3.3矩形的性质与判定复习课湘教版
3、平行四边形四个内角的平分线，如果能围成 、平行四边形四个内角的平分线， 一个四边形，那么这个四边形一定是（ 一个四边形，那么这个四边形一定是（ ） A、矩形 B、菱形 、 、 C、正方形 、 D、等腰梯形 、 4、如图，矩形 是对角线的交点， 、如图，矩形ABCD中，O是对角线的交点， 中 是对角线的交点 A D 若AE⊥BD于E，且 ⊥ 于 ， OE∶OD＝1∶2， ∶ ＝ ∶ ， AE＝ 3 cm， ＝ ， O E 则∠AOD = ， C B cm。 DE＝ 。 ＝ 第 3 题图
B
y
C
O
A
x
课外兴趣题：动一动， 课外兴趣题：动一动，想一想
1、给你一张矩形的纸片，你能 折叠出一个菱形吗？能折叠出一个正 方形吗？
课外兴趣题：动一动， 课外兴趣题：动一动，想一想
2、如图，P是矩形 、如图， 是矩形 是矩形ABCD内一点， 内一点， 内一点 PA＝3，PD＝4，PC＝5， ＝ ， ＝ ， ＝ ， 则PB＝ ＝ 。
B E C A G F D
3、在平面直角坐标系中，矩形OABC的两边OA、 在平面直角坐标系中，矩形OABC的两边OA、 OABC的两边OA OC分别落在 分别落在x 轴上， OA=4，0C=3。 OC分别落在x轴，y轴上，且OA=4，0C=3。 （1）求对角线OB所在直线的解析式； 求对角线OB所在直线的解析式； OB所在直线的解析式
课外兴趣题：动一动， 课外兴趣题：动一动，想一想
给你一张矩形的纸片，你能折叠 出一个菱形吗？能折叠出一个正方形 吗？
1、如图，将矩形ABCD沿AE折叠，使点D落 如图，将矩形ABCD沿AE折叠，使点D ABCD 折叠 BC边上的 点处。 边上的F 在BC边上的F点处。 （1）若∠BAF＝60°，求∠EAF的度数； BAF＝60° EAF的度数； 的度数 AB＝6cm， （2）若AB＝6cm， AD＝10cm， AD＝10cm， 求线段CE CE的 求线段CE的 AEF的 长及△AEF的 面积. 面积.
对角线相等且互相平分 3、对角线相等的平行四边形 平行四边形. 、对角线相等的平行四边形
∟判 定A D来自3、直角三角形的性质及判定方法： 、直角三角形的性质及判定方法：
C B 直角三角形两锐角互余。 角： 直角三角形两锐角互余。 线段： 、勾股定理： 线段： 1、勾股定理：两直角边的平方和等于斜边 的平方。 的平方。 2、斜边中线的性质：直角三角形斜边中线 、斜边中线的性质： 等于斜边的一半。 等于斜边的一半。 边角关系： 、直角三角形中， ° 边角关系：1、直角三角形中，30°角所对的直角边 等于斜边的一半。 等于斜边的一半。 2、直角三角形中，若直角边等于斜边的一半， 、直角三角形中，若直角边等于斜边的一半， 那么这条直角边所对的角等于30° 那么这条直角边所对的角等于 °。
2、如图，矩形纸片ABCD中，现将A、C重合，使 如图，矩形纸片ABCD中 现将A ABCD 重合， 纸片折叠压平，设折痕为EF。 纸片折叠压平，设折痕为EF。 EF （1）连结CF，四边形AECF是 连结CF，四边形AECF是 CF AECF 什么特殊的四边形？为什么？ 什么特殊的四边形？为什么？ （2）若AB＝4cm，AD＝8cm， AB＝4cm，AD＝8cm， 你能求出线段BE及折痕EF的 你能求出线段BE及折痕EF的 BE及折痕EF 长吗？ 长吗？
5、已知：如图，在 ABCD 中，E、F分别为边 已知：如图， AB、CD的中点 BD是对角线 AG∥DB交CB的 的中点， 是对角线， AB、CD的中点，BD是对角线，AG∥DB交CB的 延长线于G 延长线于G． （1）求证：DE＝BF； 求证：DE＝BF； BEDF是 （2）若四边形 BEDF是 菱形， 菱形，则四边形 AGBD是什么特殊 AGBD是什么特殊 四边形？ 四边形？并证明 你的结论． 你的结论．
