运输问题优化模型
运输问题的数学模型例题
运输问题的数学模型例题运输问题是指在运输过程中，如何最优地分配资源，使得运输成本最小，运输效率最高。
运输问题的数学模型包括最小化成本、最大化效益等多种形式。
下面我们来看一个例题。
问题描述：某物流公司有3个仓库和4个客户，每个仓库和客户之间的距离已知。
现在需要将货物从仓库运送到客户，每个客户需要的货物量也已知。
假设每个仓库的货物量都足够满足所有客户的需求，如何安排运输方案，使得总运输成本最小？解题思路：我们可以用线性规划来解决这个问题。
设每个仓库和客户之间的运输量为$x_{ij}$，其中$i$表示仓库编号，$j$表示客户编号。
则总运输成本可以表示为：$$%min %sum_{i=1}^3%sum_{j=1}^4 c_{ij}x_{ij}$$其中$c_{ij}$表示从仓库$i$到客户$j$的单位运输成本。
同时，对于每个客户$j$，要求其所需货物量$q_j$必须满足：$$%sum_{i=1}^3 x_{ij}=q_j$$对于每个仓库$i$，要求其供应的货物量$y_i$必须满足：$$%sum_{j=1}^4 x_{ij}=y_i$$另外，由于$x_{ij}$必须非负，所以还要满足：$$x_{ij}%geq 0$$综上所述，我们可以得到如下线性规划模型：$$%min %sum_{i=1}^3%sum_{j=1}^4 c_{ij}x_{ij}$$$$s.t.% %sum_{i=1}^3 x_{ij}=q_j,% j=1,2,3,4$$$$% % % % % % % % % %sum_{j=1}^4 x_{ij}=y_i,% i=1,2,3$$ $$% % % % % % % % % x_{ij}%geq 0,% i=1,2,3,% j=1,2,3,4$$这是一个标准的线性规划模型，可以用常见的线性规划求解器求解。
求解结果就是每个仓库和客户之间的运输量$x_{ij}$，以及总运输成本。
总结：运输问题是一个常见的优化问题，在实际生产和物流中经常会遇到。
物流运输规划与优化模型求解方法的研究与比较
物流运输规划与优化模型求解方法的研究与比较随着全球经济的不断发展和扩大，物流运输在现代社会中变得更为重要。
物流运输规划和优化成为了企业降低成本、提高效率的关键。
本文将研究和比较物流运输规划与优化模型的求解方法。
一、物流运输规划模型物流运输规划是指通过建立合理的运输路线和安排运输资源，以最小化运输成本、提高服务水平和满足客户需求为目标的规划过程。
物流运输规划模型通常包括以下几个主要方面：1.1 运输网络模型运输网络模型描述了物流运输系统中不同运输节点之间的关系和连接。
它通常采用图论中的网络模型来表示，包括节点和边。
节点表示不同的运输节点，例如工厂、仓库和销售点，边表示节点之间的运输路径。
1.2 需求预测模型需求预测模型用于估计不同地区或客户对产品的需求量。
这是物流运输规划中至关重要的一步，准确的需求预测可以帮助企业减少库存和运输成本，并提高客户满意度。
1.3 运输成本模型运输成本模型用于计算不同运输方案的成本。
它通常考虑到各种因素，如运输距离、货物重量、燃料价格、运输方式等。
通过优化运输成本，企业可以提高运输效率，降低运营成本。
二、物流运输优化模型求解方法物流运输优化模型的求解是指通过数学方法和算法寻找最优解的过程。
下面介绍几种常见的物流运输优化模型求解方法：2.1 线性规划线性规划是一种广泛应用于物流运输规划中的方法。
它将物流运输规划问题转化为数学模型，通过线性优化算法求解最优解。
线性规划方法的优点是计算效率高，求解过程相对简单。
2.2 整数规划整数规划是线性规划的一种扩展形式，它在求解过程中要求变量取整数值。
在物流运输规划中，整数规划常用于考虑路径选择、货物装载等问题。
整数规划能够提供更准确的解决方案，但求解过程更为复杂。
2.3 启发式算法启发式算法是一种基于经验和直觉的求解方法，通过一系列规则和策略来搜索最优解。
在物流运输规划中，启发式算法常用于求解复杂、大规模的问题。
它的优点是可以在较短时间内找到近似最优解，但不能保证找到全局最优解。
物流运输路线优化模型研究
物流运输路线优化模型研究物流运输是现代经济发展中不可或缺的一环，而物流运输路线的优化则是提高效率、降低成本的重要手段。
为了解决物流运输中的路线选择问题，学者们提出了许多优化模型。
本文旨在通过研究和分析不同的物流运输路线优化模型，探讨其方法和优缺点。
一、传统的物流运输路线优化模型1. TSP模型（旅行商问题）TSP模型是最经典的物流运输路线优化模型之一。
