运输问题的数学模型详细讲解,有案例+多种方法
运筹学运输模型
这里对表3—6中的基可行解进行转换。 由于σ23 =－2<0，故以x23 为进基变量，并以x23 为第 一个顶点作闭回路，如表3—10。
销地 产地 A1 3 B1 20 25 20 15 B2 B3 5 0 B4 25 4 20 3 10 8 20 15 9 25 30 产量 50
7
6
A2
5 4 20 3
x11 x12 x1n x21 x22 x2n xm1 xm2 xmn
1 1 ... 1 1 1 1 1 ... 1 1 1 ... 1 1 1 1 1 1 1 1 m行 n行
100 100
销 地产地 A1 3
B1 20 7
B2 × 6
B3 5 4
B4 25
产量 50
A2
A3
20 2
× 8 3
× 4
20
× 3
10
× 3
× 9
20
8
30
销量
40
20
15
25
（二）最优解的判定(optimality testing)
– 最优解的判定，通常有两种方法，即闭回路法和位势法。 1．闭回路法(closed path method) – 在表3—6所描述的调运表中，任一非基可变量都可以 作出这样的闭回路：该闭回路以选定的非基变量为第一 个顶点，其余的顶点都是基变量。可以证明，对于任一 非基变量，这样的闭回路只有唯一一条。 – 在这样的闭回路上，可以对调运方案进行调整，而能使 调运方案仍然满足所有约束条件，即满足产销平衡的要 求。 – 在闭回路上，进行一个单位的运量调整所得目标函数的 变化即为该非基变量的检验数。若所有非基变量的检验 数均大等于零，则问题得到最优解.
运筹学运输问题解析
2. 典型的运输问题：
cij
a1 a2 …
am
A1
A2 … Am
B1
b1
B2
…
b2 … bn
Bn
求最小运费的运输方案
销地 产地 A1
B1
c11 c21
B2
c12 c22
…
Bn
c1n c2n
产量
a1
A2
… Am
a2
…
cm1 b1 b2
cm2 …
cmn bn
am
销量
销地 产地
B1
B2
…
Bn
产量
A1
ij
j =1, 2, …,n
xij 0
产销平衡问题为等式约束。 产销平衡问题中各产地产量之和与各销 售地点的销量之和相等。
二、运输问题数学模型的特点： 1. 运输问题一定有最优解；
2. 运输问题约束条件的系数矩阵：
x11 +x12+x13 x11
x12
xij 0
x21+x22+x23 + x21 +x22 x13 +x23
min Z cij xij
i 1 j 1
2
3
x
j 1
2
3
ij
ai
bj
i=1,2
x
i 1
ij
j =1, 2, 3
xij 0
典型运输问题的数学模型
min Z cij xij
i 1 j 1
m
n
x
x
i 1
n
j 1 m
ij
ai
bj
i=1,2,…,m
专题二运输规划问题建模
27
销地 产地 A1 A2 A3 销量 销地 产地 A1 A2
目标函数表示运输总费用，要求其极小化； 第一个约束条件的意义是由各产地运往某一销地的物品数 量之和等于该销地的销量；
第二个约束条件表示由某一产地运往销地的物品数量之和 等于该产地的产量；
第三个约束条件表示变量的非负条件。
5
设有三个电视机厂。生产同一种彩色电视机， 日生产能力分别是：50，60，50，供应四个 门市部，日销售量分别是：40，40，60，20 台，从各分厂运往个门市部的运费如表所示， 试安排一个运费最低的运输计划。
门市部 工厂
1 2 3 需求总计 1 9 7 6 40 2 12 3 5 40 3 9 7 9 60 4 6 7 11 20 供应总计 50 60 50
6
供求平衡的运输问题：供：50+60+50=160
需：40+40+60+20=160
数学模型
min z
i1
3
4
j1
c ij x ij
1 3 1 7 2
2 11 9 4 6
3 3 2 10 5
4 10 8 5 7
供应 7 4 9
25
（2）最优解的判别 判别的方法是计算非基变量即空格的检验数。当所有的非基 变量检验数全都大于等于 0 时为最优解。 ① 方法一：闭回路法
