运输问题模型与算法
运输问题模型
。
目标可以减少，说明当前
解不是最优解
闭回路法调整
选x22进基，找到闭回路
x12 5-
x14 1 +
x22 +
x24 5-
X22最多增加5
x12 5-5 x22 + 5
x14 1 +5 x24 5-5
X22进基，x12和x24经过调整同时变成 零。但是要注意只有一个变量出基。
例如：令x12出基
B1
B2
B3
B4
产量
A1 A2 A3 销量
× 2
3 1
× 8
3 ,0
×
9
10
×
3
4
4
4
2
8
4，0
79 2 5，2 5 7，3 6
B1
B2
B3
B4
产量
A1 A2 A3 销量
×
×
2
9
10
7
3
×
×
2
1
3
4
2
×
4
8
4
2
5
3 ,0
8
4，0 6,4
9 5,2,0 7，3
B1
B2
B3
B4
产量
A1 A2 A3 销量
7
-1
2
5
1
3
4
2
7
3
4
3
8
4
2
5
3 ,0
8,5 4，0 6,4,0
9,5 5,2,0 7,3,0
重新计算检验数
A1 u1=0
A2 u2=-5
A3 u3=-5 销量
B1
一类运输问题的非线性规划模型
一类运输问题的非线性规划模型*摘要经典的运输问题是已知各条路径长度和目的地的需求量, 求最优的运输路径, 这只需要建立线性规划模型就可以解决了. 但实践中遇到的情况常常不是那么简单, 一是路费并不与路线长度成简单线性关系, 再就是目的地的需求量不是已知, 还有货物的价格等等因素都增加了问题的复杂性. 本文就以钢管定购和运输问题为例,禅述了一类复杂运输问题的解决方案.关键词数学模型, 非线性规划, 最省路径1问题简述要铺设一条A1→A2→…→A15的输送天然气的主管道, 如图1所示. 附近有7个钢厂S1, S2,…,S7可以生产这种主管道钢管. 图中粗线表示铁路, 单细线表示公路, 双线表示要铺设的管道(假设沿管道或者原来有公路, 或者建有施工公路), 圆圈表示火车站, 每段铁路、公路和管道旁的阿拉伯数字表示里程(单位km).为方便计, 1km主管道钢管称为1单位钢管.一个钢厂如果承担制造这种钢管, 至少需要生产500个单位.钢厂S i在指定期限内能生产该钢管的最大数量为s i个单位, 钢管出厂销价1单位钢管为P i万元, 如表1.表1 钢厂产量及单价1单位钢管的铁路运价如表2.表2 铁路运价1000km以上每增加1至100km运价增加5万元.公路运输费用为1单位钢管每公里0.1万元.钢管可由铁路、公路运往铺设地点(不只是运到A1, A2,…, A15,而是管道全线).1.请制定一个主管道钢管的订购和运输计划,使总费用最小(给出总费用).2.如果要铺设的管道不是一条线, 而一个树形图, 铁路、公路和管道构成网络, 请就这种更一般的情形给出一种解决办法, 并对图2按问题1的要求给出模型和结果.图 1 钢管运输路线图(1)图 2 钢管运输路线图(2)2问题分析为了求出定购计划, 首先应该知道从各钢厂到各铺设路段运送单位钢管所需费用最小的路径. 为此, 我们定义：定义使得从钢厂S i运送单位钢管到铺设端点A j的费用最小的路径称为从S i到A j的最省路径.如果可以预先知道运往各铺设端点的钢管量, 那么原问题就是一个纯粹的运输问题, 而运输问题已经有着比较成熟的解法[0]. 然而我们遇到的并非如此简单. 各铺设端点只有一个相当大的取值范围（而不是一个确定的值）, 确定这些值只能由运输和铺设的限制条件以及费用极小来决定.由于需铺设的总长度是相当长的, 而一根钢管的长度相对来说就小得多, 所以可以认为：从铺设端点运送钢管到铺设地点时, 钢管是连续不断、均匀地卸下的.基于以上原因, 我们决定, 首先求出各钢厂到各铺设端点的最省路径, 然后根据限制条件和费用极小建立连续型规划模型, 最后求出整个购运计划.3模型假设1.施工公路与普通公路路况一样.2.在实际运输时, 经过的路径不会出现这样的情况：公路夹于两段铁路之间, 或铁路夹于两段公路之间.3.在实际运输时, 总是这样来运输的: 先运往铺设端点(指A1, A2, ...)再运到铺设地点.4.铺设是均匀、连续的, 卸货也是均匀、连续的.在后面的论述中, 我们总是假设所有的钢管量以km为单位, 所有的费用以万元为单位.4模型建立首先, 我们针对图1建立数学模型.4． 1 最省路径容易知道, 要使总费用最小, 所走的路径就应该是最省路径. 所以我们首先求出各条最省路径.对于在一般赋权图中求最短路径问题已有许多成熟的方法, 可以运用到这里. 但由于铁路费用比较特殊（单位路长费用不是定值）, 所以必须做些特殊处理. 经过观察我们发现, 图 1中所有铁路及火车站构成一颗树, 要把钢管从任一钢厂运至铺设地点上都必须至少经过一个交接点(B i ), 再根据假设2, 每一次运输只能经过一个交接点. 