它的目标是找到一条最短路径，使得经过所有城市，且回到起点。
TSP模型虽然简单易懂，但是当城市数量增加时，计算复杂度呈指数级增长，难以应用于实际物流环境中。
2. VRP模型（车辆路径问题）VRP模型是一种更为复杂的物流运输路线优化模型。
它考虑到了多车辆、容量限制、时间窗口等实际问题，使得其在解决实际物流运输中的路线选择问题上更具有实用性。
VRP模型可以通过遗传算法、模拟退火等启发式算法求解，但问题规模增大时，求解过程的时间复杂度也呈指数级增长。
二、改进的物流运输路线优化模型1. 基于模糊集的物流运输路线优化模型传统的物流运输路线优化模型大多只考虑到了时间和距离等数值因素，忽略了很多实际环境中的不确定性。
模糊集理论可以有效地处理模糊性和不确定性，因此运用模糊集理论构建的物流运输路线优化模型更能适应实际情况。
这种模型可以综合考虑路线长度、时间窗口、交通拥堵等因素，并通过模糊推理方法得出最优路线。
2. 基于人工智能的物流运输路线优化模型近年来，人工智能技术的快速发展为物流运输路线优化带来了全新的思路。
人工智能技术可以通过大数据分析、机器学习等方法，从历史数据中学习和总结经验，为物流运输提供更智能的路线选择。
例如，利用深度学习技术可以对交通拥堵情况进行实时预测，并根据预测结果调整路线，以提高运输效率。
三、物流运输路线优化模型的优缺点1. 优点：（1）提高运输效率：物流运输路线优化模型可以通过合理规划路线，避免交通拥堵，减少运输时间，提高运输效率。
（2）降低运输成本：优化后的路线可以减少里程、节省燃料消耗，降低运输成本。
《管理运筹学》02-7运输问题
通过将问题分解为多个子问题，并应用分支定 界法等算法，可以找到满足所有约束条件的整 数解，实现运输资源的合理配置。
04运Leabharlann 问题的实际案例物资调拨案例
总结词
物资调拨案例是运输问题中常见的一种，主要涉及如何优化物资从供应地到需 求地的调配。
02
动态运输问题需要考虑运输过 程中的不确定性，如交通拥堵 、天气变化等，需要建立动态 优化模型来应对这些变化。
03
解决动态运输问题需要采用实 时优化算法，根据实际情况不 断调整运输计划，以实现最优 的运输效果。
多式联运问题
1
多式联运是指将不同运输方式组合起来完成一个 完整的运输任务，需要考虑不同运输方式之间的 衔接和配合。
生产计划案例
总结词
生产计划案例主要关注如何根据市场需求和生产能力制定合理的生产计划。
详细描述
生产计划案例需要考虑市场需求、产品特性、生产成本、生产周期等因素。通过 优化生产计划，可以提高生产效率、降低生产成本，并确保产品按时交付给客户 。
05
运输问题的扩展研究
动态运输问题
01
动态运输问题是指运输需求随 时间变化而变化的运输问题， 需要考虑时间因素对运输计划 的影响。
2
多式联运问题需要考虑不同运输方式的成本、时 间、能力等因素，需要建立多目标优化模型来平 衡这些因素。
3
解决多式联运问题需要采用混合整数规划或遗传 算法等算法，以实现多目标优化的效果。
逆向物流问题
1
逆向物流是指对废旧物品进行回收、处 理和再利用的物流活动，需要考虑废旧 物品的回收、分类、处理和再利用等环 节。
的情况。如果存在这些问题，就需要进行调整，直到找到最优解为止。
数学建模中优化模型之运输问题讲解
6
5 3
9
10
6
v1=10
v2=6
v3=4
单位费用变化：5－(4＋(－4)＝5
4 3
u1=-4
7 u2=-2
6
13 u3=6
v4=0
对偶变量法(10)
1
2
3
6
7
5
1
14
5
5
8
4
2
2
8
13
6
5 3
9
10
6
v1=10
v2=6
v3=4
单位费用变化：3－(0＋(－4)＝7
4
3 u1=-4
7
7 u2=-2
6
6
13 u3=6
v4=0
对偶变量法(6)
1
2
3
6
7
5
1
14
8
4
2
2
8
13
6
5 3
9
10
6
v1=10
v2=6
u2+v1=c21 v1=10
v3=4
4 3
u1
7 u2=-2
6
13 u3=6
v4=0
对偶变量法(7)
1
2
3
6
7
5
1
14
8
4
2
2
8
13
6
5 3
9
10
6
v1=10
v2=6
u1+v1=c11 u1=-4
运输问题
运输问题的表示 网络图、线性规划模型、运输表 初始基础可行解 西北角法、最小元素法 求解方法 闭回路法、对偶变量法 特殊形式运输问题 不平衡问题、转运问题