在给出调运方案的计算表上，从每一空格出发， 找一条闭回路。 它是以空格为起点，用水平线或垂直线向前划， 每碰到一数字格就转 90 度后继续前进。直到回到 起始空格处为止，(A1 , B1) 空格与(A1 , B4) 、 (A2 , B4) 和 (A2 , B1) 三个有数字的格构成一闭回路，如 此等等。 每个空格都存在唯一的闭回路。
北交大交通运输学院《管理运筹学》知识点总结与例题讲解第4章 运输问题
第四章运输问题4.1 运输问题的数学模型4.1.1 运输问题的模型本章研究物资的运输调度问题，其典型情况是：设某种物品有m个产地，A1，A2，…，A m；各产地的产量分别是a1，a2，…，a m；有n个销地B1，B2，…，B n；各销地的销量分别是b1，b2，…，b n；假定从产地向销地运输单位物品的运价是c ij；问：怎样调运这些物品才能使总运费最小?设变量ij x为第i个产地运往第j个销地的产品数量。
为直观起见，可将产品产地、销地的产销量以及运输物品的单价为一个汇总表，如表4-1所示。
表4-11A2A1B2BmAnB"#11c12c1n c2ncmnc2mc1mc21c22c11x12x1n x21x22x2n x1mx2m x mn x1a2ama1b2b n b"#如果运输问题的总产量等于其总销量，即有∑∑===njjmiiba11(4-1)则称该运输问题为产销平衡运输问题；反之，称为产销不平衡运输问题。
产销平衡运输问题的数学模型可表示如下：m nij iji1i1nij ij1mij ji1ijmin z c xx a,i1,2,,mx b,j1,2,,nx0,i1,2,,m,j1,2,,n=====⎧==⎪⎪⎨⎪==⎪⎩≥==∑∑∑∑""""目标函数约束条件决策变量(4-2)其中，约束条件右侧常数a i，和b j，满足总量平衡条件。
在模型(4-2)中，目标函数表示运输总费用极小化；约束条件前m个约束条件的意义是：由某一产地运往各个销地的物品数量之和等于该产地的产量；中间n个约束条件是指由各产地运往某一销地的物品数量之和等于该销地的销量；后m×n个约束条件为变量非负条件。
运输问题模型是线性规划问题特例。
因而可用单纯形法求解，但是，需要引进很多个人工变量，计算量大而复杂。
应该寻求更简便的、更好的解法。
例4.1某公司经销甲产品。
第三章运输问题-
13 12
7 27
5
9
10
6
A3
19
19
销量 22 13 12 13
二、表上作业法 第三章
2、解的最优性检验－－闭回路法 思路：要判定运输问题的某个解是否为最优解，可
仿照一般单纯形法，检验这个解的各非基变量(对应于运 输表中的空格)的检验数，若有某空格(Ai,Bj)的检验数为 负，说明将xij变为基变量将使运输费用减少，故当前这 个解不是最优解。若所有空格的检验数全非负，则不管 怎样变换解均不能使运输费用降低，即目标函数值已无 法改进，这个解就是最优解。
3
9
A2
64
10
8
5
11
6
A3
8
14
22
销量
8
14
12
14
48
所以，初始基可行解为：……目标函数值Z＝372
二、表上作业法 第三章
练习
销地
产地
B1
6 A1 14
8 A2 8
5 A3
销量 22
B2 7
4 13
9
13
B3 B4 产量
5
3
14
2 6
7 27106来自19613
12 13
二、表上作业法 第三章
i1
j1
ui vj cij
i 1,2,...m
j 1,2,...n ui , vj符号不限
考虑原问题变量xj的检验数为：
j cj zj cj C B B 1 P j cj Yj P
Pij ei emj
二、表上作业法
则运输问题变量xij的检验数为： ij cij zij cij YPij
数学建模中优化模型之运输问题详解
2
3
6
7
5
1 14
5
5
8
4
2
2 8
13
6
5 3
9
10
6
22
13
12
单位费用变化：5＋8－6－2＝5
4 3
14
7 27
6 19
13
13
闭回路法(3)
1
2
3
4
6
7
5
3
1 14
5
5
7 14
8
4
2
7
2 8
13
6
27
5 3
9
10
6
19
6
13
22
13
12
13
单位费用变化：3＋10＋8－6－2－6＝7
闭回路法(4)
1
2
3
6
7
5
1
14
5
5
8
4
2
2
8
13
6
5 3
9
10
6
22
13
12