G A B E F D C
∟
A
∟D O ∟ C
1、定义： 、定义： 2、性质和判定： 、性质和判定： 性 边 角 对角线 质
B
叫矩形。 有一个角是 直角 的 平行四边形 叫矩形。
同平行四边形
1、有一个角是直角的平行四边形 、有一个角是直角的平行四边形. 平行四边形
四个角都是直角
四边形. 2、有三个角是直角的四边形 、有三个角是直角的四边形
A 3
E
4 P ?
∟
D
提示：过点 作其中一边 提示：过点P作其中一边 的垂线， 的垂线，利用勾股定理 来解。 来解。
B
5 C
F
再 见
1、已知矩形的一条对角线与一边的夹角 、 是40°，则两条对角线所成的锐角的 ° 度数是（ 度数是（ ） A、100° B、90° C、80° D、70° 、 ° 、 ° 、 ° 、 ° 2、矩形的一边长为6，各边中点围成的四 、矩形的一边长为 ， 边形的周长是20 边形的周长是 ，则矩形的对角线长 为 ，面积为 。
y
C
B
O
A
x
3、在平面直角坐标系中，矩形OABC的两边OA、 在平面直角坐标系中，矩形OABC的两边OA、 OABC的两边OA OC分别落在 分别落在x 轴上， OA=4，0C=3。 OC分别落在x轴，y轴上，且OA=4，0C=3。 （2）如图，将△OAB沿对角线OB翻折得到 如图， OAB沿对角线OB翻折得到 沿对角线OB OBN，ON与AB交于点 交于点M △OBN，ON与AB交于点M。 判断△OBM是什么三角形 并说明理由； 是什么三角形， ① 判断△OBM是什么三角形，并说明理由； 试求直线MN的解析式. MN的解析式 ② 试求直线MN的解析式.
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2024八年级数学下册第2章四边形练素养1矩形的性质和判定的应用习题课件新版湘教版
易知∠BDC＝90°，
∴S△BCD＝ BD·CD＝ ×4×3＝6.
∴四边形ABCF的面积S＝S矩形ABDF＋S△BCD＝12＋6＝18.
当点E在OB上，点F在OD上时，
BE＝DF＝ (BD－EF)＝ ×(12－8)＝2，此时t＝2；
当点E在OD上，点F在OB上时，BE＝DF＝12－2＝
10，此时t＝10.
综上所述，当t＝2或10时，四边形AECF为矩形.
2.[2023·华南师大附中期中]如图，在平行四边形ABCD中，
过点D作DE⊥AB于点E，点F在边CD上，CF＝AE，连接
(2)若AD＝5，DF＝3，求四边形ABCF的面积S.
【解】由(1)得四边形ABDF是矩形，
∴∠AFD＝90°，AB＝DF＝3，AF＝BD.
∴AF＝ − ＝ − ＝4.
∴S矩形ABDF＝DF·AF＝3×4＝12，
BD＝AF＝4.
∵四边形ABCD是平行四边形，∴CD＝AB＝3.
∵CF＝AE＝3，∴CD＝DF＋CF＝6＋3＝9，
∴AB＝CD＝9，
∴S平行四边形ABCD＝AB·DE＝9×3 ＝27 .
应用2
矩形的性质和判定在四边形中的应用
3.[2023·新疆]如图，AD和BC相交于点O，∠ABO＝∠DCO＝
90°，OB＝OC，点E，F分别是AO，DO的中点.
(1)求证：OE＝OF；
1.矩形的性质和判定
的应用
名师点金
矩形判定的技巧：证明四边形是矩形，已知对角线相等
时，只需再证明四边形是平行四边形；已知四边形是平行四
边形时，只需再证明对角线相等或有一个角是直角.如果已知
∴S△BCD＝ BD·CD＝ ×4×3＝6.
∴四边形ABCF的面积S＝S矩形ABDF＋S△BCD＝12＋6＝18.
