三角函数典型例题剖析与规律总结
三角函数典型例题剖析与规律总结一：函数的定义域问题 1. 求函数1sin 2+=x y 的定义域。
分析：要求1sin 2+=y 的定义域，只需求满足01sin 2≥+x 的x 集合，即只需求出满足21sin -≥x 的x值集合，由于正弦函数具有周期性，只需先根据问题要求，求出在一个周期上的适合条件的区间，然后两边加上πk 2()Z k ∈即可。
解：由题意知需01sin 2≥+x ，也即需21sin -≥x ①在一周期⎥⎦⎤⎢⎣⎡-23,2ππ上符合①的角为⎥⎦⎤⎢⎣⎡-67,6ππ,由此可得到函数的定义域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-672,62ππππk k ()Z k ∈ 小结:确定三角函数的定义域的依据：（1）正、余弦函数、正切函数的定义域。
（2）若函数是分式函数，则分母不能为零。
（3）若函数是偶函数，则被开方式不能为负。
（4）若函数是形如()()1,0log ≠>=a a x f y a的函数，则其定义域由()x f 确定。
（5）当函数是有实际问题确定时，其定义域不仅要使解析式有意义同时还要使实际问题有意义。
二．函数值域及最大值，最小值 （1）求函数的值域 例。
求下列函数的值域（1）x y 2sin 23-= （2）2sin 2cos 2-+=x y x分析：利用1cos ≤x 与1sin ≤x 进行求解。
解：（1） 12sin 1≤≤-x ∴[]5,151∈∴≤≤y y （2）()[].0,4,1sin 11sin 1sin 2sin 2sin 2222cos -∈∴≤≤---=-+-=-+=y x x x x x x y 评注：一般函数的值域求法有：观察法，配方法判别式法，反比例函数法等，而三角函数是函数的特殊形式，其一般方法也适用，只不过要结合三角函数本身的性质罢了。
（2）函数的最大值与最小值。
例。
求下列函数的最大值与最小值 （1）x y sin 211-= （2）⎪⎭⎫ ⎝⎛≤≤-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=6662sin 2πππx x y（3）4sin 5cos 22-+=x x y （4）⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈+-=32,31cos 4cos 32ππx x x y 分析：（1）（2）可利用sinx,cosx 的值域求解求解过程要注意自变量的去值范围（3）（4）可利用二次函数c bx ax x f ++=2)(在闭区间[]n m ,上求最值得方法。
解：(1)221sin ;261sin 1sin 11sin 10sin 211min max ===-=∴≤≤-∴⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-≥-y x y x x x x 时当时，当 (2).11)32cos(5132cos ,1)32cos(1min max =-=+==⎪⎭⎫ ⎝⎛+∴≤+≤-y x y x x 时，；当时，当πππ(3)[]222592cos 5sin 42sin 5sin 22sin ,sin 1,1,48y x x x x x x ⎛⎫=+-=-+-=--+∈- ⎪⎝⎭∴当sin 1x =-，即2(2x k k Z ππ=-+∈）时，y 有最小值9-； 当sin 1x =，即2(2x k k Z ππ=+∈），y 有最大值1。
(4)413,21cos 415y 32,21cos ,21,21cos ,32,3,31)32(cos 31cos 4cos 3min max 22-=====-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈--=+-=y x x x x x x x x x y 时，即当时，、即从而ππππ 小结：求值域或最大值，最小值的问题，一般的依据是：（1）sinx,cosx 的有界性；（2）tanx 的值可取一切实数；（3）连续函数在闭区间上存在最大值和最小值。
根据上面的原则，常常把给出的函数变成以下几种形式； （1）()sin x ωα+一次形式（2）sin ()x f y =或cos ()x f y =的形式，通过()1f y ≤来确定或其他变形来确定。
三：函数的周期性例 求下列函数的周期()x x f 2cos )(1= ())62sin(2)(2π-=x x f分析：该例的两个函数都是复合函数，我们可以通过变量的替换，将它们归结为基本三角函数去处理。
（1） 把x 2看成是一个新的变量u ，那么u cos 的最小正周期是π2，就是说，当π2+u u 增加到且必须增加到π2+u 时，函数u cos 的值重复出现，而),(2222πππ+=+=+x x u 所以当自变量x 增加到π+x 且必须增加到π+x 时，函数值重复出现，因此，x y 2sin =的周期是π。
（2） ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+-62sin 2)262sin(2πππx x 即())62sin(2)()62sin(26421sin 2ππππ-=∴-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+x x f x x 的周期是π4。
小结：由上面的例题我们看到函数周期的变化仅与自变量x 的系数有关。
一般地，函数)sin(ϕω+=x A y 或)cos(ϕω+=x A y （其中ϕω,,A 为常数，),0,0R x A ∈>≠ω的周期ωπ2=T 。
四．函数的奇偶性例 判断下列函数的奇偶性xxx x f x x x f sin 1cos sin 1)()2)(sin()()1(2+-+=+=π分析：可利用函数奇偶性定义予以判断。
解：（1）函数的定义域R 关于原点对称。
是偶函数。
)()(sin )sin()()(,sin )sin()(x f x f x x x x x f x x x x x f ∴=-=--=--=+=ππ（2函数应满足∴⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+≠∈∴≠+.,2320sin 1Z k k x R x x x ππ，且函数的定义于为函数的定义域不关于原点对称。
∴函数既不是奇函数又不是偶函数。
评注：判断函数奇偶性时，必须先检查定义域是否关于原点对称的区间，如果是，再验证)(x f -是否等于)(x f -或)(x f ，进而判断函数的奇偶性，如果不是，则该函数必为非奇非偶函数。
五：函数的单调性 例：下列函数，在⎥⎦⎤⎢⎣⎡ππ,2上是增函数的是（ ） x y A sin .= x y B cos = x y C 2sin = x y D 2cos =分析：判断。
在各象限的单调性作出与可根据x x x x cos sin .22,2ππππ≤≤∴≤≤解：sin y x =与cos y x =在2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上都是减函数，∴排除,A B ，2x ππ≤≤，22,x ππ∴≤≤知sin 2y x =在[]2,2x ππ∈内不具有单调性，∴又可排除C ，∴应选D 。