这样, 在一次运输中, 经过的铁路将是连接出发点(钢厂)和交接点的那条通路. 不妨把它们直接用铁路连起来. 这样我们可以按照如下方法构造新图：1. 在图 1中将所有的钢厂与交接点全部用铁路连接起来, 铁路长度与图 1中相应的铁路总长度一样. 如果某个点既是钢厂又是交接点, 则把它们拆成两个点, 一个代表钢厂, 一个代表交接点, 它们之间的铁路长度赋值为0.2. 略去图 1中的铁路及火车站(除交接点外).这样就得到一个新图, 重新摆放各点的位置后的形状如图 3.图 3 与图 1等效的简化图我们给图 3的所有边都赋予边权, 它们的值是运送单位钢管经过该边的费用(而不是路的长度).在此必须说明的是, 在假设2的前提下, 图 1与图 3是等效的. 等效的意思是指：在图 1中从任何一个钢厂走到任何一个铺设点, 不管所走的是哪一条路, 在图 3中都有唯一的路径与之相对应, 并且费用相等. 这样, 图 3中的所有的边权值都可以从图 1及铁路、公路运价求出. 譬如, S 1B 1=160, B 1A 2=0.3, A 1A 2=10.4. 由于篇幅关系, 在此不再一一给出.图 3是一个典型的赋权图, 可用Dijkstra 算法[2]、逐次逼近法[3]等算法求出从S i 到A j 的最省路径和相应费用, 在此我们采用逐次逼近法. 为节省篇幅, 结果在此将不给出, 读者可自行计算, 程序可参见[0].2 目标函数(费用表达式)设从钢厂S i 运往铺设端点A j 的钢管量为x ij , 那么, 购买费用为∑∑===ψ711511i j ij i x P用w ij 表示从S i 到A j 的最省路径相应的费用, 则运输过程中的费用为715211()ij ij i j w x ==ψ=∑∑1141312111098765432151765432因为钢管运到铺设端点A j 后, 还要运往铺设地点. 在图 3中, 铺设端点的度最大为2, 所以每个端点运送的方向最多有2个, 可设A j 向左运送的钢管量为L j , 向右运送的钢管量为R j , 显然有71511,1,2,...,15,0,0j j ij i R L x j R L =+====∑(1)再由假设4, 卸货是均匀的, 当从铺设端点A j 向左运输钢管走了t km 时, 剩余在车上的钢管量为L j －t , 所以将钢管运至A j 后再向左运输需要的费用20321)()(j L j L j eL dt t L e j⋅=-⋅=ψ⎰ 其中e 是运输1单位钢管每公里的公路运费. 同理, 将钢管运至A j 后再向右运输需要的费用20321)()(j R j R jeR dt t R e j⋅=-⋅=ψ⎰ 因此这期间的总费用为()∑∑==+⋅=ψ+ψ=ψ15122151333)(21)()(j j j j R jL jR Le购买费用、从钢厂运往铺设端点的费用、从铺设端点运至铺设地点的费用构成了全部费用的总和.所以, 总费用为7157151522123111111()2i ij ij ij j j i j i j j Px w x e L R =====ψ=ψ+ψ+ψ=++⋅+∑∑∑∑∑(2)4．3 约束条件根据需铺设的钢管总长度为5171, 而且运输量总是非负的, 所以715115171iji j x===∑∑ (3)再根据假设4, 铺设是均匀的(不重叠不遗漏), 所以有11,1,2,...,14j j j j R L A A j +++== (4)其中1+j j A A 表示从j A 到1+j A 需要铺设钢管的长度.由于钢厂S i 的产量上限为s i , 所以151,1,2, (7i)i j xs i =≤=∑ (5)而每个钢厂都有自己的产量下限. 如果生产, 则必须不小于500, 否则就不生产, 产量为0. 即1515110,500,1,2, (7i)ijj j xxi ===≥=∑∑或(6)为了方便求解, 我们将上式改写成如下等价形式(在产量非负的条件下):151511(500)0,1,2,...,7ij ijj j x xi ==-≥=∑∑ (7)4．4 数学模型由(1)、（2）、（3）、（4）、（5）、（6）、（7）可以得到一个连续非线性规划模型:∑∑∑∑∑=====+⋅++=ψ151227115171151)(21min j j j i j ij ij i j ij i R L e x w x PS. T.517171151=∑∑==i j ijx7,...,2,1,151=≤∑=i s xi j ij15,...,2,1,71==+∑=j x L R i ij j j , R 15=0, L 1=0.14,...,2,1,11==+++j A A L R j j j j7,...,2,1,0)500(151151=≥-∑∑==i xx j ijj ijx ij ≥0, i =1,...,7, j =1, (15)这就是我们所要建立的钢管购运计划数学模型.5 模型求解这是一个非线性规划模型. 