运输问题模型资料
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运输问题模型
。
目标可以减少，说明当前
解不是最优解
闭回路法调整
选x22进基，找到闭回路
x12 5-
x14 1 +
x22 +
x24 5-
X22最多增加5
x12 5-5 x22 + 5
x14 1 +5 x24 5-5
X22进基，x12和x24经过调整同时变成 零。但是要注意只有一个变量出基。
例如：令x12出基
B1
B2
B3
B4
产量
A1 A2 A3 销量
× 2
3 1
× 8
3 ,0
×
9
10
×
3
4
4
4
2
8
4，0
79 2 5，2 5 7，3 6
B1
B2
B3
B4
产量
A1 A2 A3 销量
×
×
2
9
10
7
3
×
×
2
1
3
4
2
×
4
8
4
2
5
3 ,0
8
4，0 6,4
9 5,2,0 7，3
B1
B2
B3
B4
产量
A1 A2 A3 销量
7
-1
2
5
1
3
4
2
7
3
4
3
8
4
2
5
3 ,0
8,5 4，0 6,4,0
9,5 5,2,0 7,3,0
重新计算检验数
A1 u1=0
A2 u2=-5
A3 u3=-5 销量
B1
运输问题的数学模型例题
运输问题的数学模型例题运输问题是指在运输过程中，如何最优地分配资源，使得运输成本最小，运输效率最高。
运输问题的数学模型包括最小化成本、最大化效益等多种形式。
下面我们来看一个例题。
问题描述：某物流公司有3个仓库和4个客户，每个仓库和客户之间的距离已知。
现在需要将货物从仓库运送到客户，每个客户需要的货物量也已知。
假设每个仓库的货物量都足够满足所有客户的需求，如何安排运输方案，使得总运输成本最小？解题思路：我们可以用线性规划来解决这个问题。
设每个仓库和客户之间的运输量为$x_{ij}$，其中$i$表示仓库编号，$j$表示客户编号。
则总运输成本可以表示为：$$%min %sum_{i=1}^3%sum_{j=1}^4 c_{ij}x_{ij}$$其中$c_{ij}$表示从仓库$i$到客户$j$的单位运输成本。
同时，对于每个客户$j$，要求其所需货物量$q_j$必须满足：$$%sum_{i=1}^3 x_{ij}=q_j$$对于每个仓库$i$，要求其供应的货物量$y_i$必须满足：$$%sum_{j=1}^4 x_{ij}=y_i$$另外，由于$x_{ij}$必须非负，所以还要满足：$$x_{ij}%geq 0$$综上所述，我们可以得到如下线性规划模型：$$%min %sum_{i=1}^3%sum_{j=1}^4 c_{ij}x_{ij}$$$$s.t.% %sum_{i=1}^3 x_{ij}=q_j,% j=1,2,3,4$$$$% % % % % % % % % %sum_{j=1}^4 x_{ij}=y_i,% i=1,2,3$$ $$% % % % % % % % % x_{ij}%geq 0,% i=1,2,3,% j=1,2,3,4$$这是一个标准的线性规划模型，可以用常见的线性规划求解器求解。
求解结果就是每个仓库和客户之间的运输量$x_{ij}$，以及总运输成本。
总结：运输问题是一个常见的优化问题，在实际生产和物流中经常会遇到。
运筹学运输问题
当出现检验数<0，证明原初始方案或改 进方案还不是最优→如何进行基变量的 调入调出？
给检验数<0的非基变量赋值，越大 越好。但要考虑产销平衡问题。
11
8、运输问题的校验方法2 —位势法
利用行位势和列位势两类数据，将检验数与 单位运价联系起来
12
检 验 数 方 程
13
λ
= c – u – v ij ij i j
A、位势法求检验数的步骤
第一步：根据最小元素法或Vogel法确定的初始运量表做 一表格，将基变量（或运量）数据替换成与之对应的单位 运价；（或对单位运价表进行修改，只保留与基变量对应的运价信
息）
第二步：在右侧增加一列，下侧增加一行，用于填写位势 数据。右侧表示行位势ui（i=1，2...m），下侧表示列位 势vj（j=1，2...n）； 第三步：对于基变量对应的单位运价处，ui+vj=cij。随便 确定任一个位势，即可求解全部行和列位势； 第四步：在非基变量对应的空格处，计算检验数λij=cij（ui+vj）。并将检验数填入检验数表中； 第五步：判断检验数λij是否大于0，如是，则表示较优。 如不是，则需要调整基变量。 第六步：基变量的调整采用闭回路法进行。