当点E在OB上，点F在OD上时，
BE＝DF＝ (BD－EF)＝ ×(12－8)＝2，此时t＝2；
当点E在OD上，点F在OB上时，BE＝DF＝12－2＝
10，此时t＝10.
综上所述，当t＝2或10时，四边形AECF为矩形.
2.[2023·华南师大附中期中]如图，在平行四边形ABCD中，
过点D作DE⊥AB于点E，点F在边CD上，CF＝AE，连接
(2)若AD＝5，DF＝3，求四边形ABCF的面积S.
【解】由(1)得四边形ABDF是矩形，
∴∠AFD＝90°，AB＝DF＝3，AF＝BD.
∴AF＝ − ＝ − ＝4.
∴S矩形ABDF＝DF·AF＝3×4＝12，
BD＝AF＝4.
∵四边形ABCD是平行四边形，∴CD＝AB＝3.
∵CF＝AE＝3，∴CD＝DF＋CF＝6＋3＝9，
∴AB＝CD＝9，
∴S平行四边形ABCD＝AB·DE＝9×3 ＝27 .
应用2
矩形的性质和判定在四边形中的应用
3.[2023·新疆]如图，AD和BC相交于点O，∠ABO＝∠DCO＝
90°，OB＝OC，点E，F分别是AO，DO的中点.
(1)求证：OE＝OF；
1.矩形的性质和判定
的应用
名师点金
矩形判定的技巧：证明四边形是矩形，已知对角线相等
时，只需再证明四边形是平行四边形；已知四边形是平行四
边形时，只需再证明对角线相等或有一个角是直角.如果已知
《矩形的性质》PPT课件 湘教版
矩形的定义： 有一个角是直角的平行四边形是矩形. 矩形的性质: 矩形的四个角都是直角，对边相等，对角线互相平分． 矩形是中心对称图形，对角线的交点是它的对称中心． 矩形是对角线相等．
如图，矩形 ABCD 的两条对角线 AC ，BD
相交于点 O，AC = 4 cm， ∠AOB = 60°. 求 BC 的长.【教材P59】
解 ∵ 四边形 ABCD 是矩形，
∴
OA
=
OB
=1 2AC=2cm.又∠AOB = 60°，
∴ △AOB 是等边三角形. ∴ AB = OA = 2 cm. ∵ ∠ABC = 90°， ∴ 在 Rt△ABC 中，
解：如右图所示，在矩形ABCD中，
A
AC=BD=2cm，∠AOB=60°，
∴AO= 1 AC，BO= 1 BD，
2
2
∴AO=BO=
1 2
×2=1(cm)，
B
D O
60°
C
∴△AOB是等边三角形. ∴AB=1cm.
1. 已知矩形的一条对角线的长度为 2 cm，两条对角线
的一个夹角为 60°，求矩形的各边长.【教材P60】
【教材P60】
解：∵ BD，AC 是矩形 ABCD
的对角线，
∴BD = AC.
∴
BO
=
1 2
BD
=
1 2
AC.
即直角三角形ABC斜边AC上的中线BO等于斜边的一半.
【教材P63】
1.如图，在矩形 ABCD 中， E 是 AB 上一点，F 是 AD 上 一点，EF⊥FC，且 EF = FC，DF = 4 cm，求 AE 的长. 解: ∵ EF ⊥ FC，∴ ∠AFE+∠DFC=90°. 又∠DCF+∠DFC=90°，∴ ∠DCF = ∠AFE ． 又∠A=∠D=90°，EF=FC， ∴Rt△FAE ≌ Rt△CDF． ∴AE = DF = 4 cm.
湘教版八年级数学下册课件.2矩形的判定课件
八年级数学湘教版·下册
第二章 四边形
2.5.2 矩形的判定
学习目标
1．理解并掌握矩形的判定方法．（重点） 2．能应用矩形判定解决简单的证明题和计算题.（难点）
新课引入
问题: 什么是矩形？矩形有哪些性质？
A
B
O
D
C
矩形：有一个角是直角的平行四边形. 矩形性质：①是轴对称图形;
②四个角都是直角; ③对角线相等且平分.
课堂小测
2.如图，点M 为平行四边形 ABCD 边 AD 的中点，且 MB=MC，
求证：四边形 ABCD 是矩形.