由于模型中变量太多, 人工求解很难进行. 我们使用数学软件LINGO6.0, 成功地求解了这个模型, 从而得到了完整的购运计划. 首先是去钢厂购买钢管的计划, 表 3列出了具体的购买方案, 所花费用1ψ=797725; 然后是将钢管运至铺设端点, 运输方案也在表 3中给出, 运输费2ψ=399731.55; 最后是把钢管从铺设端点运到铺设地点,表 4给出了运输方法, 运输费1522311()80916.452j j j e R L =ψ=+=∑. 这样总费用就是1231278373ψ=ψ+ψ+ψ=.表 3 在图 1中从钢厂购买钢管然后运到铺设端点的计划钢厂购买量 购买费用 运输路径(在图 1中) 运量x ij 单价 运费 S 1800.0128000S 1B 6B 5B 4A 5334.5 38.0 12711.0 S 1B 6B 5A 6 200.0 20.5 4100.0 S 1B 7A 7 265.5 3.1 823.05 S 2800.0124000S 2B 8B 3B 1A 2179.0 205.3 36748.7 S 2B 3A 4 134.1 171.6 23011.56 S 2B 8B 7B 6B 5B 4A 5 186.9 111.0 20745.90 S 2B 8A 8300.0 71.2 21360.00 S 3 1000.0 155000 S 3B 9B 8B 7B 6B 5B 4A 5 A 4333.9 181.6 60636.24 S 3B 9B 8B 7B 6B 5B 4A 5 2.1 121.0 254.10 S 3B 9A 9 664.0 48.2 32004.80 S 4 0.0 0 无0.0 0.0 S 51015.0157325S 5B 11B 10B 9B 8B 3B 2 A 3 508.0 225.2 114401.60 S 5B 11B 10B 9B 8B 7B 6B 5B 4A 5 92.0 146.0 13432.00 S 5B 11A 11 415.0 33.0 13695.0 S 61556.0233400S 6B 15B 13B 10A 10 351.0 62.0 21762.00 S 6B 15B 13B 12A 1286.0 45.0 3870.00 S 6B 15B 13A 13 333.0 26.2 8724.60 S 6A 14 621.0 11.0 6831.00 S 6B 15B 16A 15165.0 28.0 4620.00 S 7 0.0 0无 0.0 0.0合计5171.01ψ = 797725 5171.02ψ=399731.55表 4 从铺设端点到铺设地点的计划j 1 2 3 4 5 6 7 8 L j 0.0 104.0 226.0 468.0 606.0 184.5 189.5 125.0 R j 0.0 75.0 282.0 0.09.515.576.0175.0 0.0 822.05 6530.0 10951.2 18366.3125 1714.025 2084.3125 2312.5 j 9 10 11 12 13 14 15 合计 L j 505.0 321.0 270.0 75.0 199.0 286.0 165.0 R j159.030.0145.011.0 134.0 335.0 0.0 费用 14015.3 5197.05 4696.25287.32877.859701.051361.2580916.456 模型强化如果要铺设的管道不是一条线, 而是一个树形图, 铁路、公路和管道构成网络, 我们的方法同样是适用的, 因为在求最省路径时, 我们并不排除铁路、公路和管道构成网络的情形. 实际上, 图 2与图 1的差别主要是铺设端点的度数不同. 因此, 只要对第一个模型稍作修改, 就可以解决这种更一般的情形了.对图 2运用相同的方法进行改造, 得到的新图如图 4所示, 其中的边权可以根据图 2求出.图 4 与图 2等效的简化图在图 4中, 铺设路径上的结点的最大度数为3, 从结点运往铺设地点的方向数最多有3个, 分别用D 1j , D 2j , D 3j 表示从A j 运往三个方向的运量, 各方向的取法如下(其中的方向都是指在图4中的方向):i) 如果结点A j 的度为1, 说明从该结点运出的方向只有一个, D 1j 就是这个方向上的运量, 并且令D 2j =0, D 3j =0. 