收点 发点 9
B1
4
B2
1
B3
11
B4 -1
10 5
发量
偶 点 0 减 ， 2 奇 点 加 5
A1
14 ③奇点 9 18 1 A2 x x 1 9 11 6 8 0 A3 1 3 x 14 ②偶点 12 2
11 21 22 31
x 3 2
x 6 7
5
13
偶点④
9
第三章--运输问题
A1 A2 A3 销量
B1 B2 B3 B4 产量
3 11 3 10
7
1928
4
7 4 10 5
9
3
6
5
6
20
A1 A2 A3 A1 0 1 3 A2 1 0 M A3 3 M 0
B1
B2
B3
B4
B1
0142
B2
1021
B3
4203
B4
2130
A1 A2 A3 T1 T2 T3 T4 B1 B2 B3 B4 T1 2 3 1 0 1 3 2 2 8 4 6 T2 1 5 M 1 0 1 1 4 5 2 7 T3 4 M 2 3 1 0 2 1 8 2 4 T4 3 2 3 2 1 2 0 1 M 2 6
A1 A2 A3 T1 T2 T3 T4 B1 B2 B3 B4 产量 A1 0 1 3 2 1 4 3 3 1 3 10 27
1
A2 1 0 M 3 5 M 2 1 9 2 8 24 A3 3 M 0 1 M 2 3 7 4 10 5 29 T1 2 3 1 0 1 3 2 2 8 4 6 20 T2 1 5 M 1 0 1 1 4 5 2 7 20 T3 4 M 2 3 1 0 2 1 8 2 4 20 T4 3 2 3 2 1 2 0 1 M 2 6 20 B1 3 1 7 2 4 1 1 0 1 4 2 20 B2 11 9 4 8 5 8 M 1 0 2 1 20 B3 3 2 10 4 2 2 2 4 2 0 3 20 B4 10 8 5 6 7 4 6 2 1 3 0 20 销量 20 20 20 20 20 20 20 23 2 25 26
– 产地和销地之间虽有直达路线，但直达运输的费用或 运输距离分别比经过某些中转站还要高或远。
运输问题
运输问题的数学模型
问题的提出
• 一般的运输问题就是要解决把某种产品从
若干个产地调运到若干个销地，在每个产
地的供应量与每个销地的需求量已知，并
知道各地之间的运输单价的前提下，如何
确定一个使得总的运输费用最小的方案。
运输问题的数学模型
•
已知有m个生产地点Ai,i=1,2,…，m。可供
应某种物资，其供应量(产量)分别为ai，i=1，
销地 产地 A1
B2 1.1
B4 1.0
产量
400 300 100
0.4 0.5
700
A3 销量
600 600 ④
最小元素 0.4
900 600 2000
最小元素 0.5
销地 产地 A1
B4 1.0
产量
400 300 100
0.5
700
A3 销量
600
300 600
900 ⑤ 2000
销地 产地 A1
(1)最小元素法
最小元素 0.1
销地 产地 A1 A2 A3 销量
B1 0.3 0.1
B2 1.1 0.9 0.4
B3 0.3 0.2 1.0
B4 1.0
产量
700
0.8
300
0.7 0.5
400 900 2000
300 ①
600
500
600
产量400和销量300 最小者
最小元素 0.2
销地 产地 A1 A2 A3 销量
B4
产量 1.0
0.3
400 300
0.1
300
0.2
0.5
700 ⑥
100 600
0.4
300 600 ⑥ 2000
问题的提出
• 一般的运输问题就是要解决把某种产品从
若干个产地调运到若干个销地，在每个产
地的供应量与每个销地的需求量已知，并
知道各地之间的运输单价的前提下，如何
确定一个使得总的运输费用最小的方案。
运输问题的数学模型
•
已知有m个生产地点Ai,i=1,2,…，m。可供
应某种物资，其供应量(产量)分别为ai，i=1，
销地 产地 A1
B2 1.1
B4 1.0
产量
400 300 100
0.4 0.5
700
A3 销量
600 600 ④
最小元素 0.4
900 600 2000
最小元素 0.5
销地 产地 A1
B4 1.0
产量
400 300 100
0.5
