数学建模中优化模型之运输问题讲解

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运输问题的数学模型例题

运输问题的数学模型例题

运输问题的数学模型例题运输问题是指在运输过程中,如何最优地分配资源,使得运输成本最小,运输效率最高。

运输问题的数学模型包括最小化成本、最大化效益等多种形式。

下面我们来看一个例题。

问题描述:某物流公司有3个仓库和4个客户,每个仓库和客户之间的距离已知。

现在需要将货物从仓库运送到客户,每个客户需要的货物量也已知。

假设每个仓库的货物量都足够满足所有客户的需求,如何安排运输方案,使得总运输成本最小?解题思路:我们可以用线性规划来解决这个问题。

设每个仓库和客户之间的运输量为$x_{ij}$,其中$i$表示仓库编号,$j$表示客户编号。

则总运输成本可以表示为:$$%min %sum_{i=1}^3%sum_{j=1}^4 c_{ij}x_{ij}$$其中$c_{ij}$表示从仓库$i$到客户$j$的单位运输成本。

同时,对于每个客户$j$,要求其所需货物量$q_j$必须满足:$$%sum_{i=1}^3 x_{ij}=q_j$$对于每个仓库$i$,要求其供应的货物量$y_i$必须满足:$$%sum_{j=1}^4 x_{ij}=y_i$$另外,由于$x_{ij}$必须非负,所以还要满足:$$x_{ij}%geq 0$$综上所述,我们可以得到如下线性规划模型:$$%min %sum_{i=1}^3%sum_{j=1}^4 c_{ij}x_{ij}$$$$s.t.% %sum_{i=1}^3 x_{ij}=q_j,% j=1,2,3,4$$$$% % % % % % % % % %sum_{j=1}^4 x_{ij}=y_i,% i=1,2,3$$ $$% % % % % % % % % x_{ij}%geq 0,% i=1,2,3,% j=1,2,3,4$$这是一个标准的线性规划模型,可以用常见的线性规划求解器求解。

求解结果就是每个仓库和客户之间的运输量$x_{ij}$,以及总运输成本。

总结:运输问题是一个常见的优化问题,在实际生产和物流中经常会遇到。

大学竞赛数学建模钢管订购和运输优化模型

大学竞赛数学建模钢管订购和运输优化模型

1)将图1转换为一系列以单位钢管的运输费用为权的赋权图. 所以可先求出钢厂 Si
到铁路与公路相交点 b j 的最短路径.如图3
30
290
320 160 160 1200 690 720 1100 202 20 1150 306 450 80 195 462 520 690 170 88 70 70
5.假设钢管在铁路运输路程超过1000km,铁路每增加1 至100km,1单位钢管运输的运价增至5万元.
6.订购的钢管数量刚好等于需要铺设的钢管数量
二.基本假设
7.销售价和运输价不受市场价格变化的影响
三. 符号说明
第 第 个钢厂, 个钢厂的最大产量, 个点,
输送天然气的主管道上的第 第 钢厂 在点
86
333
621
165
0
0
0
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比较好的方法:引入0-1变量
fi表示钢厂i是否使用;xij是从钢厂i运到节点j的钢管量 yj是从节点j向左铺设的钢管量;zj是向右铺设的钢管量
0.1 15 Min Aij xij [(1 y j ) y j (1 z j ) z j ] i, j 2 j 1 s.t. 500 f i xij si f i ,
非线性规划模型可用LINGO软件包或MATLAB软件包来求解,但这些软件包不能 直接处理约束条件:
可用分支定界法将此条件改为 模型变为
1)不让钢厂S7生产,模型变为:
计算结果: f1 1278632(万元)(此时每个钢厂的产量都满足条件) 2)要求钢厂S7 产量不小于500个单位,模型变为:

数学建模运输问题

数学建模运输问题

有时候把两个表写在一起:
销地 产地 1 2 . . . m 销量
销地 产地 1 2 . . . m
1
2

n
产 量 a1 a2 . . . am 销地 产地 1 1 2 … n 产 量 a1 a2 . . . am
b1
1
b2
2


bn
n
2 . . . m
销量
c11 c12 … c1n c21 c22 … c2n . . . . . . . . . cm1 cm2 … cmn b1 b2 … bn
B2 10 4 5 6 14 6 5 3 4 3+4 B3 B4’ B4’’ 产量 (万台) 10 12 10 10
4
4 2
6
4
Global optimal solution found at iteration: 8 Objective value: 172.0000
销地 厂家 1 2
1
2
3
4
销地 厂家 A1 A2 A3 最高需求(万台)
31
x
32
x x x x x
33
x 2 3 4 6
34
7
x 11 x x 12 x x 13 x x 14 x x
ij
21
31
22
32
23
33
LINGO求解
24
34
0
设有三个电视机厂供应四个地区某种型号的电视机。 各厂家的年产量、 销地 各地区的年销售量以及 B1 B2 B3 厂家 各地区的单位运价 A1 6 3 12 如右表, A2 4 3 9 试求出总的运费最省的 A3 9 10 13 6 14 0 最低需求(万台) 电视机调拨方案。

运输问题的优化模型

运输问题的优化模型

运输方案问题的优化模型摘要:本文研究运输最优化问题。

运输问题(Transportation Problem)是一个典型的线性规划问题。

一般的运输问题就是要解决把某种产品从若干个产地调运到若干个销地,在每个产地的供应量与每个销地的需求量已知,并知道各地之间的运输单价的前提下,如何确定一个使得总的运输费用最小的方案的问题。

本论文运用线性规划的数学模型来解决此运输问题中总费用最小的问题。

引入x变量作为决策变量,建立目标函数,列出约束条件,借助LINGO软件进行模型求解运算,得出其中的最优解,使得把某种产品从2个产地调运到3个客户的总费用最小。

关键词:LINGO软件运输模型最优化线性规划1问题重述与问题分析1、1 问题重述要把一种产品从产地运到客户处,发量、收量及产地到客户的运输费单价如表1所示。

表1 运输费用表客户1 客户2 客户3 发量产地1 10 4 12 3000 产地2 8 10 3 4000 需求量2000 1500 5000这是一个供求不平衡问题,产品缺少1500个单位,因此决定运输方案应按下列目标满足要求:第一目标,客户1为重要部门,需求量必须全部满足;第二目标,满足其他两个客户至少75%的需要量;第三目标,使运费尽量少;第四目标,从产地2到客户1的运量至少有1000个单位。

1、2 问题分析运输方案就是安排从两个产地向三个客户运送产品的最佳方案,目标是使运费最少。

而从题目来看产品的总量只有7000个单位,客户的需求量却有8500个单位,产品明显的缺了1500各单位,所以至少要按以下要求分配运输,首先客户1为重要部门,需求量必须全部满足,从产地2到客户1的运量至少有1000个单位,即至少向客户1发2000个单位,且从产地2向客户1发的要大于等于1000个单位;其次满足其他两个客户至少75%的需要量,即至少得向客户2发1125个单位,至少向客户3发3750个单位。

最佳的运输方案就是满足了要求中的发量,而让运输费用最少的方案。

专题二运输规划问题建模

专题二运输规划问题建模

27
销地 产地 A1 A2 A3 销量 销地 产地 A1 A2
目标函数表示运输总费用,要求其极小化; 第一个约束条件的意义是由各产地运往某一销地的物品数 量之和等于该销地的销量;
第二个约束条件表示由某一产地运往销地的物品数量之和 等于该产地的产量;
第三个约束条件表示变量的非负条件。
5
设有三个电视机厂。生产同一种彩色电视机, 日生产能力分别是:50,60,50,供应四个 门市部,日销售量分别是:40,40,60,20 台,从各分厂运往个门市部的运费如表所示, 试安排一个运费最低的运输计划。
门市部 工厂
1 2 3 需求总计 1 9 7 6 40 2 12 3 5 40 3 9 7 9 60 4 6 7 11 20 供应总计 50 60 50
6
供求平衡的运输问题:供:50+60+50=160
需:40+40+60+20=160
数学模型
min z