小结：求形如)0,0)(cos()sin(>≠+=+=ωϕωϕωA x A y x A y 其中或的函数的单调区间，可以通过解不等式的方法去解答，列不等式的原则是：式的方向相同（反）。
的单调区间对应的不等与时，所列不等式的方向）视为一个整体；（把“)(cos ),(sin )0(02)"0()1(R x x y R x x y A A x ∈=∈=<>>+ωϕω练习：1. 函数xy sin 1=的定义域为（ ） {}[)(]{}0.1,00,1.,..≠-∈≠∈x x D C Z k k x R x B R A π2. 函数)6cos(π+=x y ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2,0πx 的值域是( ) ⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎥⎦⎤⎝⎛-1,211,2323,2121,23.DCBA 3. 函数)0)(4sin(>+=ωπωx y 的周期为32π，则ω=------------. 4. 下列函数中是偶函数的是（ ）1sin sin sin 2sin .+==-==x y D x y C x y B x y A5. 下列函数中，奇函数的个数为（ ）（1）x x y sin 2=（2）[]π2,0,sin ∈=x x y （3）[]ππ,,sin -∈=x x y （4）x x y cos =432.1.D C B A6. 在区间⎪⎭⎫⎝⎛2,0π上，下列函数为增函数的是（ ） x y Dxy Cxy Bxy A cos sin cos 1sin 1.-=-=-==7. 函数x y 2sin =的单调减区间是（ ）[]()Z k k k D k k Ck k B k k A ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-++⎥⎦⎤⎢⎣⎡++⎥⎦⎤⎢⎣⎡++4,423,243,4223,22ππππππππππππππππ8. 如果4π≤x ，则函数x x y sin cos 2+=的最小值是——————9. 函数)2434(tan πππ≠≤=x xx y 且的值域为（ ） [](][)(][)+∞-∞-+∞-∞--,11,,11,1,1DCBA答案：B B 3 C C D B221- B。
高中数学三角函数解题实例及解题思路分析
高中数学三角函数解题实例及解题思路分析在高中数学学习中，三角函数是一个重要的内容，也是考试中常见的题型。
掌握三角函数的解题方法和思路对于提高数学成绩至关重要。
本文将通过一些实例来解析三角函数解题的思路和技巧，帮助高中学生更好地应对这类题目。
一、正弦函数的应用正弦函数是三角函数中最常见的一种，它在解决角度问题时特别有用。
下面以一个实例来说明。
例题：已知在直角三角形ABC中，角A的对边为3，斜边为5，求角A的正弦值。
解析：根据正弦函数的定义，正弦值等于对边与斜边的比值。
所以，sinA = 对边/斜边 = 3/5。
通过这个例题，我们可以看出，解决正弦函数的题目，首先要明确正弦值的定义，然后根据题目给出的条件，找到对应的边长，最后进行计算。
二、余弦函数的应用余弦函数在三角函数中也是常见的一种，它在解决角度问题时同样非常有用。
下面以一个实例来说明。
例题：已知在直角三角形ABC中，角A的邻边为4，斜边为5，求角A的余弦值。
解析：根据余弦函数的定义，余弦值等于邻边与斜边的比值。
所以，cosA = 邻边/斜边 = 4/5。
通过这个例题，我们可以看出，解决余弦函数的题目，同样要明确余弦值的定义，然后根据题目给出的条件，找到对应的边长，最后进行计算。
三、三角函数的性质除了直接计算三角函数的值，我们还可以利用三角函数的性质来解题。
下面以一个实例来说明。
例题：已知sinA = 3/5，cosB = 4/5，求sin(A+B)的值。
解析：根据三角函数的性质，sin(A+B) = sinA*cosB + cosA*sinB。
代入已知条件，得到sin(A+B) = (3/5)*(4/5) + (4/5)*(3/5) = 24/25。
通过这个例题，我们可以看出，利用三角函数的性质可以简化计算过程，提高解题效率。
四、三角函数的图像应用三角函数的图像在解题中也有很大的应用价值。
下面以一个实例来说明。
例题：已知函数y = sin(x)在区间[0, 2π]上的图像如下所示，求解sin(x) = 1的解。
三角函数错解剖析
四边 形们 晒
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一 ５。
【 分析 】 １观 察 图形 我 们很 （）
容易得 出 △Ｄ Ｆ一 △ Ｃ Ｆ， 后 Ｅ Ｇ 然 根 据 比例 关 系 即 可求 出 Ｆ 的 Ｃ 长 ；２ 要 求 裁 出矩 形 的面 积 最 （） 大， 我们 可根据 点所对 的顶点 位 置 分 三 种 情 况 考 虑 。 分 为 点所对顶点在 Ａ Ｅ上 、 Ｆ上 和 Ｆ Ｅ Ｃ 上 ， 积 的 求 法 是 不 一 样 的 ， 小 面 大 也不 同 ， 要我 们求 出后 进行 比 需 较 。（ 解略 ）
２＋ ２ ＋ 】 ＋ ３ｎ ＋ １ 。
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（ ） 图 ３ 当 点 运 动 到 １如 ， Ｄ Ｃ的中点 时 ， 求△Ａ Ｆ与四边 形 Ｂ ＡＥ Ｄ Ｆ的 面 积 之 比 ； （ ） 图 ４ 当 点 Ｅ 运 动 到 ２如 ，
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思路方法
３
由于 三角 函数 部分 概念 多 、 公式多 、 变化 大 ， 知识 覆 盖面 广 ， 思想方 法 灵活 ， 因而 同学们 在解 题时 ， 常会 出现 似是 而非 的错 常 误 。举例剖析如下 ， 供读 者参考 。 对 “ 限 角 ” 念 理 解 不 象 概 清 例 １ 已 知 ａ是 第 一 象 限
一
例 谈 相 似 形 也 创 新
一 田
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Ｅ ＝ ｎ： （ 是 整 数 ） ， 想 Ｄ ｌｎ 时 猜 ＡＡ Ｆ与 四边形 Ａ Ｅ Ｂ Ｄ Ｆ的面积 之 比（ 只写结果 ， 不要求写 出计算 过
初中三角函数知识点总结及典型习题含答案)
初中三角函数知识点总结及典型习题含答案)初三下学期锐角三角函数知识点总结及典型题1.勾股定理：直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方，即a^2+b^2=c^2.2.在直角三角形ABC中，若∠C为直角，则∠A的三角函数为：正弦函数sinA=对边a/斜边c，取值范围为[0,1]。
余弦函数cosA=邻边b/斜边c，取值范围为[0,1]。
正切函数tanA=对边a/邻边b，取值范围为R（实数集）。
3.任意锐角的正弦值等于其余角的余弦值，余弦值等于其余角的正弦值，即sinA=cosB，cosA=sinB，其中A+B=90°。
4.特殊角的三角函数值：30°：sin30°=1/2，cos30°=√3/2，tan30°=1/√3.45°：sin45°=cos45°=√2/2，tan45°=1.60°：sin60°=√3/2，cos60°=1/2，tan60°=√3.6.正弦、余弦的增减性：当0°≤A≤90°时，XXX随A的增大而增大，cosA随A的增大而减小。
