高中数学条件概率中的一题多解

条件概率中的一题多解
条件概率是概率的一个难点，首先，“在某事件A 发生的前提下事件B 发生的概率”经常容易和“事件A 、B 同时发生的概率”混淆；其次，在解决条件概率问题时采取方法的不同会直接导致解决问题的难易程度不同。

这就要求同学们熟练掌握解决条件概率问题的各种方法，因题而异，选择适当的方法求解。

我们看下面这个例子：
例：一个口袋内装有2个白球和2个黑球，那么
（1）先摸出1个白球不放回，再摸出1个白球的概率是多少？
（2）先摸出1个白球后放回，再摸出1个白球的概率是多少？
法一：利用古典概型的特点求出各事件发生的基本事件数，然后用比例求解。

解：
（1）设“先摸出1个白球不放回”为事件A ，“再摸出1个白球”为事件B ，“先后两次摸到白球”为事件A B ⋂。

则A={（白1，白2），（白1，黑1），（白1，黑2），（白2，白1），（白2，黑1），（白2，黑2）}，事件A 的基本事件数为6；
A B ⋂={（白1，白2）
，（白2，白1）}，A B ⋂事件的基本事件个数为2。

21(|)63
P B A ∴==。

（2）设“先摸出1个白球放回”为事件1A ，“再摸出1个白球”为事件1B ，“先后两次摸到白球”为事件11A B ⋂。

则1A ={（白1，白1），（白1，白2），（白1，黑1），（白1，黑2），（白2，白1），（白2，白2），（白2，黑1），（白2，黑2）}，事件A 的基本事件数为8；
11A B ⋂={（白1，白2），（白2，白1），（白1，白1），（白2，白2）}，11A B ⋂事件的基本事件个数为4。

1141(|)82
P B A ∴==。

法二：利用条件概率公式直接求解。

（1）设“先摸出1个白球不放回”为事件A ，“再摸出1个白球”为事件B ，“先后两次摸到白球”为事件A B ⋂。

231211(),()432436P A P A B ⨯⨯∴==⋂==⨯⨯，1
()16(|)1()
32
P A B P B A P A ⋂===。

（2）设“先摸出1个白球放回”为事件1A ，“再摸出1个白球”为事件1B ，“先后两次摸到白球”为事件11A B ⋂。

111241221(),()442444P A P A B ⨯⨯∴==⋂==⨯⨯，111111
()14(|)1()
22
P A B P B A P A ⋂===。

法三：通过问题的实质解决问题。

解：
（1）摸出1个白球之后不放回，问题就变成了“从1个白球和2个黑球中摸出1个白球的概率是多少？” 显然，13
P =。

（2）摸出1个白球放回后，问题就变成了“从2个白球和2个黑球中摸出1个白球的概率是多少？” 显然，2142
P ==。

综上来看上面几种方法，法二是课本上给出的方法，比较“正规”，但相比法一，多求了总的基本事件空间的基本事件数，实际问题解决中可省略； （理论依据：112
2()(|)()n n P A B n P B A n P A n n
⋂===，n 直接就约掉了，对结果无任何影响） 而对于法一来讲，若事件较简单，可直接列出基本事件空间，数数基本事件的个数，若事件比较复杂，可通过排列组合方法求出基本事件空间的基本事件个数。

这种方法在实际问题中比较通用；三种方法相比较，对此题而言，显然第三种方法最简单，前提是“题意不乱，思绪容易理清”。

下面我们把上面的例子中的数据稍作修改，再来感受一下这三种方法。

变式：一袋中有6个黑球，4个白球，那么
（1）依次取出3个球不放回，已知第一次取出的是白球，则第三次取到黑球的概率是多少？
（2）有放回地依次取出3球，已知第一次取出的是白球，则第三次取到黑球的概率是多少？ 法一：
解：
（1）设“第一次取到白球不放回”为事件A ，“第三次取到黑球”为事件B ，“第一次取到白球不放回并且第三次取到黑球”为事件A B ⋂。

则A 事件发生的基本事件数为12
49C A ⋅；
A B ⋂事件发生的基本事件数为11124366()C C C A ⋅⋅+（分{白，白，黑}和{白，黑，黑}两种情况）或111
468C C C ⋅⋅（先考虑第一次和第三次的，最后考虑第二次的）。

11146812492(|)3C C C P B A C A ⋅⋅∴==⋅。

（2）设“第一次取到白球放回”为事件1A ，“第三次取到黑球”为事件1B ，“第一次取到白球放回并且第三次取到黑球”为事件11A B ⋂。

则1A 事件发生的基本事件数为41010⨯⨯；
11A B ⋂事件发生的基本事件数为4610⨯⨯（先考虑第一次和第三次的，最后考虑第二次的）。

1146103(|)410105
P B A ⨯⨯∴==⨯⨯。

法二：
解：所有设法与法一一致。

（1）总的基本事件数为3
10A ，
111468
3101249310()2(|)()3
C C C A P A B P B A C A P A A ⋅⋅⋂∴===⋅。

（2）总的基本事件数为3
10， 3111113
4610
()310(|)41010()
510P A B P B A P A ⨯⨯⋂∴===⨯⨯。

法三：
解：
（1）第一次取到白球不放回，问题就变为“从6个黑球和3个白球中不放回地连续取2次球，第二次取到黑球的概率是多少？”
11682923
C C P A ⋅==。

（2）第一次取到白球放回，问题就变为“从6个黑球和4个白球中有放回地连续取2次球，第二次取到黑球的概率是多少？”
1161023105
C C P ⋅==。

另解：（2）中每次取之前袋中的球的情况不变，则每次取球的结果互不影响，只考虑第三次即可。

63105
P ==。

由此看来，解决条件概率问题的最佳方法不是什么既定公式，而是对题意的把握。

当你对题意真正理解之后，你就会发现所有问题都会迎刃而解。