700
A3 销量
600
300 600
900 ⑤ 2000
销地 产地 A1
(1)最小元素法
最小元素 0.1
销地 产地 A1 A2 A3 销量
B1 0.3 0.1
B2 1.1 0.9 0.4
B3 0.3 0.2 1.0
B4 1.0
产量
700
0.8
300
0.7 0.5
400 900 2000
300 ①
600
500
600
产量400和销量300 最小者
最小元素 0.2
销地 产地 A1 A2 A3 销量
B4
产量 1.0
0.3
400 300
0.1
300
0.2
0.5
700 ⑥
100 600
0.4
300 600 ⑥ 2000
数学建模运输问题
有时候把两个表写在一起:
销地 产地 1 2 . . . m 销量
销地 产地 1 2 . . . m
1
2
…
n
产 量 a1 a2 . . . am 销地 产地 1 1 2 … n 产 量 a1 a2 . . . am
b1
1
b2
2
…
…
bn
n
2 . . . m
销量
c11 c12 … c1n c21 c22 … c2n . . . . . . . . . cm1 cm2 … cmn b1 b2 … bn
B2 10 4 5 6 14 6 5 3 4 3+4 B3 B4’ B4’’ 产量 （万台） 10 12 10 10
4
4 2
6
4
Global optimal solution found at iteration: 8 Objective value: 172.0000
销地 厂家 1 2
1
2
3
4
销地 厂家 A1 A2 A3 最高需求（万台）
31
x
32
x x x x x
33
x 2 3 4 6
34
7
x 11 x x 12 x x 13 x x 14 x x
ij
21
31
22
32
23
33
LINGO求解
24
34
0
设有三个电视机厂供应四个地区某种型号的电视机。 各厂家的年产量、 销地 各地区的年销售量以及 B1 B2 B3 厂家 各地区的单位运价 A1 6 3 12 如右表， A2 4 3 9 试求出总的运费最省的 A3 9 10 13 6 14 0 最低需求（万台） 电视机调拨方案。
运输问题的数学模型
每一个出发地都有一定的供应量（supply）配送到 目的地，每一个目的地都有需要从一定的需求量（ demand），接收从出发地发出的产品。 需求假设（The Requirements Assumption） 可行解特性（The Feasible Solutions Property） 成本假设（The Cost Assumption） 整数解性质（Integer Solutions Property）
如何制定一个运输方案，使总的运输费用最小。这样的问题称为运 输问题。
第1页/共10页
§3.1 运输问题的数学模型 Mathematical Model of T P
Ch3 Transportation Problem
2024年10月13日星期日 Page 2 of 11
运输问题的特征 Characteristics of Transportation Problems
第2页/共10页
§3.1 运输问题的数学模型 Mathematical Model of T P
Ch3 Transportation Problem
2024年10月13日星期日 Page 3 of 11
需求假设（The Requirements Assumption）： 每一个出发地都有一个固定的供应量，所有的供应 量都必须配送到目的地。与之相类似，每一个目的 地都有一个固定的需求量，整个需求量都必须由出 发地满足，即
总供应量＝ 总需求量
可行解特性（The Feasible Solutions Property）： 当且仅当供应量的总和等于需求量的总和时，运输问 题才有可行解
第3页/共10页
§3.1 运输问题的数学模型 Mathematical Model of T P
(典型例题)《运筹学》运输问题
第四天送洗：y451200
xj0，yij0，zij0，（i=1,┈,4；j=1,┈,5）
2008/11
--22--
--《Ⅵ 产量
新购 1 第一天 M 第二天 M 第三天 M
第四天 M
1 1 1 1 0 5200
0.2 0.1 0.1 0.1 0 1000