7.正切的增减性：当0°<A<90°时，XXX随A的增大而增大。
8.解直角三角形的方法：已知边和角（其中必有一边）→求所有未知的边和角。
依据：①边的关系：a^2+b^2=c^2；②角的关系：A+B=90°；③三角函数的定义。
9.应用举例：仰角：视线在水平线上方的角；俯角：视线在水平线下方的角。
坡度：坡面的铅直高度h和水平宽度l的比，用i=h/l表示。
方位角：从某点的指北方向按顺时针转到目标方向的水平角。
方向角：指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角。
例1：在直角三角形ABC中，已知∠C=90°，sinA=3/5，求XXX的值。
常见三角函数题错误剖析
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黄 邦活
三角函数是高 中数学 的重 要 内容 之一 ， 由于 三 但
角函数 变化 灵 活 ， 巧性 较强 ， 具 体求 解 时稍 不 留 技 在
心， 就会造成失误 。为此 ， 本文就 常见 三角函数题 错误 进行剖析 ， 供学习参考 。
剖析 ： 上述 解法 虽注 意到 了 ｓ ｘ的有界 性 ， 却 ｉ ｎ 但
没有注意到当 ｓ ＝ 一１时 ， 导致 ｓ ｙ＝— ＞１矛 ｉ 会 ｉ ｎ ４ 盾， 从而产 生 了误 解 。事实上 ， 深挖 题设 ｓ ｘ＋ｓ ｙ＝ ｉ ｎ ｉ ｎ 的隐含 条 件 ， 一１ ｉｙ 由 ≤ｓ ≤１且 一１ ｉ ≤ １得 ｎ ≤ｓ 似 ≤ｓ ｘ ｌ所 以应是 当 ｓ ＝一 时 ， ＝ ４ ｉ ￣ ， ｎ＜ ｉ 眦 ｕ
三角函数例题和知识点总结
三角函数例题和知识点总结三角函数是数学中的一个重要分支，在几何、物理、工程等领域都有广泛的应用。
下面我们将通过一些例题来加深对三角函数知识点的理解，并对相关知识点进行总结。
一、三角函数的基本概念1、角的概念角可以看作是平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形。
按旋转方向不同，角可分为正角、负角和零角。
2、弧度制把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做 1 弧度的角。
用弧度作为单位来度量角的制度叫做弧度制。
弧度与角度的换算关系为：180°＝π 弧度。
3、任意角的三角函数设角α的终边上任意一点 P 的坐标为(x, y)，它到原点的距离为 r（r ＝√（x²＋ y²)），则角α的正弦、余弦、正切分别为：sinα ＝ y/r ，cosα ＝ x/r ，tanα ＝ y/x （x ≠ 0）二、三角函数的图像和性质1、正弦函数 y ＝ sin x图像：正弦函数的图像是一个周期为2π，振幅为 1 的波浪线。
性质：定义域为 R，值域为-1, 1，是奇函数，在π/2 ＋2kπ, π/2 ＋2kπ （k∈Z）上单调递增，在π/2 ＋2kπ, 3π/2 ＋2kπ （k∈Z）上单调递减。
2、余弦函数 y ＝ cos x图像：余弦函数的图像是一个周期为2π，振幅为 1 的波浪线。
性质：定义域为 R，值域为-1, 1，是偶函数，在π ＋2kπ, 2kπ（k∈Z）上单调递增，在2kπ, π ＋2kπ （k∈Z）上单调递减。
3、正切函数 y ＝ tan x图像：正切函数的图像是由无数个周期为π的分支组成，其定义域为｛ x ｜x ≠ π/2 ＋kπ, k∈Z ｝。
性质：值域为 R，是奇函数，在（π/2 ＋kπ, π/2 ＋kπ ）（k∈Z）上单调递增。
三、三角函数的诱导公式1、同角三角函数的基本关系sin²α ＋cos²α ＝ 1 ，tanα ＝sinα ／cosα2、诱导公式sin( α ）＝sinα ，cos( α ）＝cosα ，tan( α ）＝tanαsin( π α ）＝sinα ，cos( π α ）＝cosα ，tan( π α ）＝tanαsin( π ＋α ）＝sinα ，cos( π ＋α ）＝cosα ，tan( π ＋α ）＝tanαsin( 2π α ）＝sinα ，cos( 2π α ）＝cosα ，tan( 2π α ）＝tanα四、三角函数的和差公式1、两角和与差的正弦公式sin(α ＋β) ＝sinαcosβ ＋cosαsinβsin(α β) ＝sinαcosβ cosαsinβ2、两角和与差的余弦公式cos(α ＋β) ＝cosαcosβ sinαsinβcos(α β) ＝cosαcosβ ＋sinαsinβ3、两角和与差的正切公式tan(α ＋β) ＝（tanα ＋tanβ) ／（1 tanαtanβ)tan(α β) ＝（tanα tanβ) ／（1 ＋tanαtanβ)五、例题解析例 1：已知sinα ＝ 3/5，且α为第二象限角，求cosα 和tanα 的值。
高中数学三角函数解题实例及解题思路详解与举例分析和讲解
高中数学三角函数解题实例及解题思路详解与举例分析和讲解三角函数是高中数学中一个重要的章节，也是学生们经常遇到的难点之一。
在解题过程中，掌握一些解题技巧和思路是非常重要的。
本文将通过具体的题目举例，详细解析三角函数解题的思路和方法，并给出一些解题技巧，帮助高中学生和他们的父母更好地理解和掌握三角函数的应用。
一、正弦函数的解题实例1. 题目：已知一角的正弦值为0.6，求该角的余弦值。
解析：根据正弦函数的定义sinθ = 对边/斜边，已知sinθ = 0.6，我们可以设对边为3，斜边为5。
根据勾股定理，可以求得邻边为4。
然后，根据余弦函数的定义cosθ = 邻边/斜边，代入已知的值，得到cosθ = 4/5。
2. 题目：已知一角的正弦值为0.8，求该角的余切值。
解析：根据正弦函数的定义sinθ = 对边/斜边，已知sinθ = 0.8，我们可以设对边为8，斜边为10。
根据勾股定理，可以求得邻边为6。
然后，根据余切函数的定义tanθ = 对边/邻边，代入已知的值，得到tanθ = 8/6 = 4/3。
二、余弦函数的解题实例1. 题目：已知一角的余弦值为0.5，求该角的正弦值。
解析：根据余弦函数的定义cosθ = 邻边/斜边，已知cosθ = 0.5，我们可以设邻边为1，斜边为2。
根据勾股定理，可以求得对边为√3。
然后，根据正弦函数的定义sinθ = 对边/斜边，代入已知的值，得到sinθ = √3/2。
2. 题目：已知一角的余弦值为0.6，求该角的正切值。
解析：根据余弦函数的定义cosθ = 邻边/斜边，已知cosθ = 0.6，我们可以设邻边为6，斜边为10。
根据勾股定理，可以求得对边为8。
然后，根据正切函数的定义tanθ = 对边/邻边，代入已知的值，得到tanθ = 8/6 = 4/3。
三、正切函数的解题实例1. 题目：已知一角的正切值为1.5，求该角的余弦值。
解析：根据正切函数的定义tanθ = 对边/邻边，已知tanθ = 1.5，我们可以设对边为3，邻边为2。
三角函数例题和知识点总结
三角函数例题和知识点总结一、三角函数的基本概念在数学中，三角函数是一类重要的函数，它们描述了三角形中边与角之间的关系。
首先，我们来了解一下角度的度量。
角度可以用度（°）或弧度来表示。
一个完整的圆周对应的角度是 360°，而用弧度表示则是2π 弧度。
接下来，我们认识一下常见的三角函数：正弦函数（sin）、余弦函数（cos）、正切函数（tan）。
