5、画法几何及工程制图-第四章 直线与平面的图解法

用面上 定点法
b K, a X
m
●
n b
c ● 1 (2 )
O
a
k● 2 m(n) ● 1
●
c
① 求交点 ② 判别可见性 点Ⅰ位于平面上，在前； 点Ⅱ位于MN上，在后。故 k 2 为不可见。
（三）两投影面垂直面相交
A
D
（四）投影面垂直面与一般位置平面相交
d’
这时求两平面的交 线，实质上是求一 般位置平面上的两 条边线与投影面垂 直面相交求交点的 问题；作图时可以 用交线的一个投影 必定在投影面垂直 面的积聚投影上的 思路，通过一般位 置平面上取线的方 法求得。 下面举例说明： 例：求 ABC和四边形DEFG两平面的 交线，并判别可见性。
回到课本P.62一般位置的 直线与平面相交的解题思 路）。
’
m
O
5 4
e
●
3
k
●
两一般位置平面相交，求 交线步骤： 1．用求直线与平面交点的 方法，作出两平面的两个共 有点K、E。
6(7)
l
1 n
2．连接两个共有点，画 出交线KE。 3．判断可见性。
方法二：求相交两平面 的共有点，除利用直线与 平面的交点外，还可利用 三面共点的原理来作出属 于两平面的共有点。
唯一 解
（二）直线与投影面垂直面平行 当直线平行于特殊位置平面时，平面的积聚性投 影平行于直线的同面投影。
d’
c’
a’
e’ b’
X
如图所示：bc//aed， 则BC//△AED.
d
e
L
c
a
b
二、平面与平面平行
E D F C
B
A
面面平行的几何条件——
若一平面内的两条相交直线对应平行于另一平面内 的两条相交直线，则这两平面相互平行。
s n m r
X
n m
O
s r
结论：两平面平行
例7 判断平面（AB//CD)和（EF//GH)是否平行
c’
a’
X
a
m’ g’ n e’ ’ h’ d’ b’ f’ f b d h e c m g n
结论：两平面不平行。
例8：已知定平面由平行两直线AB和CD给定， 试过点K作一平面平行于已知平面 。
d’
e’
c’
X
c a k
e
解题要点： 1、作垂线; 2、求垂足; O 3、连接线段,求实长.
作图结果要求：表示 距离的线段的投影、 实长都须作出。
d
例： 试过点K作已知平面 BDF的垂面。 解题思路：
h
1.做垂线；
2.做包含垂线的垂面。
c
g
a
a
c
g
h
例： 试判断 ABC与相交两直线KG和KH所给定的平面 解题思路： 是否垂直。
画法几何及工程制图
第四章 直线与平面的图解法 1、 平行 2、相交 3、垂直 4、点、直线、平面的综合题
直线与平面、平面与平面 的相对位置
相对位置包括平行、相交。
直线与平面平行 平面与平面平行 包 括 包 括
直线与平面相交（包含垂直） 平面与平面相交（包含垂直）
一、直线与平面平行
§4-1 平行
直线与平面平行的几何条件： 如果空间一直线与平面上的任何一条直线平行， 则这条直线必平行于该平面。
f d
2.判断垂线是否在平面 ABC内。
1.过平面ABC内任一点做 平面GKH的垂线；
f d
结论： 因为AD 直线不在 ABC平面上 ，所以两平 面不垂直。
例：平面由两平行线AB、CD给定，试判断直线MN是 否垂直于该平面。 不垂直
e f
X
O
e
f
例：
试过定点A作直线与已知直线EF垂直。
分析——过已知点A作平面垂直于已知直线EF，
一、特殊位置的相交问题
例11：求铅垂面△ABC 与一般位置 直线MN的交点Ｋ，并判别其可见性。
（一）一般位置直线与投影面垂直面相交 步骤： １．空间及投影分析
b
, K●
n
a
m X
1 (2 )
●
c O
2
●
平面ABC是一铅垂面， 其水平投影积聚成一条直 线，该直线与mn的交点即 为K点的水平投影。 ２．作 图
§4-3垂直
一、直线与一般位置平面垂直
几何条件： 如果空间一直 线与某一平面垂直， 则这条直线必垂直 于该平面内的所有 直线。 反之： 如果某直线垂 直于平面内的任意 两条相交直线，则 则该直线与平面互 相垂直。
定理1 如果一条直线与某平面垂直，则这条直线的H投影 垂直于该平面内水平线的H投影；直线的V投影垂直于该 平面内正平线的V投影。
A
B
C F
D