i1
3
4
j1
c ij x ij
1 3 1 7 2
2 11 9 4 6
3 3 2 10 5
4 10 8 5 7
供应 7 4 9
25
(2)最优解的判别 判别的方法是计算非基变量即空格的检验数。当所有的非基 变量检验数全都大于等于 0 时为最优解。 ① 方法一:闭回路法
在给出调运方案的计算表上,从每一空格出发, 找一条闭回路。 它是以空格为起点,用水平线或垂直线向前划, 每碰到一数字格就转 90 度后继续前进。直到回到 起始空格处为止,(A1 , B1) 空格与(A1 , B4) 、 (A2 , B4) 和 (A2 , B1) 三个有数字的格构成一闭回路,如 此等等。 每个空格都存在唯一的闭回路。

数学建模的船队运输最优化问题

数学建模的船队运输最优化问题

天,第5型船每个航次需增加减载时间4天。假设各型船的年度闲置费用均为购船
当时船价的3%。假设各型船年度营运时间为350天。
查阅相关资料,补充必要计算数据,参考教材中数学模型,以追求2012年船
队总费用支出最小为目标,制订该船队的年度货运航线配船计划。求2012年完成
各条航线预测运量的最佳航线配船方案及相应的船队总费用支出额。
现有船型技术参数及数量船型编号载重吨数量艘净吨位万元船速kn燃料油消耗170001060008000131823000158000110001352432000201104615000139261507016000133118766200001444023452220001353621表2航线参数航线编号挂靠港口运量万吨航线编号挂靠港口运量万吨秦皇岛宁波1000天津广州500秦皇岛广州800青岛宁波542天津宁波700连云港广州600表3港口装卸效率秦皇岛港天津港青岛港连云港宁波港广州港最大装船效率850080008000300080008300最大卸船效率660060006000300060006300注
a62 A62 a63 A63 a64 A64
a65 A65
a66 A66
小写字母代表船数 大写代表船次
各种船往返一次所用的时间
D=2+M/p+M/q+2S/V/24 M:载重量 p:装货率 q:卸货率
S:航线长度 V:船速 2:港口为停靠时间 24:一天 24 小时
1
2
3
4
5
6
秦皇岛-宁 波
11.372
船型编号 载重(吨) 数量(艘)
表1 现有船型技术参数及数量
燃料油消耗 柴油消耗率 船员定编
净吨位 船价 (万元) 船速(kn)

数学建模--运输问题

数学建模--运输问题

运输问题摘要本文主要研究的是货物运输的最短路径问题,利用图论中的Floyd算法、Kruskal算法,以及整数规划的方法建立相关问题的模型,通过matlab,lingo 编程求解出最终结果。

关于问题一,是一个两客户间最短路程的问题,因此本文利用Floyd算法对其进行分析。

考虑到计算的方便性,首先,我们将两客户之间的距离输入到网络权矩阵中;然后,逐步分析出两客户间的最短距离;最后,利用Matlab软件对其进行编程求解,运行得到结果:2-3-8-9-10总路程为85公里。

关于问题二,运输公司分别要对10个客户供货,必须访问每个客户,实际上是一个旅行商问题。

首先,不考虑送货员返回提货点的情形,本文利用最小生成树问题中的Kruskal算法,结合题中所给的邻接矩阵,很快可以得到回路的最短路线:1-5-7-6-3-4-8-9-10-2;然后利用问题一的Floyd算法编程,能求得从客户2到客户1(提货点)的最短路线是:2-1,路程为50公里。

