中考数学思维方法讲义：第8讲 二次函数图象的应用 (I)

意林数学思维方法讲义之八年级：九年级2019-2020年中考数学思维方法讲义：第8讲二次函数图象的应用(I)【今日目标】1、二次函数图象与系数的关系（二次函数中a,b,c的作用）：⑴决定__________。

①当__ 时，图象开口向上，当x=_________时，函数有最___值________；当x﹥-时，y随x的增大而________；当x﹤-时，y随x的增大而________。

②当_________时，图象开口向下，当x=_________时，函数有最___值________；x﹥-时，y随x的增大而________；当x﹤-时，y随x 的增大而________。

③当||越大，图象开口越_____。

（2）和b共同决定________。

①b=0时，对称轴为______；② 和b同号时对称轴在y轴___侧；③ 和b异号时对称轴在y轴___侧。

简记为。

（3）c的大小决定抛物线与_____的交点的位置。

当___ 时，图象与y轴正半轴相交；当___ 时，图象与y轴负半轴相交；当___ 时，图象过原点。

（4）当__ _时，图象与x轴有两个交点；当_ 时，图象与x轴仅有一个交点；当__ _时，图象与x轴没有交点。

2、以二次函数图象为载体，通过对四大要素的理解，结合动点、特殊三角形、特殊四边形、相似，利用勾股定理、相似为框架、以方程为工具解决存在型问题、最值问题、图形形状问题等。

【思想方法】数形结合法、特殊值法、整体思想、构造思想等。

【精彩知识】题型一二次函数的图象与系数的关系【例1】已知：二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论中：①abc＞0；②2a+b＜0；③a+b＜m（am+b）（m≠1的实数）；④（a+c）2＜b2；⑤a＞1．其中正确的项是（填番号）●变式练习：如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象与y轴正半轴相交，其顶点坐标为，下列结论：①ac＜0；②a+b=0；③4ac－b2=4a；④a+b+c＜0.其中正确的个数是（）A. 1B. 2C. 3D. 4题型二二次函数的图象和性质的基本应用【例2】已知，二次函数的解析式y1=－x2+2x+3．（1）求这个二次函数的顶点坐标；（2）求这个二次函数图象与x轴的交点坐标；（3）x取什么值时，抛物线在x轴上方？（4）x取什么值时，y的值随x值的增大而减小？（5）若直线y2=ax+b（a≠0）的图象与该二次图象交于A（，m），B（2，n）两点，结合图象直接写出当x取何值时y1＞y2？●变式练习：对于二次函数，有下列说法：①它的图象与轴有两个公共点；②如果当≤1时随的增大而减小，则；③如果将它的图象向左平移3个单位后过原点，则；④如果当时的函数值与时的函数值相等，则当时的函数值为．其中正确的说法是．（把你认为正确说法的序号都填上）【例3】二次函数的图象如图，若一元二次方程有实数根，则m的最大值为（）A.-3B.3C.-5D.9●变式练习：如图，已知抛物线y1=﹣2x2+2，直线y2=2x+2，当x任取一值时，x对应的函数值分别为y1、y2．若y1≠y2，取y1、y2中的较小值记为M；若y1=y2，记M=y1=y2．例如：当x=1时，y1=0，y2=4，y1＜y2，此时M=0．下列判断：①当x＞0时，y1＞y2；②当x＜0时，x值越大，M值越小；③使得M大于2的x值不存在；④使得M=1的x值是或．其中正确的是(填番号)题型三二次函数图象为载体解决存在型问题、最值问题、图形形状问题等【例4】如图，若抛物线y=-x2+bx+c的图像经过点A（m，0）、B（0，n），已知一元二次方程x2－4x＋3=0的两根是m，n且m＜n.（1）求抛物线的解析式；（2）若（1）中的抛物线与x轴的另一个交点为C.根据图像回答，当x取何值时，抛物线的图像在直线BC的上方？（3）点P在线段OC上，作PE⊥x轴与抛物线交与点E，若直线BC将△CPE的面积分成相等的两部分，求点P的坐标.●变式练习：如图，已知二次函数的图象经过A（，），B（0,7）两点．ＡＤＣＢＯx y⑴求该抛物线的解析式及对称轴；⑵当为何值时，？⑶在轴上方作平行于轴的直线，与抛物线交于C，D两点（点C在对称轴的左侧），过点C，D作轴的垂线，垂足分别为F，E．当矩形CDEF为正方形时，求C点的坐标．【例5】如图，在平面直角坐标系中，把抛物线向左平移1个单位，再向下平移4个单位，得到抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）.所得抛物线与轴交于两点（点在点的左边），与轴交于点，顶点为.（1）求抛物线的解析式；（2）判断的形状，并说明理由；（3）在线段上是否存在点，使∽？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由.【例6】如图，在平面直角坐标系中，已知点A(－2，－4)，OB＝2，抛物线y＝ax2＋bx ＋c经过点A、O、B三点．(1)求抛物线的函数表达式；(2)若点M是抛物线对称轴上一点，试求AM＋OM的最小值；(3)在此抛物线上，是否存在点P，使得以点P与点O、A、B为顶点的四边形是梯形．若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．AOByx【例7】如图，在平面直角坐标系xOy中，AB⊥x轴于点B，AB=3，tan∠AOB=。

