运输模型解析
运输问题模型
。
目标可以减少，说明当前
解不是最优解
闭回路法调整
选x22进基，找到闭回路
x12 5-
x14 1 +
x22 +
x24 5-
X22最多增加5
x12 5-5 x22 + 5
x14 1 +5 x24 5-5
X22进基，x12和x24经过调整同时变成 零。但是要注意只有一个变量出基。
例如：令x12出基
B1
B2
B3
B4
产量
A1 A2 A3 销量
× 2
3 1
× 8
3 ,0
×
9
10
×
3
4
4
4
2
8
4，0
79 2 5，2 5 7，3 6
B1
B2
B3
B4
产量
A1 A2 A3 销量
×
×
2
9
10
7
3
×
×
2
1
3
4
2
×
4
8
4
2
5
3 ,0
8
4，0 6,4
9 5,2,0 7，3
B1
B2
B3
B4
产量
A1 A2 A3 销量
7
-1
2
5
1
3
4
2
7
3
4
3
8
4
2
5
3 ,0
8,5 4，0 6,4,0
9,5 5,2,0 7,3,0
重新计算检验数
A1 u1=0
A2 u2=-5
A3 u3=-5 销量
B1
运输问题的数学模型例题
运输问题的数学模型例题运输问题是指在运输过程中，如何最优地分配资源，使得运输成本最小，运输效率最高。
运输问题的数学模型包括最小化成本、最大化效益等多种形式。
下面我们来看一个例题。
问题描述：某物流公司有3个仓库和4个客户，每个仓库和客户之间的距离已知。
现在需要将货物从仓库运送到客户，每个客户需要的货物量也已知。
假设每个仓库的货物量都足够满足所有客户的需求，如何安排运输方案，使得总运输成本最小？解题思路：我们可以用线性规划来解决这个问题。
设每个仓库和客户之间的运输量为$x_{ij}$，其中$i$表示仓库编号，$j$表示客户编号。
则总运输成本可以表示为：$$%min %sum_{i=1}^3%sum_{j=1}^4 c_{ij}x_{ij}$$其中$c_{ij}$表示从仓库$i$到客户$j$的单位运输成本。
同时，对于每个客户$j$，要求其所需货物量$q_j$必须满足：$$%sum_{i=1}^3 x_{ij}=q_j$$对于每个仓库$i$，要求其供应的货物量$y_i$必须满足：$$%sum_{j=1}^4 x_{ij}=y_i$$另外，由于$x_{ij}$必须非负，所以还要满足：$$x_{ij}%geq 0$$综上所述，我们可以得到如下线性规划模型：$$%min %sum_{i=1}^3%sum_{j=1}^4 c_{ij}x_{ij}$$$$s.t.% %sum_{i=1}^3 x_{ij}=q_j,% j=1,2,3,4$$$$% % % % % % % % % %sum_{j=1}^4 x_{ij}=y_i,% i=1,2,3$$ $$% % % % % % % % % x_{ij}%geq 0,% i=1,2,3,% j=1,2,3,4$$这是一个标准的线性规划模型，可以用常见的线性规划求解器求解。
求解结果就是每个仓库和客户之间的运输量$x_{ij}$，以及总运输成本。
总结：运输问题是一个常见的优化问题，在实际生产和物流中经常会遇到。
运筹学第3章：运输问题-数学模型及其解法
整数规划模型
01
整数规划模型是线性规划模型 的扩展，它要求所有变量都是 整数。
02
整数规划模型适用于解决离散 变量问题，例如车辆路径问题 、排班问题等。
03
在运输问题中，整数规划模型 可以用于解决车辆调度、装载 等问题，以确保运输过程中的 成本和时间效益达到最优。
混合整数规划模型
混合整数规划模型是整数规划和线性规划的结合，它同时包含整数变量和 连续变量。
运筹学第3章：运输问题-数学模 型及其解法
目录
• 引言 • 运输问题的数学模型 • 运输问题的解法 • 运输问题的应用案例 • 结论
01 引言
运输问题的定义与重要性
定义
