数学建模中优化模型之运输问题详解
数学建模之运输问题
数学建模之运输问题1. 引言运输问题是指在给定产地到销售地之间有若干个供应点和需求点的情况下，如何安排运输使得总运输成本最低。
这是一个经济管理中的经典问题，也是数学建模中常见的一个研究方向。
2. 问题描述假设有n个供应点和m个需求点，其中每个供应点的供应量和每个需求点的需求量已知，并且每个供应点到每个需求点的运输成本也已知。
我们的目标是确定供应点到需求点的运输量，使得总运输成本最小。
3. 模型建立为了建立数学模型，我们可以引入一个矩阵来表示供应点和需求点之间的运输成本。
设C为一个n行m列的矩阵，其中Cij表示供应点i到需求点j的运输成本。
我们需要引入决策变量X，其中Xij表示从供应点i到需求点j的运输量。
那么，目标函数可以定义为最小化总运输成本，即$$\min \sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{m} C_{ij} X_{ij}$$同时，我们需要保证供应点和需求点的供需平衡，即满足每个供应点的供应量和每个需求点的需求量。
这可以表示为以下约束条件：1. 对于每个供应点i，有 $\sum_{j=1}^{m} X_{ij} = s_i$，其中$s_i$ 表示供应点i的供应量。
2. 对于每个需求点j，有 $\sum_{i=1}^{n} X_{ij} = d_j$，其中$d_j$ 表示需求点j的需求量。
进一步地，我们需要确保运输量的非负性，即$X_{ij} \geq 0$。
4. 求解方法对于较小规模的问题，我们可以使用线性规划方法求解运输问题。
线性规划是一种数学优化方法，可以在满足一定约束条件的前提下，使得目标函数达到最小值。
对于大规模的问题，我们可以使用近似算法或启发式算法进行求解。
这些算法可以快速找到较好的解，但不能保证找到最优解。
常用的算法包括模拟退火算法、遗传算法等。
5. 应用领域运输问题在许多实际应用中都有广泛的应用。
例如，在物流管理中，优化运输方案可以减少运输成本、提高运输效率；在生产计划中，合理安排运输可以确保供应链的稳定性和高效性。
运输问题模型
。
目标可以减少，说明当前
解不是最优解
闭回路法调整
选x22进基，找到闭回路
x12 5-
x14 1 +
x22 +
x24 5-
X22最多增加5
x12 5-5 x22 + 5
x14 1 +5 x24 5-5
X22进基，x12和x24经过调整同时变成 零。但是要注意只有一个变量出基。
例如：令x12出基
B1
B2
B3
B4
产量
A1 A2 A3 销量
× 2
3 1
× 8
3 ,0
×
9
10
×
3
4
4
4
2
8
4，0
79 2 5，2 5 7，3 6
B1
B2
B3
B4
产量
A1 A2 A3 销量
×
×
2
9
10
7
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×
×
2
1
3
4
2
×
4
8
4
2
5
3 ,0
8
4，0 6,4
9 5,2,0 7，3
B1
B2
B3
B4
产量
A1 A2 A3 销量
7
-1
2
5
1
3
4
2
7
3
4
3
8
4
2
5
3 ,0
8,5 4，0 6,4,0
9,5 5,2,0 7,3,0
重新计算检验数
A1 u1=0
A2 u2=-5
A3 u3=-5 销量
B1
大学竞赛数学建模钢管订购和运输优化模型
1）将图1转换为一系列以单位钢管的运输费用为权的赋权图. 所以可先求出钢厂 Si
到铁路与公路相交点 b j 的最短路径.如图3
30
290
320 160 160 1200 690 720 1100 202 20 1150 306 450 80 195 462 520 690 170 88 70 70
5.假设钢管在铁路运输路程超过1000km,铁路每增加1 至100km,1单位钢管运输的运价增至5万元.
