. 【详解】

（1）取BC 的中点O ，连接,OP OA ，

因为,ABC PBC ??均为边长为23 所以AO BC ⊥，OP BC ⊥，且3OA OP ==

因为32AP =，所以2

22OP OA AP +=，所以OP OA ⊥， 又因为OA BC O ?=，OA ?平面ABCD ，BC ?平面ABCD ， 所以OP ⊥平面ABCD .

又因为OP ?平面PBC ，所以平面PBC ⊥平面ABCD . （2）因为BC CD ⊥，ABC ?为等边三角形， 所以6

ACD π

∠=

，又因为AD CD =，所以6

CAD π

∠=

，23

ADC π∠=

， 在ADC ?中，由正弦定理，得：

sin sin AC CD

ADC CAD

=∠∠，所以2CD =.

以O 为坐标原点，以,,OA OB OP 为,,x y z 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，

则()0,0,3P ，()

3,0B ，()2,3,0D -，()0,3,3BP =-，()

2,23,0BD =-， 设平面PBD 的法向量为(),,n x y z =，

则·0·0n BP n BD ?=?=?，即330

2230

z x ?+=??-=??，

令1z =，则平面PBD 的一个法向量为()

3,3,1n =， 依题意，平面PBC 的一个法向量()1,0,0m = 所以·313

cos ,m n m n m n =

= 故二面角C PB D --的余弦值为313

. 【点睛】

空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离.

18．如图所示,直角梯形ABCD 中,AD BC ∥,AD AB ⊥,22AE AB BC AD ====,四边形EDCF 为矩形,3CF =

（1）求证:平面ECF ⊥平面ABCD ;

（2）在线段DF 上是否存在点P ,使得直线BP 与平面ABE 所成角的正弦值为15

10

,若存在,求出线段BP 的长,若不存在,请说明理由.

【答案】（1）见解析；（25【解析】 【分析】

（1）先证CF ⊥面ABCD ,又因为CF ?面BCF ,所以平面ECF ⊥平面ABCD . （2）根据题意建立空间直角坐标系. 列出各点的坐标表示,设DP DF λ=,则可得出

向量()

1,23BP λλλ=---,求出平面ABE 的法向量为(),,n x y z =,利用直线与平面所成角的正弦公

式sin cos ,BP n BP n BP n

θ?==

?列方程求出0λ=或3

4

λ=

,从而求出线段BP 的长. 【详解】

解:（1）证明:因为四边形EDCF 为矩形, ∴3DE CF ==

∵222AD DE AE +=∴DE AD ⊥ ∴DE CD ⊥∴DE ⊥面ABCD ∴CF ⊥面ABCD 又∵CF ?面BCF ∴平面ECF ⊥平面ABCD

（2）取D 为原点,DA 所在直线为x 轴,DE 所在直线为z 轴建立空间直角坐标系. 如图所示:则()1,0,0A ,()1,2,0B ,()1,2,0C -,(

3E ,(3F -, 设(3DP DF λλ==-(),23λλλ=-,[]

0,1λ∈; ∴(

),23P λλλ-,()1,23BP λλλ=---,

设平面ABE 的法向量为(),,n x y z =,

∴

230 20

x y z

y

?--+=?

?

=

??

,

不防设()

3,0,1

n=.

∴sin cos,

BP n

θ==

BP n

BP n

?

=

?

()

()()()2

22

313

12232

λλ

λλλ

--+

--+-+?

15

10

=,

化简得2

860

λλ

-=,解得0

λ=或

3

4

λ=;

当0

λ=时,()

1,2,0

BP=--,∴5

BP=;

当

3

4

λ=时,

7133

,,

42

BP

??

=--

?

?

??

,∴5

BP=;

综上存在这样的P点,线段BP的长5.

【点睛】

本题考查平面与平面垂直的判定定理的应用,考查利用线面所成角求参数问题,是几何综合题,考查空间想象力以及计算能力.

19．已知椭圆E：

22

22

1

x y

a b

+=（0

a b

>>）的离心率为

3

e=B与两焦点A，C 3

（Ⅰ）求椭圆E的方程；

（Ⅱ）若点P为椭圆E上的一点，过点P作椭圆E的切线交圆O：222

x y a

+=于不同的两点M，N（其中M在N的右侧），求四边形ACMN面积的最大值.

【答案】（Ⅰ）

2

21

4

x

y

+=；（Ⅱ）4.

【解析】

【分析】

（Ⅰ）结合已知可得

3

2

c

a

=，3

bc=a，b的值，即可得椭圆方程；

（Ⅱ）由题意可知，直线的斜率存在，设出直线方程，联立直线方程与椭圆方程，利用判别式等于0可得22

41

m k

=+，联立直线方程与圆的方程，结合根与系数的关系求得MCO ANO

S S

??