运输问题是一种线性规划问题，主要 解决如何将一定数量的资源（如货物 、人员等）从起始地点运送到目标地 点，以最小化总运输成本。
总结词
资源分配优化是运输问题在资源管理 领域的应用，主要解决如何将有限的 资源合理地分配到各个部门或项目， 以最大化整体效益。
详细描述
资源分配优化需要考虑资源的数量、 质量、成本等多个因素，通过建立运 输问题的数学模型，可以找到最优的 资源分配方案，提高资源利用效率， 最大化整体效益。
05 结论
运输问题的发展趋势与挑战
生产计划优化
总结词
生产计划优化是运输问题在生产领域的应用，主要解决如何合理安排生产计划， 满足市场需求的同时降低生产成本。
详细描述
生产计划优化需要考虑原材料的采购、产品的生产、成品的销售等多个环节，通 过建立运输问题的数学模型，可以找到最优的生产计划和调度方案，提高生产效 率，降低生产成本。
资源分配优化
发展趋势
随着物流行业的快速发展，运输问题变得越来越复杂，需要更高级的数学模型和算法来 解决。同时，随着大数据和人工智能技术的应用，运输问题的解决方案将更加智能化和
运输模型法的讲解
运输模型法的讲解
运输模型是一种数学模型，用于解决运输问题。
它的基本假设是，有若干个原产地和若干个目的地，原产地和目的地之间的运输需求和运输成本已知。
运输模型的目标是确定最佳的运输方案，即如何分配货物从原产地到目的地，以最小化总运输成本或最大化总运输利润。
运输模型的主要特点是基于线性规划方法进行求解，同时考虑了供需平衡和运输成本的影响。
在运输模型中，需要确定的主要变量有原产地到目的地的货物数量、货物的运输路径，以及每条运输路径上的运输成本。
同时，还需要满足原产地和目的地的供求平衡条件，即原产地的总供应量等于目的地的总需求量。
运输模型的求解过程通常包括如下步骤：
1. 建立数学模型：根据实际问题，确定运输路径、运输成本和供求平衡条件等参数，并将其用数学表达式表示为一个线性规划问题。
2. 求解线性规划问题：利用线性规划方法，求得最优解，即最小化总运输成本或最大化总运输利润。
3. 解释和应用结果：根据最优解，确定货物的最佳分配方案，并分析结果的可行性和经济效益。
运输模型通常有多种求解方法，包括西北角法、最小成本法、沃格尔法等。
这些方法都是通过不断迭代求解基本运输单元（通常是原产地和目的地），并更新运输路径和货物分配量来求解整个运输模型的最优解。
通过运输模型的求解，可以帮助企业和组织做出有效的运输决策，降低运输成本，提高货物的运输效率，优化供应链管理，并对相关的决策和政策制定提供支持和参考。
物流运输规划与优化模型求解方法的研究与比较
物流运输规划与优化模型求解方法的研究与比较随着全球经济的不断发展和扩大，物流运输在现代社会中变得更为重要。
物流运输规划和优化成为了企业降低成本、提高效率的关键。
本文将研究和比较物流运输规划与优化模型的求解方法。
一、物流运输规划模型物流运输规划是指通过建立合理的运输路线和安排运输资源，以最小化运输成本、提高服务水平和满足客户需求为目标的规划过程。
物流运输规划模型通常包括以下几个主要方面：1.1 运输网络模型运输网络模型描述了物流运输系统中不同运输节点之间的关系和连接。
它通常采用图论中的网络模型来表示，包括节点和边。
节点表示不同的运输节点，例如工厂、仓库和销售点，边表示节点之间的运输路径。
1.2 需求预测模型需求预测模型用于估计不同地区或客户对产品的需求量。
这是物流运输规划中至关重要的一步，准确的需求预测可以帮助企业减少库存和运输成本，并提高客户满意度。
1.3 运输成本模型运输成本模型用于计算不同运输方案的成本。
它通常考虑到各种因素，如运输距离、货物重量、燃料价格、运输方式等。
通过优化运输成本，企业可以提高运输效率，降低运营成本。
二、物流运输优化模型求解方法物流运输优化模型的求解是指通过数学方法和算法寻找最优解的过程。