这样的结点有A 1, A 15, A 16, A 18, A 21. ii) 如果结点A j 的度为2, 说明从该结点运出的方向有两个, D 1j 表示向左方向的运量,D 2j 表示向右方向的运量, 并且令D 3j =0. 这样的结点有A 2, A 3, A 4, A 5, A 6, A 7, A 8, A 10, A 12, A 13, A 14, A 19, A 20. iii) 如果结点A j 的度为3, 则D 1j 表示向左方向的运量, D 2j 表示向右方向的运量, D 3j 表示向下的运量. 这样的结点有A 9, A 11, A 17. 用类似于前面建立模型的方法对问题三建立模型如下: ()72171521222111111m i n 1232i i ji j i j j j ji j i j j P xw x e D DD=====ψ=++⋅++∑∑∑∑∑ S.T.721115903iji j x===∑∑7,...,2,1,211=≤∑=i s xi j ij7,...,2,10500211211=≥⎪⎪⎭⎫⎝⎛-∑∑==i x x j ij j ij 21,...,2,1,32171==++∑=j xD D D i ijj j j14,...,2,1,1211==+++j A A D D j j j j 4213169=+D D ,10131711=+D D130121817=+D D ,190131917=+D D260122019=+D D ,100122120=+D D 115161618122320D D D D D ===== 1819202121333230D D D D D =====.15,...,12,10,8,...,1,03==j D jx ij ≥0, i =1,...,7, j =1, (21)求解以上模型得到表 5、表 6的购买和运输计划. 由此可知1ψ=910515, 2ψ=412089.55, 21222311(123)2j j j j e D D D =ψ=++∑=86087.15, 总费用123ψ=ψ+ψ+ψ=1408691.70.表 5 在图 2中从钢厂购买钢管然后运到铺设端点的计划钢厂购买量 购买费用 运输路径(在图 1中) 运量x ij 单价 运费 S 1800.0128000S 1B 6B 5B 4A 5334.5 38.0 12711.0 S 1B 6B 5A 6 200.0 20.5 4100.0 S 1B 7A 7 265.5 3.1 823.05 S 2800.0124000S 2B 8B 3B 1A 2179.0205.336748.7S 2 B 8B 3B 2A 3321.0190.261054.20S 2B 8A 8300.071.221360.00S 3 1000.0 155000S 3 B 9B 8B 3B 2A 380.0 200.2 16016.00 S 3 B 9B 8B 7 B 6B 5B 4A 5 214.0 121.0 25894.00 S 3B 9A 9 664.0 48.2 32004.80 S 3A 1642.044.01848.00S 4 0.0 0无0.00.0S 51613 249938S 5 B 11B 10B 9B 8B 3B 2A 3107.0 225.2 24096.40 S 5 B 11B 10B 9B 8B 7 B 6B 5A 5A 4 468.0 206.6 96688.80 S 5 B 11B 10B 9B 8B 7 B 6B 5A 5 67.0 146.0 9782.00 S 5 B 11B 10A 10 351.0 57.0 20007.00 S 5B 11A 11 415.0 33.0 13695.00 S 5A 17205.0 32.0 6560.00 S 61690.0 294000S 6 B 13B 18B 12A 12 86.0 45.0 3870.00 S 6B 13A 13 333.0 16.2 5394.6 S 6A 14621.0 11.0 6831.00 S 6B 15B 16A 15 165.0 28.0 4620.00 S 6B 13A 18 65.0 37.0 2405.00 S 6B 15B 13B 18A 19 70.0 44.0 3080.00 S 6A 20 250.0 10.0 2500.00 S 6A 21100.00.00.0S 7 0.0 0 无0.00.0合计59031ψ = 91051559032ψ=412089.55表 6 从铺设端点到铺设地点的计划j 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11D1j 