2008/11
--21--
建立模型：
--《运筹学》 运输问题--
设 xj—第j天使用新毛巾的数量；yij—第i天送第j天使用快洗 餐巾的数量；zij—第i天送第j天使用慢洗餐巾的数量；
Min z=∑xj+∑∑0.2yij+∑∑0.1zij
第一天：x1=1000
需 第二天：x2+y12=700
求 约
m1
xij b j (j 1,2,...,n)
i1
x 0 (i 1,...,m,m 1; j 1,...,n) ij
2008/11
--16--
--《运筹学》 运输问题--
销＞产问题单位运价表
产地销地 B1 B2 ┈
A1
C11 C12 ┈
A2
C21 C22 ┈
┊ ┆┊┈
Am Cm1 Cm2 ┈
2008/11
--8--
产销平衡表
--《运筹学》 运输问题--
单位运价表
B1 B2 B3 B4 产量
A1 (1) (2) 4 3 7 A2 3 (1) 1 (-1) 4 A3 (10) 6 (12) 3 9 销量 3 6 5 6
B1 B2 B3 B4 A1 3 11 3 10 A2 1 9 2 8 A3 7 4 10 5
Ⅰ Ⅱ
示。又如果生产出来的柴
Ⅲ
xj0，yij0，zij0，（i=1,┈,4；j=1,┈,5）
2008/11
--22--
--《Ⅵ 产量
新购 1 第一天 M 第二天 M 第三天 M
第四天 M
1 1 1 1 0 5200
0.2 0.1 0.1 0.1 0 1000
2008/11
--21--
建立模型：
--《运筹学》 运输问题--
设 xj—第j天使用新毛巾的数量；yij—第i天送第j天使用快洗 餐巾的数量；zij—第i天送第j天使用慢洗餐巾的数量；
Min z=∑xj+∑∑0.2yij+∑∑0.1zij
第一天：x1=1000
需 第二天：x2+y12=700
求 约
m1
xij b j (j 1,2,...,n)
i1
x 0 (i 1,...,m,m 1; j 1,...,n) ij
2008/11
--16--
--《运筹学》 运输问题--
销＞产问题单位运价表
产地销地 B1 B2 ┈
A1
C11 C12 ┈
A2
C21 C22 ┈
┊ ┆┊┈
Am Cm1 Cm2 ┈
2008/11
--8--
产销平衡表
--《运筹学》 运输问题--
单位运价表
B1 B2 B3 B4 产量
A1 (1) (2) 4 3 7 A2 3 (1) 1 (-1) 4 A3 (10) 6 (12) 3 9 销量 3 6 5 6
B1 B2 B3 B4 A1 3 11 3 10 A2 1 9 2 8 A3 7 4 10 5
Ⅰ Ⅱ
示。又如果生产出来的柴
Ⅲ
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1
1
17
1
19
3
57
2
1
3
1
5
2
10
j 1
4
xij b j
i 1
xij
0Hale Waihona Puke 最优解为 : x11 10, x12 15, x23 5, x33 20, x34 10, x44 10
44
最小生产费用为 :
min z
cij xij 77.3
i1 j1
2 航运公司的船只配备问题
某航运公司承担六个港口城市A.B.C.D.E.F的四条固定航 线的物资运输任务，已知各条航线的起点城市．终点 城市及每天的航班数如表4－13所示。
cij (i 1,2,m, j 1,2,n)
汇总于单位运价表中（如表4－8）．
表4－7 产销平衡表
产地
销地 1
2
…
1
x11 x12
2
x21 x22
m 销量
xm1 xm2 b1 b2
n 产量
x1n a1 x2n a2
xmn am
b2n
在该表中，第 j列的物理含义为：从各产地 Ai (i 1,2,m) 发往销地的部分运输量 x1 j ，x2 j ，…，xmj 的和对应等于销 量 b j ．第 i 行的物理含义类同．
x11 10
xx1132
x22 x23
15 x33
25
x14 x24 x34 x44 20
又每月生产用于当月和以后各月交货的引擎不可能超过 该公司的实际生产能力，故还应满足
x11 x12 x13 x14 25
xx3232
x23 x34
x24 30
35
x44 10
构造“单位运价表”，它应等价于这里的“成本费用 表” .