6.订购的钢管数量刚好等于需要铺设的钢管数量
二.基本假设
7.销售价和运输价不受市场价格变化的影响
三. 符号说明
第 第 个钢厂, 个钢厂的最大产量， 个点，
输送天然气的主管道上的第 第 钢厂 在点
86
333
621
165
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
比较好的方法：引入0-1变量
fi表示钢厂i是否使用；xij是从钢厂i运到节点j的钢管量 yj是从节点j向左铺设的钢管量；zj是向右铺设的钢管量
0.1 15 Min Aij xij [(1 y j ) y j (1 z j ) z j ] i, j 2 j 1 s.t. 500 f i xij si f i ,
非线性规划模型可用LINGO软件包或MATLAB软件包来求解，但这些软件包不能 直接处理约束条件：
可用分支定界法将此条件改为 模型变为
1）不让钢厂S7生产，模型变为:
计算结果： f1 1278632（万元）（此时每个钢厂的产量都满足条件） 2）要求钢厂S7 产量不小于500个单位，模型变为:
数学建模在物流系统中的应用与优化
数学建模在物流系统中的应用与优化随着全球经济的快速发展，物流行业成为国家经济发力点之一。
在物流系统中，如何实现高效的运输和配送，提高物流效率，成为了一个重要的问题。
数学建模作为一种重要的工具，在物流系统中发挥着重要的作用。
本文将探讨数学建模在物流系统中的应用与优化，旨在寻找提高物流效率的方法。
一、运输路径优化物流系统中的一个重要问题是如何找到最优的运输路径，以最小化运输成本和时间。
在解决这个问题时，数学建模可以帮助确定最佳路径和运输策略。
首先，需要考虑到不同的因素，如运输距离、道路状况、货物量等。
这些因素可以被表示为数学模型，通过对不同因素的权衡和优化，可以得到最佳的运输路径。
其次，可以采用图论的方法来建立运输网络模型。
在这个模型中，节点可以表示不同的货物来源地或目的地，边表示不同的运输路径。
通过对图论模型的分析和求解，可以找到最短路径或最优路径。
最后，可以使用优化算法，如线性规划、整数规划等，对运输路径进行优化。
通过设定目标函数和约束条件，可以找到最佳的运输路径，并最大化物流系统的效益。
二、库存管理优化物流系统中的另一个重要问题是如何优化库存管理，以确保货物的正常供应并减少库存成本。
数学建模可以帮助分析和优化库存管理策略。
首先，可以使用随机过程模型来描述货物的需求情况。
通过对历史需求数据的分析，可以建立概率模型，预测未来的需求情况。
基于这个模型，可以制定合理的库存水平，以满足需求但不过度储备。
其次，可以采用优化模型来决定采购和补货的时机和数量。
通过考虑供应商的交货时间、库存成本和销售需求等因素，可以建立数学模型，并使用优化算法来求解最优的采购和补货策略。
最后，数学建模还可以帮助优化仓库布局和货物存储策略。
通过建立物流网络模型和空间优化模型，可以确定最佳仓库位置和货物存储方案，以最大化物流效率。
三、交通流量优化在物流系统中，交通流量的优化对于减少拥堵和提高运输效率至关重要。
数学建模可以帮助分析和优化交通流量。
数学建模运输问题
有时候把两个表写在一起:
销地 产地 1 2 . . . m 销量
销地 产地 1 2 . . . m
1
2
…
n
产 量 a1 a2 . . . am 销地 产地 1 1 2 … n 产 量 a1 a2 . . . am
b1
1
b2
2
…
…
bn
n
2 . . . m
销量
c11 c12 … c1n c21 c22 … c2n . . . . . . . . . cm1 cm2 … cmn b1 b2 … bn
B2 10 4 5 6 14 6 5 3 4 3+4 B3 B4’ B4’’ 产量 （万台） 10 12 10 10
4
4 2
6
4
Global optimal solution found at iteration: 8 Objective value: 172.0000
销地 厂家 1 2
1
2
3
4
销地 厂家 A1 A2 A3 最高需求（万台）
31
x
32
x x x x x
33
x 2 3 4 6
34
7
x 11 x x 12 x x 13 x x 14 x x
ij
21
31
22
32
23
33
LINGO求解
24
34
0
设有三个电视机厂供应四个地区某种型号的电视机。 各厂家的年产量、 销地 各地区的年销售量以及 B1 B2 B3 厂家 各地区的单位运价 A1 6 3 12 如右表， A2 4 3 9 试求出总的运费最省的 A3 9 10 13 6 14 0 最低需求（万台） 电视机调拨方案。
专题二运输规划问题建模
27
销地 产地 A1 A2 A3 销量 销地 产地 A1 A2
目标函数表示运输总费用，要求其极小化； 第一个约束条件的意义是由各产地运往某一销地的物品数 量之和等于该销地的销量；
第二个约束条件表示由某一产地运往销地的物品数量之和 等于该产地的产量；
第三个约束条件表示变量的非负条件。
5
设有三个电视机厂。生产同一种彩色电视机， 日生产能力分别是：50，60，50，供应四个 门市部，日销售量分别是：40，40，60，20 台，从各分厂运往个门市部的运费如表所示， 试安排一个运费最低的运输计划。
门市部 工厂
1 2 3 需求总计 1 9 7 6 40 2 12 3 5 40 3 9 7 9 60 4 6 7 11 20 供应总计 50 60 50
6
供求平衡的运输问题：供：50+60+50=160
需：40+40+60+20=160
数学模型
min z
i1
3
4
j1
c ij x ij
1 3 1 7 2
2 11 9 4 6
3 3 2 10 5
4 10 8 5 7
供应 7 4 9
25
（2）最优解的判别 判别的方法是计算非基变量即空格的检验数。当所有的非基 变量检验数全都大于等于 0 时为最优解。 ① 方法一：闭回路法
在给出调运方案的计算表上，从每一空格出发， 找一条闭回路。 它是以空格为起点，用水平线或垂直线向前划， 每碰到一数字格就转 90 度后继续前进。直到回到 起始空格处为止，(A1 , B1) 空格与(A1 , B4) 、 (A2 , B4) 和 (A2 , B1) 三个有数字的格构成一闭回路，如 此等等。 每个空格都存在唯一的闭回路。