0.0 104.0 226.0 468.0 606.0 184.5 189.5 125.0 505.0 321.0 270.0 D2j 0.0 75.0 282.0 0.0 9.5 15.5 76.0 175.0 159.0 30.0 145.0 D3j 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0j12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 合计D1j 75.0 199.0 286.0 165.0 42.0 10.0 65.0 60.0 250.0 100.0D2j 11.0 134.0 335.0 0.0 0.0 65.0 0.0 10.0 0.0 0.0D3j 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 130.0 0.0 0.0 0.0 0.0费用287.3 2877.85 9701.05 1361.25 88.2 1061.25 211.25 185 3125 500 86087.157模型评价本文所讨论的问题用线性规划来求解是无法得到满意结果的, 这主要是因为钢管从铺设端点运往铺设地点时的运费不与路长成线性关系, 为此我们建立二次规划模型, 为的是真实反映实际操作中的各种条件限制和费用, 结果是合理可用的. 虽然我们求解的只是一个特定的实际问题, 但其中的方法具有一般性, 容易推文到类似的问题中. 如果只是运输路线图的不同, 则只需修改相应数据就可以了.参考文献1. 张莹. 运筹学基础, 清华大学出版社, 1999.1: 52-53.2. 戴一奇等. 图论与代数结构, 清华大学出版社, 1995.8.3. 胡运权. 运筹学教程, 清华大学出版社, 1998.6: 238-239.4. 楼世博, 金晓龙, 李鸿祥. 图论及其应用, 人民邮电出版社, 1982.7: 437-439.A Continuum and Nonlinear Programming Model of Transport ProblemHe Dengxu1Cao Dunqian1Mo Yongxiang2Song Xueqiang1(1. Dept. of Math. and Computer Sciences, Guangxi University for Nationalities, Nanning, 530006, China2. Dept. of Computing Science and Applied Physics , Guilin University of Electronic Technology, Guilin,541004, China)Abstract: The classical problem of transport is asked to find the shortest path in base of knowing all kind paths' lengths and demand at destination. It only needs to set up linear programming model, but in practice all kind of factors such as cost of transport nonlinear with lengths of paths, not knowing demand and cost of goods, augment complexities of the problem. In this paper, we expound a approach how to solve a complex problem of transport through the problem of order and transport of steel and tube.Keyword:mathematical model, nonlinear programming, shortest path。
运筹学 运输问题
运筹学运输问题
运筹学是一门研究如何最优地规划和管理资源以实现预定目标的学科。
在运筹学中，运输问题是其中一个重要的应用领域。
运输问题主要关注如何有效地分配有限的资源到不同的需求点，以最小化总体运输成本或最大化资源利用效率。
这些资源可以是货物、人员或其他物资。
运输问题通常涉及到多个供应地点和多个需求地点之间的物流调度。
运输问题的目标是找到一种最佳的调度方案，使得满足所有需求的同时，总运输成本达到最小。