+，利用弦长公式及点到

直线的距离公式，求出MON S ?，得到ACMN MON MCO ANO S S S S ???=++，整理后利用基本不等式求最值. 【详解】 解：

（Ⅰ）可得

2

c a =

bc =222a b c =+， 解得2a =

，c =，1b =，得椭圆方程2

214

x y +=；

（Ⅱ）易知直线MN 的斜率k 存在，设MN ：y kx m =+，

由22

44

y kx m x y =+??+=?，得()()222

418410k x kmx m +++-=， 由(

)(

)

2

2

2

2

64164110k m k m ?=-+-=，得2241m k =+， ∵ACMN MON MCO ANO S S S S ???=++，

设点O 到直线MN ：0kx y m -+=的距离为d ，

d =

MN ==

12MON

S ?=?==

，

由22

4

y kx m x y =+??

+=?，得()222

1240k x kmx m +++-=， 12221km x x k -+=+，21224

1

m x x k -?=+，

∴()1212122y y kx m kx m k x x m +=+++=++

22

22211km m k m k k ??

=-+= ?

++??

∴)12122

1|

(||)221

MCO NAO m S S y y y y k ??+=

+=+=+

， ∴(

)ACMN MON NAO MCO S S S S ???==

++而2

2

41m k =+，22

1

4

m k -=，易知20k ≥，∴21m ≥，则1m ≥，

四边形ACMN

的面积

431

4

S m m =

==≤=++

当且仅当

3

m m

=，即3m =±时取“=”. ∴四边形ACMN 面积的最大值为4.

【点睛】

本题考查了由,,a b c 求椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，考查了学生的计算能力，综合性比较强，属于难题.

20．如图在棱锥P ABCD -中，ABCD 为矩形，PD ⊥面ABCD ，2,45,30.PB BPC PBD =∠=∠=

（1）在PB 上是否存在一点E ，使PC ⊥面ADE ，若存在确定E 点位置，若不存在，请说明理由； （2）当E 为PB 中点时，求二面角P AE D --的余弦值. 【答案】（1）见解析；（2）3

3

【解析】 【分析】

（1）要证明PC ⊥面ADE ，由已知可得AD ⊥PC ，只需满足0DE PC ?=即可，从而得到点E 为中点;（2）求出面ADE 的法向量，面PAE 的法向量，利用空间向量的数量积，求解二面角P ﹣AE ﹣D 的余弦值． 【详解】

（1）法一：要证明PC ⊥面ADE ，易知AD ⊥面PDC ，即得AD ⊥PC ，故只需0DE PC ?=即可， 所以由()

001DP PE PC DP PC PE PC PE +?=??+?=?=,即存在点E 为PC 中点. 法二：建立如图所示的空间直角坐标系D －XYZ ， 由题意知PD ＝CD ＝1， 2CE ，设PE PB λ=， (

)

2,1,1PE PB λλ

∴==-，()0,1,1PC =-，由

()(

)

()0,1,12,,10PC DE PC DP PE λλλ?=?+=-?

-=，得12

λ=

， 即存在点E 为PC 中点.

（2）由（1）知()0,0,0D ，)

2,0,0A

，211,,222E ??

? ???

，()0,0,1P (

)

2,0,0DA =

，211,222DE ??=

? ???， ()2,0,1PA =-，211,,222PE ??=- ? ???

设面ADE 的法向量为()1111,,n x y z =，面PAE 的法向量为()2222,,n x y z =

由的法向量为1100n DA n DE ??=???=??得，11112011

20

22x x y z ?=?

?++=??

得()10,1,1n =-， 同理求得()

21,0,2n = 所以11113

cos ||

n n n n θ?=

=-

? 故所求二面角P －AE －D 的余弦值为3【点睛】

本题考查二面角的平面角的求法，考查直线与平面垂直的判定定理的应用，考查空间想象能力以及计算能力．

21．已知函数()ln ()x e f x x x ax a R =-+∈.

（1）若函数()f x 在[1,)+∞上单调递减，求实数a 的取值范围； （2）若1a =，求()f x 的最大值.

【答案】（1）21a e ≤-（2）max ()1f x =- 【解析】 【分析】

（1）根据单调递减可知导函数恒小于等于0，采用参变分离的方法分离出a ，并将x 的部分构造成新函

数()g x ，分析a 与()g x 最值之间的关系；

（2）通过对()f x 的导函数()f x '分析，确定()f x '

有唯一零点0x ，则0x 就是()f x 的极大值点也是最大值

点，计算0()f x 的值并利用0()0f x '=进行化简，从而确定max ()f x . 【详解】

（1）由题意知，()

1

()x x f x e xe a x '

=

-++ 1(1)0x x e a x

=-++≤在[1,)+∞上恒成立，所以1

(1)x a x x

e ≤+-在[1,)+∞上恒成立.