全国大学生数学建模竞赛——运输问题(参考答案)
2003高教社杯全国大学生数学建模竞赛B 题参考答案注意：以下答案是命题人给出的，仅供参考。
各评阅组应根据对题目的理解及学生的解答，自主地进行评阅。
问题分析：本题目与典型的运输问题明显有以下不同： 1． 运输矿石与岩石两种物资； 2． 产量大于销量的不平衡运输； 3． 在品位约束下矿石要搭配运输； 4． 产地、销地均有单位时间的流量限制； 5． 运输车辆每次都是满载，154吨/车次； 6． 铲位数多于铲车数意味着最优的选择不多于7个产地； 7． 最后求出各条路线上的派出车辆数及安排。
运输问题对应着线性规划，以上第1、2、3、4条可通过变量设计、调整约束条件实现；第5条使其变为整数线性规划；第6条用线性模型实现的一种办法，是从120710 C 个整数规划中取最优的即得到最佳物流；对第7条由最佳物流算出各条路线上的最少派出车辆数（整数），再给出具体安排即完成全部计算。
对于这个实际问题，要求快速算法，计算含50个变量的整数规划比较困难。
另外，这是一个二层规划，第二层是组合优化，如果求最优解计算量较大，现成的各种算法都无能为力。
于是问题变为找一个寻求近优解的近似解法，例如可用启发式方法求解。
调用120次整数规划可用三种方法避免：（1）先不考虑电铲数量约束运行整数线性规划，再对解中运量最少的几个铲位进行筛选；（2）在整数线性规划的铲车约束中调用sign 函数来实现；（3）增加10个0－1变量来标志各个铲位是否有产量。
这是一个多目标规划，第一问的目标有两层：第一层是总运量（吨公里）最小，第二层是出动卡车数最少，从而实现运输成本最小。
第二问的目标有：岩石产量最大；矿石产量最大；运量最小，三者的重要性应按此序。
合理的假设主要有：1. 卡车在一个班次中不应发生等待或熄火后再启动的情况；2. 在铲位或卸点处因两条路线（及以上）造成的冲突时，只要平均时间能完成任务即可，不进行排时讨论；3. 空载与重载的速度都是28km/h ，耗油相差却很大，因此总运量只考虑重载运量；4. 卡车可提前退出系统。
数学建模中优化模型之运输问题讲解
6
5 3
9
10
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v1=10
v2=6
v3=4
单位费用变化：5－(4＋(－4)＝5
4 3
u1=-4
7 u2=-2
6
13 u3=6
v4=0
对偶变量法(10)
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v1=10
v2=6
v3=4
单位费用变化：3－(0＋(－4)＝7
4
3 u1=-4
7
7 u2=-2
6
6
13 u3=6
v4=0
对偶变量法(6)
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v1=10
v2=6
u2+v1=c21 v1=10
v3=4
4 3
u1
7 u2=-2
6
13 u3=6
v4=0
对偶变量法(7)
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v1=10
v2=6
u1+v1=c11 u1=-4
运输问题
运输问题的表示 网络图、线性规划模型、运输表 初始基础可行解 西北角法、最小元素法 求解方法 闭回路法、对偶变量法 特殊形式运输问题 不平衡问题、转运问题
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单位费用变化：5＋8－6－2＝5
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闭回路法(3)
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单位费用变化：3＋10＋8－6－2－6＝7
闭回路法(4)
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单位费用变化：7＋10－6－2＝9
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闭回路法(5)
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单位费用变化：2+5－8－10＝－11
运输问题
运输问题的表示 网络图、线性规划模型、运输表 初始基础可行解 西北角法、最小元素法 求解方法 闭回路法、对偶变量法 特殊形式运输问题 不平衡问题、转运问题
运输问题网络图
供应地
运价
6
s1=14 1 7
5 3
供
8
应 量
s2=27 2
4 2
7
5
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s3=19 3 10
6
需求地 1 d1=22
2 d2=13
v2=6
v3=4
单位费用变化：5－(10＋6)＝－11
4
3 u1=-4
7
7
9 u2=-2
6
13 u3=6
v4=0
对偶变量法(13)
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-3
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v1=10
v2=6
v3=4
单位费用变化：9－(6＋6)＝－3
4
3 u1=-4
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9 u2=-2
6
13 u3=6
13 u3=6
v4=0
对偶变量法(11)
1
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4
2
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5 3