为了解决运输问题，可以采用线性规划、网络流和启发式算法等方法。
在运输问题中，需要确定以下要素：
1. 供应地点：确定从哪些地点提供资源，例如仓库或生产基地。
2. 需求地点：确定资源需要分配到哪些地点，例如客户或销售点。
3. 运输量：确定每个供应地点与需求地点之间的运输量。
4. 运输成本：确定不同供应地点与需求地点之间运输的成本，可以
包括距离、时间、燃料消耗等因素。
通过数学建模和优化技术，可以对这些要素进行量化和分析，以求得最佳的资源分配方案。
这样可以降低运输成本、提高物流效率，并且满足不同地点的需求。
总而言之，运输问题是运筹学中的一个重要领域，涉及到如何有效地规划和管理资源的物流调度。
通过数学建模和优化方法，可以找到最优的资源分配方案，从而实现成本最小化和效率最大化。
运输网络优化
模型选择与适用性分析
模型选择
选择合适的模型是运输网络优化的关键。需 要根据问题的性质、规模和复杂性，选择适 合的模型进行描述和求解。
适用性分析
对所选模型的适用性进行分析，确保其能够 准确反映实际运输网络的特性和需求。同时 ，需要考虑模型的计算效率和可扩展性，以 便在实际应用中取得良好的效果。
03
常见算法与技术
算法
常见的运输网络优化算法包括Dijkstra算法、Bellman-Ford算法、遗传算法、 模拟退火算法等。这些算法用于寻找满足特定条件的优化路径或解决方案。
技术
相关技术包括启发式方法、元启发式方法、混合整数规划等。这些技术用于处 理大规模、复杂的运输网络优化问题，提高算法的效率和可行性。
重要性及应用领域
重要性
随着物流行业的快速发展，运输网络优化对于提高物流效率、降低物流成本具有重要意义。
应用领域
广泛应用于物流、交通运输、快递、仓储等行业。
优化方法与技术
优化方法
包括线性规划、整数规划、动态规划等数学优化方法，以及启发式算法、模拟退火算法等智能优化算 法。
技术
涉及GIS地理信息系统、大数据分析、人工智能等技术，用于数据处理、模型构建和优化求解。
展望
随着物联网、大数据和人工智能等技 术的发展，未来运输网络将更加智能 化和高效化，实现更加精细化的管理 和运营。
对企业的建议与启示
建议
企业应重视运输网络优化，加大投入力度，引进先进技术和管理经验，提高运输 网络的效率和可靠性。
启示
企业应积极探索新的运输模式和合作方式，以适应市场变化和客户需求，提升自 身竞争力和市场地位。
02
运输网络模型与算法
基础模型与概念
(典型例题)《运筹学》运输问题
xj0，yij0，zij0，（i=1,┈,4；j=1,┈,5）
2008/11
--22--
--《Ⅵ 产量
新购 1 第一天 M 第二天 M 第三天 M
第四天 M
1 1 1 1 0 5200
0.2 0.1 0.1 0.1 0 1000
2008/11
--21--
建立模型：
--《运筹学》 运输问题--
设 xj—第j天使用新毛巾的数量；yij—第i天送第j天使用快洗 餐巾的数量；zij—第i天送第j天使用慢洗餐巾的数量；
Min z=∑xj+∑∑0.2yij+∑∑0.1zij
第一天：x1=1000
需 第二天：x2+y12=700
求 约
m1
xij b j (j 1,2,...,n)
i1
x 0 (i 1,...,m,m 1; j 1,...,n) ij
2008/11
--16--
--《运筹学》 运输问题--
销＞产问题单位运价表
产地销地 B1 B2 ┈
A1
C11 C12 ┈
A2
C21 C22 ┈
┊ ┆┊┈
Am Cm1 Cm2 ┈
2008/11
--8--
产销平衡表
--《运筹学》 运输问题--
单位运价表
B1 B2 B3 B4 产量
A1 (1) (2) 4 3 7 A2 3 (1) 1 (-1) 4 A3 (10) 6 (12) 3 9 销量 3 6 5 6
B1 B2 B3 B4 A1 3 11 3 10 A2 1 9 2 8 A3 7 4 10 5
Ⅰ Ⅱ
示。又如果生产出来的柴
Ⅲ
运筹学第三章 运输问题
销地 产地 A1
A2
B1
B2
B3
B4
产量
6
5 3
3 1
4
4
2
A3
销量 2
4 7
1 3
4
4 6
3
7 5
3
5
6
8
4 3 13
σ11=-3, σ12=-2,σ23=-4, σ31=-1,σ33=1, σ34=-1
销地 产地 A1
A2
B1
B2
B3
B4
产量
6
5 0
3 4
4
4
2
A3
销量 2
4 7
4
4 6
3
4 3
5
3
4
3
4 7
1
5
4 6
A3 销量 2
7
0
4
6
3
5
3
4
8
3 13
x11检验数为 6-4+8-6+4-4=4
销地 产地 A1
A2
B1
B2
B3
B4
产量
6 4 2 4
5
3
4