将△OAB 绕着原点O逆时针旋转90o，得到△OA1B1；再将△OA1B1绕着线段OB1的中点旋转180o，得到△OA2B1，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过点B、B1、A2。

（1）求抛物线的解析式；（2）在第三象限内，抛物线上的点P在什么位置时，△PBB1的面积最大？求出这时点P的坐标；（3）在第三象限内，抛物线上是否存在点Q，使点Q到线段BB1的距离为？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由。

●变式练习：如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x 轴交于A 、B 两点（A 在B 的左侧），与y 轴交于点C(0，4)，顶点为（1，92）．（1）求抛物线的函数表达式；（2）设抛物线的对称轴与轴交于点D ，试在对称轴上找出点P ，使△CDP 为等腰三角形，请直接写出满足条件的所有点P 的坐标．（3）若点E 是线段AB 上的一个动点（点E 与A 、B 不重合），分别连接AC 、BC ，过点E 作EF ∥AC 交线段BC 于点F ，连接CE ，记△CEF 的面积为S ，S 是否存在最大值？若存在，求出S 的最大值及此时E 点的坐标；若不存在，请说明理由．yxOD CB (4,4)A (1,4)【课后测控】1、抛物线的开口__ ___，对称轴为_____ ____，顶点坐标为_______ ___；当x= 时，函数有最 值，其最值为 。

2、已知实数x ，y 满足x 2+3x+y －3=0，则x+y 的最大值为 。

3、二次函数y =ax 2+bx +c （a ，b ，c 是常数，a ≠0）图象的对称轴是直线x =1，其图像的一部分如图所示，对于下列说法：①abc <0；②a －b +c <0； ③3a +c <0； ④当－1<x <3时，y >0．其中正确的是__________(把正确说法的序号都填上)．4、已知二次函数的图象如图所示，有下列5个结论：① ；② ；③ ；④ ；⑤ （的实数），其中正确的结论有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个的左侧），点 的对应值如下表：x …－2 －1 0 1 2 …y …0 4 6 6 4 …从上表可知，下列说法中正确的是．（填写序号）①抛物线与x轴的一个交点为（3，0）；②函数y=ax2+bx+c的最大值为6；③抛物线的对称轴是直线x= ；④在对称轴左侧，y随x增大而增大．(1)对于任意实数m，点M（m，-2）是否在该抛物线上?请说明理由；(2)求证:△ABC是等腰直角三角形；(3)已知点D在x轴上，那么在抛物线上是否存在点P，使得以B、C、D、P为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．8、如图，抛物线y=x－2x+c的顶点A在直线l：y=x－5上.(1)求抛物线顶点A的坐标；(2)设抛物线与y轴交于点B，与x轴交于点C、D（C点在D点的左侧），试判断△ABD 的形状；(3)在直线l上是否存在一点P，使以点P、A、B、D为顶点的四边形是平行四边形，若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由。