正弦函数sinθ 表示在直角三角形中，对边与斜边的比值；余弦函数cosθ 表示邻边与斜边的比值；正切函数tanθ 则是对边与邻边的比值。
二、三角函数的基本公式1、同角三角函数的基本关系sin²θ ＋cos²θ ＝ 1tanθ ＝sinθ ／cosθ2、诱导公式例如：sin(π θ) ＝sinθ ，cos(π θ) ＝cosθ 等三、三角函数的图像和性质1、正弦函数 y ＝ sin x 的图像是一个周期为2π 的波形，其值域为-1, 1，在 x ＝π/2 ＋2kπ （k 为整数）时取得最大值 1，在 x ＝3π/2 ＋2kπ （k 为整数）时取得最小值－1。
2、余弦函数 y ＝ cos x 的图像也是一个周期为2π 的波形，值域同样为-1, 1，在 x ＝2kπ （k 为整数）时取得最大值 1，在 x ＝π ＋2kπ （k 为整数）时取得最小值－1。
3、正切函数 y ＝ tan x 的图像其周期为π，定义域为x ≠ π/2 ＋kπ （k 为整数），值域为 R 。
四、三角函数的例题例 1：已知sinθ ＝ 08，且θ 在第一象限，求cosθ 和tanθ 的值。
因为sin²θ ＋cos²θ ＝ 1，所以cosθ ＝√（1 sin²θ) ＝√（1 08²) ＝06 。
tanθ ＝sinθ ／cosθ ＝ 08 ／ 06 ＝ 4 ／ 3 。
例 2：求函数 y ＝ 2sin(2x ＋π/3) 的周期和振幅。
三角函数典型例题剖析与规律总结材料
三角函数典型例题剖析与规律总结一：函数的定义域问题 1. 求函数1sin 2+=x y 的定义域。
分析：要求1sin 2+=y 的定义域，只需求满足01sin 2≥+x 的x 集合，即只需求出满足21sin -≥x 的x 值集合，由于正弦函数具有周期性，只需先根据问题要求，求出在一个周期上的适合条件的区间，然后两边加上πk 2()Z k ∈即可。
解：由题意知需01sin 2≥+x ，也即需21sin -≥x ①在一周期⎥⎦⎤⎢⎣⎡-23,2ππ上符合①的角为⎥⎦⎤⎢⎣⎡-67,6ππ,由此可得到函数的定义域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-672,62ππππk k ()Z k ∈ 小结:确定三角函数的定义域的依据：（1）正、余弦函数、正切函数的定义域。
（2）若函数是分式函数，则分母不能为零。
（3）若函数是偶函数，则被开方式不能为负。
（4）若函数是形如()()1,0log ≠>=a a x f y a的函数，则其定义域由()x f 确定。
（5）当函数是有实际问题确定时，其定义域不仅要使解析式有意义同时还要使实际问题有意义。
二．函数值域及最大值，最小值 （1）求函数的值域 例。
求下列函数的值域（1）x y 2sin 23-= （2）2sin 2cos 2-+=x y x分析：利用1cos ≤x 与1sin ≤x 进行求解。
解：（1） 12sin 1≤≤-x ∴[]5,151∈∴≤≤y y （2）()[].0,4,1sin 11sin 1sin 2sin 2sin 2222cos -∈∴≤≤---=-+-=-+=y x x x x x x y 评注：一般函数的值域求法有：观察法，配方法判别式法，反比例函数法等，而三角函数是函数的特殊形式，其一般方法也适用，只不过要结合三角函数本身的性质罢了。
（2）函数的最大值与最小值。
例。
求下列函数的最大值与最小值 （1）x y sin 211-= （2）⎪⎭⎫ ⎝⎛≤≤-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=6662sin 2πππx x y（3）4sin 5cos 22-+=x x y （4）⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈+-=32,31cos 4cos 32ππx x x y分析：（1）（2）可利用sinx,cosx 的值域求解求解过程要注意自变量的去值范围（3）（4）可利用二次函数c bx ax x f ++=2)(在闭区间[]n m ,上求最值得方法。
三角函数知识归纳与典型例题
三角函数知识归纳与典型例题1、角的概念的推广：平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所的图形.按逆时针方向旋转所形成的角叫正角,按顺时针方向旋转所形成的角叫负角,一条射线没有作任何旋转时,称它形成一个零角.射线的起始位置称为始边,终止位置称为终边.2、象限角的概念：在直角坐标系中,使角的顶点与原点重合,角的始边与x 轴的非负半轴重合,角的终边在第几象限,就说这个角是第几象限的角.如果角的终边在坐标轴上,就认为这个角不属于任何象限.3.终边相同的角的表示：〔1〕α终边与θ终边相同<α的终边在θ终边所在射线上>⇔2()k k αθπ=+∈Z ,注意：相等的角的终边一定相同,终边相同的角不一定相等.例1．与角1825-的终边相同,且绝对值最小的角的度数是＿25-,合＿536π-＿弧度. 〔2〕α终边与θ终边共线<α的终边在θ终边所在直线上>⇔()k k αθπ=+∈Z . 〔3〕α终边与θ终边关于x 轴对称⇔2()k k αθπ=-+∈Z . 〔4〕α终边与θ终边关于y 轴对称⇔2()k k απθπ=-+∈Z . 〔5〕α终边与θ终边关于原点对称⇔2()k k απθπ=++∈Z .〔6〕α终边在x 轴上的角可表示为：,k k Z απ=∈；α终边在y 轴上的角可表示为：,2k k Z παπ=+∈；α终边在坐标轴上的角可表示为：,2k k Z πα=∈.例2．α的终边与6π的终边关于直线x y =对称,则α＝____Z k k ∈+,32ππ________. 4、α与2α的终边关系：由"两等分各象限、一二三四"确定.例3．若α是第二象限角,则2α是第__一、三___象限角 5.弧长公式：||l R α=,扇形面积公式：211||22S lR R α==,1弧度<1rad>57.3≈.例4．已知扇形AOB 的周长是6cm,该扇形的中心角是1弧度,求该扇形的面积. 答案：22cm 〕6、任意角的三角函数的定义：设α是任意一个角,P (,)x y 是α的终边上的任意一点〔异于原点〕,它与原点的距离是r =>,那么sin ,cos y x r r αα==,()tan ,0y x x α=≠,cot x y α=(0)y ≠,sec rxα=()0x ≠,()csc 0ry yα=≠.三角函数值只与角的大小有关,而与终边上点P 的位置无关.例5．〔1〕已知角α的终边经过点P<5,－12>,则ααcos sin +的值为＿713-＿.〔2〕设α是第三、四象限角,m m --=432sin α,则m 的取值范围是___〔－1,)23____.〔3〕若0|cos |cos sin |sin |=+αααα,试判断)tan(cos )cot(sin αα⋅的符号答：负 7.三角函数线的特征是：正弦线MP"站在x 轴上<起点在x 轴上>"、余弦线OM"躺在x 轴上<起点是原点>"、正切线AT"站在点(1,0)A 处<起点是A >".三角函数线的重要应用是比较三角函数值的大小和解三角不等式.例6．