令1()(1)x

g x x e x

=+-

，则21()(2)0x

g x x e x '=++>，

所以()g x 在[1,)+∞上单调递增，所以min ()(1)21g x g e ==-， 所以21a e ≤-.

（2）当1a =时，()ln (0)x

f x x x x x e =-+>. 则11()(1)1(1)x x f x x e x e x x '

??

=

-++=+- ???

， 令1()x m x e x

=

-，则21

()0x m x e x '=--<，

所以()m x 在(0,)+∞上单调递减.

由于102m ??> ???

，(1)0m <，所以存在00x >满足()00m x =，即

01x e x =. 当()00,x x ∈时，()0m x >，()0f x '>；当()0,x x ∈+∞时，()0m x <，()0f x '<. 所以()f x 在()00,x 上单调递增，在()0,x +∞上单调递减. 所以()0

max 0000()ln x

f x f

x x x e x ==-+，

因为0

1

x e x =

，所以00ln x x =-，所以()00011f x x x =--+=-， 所以max ()1f x =-. 【点睛】

（1）求函数中字母的范围时，常用的方法有两种：参变分离法、分类讨论法；

（2）当导函数不易求零点时，需要将导函数中某些部分拿出作单独分析，以便先确定导函数的单调性从而确定导函数的零点所在区间，再分析整个函数的单调性，最后确定出函数的最值.

22．如图所示，在三棱锥A BCD -中，2AB BC BD ===，23AD =，2

CBA CBD π

∠=∠=，点E

为AD 中点．

（1）求证：平面ACD ⊥平面BCE ；

（2）若点F 为BD 中点，求平面BCE 与平面ACF 所成锐二面角的余弦值． 【答案】（1）答案见解析．（2531

【解析】 【分析】

（1）通过证明BC ⊥平面ABD ，证得BC AD ⊥，证得BE AD ⊥，由此证得AD ⊥平面BCE ，进而证得平面ACD ⊥平面BCE .

（2）建立空间直角坐标系，利用平面BCE 和平面ACF 的法向量，计算出平面BCE 与平面ACF 所成锐二面角的余弦值. 【详解】

（1）因为2

CBA CBD π

∠=∠=

，所以BC ⊥平面ABD ，

因为AD ?平面ABD ，所以BC AD ⊥．

因为AB BD =，点E 为AD 中点，所以BE AD ⊥． 因为BC

BE B =，所以AD ⊥平面BCE ．

因为AD ?平面ACD ，所以平面ACD ⊥平面BCE ．

（2）以点B 为坐标原点，直线,BC BD 分别为x 轴，y 轴，过点B 与平面BCD 垂直的直线为z 轴，建立

空间直角坐标系，则()0,0,0B ，(0,3A -，()2,0,0C ，()0,2,0D ，130,22E ??

? ???

，()0,1,0F ，

()2,0,0BC =，130,22BE ??

= ? ???

，()2,1,0CF =-，(3AF =，

设平面BCE 的一个法向量()111,,n x y z =，则0,0,n BC n BE ??=??=?即1

1120,

13

0,2

2x y z =???+=?? 取11z =，则10x =，13y =-，所以()

0,3,1n =-， 设平面ACF 的一个法向量()222,,m x y z =，则0,0,

m AF m CF ??=?

?=?即2222230,

20,

y z x y ?+=??

-+=??

取22z =，则232x =-，23y =-，所以3,3,22m ??=-- ? ???

， 设平面BCE 与平面ACF 所成锐二面角为θ，

则()()

()

()

2

2

22

2

2

303312

2531

cos cos 31

3031

322n m θ??

?-+-?-+? ???

=?=

=

??+-+-+-+ ???

． 所以平面BCE 与平面ACF 所成锐二面角的余弦值为

531

31

．

【点睛】

本小题主要考查面面垂直的证明，考查二面角的求法，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题.

23．正项数列{}n a 的前n 项和Sn 满足：222

(1)()0n n S n n S n n -+--+=

(1)求数列{}n a 的通项公式n a ； (2)令221(2)n n n b n a +=

+，数列{bn}的前n 项和为Tn ，证明：对于任意的n ∈N*，都有Tn ＜

5

64

. 【答案】（1）2;n a n =（2）见解析 【解析】 【分析】 【详解】 （1）因为数列

的前项和

满足：

，