运输运费定价模型的建立与优化
运输运费定价模型的建立与优化运输运费定价问题是物流企业中的重要课题之一。
通过建立合理的运费定价模型，企业可以实现收益最大化、成本最小化的目标。
本文将介绍运输运费定价模型的建立与优化方法，以帮助企业进行运费定价策略的制定。
一、运费定价模型的建立1. 数据分析和收集：要建立一个有效的运费定价模型，首先需要进行数据分析和收集。
通过记录运输的相关数据，包括距离、货物类型、车辆种类、运输时间等信息，可以为建模提供基础数据。
2. 定价因素的确定：在建立运费定价模型时，需要确定影响运费的主要因素。
常见的因素包括路程距离、货物重量、车辆种类、燃油价格、市场竞争等。
根据实际情况，可以确定不同因素的权重和影响程度。
3. 建立数学模型：运费定价模型可以采用数学模型来描述。
常见的数学模型包括线性回归模型、多项式回归模型、神经网络模型等。
选取适当的模型，根据已有数据进行参数拟合，得出运费和各个影响因素之间的关系。
4. 模型验证与调整：建立数学模型后，需要进行模型验证和调整。
通过与实际数据的比较分析，找出模型中的不足和误差，并进行相应的调整和改进，以提高模型的准确性和可靠性。
二、运费定价模型的优化1. 成本效益分析：在制定运费定价策略时，需要进行成本效益分析。
运输成本包括燃油费、车辆维护费、人工费用等，而收入来源是运输费用。
通过对成本和收入进行分析，可以得出不同定价策略下的利润水平，从而选择最优的定价方案。
2. 市场需求预测：运输行业的需求变化较为频繁，因此准确预测市场需求是优化运费定价的关键。
通过分析市场趋势、竞争态势、客户需求等因素，可以预测市场需求的变化，从而调整定价策略。
3. 灵活定价策略：为了应对市场的变化和竞争压力，企业需要灵活调整运费定价策略。
可以根据客户需求、货量规模、季节性需求等因素，灵活制定不同的定价策略，并根据市场反馈进行及时调整。
4. 技术支持和创新：运输运费定价模型的优化需要借助先进的技术手段和创新理念。
数学建模中优化模型之运输问题详解
2
3
6
7
5
1 14
5
5
8
4
2
2 8
13
6
5 3
9
10
6
22
13
12
单位费用变化：5＋8－6－2＝5
4 3
14
7 27
6 19
13
13
闭回路法(3)
1
2
3
4
6
7
5
3
1 14
5
5
7 14
8
4
2
7
2 8
13
6
27
5 3
9
10
6
19
6
13
22
13
12
13
单位费用变化：3＋10＋8－6－2－6＝7
闭回路法(4)
1
2
3
6
7
5
1
14
5
5
8
4
2
2
8
13
6
5 3
9
10
6
22
13
12
单位费用变化：7＋10－6－2＝9
4
3
7 14
7
9 27
6
19 13
13
闭回路法(5)
1
2
3
4
6
7
5
3
1
14
5
5
7 14
8
4
2
7
2 8
13
6
9 27
5
9
3
－11
10
6
6 19
13
22
13
运筹学：运输问题
运输问题运输问题（transportation problem）一般是研究把某种商品从若干个产地运至若干个销地而使总运费最小的一类问题。
然而从更广义上讲，运输问题是具有一定模型特征的线性规划问题。
它不仅可以用来求解商品的调运问题，还可以解决诸多非商品调运问题。
运输问题是一种特殊的线性规划问题，由于其技术系数矩阵具有特殊的结构，这就有可能找到比一般单纯形法更简便高效的求解方法，这正是单独研究运输问题的目的所在。
§1运输问题的数学模型[例4-1] 某公司经营某种产品，该公司下设A、B、C三个生产厂，甲、乙、丙、丁四个销售点。
公司每天把三个工厂生产的产品分别运往四个销售点，由于各工厂到各销售点的路程不同，所以单位产品的运费也就不同案。
各工厂每日的产量、各销售点每日的销量，以及从各工厂到各销售点单位产品的运价如表4-1所示。
问该公司应如何调运产品，在满足各销售点需要的前提下，使总运费最小。
表4-1设代表从第个产地到第个销地的运输量（；），用代表从第个产地到第个销地的运价，于是可构造如下数学模型：（；运出的商品总量等于其产量）（；运来的商品总量等于其销量）通过该引例的数学模型，我们可以得出运输问题是一种特殊的线性规划问题的结论，其特殊性就在于技术系数矩阵是由“1”和“0”两个元素构成的。
将该引例的数学模型做一般性推广，即可得到有个产地、个销地的运输问题的一般模型。
注意：在此仅限于探讨总产量等于总销量的产销平衡运输问题，而产销不平衡运输问题将在本章的后续内容中探讨。