下面介绍几种常见的物流运输优化模型求解方法：2.1 线性规划线性规划是一种广泛应用于物流运输规划中的方法。
它将物流运输规划问题转化为数学模型，通过线性优化算法求解最优解。
线性规划方法的优点是计算效率高，求解过程相对简单。
2.2 整数规划整数规划是线性规划的一种扩展形式，它在求解过程中要求变量取整数值。
在物流运输规划中，整数规划常用于考虑路径选择、货物装载等问题。
整数规划能够提供更准确的解决方案，但求解过程更为复杂。
2.3 启发式算法启发式算法是一种基于经验和直觉的求解方法，通过一系列规则和策略来搜索最优解。
在物流运输规划中，启发式算法常用于求解复杂、大规模的问题。
它的优点是可以在较短时间内找到近似最优解，但不能保证找到全局最优解。
物流运输路线优化模型研究
物流运输路线优化模型研究物流运输是现代经济发展中不可或缺的一环，而物流运输路线的优化则是提高效率、降低成本的重要手段。
为了解决物流运输中的路线选择问题，学者们提出了许多优化模型。
本文旨在通过研究和分析不同的物流运输路线优化模型，探讨其方法和优缺点。
一、传统的物流运输路线优化模型1. TSP模型（旅行商问题）TSP模型是最经典的物流运输路线优化模型之一。
它的目标是找到一条最短路径，使得经过所有城市，且回到起点。
TSP模型虽然简单易懂，但是当城市数量增加时，计算复杂度呈指数级增长，难以应用于实际物流环境中。
2. VRP模型（车辆路径问题）VRP模型是一种更为复杂的物流运输路线优化模型。
它考虑到了多车辆、容量限制、时间窗口等实际问题，使得其在解决实际物流运输中的路线选择问题上更具有实用性。
VRP模型可以通过遗传算法、模拟退火等启发式算法求解，但问题规模增大时，求解过程的时间复杂度也呈指数级增长。
二、改进的物流运输路线优化模型1. 基于模糊集的物流运输路线优化模型传统的物流运输路线优化模型大多只考虑到了时间和距离等数值因素，忽略了很多实际环境中的不确定性。
模糊集理论可以有效地处理模糊性和不确定性，因此运用模糊集理论构建的物流运输路线优化模型更能适应实际情况。
这种模型可以综合考虑路线长度、时间窗口、交通拥堵等因素，并通过模糊推理方法得出最优路线。
2. 基于人工智能的物流运输路线优化模型近年来，人工智能技术的快速发展为物流运输路线优化带来了全新的思路。
人工智能技术可以通过大数据分析、机器学习等方法，从历史数据中学习和总结经验，为物流运输提供更智能的路线选择。
例如，利用深度学习技术可以对交通拥堵情况进行实时预测，并根据预测结果调整路线，以提高运输效率。
三、物流运输路线优化模型的优缺点1. 优点：（1）提高运输效率：物流运输路线优化模型可以通过合理规划路线，避免交通拥堵，减少运输时间，提高运输效率。
（2）降低运输成本：优化后的路线可以减少里程、节省燃料消耗，降低运输成本。
物质跨膜运输模型归纳
一、“物质跨膜运输”模型归纳二、物质跨膜运输模型解读1．自由扩散模型首先要明确自由扩散的条件即膜的两侧具有浓度差（小分子物质是从高浓度向低浓度扩散的），不需要载体协助也不需要能量供应。
自由扩散的速度与物质浓度的高低（浓度差）成正比，但自由扩散是不受载体和能量等因素的影响，例如：水分子，氧气等气体分子以及甘油等脂溶性分子可以自由通过细胞膜。
2．协助扩散模型首先要明确协助扩散的条件即需要载体蛋白的协助并且膜的两侧具有浓度差（小分子物质是从高浓度向低浓度扩散的），不需要能量的供应。
在一定的浓度范围内，随浓度差增大，物质的扩散速度加快。
达到一定程度后，由于受载体数目的限制（膜上的载体达到饱和时），物质运输速度不再增加而保持稳定，例如：葡萄糖通过红细胞膜。
3．主动运输模型首先要明确主动运输的条件即需要载体蛋白的协助和伴随能量的消耗。
一般小分子物质是从从低浓度向高浓度方向转运的（也可顺浓度进行），例如：钠离子等无机盐离子、葡萄糖、氨基酸等通过细胞膜。