即最短路线为:1-5-7-6-3-4-8-9-10-2-1。

但考虑到最小生成树法局限于顶点数较少的情形,不宜进一步推广,因此本文建立以路程最短为目标函数的整数规划模型;最后,利用LINGO软件对其进行编程求解,求解出的回路与Kruskal算法求出的回路一致。

关于问题三,是在每个客户所需固定货物量的情况下,使得行程之和最短。

这样只要找出两条尽可能短的回路,并保证每条线路客户总需求量在50个单位以内即可。

因此我们在问题二模型的基础上进行改进,以货车容量为限定条件,建立相应的规划模型并设计一个简单的寻路算法,对于模型求解出来的结果,本文利用Kruskal算法结合题中所给的邻接矩阵进行优化。

得到优化结果为:第一辆车:1-5-2-3-4-8-9-1,第二辆车:1-7-6-9-10-1,总路程为280公里。

关于问题四,在问题一的基础上我们首先用Matlab软件编程确定提货点到每个客户点间的最短路线,然后结合一些限定条件建立一个目标模型,设计一个较好的解决方案进行求解可得到一种很理想的运输方案。

运输问题的数学模型详细讲解,有案例+多种方法

运输问题的数学模型详细讲解,有案例+多种方法
i 1 j 1 m n
m ( 3 1) x ij b j j 1,2, , n i 1 n s .t . x ij a i i 1,2, , m j 1 x 0 ij m n 其中,ai和bj满足: ai b j 称为产销平衡条件。
2、流向图
流向图:
在交通图上表示物资流向的图被称为流向 图。在图中每个发点吨数全部运完,每个 收点所需吨数均已满足。
2、流向图
发点A到收点B的 运输量,用括号 括起。
2、流向图
关于流向图的一些规定 箭头必须表示物资运输的方向 流量写在箭头的旁边,加小括号。 流向不能直接跨越路线上的收点、发点、 交叉点 任何一段弧上最多只能显示一条流向!即 同一段弧上的多条流向必须合并。 除端点外,任何点都可以流进和流出
2 4 6 4 B4
(2)
B5
4 2
8 B3
(8)
4
B2
(8) (1)
4 6 7 A1
3
5 8 A2
图 4-10
第三步:补上丢掉的边,检查有无迂回。 圈 B5B4B3A2 的 圈 长 =4+4+5+8=21, 内 圈长= 4+4+5=13>21/2,有迂回,所 以流向图不是最优流向图。需要调整。
约束方程式中共mn个变量,m+n个约束。
上述模型是一个线性规划问题。但是其结构很特殊, 特点如下: 1.变量多(mn个),但结构简单。
x11 x12 x1n x 21 x 22 x 2 n x m 1 x m 2 x mn 1 1 1 1 1 1 技术系数矩阵 A 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 m行 n行
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6
5 3
9
10
6
v1=10
v2=6
v3=4
单位费用变化:5-(4+(-4)=5
4 3
u1=-4
7 u2=-2
6
13 u3=6
v4=0
对偶变量法(10)
1
2
3
6
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5
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5 3
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v1=10
v2=6
v3=4
单位费用变化:3-(0+(-4)=7
4
3 u1=-4
7
7 u2=-2
6
6
13 u3=6
v4=0
对偶变量法(6)
1
2
3
6
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5 3
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v1=10
v2=6
u2+v1=c21 v1=10
v3=4
4 3
u1
7 u2=-2
6
13 u3=6
v4=0
对偶变量法(7)
1
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3
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5 3
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6
v1=10
v2=6
u1+v1=c11 u1=-4
运输问题
运输问题的表示 网络图、线性规划模型、运输表 初始基础可行解 西北角法、最小元素法 求解方法 闭回路法、对偶变量法 特殊形式运输问题 不平衡问题、转运问题
运输问题网络图
供应地
运价
6
s1=14 1 7
5 3