3
4 7
1
5
4 6
A3 销量 2
7
0
4
6
3
5
3
4
8
3 13
x12检验数为 5-4+8-6=3
销地 产地 A1
A2
B1
B2
B3
B4
产量
2、位势法 当运输问题变量的格数较多时，用闭 回路法计算检验数比较麻烦，而位势法比 较简便。 对于运输问题 minf=CX AX=b X≥0 设B为其一个可行基，则xij的检验数为 σ ij=CBB-1Pij-Cij
《管理运筹学》02-7运输问题
通过将问题分解为多个子问题，并应用分支定 界法等算法，可以找到满足所有约束条件的整 数解，实现运输资源的合理配置。
04运Leabharlann 问题的实际案例物资调拨案例
总结词
物资调拨案例是运输问题中常见的一种，主要涉及如何优化物资从供应地到需 求地的调配。
02
动态运输问题需要考虑运输过 程中的不确定性，如交通拥堵 、天气变化等，需要建立动态 优化模型来应对这些变化。
03
解决动态运输问题需要采用实 时优化算法，根据实际情况不 断调整运输计划，以实现最优 的运输效果。
多式联运问题
1
多式联运是指将不同运输方式组合起来完成一个 完整的运输任务，需要考虑不同运输方式之间的 衔接和配合。
生产计划案例
总结词
生产计划案例主要关注如何根据市场需求和生产能力制定合理的生产计划。
详细描述
生产计划案例需要考虑市场需求、产品特性、生产成本、生产周期等因素。通过 优化生产计划，可以提高生产效率、降低生产成本，并确保产品按时交付给客户 。
05
运输问题的扩展研究
动态运输问题
01
动态运输问题是指运输需求随 时间变化而变化的运输问题， 需要考虑时间因素对运输计划 的影响。
2
多式联运问题需要考虑不同运输方式的成本、时 间、能力等因素，需要建立多目标优化模型来平 衡这些因素。
3
解决多式联运问题需要采用混合整数规划或遗传 算法等算法，以实现多目标优化的效果。
逆向物流问题
1
逆向物流是指对废旧物品进行回收、处 理和再利用的物流活动，需要考虑废旧 物品的回收、分类、处理和再利用等环 节。
的情况。如果存在这些问题，就需要进行调整，直到找到最优解为止。
运筹学中的运输问题例题
运筹学中的运输问题例题运筹学中的运输问题例题在运筹学领域中，运输问题一直是研究的焦点之一。
它是一种经典的线性规划问题，旨在寻找最佳的物流运输方案，以最小化运输成本或最大化利润。
下面将给出几个运输问题的例题，以便更好地理解运筹学中的运输问题。
例题一：某物流公司需要将货物从A、B、C三个仓库分别运输到D、E、F 三个地点。
已知各仓库的存货数和各地点的需求量如下：仓库存货数地点需求量A 50 D 30B 70 E 40C 80 F 20已知运输成本矩阵如下：D E FA 5 7 9B 6 8 10C 4 6 8要求给出最佳的物流运输方案，并计算出最小的运输成本。
例题二：某公司有两个工厂，分别位于城市X和城市Y，需要向三个销售点分别运输产品。
已知两个工厂的产能和三个销售点的需求量如下：工厂产能销售点需求量X 60 P 18Y 80 Q 30R 22已知运输成本矩阵如下：P Q RX 6 5 9Y 8 7 6要求确定最佳的运输方案，并计算出最小的运输成本。
例题三：某电子产品制造商面临着将产品从几个工厂运输到多个供应商的问题。
已知各工厂的产能和各供应商的需求量如下：工厂产能供应商需求量F1 80 S1 30F2 60 S2 50F3 70 S3 20已知运输成本矩阵如下：S1 S2 S3F1 4 7 6F2 6 3 8F3 5 7 9寻找最优的运输方案，以满足供应商的需求，并计算出最小的运输成本。
以上是几个常见的运输问题例题，这些例题涵盖了不同规模和不同约束条件的情况，帮助我们了解运筹学中的运输问题的解决方法。
通过运用线性规划等方法，可以得出最佳的运输方案，实现物流运输的优化，减少成本，并提高效率。
运输问题不仅在物流行业中有广泛应用，也可在其他领域中找到类似的应用场景，例如生产调度、供应链管理等。
因此，掌握运输问题的解决方法对于提高运营效率和降低成本是非常重要的。
综上所述，通过解决运输问题例题，我们可以更深入地理解运筹学中的运输问题，并通过适当的模型和算法，找到最佳的运输方案，实现资源的合理配置和优化。
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4.1运输问题数学模型 4.2 运输问题的求解方法 4.3 对解进行检验及改进 4.4 运输问题的进一步讨论 4.5 应用问题举例
P&T 公司的配送问题案例
Figure 1 Location of the canneries and warehouses for the P&T Company problem.