3．1“耗氧量”模型运输速度与氧气的供应呈正相关，但不是正比例，因受细胞膜上载体数量的限制，故在一定的氧气消耗量范围内，随耗氧量的增大，物质的扩散速度加快。
达到一定程度后，物质运输速度不再增加而保持稳定。
值得注意的是，在氧气消耗量为零时，虽然有氧呼吸受到了抑制，但物质仍然可以运输，因为此时还要无氧呼吸产生能量，故曲线的起始位置运输速率并非为零。
3．2“时间”模型当细胞外物质的浓度高于细胞内时（顺浓度梯度），主动运输比被动运输快得多。
当主动运输逆浓度梯度进行时，在能量供应充足、载体没有达到饱和之前，物质运输速度随细胞外浓度的升高而加快；当载体饱和或能量不足时，运输速度维持相对稳定，不再随细胞外浓度而变化。
综上，也说明主动运输不但可以逆浓度梯度进行，也是可以顺浓度梯度进行的。
3．3“浓度差”模型在载体饱和之前，主动运输的速率和物质浓度成正相关，此时体现了主动运输和协助扩散模型的统一性。
数学建模中优化模型之运输问题讲解
6
5 3
9
10
6
v1=10
v2=6
v3=4
单位费用变化：5－(4＋(－4)＝5
4 3
u1=-4
7 u2=-2
6
13 u3=6
v4=0
对偶变量法(10)
1
2
3
6
7
5
1
14
5
5
8
4
2
2
8
13
6
5 3
9
10
6
v1=10
v2=6
v3=4
单位费用变化：3－(0＋(－4)＝7
4
3 u1=-4
7
7 u2=-2
6
6
13 u3=6
v4=0
对偶变量法(6)
1
2
3
6
7
5
1
14
8
4
2
2
8
13
6
5 3
9
10
6
v1=10
v2=6
u2+v1=c21 v1=10
v3=4
4 3
u1
7 u2=-2
6
13 u3=6
v4=0
对偶变量法(7)
1
2
3
6
7
5
1
14
8
4
2
2
8
13
6
5 3
9
10
6
v1=10
v2=6
u1+v1=c11 u1=-4
运输问题
运输问题的表示 网络图、线性规划模型、运输表 初始基础可行解 西北角法、最小元素法 求解方法 闭回路法、对偶变量法 特殊形式运输问题 不平衡问题、转运问题
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Bn x1n x2n … xmn bn
产量 a1 a2 … am
A1 A2
…
Am 销量
产销平衡
m in cij xij
i 1 j 1
m
n
n xij ai j 1 m s.t. xij b j i 1 xij 0i 1,2, , m; j 1,2, , n
3 ）约束条件： x11 x12 x13 x14 5 x 21 x22 x23 x24 2 x31 x32 x33 x34 3 x11 x21 x31 2 s.t . x12 x22 x32 3 x13 x23 x33 1 x14 x24 x34 4 x 0i 1, 2,3; j 1, 2,3, 4 ij
A1，A2，A3；其一级分销商有4个，分布在城市B1，B2，B3 ， B4 。现已知每月各生产工厂的产量、各分销商的需求量；
以及从Ai到Bj的每吨饮料的运费cij（见下表）。
销地 产地
B1
B2
B3
B4
产量
A1
A2 A3 销量
6
7 3
3
5 2
2
8 9
5
4 7
5
2 3
2
3
1
4
为发挥集团优势，公司需要统一筹划运销问题，求使运费最小的 调运方案。
意味着？
• 可以证明：平衡模型的系数阵和增广阵的秩均 为m+n-1，这也意味着平衡模型的基本可行解 所含基变量的个数必为m+n-1个。 • 【结论】
m+n-1
5.2 表上作业法
• 【讨论】上述运输问题所建立的LP模型如果用传统的 单纯形法进行求解会出现什么情况？ • 【友情提示】 1）表上作业法仅仅适用于产销平衡的运输问题
和库普曼（Koopmans，1947）提出。
• 中国 ——“图上作业法”（1958年）
• 1975年康托洛维奇和库普曼因资源配置理论研究获得