解：∵四边形 ABCD 是平行四边形，∴AB=CD．
∵点M 为边 AD 的中点，
∴AM=DM，又∵MB=MC， ∴△ABM ≌△DCM (SSS)．
A
M
D
∴∠A=∠D．
∵AB∥CD，
∴∠A+∠D=180°．
运用定理进行计算和证明.
课堂小测
1.如图,直线EF∥MN, PQ交EF, MN于A , C两点 , AB , CB , CD , AD分 别是∠EAC, ∠MCA, ∠ ACN,∠CAF 的角平分线 , 则四边形ABCD是 （C）
A.菱形
E B
AP D
M QC
B.平行四边形 C.矩形
F N D.不能确定
解：∵四边形ABCD是平行四边形,
∴OA= OC,OB = OD.
A
D
又∵△ABO是等边三角形, ∴OA= OB=AB= 4,∠BAC=60°.
O
B
C
∴AC= BD= 2OA = 2×4 = 8.
新知探究
∴□ABCD是矩形 （对角线相等的平行四边形是矩形）.
第二章 四边形
2.5.2 矩形的判定
学习目标
1．理解并掌握矩形的判定方法．（重点） 2．能应用矩形判定解决简单的证明题和计算题.（难点）
新课引入
问题: 什么是矩形？矩形有哪些性质？
A
B
O
D
C
矩形：有一个角是直角的平行四边形. 矩形性质：①是轴对称图形;
②四个角都是直角; ③对角线相等且平分.
课堂小测
2.如图，点M 为平行四边形 ABCD 边 AD 的中点，且 MB=MC，
求证：四边形 ABCD 是矩形.
解：∵四边形 ABCD 是平行四边形，∴AB=CD．
∵点M 为边 AD 的中点，
∴AM=DM，又∵MB=MC， ∴△ABM ≌△DCM (SSS)．
A
M
D
∴∠A=∠D．
∵AB∥CD，
∴∠A+∠D=180°．
运用定理进行计算和证明.
课堂小测
1.如图,直线EF∥MN, PQ交EF, MN于A , C两点 , AB , CB , CD , AD分 别是∠EAC, ∠MCA, ∠ ACN,∠CAF 的角平分线 , 则四边形ABCD是 （C）
A.菱形
E B
AP D
M QC
B.平行四边形 C.矩形
F N D.不能确定
解：∵四边形ABCD是平行四边形,
∴OA= OC,OB = OD.
A
D
又∵△ABO是等边三角形, ∴OA= OB=AB= 4,∠BAC=60°.
O
B
C
∴AC= BD= 2OA = 2×4 = 8.
新知探究
∴□ABCD是矩形 （对角线相等的平行四边形是矩形）.
八年级下册数学课件(湘教版)矩形的性质
B
O
C
∴AC=BE,
∴BD=BE. E
(2)解：∵在矩形ABCD中,BO=4,
∴BD = 2BO =2×4=8. ∵∠DBC=30°, ∴CD= BD= ×8=4,
A
D
O
B
C
∴AB=CD=4,DE=CD+CE=CD+AB=8.
在Rt△BCD中,
E
BC=
∴四边形ABED的面积= ×(4+8)× = .
它的对称中心.
做一做 请同学们拿出准备好的矩形纸片,折一折,观 察并思考. 矩形是不是轴对称图形?如果是,那么对称 轴有几条?
矩形是轴对称图形，过每一组对边中点的 直线都是矩形的对称轴.
练一练
1.如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，
下列说法错误的是
A．AB∥DC
B．AC=BD
（ C）
在Rt△BAD中，由勾股定理得BD=10，
∴AO=OD=5，
∵S△APO+S△DPO=S△AOD， ∴ 1 AO·PE+ 1 DO·PF=12，即5PE+5PF=24， ∴P2 E+PF= 242 .
5
有一个角是直角的平行四边形叫做矩形
矩形的相 关概念及
性质
四个内角都是直角，对边相等 两条对角线互相平分且相等
中心对称图形，对角线的交点 是它的对称中心
轴对称图形
有两条对称轴
∵在Rt△ABE中，AB2＋AE2＝BE2，
∴42＋(8－x)2＝x2， 解得x＝5，即DE＝5.