B1
B2
B3
产量
A1
6
4
6
200
A2
6
5
5
300
销量
150
150
200
解： 产销平衡问题： 总产量 = 总销量 设 xij 为从产地Ai运往销地Bj的运输量，得到下列运输量表：
B1
B2
B3
产量
A1
x11
x12
x13
200
A2
x21
x22
x23
300
销量
150
150
200
Min s.t.
fxxxxxx12111i11123j=+++++≥6xxxxxx1122222012123+++===4(xx1x21125331i0520=00+==26310x0、0103+2；6xj21=+
464
S1
513
867 654
352 416
S2
791 690
995
(Alber t Lea1)00 S3
682 388
685
Dema nds Dest ina tions
D1 80 (Sacr amento) D2 65 (Sa lt Lake City)
D3 70 (Rapid City) D4 85 (Albuquerque)
5x22+ 5x23
1、2、3）
平衡运输问题数学模型特点
✓ 运输问题有有限最优解 ✓ 约束条件非常有规律，技术系数非 0 即 1
1 1 1
11 1
m行
1 1 1
1
1
1
1
1
1
n行
1
1
1
✓ 每个变量Xij对应的矩阵列中,除第i个元素和第m+j个 元素为1外,其余元素为零.每行有n个1，其余为0。
4.2 运输问题的求解方法
采用表上作业法，称为位势法
运算中涉及两个表：运费表和产销平衡表(分配表)
运费表
分配表
销地
运费
1 2 n
产地
1
c11 c12 c1n
2
c21 c22 c2n
m cm1 cm2 cmn
寻找初始可行解的方法
1、西北角法
从 x11开始分配，从西北向东南方向逐个分配 xij 的分配公式
xx2121211222 333
1xx11939293322233
x1332 111222
115111105550505
m n 7 有6个基变量
34
f (x)
cij xij 205
i1 j1
2、最低费用法
4.1 运输问题的一般数学模型
有m个产地生产某种物资，有n个地区需要该类物 资
令a1, a2, …, am表示各产地产量， b1, b2, …, bn表 示各销地的销量，ai=bj 称为产销平衡
设xij表示产地 i 运往销地 j 的物资量，wij表示对 应的单位运费，则我们有运输问题的数学模型如 下：
Salt Lake City 65 truckloads
Rapid City
70 truckloads
Albuquerque 85 truckloads
Total
300 truckloads
目前的运输计划
From \ To
Cannery Bellingham Eugene Albert Lea
Sacramento
✓ 所有结构的约束条件是等式约束 ✓ 各产地产量之和等于各销地销量之和
运输问题的解
✓ 解满足所有的约束条件; ✓ 基变量对应的约束方程组的系数列向量线性无关; ✓ 解中非零变量Xij的个数不能大于(m+n-1)个; ✓ 为使迭代求解顺利进行,基变量的个数在迭代过
程中保持为(m+n-1)个; ✓ 基变量的个数远小于决策变量的个数.
75 5 0
Warehouse
Salt Lake City
Rapid City Albuquerque
0
0
0
65
55
0
0
15
85
卡车的运输成本
From \ To
Cannery Bellingham Eugene Albert Lea
Sacramento
$464 352 995
Warehouse
Salt Lake City
可行解的特性 当且仅当供应量的总和等于需求量的总和时，运输问题 才有可行解。
成本假设 从任何一个出发地到任何一个目的地的货物配送成本和 所配送的数量成线性比例关系。 这个成本就等于配送的单位成本乘以所配送的数量。
网络表示
Supplie s
Sourc es
(Bellingham) 75 (E ugene) 125
Rapid City Albuquerque
$513 416 682
$654 690 388
$867 791 685
总的运输成本= 75($464) + 5($352) + 65($416) + 55($690) + 15($388) + 85($685) = $165,595
运输问题的特点
需求假设 每一个出发地都有一个固定的供应量，所有的供应量都 必须配送到目的地。 每一个目的地都有一个固定得需求量，整个需求量都必 须由出发地满足。
运输数据
Cannery Bellingham Eugene Albert Lea Total
Output 75 truckloads 125 truckloads 100 truckloads 300 truckloads
Warehouse
Allocation
Sacramento
80 truckloads
销地
产量
例2
运费
1 2 3 4 ai
产地
1 20 11 3 6 5
2 5 9 10 2 10
3 18 7 4 1 15 销量 bj 3 3 12 12
例4.2.1 西北角法
运运运量量量销销销地地地 111
产产产地地地
111
333
22
33
销销销量量量 bbjj 33
产产产量量量
222 333 444 aaai ii
运输问题有mn个决策变量，m+n 个约束条件。 由于产销平衡条件，只有m+n–1个相互独立， 因此，运输问题的基变量只有m+n–1 个
例1某公司从两个产地A1、A2将物品运往三个销地B1、B2、B3，各产地的 产量、各销地的销量和各产地运往各销地每件物品的运费如下表所示，
问：应如何调运可使总运输费用最小？