〔1〕若08πθ-<<,则sin ,cos ,tan θθθ的大小关系为_____〔tan sin cos θθθ<<〕〔2〕若α为锐角,则,sin ,tan ααα的大小关系为_______ ,〔sin tan ααα<<〕〔3〕函数)3sin 2lg(cos 21+++=x x y 的定义域是_______,答案：2(2,2]()33k k k Z ππππ-+∈〔1〕平方关系：222222sin cos 1,1tan sec ,1cot csc αααααα+=+=+= 〔2〕倒数关系：sin αcsc α=1,cos αsec α=1,tan αcot α=1, 〔3〕商数关系：sin cos tan ,cot cos sin αααααα==同角三角函数的基本关系式的主要应用是,已知一个角的三角函数值,求此角的其它三角函数值.在运用平方关系解题时,要根据已知角的范围和三角函数的取值,尽可能地压缩角的范围,以便进行定号；在具体求三角函数值时,一般不需用同角三角函数的基本关系式,而是先根据角的范围确定三角函数值的符号,再利用解直角三角形求出此三角函数值的绝对值.例7．〔1〕函数sin tan cos cot y αααα+=+的值的符号为____大于0,〔2〕若π220≤≤x ,则使x x 2cos 2sin 12=-成立的x 的取值范围是____,yTA xα B SO M P答案：[0,]4π],43[ππ 〔3〕已知53sin +-=m m θ,)2(524cos πθπθ<<+-=m m ,则θtan ＝___125-,〔4〕已知11tan tan -=-αα,则ααααcos sin cos 3sin +-＝____35-； 2cos sin sin 2++ααα＝________513_;〔5〕已知a = 200sin ,则160tan 等于 〔 B 〕A 、21aa-- B 、21a a- C 、a a 21-- D 、a a 21-；〔6〕已知x x f 3cos )(cos =,则)30(sinf 的值为______－1.10.三角函数诱导公式〔2kπα+〕的本质是：奇变偶不变〔对k 而言,指k 取奇数或偶数〕,符号看象限〔看原函数,同时可把α看成是锐角〕.诱导公式的应用是求任意角的三角函数值,其一般步骤：〔1〕负角变正角,再写成2k π+α,02απ≤<；<2>转化为锐角三角函数.例8．〔1〕97cos tan()sin 2146πππ+-+的值为____23-____； 〔2〕已知54)540sin(-=+α,则=-)270cos( α___54-___,若α为第二象限角,则=+-+-)180tan()]360cos()180[sin(2ααα ____1003-____. 11、两角和与差的正弦、余弦、正切公式与倍角公式：()sin sin cos cos sin sin 22sin cos 令αβαβαβαβααα=±=±−−−→=()()2222222cos cos cos sin sin cos 2cos sin 2cos 112sin tan tan 1+cos2tan cos 1tan tan 21cos2sin 22tan tan 21tan 令 ＝ ＝ αβαβαβαβααααααβααβααβααααα=±=−−−→=-↓=-=-±±=⇒-↓=-例9．〔1〕下列各式中,值为12的是 〔 C 〕A 、1515sin cosB 、221212cos sin ππ-C 、22251225tan .tan .-D 30； 〔2〕命题P ：0tan(A B )+=,命题Q ：0tan A tan B +=,则P 是Q 的 〔 〕A 、充要条件B 、充分不必要条件C 、必要不充分条件D 、既不充分也不必要条件；〔3〕已知35sin()cos cos()sin αβααβα---=,那么2cos β的值为___725_； 〔4〕131080sin sin -的值是____4__；<5>已知0tan110a =,求0tan 50的值〔用a ,乙求得的结果是212a a-,对甲、乙求得的结果的正确性你的判断是______甲、乙都对;12.三角函数的化简、计算、证明的恒等变形的基本思路是：一角二名三结构.即首先观察角与角之间的关系,注意角的一些常用变式,角的变换是三角函数变换的核心！第二看函数名称之间的关系,通常"切化弦"；第三观察代数式的结构特点.基本的技巧有:〔1〕巧变角〔已知角与特殊角的变换、已知角与目标角的变换、角与其倍角的变换、两角与其和差角的变换. 如()()ααββαββ=+-=-+,2()()ααβαβ=++-,2()()αβαβα=+--,22αβαβ++=⋅,()()222αββααβ+=---等〕,例10．〔1〕已知2tan()5αβ+=,1tan()44πβ-=,那么tan()4πα+的值是____322_； 〔2〕已知02πβαπ<<<<,且129cos()βα-=-,223sin()αβ-=,求cos()αβ+的值；答案：490729〔3〕已知,αβ为锐角,sin ,cos x y αβ==,3cos()5αβ+=-,则y 与x 的函数关系为______43(1)55y x x =<<；<2>三角函数名互化<切割化弦>,例11．〔1〕求值sin 50(13tan10)+；〔答案：1〔2〕已知sin cos 21,tan()1cos 23αααβα=-=--,求tan(2)βα-的值；答案：18<3>公式变形使用〔tan tan αβ±()()tan 1tan tan αβαβ=±.例12．〔1〕已知A 、B 为锐角,且满足tan tan tan tan 1A B A B =++,则cos()A B +＝__2-_；<2>设ABC ∆中,tan A tan B Atan B ++=,4sin Acos A =,则此三角形是__等边__三角形；<4>三角函数次数的降升<降幂公式：21cos 2cos 2αα+=,21cos 2sin 2αα-=与升幂公式：21cos 22cos αα+=,21cos 22sin αα-=>.例13．<1>若32(,)αππ∈,为_____sin 2α；〔2〕函数25f (x )sin x cos x x =-x R )∈的单调递增区间为_______51212[k ,k ](k Z )ππππ-+∈<5>式子结构的转化<对角、函数名、式子结构化同>. 例14．〔1〕化简tan (cos sin )ααα-sin tan cot csc αααα+++；〔〕〔2〕求证：21tan 1sin 212sin 1tan 22αααα++=--；〔sin α〕〔3〕：化简42212cos 2cos 22tan()sin ()44x x x x ππ-+-+ 〔1cos 22x 〕 <6>常值变换主要指"1”的变换〔221sin cos x x =+22sec tan tan cot x x x x =-=⋅ tan sin 42ππ===等〕,例15．已知tan 2α=,求22sin sin cos 3cos αααα+-.〔35〕<7>正余弦"三兄妹—sin cos sin cos x x x x ±、"的内存联系――"知一求二",例16．〔1〕若sin cos x x t ±=,则sin cos x x =212t -± __,特别提醒：这里[t ∈；〔2〕若1(0,),sin cos 2απαα∈+=,求tan α的值.；〔3〕已知2sin 22sin 1tan k ααα+=+()42ππα<<,试用k 表示sin cos αα-的值13、辅助角公式中辅助角的确定：()sin cos a x b x x θ+=+<其中θ角所在的象限由a , b 的符号确定,θ角的值由tan baθ=确定>在求最值、化简时起着重要作用. 