4.3 运输问题模型
问题模型概述
运输问题是一类特殊的线性规划模型，该模型 最初用于解决部门的运输网络所要求的最经 济的运输路线和产品的调配问题，并取得了 成功．
在实际应用中，除运输问题外，许多非运输问题 一样可以建立其相应的运输问题模型，并由 此求出其最优解．
下面以“产销平衡模型”对运输问题进行简单 的概述和描述．
j 1
xij 0
在实际中，常出现产销不平衡的情形，此时需要把产销
不平衡问题转化为产销平衡问题来进行讨论．如当产量
m
n
ai 大于销量 bj 时，只需增加一个虚似的销地j n ，1
i 1
j 1
而该销地的需要量为
m
n
aibi
即可.销量大于产量的情
形类同.
i 1
j 1
应用实例
1 生产时序的安排
北方飞机公司制造商用飞机，其生产过程的最后阶段为 生产喷射引擎，然后装置于(一极速工作)机体，该公 司有若干近期必须交付使用飞机的合同，现要安排今 后四个月飞机喷射引擎的生产计划，必须在每月末分 别提供10，15，25，20台引擎．
表4－13 某航运公司的航线情况
航线 1 2 3 4
起点城市 E B A D
终点城市 D C F B
每天航班数 3 2 1 1
假定各条航线使用相同型号的船只，且各城市间的航程 天数如表4－14所示。 表4－14 各城市间的航程天数
A B C D EF
A
0
1 2 14 7 7
B
1
0 3 13 8 8
某产品的生产有 m个产地 Ai (i 1,2,m) ，其生产 量分别为ai (i 1,2,m) ，而该产品的销售有n 个销地 B j (i 1,2,n) ，其需要量分别为bj ( j 1,2,n) 已知该产品从产地 Ai (i 1,2,m) 到销地 Bj (i 1,2,n) 的单位运价为 cij (i 1,2,m, j 1,2,n) ，试建 立该运输问题的线性规划模型．
销地
月
1
1
1.08
2
M
3
M
4
M
2
1.095 1.110 M M
3
1.110 1.125 1.100 M
4
1.125 1.140 1.115 1.130
D 产量(ai)
0
25
0
35
0
30
0
10
销量（bj） 10
15
25
20 30
模型建立与求解
44
min z
cij xij
i1 j1
4
xij ai
假设从产地 Ai (i 1,2,m) 到销地 Bi (i 1,2,n) 的 运输量为 xij ，因为从产地 Ai到销地B j 的单位 运价为cij (i 1,2,m, j 1,2,n) ，所以可把运 输量 xij (i 1,2,m, j 1,2,n) 汇总于产销平衡 表中（如表4－7），而把单位运价
已知该公司各月的生产能力和生产每台引擎的成本如表4 －9所示(单位：百万元)，且如果生产出来的引擎当月 不能交货，则每台引擎每积压一个月需存储费和维护 费用0.015百万元，试在完成合约的情况下，制定一引 擎数量的生产安排方案，以使该公司今后四个月的生 产费用最小．
表4－9 生产成本表
月份
合约数
生产能力 单位成本 存储和维护费
表4－8 单位运价表
销地
产地
1
2
…
n
1
c11
c12
c1n
2
c21
c22
c2n
m
cm1
cm2
cmn
模型建立
mn
min z c11x11 c12 x12 cm1 xm2 cmn xmn
cij xij
m
xij b j ( j 1,2,, n)
i1 j1
i 1
n
xij ai (i 1,2,, m)
1
10
25
1.08
0.015
2
15
35
1.11
0.015
3
25
30
1.10
0.015
4
20
10
1.13
模型建立与求解
求该问题最优解的关键: 建立该问题的产销平衡表及元
xi素j 和单位运价表及c元ij 素 ．为此，x假ij 设 表i 示第
月生产并用于j 第 月交货的引擎数，因公司必须完成
合同，则xij 应满足
表4－10 成本费用表
销地
月
1
1
1.08
2
2 1.095 1.110
3 1.110 1.125
4 1.125 1.140
3
1.100 1.115
4
1.130
由于这是产销不平衡问题，故增加一虚拟的销地，使之 能构造为产销平衡模型，并把 “产销平衡表和单位运 价表”合二为一，如表4－11所示 。
表4－11 产销平衡表和单位运价表
C
2
3 0 15 5 5
D 14 13 15 0 17 20
E
7
8 5 17 0 3
F
7
8 5 20 3 0
若每条船只每次装．卸货的时间各需要一天，则航运公 司至少应配备多少条船只才能满足所有航线的运营要 求？
模型分析 、变量假设
表4－15 各航线所需的最少在航船只数
航线 装货天数 航程天数 卸货天数 小计 航班数 周转数