单位费用变化：7＋10－6－2＝9
4
3
7 14
7
9 27
6
19 13
13
闭回路法(5)
1
2
3
4
6
7
5
3
1
14
5
5
7 14
8
4
2
7
2 8
13
6
9 27
5
9
3
－11
10
6
6 19
13
22
13
运筹学：运输问题
运输问题运输问题（transportation problem）一般是研究把某种商品从若干个产地运至若干个销地而使总运费最小的一类问题。
然而从更广义上讲，运输问题是具有一定模型特征的线性规划问题。
它不仅可以用来求解商品的调运问题，还可以解决诸多非商品调运问题。
运输问题是一种特殊的线性规划问题，由于其技术系数矩阵具有特殊的结构，这就有可能找到比一般单纯形法更简便高效的求解方法，这正是单独研究运输问题的目的所在。
§1运输问题的数学模型[例4-1] 某公司经营某种产品，该公司下设A、B、C三个生产厂，甲、乙、丙、丁四个销售点。
公司每天把三个工厂生产的产品分别运往四个销售点，由于各工厂到各销售点的路程不同，所以单位产品的运费也就不同案。
各工厂每日的产量、各销售点每日的销量，以及从各工厂到各销售点单位产品的运价如表4-1所示。
问该公司应如何调运产品，在满足各销售点需要的前提下，使总运费最小。
表4-1设代表从第个产地到第个销地的运输量（；），用代表从第个产地到第个销地的运价，于是可构造如下数学模型：（；运出的商品总量等于其产量）（；运来的商品总量等于其销量）通过该引例的数学模型，我们可以得出运输问题是一种特殊的线性规划问题的结论，其特殊性就在于技术系数矩阵是由“1”和“0”两个元素构成的。
将该引例的数学模型做一般性推广，即可得到有个产地、个销地的运输问题的一般模型。
注意：在此仅限于探讨总产量等于总销量的产销平衡运输问题，而产销不平衡运输问题将在本章的后续内容中探讨。
（；运出的商品总量等于其产量）（；运来的商品总量等于其销量）供应约束确保从任何一个产地运出的商品等于其产量，需求约束保证运至任何一个销地的商品等于其需求。
除非负约束外，运输问题约束条件的个数是产地与销地的数量和，即；而决策变量个数是二者的积，即。
由于在这个约束条件中，隐含着一个总产量等于总销量的关系式，所以相互独立的约束条件的个数是个。
运筹学 运输问题例题数学建模
运筹学运输问题例题数学建模运筹学是一门研究如何在有限的资源和多种约束条件下，寻求最优或近似最优解的科学。
运输问题是运筹学中的一个重要分支，它主要研究如何把某种商品从若干个产地运至若干个销地，使总的运费或总的运输时间最小。
本文将介绍运输问题的数学建模方法，以及用表上作业法求解运输问题的步骤和技巧。
同时，本文还将给出几个典型的运输问题的例题，帮助读者理解和掌握运输问题的求解过程。
运输问题的数学建模运输问题可以用以下的数学模型来描述：设有m 个产地（或供应地），分别记为A 1,A 2,…,A m ，每个产地i 的产量（或供应量）为a i ；有n 个销地（或需求地），分别记为B 1,B 2,…,B n ，每个销地j 的需求量为b j ；从产地i 到销地j 的单位运费（或单位运输时间）为c ij ；用x ij 表示从产地i 到销地j 的运量，则运输问题可以归结为以下的线性规划问题：其中，目标函数表示总的运费或总的运输时间，约束条件表示每个产地的供应量必须等于其产量，每个销地的需求量必须等于其销量，以及每条运输路线的运量不能为负数。
在实际问题中，可能出现以下几种情况：产销平衡：即∑m i =1a i =∑n j =1b j ，也就是说总的供应量等于总的需求量。
这种情况下，上述数学模型可以直接应用。
产大于销：即∑m i =1a i >∑n j =1b j ，也就是说总的供应量大于总的需求量。
这种情况下，可以增加一个虚拟的销地，其需求量等于供需差额，且其与各个产地的单位运费为零。
这样就可以把问题转化为一个产销平衡的问题。
产小于销：即∑m i =1a i <∑n j =1b j ，也就是说总的供应量小于总的需求量。
这种情况下，可以增加一个虚拟的产地，其产量等于供需差额，且其与各个销地的单位运费为零。
这样也可以把问题转化为一个产销平衡的问题。
弹性需求：即某些销地对商品的需求量不是固定不变的，而是随着商品价格或其他因素而变化。