8
应 量
s2=27 2
4 2
7
5
9
s3=19 3 10
6
需求地 1 d1=22
2 d2=13
13 u3=6
v4=0
对偶变量法(11)
1
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3
6
7
5
1
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5
8
4
2
2
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6
5 3
9
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6
v1=10
v2=6
v3=4
单位费用变化:7-(0+(-2)=9
4
3 u1=-4
7
7
9 u2=-2
6
13 u3=6
v4=0
对偶变量法(12)
1
2
3
6
7
5
1
14
5
5
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4
2
2
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6
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-11
10
6
v1=10
2
3
6
7
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1 14
5
5
8
4
2
2 8
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5 3
9
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6
22
13
12
单位费用变化:5+8-6-2=5
4 3
14
7 27
6 19
13
13
闭回路法(3)
1
2
3
4
6
7
5
3
1 14
5
5
7 14
8
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5 3
9
10
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19
6
13
22
13
12
13
单位费用变化:3+10+8-6-2-6=7
x31 x32 x33 x34
27 地 约
19 束
x11
x21
x31
x12
x 22
x32
x13
x 23
x33
x14
x 24
x34
22

13 求
12
地 约
13 束
x11 x12 x13 x14 x 21 x 22 x 23 x 24 x 31 x32 x33 x 34
0
一般情形:有m 各供应地,n个 需求地,则有
闭回路法(4)
1
2
3
6
7
5
1
14
5
5
8
4
2
2
8
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6
5 3
9
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6
22
13
12
单位费用变化:7+10-6-2=9
4
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7 14
7
9 27
6
19 13
13
闭回路法(5)
1
2
3
4
6
7
5
3
1
14
5
5
7 14
8
4
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2 8
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9 27
5
9
3
-11
10
6
6 19
13
22
13
12
13
单位费用变化:2+5-8-10=-11
3
13 14 1 0
8
2
2
4
2
7
13
12
27 15 2 0
5
9
10
3
19
6
19 0
22
13
12
13
3 2
0
0
0
0
空格改进指数计算—闭回路法(1)
1
2
3
6
7
5
1
14
5
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4
2
2
8
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5 3
9
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6
22
13
12
单位费用变化:7+8-6-4=5
4 3
14
7 27
6 19
13
13
闭回路法(2)
1
min z =
xij 0
m i 1
c x n
j1 ij ij
s.t.
m i 1
xij
ai ,
j 1,2,, n
x n j1 ij
bi ,
i
1,2,, m
运输问题的表格表示——运输表
需求地 供应地
1
2
3
需求量
1
6
x11
8
x21
5
x31
22
2
3
7
x12
4
x22
9
x32
13
5
x13
2
x23
v3=4
4 3
u1=-4
7 u2=-2
6
13 u3=6
v4=0
对偶变量法(8)
1
2
3
6
7
5
1
14
5
8
4
2
2
8
13
6
5 3
9
10
6
v1=10
v2=6
v3=4
单位费用变化:7-(6+(-4)=5
4 3
u1=-4
7 u2=-2
6
13 u3=6
v4=0
对偶变量法(9)
1
2
3
6
7
5
1
14
5
5
8
4
2
2
8
13
v4=0
对偶变量法(2)
1
2
6
7
1
14
8
4
2
8
13
5
9
3
v1
v2
u3+v4=c34 u3=6
3 5
2
6
10
6
v3
4 3
u1
7 u2
6
13 u3=6
v4=0
对偶变量法(3)
1
2
3
6
7
5
1
14
8
4
2
2
8
13
6
5 3
9
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6
v1
v2
u3+v3=c33 v3=4
v3=4
4 3
u1
7 u2
6
13 u3=6
10
x33
12

4


3
x14
7
x24
6
x34
13
14
27
19
60 60
初始基础可行运输方案—西北角法
1
2
3
4
6
7
5
3
1
14
14
8
4
2
7
2
27
8
13
6
5 3
9
10
6
19
6
13
22
13
12
13
初始可行解运输方案确定—最小元素法
依运费从小到大的次序安排运输方案, 知道所有限制满足
!
1
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闭回路法(6)
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