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v1=10
v2=6
v3=4
单位费用变化：7－(0＋(－2)＝9
4
3 u1=-4
7
7
9 u2=-2
6
13 u3=6
v4=0
对偶变量法(12)
1
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3
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1
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v1=10
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5 3
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v1=10
v2=6
v3=4
单位费用变化：5－(4＋(－4)＝5
4 3
u1=-4
7 u2=-2
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v4=0
对偶变量法(10)
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v1=10
v2=6
v3=4
单位费用变化：3－(0＋(－4)＝7
4
3 u1=-4
7
7 u2=-2
6
v3=4
4 3
u1=-4
7 u2=-2
6
13 u3=6
v4=0
对偶变量法(8)
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v1=10
v2=6
v3=4
单位费用变化：7－(6＋(－4)＝5
4 3
u1=-4
7 u2=-2
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13 u3=6
v4=0
对偶变量法(9)
1
2
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7
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5
5
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2
8
13
min z =
xij 0
m i 1
c x n
j1 ij ij
s.t.
m i 1
xij
ai ,
j 1,2,, n
x n j1 ij
bi ,
i
1,2,, m
运输问题的表格表示——运输表
需求地 供应地
1
2
3
需求量
1
6
x11
8
x21
5
x31
22
2
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x12
4
x22
9
x32
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x13
2
x23
v4=0
对偶变量法(2)
1
2
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2
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5
9
3
v1
v2
u3+v4=c34 u3=6
3 5
2
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6
v3
4 3
u1
7 u2
6
13 u3=6
v4=0
对偶变量法(3)
1
2
3
6
7
5
1
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8
4
2
2
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10
6
v1
v2
u3+v3=c33 v3=4
v3=4
4 3
u1
7 u2
6
13 u3=6
需
求
量
3 d3=12
4 d4=13
运输问题线性规划模型
min z 6x11 7x12 5x13 3x14 8x 21 4x 22 2x 23 7x 24 5x 31 9x 32 10x 33 6x 34
s.t. x11 x12 x13 x14
14
供 应
x 21 x 22 x 23 x 24
3
13 14 1 0
8
2
2
4
2
7
13
12
27 15 2 0
5
9
10
3
19
6
19 0
22
13
12
13
3 2
0
0
0
0
空格改进指数计算—闭回路法(1)
1
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3
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5
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5
8
4
2
2
8
13
6
5 3
9
10
6
22
13
12
单位费用变化：7＋8－6－4＝5
4 3
ห้องสมุดไป่ตู้14
7 27
6 19
13
13
闭回路法(2)
1
x31 x32 x33 x34
27 地 约
19 束
x11
x21
x31
x12
x 22
x32
x13
x 23
x33
x14
x 24
x34
22
需
13 求
12
地 约
13 束
x11 x12 x13 x14 x 21 x 22 x 23 x 24 x 31 x32 x33 x 34
0
一般情形：有m 各供应地，n个 需求地，则有
闭回路法(6)
1
2
3
6
7
5
1
14
5
5
8
4
2
2
8
13
6
5
9
10
3
－11
－3
6
22
13
12
单位费用变化：2+9－4－10＝－3
4
3
7 14
7
9 27
6 19
13
13
空格检验数计算—对偶变量法(1)
1 2 3
v4=0
1 6
14
8
8
5
v1
2
3
7
5
4
13
9
v2