（；运出的商品总量等于其产量）（；运来的商品总量等于其销量）供应约束确保从任何一个产地运出的商品等于其产量，需求约束保证运至任何一个销地的商品等于其需求。
除非负约束外，运输问题约束条件的个数是产地与销地的数量和，即；而决策变量个数是二者的积，即。
由于在这个约束条件中，隐含着一个总产量等于总销量的关系式，所以相互独立的约束条件的个数是个。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
运输方案问题的优化模型
摘要：本文研究运输最优化问题。
运输问题(Transportation Problem)是一个典型的线性规划问题。
一般的运输问题就是要解决把某种产品从若干个产地调运到若干个销地，在每个产地的供应量与每个销地的需求量已知，并知道各地之间的运输单价的前提下，如何确定一个使得总的运输费用最小的方案的问题。
本论文运用线性规划的数学模型来解决此运输问题中总费用最小的问题。
引入x变量作为决策变量，建立目标函数，列出约束条件，借助LINGO软件进行模型求解运算，得出其中的最优解，使得把某种产品从2个产地调运到3个客户的总费用最小。
关键词：LINGO软件运输模型最优化线性规划
1问题重述与问题分析
1、1 问题重述
要把一种产品从产地运到客户处,发量、收量及产地到客户的运输费单价如表1所示。
表1 运输费用表
客户1 客户2 客户3 发量产地1 10 4 12 3000 产地2 8 10 3 4000 需求量2000 1500 5000
这是一个供求不平衡问题，产品缺少1500个单位，因此决定运输方案应按下列目标满足要求：
第一目标，客户1为重要部门，需求量必须全部满足；
第二目标，满足其他两个客户至少75%的需要量；
第三目标，使运费尽量少；
第四目标，从产地2到客户1的运量至少有1000个单位。
1、2 问题分析
运输方案就是安排从两个产地向三个客户运送产品的最佳方案，目标是使运费最少。
而从题目来看产品的总量只有7000个单位，客户的需求量却有8500个单位，产品明显的缺了1500各单位，所以至少要按以下要求分配运输，首先
客户1为重要部门，需求量必须全部满足，从产地2到客户1的运量至少有1000个单位，即至少向客户1发2000个单位，且从产地2向客户1发的要大于等于1000个单位；其次满足其他两个客户至少75%的需要量，即至少得向客户2发1125个单位，至少向客户3发3750个单位。
最佳的运输方案就是满足了要求中的发量，而让运输费用最少的方案。
2、模型的假设
1）运输过程中道路畅通，无交通事故、交通堵塞等发生，运输车行驶正常；2）从产地到客户整个路途中，所走的路程都是最短的；
3）每一个产地都有一个固定的供应量，所有的供应量都必须配送到各个销地；4）每一个销地都有一个固定的需求量，整个需求量都必须由产地满足；
5）从任何一个产地到任何一个销地的物品运输成本和所运输的数量成线性比例关系；
6）这个成本就等于运输的单位成本乘以运输的数量。
3符号说明
A,2A表示该产品的两个产地；
①
1
②1B ,2B ,3B 表示该产品的客户； ③i a 表示产地i A 的产量； ④j b 表示销地j B 的销量；
⑤ij c 表示把物资从产地i A 运到销地j B 的单位运价; ⑥ij x 表示把物资从产地i A 运到销地j B 的运输量； ⑦min Z 表示将物资从产地i A 运到销地j B 总费用的最小值。
4、模型的建立与求解
设计运输方案，让运输费用最少而又满足客户的需求量，要解决这个问题，我们必须针对题目中的约束条件进行分析。
我们要让运输费用最少就是在满足需求的情况下把尽多的产品发给运费单价最少的客户。
设ij c 为从产地i A 到客户
j B 运费的单价，ij x 为从产地i A 到客户j B 的运输量，因此总运费为
∑∑==m i n
j ij ij x c 11
第i 个产地的运出量应小于或等于该地的生产量，即： i n
j ij a x ≤∑=1
第j 个销地的运入量应等于该地的需求量，即：
j m
i ij
b x
=∑=1
因此，运输问题的数学表达式为:
min
∑∑==m i n
j ij
ij x
c 11
..t s i n
j ij a x ≤∑=1
m i ,,2,1 =
j m
i ij b x =∑=1
n j ,,2,1 =
0≥ij x m i ,,2,1 = n j ,,2,1 =
称具有形如式以上式子的线性规划问题为运输问题.