例17．〔1〕若方程sin x x c =有实数解,则c 的取值范围是___[－2,2]________.；〔2〕当函数23y cos x sin x =-取得最大值时,tanx 的值是___32-___；〔3〕如果()()sin 2cos()f x x x ϕϕ=+++是奇函数,则tan ϕ=－2；〔4〕求值：=︒+︒-︒20sin 6420cos 120sin 3222_______32_； 14、正弦函数和余弦函数的图象：正弦函数sin y x =和余弦函数cos y x =图象的作图方法：五点法：先取横坐标分别为0,3,,,222ππππ的五点,再用光滑的曲线把这五点连接起来,就得到正弦曲线和余弦曲线在一个周期内的图象.15、正弦函数sin ()y x x R =∈、余弦函数cos ()y x x R =∈的性质： 〔1〕定义域：都是R.〔2〕值域：都是[]1,1-,对sin y x =,当()22x k k Z ππ=+∈时,y 取最大值1；当()322x k k Z ππ=+∈时,y 取最小值－1；对cos y x =,当()2x k k Z π=∈时,y 取最大值1,当()2x k k Z ππ=+∈时,y 取最小值－1. 例18．〔1〕若函数sin(3)6y a b x π=-+的最大值为23,最小值为21-,则=a __,=b ；答案：1,12a b ==或1b =- 〔2〕函数x x x f cos 3sin )(+=〔]2,2[ππ-∈x 〕的值域是____[－1, 2]； 〔3〕若2αβπ+=,则6y cos sin βα=-的最大值和最小值分别是_7___ 、__－5___；〔4〕函数2()2cos sin()3f x x x x π=+sin cos x x +的最小值是__2___,此时x ＝()12k k Z ππ+∈；〔5〕己知21cos sin =βα,求αβcos sin =t 的变化范围；1[0,]2〔6〕若αβαcos 2sin 2sin 22=+,求βα22sin sin +=y 的最大、最小值.1max =y ,222min -=y特别提醒：在解含有正余弦函数的问题时,你深入挖掘正余弦函数的有界性了吗？〔3〕周期性：①sin y x =、cos y x =的最小正周期都是2π；②()sin()f x A x ωϕ=+和()cos()f x A x ωϕ=+的最小正周期都是2||T πω=. 例19．<1>若3sin)(xx f π=,则(1)(2)(3)(2003)f f f f ++++＝___0； <2> 函数4()cos f x x =2sin cos x x -4sin x -的最小正周期为___π_； <3> 设函数)52sin(2)(ππ+=x x f ,若对任意R x ∈都有)()()(21x f x f x f ≤≤成立,则||21x x -的最小值为__2__；〔4〕奇偶性与对称性：正弦函数sin ()y x x R =∈是奇函数,对称中心是()(),0k k Z π∈,对称轴是直线()2x k k Z ππ=+∈；余弦函数cos ()y x x R =∈是偶函数,对称中心是(),02k k Z ππ⎛⎫+∈⎪⎝⎭,对称轴是直线()x k k Z π=∈〔正<余>弦型函数的对称轴为过最高点或最低点且垂直于x 轴的直线,对称中心为图象与x 轴的交点〕.例20．〔1〕函数522y sin x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的奇偶性是______偶函数； 〔2〕已知函数31f (x )ax b sin x (a,b =++为常数〕,且57f ()=,则5f ()-=－5_；〔3〕函数)cos (sin cos 2x x x y +=的图象的对称中心和对称轴分别是__________、____________；128k (,)(k Z )ππ-∈；28k x (k Z )ππ=+∈ 〔4〕已知f (x )sin(x )x )θθ=+++为偶函数,求θ的值.6k (k Z )πθπ=+∈〔5〕单调性：()sin 2,222y x k k k Z ππππ⎡⎤=-+∈⎢⎥⎣⎦在上单调递增,在()32,222k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦单调递减；cos y x =在[]()2,2k k k Z πππ+∈上单调递减,在[]()2,22k k k Z ππππ++∈上单调递增.特别提醒,别忘了k Z ∈！ 16、形如sin()y A x ωϕ=+的函数： 〔1〕几个物理量：A ―振幅；1f T=―频率〔周期的倒数〕；x ωϕ+―相位；ϕ―初相；〔2〕函数sin()y A x ωϕ=+表达式的确定：A由周期确定；ϕ由图象上的特殊点确定,例21．()sin()(0,0f x A x A ωϕω=+>>,||2πϕ<图所示,则()f x ＝___15()2sin()23f x x π=+； 〔3〕函数sin()y A x ωϕ=+图象的画法：①"五点法"――设X x ωϕ=+,令X ＝0,3,,,222ππππ求出相应的x 值,计算得出五点的坐标,描点后得出图象；②图象变换法：这是作函数简图常用方法.〔4〕函数sin()y A x k ωϕ=++的图象与sin y x =图象间的关系：①函数sin y x =的图象纵坐标不变,横坐标向左〔ϕ>0〕或向右〔ϕ<0〕平移||ϕ个单位得()sin y x ϕ=+的图象；②函数()sin y x ϕ=+图象的纵坐标不变,横坐标变为原来的1ω,得到函数()sin y x ωϕ=+的图象；③函数()sin y x ωϕ=+图象的横坐标不变,纵坐标变为原来的A 倍,得到函数sin()y A x ωϕ=+的图象；④函数sin()y A x ωϕ=+图象的横坐标不变,纵坐标向上〔0k >〕或向下〔0k <〕,得到()sin y A x k ωϕ=++的图象.要特别注意,若由()sin y x ω=得到()sin y x ωϕ=+的图象,则向左或向右平移应平移||ϕω个单位, 例22．〔1〕函数2sin(2)14y x π=--的图象经过怎样的变换才能得到sin y x =的图象？；2sin(2)14y x π=--向上平移1个单位得2sin(2)4y x π=-的图象,再向左平移8π个单位得2sin 2y x =的图象,横坐标扩大到原来的2倍得2sin y x =的图象,最后将纵坐标缩小到原来的12即得sin y x =的图象<2> 要得到函数cos()24x y π=-的图象,只需把函数sin 2xy =的图象向_左__平移__2π__个单位； 〔3〕将函数72sin(2)13y x π=-+图像,按向量a 平移后得到的函数图像关于原点对称,这样的向量是否唯一？若唯一,求出a ；若不唯一,求出模最小的向量；答案：存在但不唯一,模最小的向量(,1)6a π=--答：〕 〔4〕若函数()[]()cos sin 0,2f x x x x π=+∈的图象与直线y k =有且仅有四个不同的交点,则k 的取值范围是；〔5〕研究函数sin()y A x ωϕ=+性质的方法：类比于研究sin y x =的性质,只需将sin()y A x ωϕ=+中的x ωϕ+看成sin y x =中的x ,但在求sin()y A x ωϕ=+的单调区间时,要特别注意A 和ω的符号,通过诱导公式先将ω化正.