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m ( 3 1) x ij b j j 1,2, , n i 1 n s .t . x ij a i i 1,2, , m j 1 x 0 ij m n 其中，ai和bj满足： ai b j 称为产销平衡条件。
2、流向图
流向图:
在交通图上表示物资流向的图被称为流向 图。在图中每个发点吨数全部运完，每个 收点所需吨数均已满足。
2、流向图
发点A到收点B的 运输量，用括号 括起。
2、流向图
关于流向图的一些规定 箭头必须表示物资运输的方向 流量写在箭头的旁边，加小括号。 流向不能直接跨越路线上的收点、发点、 交叉点 任何一段弧上最多只能显示一条流向！即 同一段弧上的多条流向必须合并。 除端点外，任何点都可以流进和流出
2 4 6 4 B4
（2）
B5
4 2
8 B3
（8）
4
B2
（8） （1）
4 6 7 A1
3
5 8 A2
图 4-10
第三步：补上丢掉的边，检查有无迂回。 圈 B5B4B3A2 的 圈 长 =4+4+5+8=21, 内 圈长= 4+4+5=13>21/2，有迂回，所 以流向图不是最优流向图。需要调整。
约束方程式中共mn个变量，m+n个约束。
上述模型是一个线性规划问题。但是其结构很特殊， 特点如下： 1.变量多（mn个），但结构简单。
x11 x12 x1n x 21 x 22 x 2 n x m 1 x m 2 x mn 1 1 1 1 1 1 技术系数矩阵 A 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 m行 n行
(10) 甲 20
(20) 10 乙
10
10
10
乙
(10)
图 5-3
图 5-4
（2）不合理的现象2：迂回
（2）迂回：当收点与发点之间的运输线 路有两条或两条以上时（即交通图成圈）， 如果运送的货物不是走最短线路，则称这 种运输为迂回运输。 注：当交通图成圈时，如果流向图中内圈 流向的总长（简称内圈长）或外圈流向的 总长（简称外圈长）超过整个圈长的一半 就称为迂回运输。例如某物资流向图如图 4-6、4-7所示。
例3
某公司从三个产地A1、A2、A3 将物品运往四个销
地B1、B2、B3、B4，各产地的产量、各销地的销量和各产地 运往各销地每件物品的运费如下表3-4所示
销地 产地 A1 A2 A3 销量 B1 3 1 7 3 B2 11 9 4 6 B3 3 2 10 5 B4 10 8 5 6 产量 7 4 9 20（产销平 衡）
（一）编制交通图和流向图
• 交通图
• 反映发点（产地）与收地（销地）及交通线路及其 距离组成的图形。
• 发点用“○”表示，发出货物的数量记在“○”之 内（单位：吨） • 收地（销地）用“□”表示，收取货物的数量记在 “□”之内（单位：吨） • 两点之间的线路长度记在交通线路的旁边。
1、交通图
1、交通图
i 1 j 1
将约束方程式展开可得
a1 x11 x1n x21 x2 n a2 xm1 xmn am x21 xm1 b1 x11 x12 x22 xm 2 b2 x1n x2 n xmn bn
5 7
B1
A3 3 6 4 B4
2 4
B5
4 2
8 B3 5 8 A2
4
B2 3 7 A1 6
4
第二步：在无圈的交通图上作流向图。 原则：先外后内，先端点后中间点， 要求每个边都有流向。当某条边无流 向时，必须填上运输量为零的虚流向。
第二步：作流向图
5 7
B1
（4） （3）
A3 3
（5）
1、运输问题的一般提法
运输问题的一般提法是：设某种物资有m个产地和n个
销地。产地Ai的产量为 ai (i 1,2,, m) ；销地Bj的销 量 bj ( j 1,2,, n)。从第i个产地向第j个销地运输每单位物资 的运价为Cij。 这就是由多个产地供应多个销地的单品种物资运输问
题。问如何调运这些物资才能使总运费达到最小。
该系数矩阵中每列只有两个元素为1，其余的都为零。
2.m+n个约束中有一个是多余的（因为其间含有一个平衡关系 式 ） ai b j 所以R(A)=m+n-1，即解的mn个变量中基变量为m+n-1个。
二、图上作业法