∑∑==≠n
j j
m i i b
a 1
1
即运输问题的总产量不等于总需求量，这样的运输问题称为产销不
平衡的运输问题。
从题目中可以看出客户的需求量大于产量，所以属于产销不平衡的问题。
由于总生产量小于总需求量,虚设产地3,发量为1500个单位,到各个客户的运输单价为0。
绘制虚设产地以后的产地运到客户处,发量、收量及产地到客户的运输费单价如下表所示。
客户1 客户2 客户3 发量 产地1 10 4 12 3000 产地2 8 10 3 4000 产地3 0 0 0 1500 需求量
2000
1500
5000
很明显，决策变量为产地1，产地2，产地3三个产地分别向三个客户的发量。
由上分析，问题的目标是运输费用最少，于是有目标函数：
;312104810231322122111x x x x x x MinZ +++++=
约束条件有两类：一类是产地的生产量限制，另一类是个客户的需求量限制。
由于产地的产量总能发出并获利，产地的产量限制可以表示为：
150040003000
333231232221131211<=++<=++<=++x x x x x x x x x
考虑到个客户的需求量，需求量限制可以表示为：
5000
15002000
332313322212312111<=++<=++<=++x x x x x x x x x
又因为实际总产地的发量小于总客户的需求量即共不应求，由题目客户1为重要部门，需求量必须全部满足；满足其他两个客户至少75%的需要量；使运费尽量少；从产地2到客户1的运量至少有1000个单位，可知需求量的限制可以表示为：
100
37501125200021332313322212312111>=>=++>=++>=++x x x x x x x x x x
利用运输问题的求解方法,用LINGO 软件求解,在LINGO 中输入：
Minz=10*x11+8*x21+4*x12+10*x22+12*x13+3*x23; x11+x21=2000;
x11+x12+x13<=3000;
x21+x22+x23<=4000;
x31+x32+x33=1500;
x21>=1000;
x12+x22+x32>=1125;
x13+x23+x33>=3750;
x11+x12+x13+x21+x22+x23+x31+x32+x33<=8500; end
gin 9
运行结果为：
从以上结果可以看出最少运输费用为33750，最佳分配方案为：产地1向客户1的发量为1000个单位，产地2向客户1的发量为1000个单位，产地1向客户2的发量为375个单位，产地2向客户2的发量为750个单位，产地1不向客户3发，产地2向客户3发2250个单位。
运输方案如下表所示.
客户1 客户2 客户3 发量产地1 1000 375 0 3000 产地2 1000 750 2250 4000 产地3 0 0 1500 1500 需求量2000 1500 5000
5模型评价
优点：我们通过题目要求分析出了目标函数，写出了约束条件，建立了模型，该模型建立出了较理想状态下最优分配方案，可使运费最少。
缺点：该模型有一定的局限性，如现实中不能时刻都保证道路的畅通，为了
更贴近实际，应考虑道路的畅通性对运输过程中的影响。
另外，模型较简单，可能误差较大。
6、模型推广与应用
在经济高速发展的今天，我们更应该做一个好的决策，找一个好的方案让效益最好。
此模型可以用于求解运输的分配方案，如自来水的运输、货物的运输分配等。
只有建立合理的分配方案，按照分陪方案去实施，才能获得最大利益。
7、参考文献：
[1]姜启源，谢金星，叶俊，数学模型[M]，北京:高等教育出版社，2003。
[2]王向东，戎海武，文翰，数学实验[M] ，北京:高等教育出版社，2004。
[3]钱湔，运筹学[M] ，北京:科学出版社，2000。
[4]张德富，高级算法[M] ，北京:国防大学出版社，2004。
[5]严蔚敏，陈文博，数据结构及应用算法教程[M] ，北京:清华大学出版社，2001。
7、附录：
Minz=10*x11+8*x21+4*x12+10*x22+12*x13+3*x23; x11+x21=2000;
x11+x12+x13<=3000;
x21+x22+x23<=4000;
x31+x32+x33=1500;
x21>=1000;
x12+x22+x32>=1125;
x13+x23+x33>=3750;
x11+x12+x13+x21+x22+x23+x31+x32+x33<=8500; end
gin 9。