矩形的折叠问 题常与勾股定 理结合考查
∴S△BED＝ DE·AB＝ ×5×4＝10.
思考：矩形是不是中心对称图形? 如果是,那么对称中心 是什么？
矩形的性质与判定复习课ppt课件
角： 直角三角形两锐角互余。
C
B
线段： 1、勾股定理：两直角边的平方和等于斜边
的平方。
2、斜边中线的性质：直角三角形斜边中线
等于斜边的一半。
边角关系：1、直角三角形中，30°角所对的直角边 等于斜边的一半。
2、直角三角形中，若直角边等于斜边的一半， 那么这条直角边所对的角等于30°。
例1 一张四边形纸板ABCD形状如图，
C
E
你能求出线段BE及折痕EF的
长吗？
再见
（1）若要从这张纸板中剪出一个平行四边形，并
且使它的四个顶点分别落在四边形ABCD的四条边
上，可怎样剪？ 解CD：、分D别A的取中AB点、EB、CF、、G、D
Ｇ
C
H，则剪的中点四边形
EFGH为平行四边形． Ｈ
Ｆ
⑵四边形ABCD满足什么情况
下，中点四边形EFGH为矩形？
并说明理由．
A
Ｅ
B
两条对角线互相垂直，ＡＣ⊥ＢＤ
1、已知矩形的周长是24，相邻两边之比是1：2， 那么这个矩形的面积是____3_2_______
2、矩形的两条对角线的夹角为60°，
一边长为10，则另一边长为____________
3、请在横线上写出结论，在括号里填理由
∵四边形ABCD是矩形
A
D
∴__________ (
) O
B
C
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
4、如图，矩形ABCD沿AE折叠，使D点落在 BC边上的F点处，如果∠BAF=60°，那么∠DAE 等于（ ） A
7、在矩形ABCD中，P是AD上的一个动 点，PE⊥ AC于E，PF⊥ BD于F，AG⊥ BD 于G。试问，PE+PF与AG有什么关系？证明 你的结论。
湘教版八下3.3《矩形》ppt课件之一
D
B
1 1 1 OB=OD OB = OA=OC = 2 AC= 2 BD = AC 2
C
推论：直角三角形斜边上的中线等于 斜边的一半。
2019/2/1 湖南省安化县羊角塘镇中学瞿忠仪 21
练一练
1. 已知△ABC是Rt△,∠ABC=900,BD是斜边 AC上的中线. 6 (1)若BD=3㎝,则AC＝______ ㎝; 10 ㎝, (2)若∠C=30°,AB＝5㎝,则AC＝_____ 5 ㎝. BD＝_____
矩形的定义、性质
矩形
2019/2/1
湖南省安化县羊角塘镇中学瞿忠仪
1
平行四边形有哪些性质？
边 角 对角线 对称性 中心对 称图形
平行四 对边平行 对角相等 对角线互 边形 且相等 邻角互补 相平分
2019/2/1
湖南省安化县羊角塘镇中学瞿忠仪
2
细心观察平行四边形内角的变化
2019/2/1
湖南省安化县羊角塘镇中学瞿忠仪
D O C
图中我们常见的特殊 ∴OA=OD， 又∵∠AOB=60°，
∴△AOB是等边三角形 ∴OA=AB=4（cm）
三角形有哪些？
∴矩形的对角线AC=BD=2OA=8 ( cm ) .
2019/2/1 湖南省安化县羊角塘镇中学瞿忠仪 10
1、如图，矩形ABCD的对角线的长为2， ∠BDC=300,则矩形ABCD的面积为______. 3 2、矩形两条对角线所夹的锐角为60°,较短 7.2 cm. 的边长为3.6cm,则对角线的长为_____
2019/2/1 湖南省安化县羊角塘镇中学瞿忠仪 30
2019/2/1
湖南省安化县羊角塘镇中学瞿忠仪
27
7.已知：如图，在四边形ABCD中，
2024八年级数学下册第2章四边形2.5矩形第2课时上课课件新版湘教版
D
C
D
D
A
B
A
BA
B
(有一个角是直角) (有二个角是直角) (有三个角是直角)
猜测：有三个角是直角的四边形是矩形.
证一证
已知：如图,在四边形ABCD中,∠A=∠B=∠C=90°.