例23．〔1〕函数23y sin(x )π=-+的递减区间是______；〔2〕1234x y log cos()π=+的递减区间是_______；〔3〕设函数)22,0,0)(sin()(πϕπωϕω<<->≠+=A x A x f 的图象关于直线32π=x 对称,它的周期是π,则 〔 〕A 、)21,0()(的图象过点x f B 、()f x 在区间52[,]123ππ上是减函数 C 、)0,125()(π是的图象的一个对称中心x f D 、()f x 的最大值是A ； 〔4〕对于函数()2sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭给出下列结论：①图象关于原点成中心对称；②图象关于直线12x π=成轴对称；③图象可由函数2sin 2y x =的图像向左平移3π个单位得到；④图像向左平移12π个单位,即得到函数2cos 2y x =的图像.其中正确结论是_______； 〔5〕已知函数()2sin()f x x ωϕ=+图象与直线1y =的交点中,距离最近两点间的距离为3π,那么此函数的周期是_______； 17、正切函数tan y x =的图象和性质：〔1〕定义域：{|,}2x x k k Z ππ≠+∈.遇到有关正切函数问题时,你注意到正切函数的定义域了吗？〔2〕值域是R,在上面定义域上无最大值也无最小值；〔3〕周期性：是周期函数且周期是π,它与直线y a =的两个相邻交点之间的距离是一个周期π.绝对值或平方对三角函数周期性的影响：一般说来,某一周期函数解析式加绝对值或平方,其周期性是：弦减半、切不变．既为周期函数又是偶函数的函数自变量加绝对值,其周期性不变,其它不定. 如x y x y sin ,sin 2==的周期都是π, 但sin y x =cos x +的周期为2π,而1|2sin(3)|,|2sin(3)2|626y x y x ππ=-+=-+,|tan |y x =的周期不变；〔4〕奇偶性与对称性：是奇函数,对称中心是,02k π⎛⎫⎪⎝⎭()k Z ∈,特别提醒：正<余>切型函数的对称中心有两类：一类是图象与x 轴的交点,另一类是渐近线与x 轴的交点,但无对称轴,这是与正弦、余弦函数的不同之处.〔5〕单调性：正切函数在开区间(),k k k Z ππππ⎛⎫-++∈ ⎪内都是增函数.但要注意在18. 三角形中的有关公式：<1>内角和定理：三角形三角和为π,这是三角形中三角函数问题的特殊性,解题可不能忘记！任意两角和与第三个角总互补,任意两半角和与第三个角的半角总互余.锐角三角形⇔三内角都是锐角⇔三内角的余弦值为正值⇔任两角和都是钝角⇔任意两边的平方和大于第三边的平方.<2>正弦定理：2sin sin sin a b c R A B C===<R 为三角形外接圆的半径>.注意：①正弦定理的一些变式：()sin sin sin i a b c A B C ::=::；()sin ,sin ,sin 22a bii A B C R R==2cR=；()2sin ,2sin ,2sin iii a R A b R B b R C ===；②已知三角形两边一对角,求解三角形时,若运用正弦定理,则务必注意可能有两解.<3>余弦定理：2222222cos ,cos 2b c a a b c bc A A bc+-=+-=等,常选用余弦定理鉴定三角形的形状.<4>面积公式：111sin ()222a S ah ab C r a b c ===++〔其中r 为三角形内切圆半径〕.如ABC ∆中,若C B A B A 22222sin sin cos cos sin =-,判断ABC ∆的形状〔答：直角三角形〕.特别提醒：〔1〕求解三角形中的问题时,一定要注意A B C π++=这个特殊性：,sin()sin ,sincos 22A B CA B C A B C π++=-+==；〔2〕求解三角形中含有边角混合关系的问题时,常运用正弦定理、余弦定理实现边角互化.例24．〔1〕ABC ∆中,A 、B 的对边分别是 a b 、,且A=60 4,a b ==,那么满足条件的ABC ∆ A 、 有一个解 B 、有两个解 C 、无解 D 、不能确定 〔 〕；〔2〕在ABC ∆中,A ＞B 是sin A sin B >成立的____条件；〔3〕在ABC ∆中,112(tan A)(tan B )++=,则2log sinC ＝_____；<4>在ABC ∆中,a,b,c 分别是角A 、B 、C 所对的边,若(a b c )(sin A sin B +++3sinC )a sin B -=,则C ∠＝____；〔5〕在ABC ∆中,若其面积222S =,则C ∠=____；〔6〕在ABC ∆中,60 1A ,b ==,这个三角形的面积为,则ABC ∆外接圆的直径是_______；〔7〕在△ABC 中,a 、b 、c 是角A 、B 、C 的对边,21,cos 32B C a A +==则=,22b c +的最大值为；〔8〕在△ABC 中AB=1,BC=2,则角C 的取值范围是；〔9〕设O 是锐角三角形ABC 的外心,若75C ∠=,且,,AOB BOC COA ∆∆∆的面积满足关系式AOB BOC COA S S ∆∆∆+=,求A ∠．19.反三角函数：〔1〕反三角函数的定义〔以反正弦函数为例〕：arcsin a 表示一个角,这个角的正弦值为a ,且这个角在,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦内(11)a -≤≤.<2>反正弦arcsin x 、反余弦arccos x 、反正切arctan x 的取值范围分别是)2,2(],,0[],2,2[πππππ--. 在用反三角表示两异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角的平面角、直线的倾斜角、1l 到2l 的角、1l 与2l 的夹角以与两向量的夹角时,你是否注意到了它们的范围？(0,],[0,],[0,]22πππ,[)π,0,[0,),[0,),[0,]2πππ． 20、求角的方法：先确定角的范围,再求出关于此角的某一个三角函数〔要注意选择,其标准有二：一是此三角函数在角的范围内具有单调性；二是根据条件易求出此三角函数值〕.例25．〔1〕若,(0,)αβπ∈,且tan α、tan β是方程2560x x -+=的两根,则求αβ+的值______；〔2〕ABC ∆中,3sin 4cos 6,4sin 3cos 1A B B A +=+=,则C ∠＝_______；〔3〕若02αβγπ≤<<<且0sin sin sin αβγ++=,0cos cos cos αβγ++=,求βα-的值例26．已知函数xx x x f 2cos 4sin 5cos 6)(24-+=,求：〔1〕函数f <x >的定义域； 〔2〕函数f <x >的周期和值域.例27．已知.0cos 35cos sin )515(sin ),23,(22=---∈θθθθππθ〔I 〕求θcos ； 〔Ⅱ〕若)(,21cos sin cos 34cos sin 15154)(2x f x x x x f 求+-=θθ的最小正周期与单调 递减区间.例28．