部分答案：【例1】解答：解：①∵抛物线的开口向上，∴a＞0，∵与y轴的交点为在y轴的负半轴上，∴c＜0，∵对称轴为x=＞0，∴a、b异号，即b＜0，又∵c＜0，∴abc＞0，故本选项正确；②∵对称轴为x=＞0，a＞0，∴﹣b＞2a，∴2a+b＞0；故本选项错误；③当x=1时，y1=a+b+c；当x=m时，y2=m（am+b）+c，当m＞1，y2＞y1；当m＜1，y2＜y1，所以不能确定；故本选项错误；④当x=1时，a+b+c=0；当x=﹣1时，a﹣b+c＞0；∴（a+b+c）（a﹣b+c）=0，即（a+c）2﹣b2=0；∴（a+c）2=b2 故本选项错误；⑤当x=﹣1时，a﹣b+c=2；当x=1时，a+b+c=0，∴a+c=1，∴a=1+（﹣c）＞1，即a＞1；故本选项正确；综上所述，正确的是①⑤．例3变式【答案】③④。

【考点】二次函数的图象和性质。

【分析】①∵当x＞0时，利用函数图象可以得出y2＞y1。

∴此判断错误。

②∵抛物线y1=﹣2x2+2，直线y2=2x+2，当x任取一值时，x对应的函数值分别为y1、y2，若y1≠y2，取y1、y2中的较小值记为M。

∴当x＜0时，根据函数图象可以得出x值越大，M值越大。

∴此判断错误。

③∵抛物线y1=﹣2x2+2，直线y2=2x+2，与y轴交点坐标为：（0，2），当x=0时，M=2，抛物线y1=﹣2x2+2，最大值为2，故M大于2的x值不存在；∴此判断正确。

④∵使得M=1时，若y1=﹣2x2+2=1，解得：x1=，x2=﹣；若y2=2x+2=1，解得：x=﹣。

由图象可得出：当x=＞0，此时对应y1=M。

∵抛物线y1=﹣2x2+2与x轴交点坐标为：（1，0），（﹣1，0），∴当﹣1＜x＜0，此时对应y2=M，∴M=1时，x=或x=﹣。

∴此判断正确。

因此正确的有：③④。

【例4】（1）∵x2－4x+3=0的两个根为x1=1,x2=3 ∴A点的坐标为（1,0），B点的坐标为（0,3）又∵抛物线y=－x2+bx+c的图像经过点A（1,0）、B（0,3）两点10233b c b c c -++==-⎧⎧⎨⎨==⎩⎩∴ 得 ∴抛物线的解析式为 y=－x 2-2x+31. 作直线BC由（1）得，y =－x 2-2x +3∵ 抛物线y=－x 2－2x +3与x 轴的另一个交点为C 令－x 2－2x +3=0 解得：x 1=1，x 2=－3∴C 点的坐标为（－3,0）由图可知：当－3＜x ＜0时，抛物线的图像在直线BC 的上方.(3)设直线BC 交PE 于F ，P 点坐标为（a ,0）,则E 点坐标为（a ，－a 2－2a +3） ∵直线BC 将△CPE 的面积分成相等的两部分. ∴F 是线段PE 的中点. 即F 点的坐标是（a ，）∵直线BC 过点B （0.3）和C(-3,0) 易得直线BC 的解析式为y=x+3∵点F 在直线BC 上，所以点F 的坐标满足直线BC 的解析式即=a +3解得 a 1=－1,a 2=－3(此时P 点与点C 重合，舍去) ∴P 点的坐标是（－1,0）【例6】 解：（1）的顶点坐标为Ｄ（－１，－４），∴ . ………………………………２分 ∴（2）由（1）得. 当时，． 解之，得 ．∴ .又当时，22(1)4(01)43y x =+-=+-=-， ∴C 点坐标为.………………………4分又抛物线顶点坐标，作抛物线的对称轴交轴于点E ， 轴于点．易知 在中，；在中，； 在中，；∴ ．∴ △ACD 是直角三角形．…………………………６分 （3）存在．作OM ∥BC 交AC 于M ，Ｍ点即为所求点． 由（2）知，为等腰直角三角形，，又点M【例7】解：（1）由OB ＝2，可知B(2,0)将A (－2，－4)，B(2,0)，O(0,0)三点坐标代入抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c ，得M ，即为所求。