求证：四边形ABCD是矩形.
证明:∵ ∠A=∠B=∠C=90°,
A
D
∴∠A+∠B=180°,∠B+∠C=180°，
∴AD∥BC,AB∥CD.
又∵BD＝DC， ∴AE平行且等于DC， 故四边形ADCE是平行四边形. 又∵∠ADC＝90°， ∴平行四边形ADCE是矩形．
能力提升： 6.如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°， AD＝24cm，BC＝26cm，动点P从点A出发沿AD方 向向点D以1cm/s的速度运动，动点Q从点C开始沿 着CB方向向点B以3cm/s的速度运动．点P、Q分别 从点A和点C同时出发，当其中一点到达端点时， 另一点随之停止运动．
问题1 除了定义以外，判定矩形的方法还有没有呢？
类似地，那我 们研究矩形的 性质的逆命题 是否成立.
矩形是特殊的 平行四边形.
问题2 上节课我们研究了矩形的四个角，知道它们都 是直角，它的逆命题是什么？成立吗？
逆命题：四个角是直角的四边形是矩形. 成立
问题3 至少有几个角是直角的四边形是矩形？
C
C
对吗？
不对，矩形 是特殊的平 行四边形， 所以它的对 角线不仅相 等且平分.
不对，等腰 梯形的对角 线也相等.
我猜想：对 角线相等的 平行四边形 是矩形.
思考 你能证明这一猜想吗？
证一证
已知：如图,在□ABCD中,AC , DB是它的两条对角线,
湘教版八年级下3.3矩形课件ppt
说明 R tM A E R tE B N R tN C F R tM D F
∴ ME=EN=NF=MF
D
F
C
∴ 四边形MENF是菱形
M
O
N
A
E
B
3.在例2中，你能利用“三角形中位线的性质”说明四边形MENF是菱形吗？
证明： 连结AC，BD
D
F
C
则有 MF ME EN NF
N
分别是△ADC, △B A D ,
我想是正确
如图，矩形ABCD的对角线相交于点O，过点O作直线EF⊥AB，且分别 与边AB，DC相交于点E，F. 点E，F分别是边AB，DC的中点吗？
是AB, DC的中点
D
E
C
直线EF是矩形ABCD的一条对称轴吗？
是一条对称轴 为什么？
O
A
F
B
因为 AB∥CD, EF⊥AB 所以 EF⊥DC
又∵△OAB与△ODC是等腰三角形 ∴ AF=BF DE=CE
所以EF是矩形ABCD的对称轴
D
E
C
类似地，过点O作直线
MN⊥AD，且分别与边AD，
BC相交于点M，N，则点M， N分别是边AD，BC的中点，
M
O
N
直线MN是矩形ABCD的一条对 称轴，由此得出：
A
F
B
矩形是轴对称图形，过每一组对边中点 直线都是矩形的对称轴.
由于矩形也是平行四边形，因此
矩形是中心对称图形，对角线的交 点 是它的对称中心.
A
E
B
由于∠A＝90°，因此AB⊥AD，又MN⊥AD，由此 MN∥AB，由于EF⊥AB，因此EF⊥MN．
综上所述，四边形MENF是菱形（对角线互相垂直平分的四边形是菱形）
2024八年级数学下册第2章四边形2.5矩形课件新版湘教版
△BCF≌△CDE，再利用“有三个角是直角的四边形 是矩形”得到四边形AEFB是矩形，最后根据全等三 角形和矩形的性质得到线段相等 .
感悟新知
知2－练
例5 [ 中考·长沙 ]如图 2.5－7， ▱ ABCD 的对角线 AC，
BD相交于点 O，△ OAB 是等边三角形， AB=4.
(1)求证： ▱ ABCD 是矩形；
知2－练
感悟新知
知2－练
(2)解： ∵△ OAB 是等边三角形， AB=4， ∴ OB=AB=4，∴ BD=2OB=8. ∵ ABCD 是矩形，∴∠ BAD=90°， ∴在 Rt △ ABD 中， AD= BD2 － AB2 = 82 － 42 =4 3 ．
感悟新知
知2－练
方法点拨 证明一个平行四边形为矩形的两种方法：一种是证明
知1－练
感悟新知
知1－练
方法点拨 由定义来判定矩形，要在平行四边形的前提下，判定
有一个角是90°，若在四边形的前提下，则需先证平行四 边形，再判定有一个角是90°，矩形的定义既是矩形的性 质也是矩形的判定.