在运输中，若使用同一种运输工具，则运费的 计算往往仅与运送物资的多少及里程有关。因 此，在求最佳的运输方案时，用吨公里作为度 量的标准比用运费作为度量标准更加方便、实 用。 在求解最佳运输方案时，用吨公里作为度量单 位，还可以在已经画出的交通图上进行，操作 起来较为简单、方便、直观、快捷。 在铁路、公路等交通部门经常使用这种方法决 策最优运输问题，这种方法被称为图上作业法。
第四步：对方案进行调整。 方法：找出有迂回圈的流量最小的边（去 掉的边除外），改此边为丢掉的边（边 B5B4 ） ， 并 补 上 原 来 丢 掉 的 边 （ 边 B5A2），得到新的交通图。在此交通图上 做新的流向图。
第四步：调整方案
5 7
B1
（4） （1）
A3 3
（5）
2 4 6 4 B4
解为止。
方案表 销
运价表
产
A1 A2 A3
B1
B2
B3
B4
产量
7 4
B1
3 1 7
B2
11 9
B3 3
2 2 10
B4
10 8 5
4 3 6
3 6 5
3
1 3
6
9
4
需求
20
B1 A1
B2
B3 4
B4 3
以此，得到一初始方案：
运输问题的数学模型
本节主要内容:
一、
运输问题及其数学模型
二、 图上作业法
三、 表上作业法
一、图上作业法
一、 运输问题及其数学模型
问题的提出:
在经济建设中，经常碰到物资调拨中的运输问题。 例如 煤、钢材、粮食、木材等物资，在全国都有若干 生产基地，分别将这些物资调到各消费基地去，应如 何制定调运方案，使总的运输费用最少？
A2
B2
7
案例分析
口诀：抓各端，各端供需归邻站 即：先满足端点的要求，逐步向中间逼近， 直至收点与发点得到全部满足为止。
B1 3
（3） （4） （10） （2） （3） （4）
A1
（3）
2 4
6 B3
8 A3
5 A4
1 A5
4 B4
A2
（7）
B2
7 图 4-8
练一练
答案
2、交通图有圈情形
单位运价表
销地 产地 A1 A2 ┇ Am 销量
B1 c11 c21 ┇ cm1 b1
B2 … Bn c12 … c1n c22 … c2n ┇ ┇ ┇
产量 a1 a2 ┇ am
cm2 … cmn b2 … bn
分两种情况来讨论：
（1）
a b
i 1 i j 1
m
n
j
。即运输问题的总产量等于其总
销量，这样的运输问题称为产销平衡的运输问题。 （2）
a b
i 1 i j 1
m
n
j
。即运输问题的总产量不等于总
销量，这样的运输问题称为产销不平衡的运输问题。
2、运输问题的数学模型
若用xij表示从Ai到Bj的运量，那么在产销平衡的条件下， 要求得总运费最小的调运方案，数学模型为：
m in z cij x ij
迂回运输的判断
6
6 （4） 4 4 4 2 2 图：5-5 （4） 图：5-6 4
显然：图5-5为迂回运输
（3）、正规（最优）流向图
正规（最优）流向图：一个最优的调运方 案，它的流向图必是无对流、无迂回的流 向图，称这种流向图为正规流向图。 物资调运的图上作业法就是寻找一个无对 流、无迂回的正规流向图。 步骤如下：
1.运输问题所涉及的变量多，造成单纯形表太大；
2.若把技术系数矩阵A中的0迭代成非0，会使问题 更加复杂。
以上两个原因使得我们不得不利用运输问题的 特点设计出它的特殊解法——表上作业法。
二、表上作业法
表上作业法，实质上还是单纯形法。其步骤如下： 1.确定一个初始可行调运方案。可以通过最小元素法、 西北角法、Vogel 法来完成； 2.检验当前可行方案是否最优，常用的方法有闭回路法 和位势法，用这两种方法计算出检验数，从而判别方 案是否最优； 3.方案调整，从当前方案出发寻找更好方案，常采用闭 回路法。
B5
4 2
（2）
8 B3
（6）
4
B2
（7）
4 6 7 A1
3
5 8 A2
图 4-12
可验证：此方案中无迂回现象。即为最优方 案。 发 收 A1 A2 B1 B2 B3 3 4 4 2 2 B4 B5 发货 量 7 8
A3
收货 量
1
4 4 4
4
6 2
5
练一练
答案
二、 表上作业法
运输问题仍然是线性规划问题，可以用线性规划 法中的单纯形法来解决。但是：
2、流向图
2、流向图
含有圈的流向图的补充规定
顺时针方向的流向必须画在圈的内侧，称 为内圈流向 逆时针方向的流向必须画在圈的外侧，称 为外圈流向