已知： 〔Ⅰ〕(),x R f x ∈若求的最小正周期;〔Ⅱ〕()()22cos 2.f x x x a a R =+∈其中(),3,66f x a ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦若在上最大值与最小值之和求的值.〔答：25-；536π-〕 〔答：Z k k ∈+,32ππ〕〔答：一、三〕〔答：22cm 〕〔答：713-〕；〔答：〔－1,)23〕；〔答：负〕<答：tan sin cos θθθ<<>；〔答：sin tan ααα<<〕；〔答：2(2,2]()33k k k Z ππππ-+∈〕〔答：大于0〕；〔答：[0,]4π],43[ππ〕；〔答：125-〕；〔答：35-；513〕；答：B 〔答：－1〕〔答：2-〕〔答：54-；1003-〕〔答：C 〕〔答：725〕〔答：4〕〔答：甲、乙都对〕〔答：322〕〔答：490729〕〔答：43(1)55y x x =<<〕〔答：1〕〔答：18〕〔答：2-〕〔答：等边〕〔答：sin 2α〕〔答：51212[k ,k ](k Z )ππππ-+∈〕〔答：sin α〕〔答：1cos 22x 〕〔答：35〕〔答：212t -±〕〔答：〕〔答：[－2,2]〕<答：32-><答：－2><答：32>〔答：1,12a b ==或1b =-〕〔答：[－1, 2]〕〔答：7；－5〕〔答：2；()12k k Z ππ+∈〕〔答：1[0,]2〕〔答：1max =y ,222min -=y 〕〔答：0〕〔答：π〕〔答：2〕〔答：偶函数〕〔答：－5〕〔答：128k (,)(k Z )ππ-∈、28k x (k Z )ππ=+∈〕〔答：6k (k Z )πθπ=+∈〕〔答：15()2sin()23f x x π=+〕〔答：2sin(2)14y x π=--向上平移1个单位得2sin(2)4y x π=-的图象,再向左平移8π个单位得2sin 2y x =的图象,横坐标扩大到原来的2倍得2sin y x =的图象,最后将纵坐标缩小到原来的12即得sin y x =的图象〕〔答：左；2π〕〔答：存在但不唯一,模最小的向量(,1)6a π=--〕〔答：〕〔答：51212[k ,k ](k Z )ππππ-+∈〕〔答：336644[k ,k ](k Z )ππππ-+∈〕〔答：C 〕〔答：②④〕〔答：π〕答：C 〔答：充要〕〔答：12-〕〔答：60〕〔答：30〕〔答：3〕〔答：1932;〕〔答：06C π<≤〕〔答：45〕〔答：34π〕〔答：3π〕〔答：23π〕解：〔1〕2202cos ππ+≠⇒≠k x x 得)(22Z k k x ∈+≠ππ 〔2〕化简得).42(212cos 23)(ππ+≠+=k x x x f 所以周期T=]2,21()21,1[,⋃-值域为π 解：〔I 〕035tan )515(tan ),23,(2=---∈θθππθ则 解出5tan 15tan -==θθ或〔舍去〕)](65,3[)()(653,)(,)(2326222:22)62sin(2cos 212sin 232122cos 12sin 2321cos cos sin 321cos sin )41(34cos )415(15154)()23,(,415cos 1sin )(41tan 11cos 2222Z k k k x f Z k k x k x f Z k k x k x T x x x x x x x x x x x x f II ∈++∴∈+≤≤+∈+≤-≤+==∴-=-=++-=+-=+-⨯--⨯=∈-=--=-=+-=∴ππππππππππππππππππθθθθθ单调减区间为即是减函数时满足当已知： ()()22cos 2.f x x x a a R =+∈其中〔Ⅰ〕(),x R f x ∈若求的最小正周期;〔Ⅱ〕解：()1cos 222sin(2)16f x x x a x a π=++=+++ ……3分 〔Ⅰ〕最小正周22T ππ== ……6分 〔Ⅱ〕1[,]2[,]sin(2)16666226x x x ππππππ∈-∴+∈-∴-≤+≤ ……9分即max min ()21()11f x a f x a =++⎧⎨=-++⎩233a ∴+= 即：0a =解：〔I 〕035tan )515(tan ),23,(2=---∈θθππθ则 解出5tan 15tan -==θθ或〔舍去〕)](65,3[)()(653,)(,)(2326222:22)62sin(2cos 212sin 232122cos 12sin 2321cos cos sin 321cos sin )41(34cos )415(15154)()23,(,415cos 1sin )(41tan 11cos 2222Z k k k x f Z k k x k x f Z k k x k x T x x x x x x x x x x x x f II ∈++∴∈+≤≤+∈+≤-≤+==∴-=-=++-=+-=+-⨯--⨯=∈-=--=-=+-=∴ππππππππππππππππππθθθθθ单调减区间为即是减函数时满足当解：()1cos 222sin(2)16f x x x a x a π=++=+++ ……3分〔Ⅰ〕最小正周22T ππ== ……6分(),3,66f x a ππ⎡⎤-⎢⎥⎣若在上最大值与最小值之和求的值.〔Ⅱ〕1[,]2[,]sin(2)16666226x x x ππππππ∈-∴+∈-∴-≤+≤ ……9分 即max min ()21()11f x a f x a =++⎧⎨=-++⎩233a ∴+= 即：0a =。
三角函数经典例题精析
数学高考总复习：三角函数的图象与性质经典例题精析类型一：周期1. 求下列函数的周期：（1）；（2）解析：（1），∴周期为；（2）函数的周期，∴周期为.总结升华：①求三角函数式的最小正周期时，要尽可能地化为只含一个三角函数，且三角函数的次数为1的形式：或，否则很容易出现错误。
②二者的共同点是，如：的周期是，的周期是.举一反三：【变式】求函数的最小正周期．（1）；（2）；（3）【答案】（1），∴周期为；（2），∴周期为；（3），∴周期为；类型二：定义域2．求函数的定义域。
思路点拨：找出使函数有意义的不等式组，并解答即可.解析：将上面的每个不等式的范围在数轴上表示出来，然后取公共部分，由于x∈[-5,5]，故下面的不等式的范围只取落入[-5，5]之内的值，即：∴因此函数的定义域为：。
总结升华：①sinx中的自变量x的单位是“弧度”，x∈R，不是角度。
求定义域时，若需先把式子化简，一定要注意变形时x的取值范围不能发生变化。
②求三角函数的定义域，要解三角不等式，常用的方法有二：一是图象，二是三角函数线.举一反三：【变式1】求函数的定义域：【答案】要使得函数有意义，需满足，解得或，∴定义域为：.【变式2】已知的定义域为，求的定义域.【答案】∵中，∴中，解得，∴的定义域为：.类型三：三角函数的图象3．试述如何由的图象得到的图象.【答案】方法一：.方法二：.举一反三：【变式1】由的图象得到的图象需要向__________平移________个单位.【答案】左，；∵，∴由的图象得到的图象需要向左平移个单位.举一反三：【变式2】将函数的图象按向量平移，平移后的图象如图所示，则平移后的图象所对应函数的解析式是（）A． B． C．D．【变式3】写出下列函数图象的解析式（1）将函数的图象上所有点向左平移个单位，再把所得图象上各点的横坐标扩大为原来的2倍，得到所求函数的图象。
（2）将函数的图象上所有点横坐标缩为原来的一半，纵坐标保持不变，然后把图象向左平移个单位，得到所求函数的图象。