诺贝尔经济学奖（丹茨格）（24、12、4）（日内瓦国
际应用系统分析研究所）
• 运输模型是线性规划诸多模型中的特例，其约束方程 组对应的系数矩阵具有特殊的结构，使得有可能找到 比单纯形法更为简便的求解方式。 • 运输问题的专门求解方法不仅适用于运输问题本身，
i 1 j 1
n xij ai j 1 m s.t. xij b j i 1 xij 0i 1,2,, m; j 1,2,, n
【运输模型 系数矩阵】
1 1 1 1 1 1 1 1 1 A 1 1 1 1 1 1 1 1 1
2）表上作业法基于一种作业表 —— “产销平衡及运价表”
特征？
• 用单纯形法求解LP式运输模型，必须删掉一个函数约 束，而且计算量很大，但表上作业法不必如此费力， 而是另辟蹊径。 • 表上作业法是一种专门求解运输问题的特殊方法，其 实质仍是单纯形法，只是具体计算和术语有所区别。 • 与一般的LP问题不同的是，平衡运输问题总是存在最 优解。
运输问题的一般提法：
设某种物资有m个产地 Ai i 1,2, , m ，其产量分别为
a i ；有n个销地 B j j 1,2,, ，其销量分别为 b j ；
从Ai 到 B j 的单位运价为 cij 。
问应该如何组织调运才能使总的运费最少？
设
xij 为把这种物资从Ai运到Bj的数量，简称
产大于销
m n
m in cij xij
i 1 j 1
n xij ai j 1 m s.t. xij b j i 1 xij 0i 1,2,, m; j 1,2,, n
产小于销
m n
m in cij xij
3）“产量”——各产地的可供货量 4）“销量”——各销地的需求数量
• 【运输问题的描述】
• 运输问题就是研究如何组织调运，在满足各销地需
求的前提下，追求总的运费（或里程、时间等）达
到最少？
• 运输问题所建立的模型就称为运输模型。
5.1 运输问题及其数学模型
【例1】 某饮料集团在国内有3个生产工厂，分布在城市
还适用于其他相当多的应用问题（如指派问题），更
使其得到人们的高度重视和深入的系统研究。
在经济建设中经常会碰到大宗物资的调运问题。如 煤、铁、木材、粮食等大宗物资，在全国有若干生产基 地，根据现已有的交通网络，应该如何制定调运方案，
将这些物资运往各消费地点。
1）“产地”——货物发出的地点
2）“销地”——货物接收的地点
解：建立该运输问题的LP模型如下
1 ）决策变量： 设xij为每月从产地 Ai到销地B j的数量（吨） 2）目标函数： m in 6 x11 3x12 2 x13 5 x14 7 x21 5 x22 8 x23 4 x24 3x31 2 x32 9 x33 7 x34
第5章 运输模型
• 5.1 运输问题及其数学模型 • 5.2 表上作业法
• 5.2.1 初始方案的确定 • 5.2.2 最优性检验 • 5.2.3 非最优方案的调整 • 5.2.4 产销不平衡问题的解法
• 5.3 运输模型的应用
• 运输模型是线性规划诸多模型中较早引起人们关注的
一类模型，由美国学者希奇柯克（Hitchcock，1941）
为Ai至Bj的运量；设z为总运费，则一般运输问 题及其数学模型可以简洁地表示为下表这种形 式，称为表格形式的一般运输模型，简称表式
运输模型。
p136
表式运输模型
销地 产地
B1 c11 c21 x11 x21 … cm1 b1 xm1 cm2 c12 c22
B2 x12 x22 … xm2 b2
… … … … … … cmn c1n c2n
m
行
n
行
• 【讨论】运输模型系数矩阵的特征？
• [表面]任意一个运输模型系数矩阵同一个与之规模相当
的普通LP模型的系数矩阵相比都大为简洁，且其中只含
有0和1这两个元素，且0的个数远远多于1的个数，一般
我们把这样的矩阵称为稀疏阵。
• [深层次]对任意产销平衡的运输模型来说，其系数阵的 前m行之和等于后n行之和。