根据上述几何条件可得有 关线、面平行的作图问题： 1.判断直线与平面是否平行； 2.作直线与已知平面平行； 3.作平面与已知直线平行。
（一）直线与一般位置平面平行
c’
b’
例1 判断直线AB是否 平行于ΔCDE平面。
g’
a’ e’
d’ f’ X e d
结论：直线 AB不平行于 ΔCDE平面。
1
’
k
’
2
’
X
2．求Q平面与 ΔABC的交线 ⅠⅡ。 3．求交线 O ⅠⅡ与EF的交 点 K。
2 k 1
（二）两一般位置平面相交
PV n 2’
方法一：线面交点法
K
解题思路（线面交点法）：
l
(3’ 1)
’
●
e’
4’(5’）
●
6’
把两个一般位置平面相 交求交线的问题，转化 QV 为求两条一般位置直线 与平面的交点问题（即
3’ (h’)g’ H E K1 B
a’
k1’
b’A
X
(e’)f’ 2’ k2’ D k3’ 1 ’ c’ d’ a e k1 k2 d 1 h b (2)3
K2
K3 F
C
G
k3 f
g
c
实际交线应 在两平面投影的 公共范围之内。
n
’
正平线
k
’
X
O
水平线
k n
定理2（逆） 如果一直线的H投影垂直于某平面内水 平线的H投影；同时直线的V投影垂直于该平面内正 平线的V投影，则这条直线必垂直于该平面。
X
O
例1：已知平面 BDF及平面外一点K，试过点K作平 n 面的垂线。
’
c’ a
’
X O
a
c n
二、直线与投影面垂直面垂直 h
O
f a
c
g
b
（一）直线与一般位置平面平行
例2：已知空间一点M及平面ABC，求作过点 M且平行于平面ABC的直线。
b n c m
●
有无数解
有多少解？ a X a
b
●
O n m
c
（一）直线与一般位置平面平行
例3：过M点作直线MN平行于V面和平面ABC。
正平 线
c m
●
b n
a X a b
c
O
●
m
n
d’
e’ L
当两特殊位 2’ 置平面相互 1’ 平行时，它 k’ 们具有积聚 性的同面投 影互相平行。
e 2 c d 1 k 2
c d k
1
§4-2 相交
直线与平面相交 （1）求交点、交线 （2）判断投影的可见性
平面与平面相交
直线与平面相交 要讨论的问题是： 求交点并判断可见性
A K B
交点的性质： 1. 是直线与平面的 公有点; 2. 是可见与不可见 的分界点。
① 求交点 ② 判别可见性
由水平投影可知，KN段在平面 前，故正面投影上k n 为可见。
m
● ●
c
a n 还可通过重影点判别可见性。
k 1 b
（二）投影面垂直线与一般位置平面相交
例12：求铅垂线ＭＮ与一般位置平 面△ABC的交点Ｋ，并判别其可见性。
步骤： １．空间及投影分析 直线MN为铅垂线，其水 平投影积聚成一个点，故 交点K的水平投影也积聚在 该点上。 ２．作 图
并交于点K，连接AK，AK即为所求。
A
K
解题要点： 1、作垂面; 2、求垂足; 3、连接点和垂足.
作图
2 k 2
f
1
PV 2 e
1
a
e
2 a
k
f 1 1
例1：求两平面的交线MN， 步骤： 并判别可见性。 １．空间及投影分析 平面EFH是一水平面，它的 b 正面投影有积聚性。a b 与 m e f n 1 h e f 的交点m 、 b c 与f ● ● ● ● h 的交点n 即为两个共有点 2 的正面投影，故m n 即交线 c a MN的正面投影。 ２．作 图 O X b e ① 求交线 ② 判别可见性 ● m h 点Ⅰ在FH上，在上方， n● ● 1(2) 点Ⅱ在BC上，在下方，故fh a 可见，n2不可见。 c f
例13 求DE直线与 ABC 的交点。 c’ d’ b’ k’ 2’ a’ 1’ e’ d a k c
(1), 2 X X
例14 求EF直线与 ABC的 交点。 b’ e’ ( 4 )’ 1’ 3’ k’ a’ f’ 4 a 1 e(f) c’ c (k)
b b e 从几何元素有积聚性的投影入手,先利用公有性得到 交点的一个投影,再根据从属关系求出交点的另一个投影。 可见性判断可用重影点法，简单时可用直观法。
b’
e’ k2’
a’
X
k1’
(1’ ) 2’ f’ c’ c
g’
d(g) a
k1
k2 b