感悟新知
知1－练
例2 如图 2.5－2 所示，在矩形 ABCD 中，对角线 AC， BD 相交于点 O，∠ BOC=120°， AB=6. 求：(1)对角线的长； (2) BC 的长； (3) 矩形 ABCD 的面积 .
感悟新知
证明： 如图 2.5－6，过点 B 作 BF ⊥ CE 于点 F. ∵ CE ⊥ AD，∴∠ D+ ∠ DCE=90° . ∵∠ BCD=90°，∴∠ BCF+ ∠ DCE=90°， ∴∠ BCF= ∠ D.
知2－练
∠BCF=∠D， 在△ BCF 和△ CDE 中，ቐ∠BFC=∠CED=90°，
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知2－练
例5 [ 中考·长沙 ]如图 2.5－7， ▱ ABCD 的对角线 AC，
BD相交于点 O，△ OAB 是等边三角形， AB=4.
(1)求证： ▱ ABCD 是矩形；
知2－练
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知2－练
(2)解： ∵△ OAB 是等边三角形， AB=4， ∴ OB=AB=4，∴ BD=2OB=8. ∵ ABCD 是矩形，∴∠ BAD=90°， ∴在 Rt △ ABD 中， AD= BD2 － AB2 = 82 － 42 =4 3 ．
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知2－练
方法点拨 证明一个平行四边形为矩形的两种方法：一种是证明
知1－练
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知1－练
方法点拨 由定义来判定矩形，要在平行四边形的前提下，判定
有一个角是90°，若在四边形的前提下，则需先证平行四 边形，再判定有一个角是90°，矩形的定义既是矩形的性 质也是矩形的判定.
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例2 如图 2.5－2 所示，在矩形 ABCD 中，对角线 AC， BD 相交于点 O，∠ BOC=120°， AB=6. 求：(1)对角线的长； (2) BC 的长； (3) 矩形 ABCD 的面积 .
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证明： 如图 2.5－6，过点 B 作 BF ⊥ CE 于点 F. ∵ CE ⊥ AD，∴∠ D+ ∠ DCE=90° . ∵∠ BCD=90°，∴∠ BCF+ ∠ DCE=90°， ∴∠ BCF= ∠ D.
知2－练
∠BCF=∠D， 在△ BCF 和△ CDE 中，ቐ∠BFC=∠CED=90°，
湘教八年级数学下矩形的判定
∠ CAF的角平分线，则四边形ABCD是（
A 菱C形 B 平行四边形
E
C 矩形 D 不能确定 B
）
AP F
D
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M
C
N
Q
练习三
1.如图，M为平行四边形ABCD边AD的中点，且MB=MC，
求证：四边形ABCD是矩形。
A
M
B
要判定一个四
边形是矩形，通常 D 先判定它是平行四
边形，再根据平行 四边形构成矩形的 条件，判定有一个 角是直角或者对角 C 线相等。
请你利用直尺和三角板帮他检验一下，相框是矩形吗？ 除了矩形的定义外，有没有其他判定矩形的方法呢？
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1.矩形的定义：
有一个角是直角的平行四边形是矩形。
ABCD ∠A=900
四边形ABCD是矩形
你还有其它的判定方法吗？
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有一个角是直角
有两个角是直角 的四边形是矩形吗？
有三个角是直角
O。
（1）如果 ABCD 是矩形，试问： △OBC是什么样的
三角形？
（2）如果△OBC是等腰三角形，其中：OB=OC，那么
ABCD是矩形吗？
A
D
O
B
C
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你能归纳矩形的几种判定方法吗？ 方法1： 有一个角是直角的平行四边形是矩形。 方法2： 对角线相等的平行四边形是矩形 。
（对角线相等且互相平分的四边形是矩形。） 方法3： 有三个角是直角的四边形是矩形 。
有三个角是直角的四边形是矩形 。
A
D
几何语言：
∵ ∠A=∠B=∠C=90°
∴ 四边形ABCD是矩形 B
C